función biyectiva

Willy Jhoel Rodríguez Ramírez

Juan Ángel Rodríguez Castro

FUNCIÓN BIYECTIVA

FUNCIÓN BIYECTIVA.En matemáticas, una función es biyectiva

si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.Ejemplo:A={a,e,i,o,u}B={1,3,5,7,9}F={(a,5),(e,1),(i,9),(o,7),(u,3)}

Debe ser una relación unívoca .Todos los elementos que llegan al punto

de partida reciben una relación del conjunto de llegada.

No pueden haber dos ‘’uniones’’ desde el conjunto de partida hasta el conjunto de llegada. F

CARACTERÍSTICAS

PROPIEDAD.

Si es una función real biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.

Ejemplo La función:

F(x)=αx+ β

Es biyectiva

Luego, su inversa:

F-1(x)=

X-βα

EJEMPLOS.Ejemplo 1Sea la función f(x) = 2x definida en los números reales. Esta función es biyectiva.

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:Demostración de la condición de inyectividad:

Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.

Demostración de la condición de sobreyectividad en un ejemplo de función biyectiva.

La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.

EJEMPLO 2En este segundo ejemplo, sea la función f(x) = x2-1. Esta función no es biyectiva.

En la gráfica ya podemos observar como la función es igual en x = -2 y en x = 2, por lo tanto la función no puede ser inyectiva. Para verlo formalmente, veamos que no se cumple la condición de inyectividad

IDENTIFIQUEMOS.