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Factorización de polinomios:

Trinomios cuadráticos

Prof. Luisa Leonardo Suárez

Prof. Yuitza T. Humarán

Prof. Caroline Rodríguez

Método de tanteo cuando a=1

Cuando los trinomios cuadráticos

ax2 + bx + c

tienen a = 1, es decir, son de la forma

x2 + bx + c,

el trinomio factoriza si existen factores

de c tal que su suma es igual a b.

Ejemplo –

a) Necesitamos dos números que multiplican 6 y suman 5

b) factores de 6: (1)(6) = 6

(2)(3) = 6

c) Con los factores formamos dos binomios

(x + ) (x + )

d) La factorización del polinomio es:

652 xx

( 2)( 3)x x

2 3 2 6x x x 2 5 6x x

1. Factorice completamente:

2 3

Verificación:

( 2)( 3)x x

(2)+(3) =5

(1)+(6) =7

Ejemplo –

a) Necesitamos dos números que multiplican -5 y suman 4

b) factores de -5: (1)(-5) = -5

(-1)(5) = -5

c) Con los factores formamos dos binomios

(x + ) (x + )

d) La factorización del polinomio es:

2. Factorice completamente:

-1 5

Verificación:

2 4 5x x

( 1)( 5)x x

2 5 1 5x x x ( 1)( 5)x x

(1)+(-5) = -4

(-1)+(5) = 4

Ejemplo –

a) Necesitamos dos números que multiplican ____ y suman

_____.

b) Posibles combinaciones son:

a) La factorización del polinomio es:

3. Factorice completamente:

Verificación:

2 5 14y y

Ejemplo

Necesitamos dos números que multiplican _____ y

suman _____.

Las posibles combinaciones son:

Por lo tanto, la factorización del polinomio es

4. Factorice completamente: 2 10 24y y

Ejemplo

Necesitamos dos números que multiplican _____ y

suman _____.

Las posibles combinaciones son:

Por lo tanto, la factorización del polinomio es

.

5. Factorice completamente: 𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟑𝟎

Ejemplo

Necesitamos dos números que multiplican _____ y suman

_____.

Las posibles combinaciones son:

Por lo tanto, la factorización del polinomio es

5. Factorice completamente: 𝒑𝟐 + 𝟏𝟗𝒑 + 𝟒𝟐

Resolver 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑥 = 0

Para resolver una ecuación cuadrática con forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑥 = 0

1. Factorizamos la expresión cuadrática 2. Igualamos cada factor a 0 y resolvemos

las ecuaciones lineales que se forman. 3. Las soluciones de las ecuaciones

lineales forma el conjunto solución de la ecuación cuadrática.

Ejemplo

Resolver (x + 2)(x + 3) = 0

Solución: • Como ya la expresión está factorizada,

igualamos cada factor a 0. x + 2 = 0 x + 3 = 0 • Resolvemos cada ecuación x = -2 x = -3 • Entonces el conjunto solución de la ecuación

es {-3, -2}.

Ejemplo

Resolver 𝑦2 − 11𝑦 + 10 = 0

Solución: • Factorizamos la expresión cuadrática: (𝑦 − 10)(𝑦 − 1)= 0 • Resolvemos cada ecuación y − 10 = 0 y − 1 = 0 y = 10 y = 1 • Entonces el conjunto solución de la ecuación

es {10, 1}.

Problem set 6.3 Pg 247

Método de tanteo cuando a≠ 1

Para factorizar por tanteo un polinomio

ax2 + bx + c,

cuando a≠ 1, se tantea con los factores

de a y de c para formar dos binomios.

22 17 21x x

Estos son factores de . 22x Estos son

factores de 21.

= (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)

Tanteo con a≠ 1: Ejemplo

Factorice completamente.

1. factores de 9:

factores de 4:

Las posibles combinaciones son:

Por lo tanto, la factorización de es

4159 2 xx

1(9) 3(3)

1(4) 2(2)

(9 4)( 1)x x

(9 1)( 4)x x

(9 2)( 2)x x

(3 2)(3 2)x x

(3 1)(3 4)x x

4159 2 xx(3 1)(3 4).x x

29 13 4x x

29 37 4x x 29 20 4x x

29 12 4x x 29 15 4x x

Factorizar trinomios - método AC

Un trinomio cuadrático

ax2 + bx + c

factoriza si existen factores de ac

que sumen b.

El método AC expande el trinomio a

un polinomio de 4 términos y aplica

agrupación para factorizar.

Factorice: 3x2 + 5x + 2

En esta expresión a=3, b= 5 , c= 2 , ac= 6

Se necesitan dos números que multiplican 6 y

suman 5.

Los factores son: 3 y 2

= 3x2 + 3x + 2x + 2

= 3x( ) + 2( )

= (x + 1)(3x + 2)

Factorizar trinomios - método AC

( ) ( )

x + 1 x + 1

Factorice: 6𝑥2+ 𝑥 − 15

En esta expresión a= , b= , c= , ac=

El trinomio factoriza si existen dos números

que multiplican ___ y suman ___.

Los factores son: ____ y ____

Se factoriza por agrupación y se obtiene:

El trinomio factoriza:

Factorizar trinomios - método AC

Factorización de trinomios

Factorice: 12w2 – 11w + 2

En esta expresión a= , b= , c= , ac=

El trinomio factoriza si existen dos números que

multiplican ___ y suman ___.

Los factores son: ____ y ____

Se factoriza por agrupación y se obtiene:

El trinomio factoriza:

Factorización de trinomios

Factorice: 6p2 – p – 5

• En esta expresión a= , b= , c= , ac=

• El trinomio factoriza si existen dos

números que multiplican ___ y suman

___.

• Los factores son: ____ y ____

• Se factoriza por agrupación y se

obtiene:

• El trinomio factoriza:

Resolver 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑥 = 0

Para resolver una ecuación cuadrática con forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑥 = 0

1. Factorizamos la expresión cuadrática 2. Igualamos cada factor a 0 y resolvemos

las ecuaciones lineales que se forman. 3. Las soluciones de las ecuaciones

lineales forma el conjunto solución de la ecuación cuadrática.

Resuelva: 2x2 + 7x + 5 = 0 1) Factorice la expresión cuadrática

En esta expresión a=2, b=7, c=5, ac=10

Buscamos factores de 10 que sumen 7.

Los factores son: 2 y 5

= 2x2 + 2x + 5x + 5

= 2x( ) + 5( )

= (x + 1) (2x + 5)

2) Igualar cada factor a 0 y resuelva las ecuaciones

x + 1 = 0 2x + 5 = 0

x = -1 2x = - 5

x = - 5

2

Resolver ecuaciones cuadráticas

( ) ( ) x + 1 x + 1

El conjunto solución es

−1, − 5

2

Resuelva: 3x2 − 8x + 4 = 0 1) Factorice la expresión cuadrática

2) Igualar cada factor a 0 y resuelva las ecuaciones

3) El conjunto solución es:

Resolver ecuaciones cuadráticas