funÇÃo logaritmica matemÁticalogaritmos setembro - 2010 prof. mário hanada mÁrio hanada parte...
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FUNÇÃO LOGARITMICAFUNÇÃO LOGARITMICA
MATEMÁTICA MATEMÁTICA
LOGARITMOSLOGARITMOS
SETEMBRO - 2010
http://professormariohanada.blogspot.com
• Prof. Mário Hanada
MÁRIO HANADA
PARTE - 01
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
82 x
322 x
3x
3S
Resolva a equação, em IR:Resolva a equação, em IR:
1)1) 82 x
MÁRIO HANADA
Vimos em equações exponenciais…
8 24 22
322
1
Potências de mesma base
INTRODUÇÃO
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
42 33 x
42 33 x
819
1
x
42 x
2x
819
1
x
2S
2)2) Resolva as equações, em IR:Resolva as equações, em IR:
81 3
9 33 3
431
27 3
Potências de mesma base
INTRODUÇÃO
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
82 x
322 x
3x
3S
Resolva as equações, em IR:Resolva as equações, em IR:
1)1) 82 x
MÁRIO HANADA
E se fosse essa equação exponencial?
8 24 22
522
1
72 x7
7
7
1Vimos em equações e inequações exponenciais, casos em que podíamos reduzir as potências à mesma base.
Não conseguiremos reduzir todas as potências à mesma base.
O que podemos raciocinar, nesse caso, é que se 4 < 7 < 8 então 22 < 7 < 23
, sabendo que 7 = 2x , temos, 22 < 2x < 23 , portanto podemos garantir que
2 < x < 3
Para quem nunca viu logarítmo, ou pelo que estudamos até o momento, a melhor resposta a ser dada é
?Então como determinar o valor exato de x ?
compare…
2 < x < 3
INTRODUÇÃO
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
Procure fazer leituras em livros e na WEB sobre logaritmos como:
História dos Logaritmos;
Surgimento dos Logaritmos;
John Napier;
Henry Briggs;
etc.
INTRODUÇÃO
Logaritmos
log
Base do Base do logaritmologaritmo
LogaritmandLogaritmandoo
LogaritmLogaritmoo
0b 01 a
Condições de Existência de logaritmos:Condições de Existência de logaritmos:
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOSDefinição:Definição:
ba
x
e
“logaritmo”
“logaritmo”“ de b”
“ de b”“na base a”
“na base a”
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
log
Base do Base do logaritmologaritmo
LogaritmandLogaritmandoo
LogaritmLogaritmoo
ba
x
xba log xa b
Definição:Definição:
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOSExemplos:
x25log5 x5 25
25log5
Calcule pela definição os seguintes logaritmos:
1)1) Calcular logaritmo de 25 na base 5 é:
25log5 x
255 x 2x
Portanto o logaritmo de 25 na base 5 é 2, pois 52 = 25
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
x81log3 x3 81
81log32)2) Calcular logaritmo de 81 na base 3 é:
81log3 x
433 x 4x
Portanto o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 34 = 81
Exemplos:
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
x
8
1log 2 x2
8
1
8
1log 2
3)3) Calcular logaritmo de 1/8 na base 2 é:
8
1log 2 x
322 x 3x
Portanto o logaritmo de 1/8 na base 2 é -3, pois 32 8
1
Exemplos:
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
x4log 4 x4 4
4log 44)4) Calcular logaritmo de 4 na base 4 é:
4log 4 x
144 x 1x
Portanto o logaritmo de 4 na base 4 é 1, pois 41 = 4
Exemplos:
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
x1log9 x9 1
1log95)5) Calcular logaritmo de 1 na base 9 é:
1log9 x
099 x 0x
Portanto o logaritmo de 1 na base 9 é 0, pois 90 = 1
Exemplos:
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
x3log9 x9 3
3log96)6) Calcular logaritmo de
3log9 x
2
12 33 x
2
12 x
3 na base 9 é:
2
12 33 x
4
1x
Portanto o logaritmo de 34
1 na base 9 é , pois
4
1
9 3
Exemplos:
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
x32log21
x
2
1 32
32log217)7) Calcular logaritmo de 32 na base 1/2 é:
32log21 x
51 22 x 5 x
Portanto o logaritmo de 32 na base
522 x
5x2
1
pois5
2
1
52 32
é – 5 ,
Exemplos:
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
x27log 3 9 x3 9 27
27log 3 98)8) Calcular logaritmo de 27 na base
27log 3 9 x
339 31
x
332 33 x
logaritmo de 27 na base
33 39 x
3 9 , pois 29
3 9 29
31
9 é
3 9 é :
33
2
33 x
33
2
x 2
9x
2
9
Portanto o
69
9
69
23 618
3 33 27Veja este exemplo de outro modo a seguir.
Exemplos:
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
x27log 3 9 x3 9 27
27log 3 98)8)
Calcular logaritmo de 27 na base
27log 3 9 x
32 33 31
x
logaritmo de 27 na base
33
2
33 x
3 9 , pois 29
3 9 29
31
9 é
3 9 é :
33
2
x 2
9x
2
9
Portanto o
69
9
69
23 618
3 33 27
33 2 33 x
Exemplos:
MÁRIO HANADA - setembro/2010
xmm
53log xm3 5 m
53log mm
9)9) Calcular logaritmo de
53log mm
x
5
13 mm x
logaritmo de 3m , pois
15
13m 15
3
m
é
3m é :
5
13 x
15
1x
15
1
Portanto o
51
m 5 m
Supondo 0m e 1m
5 m na base
5 m na base
Exemplos: LOGARÍTMOS
EXERCITANDO…
log464 = 3 43 = 64
log327 = 3 33 = 27
log366 = 1/2 361/2 = 6
log121= 0 120 = 1
q2 = p logqp = 2
q2 = p logqp = 2
?
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
???
EXERCITANDO…
xba log xa b
xa b balog x
Caminho inverso
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
EXERCITANDO…
log464 = 3 43 = 64
log327 = 3 33 = 27
log366 = 1/2 361/2 = 6
log121= 0 120 = 1
q2 = p logqp = 2
xy = 2 logx2 = y
pq = r logpr = q
logxy = z xz = y
23 = 8 log28 = 3
loga5 = b ab = 5
01 x:CE
0r 01 pe:CE
0y 01 xe:CE
01 a:CE
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LOGARÍTMOSEXERCITANDO…
log(2-x)q = 3
0q 021 xe:CE
(2- x)3 = q
log(x- 4)(7x+5) = 2
057 x 041 xe:CE
(x- 4)2 = 7x+5
logm(2+x)= k mk = 2+x
02 x 01 me:CE
EXERCITANDO…
log101000 = 3 103 = 1000
Log100,01 = -2 10-2 = 0,01
Log0,21= 0 (0,2)0 = 1
72 = 49 log749 = 2
122 =144 log12144 = 2
107 = 10.000.000 log10(10.000.000 )= 7
(0,2)2 = 0,04 log0,2(0,04) = 2
4-2 = 1/16 Log4(1/16) = -2
log71 = 0 70 = 1
log2128 = 7 27 = 128
log10010 = ½ 1001/2 = 10
log88 = 1 81 = 8
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
Consequências da definição
01log a
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
xba log ba x
Propriedade 1:
01log5 Exemplos:
01log12
01log 7,0
01log31
01log3
01log 2 x
O logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a 0.
10 a
Obedecendo as condições de existências.
Consequências da definição
1log aa
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
xba log ba x
Propriedade 2:
15log5 Exemplos:
118log18
17,0log 7,0
13
1log
31
13log3
115log 15 xx
Obedecendo as condições de existências.
O logaritmo da base, qualquer que seja ela, é igual a 1.
aa 1
Consequências da definição
ba ba log
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
xba log ba x
Propriedade 3:
A potência de base a e expoente loga b é igual a b.
Obedecendo as condições de existências.
pois o logaritmo de b de base a é o expoente que se deve dar à base a para que a potência seja igual a b.
baa logEm considere yba log , assim temos
a
?x
se yba log ba y
balog
xy
bx
xa ba log
Então
é o mesmo que
ba ba log
Vamos tentar justificar:
Consequências da definição
ba ba log
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
xba log ba x
Propriedade 3:
A potência de base a e expoente loga b é igual a b.
Obedecendo as condições de existências.
pois o logaritmo de b de base a é o expoente que se deve dar à base a para que a potência seja igual a b.
Exemplo 1: Calcule o valor de5log22
5log22 Utilizando a propriedade:
5Resposta: 52 5log2
Consequências da definição
ba ba log
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
xba log ba x
Propriedade 3:
A potência de base a e expoente loga b é igual a b.
Obedecendo as condições de existências.
pois o logaritmo de b de base a é o expoente que se deve dar à base a para que a potência seja igual a b.
Exemplo 2: Calcule o valor de5log28
5log28
Trocando os expoentes entre si
5log3 22 35log22
Dentro do parênteses utilizando a propriedade:
35 125Resposta: 1258 5log2
Consequências da definição
cb aa loglog
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LOGARÍTMOS
xba log ba x
Propriedade 4:
pois
Obedecendo as condições de existências.
Se dois logaritmos de mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.
cb
cb aa loglog caa log b bc
Consequências da definição
cb aa loglog
MÁRIO HANADA - setembro/2010
LOGARÍTMOS
xba log ba x
Propriedade 4:Obedecendo as condições de existências.
Se dois logaritmos de mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.
cb
Exemplo 1: Determine o valor de xx , tal que 11log23log 77 x
11log23log 77 x
Como os dois logaritmos têm a mesma base, então os logaritmandos também são iguais.
1123 x 2113 x
93 x 3x
Obedecendo as condições de existências.
023 x 23 x
3
2x
Como3
23
x
Resposta: 3x
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MATEMÁTICA MATEMÁTICA
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