feedback linear control of coupled tanks

การควบคมปอนกลบเชงเสนของระบบถงค

Feedback Linear Control of Coupled Tanks

นางสาวจารมาศ กสบตร

นางสาวรศม นยจตร

นางสาวจตรลดา แกวเกด

โครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรบณฑต

สาขาคณตศาสตรประยกต ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

การควบคมปอนกลบเชงเสนของระบบถงค

Feedback Linear Control of Coupled Tanks

นางสาวจารมาศ กสบตร

นางสาวรศม นยจตร

นางสาวจตรลดา แกวเกด

โครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรบณฑต

สาขาคณตศาสตรประยกต ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

ลขสทธของภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรประยกต

มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

การควบคมปอนกลบเชงเสนของระบบถงค

Feedback Linear Control of Coupled Tanks

นางสาวจารมาศ กสบตร

นางสาวรศม นยจตร

นางสาวจตรลดา แกวเกด

โครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรบณฑต

สาขาคณตศาสตรประยกต ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

ลขสทธของภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรประยกต

มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

ก

บทคดยอ

ระบบควบคมแบบถงคเปนระบบควบคมทางวศวกรรมทมความสาคญและไดถกนาไประยกต

ใชกบการควบคมระดบของของเหลวในถงคในอตสาหกรรมทางเคม ระบบควบคมแบบถงคสามารถ

เขยนใหอยในรปสมการเชงอนพนธไดโดยจะอยในรปสมการเชงอนพนธสามญทไมเปนเชงเสน ใน

โครงงานนเราไดศกษาการควบคมระบบถงคโดยใชวธการควบคมปอนกลบเชงเสน และวเคราะหความ

เสถยรภาพของจดสมดล วธการควบคมชนดนสามารถเปลยนระบบสมการเชงอนพนธสามญทไมเปน

เชงเสนใหเปนระบบสมการทเปนเชงเสนได จากนนเราสามารถหาคาตอบของระบบสมการทไดถก

แปลงใหเปนเชงเสนแลวและสามารถวเคราะหพฤตกรรมของคาตอบของระบบสมการรอบๆจดสมดล

ได นอกจากนโครงงานยงมการประยกตใชโปรแกรม Scilab เพอหาคาตอบเชงตวเลขของระบบ

ควบคมถงค เพออธบายถงการเปลยนแปลงของอตราการไหลและระดบความสงของของเหลวอกดวย

ข

Abstract

The control system of coupled tanks is an important system in control

engineering systems and was applied to liquid level controls in chemical industries.

The level control in coupled tanks can be written in nonlinear ordinary differential

equations (ODEs). In this project, we study the liquid control of coupled tanks by

using the feedback linearization control method. This control approach can transform

a system of nonlinear differential equations to a system of linear differential

equations. Later, we find solutions of the linearied system and analize behavior of

solutions around the equilibrium. In addition, this project applies the Scilab program

to find solutions of the level control of coupled tanks and we use these solutions to

describe flow rates and liquid levels.

ค

กตตกรรมประกาศ

โครงงานเรองการควบคมปอนกลบเชงเสนของระบบถงคสาเรจลลวงไดดวยดดวย

ความอนเคราะห และการสนบสนนจากหลายฝายดวยกน ขอขอบพระคณ ดร. ชตพนธ ภกดบญ ซง

เปนทปรกษาในการทาโครงงานครงน ไดใหแนวคด คาแนะนาในการดาเนนงานตงแตตน รวมทงชแจง

ขอบกพรองทเกดขนในการดาเนนงานพรอมทงชวยแกไขขอผดพลาดตางๆทเกดขนดวยดตลอดมา

และขอขอบพระคณ ดร. จราภรณ รนสมฤทธ และ อาจารยอนชต จตพฒนกล ทใหคาแนะนาในการ

แกไขและปรบปรงโครงงานนใหมความสมบรณยงขน

ขอขอบพระคณทานคณาจารยภาควชาคณตศาสตรทกทาน ทไดประสทธประสาท

ความรตางๆอบรมสงสอนใหมความสามารถ มความมานะ อดทน จนสามารถทาใหโครงงานชนน

สาเรจเปนทนาพอใจ สดทายนขอขอบคณเพอนๆและผทเกยวของทใหความชวยเหลอ ซงเปนกาลงใจ

ทสาคญใหการทาโครงงานครงนสาเรจไดดวยด

นางสาวจารมาศ กสบตร

นางสาวรศม นยจตร

นางสาวจตรลดา แกวเกด

ง

สารบญ

หนา

บทคดยอภาษาไทย ก

บทคดยอภาษาองกฤษ ข

กตตกรรมประกาศ ค

บทท 1 บทนา

1.1 ความเปนมาและความสาคญของการควบคมปอนกลบเชงเสน 1

ของระบบถงค

1.2 วตถประสงค 1

1.3 ขอบเขตของการดาเนนงาน 2

1.4 วธการดาเนนงาน 2

1.5 ประโยชนทไดรบ 2

บทท 2 บทนยาม ทฤษฎ และเอกสารทเกยวของ

2.1 ระบบไดนามก (Dynamic System) 3

2.1.1 ระบบสมการเชงเสน (Linear System) 3

2.1.2 ระบบแบบสมการเชงเสนทแปรเปลยนตามเวลา 4

และไมแปรเปลยนตามเวลา

2.1.3 ระบบสมการไมเชงเสน 4

จ

สารบญ (ตอ)

หนา

2.2 ระบบควบคมเชงเสน 4

2.2.1 การออกแบบโดยใชวธปรภมสถานะ 4

(State Space Approach)

2.2.2 การแปลงลาปลาส (Laplace Transform) 7

2.2.3 ทรานเฟอรฟงกชน (Transfer Functions) 10

2.3 ตวควบคมเชงเสน 13

2.3.1 ประเภทของการควบคม 13

2.3.2 ขอด-ขอดอยของตวควบคมแตละประเภท 16

2.4 การหาจดสมดลของสมการเชงอนพนธ 17

2.4.1 พจารณาจดสมดลของระบบไมเชงเสน 17

ในสมการเชงอนพนธทตอเนอง n สมการ

2.4.2 การวเคราะหจดสมดลดวยกระบวนการเชงเสน 17

บทท 3 วธการดาเนนงาน

3.1 แบบจาลองของระบบถงค (Twin-Tanks Model) 22

3.2 ระบบควบคมแบบปอนกลบเชงเสน 23

(Feedback Linear Control)

3.3 การวเคราะหความเสถยรภาพ 25

ฉ

สารบญ (ตอ)

หนา

บทท 4 ผลการดาเนนงานและขอเสนอแนะ

4.1 ผลจากการใชโปรแกรม Scilab เพอแกระบบสมการ 30

4.2 สรปผล 39

บรรณานกรม 40

[1]

บทท 1

บทนา

1.1 ความเปนมาและความสาคญของการควบคมปอนกลบเชงเสน

ระบบควบคมระดบของของเหลวถกใชกนอยางแพรหลายในอตสาหกรรมเคม ระบบควบคม

ระดบของเหลวทใชกนโดยทวไปคอระบบถงค หลกการทสาคญในระบบควบคมถงคกคอ ระดบ

ของของเหลวและอตราการไหลของของเหลวในถงทงสองถงจะถกควบคมไปพรอมๆกนเพอให

อตราการไหลของของเหลวและระดบของของเหลวเปนไปตามทตองการ ระบบควบคมนถกใช

อยางแพรหลายในอตสาหกรรมทเกยวของกบการควบคมของของเหลว เชน อตสาหกรรมปโตร

เคม, อตสาหกรรมบาบดนาเสย, อตสาหกรรมการทากระดาษ

ในระบบการควบคมระบบถงค มกจะใชการควบคมแบบปอนกลบเชงเสน [ ] [ ] [ ]1 , 2 , 3 และ

สไลดดงโหมด [ ] [ ]4 , 5 วธการควบคมระดบของของเหลวทใชในโครงงานน คอ การควบคมแบบ

ปอนกลบเชงเสน (Feedback Linear Control) การทาปอนกลบเชงเสนเปนวธการทใชกนอยาง

แพรหลายสาหรบควบคมระบบควบคมทไมเปนเชงเสน ซงรายละเอยดของวธการนผอานสามารถ

ศกษาเพมเตมไดใน [ ]6 การควบคมแบบปอนกลบเชงเสนนเปนวธทงายและสะดวกในการ

ประยกตใชกบระบบเชงพลวต ซงเปนเหตผลทสาคญทเราเลอกใชวธการนสาหรบควบคมระบบถง

คในโครงงานน

1.2 วตถประสงค

1.2.1 ศกษาระบบควบคมระดบของของเหลวในถงค

1.2.2 ศกษาวธการควบคมแบบปอนกลบเชงเสน (Feedback Linear Control)

1.2.3 ศกษาการหาคาตอบของระบบปด ( ระบบภายใตการควบคม ) โดยใชโปรแกรม Scilab

พรอมทงวาดกราฟของคาตอบ

1.2.4 วเคราะหความเสถยรภาพของจดสมดลของระบบถงคภายใตการควบคมแบบปอนกลบเชง

เสน

[2]

1.3 ขอบเขตของการดาเนนงาน

ศกษาระบบควบคมระดบของของเหลวในถงค โดยใชวธการควบคมแบบปอนกลบเชงเสน

แลววเคราะหความเสถยรภาพของระบบถงค และหาคาตอบของระบบปดโดยใชโปรแกรม Scilab

1.4 วธการดาเนนงาน

1.4.1 ศกษาระบบควบคมแบบปอนกลบเชงเสนแบบถงค

1.4.2 วเคราะหความเสถยรภาพของระบบถงคภายใตตวควบคม

1.4.3 แกระบบสมการเพอหาคาตอบของระบบควบคมแบบปอนกลบเชงเสน

1.4.4 ประยกตใชโปรแกรม Scilab หาคาตอบเชงตวเลขพรอมทงวาดกราฟของคาตอบ เพออธบาย

ถงอตราการไหลของของเหลว

1.5 ประโยชนทไดรบ

1.5.1 ไดตวควบคมระบบถงค ซงพฒนามาจากวธการควบคมปอนกลบเชงเสน

1.5.2 เขาใจการวเคราะหความเสถยรภาพและการหาคาตอบของระบบควบคมแบบปอนกลบเชง

เสนสาหรบถงคในกระบวนการทางอตสาหกรรม

1.5.3 ไดประยกตใชโปรแกรม Scilab เพอหาคาตอบของระบบควบคมแบบปอนกลบเชงเสน

[3]

บทท 2

บทนยาม ทฤษฎ และเอกสารทเกยวของ

2.1 ระบบไดนามก

ระบบไดนามก (Dynamic System) ไมวาจะเปนระบบทางกล ทางไฟฟา ความรอน เคม

หรอเศรษฐศาสตร เราสามารถแทนหรอบรรยายพฤตกรรมของระบบเหลานนดวยสมการเชงอนพนธ

ซงสมการเหลานนสวนใหญมาจากกฎทางฟสกสทเกยวของกบระบบนนๆ เชน กฎของโอหม กฎของ

เคอรชอฟฟ สาหรบระบบไฟฟา และกฎของนวตน สาหรบระบบทางกล

การบรรยายคณลกษณะทางไดนามกของระบบหนง ๆ ดวยวธการทางสมการคณตศาสตร

เรยกวา การจาลองระบบดวยแบบจาลองเชงคณตศาสตร (Mathematical Model) โดยทวไปจะใช

วธการแทนคาพารามเตอรในระบบดวยสมการเชงอนพนธสามญ จากนนใชการแปลงลาปลาส เพอหา

ความสมพนธระหวางสมการทางอนพตกบสมการทางเอาทพต ซงอยใน s โดเมน ผลลพธทไดจะ

เรยกวาทรานเฟอรฟงกชน และนาผลลพธทไดนไปใชในการวเคราะหระบบตอไป

ดงนน การจาลองระบบดวยสมการคณตศาสตรทดจะตองเขาใจงาย มความแมนยาใหผล

ใกลเคยงกบระบบจรง การจาลองระบบจงมความสาคญมากในการวเคราะหระบบตอไป

2.1.1 ระบบสมการเชงเสน (Linear System)

การจาลองระบบดวยสมการคณตศาสตร สมการเหลานนจะมคณสมบตเปนสมการอนพนธ

สามญเชงเสนถาสมประสทธของสมการเปนคาคงท คณสมบตทสาคญในการพจารณาระบบวาเปนเชง

เสนหรอไมเชงเสนนน จะพจารณาจากหลกการเปนเชงเสนของสมการเชงอนพนธทอยในระบบ ดงน

1) ทก ๆ ตวแปรตามและอนพนธของตวแปรตามมเลขชกาลงเปน 1 เทานน

2) ไมมพจนในรปผลคณของตวแปรตาม หรอ อนพนธของตวแปรตามปรากฏในสมการ

[4]

3) ไมมพจนในรปฟงกชนอดศยของตวแปรตามหรออนพนธของตวแปรตามปรากฏในสมการ

และเรยก สมการเชงอนพนธท ไม เปนเชงเสนวา สมการไม เ ชงเสน (nonlinear

equation)

2.1.2 ระบบสมการเชงเสนทแปรเปลยนตามเวลา และไมแปรเปลยนตามเวลา

เราอาจแบงระบบตามลกษณะสมการทใชแทนระบบไดดงน เชน สมการ

( )2

2

d x dxa b c f tdt dt

+ + =

ถาคา , ,a b c เปนคาคงทเราเรยกสมการนวา สมการเชงเสนทไมแปรเปลยนตามเวลา

(Linear time invarient systems)

ถาคา , ,a b c เปนฟงกชนหรอแปลงคาไดเมอเวลา t เปลยนไป จะเรยกสมการนวา สมการ

เชงเสนทแปรเปลยนตามเวลา (Linear time varying systems)

2.1.3 ระบบสมการไมเชงเสน

สมการทไมสอดคลองกบเงอนไขของระบบสมการเชงเสน (ในหวขอ 2.1.1) เรยกวา ระบบ

สมการไมเชงเสน ดงตวอยาง

2 sinyy y x′ + =

2.2 ระบบควบคมเชงเสน

2.2.1 การออกแบบโดยใชวธปรภมสถานะ (State Space Approach)

วธการออกแบบโดยใชวธปรภมสถานะมขอดดงตอไปน

- ใชงานไดกบระบบหลายอนพตและหลายเอาตพต (Multiple-input multiple-output

system)

- สามารถใชกบระบบทใชการออกแบบในโดเมนของความถ (โดเมน s ) ได

รปแบบโดยทวไปของปรภมสถานะ

x Ax Bu= + ( )2 3−

y Cx= ( )2 4−

(2 1)−

(2 2)−

[5]

nx∈ คอ เวกเตอรสถานะ (State Vector)

nx∈ คอ อนพนธของเวกเตอรสถานะทเทยบกบเวลา

my∈ คอ เวกเตอรของผลลพธ

mu∈ คอ เวกเตอรของตวควบคม n mA ×∈ คอ เมทรกซคาคงทของระบบ n mB ×∈ คอ เมทรกซคาคงทของตวควบคม m nC ×∈ คอ เมทรกซคาคงทของผลลพธ

สมการท (2 3)− เรยกวาสมการสถานะ (state equation) และสมการท (2 4)− เรยกวาสมการ

ผลลพธ (output equation) สมการท (2 3)− สามารถแสดงอยในรประบบสมการเชงอนพนธสามญ

อนดบ 1 จานวน n สมการดงน

111 1 1 11 1 1

221 1 2 21 1 2

1 1 1 1

n n m m

n n m m

nn nn n n nm m

dx a x a x b u b udtdx a x a x b u b udt

dx a x a x b u b udt

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

เมตรกซและเวกเตอรตางๆ ของสมการสถานะขางตน คอ

เมทรกซคาคงทของระบบ

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

=

เวกเตอรสถานะ

1

2

n

xx

X

x

=

(2 5)−

[6]

อนพนธของเวกเตอรสถานะทเทยบกบเวลา

1

2

n

xx

X

x

=

เมทรกซคาคงทของตวควบคม

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

n n nm

b b bb b b

B

b b b

=

เวกเตอรของตวควบคม

1

2

r

uu

u

u

=

สมการผลลพธ (output equation) แสดงในรประบบสมการเชงเสน m สมการดงน

1 11 1 1

2 21 1 2

1 1

n n

n n

m m mn n

y c x c xy c x c x

y c x c x

= + += + +

= + +

เมตรกซตางๆ ของสมการผลลพธคอ

เวกเตอรของผลลพธ

1

2

n

yy

y

y

=

(2 6)−

[7]

เมทรกซคาคงทของผลลพธ

11 12

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

c c cc c c

C

c c c

=

การสรางแบบจาลองในปรภมสถานะ (state space) นนตองมการกาหนดตวแปรสถานะ

(state variable) ซงมหลายวธ การเลอกตวแปรนนตวแปรแตละตวตองเปนเชงเสนและเปนอสระตอ

กน ดงนนในระบบหนงสามารถเลอกตวแปรสถานะ (state variable) ไดหลายแบบ ทาใหไดสมการ

สถานะทตางกน

2.2.2 การแปลงลาปลาส

การแปลงลาปลาส (Laplace Transform) เปนพนฐานทตองใชในการสราง

แบบจาลองทางคณตศาสตรของระบบทเราตองการศกษา เนองจากระบบทแสดงดวยสมการเชง

อนพนธในสมยกอนนนยากทจะจาลองและวเคราะห ดงนนจงมการนาการแปลงลาปลาส (Laplace

Transform) เขามาเกยวของโดยเปนเครองมอในการแปลงสมการในโดเมนเวลาเปนสมการในโดเมน

ความถหรอ s โดเมน เมอ s jσ ω= +

การแปลงลาปลาส (Laplace Transform) แสดงไดโดยความสมพนธ

( ) ( ) ( )0

stL f t F s f t e dt∞

−= = ∫

ในการแปลงฟงกชนในโดเมนความถใหกลบไปสโดเมนของเวลาไดนน เราจะใชวธการแปลง

ผกผนลาปลาส (Inverse Laplace Transform)

( ) ( )1 12

jst

j

L F s F s e dsj

ς

ςπ

− ∞−

− ∞

= ∫

การแปลงผกผนลาปลาซ (Inverse Laplace Transform) โดยการแยกเศษสวนยอย (Partial

Fraction Expansion) กาหนดให ( ) ( )( )

N sF s

D s= เมอกาลงสงสด (order) ของ ( )N s นอย

กวา เมอกาลงสงสดของ ( )D s

(2 7)−

(2 8)−

[8]

กรณท 1 รากของสวน ( )( )D s ของฟงกชน ( )F s เปนคาจรงทแตกตางกน

( ) ( )( )( ) ( )( )1 2 m n

N sF s

s p s p s p s p=

+ + + +

จากสมการ ( )2 9− สามารถเขยนอยในรปการบวกไดดงน

( ) 1 2

1 2

m n

m n

K KK KF ss p s p s p s p

= + + + ++ + + +

คา nK หาไดโดยคณสมการ ( )2 10− ดวย ( )ms p+ แลวแทน ms P= −

( )( )( ) ( )1 2

m

mn s p

N sK

s p s p s p=−

=+ + +

เมอไดคา K ทกคาแลวนาไปแทนกลบในสมการ ( )2 10− แลวทาการแปลงผกผนลาปลาส

(Inverse Laplace Transform) จะได

( ) 1 21 2

m np t p tp t p tm nf t K e K e K e K e− −− −= + + + +

กรณท 2 รากของตวสวน ( )( )D s เปนคาจรงและซากนสามารถแสดงไดดงสมการ

( ) ( )( ) ( ) ( )1 2

rn

N sF s

s p s p s p=

+ + + +

เขยนสมการใหอยในรปผลบวก โดยทาการกระจายเทอมทมกาลง r เปนเทอมกาลงสงสดไป

จนถงกาลง 1 สวนเทอมทไมซากนใชการแยกแบบในกรณแรก

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 11

1 21 1

nr rr r

n

KK K K KF ss p s p s ps p s p

+−= + + + + + +

+ + ++ +

เทอมทรากไมซากนสามารถใชวธการหาคา K ไดเหมอนกบกรณแรก ในสวนเทอมทมรากซากนจะ

ใชการคณสมการ ( )2 14− ดวย 1( )rs p+ จากนนหาคา iK จากสมการ

เมอไดคา K มาทงหมดกสามารถทาการแปลงผกผนลาปลาส (Inverse Laplace Transform) ได

( )1

1

1

11 ( )

!i i

i

s p

d F sKdsi −

−

→

−=

(2 9)−

(2 10)−

(2 11)−

(2 12)−

(2 13)−

(2 14)−

(2 15)−

[9]

กรณท 3 รากของตวสวน ( )F s เปนคาเชงซอน

( ) ( )( )( )2

1

2 312

1

N sF s

s p s as b

K s KKs p s as b

=+ + +

+= + +

+ + +

แลวทาการคณดวยตวคณรวมนอย จากนนทาการเปรยบเทยบ หาคา 2K และ 3K ดงตวอยาง

ตวอยาง 2.1

จงหาการแปลงผกผนลาปลาส (Inverse Laplace Transform) ของฟงกชนดานลาง

( ) ( )2

32 5

F ss s s

=+ +

ใชการแยกเศษสวนยอย (Partial Fraction Expansion) จะไดวา

( )2 31

22

32 52 5

K s KKs s ss s s

+= +

+ ++ +

1K หาโดยใชวธในกรณแรกจะไดวา 135

K = ตวคณรวมนอยในตวอยางนคอ ( )2 2 5s s s+ + เมอ

นาไปคณในสมการ ( )2 17− จะได

( )2 21 2 33 5s s K K s K s= + + + +

จดสมการใหมจะไดวา

( ) ( )21 2 1 3 13 2 5K K s K K s K= + + + +

แทนคา 1K ในสมการ ( )2 11− จากนนทาการเทยบสมประสทธจะได

22 3

3 63 35 5

K s K s = + + + +

หาคา 2K โดย 23 05

K + =

23

5K −

∴ =

(2 17)−

(2 16)−

(2 18)−

(2 19)−

[10]

หาคา 3K โดย 36 05

K + =

36

5K −

∴ =

แทนคา 2K และ 3K จะได

( ) ( ) 22

3 3 3 25 5 2 52 5

sF ss s ss s s

+= = −

+ ++ +

จากนนกแปลงใหอยในรปโดเมนเวลา (time domain) โดยจะใชการแปลงลาปลาสหลกอย 2 รปแบบ

คอ

( ) ( )( )

( )( )

2 2

2 2

cos

sin

t

at

A s aL Ae t

s aBL Be t

s a

ω ωω

ωωω

−

−

+ = + +

= + +

จะไดคาตอบในโดเมนเวลา (time domain) คอ

( ) ( ) ( )3 3 1cos 2 sin 25 5 2

tf t e t t− = − +

2.2.3 ทรานเฟอรฟงกชน (Transfer Functions)

เมอเราทาการวเคราะหระบบทางฟสกส มกนยมใชการจาลองระบบดวยสมการคณตศาสตร

เพอหาความสมพนธของระบบในรปของทรานเฟอรฟงกชน และนาเอาไปใชทดสอบหาเสถยรภาพของ

ระบบหรอหาคาตอบ (ผลตอบสนองระบบ) สมการทอธบายระบบทางฟสกส (Physical System) โดย

ปกตจะเกยวกบอนทเกรตและสมการเชงอนพนธ ซงสมการดงกลาวจะใชคณสมบตทแสดงความ

สมบรณของระบบ สวนผลตอบสนองทไดมานนเราอาจจะไดจากการแกสมการออกมา อยางไรกตาม

วธการเชนนอาจยงยากสาหรบระบบทซบซอนมากๆ ดวยเหตนสมการเชงอนพนธ อาจจะแทนดวย

แนวความคดทใชทรานเฟอรฟงกชน ทรานเฟอรฟงกชนจะใชแสดงความสมพนธ ระหวางอนพตกบ

เอาตพตของสมการเชงเสนทไมแปรเปลยนตามเวลา ในบางครงอาจนาไปใชกบระบบควบคมแบบไม

เชงเสน

(2 20)−

(2 22)−

(2 21)−

(2 23)−

[11]

นยามของทรานเฟอรฟงกชน

เมอพจารณาสมการเชงอนพนธของระบบแบบไมแปรเปลยนตามเวลาดดงน

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10 1 1 0 1 1

n n m mn n m ma y a y a y a y b x b x b x b n m− −− −+ + + + = + + + + ≥

กาหนดให y เปนเอาตพตของระบบและ x เปนอนพตของระบบ ทรานเฟอรฟงกชนของ

ระบบสามารถหาไดโดยการแปลงลาปลาสสมการทง 2 ขาง ภายใตเงอนไขเรมตนเปนศนย

( ) ( ) ( ) ( )1 10 1 1 0 1 1

n n m mn n m mL a y a y a y a y L b x b x b x b− −

− + + + + = + + + +

จะได

( ) ( ) ( ) ( )110 1 1 0 1 1

m mn nn n m my s a s a s a s a s x s b x b x b x b−−− −

+ + + + = + + + +

หาความสมพนธของสมการเอาตพตกบสมการอนพต

( )( )

10 1 1

10 1 1

m mm m

n nn n

Y s b s b s b s bX s a s a s a s a

−−

−−

+ + +=

+ + +

ขนตอนการหาทรานเฟอรฟงกชน

1. เขยนสมการเชงอนพนธแทนอปกรณในระบบ

2. แปลงลาปลาสสมการเชงอนพนธภายใตเงอนไขคาเรมตนเปนศนย

3. คานวณหาอตราสวนระหวางสมการทางเอาตพตทลาปลาสแลวกบสมการทางอนพตทลา-

ปลาส

รปแบบทวๆไปของทรานเฟอรฟงกชนเขยนไดดงน

( ) ( )( )

Y sG s

X s=

(2 24)−

(2 25)−

(2 26)−

(2 27)−

(2 28)−

นยาม ทรานเฟอรฟงกชน : เปนอตราสวนของสมการทางดานเอาตพตและสมการทางดานอนพต

ทถกแปลงโดยลาปลาสแลว ภายใตเงอนไขคาเรมตน (Initial Condition) เปนศนย

[12]

ตวอยาง 2.2

จงหาทรานเฟอรฟงกชนของวงจรไฟฟาจากรป ( 2.2.3 )

จากกฎแรงดนของเคอรชอฟฟ

1 2

2 0

R R c i

R c

v v v ev v e

+ + =+ =

ขนตอนท 1 เขยนสมการเชงอนพนธแทนอปกรณในระบบตามกฎฟสกส

( ) ( )

( )

1 2

2 0

1

1

iR i t R i t idt eC

R i t idt eC

+ + =

+ =

∫

∫

ขนตอนท 2 แปลงลาปลาสสมการเชงอนพนธท ( )2 29− และ ( )2 30− ภายใตเงอนไขคาเรมตน

เปนศนย

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

2 0

1

1

iR I s R I s I s E sCs

R I s I s E sCs

+ + =

+ =

ขนตอนท 3 หาอตราสวนระหวาสมการทางเอาตพตตอสมการทางอนพตทแปลงลาปลาสแลว

( ) ( )( ) ( )

0 2

1 2

11i

E s R CsG sE s R R Cs

+∴ = =

+ +

(2 30)−

(2 29)−

(2 32)−

(2 31)−

(2 33)−

รปท (2.2.3)

[13]

2.3 ตวควบคมเชงเสน

โดยทวไป การทางานของระบบควบคมควรพจารณาลกษณะสมบตตางๆ ดงนคอ

1. ความเสถยรภาพ (Stability)

2. ผลตอบสนองชวคร (Transient response)

3. ความคลาดเคลอนในสถานะอยตว (Steady state error)

สงสาคญอนดบแรกของระบบควบคมกคอเสถยรภาพ เพราะถาระบบไมมเสถยรภาพเรากไม

สามารถควบคมระบบได สาหรบลกษณะผลตอบสนองนน เรามกตองการใหไดผลตอบสนองทเรว นน

คอ ชวงเวลาขน (Rise time) ชวงเวลาเขาท (Settling time) สวนพงเกน (Overshoot) ทยอมรบ

ได สวนความคลาดเคลอนในสถานะอยตวนนตองใหมคาเปนศนย หรอตาทสดเทาทสามารถทาได

ลกษณะอนๆนอกเหนอจากนจะระบเฉพาะในแตละระบบ ในระบบควบคมทพลานต (Plant) ไดถก

กาหนดแลว เราไมสามารถเปลยนแปลงคาพารามเตอรภายในเพอปรบปรงระบบเพอใหทางานไดตาม

ตองการ ดงนนในขนแรก ผออกแบบอาจปรบคาอตราขยายของวงรอบการควบคม ในเชงปฏบตมก

พบวา การปรบอตราขยายอยางเดยวไมเพยงพอทจะทาใหระบบมลกษณะตามตองการได เชน ถาเรา

เพมอตราขยายจะทาใหความคลาดเคลอนในสถานะอยตวลดลง แตกอาจมผลทาใหผลตอบสนองเลว

ลง การแกไขในกรณเชนนทาไดโดยออกแบบตวควบคม (Controller) เสรมเขาไปในระบบ

2.3.1 ประเภทของการควบคม

การควบคมในระบบควบคมมหลายชนด แตทใชในระบบควบคมกระบวนการสวนใหญเปนตว

ควบคมแบบ PD ดงแสดงในรป 2.3.1

โดยท ( )R s คอ สญญาณอางอง ( )Y s คอ สญญาณออกทวดได ( )E s คอ สญญาณคลาดเคลอน

และ ( )U s คอ สญญาณควบคมทออกจากตวควบคม

( ) ( ) ( )E s R s Y s= −

รปท (2.3.1) ตวควบคม PD ทตอเขาในระบบแบบอนกรม

(2 34)−

[14]

ซงตวควบคม PID อาศยเทคนคการควบคมพนฐาน 3 แบบ ไดแกแบบสดสวน (Proportional หรอ

P ) แบบอนทกรล (Integral หรอ I ) และแบบอนพนธ (Derivative หรอ D ) ผออกแบบมกใชตว

ควบคมแบบ PI หรอ PID เพอ ทาใหวงควบคม (Control loop) ทางานตามทตองการ

รายละเอยดของการควบคมพนฐานแตละแบบมดงน

2.3.1.1 Proportional Action ( P )

เปนเทคนคทงายทสด หลกการกคอสญญาณควบคมจากตวควบคมปอนเขา

กระบวนการมคาเปนสดสวนกบความผดพลาด (error = setpoint - output) ทเกดขน หรอ

กลาวอกนยหนง Proportional Action ทาหนาทเปนอตราขยาย (Gain) เขยนแทนดวย

สญลกษณ pK การควบคมเชงสดสวนนสามารถควบคมระบบไดดระดบหนง เหมาะสมกบ

กระบวนการทตองการผลตอบสนองรวดเรว ในขณะเดยวกนยอมใหเกดความคลาดเคลอน

ขนาดคงทคาหนง ถามการเปลยนแปลงสภาวะการทางานหรอพารามเตอรบางตวในระบบ ก

อาจทาใหเกดปญหาขน ได เชน ความคลาดเคลอนในสภาวะอยตว (steady state error)

หรอทเรยกวา "ออฟเซต" ตวควบคมแบบ P ไมสามารถแกไขใหหมดไปไดแตสามารถลด

ผลได โดยเพมอตราขยายของตวควบคมเพอเพมขนาดของสญญาณควบคม ทาใหความ

คลาดเคลอนมคานอยลง อยางไรกตาม หากเพมอตราขยายของตวควบคมมากเกนไปกอาจจะ

ทาใหผลตอบสนองแกวงได เนองจากระบบจะไวตอการเปลยนแปลง

2.3.1.2 Integral Action ( I )

สญญาณควบคมของตวควบคมแบบ PI สามารถอธบายไดดงสมการ

( )0

( ) ( )t

pp

i

Ku t K e t e t dt

T= + ∫

จดใหอยในรปลาปลาส ไดทรานเฟอรฟงกชนของตวควบคมดงน

( ) 11( ) p

i

U s KE s T s

= +

เมอ iT คอ Integral time (วนาท) วธนจะสามารถแกความคลาดเคลอนในสภาวะ

อยตวได เนองจากเสมอนเพมขวทจดกาเนดใหกบระบบวงเปด แตกจะทาใหระบบม

เสถยรภาพสมพทธลดลง โดยทวไปแลวระบบทใชตวควบคมแบบ PI จะมชวงเวลาการแกวง

นานกวาชวงเวลาทใชตวควบคมแบบสดสวน 50% หรอ

1.5PI PT T=

(2 35)−

(2 36)−

[15]

เมอ PIT คอ ชวงเวลาในการแกวงของระบบทใชตวควบคมแบบ PI และ PT คอ

ชวงเวลาในการแกวงของระบบทใชตวควบคมแบบ P อยางไรกตาม สาหรบระบบทมคาคง

ตวเวลา (time constant) นอย (เชน ระบบควบคมอตราการไหล) ปญหานจะไมมผลมากนก

แตสาหรบระบบทมคาคงตวเวลามาก ปญหานจะใหญมากและอาจทาใหระบบเขาสจดวกฤตท

ไมสามารถยอมรบได (เชน ระบบควบคมระดบ)

2.3.1.3 Derivative Action ( D )

การควบคมแบบสดสวนและอนทกรลตางกมขอจากด และอาจทาใหเกดปญหาตอ

การควบคมกระบวนการเนองจากการแกวงมาก อยางไรกตาม ปญหาดงกลาวสามารถแกไข

ดวยการเพมตวอนพนธสญญาณควบคมของตวควบคมแบบ PID สามารถอธบายไดดง

สมการ

( ) ( ) ( ) ( )0

tp

p p di

K de tu t K e t e t dt K T

T dt= + +∫

จดใหอยในรปลาปลาสไดทรานเฟอรฟงกชนของตวควบคมดงน

( )( )

11p di

U sK T s

E s T s

= + +

(2 37)−

(2 38)−

[16]

2.3.2. ขอด – ขอดอยของตวควบคมแตละประเภท

ชนดของตวควบคม ขอด ขอเสย

ตวควบคมแบบสดสวน

(PROPORTIONAL MODE

OF CONTROL

(P-CONTROL))

- การเพมคาอตราขยาย ให

สงขน จะทาใหไดผล

ตอบสนองทไวขน

- สาหรบ 2nd ORDER PLANT ขน

ไป การเพมคาอตราขยาย ใหม

คาสงจะทาใหเกดสวนพงเกน ท

สงดวย

- และการเพมคาอตราขยายใหม

คาสงอาจจะทาไมไดในทาง

ปฏบต เพราะเอาทพตมคาจากด

ควบคมแบบปรพนธ

(INTEGRAL MODE

CONTROL

(I-CONTROL))

- ขจดคาความ

คลาดเคลอนในสถานะ

อยตว ได

- สามารถใชงานเดยวๆได

แตตองใชคาอตราขยายท

เหมาะสม

- ไมสามารถขจดสวนพงเกน ได

- การใชคาอตราขยายทไม

เหมาะสม อาจทาให

ผลตอบสนองเกดการแกวงตวได

- ระบบจะมอนดบทสงขน และ

อาจทาใหระบบมผลตอบสนอง

ทไมพงประสงค

ตวควบคมแบบอนพนธ

( DERIVATIVE MODE OF

CONTROL

(D-CONTROL))

- ลดผลตอบสนองทเปน

สวนพงเกน

- ไมสามารถใชงานเดยวๆไดตอง

ใชงานรวมกบตวควบคมแบบ

สดสวน

- ไมสามารถขจดคาความ

คลาดเคลอนในสถานะอยตวได

- ทาใหผลตอบสนองชาลง

[17]

นยาม เวกเตอร X คอ จดสมดลของระบบเชงพลวต เมอเวกเตอรสถานะลเขาสคา X แลวจะ

ยงคงเทากบ X ตลอดไป

2.4 การหาจดสมดลของสมการเชงอนพนธ

2.4.1 พจารณาจดสมดลของระบบไมเชงเสนในสมการอนพนธทตอเนอง n สมการ

ซงมรปแบบดงตอไปน

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

, , , ,

, , , ,

. .

. .

, , ,

n

n

n n n

x t f x t x t x t

x t f x t x t x t

x t f x t x t x t

=

=

=

ซงสามารถแสดงในรปแบบเมทรกซ จะได

( ) ( )( ), , ; nX t f X t t X= ∈

เมอ [ ]1 2, , , TnX x x x= และ [ ]1 2, , , T

nf f f f= ; T คอ ทรานสโพส

ตวอยาง 2.3 ให

( ) ( )( ),X t f X t t=

ดงนน จดสมดล X จะสอดคลองกบ

( ), 0f X t =

สาหรบ t ใดๆ

การวเคราะหระบบเชงพลวตทไมเชงเสนมกจะใหความสาคญกบพฤตกรรมของคาตอบรอบๆ

จดสมดล ซงจะสามารถอธบายถงเสถยรภาพของจดสมดลได โดยทวไปการหาในลกษณะดงกลาวจะ

เปนกระบวนการทยาก ดงนนศนยกลางของความสนใจจงไมไดอยทการศกษาหาจดสมดลเทานน แต

ยงสนใจเกยวกบคณสมบตของเสถยรภาพอกดวย

2.4.2 การวเคราะหจดสมดลดวยกระบวนการเชงเสน

พจารณา

( , )

( , )

dx f x ydtdy g x ydt

=

=

( )( )2 41

2 42

−

−

(2 39)−

(2 40)−

[18]

ให ( )0 0,x y เปนจดสมดล ดงนนเราจงตองการหาระบบเชงเสนเมอ ( ),x y เขาใกล

( )0 0,x y ในการดาเนนการเราจาเปนตองประมาณคาฟงกชน ( ),f x y และ ( ),g x y เมอ ( ),x y

เขาใกล ( )0 0,x y เปนปญหาทคลายคลงกบฟงกชนประมาณคาทแทจรงโดยเสนสมผส จากการ

คานวณหลายตวแปรจะได

( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 0, , , ,f ff x y f x y x y x x x y y yx y∂ ∂

≈ + − + −∂ ∂

( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 0, , , ,g gg x y g x y x y x x x y y yx y∂ ∂

≈ + − + −∂ ∂

เมอ ( ),x y เขาใกล ( )0 0,x y จากนนระบบแบบไมเชงเสนจะประมาณคาโดย

( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 0, , ,dx f ff x y x y x x x y y ydt x y

∂ ∂= + − + −

∂ ∂

( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 0, , ,dy g gg x y x y x x x y y ydt x y

∂ ∂= + − + −

∂ ∂

เนองจาก ( )0 0,x y เปนจดสมดลแลว จะม ( ) ( )0 0 0 0, , 0f x y g x y= = ดงนนจะไดวา

( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0, ,dx f fx y x x x y y ydt x y

∂ ∂= − + −

∂ ∂

( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0, ,dy g gx y x x x y y y

dt x y∂ ∂

= − + −∂ ∂

ระบบเชงเสนน คาสมประสทธเมทรกซคอ

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

, ,

, ,

f fx y x yx yg gx y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

เมตรกซนจะเรยกวา จาโคเบยนเมทรกซ ของระบบทจด ( )0 0,x y

(2 43)−

[19]

เราจะไดระบบสมการเชงอนพนธในรปตอไปน

1

2

,xa b

A Xxc d

= =

X AX=

พจารณาสมการเชงเสน

1 1 2

2 1 2

x ax bxx cx dx

= += +

สามารถเขยนอยในรปของ X AX= ไดโดย

ให a b

Ac d

=

คาไอเกน 1 2,λ λ ของ A หาไดจาก

2

2

det( ) 0( )( ) 0

( ) ( ) 00

A Ia d bc

a d ad bcD

λλ λ

λ λ

λ τλ

− =− − − =

− + + − =

− + =

( )1 2

1 2deta d

D A ad bcτ λ λ

λ λ= + = +

= = − =

หาคา λ โดย

2

1,24

2Dτ τλ ± −

=

โดย 1 2,v v ไอเกนเวกเตอร ทสอดคลองกบ คาไอเกน 1 2,λ λ

ผลตอบสนองของระบบสาหรบคาไอเกนแตละคา iλ เมอ 1,2i = จะเปนดงตอไปน

a) Re( ) 0iλ < ทาใหผลทไดมคาเขาใกลจดสมดล

b) Re( ) 0iλ > ทาใหผลทไดลออกอยหางจากจดสมดล

c) Im( ) 0iλ ≠ ทาใหผลทไดเวยนรอบจดสมดล เปนกนหอย

d) Im( ) 0iλ = ทาใหผลทไดไมเวยนรอบจดสมดล

(2 44)−

(2 45)−

[20]

จากขางตนหากเราพจารณาจดสมดล ( )0,0 จะสามารถแยกได 6 ประเภทดงน

1). จดอานมา (Saddle node)

- เงอนไขคาไอเกน :

1 2,λ λ ∈ และ 1 2 0λ λ <

- เงอนไข Dτ − :

0D <

- ไมเสถยรภาพ

รปทรงของ Saddle node จะมการควบคมโดยคาไอเกน 1 2,v v

2). จดดงดด (Sink node)

- เงอนไขคาไอเกน :

1 2,λ λ ∈ และ 1 20, 0λ λ< <

- เงอนไข Dτ − :

0D > และ 2 4 0Dτ − >

และ 0τ <

- มความเสถยรภาพมาก

( 1v จะชะลอตวเขาหาจดสมดลไดชา, 2v จะพรงเขาหาจดสมดลอยางรวดเรว : 1 2λ λ< )

3). จดปลอยออก (Source node)

- เงอนไขคาไอเกน :

1 2,λ λ ∈ และ 1 2, 0λ λ >

เงอนไข Dτ − :

20 4 0 0D Dτ τ> ∧ − > ∧ >

- ไมเสถยรภาพ

( 2v จะพงเขาหาจดสมดลอยางรวดเรว , 1v จะชะลอตวเขาหาจดสมดลไดชา : 1 2 0λ λ> > )

[21]

4). ลอมรอบจดสมดล (Center)

- เงอนไขคาไอเกน :

( ) ( )1 2Re Re 0λ λ= = และ

( )1Im 0λ ≠ และ ( )2Im 0λ ≠

- เงอนไข Dτ − :

0D > และ 0τ =

- มความเสถยรภาพเปนกลาง ไมเขาส

สมดล ( )0,0

5). เสถยรภาพแบบวงวนกนหอย (Stable spiral)

- เงอนไขคาไอเกน :

( )1Re 0λ < และ ( )2Re 0λ <

( )1Im 0λ ≠ หรอ ( )2Im 0λ ≠

- เงอนไข Dτ − :

0D > และ 2 4 0Dτ − < และ

0τ <

- มความเสถยรภาพแบบเอกซโพเนน-

เชยล

6). ไมเสถยรภาพแบบวงวนกนหอย (Unstable spiral)

- เงอนไขคาไอเกน :

( )1Re 0λ > และ ( )2Re 0λ >

( )1Im 0λ ≠ หรอ ( )2Im 0λ ≠

- เงอนไข Dτ − :

0D > และ 2 4 0Dτ − < และ

0τ >

[22]

บทท 3

วธการดาเนนงาน

3.1 แบบจาลองของระบบถงค (Twin-Tanks Model)

ระบบควบคมระดบของเหลวในถงและอตราการไหลระหวางถง เปนปญหาขนพนฐานใน

กระบวนการทางอตสาหกรรม ระบบถงคประกอบดวย ถง 2 ถง โดยททอและเครองสบนาจะปลอยนา

เขาไปในถงแรกเทานน จากนนนาบางสวนจะเขาไปยงถงท 2 ซงจะทาใหระดบนาทง 2 ถง เพมขน แต

ในขณะเดยวกนนาจะถกปลอยออกจากถงท 2 ทาใหการเพมของระดบนาทง 2 ถง ขนกบอตราการ

ไหลเขาและไหลออกนนเอง ซงสมการเชงอนพนธทแทนการไหลของนาในถงทงสองเปนระบบไมเชง

เสนแบบตอเนอง ดงตอไปน

1 12( ) /inh U U A= −

2 12( ) /outh U U A= − ( )3 1−

โดยท

12 12 1 2 1 22 ( ) ;U a g h h h h= − >

2 2 22 ; 0outU a gh h= > ( )3 2−

โดยท 1h ∈ และ 2h ∈ คอหวนาในถงท 1 และถงท 2 ตามลาดบ

inU ∈ คอ อตราการไหลเขา

12U ∈ คอ อตราการไหลจากถงท 1 ไปยงถงท 2

A∈ คอ พนทหนาตดของถงท 2 และ ถงท 3

12a ∈ คอ พนทบรเวณการรวมกนของทอ

2a ∈ คอ พนทบรเวณทอสงออก

g∈ คอ คาคงทของแรงโนมถวง

[23]

นอกจากนน 0inU ≥ หมายความวา เครองสบนาสามารถควบคมนาใหเขาไปในถงเทานน

1 2 2 1 20 , 0z h z h h= > = − > ( )3 3−

1 2 2 122 / , 2 /c a g A c a g A= = ( )3 4−

ดงนนผลของถงคแทนดวย 2 ( )h t นนคอ แบบจาลองพลวตในสมการท ( )3 1− และ ( )3 2− สามารถเขยนไดดงน

1 1 1 2 2z c z c z= − +

2 1 1 2 22 /inz c z c z U A= − + ( )3 5−

ดงนนเปาหมายคอ ใหผลลพธ ( )2h t ใหมระดบถงคาทตองการ ( )H

3.2 ระบบควบคมแบบปอนกลบโดยทาใหเปนเชงเสน (Feedback Linearization Control)

โดยอาศยทฤษฎการปอนกลบแบบเชงเสนสาหรบ การประยกตในระบบถงค จะไดวา

11

2 1 1 2 2

zxx c z c z

= − +

( )3 6−

ความสมพนธระหวาง x และ z สามารถเขยนไดเปน

112

2 1 1 2 2(( ) / )

xzz c x x c

= +

( )3 7−

แผนผงการเชอมตอระหวางถงค

[24]

ซงแบบจาลองใน ( )3 5− สามารถแสดงเปนสมการอยางงาย จะได

1 2

2 211 2 1 2 2 2 1 2 2

1

2 ( 2 )2 ( / 2 / / ) ( / 2 ) in

x x

x c c c c x z z z z c A z Uy x

=

= − + − +

=

( )3 8−

ซงสามารถเขยนไดเปน

1 2x x=

( ) ( )2x f x b x u= + ( )3 9−

เมอ

( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 2 1 2 22 2 / 2 / / / 2 inf x c c c c z z z z c A z U= − + − +

( ) ( )2 1/ 2b x c A z=

เมอใชหลกการควบคม PD จะไดเชงเสนคอ

( )( ) ( )0 1 /inU k e k e f x b x= − − − ( )3 10−

เมอ ( ) ( )1 2x t ( )de x t h t H= − = − คอความคลาดเคลอนของระดบนาจากระบบและระดบ

นาทตองการนาไปสการควบคมการไหลเขา

( )( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 2 /inU k x t H k x t f x b x= − − − − ( )3 11−

0k และ 1k คอคาคงทซงมคาเปนบวก ดงนนเมอแทนคาสมการท ( )3 10− ในสมการท ( )3 8− จะ

ไดสมการเชงอนพนธของความคลาดเคลอนของระบบวงวนปด (Close-loop System)

1 0 0e k e k e+ + =

( )3 12−

หมายเหต ระบบวงวนปด ( )3 12− หาไดจากการแทน inU เขาไปในสมการ ( )3 8− และพจารณา

เฉพาะความคลาดเคลอน อนพนธอนดบหนงและสองของความคลาดเคลอน

[25]

3.3 การวเคราะหความเสถยรภาพ

พจารณาระบบสมการ

1 2x x= ( )3 13−

( )2 ,( ) inx f x b x U= +

แทนคา

( )( ) ( )0 1 1 2 ( )( )in

k x t H k x t f xb x

U− − − −

=

ลงในสมการ ( )3 8− จะได

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 1 1 2

2

[ ]( )

k x t H k x t f xx f x b x

b x− − − −

= +

ทาใหเราไดระบบสมการ

1 2x x=

( )2 0 1 1 2x k x H k x= − − − ( )3 14−

จากสมการ (3 14)− เราสามารถหาจดสมดลของระบบสมการไดดงน

ให 1 2 0x x= = ( )3 15−

และ

2 0 1 1 2( ) 0x k x H k x= − − − =

( )3 16−

แกสมการ ( )3 15− และ ( )3 16− จะได

1x H= และ 2 0x =

นนคอ จดสมดลคอ ( ),0H

[26]

จากสมการ ( )3 14− จะได

1 1 1 0 1 0x k x k x k H+ + = ( )3 17−

ในขนแรกเราจะหาคาตอบประกอบกอน ซงทาไดโดยการหารากจากสมการชวย 21 0 0m k m k+ + =

ในขณะนเราพบวาระบบสมการเชงอนพนธ ( )3 14− เปนสมการเชงเสนซงสามารถหาคาตอบทวไปได

จากผลรวมของคาตอบประกอบและคาตอบเฉพาะ

จาก ( )3 17− จะได 2

1 1 01

42

k k km

− ± −= และ

2

21 1 04

2k k k

m− ± −

= ซงเราจะวเคราะห

เปนกรณตางๆไดดงน

กรณ 1 21 04 0k k− <

คา 1m และ 2m จะเปนจานวนเชงซอน ถาเรากาหนดให 2

1 01 4,

2 2k kkα β

−−= =

∴ จะไดคาตอบประกอบคอ 1 2( cos sin )xcx e c x c xα β β= + เมอ 1c และ 2c เปนคาคงตวไม

เจาะจง

กรณท 2 21 04 0k k− > คา 1m และ 2m จะเปนจานวนจรงคอ

2 21 1 0 1 1 0

1 2

4 4,

2 2k k k k k k

m m− + − − − −

= =

∴ จะไดคาตอบประกอบคอ 1 21 2

m x m xcx c e c e= + เมอ 1c และ 2c เปนคาคงตวไมเจาะจง

กรณท 3 21 04 0k k− =

∴ จะไดคาตอบประกอบคอ 1 1

2 21 2

k kx x

cx c e c xe− −

= + เมอ 1c และ 2c เปนคาคงตวไมเจาะจง

ขนทสองเราจะหาคาตอบเฉพาะ px

สมมต 0

0

p

p

p

x Axx

=

=

=

[27]

แทนในสมการ ( )3 17− ; 0 00 0 k A k H+ + =

0 0

0p

k A k HA Hy k H

==

∴ =

เมอ 1 0k > และ 21 04 0k k− < จะไดคาตอบทวไปคอ

กรณท 1 1 2 0( cos sin )xx e c x c x k Hα β β= + +

เมอ 1 0k < และ 21 04 0k k− > จะไดคาตอบทวไปคอ

กรณท 2 1 21 2 0

m x m xx c e c e k H= + +

เมอ 1 2 0k k= = และ 21 04 0k k− = จะไดคาตอบทวไปคอ

กรณท 3 1 1

2 21 2 0

k kx xx c e c xe k H

− −

= + +

จากทง 3 กรณเราพบวาถาคา 1k เปนลบจะทาใหคาตอบลเขาสอนนตซงไมสามารถนาไปใช

ในการควบคมได อกกรณหนงมปญหากคอ ถา 0k เปนลบ จะทาให 21 0 14k k k− > ทาให 2m

เปนคาจรงบวก ซงจะทาใหคาตอบลเขาสอนนตเชนเดยวกน

แตในความเปนจรงหากเราไมทราบคาตอบของระบบสมการน เรากยงสามารถวเคราะห

เสถยรภาพของระบบสมการนได โดยพจารณาจากคาไอเกนของเมทรกซระบบ ซงสามารถแสดงได

ดงน

x AX=

ให 1e x H= −

1 2 e x x= =

( )1 0 1 1 2e x k x H k x= = − − −

ให [ ]TE e e=

หา E AE=

[28]

2

1 1

0 1 2

0 1E EE k k E

= − −

หาคาไอเกนโดย

0 1

0 1A

k k

= − −

จาก ( )det A Iλ−

( )

0 1

21 0

21 0

0 1

0 1

det

1

0 1 1 0det

0 1

0 1 0det

0

A I

k k

k k

k k

k k

k k

λ

λλ

λ λ

λ λ

λ

λλ

−

− = − − −

= + +

= + +

= −− −

= −− −

จาก ( )det 0A Iλ− = จะไดวา

( )1,2

1

2

21 1 0

21 1 0

21 1 0

21 1 0

4 12

42

42

42

k k k

k k k

k k k

k k k

λ

λ

λ =

− ± −=

− ± −=

− − −∴ =

− + −

[29]

จากการวเคราะหทาใหสามารถสรปไดดงน

1) ถา 0 10, 0k k> > และ 21 04 0k k− > จะทาใหจดสมดลเปนจดดงดดและมเสถยรภาพ

2) ถา 0 10, 0k k> > และ 21 04 0k k− < จะทาใหจดสมดลมเสถยรภาพแบบวงวนกนหอย

3) ถา 1 0k = และ 21 04 0k k− ≠ จะทาใหจดสมดลมความเสถยรภาพเปนกลาง ไมเขาสจด

สมดล

[30]

บทท 4

ผลการดาเนนงานและขอเสนอแนะ

4.1 ผลจากการใชโปรแกรม Scilab เพอแกระบบสมการ

จากบททผานมาพบวา 0k และ 1k มความสาคญและสามารถแสดงถงเสถยรภาพของจด

สมดลสาหรบระบบถงค ภายใตการควบคมโดยใชการควบคมแบบปอนกลบเชงเสน ในทนเราจะ

พจารณาผลจากการใช Scilab เพอหาคาตอบเชงตวเลขของระบบและวาดกราฟของคาตอบในกรณท

คา 0k และ 1k แตกตางกน จากสมการในบทท 3 จะไดวา

( )( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 2 /inU k x t H k x t f x b x= − − − − ( )4 1−

พ า ร า ม เ ต อ ร ข อ ง ร ะ บ บ ค ว บ ค ม ถ ก ก า ห น ด โ ด ย 2 220.2 , 0.0395 ,A m a m= =

212 0.0169a m= และ 29.81 / sec , 1.0g m H m= = ( ) ( )( )3 30 / sec 5 / sec.inm U m< < นา

คาพารามเตอรแทนลงในสมการ ( )4 1− ซงผลการจาลองสาหรบตวควบคมจะแสดงอยดานลาง และ

ผลลพธของระบบควบคมสาหรบคาพารามเตอร 0k และ 1k ทแตกตางกนได จะนาเสนอดงตอไปน

กรณท 1 0 12 2k k= =

รปท 3.1 ระดบความสงของนา

[31]

จากรปท 3.1 จะเหนวาการเปลยนแปลงของระดบนานนเรมตนจาก 0.1เมตร แลวลเขาหา1.0

เมตร เมอเวลาผานไป 5 วนาท จากรปท 3.2 อตราการไหลจะเรมตนท 2.0 ลกบาศกเมตร และมการ

เพมขนสงสด ประมาณท 3.0 ลกบาศกเมตร แลวจงลดลงเมอเวลาผานไป คาจงเพมขนอกจนกระทงล

เขาสอตราการไหลของนา 0.2 ลกบาศกเมตร ทเวลาผานไป 7 วนาท จากรปท 3.3 กราฟ

ของ ( )1 2,x x เรมตนท ( )0.1,0.1 แลววงเขาหาสจดสมดลท (1,0) แสดงถงการลเขาของคาตอบของ

ระบบถงเขาสจดสมดล

รปท 3.3 กราฟของ 1x และ 2x

รปท 3.2 อตราการไหลของนาทปลอยเขาระบบถง

[32]

กรณท 2

รปท 3.4 ระดบความสงของนา

รปท 3.5 อตราการไหลของนาทปลอยเขาระบบถง

0 10.02 0.02k k= =

[33]

จากรปท 3.4, 3.5 และ 3.6 จะเหนวากราฟไมลเขาจดสมดล จากกรณนเราสรปวา 0k และ

1k มคานอยเกนไป

กรณท 3

รปท3.7 ระดบความสงของนา

รปท 3.6 กราฟของ 1x และ 2x

0 130 30k k= =

[34]

รปท3.8 อตราการไหลของนาทปลอยเขาระบบถง

รปท 3.9 กราฟของ 1x และ 2x

[35]

จากรปท 3.7 จะเหนวาการเปลยนแปลงของระดบนานนเรมตนจาก 0.1เมตร แลวลเขาหา

1.0 เมตร เมอเวลาผานไป 5 วนาท จากรปท 3.8 อตราการไหลจะเรมตนท 30.1 ลกบาศกเมตร

เมอเวลาผานไปอตราการไหลจะลดลงลเขาหา 0 ทเวลา 3 วนาท จากรปท 3.9 จะเหนวากราฟลเขา

แตขนาดของการควบคมมากเกนความจาเปน กรณนการควบคมไมประสบความสาเรจ เนองจาก

ปรมาณของอตราการไหลเขาสงเกนกวาทกาหนดไว 35 / sec.inU m>

กรณท 4

รปท3.10 ระดบความสงของนาทปลอยเขาระบบถง

0 130 0.02k k= =

[36]

รปท3.11 อตราการไหลของนา

รปท 3.12 กราฟของ 1x และ 2x

[37]

จากรปท3.10 จะเหนวาระดบความสงของนาเรมตนท 0.1 เมตร และมการเพมขนสงสด

ประมาณท 1.9 เมตร เมอเวลาผานไป1 วนาท มการลดลงตาสดประมาณท 0.1 เมตร กราฟจะแกวง

ขน-ลง ไปเรอยๆ ไมลเขา จากรปท 3.11 กราฟไมลเขาสจดสมดล และจากรปท 3.12 จะเหนวา

กราฟจะวนรอบจดสมดล (0,0) มความเสถยรภาพเปนกลาง ทเรยกวา Center

กรณท 5

รปท3.13 ระดบความสงของนา

รปท3.14 อตราการไหลของนา

0 10.02 30k k= =

[38]

จากรปท 3.13 จะเหนวากราฟไมลเขาจดสมดล จากรปท 3.14 อตราการไหลของนาเรมตนท

-2.5 ลกบาศกเมตร จะเพมขนลเขาหา 0.01 ลกบาศกเมตร เมอเวลาผานไปประมาณ 0.02 วนาท

จากรปท 3.15 กราฟจะเรมตนท 0.1 เมตร แลวไมวงเขาหาสจดสมดล

จากรปสรปไดวา ถา 0k หรอ 1k มคานอยไปจะไมวงเขาหาคาตอบ

ถา 0k หรอ 1k มคามากจะลเขาสจดสมดลไดเรว

รปท 3.15 กราฟของ 1x และ 2x

[39]

4.2 สรปผล

โครงงานนศกษาระบบควบคมระดบของของเหลวในถงคดวยวธการควบคมแบบปอนกลบเชง

เสน จากการทดลองการจาลองการทางานของระบบควบคมดวยโปรแกรม Scilab ไดแสดงใหเหนวา

การออกแบบตวควบคมนนขนอยกบพารามเตอรทแทนขนาดของการควบคม ( )0 1,k k หาก 0k และ

1k ถกเลอกใหมคาบวกและเปนคามากๆจะทาใหผลตอบสนองลเขาสจดสมดลไดเรวขน และคาความ

คลาดเคลอนในสถานะอยตวมคาเปนศนยหรอตาทสด จากการวเคราะหเสถยรภาพของระบบควบคมก

จะพบวาคาพารามเตอร 0k และ 1k นนมผลตอเสถยรภาพของระบบอกดวย ถาคา 0k หรอ 1k มคา

เปนลบหรอมคานอยเกนไปจะทาใหระบบไมมเสถยรภาพและทาใหการควบคมลมเหลว ซงแสดงให

เหนถงความสาคญของหลกการทางคณตศาสตรทถกนามาใชวเคราะหและอธบายถงปรากฏการณ

ตางๆ ในระบบควบคมและจดนเองจะนาไปสการประยกตใชในระบบอนๆตอไป

[40]

บรรณานกรม

[ ]1 Visioli A., “ A new design for a PID plus feedforward controller”, J Process

Control, Vol.14, 2004, pp. 457-463.

[ ]2 Tan KK, Huang S, Ferdous R, “ Robust srlf-tuning PID controller for nonlinear

systems” , J Process Control. , Vol. 12, 2002, pp.753-761.

[ ]3 H. L. Choi and J. T. Lim, “Feedback Linearization of nonminimum singular

system”, IEE Proc. Control Theory Appl. , Vol. 148, No.1, January 2001.

[ ]4 M. Kh. Khan and S. K. Spurgeon, “Robust MIMO water level control in

interconnected twin-tanks using second order sliding mode control”, Control

Engineering Practice Vol.14 , Issue 4, April 2006, pp. 375-386.

[ ]5 N. B. Almutairi, and M. Zribi, “Sliding mode control of coupled tanks”,

Mechatronics, Vol. 16, Issue 7, September 2006, pp. 427-441.

[ ]6 J. J. E. Slotine, and W. Li, Applied Nonlinear Control, New Jersey, USA: Prentice

Hall International Inc., 1991.