小テスト no...小テスト no.18 図形と方程式 2 点間の距離 年 組 番 名前 ／20...

小テスト No.18 図形と方程式 2 点間の距離

年 組 番 名前 ／20

1. 次の 2点間の距離を求めよ。

(1) A 0, 0£ ¤ ，B 4, 1£ ¤

(2) A P3, 2£ ¤ ，B P7, P4£ ¤ 2. 次の 3点を頂点とする三角形はどのような形の三角形か。

A 0, 2£ ¤ ，B P1, P2£ ¤ ，C 4, 1£ ¤ 3. 2 点A 3, 5£ ¤ ，B 6, P2£ ¤ から等距離にあるx 軸上の点P の座標を求めよ。

小テスト No.19 図形と方程式 内分点・外分点

年 組 番 名前 ／20

1. 2 点A P3, 7£ ¤ ，B 6, 1£ ¤ を結ぶ線分 ABについて，次の点の座標を求めよ。

(1) 2 : 1 に内分する点 P

(2) 2 : 1 に外分する点 Q

(3) 中点M 2. 4 点 A P3, 1£ ¤，B 5, P1£ ¤ ，C 7, 5£ ¤ ，D を頂点とする平行四辺形ABCD について，次

の点の座標を求めよ。 (1) 対角線 ACと BDの交点P

(2) 頂点D 3. 3点A 1, 2£ ¤，B 8, 3£ ¤，C 6, 4£ ¤ を頂点とする4ABC の重心 Gの座標を求めよ。

小テスト No.20 図形と方程式 直線の方程式

年 組 番 名前 ／20

1. 次のような直線の方程式を求め，そのグラフをかけ。

(1) 点 3, P5£ ¤を通り，傾きが 4の直線

(2) 点 2, 3£ ¤を通り，y軸に平行な直線 2. 次の 2点 A，Bを通る直線の方程式を求めよ。

(1) A 0, P2£ ¤，B 4, 6£ ¤

(2) A 3, 6£ ¤，B P5, 6£ ¤

(3) A P4, 6£ ¤，B 1, P2£ ¤ 3. 2 点 4, 0£ ¤， 0, 9£ ¤ を通る直線の方程式を求めよ。

小テスト No.21 図形と方程式 2 直線の関係（1）

年 組 番 名前 ／20

1. 点 2, P5£ ¤を通り，直線 2xOyP1x0 に平行な直線の方程式を求めよ。また，垂直な

直線の方程式を求めよ。 2. 直線 2xO3yP9x0 に関して，点 A 5, 4£ ¤と対称な点 Bの座標を求めよ。

小テスト No.22 図形と方程式 2 直線の関係（2）

年 組 番 名前 ／20

1. 3 直線

xO3yO8x0 ， 2xPyO2x0 ， 3xPyOmx0 が 1点で交わるとき，定数 mの値を求めよ。

2. 次の点と直線の距離を求めよ。

(1) 点 1, 4£ ¤と直線 2xO3yO1x0

(2) 点 5, 3£ ¤と直線 yxP5

小テスト No.23 図形と方程式 円の方程式

年 組 番 名前 ／20

1. 次の円の方程式を求めよ。

(1) 点 P4, 1£ ¤を中心とし，点 3, P2£ ¤を通る円

(2) 2 点 2, 3£ ¤， 4, P5£ ¤ を直径の両端とする円 2. 次の方程式はどのような図形を表すか。

x 2Oy 2PxO5yO2x0 3. 次の 3点を通る円の方程式を求めよ。

A 0, 3£ ¤ ，B P1, 0£ ¤ ，C P3, 4£ ¤

小テスト No.24 図形と方程式 円と直線（1）

年 組 番 名前 ／20

1. 次の直線と円の共有点の座標を求めよ。

xPyP1x0 ，x 2Oy 2x5 2. 直線 yxP2xOk が円 x 2Oy 2x3 と異なる2 点で交わるように，定数 kの値の範囲を

定めよ。

小テスト No.25 図形と方程式 円と直線（2）

年 組 番 名前 ／20

1. 円 x 2Oy 2x4 と直線 2xPyPkx0 が接するように，定数 kの値を定めよ。 2. 円 x 2Oy 2O4xP2yP1x0 と直線 4xO3yP5x0 の 2つの交点を結ぶ線分の長さ lを

求めよ。

小テスト No.26 図形と方程式 円と直線（3）

年 組 番 名前 ／20

1. 次の円上の点 Pにおける接線の方程式を求めよ。

(1) x 2Oy 2x5 ，P 1, 2£ ¤

(2) x 2Oy 2x36 ，P 6, 0£ ¤ 2. 点 2, 6£ ¤を通り，円 x 2Oy 2x20に接する直線の方程式と接点の座標を求めよ。

小テスト No.27 図形と方程式 2 つの円（1）

年 組 番 名前 ／20

1. 点 1, 3£ ¤を中心とし，円 x 2Oy 2x40 に内接する円の方程式を求めよ。 2. 円 x 2Oy 2P2kxO4kyO5k2P9x0 と円 x 2Oy 2x4 が互いに外部にあるとき，定数 k

のとり得る値の範囲を求めよ。

小テスト No.28 図形と方程式 ２つの円（2）

年 組 番 名前 ／20

1. 次の 2つの円の共有点の座標を求めよ。

x 2Oy 2x8，x 2Oy 2O2xP2yP8x0 2. 2つの円 x 2Oy 2P3x0 ， x 2Oy 2P8xP4yO3x0 の交点と点 1, 3£ ¤を通る円の方程式

を求めよ。

小テスト No.29 図形と方程式 軌跡の方程式（1）

年 組 番 名前 ／20

1. 2 点A 3, 0£ ¤ ，B 6, 0£ ¤ に対して，AP : BPx 1 : 2であるような点 Pの軌跡を求めよ。

小テスト No.30 図形と方程式 軌跡の方程式（2）

年 組 番 名前 ／20

1. 2点 A 2, 3£ ¤，B 4, P4£ ¤がある。点 Pが円 x 2Oy 2x4 上を動くとき，4ABPの重心 G

の軌跡を求めよ。

小テスト No.31 図形と方程式 不等式の表す領域

年 組 番 名前 ／20

1. 次の不等式の表す領域を図示せよ。

(1) yuxO2 (2) 3xP6yU2

(3) 4xP7T0 (4) x 2O yP1£ ¤ 2T1

(5) x 2Oy 2O2xP4yO4u0

小テスト No.32 図形と方程式 連立不等式の表す領域（1）

年 組 番 名前 ／20

1. 次の連立不等式の表す領域を図示せよ。

(1) x 2Oy 2t9　　　……①

xP2yO2u0　……②Ç

(2) xPyP1£ ¤ xO2yP1£ ¤T0

小テスト No.33 図形と方程式 連立不等式の表す領域（2）

年 組 番 名前 ／20

1. 点 x, y£ ¤が連立不等式

xU0 ， yU0 ， xPyP1T0 ， 2xO3yP12T0 の表す領域 Dを動くとき，次の式の最大値と最小値を求めよ。

(1) xOy (2) 2yPx

小テスト解答 No.18 図形と方程式 2 点間の距離 1. (1) ABx 42O12 x 17

(3 点)

(2) ABx P7P P3£ ¤« ¬ 2O P4P2£ ¤ 2 x 52x2 13 (3 点)

2. ABx P1P0£ ¤ 2O P2P2£ ¤ 2 x 17

BCx 4P P1£ ¤« ¬ 2O 1P P2£ ¤« ¬ 2 x 34 CAx 0P4£ ¤ 2O 2P1£ ¤ 2 x 17 であるから

ABxCA ， AB2OCA2xBC2 よって，4ABC は {Aを直角とする直角二等辺三角形である。

(7 点) 3. 点P の座標を x, 0£ ¤ とする。

APxBP より AP2xBP2

よって xP3£ ¤ 2O 0P5£ ¤ 2x xP6£ ¤ 2O 0P P2£ ¤« ¬ 2

これを解くと xx1

すなわち P 1, 0£ ¤

(7 点)

小テスト解答 No.19 図形と方程式 内分点・外分点 1. (1) P x, y£ ¤とすると

xx1 @ P3£ ¤O2 @ 6

2O1x3， yx

1 @ 7O2 @ 12O1

x3

したがって，求める点 Pの座標は 3, 3£ ¤である。 (3 点)

(2) Q x ,́ y´£ ¤とすると，

x´xP1 @ P3£ ¤O2 @ 6

2P1x15， y´x

P1 @ 7O2 @ 12P1

xP5

したがって，求める点 Qの座標は 15, P5£ ¤である。 (3 点)

(3) M x´́ , y´́£ ¤とすると，

x´́xP3O6

2x

32， y´́x

7O12

x4

したがって，求める点 Mの座標は32, 4Ã Äである。

(3 点) 2. (1) 点 Pの座標を a, b£ ¤とすると，対角線 ACの中点が点 Pであるから

axP3O7

2x2， bx

1O52

x3

したがって，交点 Pの座標は 2, 3£ ¤である。 (3 点)

(2) 点 Dの座標を c, d£ ¤とすると，対角線 BDの中点が点 Pであるから 5Oc2

x2， P1Od

2x3

したがって cxP1，dx7

頂点 Dの座標は P1, 7£ ¤である。 (4 点)

3. 重心 Gの座標を x, y£ ¤とすると

xx1O8O6

3x5 ， yx

2O3O43

x3

すなわち G 5, 3£ ¤

(4 点)

小テスト解答 No.20 図形と方程式 直線の方程式 1. (1) 求める直線の方程式は

yP P5£ ¤x4 xP3£ ¤ より すなわち

yx4xP17 そのグラフは，右のようになる。

(4 点)

(2) 点 2, 3£ ¤ を通り，y 軸に平行な直線である

から求める方程式は xx2

そのグラフは，右のようになる。

(4 点)

2. (1) yP P2£ ¤x 6P P2£ ¤4P0

xP0£ ¤

すなわち yx2xP2 (3 点)

(2) yP6x6P6

P5P3xP3£ ¤

すなわち yx6 (3 点)

(3) yP6xP2P61P P4£ ¤ xP P4£ ¤« ¬

すなわち yxP85xP

25

(3 点)

3. x4O

y9x1

(3 点)

小テスト解答 No.21 図形と方程式 2 直線の関係(1) 1. 直線 2xOyP1x0 を lとすると，lの傾きはP2 である。

よって，lに平行な直線の傾きはP2であるから，点 2, P5£ ¤を通り，lに平行な直線の

方程式は yP P5£ ¤xP2 xP2£ ¤

すなわち 2xOyO1x0 ……答 (5 点)

また，lに垂直な直線の傾きを mとすると P2mxP1

すなわち mx12

点 2, P5£ ¤を通り，lに垂直な直線の方程式は

yP P5£ ¤x 12

xP2£ ¤

すなわち xP2yP12x0 ……答 (5 点)

2. 直線 2xO3yP9x0を lとし，点 Bの座標を a, b£ ¤とする。

直線 lの傾きは P23

直線 ABの傾きは bP4aP5

l=ABであるから

P23Ã Ä @ bP4

aP5xP1

すなわち 3aP2bP7x0 ……①

また，線分 ABの中点aO52

,bO42Ã Äは

l上にあるから

2 @aO52Ã ÄO3 @

bO42Ã ÄP9x0

すなわち 2aO3bO4x0 ……②

①，②より ax1 ，bxP2

したがって，点 Bの座標は 1, P2£ ¤ (10 点)

小テスト解答 No.22 図形と方程式 2 直線の関係(2) 1. 連立方程式

xO3yO8x02xPyO2x0Ç

を解くと xxP2 ，yxP2

よって，交点の座標は P2, P2£ ¤

直線 3xPyOmx0 が点 P2, P2£ ¤を通るから 3 @ P2£ ¤PP2£ ¤Omx0

したがって mx4

(10 点) 2. (1) 求める距離 dは

dx2 @ 1O3 @ 4O1

22O32x

15

13x

15 1313

(5 点)

(2) 直線の方程式 yxP5を変形すると 0xO yO5x0

よって，求める距離 d´は

d´x0 @ 5O1 @ 3O5

02O12x

81 x8

(別解) 右の図より，求める距離は8

(5 点)

小テスト解答 No.23 図形と方程式 円の方程式 1. (1) 求める円の半径は 3O4£ ¤ 2O P2P1£ ¤ 2 x 58

したがって，この円の方程式は xO4£ ¤ 2O yP1£ ¤ 2x58

(4 点)

(2) 求める円の中心の座標は 2O42

,3P52Ã Ä

すなわち 3, P1£ ¤ また，半径は 2P3£ ¤ 2O 3O1£ ¤ 2 x 17 したがって，この円の方程式は

xP3£ ¤ 2O yO1£ ¤ 2x17 (4 点)

2. この方程式を変形すると x 2Px£ ¤O y 2O5y£ ¤xP2

xP12Ã Ä 2

P12Ã Ä 2

O yO52Ã Ä 2

P52Ã Ä 2

xP2

xP12Ã Ä 2

O yO52Ã Ä 2

x92

ここで 92x

92Ã Ä 2

x3 22

Ã Ä 2

よって，この方程式は点12, P

52Ã Äを中心とする半径 3 2

2の円を表す。

(5 点) 3. 求める円の方程式を x2Oy 2OlxOmyOnx0 とおく。

これが点 A 0, 3£ ¤を通るから 02O32Ol @ 0Om @ 3Onx0 すなわち

9O3mOnx0 ……① 同様に点 B P1, 0£ ¤，C P3, 4£ ¤ を通るから

P1£ ¤ 2O02Ol @ P1£ ¤Om @ 0Onx0 P3£ ¤ 2O42Ol @ P3£ ¤Om @ 4Onx0

すなわち 1PlOnx0 ……② 25P3lO4mOnx0 ……③

①，②，③より lx4，mxP4 ，nx3 よって，求める円の方程式は x 2Oy 2O4xP4yO3x0

(7 点)

小テスト解答 No.24 図形と方程式 円と直線(1) 1. 共有点の座標は次の連立方程式の実数解として得られる。

xPyP1x0 ……①

x 2Oy 2x5 ……②Ç

①より yxxP1 ……③ ③を②に代入すると

x 2O xP1£ ¤ 2x5 整理すると

x 2PxP2x0 これを解くと

xx2，P1 ③より，xx2のとき yx1

xxP1 のとき yxP2 よって，求める座標は 2, 1£ ¤， P1, P2£ ¤ である。

(10 点) 2. 連立方程式

x 2Oy 2x3 ……①

yxP2xOk ……②Ç

において，②を①に代入すると x 2O P2xOk£ ¤ 2x3

すなわち 5x 2P4kxOk2P3x0 ……③

この 2次方程式の判別式をD とすると D4x P2k£ ¤ 2P5 k 2P3£ ¤xPk 2O15

2次方程式③が異なる 2つの実数解をもつ条件は，D4u0であるから

Pk2O15u0 すなわち

kO 15£ ¤ kP 15£ ¤t0 したがって

P 15tkt 15 (10 点)

小テスト解答 No.25 図形と方程式 円と直線(2) 1. 円の中心 0, 0£ ¤と直線 2xPyPkx0の距離 dが 2であればよい。

dx2 @ 0P0Pk

22O P1£ ¤ 2 xk

5x2

すなわち kx2 5 したがって kxE2 5 (別解)

連立方程式 x 2Oy 2x4 ……①

2xPyPkx0 ……②Ç

において，②より yx2xPk これを①に代入して x 2O 2xPk£ ¤ 2x4 すなわち 5x 2P4kxOk2P4x0 ……③ この 2次方程式の判別式をD とすると

D4x P2k£ ¤ 2P5 k 2P4£ ¤xPk 2O20

2次方程式③が重解をもつ条件は，D4x0であるから

Pk2O20x0 すなわち

k2x20 したがって

kxE2 5 (8 点)

2. 円の方程式を変形すると

xO2£ ¤ 2O yP1£ ¤ 2x6 円の中心 P2, 1£ ¤と直線 4xO3yP5x0 の距離 dは

dx4 @ P2£ ¤O3 @ 1P5

42O32x2

また，円の半径 rは rx 6

であるから，三平方の定理により 12lx r 2Pd 2 x 6£ ¤ 2P22 x 2

ゆえに，求める線分の長さ lは lx2 2

(12 点)

小テスト解答 No.26 図形と方程式 円と直線(3) 1. (1) 求める接線の方程式は

1 @ xO2 @ yx5 よって xO2yx5

(3 点)

(2) 求める接線の方程式は 6 @ xO0 @ yx36

よって xx6 (3 点)

2. 接点の座標を x 1, y 1£ ¤とすると，接線の方程式は

x 1xOy 1yx20 ……① これが点 2, 6£ ¤を通るから

2x 1O6y 1x20 これより x 1x10P3y 1 ……② また， x 1, y 1£ ¤は円上の点であるから

x 21Oy 2

1x20 ……③ ②を③に代入すると

10P3y 1£ ¤ 2Oy 21x20

整理すると y 2

1P6y 1O8x0 y 1P2£ ¤ y 1P4£ ¤x0

これを解くと y 1x2，4

②より，y 1x2のとき x 1x4 y 1x4のとき x 1xP2

したがって，求める接線は 2本あり，①よりその方程式と接点の座標は 接線 2xOyx10， 接点の座標 4, 2£ ¤ 接線 xP2yxP10， 接点の座標 P2, 4£ ¤

(14 点)

小テスト解答 No.27 図形と方程式 2 つの円(1) 1. 円 x 2Oy 2x40 は中心が原点，半径が 2 10 の円である。

2 つの円の中心間の距離は 13O32 x 10

よって，求める円の半径は 2 10P 10x 10

ゆえに，求める円の方程式は xP1£ ¤ 2O yP3£ ¤ 2x10

(10 点) 2. 円 x 2Oy 2x4 は中心が原点，半径が 2の円である。

また，円 x 2Oy 2P2kxO4kyO5k2P9x0 の方程式を変形すると x 2P2kx£ ¤O y 2O4ky£ ¤xP5k2O9 xPk£ ¤ 2Pk2O yO2k£ ¤ 2P4k2xP5k2O9 xPk£ ¤ 2O yO2k£ ¤ 2x9

よって，この方程式は中心が点 k, P2k£ ¤，半径が 3の円を表す。 2つの円の中心間の距離は

k 2O P2k£ ¤ 2 x 5k 2 kU0のとき 5k 2 x 5 k kt0のとき 5k 2 xP 5 k 2つの円が互いに外部にあるので kU0のとき 5 ku2O3x5

ku 5 kt0のとき P 5 ku5

ktP 5 よって，kのとり得る値の範囲は

ku 5 または ktP 5 (10 点)

小テスト解答 No.28 図形と方程式 2 つの円(2) 1. 求める共有点の座標は次の連立方程式の実数解として得られる。

x 2Oy 2x8 ……①

x 2Oy 2O2xP2yP8x0 ……②Ç

①－②より P2xO2yO8x8

すなわち yxx ……③

③を①に代入すると x 2Ox 2x8

整理すると x 2x4

これを解くと xxE2

③より xx2のとき yx2 xxP2のとき yxP2

よって，共有点の座標は 2, 2£ ¤， P2, P2£ ¤ (10 点)

2. kを定数として，2つの円の交点を通る円の方程式を

k x 2Oy 2P3£ ¤O x 2Oy 2P8xP4yO3£ ¤x0 ……① とおく。 ①に xx1，yx3を代入すると

7kP7x0 より kx1 これを①に代入して整理すると，求める円の方程式は

x 2Oy 2P4xP2yx0 (10 点)

小テスト解答 No.29 図形と方程式 軌跡の方程式(1) 1. 点 Pの座標を x, y£ ¤とする。

AP : BPx1 : 2 よって 2APxBP 両辺を2 乗すると

4AP2xBP2 すなわち

4 xP3£ ¤ 2Oy 2« ¬x xP6£ ¤ 2Oy 2 整理すると

x 2P4xOy 2x0 xP2£ ¤ 2Oy 2x22

ゆえに，点 Pの軌跡は中心 2, 0£ ¤，半径 2の円である。 (20 点)

小テスト解答 No.30 図形と方程式 軌跡の方程式(2) 1. 4ABPの重心 Gの座標を x, y£ ¤とする。また，点 Pの座標を s, t£ ¤とすると，これは

円 x 2Oy 2x4 上の点であるから s 2Ot 2x4 ……①

Gは4ABPの重心であるから

xx2O4Os

3，yx

3P4Ot3

すなわち sx3xP6 ，tx3yO1 ……②

②を①に代入すると 3xP6£ ¤ 2O 3yO1£ ¤ 2x4

すなわち

xP2£ ¤ 2O yO13Ã Ä 2

x23Ã Ä 2

ゆえに，点 Gの軌跡は，中心 2, P13Ã Ä，半径

23の円である。

(20 点)

小テスト解答 No.31 図形と方程式 不等式の表す領域 1. (1) 直線 yxxO2 の上側である。ただし境界線は含まない。 (4 点)

(2) 直線 yx12xP

13

の下側である。ただし，境界線を含む。 (4 点) (3) 直線 xx

74

の左側である。ただし，境界線を含む。 (4 点) (4) 円 x 2O yP1£ ¤ 2x1 の内部である。ただし，境界線を含む。 (4 点) (5) 円 xO1£ ¤ 2O yP2£ ¤ 2x1の外側である。ただし，境界線を含まない。 (4 点)

(1) (2) (3) (4) (5)

小テスト解答 No.32 図形と方程式 連立不等式の表す領域(1) 1. (1) ①の表す領域は

円 x 2Oy 2x9 の内部 ②より

yx12xO1

よって，②の表す領域は

直線 yx 12xO1 の下側

与えられた連立不等式の表す領域は，①，②

の表す領域の共通部分であるから，図の斜線

部分となる。ただし，境界線は含まない。 (10 点)

(2) 与えられた不等式は

xPyP1U0

xO2yP1T0Ç

すなわち yTxP1

yTP12xO

12

Ç ……①

または xPyP1T0

xO2yP1U0Ç

すなわち yUxP1

yUP12xO

12

Ç ……②

が成り立つことと同値である。 ①の表す領域をA，②の表す領域をBとすると，求める領域は，A とB の和集合

A>B である。 これを図示すると，上の図の斜線部分となる。 ただし，境界線を含む。

(10 点)

小テスト解答 No.33 図形と方程式 連立不等式の表す領域(2) 1. (1) 連立不等式を満たす領域Dは，右の図のよ

うに，O 0, 0£ ¤，A 1, 0£ ¤，B 3, 2£ ¤，C 0, 4£ ¤を頂点とする四角形の内部および周である。 xOyxk とおくと

yxPxOk ……① よって，①は傾きがP1，y 切片が kの直

線である。この直線①が領域Dと共有点を

もつような kの最大値と最小値を求める。 図より，kの値が最大になるのは直線①が

頂点 Bを通るときであり，最小になるのは，

直線①が原点 Oを通るときである。 したがって，xOyは xx3，yx2 のとき 最大値 5

xx0，yx0のとき 最小値 0 をとる。

(10 点)

(2) 2yPxxk とおくと

yx12xO

k2

……②

よって，②は傾きが12，y 切片が

k2

の直

線である。この直線②が領域Dと共有点を

もつような kの最大値と最小値を求める。 図より，kの値が最大になるのは直線②が

頂点 Cを通るときであり，最小になるのは，

直線②が頂点 Aを通るときである。 したがって，2yPxは xx0 ，yx4 のとき 最大値 8

xx1 ，yx0のとき 最小値P1 をとる。

(10 点)