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Faturamento de Restaurantes
Gilberto A. Paula
Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil
giapaula@ime.usp.br
2o Semestre 2016
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 1 / 29
Faturamento de Restaurantes
Sumário
1 Faturamento de Restaurantes
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Ajuste Modelo Duplo
5 Conclusões
6 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 2 / 29
Faturamento de Restaurantes
Faturamento de Restaurantes
Descrição dos Dados
Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar umaamostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cadaum as seguintes variáveis aleatórias:
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 3 / 29
Faturamento de Restaurantes
Faturamento de Restaurantes
Descrição dos Dados
Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar umaamostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cadaum as seguintes variáveis aleatórias:
faturamento anual (em mil USD)
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 3 / 29
Faturamento de Restaurantes
Faturamento de Restaurantes
Descrição dos Dados
Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar umaamostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cadaum as seguintes variáveis aleatórias:
faturamento anual (em mil USD)
gasto anual com publicidade (em mil USD).
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 3 / 29
Faturamento de Restaurantes
Faturamento de Restaurantes
Descrição dos Dados
Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar umaamostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cadaum as seguintes variáveis aleatórias:
faturamento anual (em mil USD)
gasto anual com publicidade (em mil USD).
O objetivo principal do estudo é tentar relacionar o faturamento médioanual com o gasto anual com publicidade (Montgomery, Peck e Vining,2001, Seção 5.5).
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 3 / 29
Análise de Dados Preliminar
Sumário
1 Faturamento de Restaurantes
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Ajuste Modelo Duplo
5 Conclusões
6 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 4 / 29
Análise de Dados Preliminar
Medidas Resumo
Descrição
Medida Faturamento G. Publicidaden 30 30Média 147,10 12,13D.Padrão 42,13 5,12CV 28,6% 42,2%
Mínimo 72,34 3,001o Quartil 117,70 8,93Mediana 147,00 12,463o Quartil 180,30 15,19Máximo 218,70 19,50
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 5 / 29
Análise de Dados Preliminar
Boxplot Faturamento Anual
10
01
50
20
0
Fa
tura
me
nto
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 6 / 29
Análise de Dados Preliminar
Boxplot Gastos com Publicidade
51
01
52
0
Ga
sto
s P
ublic
ida
de
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 7 / 29
Análise de Dados Preliminar
Dispersão Faturamento versus Publicidade
5 10 15 20
100
150
200
Gastos Publicidade
Fatu
ram
ento
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 8 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Sumário
1 Faturamento de Restaurantes
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Ajuste Modelo Duplo
5 Conclusões
6 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 9 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Modelo Linear Normal
Descrição
Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gastocom publicidade.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 10 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Modelo Linear Normal
Descrição
Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gastocom publicidade. Essa tendência sugere o seguinte modelo deregressão linear:
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 10 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Modelo Linear Normal
Descrição
Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gastocom publicidade. Essa tendência sugere o seguinte modelo deregressão linear:
yi = β1 + β2 × publicidadei + ǫi ,
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 10 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Modelo Linear Normal
Descrição
Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gastocom publicidade. Essa tendência sugere o seguinte modelo deregressão linear:
yi = β1 + β2 × publicidadei + ǫi ,
para i = 1, . . . , 30, em que yi denota o faturamento anual do i-ésimo
restaurante com ǫiiid∼ N(0, σ2).
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 10 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Modelo Ajustado
Descrição das Estimativas
Efeito Estimativa E. Padrão valor-t valor-PConstante 49,443 4,289 11,53 0,00Publicidade 8,048 0,326 24,68 0,00R2 0,955R2-ajustado 0,954s 9,0F 607,5 (1 e 28 g.l.) 0,00
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 11 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Modelo Ajustado
Descrição das Estimativas
Efeito Estimativa E. Padrão valor-t valor-PConstante 49,443 4,289 11,53 0,00Publicidade 8,048 0,326 24,68 0,00R2 0,955R2-ajustado 0,954s 9,0F 607,5 (1 e 28 g.l.) 0,00
Os coeficientes são marginalmente significativos.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 11 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Análise de Diagnóstico
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Índice
Med
ida
h
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Índice
Dis
tânc
ia d
e C
ook
29
0 5 10 15 20 25 30
−3−2
−10
12
3
Índice
Res
íduo
Pad
roni
zado
80 100 120 140 160 180 200
−3−2
−10
12
3
Valor Ajustado
Res
íduo
Pad
roni
zado
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 12 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Análise de Resíduos
−2 −1 0 1 2
−3−2
−10
12
3
Percentil da N(0,1)
Res
iduo
Stu
dent
izad
o
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 13 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Análise do Ajuste
Comentários
Embora o ajuste mostra-se adequado através da análise de resíduos,nota-se pelo último gráfico indícios de que a variância dos erros não éconstante.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 14 / 29
Ajuste Modelo Linear Normal
Análise do Ajuste
Comentários
Embora o ajuste mostra-se adequado através da análise de resíduos,nota-se pelo último gráfico indícios de que a variância dos erros não éconstante. Há um aumento no valor do resíduo com o aumento novalor ajustado.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 14 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Sumário
1 Faturamento de Restaurantes
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Ajuste Modelo Duplo
5 Conclusões
6 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 15 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Modelo Normal Duplo
Descrição
A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguintemodelo alternativo:
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 16 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Modelo Normal Duplo
Descrição
A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguintemodelo alternativo:
yi = β1 + β2 × publicidadei + ǫi ,
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 16 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Modelo Normal Duplo
Descrição
A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguintemodelo alternativo:
yi = β1 + β2 × publicidadei + ǫi ,
para i = 1, . . . , 30, em que yi denota o faturamento anual do i-ésimo
restaurante e ǫiind∼ N(0, σ2
i ) com
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 16 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Modelo Normal Duplo
Descrição
A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguintemodelo alternativo:
yi = β1 + β2 × publicidadei + ǫi ,
para i = 1, . . . , 30, em que yi denota o faturamento anual do i-ésimo
restaurante e ǫiind∼ N(0, σ2
i ) com
logσ2i = γ1 + γ2 × publicidadei ,
sendo β1, β2, γ1 e γ2 os parâmetros a serem estimados.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 16 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Estimativas Modelo Ajustado MV
Estimativas para a Média
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 51,020 2,709 18,83 0,00Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 17 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Estimativas Modelo Ajustado MV
Estimativas para a Média
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 51,020 2,709 18,83 0,00Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00
Os coeficientes são marginalmente significativos.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 17 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Estimativas Modelo Ajustado MV
Estimativas para a Média
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 51,020 2,709 18,83 0,00Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00
Os coeficientes são marginalmente significativos.
Estimativas para a Variância
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 2,516 0,674 3,73 0,00Publicidade 0,135 0,051 2,65 0,00
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 17 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Estimativas Modelo Ajustado MV
Estimativas para a Média
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 51,020 2,709 18,83 0,00Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00
Os coeficientes são marginalmente significativos.
Estimativas para a Variância
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 2,516 0,674 3,73 0,00Publicidade 0,135 0,051 2,65 0,00
Os coeficientes são marginalmente significativos.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 17 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Estimativas Modelo Ajustado MVR
Estimativas para a Média
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 50,984 2,748 18,55 0,00Publicidade 7,902 0,274 28,88 0,00
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 18 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Estimativas Modelo Ajustado MVR
Estimativas para a Média
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 50,984 2,748 18,55 0,00Publicidade 7,902 0,274 28,88 0,00
Os coeficientes são marginalmente significativos.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 18 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Estimativas Modelo Ajustado MVR
Estimativas para a Média
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 50,984 2,748 18,55 0,00Publicidade 7,902 0,274 28,88 0,00
Os coeficientes são marginalmente significativos.
Estimativas para a Variância
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 2,641 0,766 3,45 0,00Publicidade 0,130 0,057 2,27 0,02
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 18 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Estimativas Modelo Ajustado MVR
Estimativas para a Média
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 50,984 2,748 18,55 0,00Publicidade 7,902 0,274 28,88 0,00
Os coeficientes são marginalmente significativos.
Estimativas para a Variância
Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 2,641 0,766 3,45 0,00Publicidade 0,130 0,057 2,27 0,02
Os coeficientes são marginalmente significativos.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 18 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Análise de Diagnóstico Média
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Índice
Distâ
ncia
de C
ook
1
80 100 140 180
−3−2
−10
12
3
Valor Ajustado
Resíd
uo S
tude
ntiza
do
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 19 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Análise de Resíduos Média
−2 −1 0 1 2
−3−2
−10
12
Percentil da N(0,1)
Res
íduo
Stu
dent
izad
o
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 20 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Análise de Diagnóstico Variância
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
Índice
Dis
tânc
ia d
e C
ook 1
15
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 21 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Análise de Resíduos Variância
−2 −1 0 1 2
−4−2
02
Percentil da N(0,1)
Res
íduo
Com
pone
nte
do D
esvi
o
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 22 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Observações Influentes
Comentários
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 23 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Observações Influentes
Comentários
A observação #1 aparece como possivelmente influente nasestimativas do modelo para a média.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 23 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Observações Influentes
Comentários
A observação #1 aparece como possivelmente influente nasestimativas do modelo para a média.
As observações #1 e #15 aparecem como possivelmenteinfluentes nas estimativas do modelo para a variância.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 23 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Observações Influentes
Comentários
A observação #1 aparece como possivelmente influente nasestimativas do modelo para a média.
As observações #1 e #15 aparecem como possivelmenteinfluentes nas estimativas do modelo para a variância.
A eliminação individual das observações não muda a inferência,todos os coeficientes continuam significativos.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 23 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Modelo Ajustado MV
Ajuste para a Média
µ̂(publicidade) = 51, 020 + 7, 898 × publicidade,
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 24 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Modelo Ajustado MV
Ajuste para a Média
µ̂(publicidade) = 51, 020 + 7, 898 × publicidade,
em que µ̂(publicidade) denota o valor predito de faturamento para ogasto com publicidade.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 24 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Modelo Ajustado MV
Ajuste para a Média
µ̂(publicidade) = 51, 020 + 7, 898 × publicidade,
em que µ̂(publicidade) denota o valor predito de faturamento para ogasto com publicidade.
Ajuste para a Variância
σ̂2(publicidade) = exp(2, 516 + 0, 135 × publicidade),
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 24 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Modelo Ajustado MV
Ajuste para a Média
µ̂(publicidade) = 51, 020 + 7, 898 × publicidade,
em que µ̂(publicidade) denota o valor predito de faturamento para ogasto com publicidade.
Ajuste para a Variância
σ̂2(publicidade) = exp(2, 516 + 0, 135 × publicidade),
em que σ̂2(publicidade) denota o valor predito para a variância dofatumento para o gasto com publicidade.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 24 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Interpretação das Estimativas MV
Estimativas para a Média
Para cada aumento de 1000 USD no gasto anual com publicidadeespera-se aumento de 7898 USD no faturamento anual dorestaurante.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 25 / 29
Ajuste Modelo Duplo
Interpretação das Estimativas MV
Estimativas para a Média
Para cada aumento de 1000 USD no gasto anual com publicidadeespera-se aumento de 7898 USD no faturamento anual dorestaurante.
Estimativas para a Variância
Para cada aumento de 1000 USD no gasto anual com publicidadeespera-se aumento de 14,5% (exp(0,135)×100%) na variância dofaturamento anual.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 25 / 29
Conclusões
Sumário
1 Faturamento de Restaurantes
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Ajuste Modelo Duplo
5 Conclusões
6 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 26 / 29
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 27 / 29
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Este é um exemplo em que há indícios de heteroscedasticidadeatravés do gráfico do resíduo padronizado contra o valor ajustadodo modelo homocedástico.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 27 / 29
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Este é um exemplo em que há indícios de heteroscedasticidadeatravés do gráfico do resíduo padronizado contra o valor ajustadodo modelo homocedástico.
O ajuste do modelo duplo, em que a média e a variância sãoajustados conjuntamente, mostra-se mais adequado confirmandoa dependência do faturamento médio anual bem como davariância do faturamento anual com o gasto anual compublicidade.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 27 / 29
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Este é um exemplo em que há indícios de heteroscedasticidadeatravés do gráfico do resíduo padronizado contra o valor ajustadodo modelo homocedástico.
O ajuste do modelo duplo, em que a média e a variância sãoajustados conjuntamente, mostra-se mais adequado confirmandoa dependência do faturamento médio anual bem como davariância do faturamento anual com o gasto anual compublicidade.
Os métodos de máxima verossimilhança e máximaverossimilhança restrita levam a resultados numéricos muitoparecidos e aos mesmos resultados inferenciais.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 27 / 29
Referências
Sumário
1 Faturamento de Restaurantes
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Ajuste Modelo Duplo
5 Conclusões
6 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 28 / 29
Referências
Referências
Referências
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 29 / 29
Referências
Referências
Referências
Montgomery, D. C.; Peck, E. A. e Vining, G. G. (2001).Introduction to Linear Regression Analysis, Third Edition.Hoboken: Wiley.
G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 29 / 29
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