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CONTROL FRACCIONARIO
GRUPO DE AUTOMÁTICA, ROBÓTICA Y SISTEMAS DE PRODUCCIÓN (GRASP)
EII - UEX
Blas M. VinagreBlas M. VinagreJORNADAS DE INGENIERÍA DE CONTROLJORNADAS DE INGENIERÍA DE CONTROL
Zaragoza, 4Zaragoza, 4--5 de Mayo de 20055 de Mayo de 2005
Zaragoza, 4,5-05-2005 JORNADAS DE INGENIERÍA DE CONTROL
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTENIDO
• INTRODUCCIÓN• ¿POR QUÉ CÁLCULO FRACCIONARIO?• ¿QUÉ ES EL CÁLCULO FRACCIONARIO?• APLICACIONES• SISTEMAS FRACCIONARIOS• CONTROL FRACCIONARIO
– FUNDAMENTOS– APLICACIONES
• IMPLANTACIÓN DE OPERADORES FRACCIONARIOS• COLABORACIONES• PUBLICACIONES Y EVENTOS• PARA SABER MÁS
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CONTROL FRACCIONARIO
INTRODUCCIÓN • La idea de los operadores fraccionarios es tan antigua
como la de los enteros. • El interés teórico y práctico de estos operadores está hoy
día bien establecido, y sus aplicaciones en ciencia e ingeniería pueden considerarse como campos de investigación emergentes.
• Operadores fraccionarios:– Transformadas integrales: Transformada de Fourier
Fraccionaria– Convolución: Convolución Fraccionaria, Splines
Fraccionarios– Derivada e integral: Cálculo Fraccionario
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CONTROL FRACCIONARIO
INTRODUCCIÓN
• El lecho de Procrustes: Todos han de ajustarse a la misma cama:
Si es alto, cortar las piernasSi es bajo, estirarlas.
• La carta robada (The Purloined Letter):Los mismos métodos han de ser siempre aplicables con
éxito: Si no se encuentra solución,
No hay solución.• Un nuevo paradigma:Una buena oportunidad para revisar los orígenes (fuentes).
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CONTROL FRACCIONARIO
¿POR QUÉ CF? • MODELADO:
– Dominio temporal: ¿Es g(t) una combinación lineal de exponenciales complejas? ¿Por qué no una función, sólo una, siendo las exponenciales complejas (senos, cosenos, función error, etc..) casos particulares?
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CONTROL FRACCIONARIO
¿POR QUÉ CF? • MODELADO:
– Dominio frecuencial: ¿Es H(s) una función racional de s ? ¿Por qué no una función racional de s0.4 para ajustarse a la pendiente con un solo factor?
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¿POR QUÉ CF?
• MODELADO:– Tiempo ponderado: ¿Tienen todos los valores pasados el
mismo peso?
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CONTROL FRACCIONARIO
¿POR QUÉ CF?
• AUTOMÁTICA:– Acciones básicas de control: ¿por qué no generalizarlas de
manera continua?
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CONTROL FRACCIONARIO
¿POR QUÉ CF? • AUTOMÁTICA:
– Sistema básico de referencia con propósitos de especificaciones y diseño: servo de posición.¿Por qué no utilizar uno diferente y más robusto a cambios en la ganancia o carga?
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CONTROL FRACCIONARIO
¿POR QUÉ CF? • PROCESADO DE SEÑAL:
+
1/sa
1/sa
1/sa
+
+
+
y(t)x(t)
-a1
-a2
-aN-1
-aN
+
b0
+
+
+
b1
b2
bN-1
bN
+
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CONTROL FRACCIONARIO
¿QUÉ ES EL CF? • La historia del cálculo fraccionario comienza con la
historia del cálculo– L’Hôpital a Leibnitz (1695): ¿Podría extenderse el
significado de dny/dxn para el caso de n=1/2?– Leibnitz a L’Hôpital: Ello conduciría a una paradoja,..., de la
cual se podrán extraer consecuencias útiles
• Durante tres siglos se desarrollo como una disciplina puramente matemática (Euler, Lacroix, Riemann, Liouville, ...)
• Primera aplicación en Física: Abel (1820): problema del movimiento tautócrono (integral de Abel)
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CONTROL FRACCIONARIO
¿QUÉ ES EL CF? • Definiciones (Riemann – Liouville):
– Otras definiciones: Weyl (Potencial), Caputo (Condiciones iniciales interpretables).
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CONTROL FRACCIONARIO
¿QUÉ ES EL CF? • Ecuaciones diferenciales de orden
fraccionario (EDOF):
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CONTROL FRACCIONARIO
¿QUÉ ES EL CF? • Función de Mittag-Leffler:
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CONTROL FRACCIONARIO
¿QUÉ ES EL CF? • Ecuaciones diferenciales de orden
fraccionario (EDOF). Solución numérica:– Definición de Gründwald – Letnikov:
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CONTROL FRACCIONARIO
APLICACIONES• Modelado de sistemas físicos: capacidad de modelar
fenómenos de memoria:– Difusión, viscoelasticidad, movimiento browniano anómalo,
dinámica no newtoniana, sistemas de parámetros distribuidos.
– Electroquímica, ciencia de materiales, mecánica y estructuras, termodinámica, electromagnetismo, reología, etc.
• Ingeniería:– Procesado de señal (e imágenes).– Control automático.– Robótica
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APLICACIONES• Control automático:
– Control robusto, óptimo, adaptativo. – Amortiguación activa en vehículos.
• Robótica:– Caracterización y control de brazos robóticos.– Generación y seguimiento de trayectorias.– Evitación de obstáculos.
• Procesado de señal:– Filtrado y estimación.– Ajuste de curvas e identificación de sistemas.– Detección de bordes y suavizado.
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SISTEMAS FRACCIONARIOSModelos
01
01
01
01
........
)()()( βββ
ααα
sbsbsbsasasa
sWsYsF
nn
mm
nn
mm
++++++
==−
−
−
−
DuCxyBuAxxD
+=+=α
( )( )( )( )),(,)(
)(),()('tuxgtytutxftx
fr
fr
=
=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
)(
)(
)()(
1
2)(1
02)(1
1
2)(
02)(
12)(2
21
01
31
txy
xbbx
bb
wbaw
baw
batx
txtx
nnn
nnmnm
tn
tn
n
tn
tn
mt
n
m
=
−−
++=
=
−+−+−
−+−+−−+
−
−
ββββ
βαβαβα&
&
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CONTROL FRACCIONARIO
SISTEMAS FRACCIONARIOSEstabilidad: Superficies de Riemann
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOTrabajos pioneros
• Bode (1945): Amplificadores realimentados: Función de transferencia ideal en lazo abierto: estabilidad relativa independiente de la ganancia ⇒ integrador fraccionario.
• Tustin (1958): control de posición: margen de fase constante sobre un intervalo de frecuencias ⇒ aproximación de la función ideal de Bode – integrador fraccionario.
• Manabe (1961): Integrador fraccionario en control – definición de parámetros característicos en lazo cerrado.
• Carlson y Halijak (1961): Control de servo con integrador fraccionario –Método para implantación analógica.
• Oustaloup y col. (1981): Control CRONE (Control Robusto de Orden No Entero): Diseño sistemático de controladores fraccionarios explotando su robustez.
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOAcciones básicas de control
Acción integral Acción derivativa
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControl robusto (I) – Estabilidad relativa
Plano complejo
Dominio de la frecuencia Dominio del tiempo
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControl robusto (II) - CRONE
Primera generación:Controlador: IF
Tercera generación:Orden complejo
Segunda generación: Lazo abierto: IF
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControl robusto (III) – Amortiguación activa
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControladores PID
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControladores PID – Optimización
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControladores PID - Optimización
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControladores PID - Optimización
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControladores PID – Optimización (Barbosa,
Machado, 2003)
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControladores PID – Autosintonía
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControladores PID – Autosintonía
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Sintonía de (γ,α) para respuestaóptima (rango de velocidadesy amplitudes en consigna)
Modelo de referencia
Control adaptativo – MRAC
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOControl deslizante: Fraccionario en:
• Superficie de deslizamiento• Estructura de control• Pseudosliding
Control Iterativo con aprendizaje
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOGeneración y seguimiento de
trayectorias (I)
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOGeneración y seguimiento de
trayectorias (II)Del potencial de Coulomb al potencial Fraccional
Modificación gradual de la distribución
Modificación gradual del orden de la integral
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOGeneración y seguimiento de
trayectorias (III)Potenciales, mapas y rutas
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOGeneración y seguimiento de
trayectorias (IV)Filtros de Davidson-Cole --- Otros modelos
fraccionales
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIOGeneración y seguimiento de
trayectorias (V)
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CONTROL FRACCIONARIO
APLICACIONESOtras aplicaciones: Sistemas no
lineales
Redes neuronales celulares fraccionarias:• Aplicación a procesado de imágenes
Circuitos caóticos de orden fraccionario•CNNs•Duffing•Chua
Oscilador de Van der Pol
(Ver: P. Arena, R. Caponeto, L. Fortuna, D. Porto, Nonlinear Noninteger Order Circuits and Systems-An Introduction. World Scientific 2000)
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CONTROL FRACCIONARIO
APLICACIONESOtras aplicaciones: Sistemas no
lineales
Oscilador de Van der Pol
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
α
α
dtd
∆α
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Consideraciones generales
• Etapa final para aplicaciones: obtener una forma realizable eficiente de los operadores fraccionales:
– Buena aproximación en su comportamiento temporal y frecuencial– Baja complejidad
• Problema de la implantación ⇒ ventaja del modelado: memoria.• Dos opciones:
– Implantación analógica: redes– Implantación digital: algoritmos (ecuaciones en diferencias)
• Implantación digital ≠ evaluación o aproximación numérica:– Periodo de muestreo– Limitación de memoria
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
DISPOSITIVO
ORDENADOR⇓
DISCRETIZACION
APROXIMACIÓNNUMÉRICA
IMPLANTACIÓNDISCRETA(DIGITAL)
CIRCUITO
IMPLANTACIÓN
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Aproximaciones (I)
• Continuas:– Evaluación de funciones– Interpolación de funciones– Ajuste de curvas
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Aproximaciones (II)
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Aproximaciones (III)
tttftftf
dtd
∆∆−−
≈)()()(
APROXIMACIÓN NUMÉRICA
– INTEGRACIÓN NUMÉRICA– SIMULACIÓN DINÁMICA
• COSTE COMPUTACIONAL (TIEMPO+RECURSOS)
• CONVERGENCIA DEL ALGORITMO
∆t: h: paso ⇒aproximación numética
∆t: T: periodo de muestreo ⇒implantación discreta
⇓PASO
MÉTODOtzzG∆−
=−11)( Función generatriz
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Aproximaciones (III)
IMPLANTACIÓN DIGITAL
–APLICACIONES INGENIERILES EN TR
–FILTROS DIGITALES: Mapa polo-cero: FM+estable; Banda de frecuencias; Tiempo de computación; Requerimientos de memoria
⇓
Función generatriz ⇒ Mapping planos S - ZExpansión: PSE⇒ FIR FILTERS; CFE ⇒ FIR FILTERS
Orden del filtro (complejidad) ⇒ Ancho de banda y rizadoPeriodo de muestreo ⇒ Frecuencia central
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Aproximaciones (III)
• Discretas:– Indirectas: equivalentes
discretos de aproximaciones continuas
– Directas: equivalentes discretos de operadores fraccionarios.
Filtros IIR: funciones racionales
Filtros FIR: polinomios
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CONTROL FRACCIONARIO
OTROS FRACCIONARIOS
Bloqueadores de orden fraccionario (FROH)
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INVESTIGACIÓN EN LA UEX
• Líneas:– Teoría de control: generalización de métodos y estrategias,
estabilidad, estructuras de implantación.– Control de sistemas y procesos: procesos industriales,
servomecanismos.– Robótica móvil: robots móviles y coches: planificación y
seguimiento de trayectorias, control de velocidad.• Proyectos:
– Control fraccionario de procesos industriales (Junta de Extremadura, 2PR02A024, 2002-2005).
– Diseño e implantación de controladores fraccionarios para el control lateral y longitudinal de vehículos autónomos, CICYT, DPI2002-04064-C05-03).
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COLABORACIONES
• Laboratorio de Automática y Producción (LAP), Universidad de Burdeos I (Equipo CRONE), Francia. A. Oustaloup.
• Instituto de Ingeniería de Oporto, Portugal. J. A. Tenreiro Machado.
• Universidad Técnica de Kosice, República Eslovaca. Igor Podlubny.
• Centro de Sistemas Inteligentes y Autoorganizados, Universidad Estatal de Utah, USA. YangQuan Chen.
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PUBLICACIONES Y EVENTOS
• Special Issue of Fractional Order Calculus and Its Applications, Nonlinear Dynamics, Vol. 29, Nos. 1-4 July 2002. J. A. Tenreiro Machado (Ed.).
• Special Issue - Fractional Signal Processing and Applications, Signal Processing, Vol. 83, No. 11 Nov. 2003. M. D. Ortigueira, J. A. Tenreiro Machado (Eds.).
• Monográfico: Cálculo Fraccionario, Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Vol. 98, No. 1 2004. Darío Maravall Casesnoves (Ed.)
• Special Issue of Fractional Order Calculus and Its Applications, Nonlinear Dynamics, 2004. J. A. Tenreiro Machado (Ed.).
• Special Issue - Fractional Signal Processing and Applications, Signal Processing, 2005. M. D. Ortigueira, J. A. Tenreiro Machado (Eds.).
• Fractional Derivatives and their Applications. Tome 1: Mathematical tools, Geometrical and Physical Aspects; Tome 2: Econophysics, mechanics, material modelling, thermal systems, electronics, electrical systems; Tome 3: Systems analysis, implementation and simulation, systems identification and control.
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PUBLICACIONES Y EVENTOS
• Tutorial Workshop on Fractional Calculus Applications in AutomaticControl and Robotics (41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, Diciembre 2002). Blas M. Vinagre, YangQuan Chen (Org.)
• First Symposium on Fractional Derivatives and their Application (ASMEInternational 19th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise, Chicago, Septiembre 2003). O. P. Agrawal, J. Sabatier, J. A. TenreiroMachado (Org.).
• First IFAC Worshop on Fractional Derivatives and Applications, Bordeaux,France, Julio 2004
• Second Symposium on Fractional Derivatives and their Applications(ASME International 19th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise, Long Beach, Septiembre 2005). O. P. Agrawal, J. Sabatier, J. A. Tenreiro Machado (Org.).
• Second IFAC Worshop on Fractional Derivatives and Applications, Porto, Portugal, Julio 2006.
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PARA SABER MÁS
Visitar la páginahttp://mechatronics.ec
e.usu.edu/foc/cdc02_tw2_ln.pdf
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CODATiempo ponderadoFor the pattern is new in every momentAnd every moment is a new and shockingValuation of all we have been,...
(T. S. Eliot, East Coker, I, vv. 85-87)
(Consultar también: Platón, Timeo, 7, 38-39: el tiempo y su medida)
Proyecciones, sombras en los murosTal ciencia sería una mecánica de transformación, y nuestra mecánica de traslación sería un caso particular de ella, una simplificación, una proyección sobre el plano de la pura cantidad.
(H. Bergson, La evolución creadora)
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