função modular
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Funcao Modular
Francisco Adriano Gomes Bezerra
02/05/09
A Matematica e a honra do espırito humano. (Leibniz)
Resumo
O presente texto consiste em um resumo teorico sobre funcao Modular, onde foramabordos os assuntos de modulo, equacao e inequacao modular e funcao modular.
1 Modulo
Definicao 1. Seja x ∈ R, o modulo ou valor absoluto de x e definido por:
|x| ={
x, se x ≥ 0−x, se x < 0
Onde: |x| representa o modulo do numero x.
Exemplo 1. Calculemos o modolo dos numeros: 2, −3, −4
5e −√2
Temos que:
|2| = 2 | − 3| = 3∣∣∣− 4
5
∣∣∣ =4
5| − √2| = √
2
Assim podemos concluir que:
1. O modulo de um numero nao negativo e igual ao proprio numero;
2. O modulo de um numero negativo e igual ao oposto dese numero.
1.1 Propriedades
Decorrem da definicao as seguintes propriedades:
1. |x| = x2, ∀x, y ∈ R2. |x + y| ≤ |x|+ |y|, ∀x, y ∈ R (desigualdade triangular)
3. |x · y| = |x| · |y|, ∀x, y ∈ R
1.2 Interpretacao Geometrica do Modulo de um numero
O valor absoluto de um numero a e, na reta, a distancia entre o ponto a e a origem. Isto e, |a|corresponde a distancia do ponto a ao ponto 0. Veja a figura 01.
1
Figura 1: modulo
2 Equacao Modular
Definicao 2. Toda equacao que contiver suas incognitas em modulo em qualquer membro serachamada de equacao modular.
I. Metodo de resolucao: Devemos considerar a propriedade
|x| = a ⇐⇒ x = a ou x = −a
Exemplo 2. Calculemos a equacao modular dada por |2x− 1| = 3.
resolucao:
Pela propriedade |2x− 1| = 3 gera duas equacoes, entao temos:
2x− 1 = 3 =⇒ 2x = 3 + 1
=⇒ 2x = 4
=⇒ x = 2 (1)
2x− 1 = −3 =⇒ 2x = −3 + 1
=⇒ 2x = −2
=⇒ x = −1 (2)
Logo a solucao e S = {2,−1}
II. Metodo de resolucao: Devemos considerar a propriedade
|x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y
Exemplo 3. Calculemos a equacao modular dada por |3x− 1| = |2x + 3|
resolucao:
2
Pela propriedade |3x− 1| = |2x + 3| gera duas equacoes, entao temos:
3x− 1 = 2x + 3 =⇒ 3x− 2x = 3 + 1
=⇒ x = 4 (3)
3x− 1 = −(2x + 3) =⇒ 3x− 1 = −2x− 3
=⇒ 3x + 2x = −3 + 1
=⇒ 5x = −2
=⇒ x = −2
5(4)
Logo a solucao e S =
{4,−2
5
}
III. Metodo de resolucao: Devemos considerar a propriedade
|x| = k ⇐⇒ k ≥ 0
Exemplo 4. Calculemos a equacao modular dada por |x + 1| = 3x + 2
resolucao:
Pela propriedade |x + 1| = 3x + 2 gera duas equacoes. Entretanto inicialmente devemosfazer o teste do metodo III, ou seja:
3x + 2 ≥ 0 =⇒ 3x ≥ −2
=⇒ x ≥ −2
3(5)
Agora resolvendo as equacoes, temos:
x + 1 = 3x + 2 =⇒ x− 3x = 2− 1
=⇒ −2x = 1
=⇒ x = −1
2(6)
x + 1 = −(3x + 2) =⇒ x + 1 = −3x− 2
=⇒ x + 3x = −2− 1
=⇒ 4x = −3
=⇒ x = −3
4(7)
Pelo que foi estabelecido em (5), temos que (7) nao comvem, por que? Logo a solucao e
S =
{− 1
2
}
3
3 Inequacao Modular
Definicao 3. Toda inequacao que contiver suas incognitas em modulo em qualquer membrosera chamada de inequacao modular.
I. Metodo de resolucao: Devemos considerar as propriedades
|x| < a ⇐⇒ −a < x < a ou |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a
Exemplo 5. Calculemos a inequacao dada por |2x− 1| < 3.
resolucao:
pela propriedade temos:
|2x− 1| < 3 =⇒ −3 < 2x− 1 < 3
=⇒ 1− 3 < 2x− 1 + 1 < 3 + 1
=⇒ −2
2<
2x
2<
4
2=⇒ −1 < x < 2 (8)
Logo a solucao e S = {x ∈ R| − 1 < x < 2}II. Metodo de resolucao: Devemos considerar as propriedades
|x| > a ⇐⇒ x < −a ou x > a ou |x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a ou x ≤ a
Exemplo 6. Calculemos a inequacao dada por |4x− 3| ≥ 5.
resolucao:
pela propriedade temos:
4x− 3 ≤ −5 =⇒ 4x ≤ −5 + 3
=⇒ 4x ≤ −2
=⇒ x ≤ −2
4
=⇒ x ≤ −1
2(9)
ou
4x− 3 ≥ 5 =⇒ 4x ≥ 5 + 3
=⇒ 4x ≥ 8
=⇒ x ≥ 2 (10)
Logo de (9) e (10) a solucao e S =
{x ∈ R|x ≤ −1
2ou x ≥ 2
}
4
4 Funcao Modular
Definicao 4. Denomina-se funcao modulo ou funcao modular toda funcao f : R −→ R definidapor f(x) = |x|.
• Caracterısticas
1. Domınio: Df = R2. Imagem: Imf = R+
3. Grafico
1 2
1
2
x
y
0−2 −1
Figura 2: funcao modular
Exemplo 7. Considere a funcao modular dada por f(x) = |x− 2|, construa seu grafico.
resolucao:
Inicialmente devemos fazer f(x) = 0.
x− 2 = 0 =⇒ x = 2 (11)
Agora considere a definicao de modulo:
|x− 2| ={
x− 2, se x ≥ 2−(x− 2), se x < 2
(12)
Portanto atribuindo valores a x deacordo com (12), temos os seguintes pontos, para:
x = 2 =⇒ y = x− 2
=⇒ y = 2− 2
=⇒ y = 0 (13)
5
x = 5 =⇒ y = x− 2
=⇒ y = 5− 2
=⇒ y = 3 (14)
x = −4 =⇒ y = −(x− 2)
=⇒ y = −(−4− 2)
=⇒ y = −(−6)
=⇒ y = 6 (15)
y
x
Figura 3: grafico de f(x) = |x− 2|
6
5 Exercıcios - Funcao Modular
1. (UVA-2003.1) O conjunto solucao |x + 3| ≤ |1− x| e o conjunto de numeros x tais que:
(a) {x ∈ R|x ∈ (−∞,−2)}(b) {x ∈ R|x ∈ (−∞,−3)}(c) {x ∈ R|x ∈ (−∞,−1)}(d) {x ∈ R|x ∈ (−∞, 0)}
2. (UVA-2008.2) Sabendo que as solucoes da equacao |x|2 − 6|x| − 16 = 0 sao raızes daequacao x2 −mx + n = 0 podemos afirmar que:
(a) m = 0 e n = 64(b) m = 0 e n = −64(c) m = 64 e n = −64(c) m = −64 e n = 64
3. (UFC - 2008) Dadas as funcoes f : R −→ R e g : R −→ R definidas por f(x) = |1− x2| eg(x) = |x| , o numero de pontos na intersecao do grafico de f com o grafico de g e iguala:
(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2 (e) 1
4. (UECE) Seja a funcao f : R −→ R definida por
f(x) =
{ |x|+ 3, se |x| ≤ 2|x− 3|, se |x| > 2
o valor de f(f(f(...f(0)...)))
(a) e 0.(b) pode ser 1.(c) e 3.(d) pode ser 3.(e) e impossıvel de ser calculado.
5. (Fuvest - SP) Qual o conjunto dos valores assumidos pela expressao:
a
|a| +b
|b| +c
|c| +abc
|abc|Quando a, b, c variam no conjunto de todos os numeros reais nao nulos?
(a) {−4, −3, −2, 0, 1, 2, 3, 4}(b) {−4, −2, 0, 2, 4}(c) {−4, 0, 4}(d) {4}(e) R
7
Referencias
[1] IEZZI, Gelson & MURAKAMI, Carlos; Fundamentos de Matematica Elementar - Vol.1 -7 ed. - Sao Paulo: Atual, 1993.
[2] Bonjorno, J. Roberto & Giovanni, J. Ruy; De olho no vestibular - Vol.1 - Sao Paulo: FTD,1996.
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