Λύσεις: Τελική Εξέταση 24 Ιανουαρίου...

Σελίδα1από6

Φ230:ΑστροφυσικήΙ

Λύσεις:ΤελικήΕξέταση24Ιανουαρίου2017ΔίνονταιΤοαπόλυτομέγεθοςτουΉλιουστοοπτικό(V-band)MV=4.8,ηλαμπρότητατουΉλιου𝐿⨀=3.8x10

26Watt,η μάζα του Ήλιου 𝛭⨀=1.98x10

30 kgr και η ακτίνα του 𝑅⨀=7x108 m, η σταθερά παγκόσμιας έλξης

G=6.67x10-11Nm2kgr2.

1. ΔιαβάζετεκάπουότιημέσηελεύθερηδιαδρομήενόςφωτονίουστοεσωτερικότουΉλιουείναι𝑙 = 0.3 𝑐𝑚. α) Τι σημαίνει αυτό;Ποιος είναι ο ορισμός της μέσης ελεύθερης διαδρομής; (0.5μονάδες). β) Αποδείξτε ότι για έναφωτόνιο με μέση ελεύθερη διαδρομή 𝒍, το οποίο εκτελεί

τυχαίοβηματισμόαπαιτούνται𝛮 = !!

!βήματαγιανακαλύψειμιααπόστασηd.(1μονάδα).

γ)ΠόσοχρονικόδιάστημαθαπεράσειγιαναφθάσειέναφωτόνιοαπότοκέντροτουΉλιουστηνεπιφάνειάτου;Δώστετοαποτέλεσμάσαςσεέτη.Συγκρίνετέτομετοχρονικόδιάστημαπουθααπαιτούντανεάναυτότοφωτόνιοκάλυπτετηνίδιααπόστασηστοκενό(1μονάδα).

Απάντηση:α)Μέση ελεύθερη διαδρομή τουφωτονίου είναι η απόσταση την οποία θα διανύσει ευθύγραμμα τοφωτόνιοπριναλληλεπιδράσειέντοναμετηνύληστοεσωτερικότουΉλιου.Ηπιοπιθανήαλληλεπίδρασηείναιησκέδασήτουμεκάποιααπόταελεύθεραηλεκτρόνιαταοποίαπροέρχονταιαπότονιονισμότουυδρογόνου, ηλίου και άλλων χημικών στοιχείων λόγω της υψηλής θερμοκρασίας που υπάρχει στοεσωτερικότουΉλιου

β) Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα ?? του βιβλίου «Εισαγωγή στη Σύγχρονη Αστρονομία» των Χ.ΒάρβογληκαιΙ.Σειραδακη.γ) Τοσυνολικό χρονικόδιάστημαπουαπαιτείται είναι ίσομε το χρόνοπου χρειάζεται τοφωτόνιο ναολοκληρώσειτα𝛮βήματα,ώστεναδιανύσειμίααπόστασηίσημετηνακτίνατουΉλιου,𝑑 = 𝑅⨀.Ο χρόνος πουαπαιτείται για να κάνει ένα βήμα, δηλαδή να διανύσει απόσταση ίσημε την ελεύθερηδιαδρομή 𝑙, υπολογίζεται εύκολα μια που το φωτόνιο κινείται με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα τουφωτός𝑐στοκενό(αφούδεναλληλεπιδράμετηνύλη)καιείναιαπλά:

𝑡 =𝑙𝑐

Έτσιτοσυνολικόχρονικόδιάστημαείναι

𝛵 = 𝛮 ∗ 𝑡 =𝑑𝑙

! 𝑙𝑐=

𝑅⨀!

𝑙𝑐=

7×10! !

0.003 × 3×10!= 5.44×10!!𝑠𝑒𝑐 = 17264 𝑦𝑟𝑠

ΤοχρονικόδιάστηματοοποίοθαχρειαζόταντοφωτόνιογιανακαλύψειαπόστασηίσημετηνακτίνατουΉλιουστοκενόείναιαπλά:

𝜏 =𝑅⨀𝑐=7×10!

3×10!= 2.33 𝑠𝑒𝑐

Δηλαδήστοκενόηαπόσταση𝑅⨀καλύπτεται

!!= 5.44×1011

2.33 = 2.33×10!! = 233δισεκατομμύριαφορέςπιογρήγορα

Σελίδα2από6

2. Ένα σφαιρωτό σμήνος αποτελείται από 100,000 αστέρες, καθένας από τους οποίους έχειλαμπρότηταστοοπτικό (V-band) ίσημε1,5𝐿⨀. Εάν τοπαρατηρήσιμοφαινόμενομέγεθος τουσμήνους, ως σύνολο, είναι mV=5 στο οπτικό, να υπολογιστεί η απόσταση του σμήνους σεparsec. (2 μονάδες). β) Αν σας έλεγαν ότι υπάρχει μεσοαστρική απορρόφηση λόγω σκόνηςανάμεσασεεμάςκαι τοσμήνος ίσημεAV=2,πόσηθαήταντότεηπραγματικήαπόστασητουσμήνους(0.5μονάδες).

Απάντηση:α)Έστω𝑑! ηαπόστασητουσμήνουςαπόεμάς,τουοποίουησυνολικήλαμπρότηταστοοπτικόείναι

𝐿!,! = 100000 ×1.5𝐿⨀ = 1.5×10!𝐿⨀Ηροήακτινοβολίας,F!,!,πουλαμβάνουμεαπότοσμήνοςείναι

F!,! =!!,!

!! !! !(1)

ενώτοφαινόμενομέγεθόςτου,τοοποίομαςδίνεταιότιείναι𝑚! = 5,τοσυμβολίζουμεστησυνέχειαγιαλόγουςευκρίνειαςως𝑚!,!καιθασχετίζεταιμετηροήτουμετογνωστότύπο

𝑚!,! = −2.5 log!"!!,!!!,!

(2)

όπουF!,!ηροήακτινοβολίαςστοφίλτροVπουλαμβάνουμεαπότοVega,οοποίοςκαιχρησιμοποιείταιωςαστέραςαναφοράς.ΑντίστοιχαγιατονΉλιο,μαςδίνεταιότιτοαπόλυτομέγεθόςτου(δηλαδήτοφαινόμενομέγεθοςπουθαείχεανβρισκότανσεαπόσταση𝑑 = 10𝑝𝑐)στοοπτικόείναι𝛭!,⨀ = 4.8, οπότε

𝛭!,⨀ = −2.5 log!"!!,⨀!!,!

(3)

όπου

F!,⨀ = !⨀!!!!

(4)

ηροήακτινοβολίαςπουθαλαμβάναμεαπότονΉλιο,ανβρισκότανστα10pc.Αφαιρώνταςκατάμέλητις(2)και(3)καιαντικαθιστώνταςστησυνέχειατις(1)και(4)έχουμε:

𝑚!,! − 𝛭!,⨀ = −2.5 log!"F!,!F!,⨀

= −2.5 log!"

𝐿!,!4𝜋 𝑑! !

𝐿⨀4𝜋𝑑!

⇒

𝑚!,! − 𝛭!,⨀ = −2.5 log!"!!,!!⨀

!!!

! (5)

Αντικαθιστώνταςτιςαριθμητικέςτιμέςστην(5)καιβάζονταςτιςαποστάσειςσεparsec(pc)έχουμε

5 − 4.8 = −2.5 log!"1.5×10!×10!

𝑑! ! ⇒ 0.2 = −17.94 + 5 log!" 𝑑! ⇒

𝑑! = 10!",!"! 𝑝𝑐 ⇒ 𝒅𝜮 = 𝟒𝟐𝟒𝟔 𝒑𝒄

β) Εάν υπήρχε μεσοαστρική απορρόφηση ΑV=2, τότε προφανώς το φαινόμενο μέγεθος πουπαρατηρούμε (𝑚!,! = 5) δεν θα οφείλεται μόνο στη δεδομένη απόσταση 𝑑! του σμήνους (όσο πιομακρυά, τόσο πιο αμυδρό) αλλά και στο ότι μέρος της ακτινοβολίας που έρχεται προς εμάςαπορροφάταικαισκεδάζεταιαπότησκόνη.

Σελίδα3από6

Επομένωςανδενυπήρχεησκόνη,τοσμήνοςθαέπρεπεναεμφανίζεταιφωτεινότεροκαιαντιστοίχωςτοπραγματικόφαινόμενομέγεθόςτουθαήτανm!,!

! = 𝑚!,! − 𝐴! = 5 − 2 ⇒ m!,!! = 3.

Βάζονταςαυτήτηνέατιμήm!,!

! στην(5)έχουμε

3 − 4.8 = −2.5 log!"1.5×10!

𝑑! ! ⇒ −1.8 = −17.94 + 5 log!" 𝑑! ⇒

𝑑! = 10!",!"! 𝑝𝑐 ⇒ 𝒅𝜮 = 𝟏𝟔𝟗𝟎 𝒑𝒄

Τοαποτέλεσμααυτόείναιλογικό.Ηπαρουσίασκόνηςκάνειταάστραναφαίνονταιπιοαμυδράαπόότιείναι,δηλαδήέχειωςαποτέλεσμαναμαςδημιουργείτηνεντύπωσηότιβρίσκονταιπιομακρυά.

Σελίδα4από6

3. ΈνααστέριβρίσκεταιστηνΚύριαΑκολουθίακατάτομεγαλύτεροπερίοδοτης«ζωής»τουχωρίςνααλλάζειουσιαστικάηακτίνατου.α)Πώςείναιαυτόεφικτόμιαπουηβαρύτητασυμπιέζειταανώταταστρώματάτουπροςτοκέντρο;(0.5μονάδες).β)ΥπολογίστετοχρόνοπουπαραμένειστηνΚύριαΑκολουθίαένααστέριτοοποίοαρχικάβρίσκεταιστοκάτωάκροτηςμε𝛭 = 0.3𝛭⨀,T=3000K,log 𝐿 𝐿⨀ =-1.8.Υποθέστεότιτοαστέριαποτελείταικατά100%απόυδρογόνοκαιότιμπορείναμετατρέψειτο20%τουυδρογόνουτου.(2μονάδες).

α)ΟλόγοςγιατονοποίοηακτίνατουαστεριούτοοποίοβρίσκεταιστηνΚύριαΑκολουθίαπαραμένειπρακτικά σταθερή οφείλεται στο ότι σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του αστεριού η πίεση λόγω της

βαρύτητας(𝑃!"#$~ !!!

!!),πουέχειδιεύθυνσηπροςτοκέντρο,αντισταθμίζεταιαπόμίαίσηκαιαντίθεση

πίεσηπουπροέρχεταιτόσοαπότηνκίνησητωνσωματίωνωςιδανικόαέριο(𝑃!"# = 𝑁𝑘!𝑇)όσοκαιαπότηνπίεσηακτινοβολίαςτωνφωτονίων(𝑃!"# =

!!𝑎 𝑇!)πουέχουνδημιουργηθείλόγωτωνπυρηνικών

αντιδράσεωνκαικινούνταιπροςταέξω.Ηισορροπίαδιατηρείταιδιότιορυθμόςμετονοποίοενέργειαεκλύεται από πυρηνικές αντιδράσεις στο κέντρο αστεριού εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τηθερμοκρασίαστηνοποίαγίνονταιοιαντιδράσεις.Γιατηναλυσίδαp-pηεξάρτησηαυτήείναι~𝛵!,ενώγιατονκύκλοCNO~𝛵!".Αυτήηεξάρτησηλειτουργείως«θερμοστάτης».Εάνγιακάποιολόγομειωθείλίγοηακτίνααστεριού,ηπίεσηστοκέντροθααυξηθείκαιεπομένωςθααυξηθείκαιηθερμοκρασίατου.Αύξησητηςθερμοκρασίαςέχειωςσυνέπειαμεγαλύτερηπαραγωγήενέργειας(πχπερισσότεραφωτόνια)ηοποίαθαέχειωςαποτέλεσμασημαντικήαύξησητηςπίεσηςπροςταέξωηοποίαθαυπερνικήσειγιαλίγοτηνβαρυτικήπίεσηκαιεπομένωςτοαστέριθαδιασταλεί.ΑνόμωςδιασταλείτοαστέριηακτίνατουRθααυξηθεί,ηβαρυτικήπίεσηστοκέντροθαελαττωθείμεαποτέλεσμαηθερμοκρασίαεκείναπέσει.Αυτόόμωςθαμειώσειτηνπαραγωγήενέργειαςμεαντίστοιχημείωσητηςπίεσηςπροςταέξω,καιέτσιτοαστέριθαεπανέλθειστοαρχικότουμέγεθος.β) Από τη στιγμή που η λαμπρότητα του αστέρα είναι log 𝐿 𝐿⨀ =-1.8, ο ρυθμός με τον οποίοακτινοβολείενέργειαείναι:

𝑙𝑜𝑔 𝐿 𝐿⨀ = −1.8 ⇒ 𝐿 = 10!!.!𝐿⨀ ⇒ 𝐿 = 6.0× 10!" 𝑊𝑎𝑡𝑡Ηδιαθέσιμηενέργειαηοποίαμετατρέπεταισεακτινοβολίαλόγωσύντηξης του20%τηςμάζας𝛭 τουαστεριούστονπυρήνατουαπότουυδρογόνοσεήλιοείναιτο0.7%αυτής.Δηλαδή:

𝛦 =0.7100

×20100

𝛭 𝑐! =0.7100

20100

0.3×1.98×10!" 3×10! ! ⇒ 𝐸 = 7.48×10!"𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠

ΕπομένωςοχρόνοςζωήςτουαστεριούστηνΚύριαΑκολουθίαθαείναι

𝑡 =𝐸𝐿=7.48×10!" 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠6.0×10!" 𝑊𝑎𝑡𝑡

= 1.24×10!"𝑠𝑒𝑐 ⇒ 𝑡 = 3.95×10!! 𝑦𝑒𝑎𝑟𝑠Μιαπου

1 𝑦𝑒𝑎𝑟 = 365 × 24×3600 sec ⇒ 1 𝑦𝑒𝑎𝑟 = 3.15×10!𝑠𝑒𝑐

Σελίδα5από6

4. Η μάζα ενός λευκού νάνου, ο οποίος βρίσκεται σε διπλό σύστημα, αυξάνεται λόγωπρόσπτωσης μάζας από το συνοδό άστρο. Όταν η μάζα του ξεπεράσει το όριοChandrashekhar καταρρέει σε αστέρα νετρονίων. α) Εξηγείστε αναλυτικά (χωρίςαναγκαστικάνακάνετετημαθηματικήαπόδειξη)τηφυσικήδιεργασίαπουδιατηρείσεισορροπίαέναλευκόνάνο.Πώςαλλάζειηακτίνατουλευκούνάνουκαθώςαυξάνεταιημάζατου;(0.5μονάδες).β)ΓιαποιολόγοδενείναιδυνατόνναέχουμεευσταθήλευκόνάνομεμάζαάνωτουορίουChandrashekhar.Πόσοείναιαυτότοόριο;(0.5μονάδες).γ)Ποιαείναιητελικήακτίνατουλευκούνάνουκαιποιααυτήτουαστέρανετρονίων(μάζας ίση με το όριο Chandrashekhar); Γράψτε και τις δύο σε χιλιόμετρα (km) (0.5μονάδες).δ)Πόσηενέργειαεκλύεταικατάτημετατροπήτουπαραπάνωλευκούνάνουσεαστέρανετρονίων;(1μονάδα).

α) Στοεσωτερικόενόςλευκούνάνουδεγίνονταιπλέονπυρηνικέςαντιδράσεις.Ολόγοςγια τονοποίοέναςλευκόςνάνοςδιατηρείταισευδροστατικήισορροπίαοφείλεταιστοότιηπίεσητηςβαρύτηταςστοεσωτερικό του εξισορροπείται από την κβαντομηχανική πίεση των ελεύθερων («εκφυλισμένων»)ηλεκτρονίων(𝑁!) πουέχουναποσπαστείαπόταάτομα(He,C,O)ταοποίαείναιπλήρωςιονισμέναλόγωτης υψηλής θερμοκρασίας μέσα στο εσωτερικό του λευκού νάνου. Η κβαντομηχανική αυτή πίεση,οφείλεταιστηναπαγορευτικήαρχήτουPauliηοποίαδενεπιτρέπειπάνωαπόδύοφερμιόνιαμεσπιν½(όπωςταηλεκτρόνια)ναβρίσκονταιστην ίδιαθέσηστοχώρο.Στηνπερίπτωσηπουταηλεκτρόνιαδενκινούνταιμεταχύτητεςκοντάστηνταχύτητατουφωτός(μησχετικιστικά)δίνεταιαπότησχέση

𝑃!"#$%"&~ℏ!

𝑚!𝑛!!/!

όπουℏησταθεράPlanck,𝑚!είναιημάζατουηλεκτρονίουκαι𝑛! =!!!= !!

!!!!

!,ηαριθμητικήπυκνότητα

τωνηλεκτρονίων.

Καθώςαυξάνεταιημάζατουλευκούνάνουαυξάνεταιηβαρυτικήπίεση(𝑃!"#$~ !!!

!!)καιεπομένωςγια

να παραμείνει το άστρο σε ισορροπία πρέπει να μειωθεί η ακτίνα του ώστε να αυξηθεί και ηκβαντομηχανικήπίεση.Εξισώνονταςτιςδύοπιέσειςκαιμιαπουοαριθμόςτωνελεύθερωνηλεκτρονίωνείναιίσοςμετοναριθμότωνπρωτονίωνκαιανάλογοςτηςμάζαςτουλευκούνάνου(𝑁!~𝛭),μπορείνααποδειχθείεύκολαότι𝑅~𝑀!!/!.β) Το όριο Chandrashekhar είναι ίσο με~1.4 𝑀⨀. Ο λόγος για τον οποίο δεν είναι δυνατόν να έχομεευσταθήλευκόνάνομεμάζαμεγαλύτερηαπότοπαραπάνωόριοοφείλεταιστοότικαθώςαυξάνεταιημάζα του μειώνεται η ακτίνα, περιορίζεται ο διαθέσιμος χώρος των ελεύθερων ηλεκτρονίων καιαυξάνεται (λόγω τηςαρχής του Pauli) η ταχύτητά τους η οποίααρχίζει ναπλησιάζει προοδευτικά τηνταχύτητα τουφωτός (𝑐) τηνοποίακαιδεμπορούννα ξεπεράσουν.Τότεόμωςηπίεσηδίνεταιαπό τησχέση

𝑃!"#$%"&~ℏ𝑐 𝑛!!/!

Μπορείνααποδειχθείότιστηνπερίπτωσηαυτή,ότανπλέονταηλεκτρόνιαέχουνταχύτηταπολύκοντάσεαυτήτουφωτόςδενυπάρχειευσταθήςλύσηισορροπίαςστηνακτίνατουλευκούνάνου.γ)Ηακτίνα,𝑅!",ενόςλευκούνάνουμάζαςMδίνεταιαπότησχέση

𝑅!" = 0.01𝑅⨀𝛭

0.7𝛭⨀

!!/!

όπου𝑅⨀και𝛭⨀ηακτίνακαιμάζατουΉλιουαντίστοιχα,

Σελίδα6από6

ενώηακτίνα,𝑅!",ενόςαστέρανετρονίωνείναι:

𝑅!" = 11𝑘𝑚𝛭

1.4𝛭⨀

!!/!

Θέτοντας στις παραπάνω σχέσεις τη μέγιστη μάζα 1.4𝑀⨀ στην οποία μπορεί να φθάσει ένα λευκόςνάνοςβρίσκουμεότιηελάχιστηακτίνατουθαείναι𝑹𝜦𝜨 = 𝟓𝟓𝟓𝟔𝒌𝒎,ενώότανγίνειαστέραςνετρονίωνμάζας1.4𝑀⨀,θαέχειακτίναμόλις𝑹𝑨𝑵 = 𝟏𝟏𝒌𝒎.

δ)ΗδυναμικήενέργειαμιαςομογενούςσφαίραςμάζαςΜ,καιακτίναςRδίνεταιαπότησχέση

𝑈 𝑅 = −35𝐺𝑀!

𝑅

Υποθέτοντας ότι τόσο ό λευκός νάνος μάζας 1.4𝑀⨀ όσο και ο αστέρας νετρονίων έχουν σταθερήπυκνότηταστοεσωτερικότους,ότανολευκόςνάνοςξεπεράσειτοόριοChandrashekharκαικαταρρεύσεισεαστέρανετρονίωνηδυναμικήτουενέργειαθαελαττωθείκατά

𝛥𝑈 = 𝑈 𝑅!" − 𝑈 𝑅!" = −35𝐺𝑀! 1

𝑅!"−

1𝑅!"

Σύμφωνα με το θεώρημα virial το μισό της ενέργειας αυτής θα εκλυθεί στο διάστημα με τη μορφήακτινοβολίαςκαιθαείναι:

𝛦 =𝛥𝑈2= −

310𝐺𝑀! 1

𝑅!"−

1𝑅!"

=310𝐺𝑀! 𝑅!" − 𝑅!"

𝑅!"𝑅!"~310𝐺𝑀! 1

𝑅!"⇒

𝛦~3106.67×10!!!× 1.4×1.98×10!" !

11×10!⇒

𝜠~𝟏.𝟑𝟗×𝟏𝟎𝟒𝟔𝑱𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔