fourier lecture notes

Fourier Analysis andConvolution

An Introduction

Michael Shadlen

NB545

January 20, 2003

What is a Fourier Transform?

• Representation of an arbitrary function, f(x), as asum of pure harmonic functions

†

f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . .

= a0 + ak coskx + bk sinkx( )k=1

•

Â

• Transformation of weights of times (or x’s) to aseries of weights of frequency

†

f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . .

f (x) = c0d(x) + c1d(x -1

2p) + c2d(x -

22p

) + ...

Transform: {ci} ¤{ak,bk}

Key properties of pure harmonics

• They are orthogonal∫

0

2psin(kx) sin (lx) dx = 0, k ≠ l

∫0

2pcos(kx) sin (kx) dx = 0• They are complete

No function can be orthogonal to all harmonics• They are convenient

Intuitive, simple, and calculated efficiently

Intensities at time points to“intensities” at frequencies

A signal comprised of sum of 3 sinusoids

Some important examples

Decomposition of a square waveComponents Cumulative sum k

3

9

15

21

27

33

39

45

x or t (0 to 2p or -p to p )

†

f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . . + a9 cos9x + b9 sin9x

Fourier series expansion as weights onsinusoidal basis functions

Visualize the 0th thru 9th components

†

Ê

Ë

Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

†

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

Ê

Ë

Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

†

k = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

†

Ê

Ë

Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

†

b0

b1

b2

b3

b4

b5

b6

b7

b8

b9

Ê

Ë

Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

†

k = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

+f(x) =

†

f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . . + a9 cos9x + b9 sin9x

Fourier series expansion as weights onsinusoidal basis functions

x encodingdimension: 0 to2p

Visualize the 0th thru 9th components

-1 0 +1

=†

Ê

Ë

Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

†

Ê

Ë

Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

†

Ê

Ë

Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

∑=

Fourier decomposition of square wave

How to compute a fourier coefficient

†

f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . .

How do you get the ak and bk in…

Multiply left and right sides by cos(kx) and integrate from 0 to 2p

†

f (x)coskx dx0

2p

Ú = coskx0

2p

Ú a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . . ( ) dx

= coskx ak coskx( ) dx0

2p

Ú

= ak cos2 kx dx0

2p

Ú

= akp

This simplificationcomes from theorthogonal property

Therefore

†

ak =1p

f (x)coskx dx0

2p

Ú

Cosine and sine components