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RELACIONES Y FUNCIONES

parte 2M.C. Mireya Tovar Vidal

Se dice que R es una relación de equivalencia si es:

Reflexiva

Simétrica

Transitiva

Por ejemplo, sea A={1,2,3,4,5,6}

R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3), (4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}

Grafo y matriz de una relación

R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3), (4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}

1 2 3 4 5 6

1 1 1 0 0 0 0

2 1 1 0 0 0 0

3 0 0 1 0 0 0

4 0 0 0 1 1 0

5 0 0 0 1 1 0

6 0 0 0 0 0 1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

Ejercicios

Sean los conjuntos A=B={1,2,3,4,5} y la relación

R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),

(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}, obtenga el grafo y la

representación matricial correspondiente

Sean los conjuntos A=B={1,2,3,4} y la relación

R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)},

obtenga el grafo y la representación matricial

correspondiente

Clases de equivalencia y particiones

Una relación de equivalencia tiene clases de equivalencia y éstas forman particiones.

Las clases de equivalencia son conjuntos que contienen a todos los elementos b B y que están relacionados con a A. Se indica:

[a] = {b| b B, aRb}

Una partición es un conjunto de clases de equivalencia. Es un subgrafo completo.

Deben estar contenidos todos los elementos del conjunto A.

La intersección entre las clases de equivalencia es vacia.

Ejercicio:

Verifique que R es una relación de equivalencia.

Sean A=B={1,2,3,4,5} y R={(1,1),(1,2),(1,5),(2,1),

(2,2),(2,5),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,5)}.

Obtenga la matriz y grafo correspondiente.

Como R es una relación de equivalencia, entonces

sus clases de equivalencia son:

[1] = {1,2,5} Todos los elementos relacionados con 1

[2] = {1,2,5} Todos los elementos relacionados con 2

[3] = {3,4}

[4] = {3,4}

[5] = {1,2,5}

De esto obtenemos

[1] = [2] = [5]

[3] = [4]

Dos particiones:

P ={{1,2,5},{3,4}}

Una función f es una relación que asigna a cada elemento x de un

conjunto A un único elemento b de un conjunto B, es decir

F: A B

Para que sea función debe cumplirse:

Dom(R)=A , es decir el dominio de R debe ser todo el conjunto A.

Si hay dos pares ordenados (a,b) y (a,c) que pertenecen a f, entonces

b=c, es decir a cada elemento del dominio debe estar relacionado con

sólo un elemento del codominio.

Sean los conjuntos A={1,2,3,4} y B={a,b,c}

a) R={(1,b),(2,c),(3,a),(4,b)}

b) R={(1,a),(2,c),(1,b),(3,a),(4,c)}

c) R={(1,c),(2,c),(3,c),(4,c)}

d) R={(1,b),(2,c),(4,a)}

Inyectiva

Biyectiva

Sobreyectiva

Una función se llama uno a uno (inyectiva), si a cada elemento

distinto del conjunto A le corresponde un elemento distinto del

conjunto B, esto es, para todo a, a’ A si f(a)=f(a’) implica que

a=a’.

Ejemplo 2:

Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},

f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}

Ejemplo 1

Una función se llama sobre (sobreinyectiva), si el conjunto de

los segundos elementos de los pares ordenados de la función es

igual al conjunto B, es decir si Cod(f)=B.

Ejemplo 2:

Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},

f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}

Ejemplo 1

Una función se llama (biyectiva), si cumple que sea tanto

inyectiva como sobreyectiva.

Ejemplo 2:

Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},

f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}

Ejemplo 1

Determinar si las siguientes relaciones son

funciones:

R={a Z, b Z= a2 + 2a + 1}

A={1,2,3,4,5}=B, R={(1,3),(2,5),(4,3),(3,5),(5,1)}

Determinar si las siguientes funciones son

inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

A={1,2,3,4,5}=B, f={(1,2),(2,5),(3,1),(4,4),(5,3)}

A={a,b,c,d},B={1,2,3}, f={(a,2),(b,3),(c,2),(d,1)}