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Expresiones Algebraicas y

Polinomios

Prof. Glorymill Santiago Labrador

Adaptado por:

Prof. Anneliesse Sánchez, Prof. Caroline Rodríguez

Universidad de Puerto Rico en Arecibo

Departamento de Matemáticas

• Álgebra utiliza letras como “x” y “y” para

representar números.

• Si una letra se utiliza para representar varios

números, se llama una variable.

• Si x representa el numero de minutos que

una persona puede estar expuesto al sol sin

quemarse (si no usa protector solar).

Entonces, x es una variable, por que puede

asumir un valores diferentes.

Variables

• Si una letra se utiliza para representar un

solo número, se llama una constante.

• Ej. Si d representa el número de días

en la semana, entonces d siempre tiene

el valor 7.

Entonces, d es una constante.

Constantes

• Una combinación de variables y constantes con las

operaciones de suma, resta, multiplicación o

división, así como potencias o raíces, se llama una

expresión algebraica.

• Una expresión algebraica representa un número

real.

Expresiones Algebraicas

Ejemplos: 3x + 4y

3w + 1 – x – z 3

14 x

5

2 xyz

Términos

Los términos de una expresión algebraica son las

partes de la expresión que se separan mediante una

operación de suma o resta que NO está contenido

dentro de símbolos de agrupación.

Los siguientes son ejemplos de expresiones que

tienen un solo término:

x23

x

5

y8

3z

xy

23xy

4

57 x

5

yx 2

Términos (cont.)

A los términos que incluyen variables se

conocen como términos variables.

A los términos que no incluyen

variables, o que sólo incluyen

constantes se les conoce como

términos constantes.

Cantidad de términos Una expresión se compone de uno o más términos asociados entre

si mediante la suma o la resta.

Ejemplos: Determinar el número de términos

a) 3x + 7y2 – 5

b) -2(x+y)

Práctica

37

4

zy

x

xy

xy5

3

4

972 x

Indique la cantidad de términos que tienen las siguientes

expresiones:

3

5

x

x

9𝑥3 −2

𝑥− 5

5

Coeficientes El factor numérico de un término se

conoce como el coeficiente.

Ejemplos:

El coeficiente de -3x2y es

El coeficiente de 5y3 es

El coeficiente de -2s es

El coeficiente de xyz es

El coeficiente de 2𝑥𝑦

3 es

Evaluación de Expresiones

Algebraicas:

Si tenemos una expresión algebraica digamos :

• Esta expresión representa valores

diferentes dependiendo, de los valores

que se asignan a las variables.

• Determinar el valor de la expresión para

ciertos valores de la variables se conoce como

evaluar la expresión.

2xy + 3x2y – 5xy2

Evaluación de Expresiones

Algebraicas (cont.)

Evalúe para x = 7 , y = -3 la expresión

2xy + 3x2y – 5xy2

Evaluación de Expresiones Algebraicas

Evalúe 𝑝 + 3

𝑝 − 1− 5𝑝 + 2,

para p = - 3

Términos semejantes

Dos términos son semejantes sí y solo si tienen las

mismas variables elevadas éstas a los mismos

exponentes o potencias.

Ejemplos:

Práctica Dos términos son semejantes sí y solo si tienen las mismas variables elevadas éstas a los mismos exponentes. Indicar si las parejas de términos son o no son semejantes.

Semejantes No semejantes

4xy; 2yx

53wz; 74wz 6wzr; wzr

6

3xy; 3x2y

7xy; 7x

y

6pq; −6pq

Simplificación o reducción de

expresiones algebraicas

Para reducir términos aplicamos propiedades

básicas del álgebra

propiedad conmutativa: a + b = b + a; ab = ba

propiedad asociativa: (a + b)+ c = a + (b + c); a(bc) = (ab)c

propiedad distributiva, ab + ac = (b + c)a = a(b + c)

Ejemplos:

6 + (8 + p) =

− 10(9.2x)=

−3w + 5w =

Reducir cada expresión algebraica

a) b)

Simplificar cada expresión

algebraica

c) d)

Polinomios

Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión algebraica

que cumple con las siguientes condiciones:

Ningún término de la expresión tiene un

denominador que contiene variables

Ningún término de la expresión tiene un radical que

contiene variables

Todos los exponentes de las variables son enteros

no-negativos.

Los polinomios se pueden nombrar con una letra

mayúscula seguida por la(s) variable(s) que contiene

la expresión entre paréntesis. Ej. P(x), Q(x,y)

Polinomios

𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒐

Un polinomio tiene la siguiente forma general:

Donde:

𝒂𝒏, 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐, …., 𝒂𝟎 son coeficientes reales

y las potencias de las variables descienden en valor

Ejemplos de

Polinomios

P(x) = 3x2 – 5x + 1

Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5

G x =9 − 4x − 2x3

5

R(x,y) = 2xy – 7y + 6x

W(p,q) = p + q – 5pq

143 2 xx

53

4 x

x

42

772

3 xxx

354 22

3

xx

3

2

3

174

x

xx

Ejemplos de No

- Polinomios

Clasificar Polinomios

Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad

de términos:

• monomio: un solo término

• binomio: dos términos

• trinomio: tres términos

• De ahí en adelante no reciben nombres particulares

y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli

significa plural, o muchos)

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio se determina de la siguiente forma:

(i) Si el polinomio es en una variable, el grado será la potencia

mayor de la variable.

(ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado se

determina de la siguiente forma: para cada término se suman

las potencias de la(s) variable(s) y el grado será el total

mayor.

Ejemplo:

Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5

Ejemplo:

P(x) = 3x2y– 5xy + x2 y2

Coeficiente principal

El coeficiente principal de un polinomio es la parte numérica del término con la potencia mayor de la variable.

Ejemplos:

P(x) = 3x2 – 5x + 1

Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5

G x =9 − 4x − 2x3

5

Polinomio Grado Coeficiente Principal

P(x) = -5

P(x) = 8 – 7x

Q(z) = 2+ 7z – 4z2

Q(y) = 2y – 51y2 – 12y6 – 7

F(r) = 3r2 – 5r3 + 3r + 45

F(x,y) = 2xy + 6x3y – 4xy2

R(x,y) = 4x2y – 5x2y2 + xy4

R(x,y) = 42x3y2 – x3y3 – 11x3y

Grado de Polinomios – Práctica

Evaluación de Polinomios:

Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente. (Los polinomios SON expresiones algebraicas.)

Ejemplo: Sea P(x) = 3x2 – 5x + 1, hallar P(2).

Nota: La notación P(2) se lee “P de 2” y significa “determinar el valor de la expresión cuando x tiene el valor de 2”

Evaluación de Polinomios

Ejemplo: Si R(p, q) = 2pq + 6pq2 – 4p2q, evalúe R(2, -3)

Notas:

• Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables.

En este caso p=2 y q= -3

• Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay

una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq implica multiplicar el

valor de p por el valor de q

Operaciones entre polinomios

I. Suma y resta de polinomios:

a) Unir los términos semejantes de los polinomios . Luego,

ordena los términos según el grado de los términos.

b) La resta de dos polinomios requiere aplicar la

propiedad distributiva al sustraendo. Esto afectará el

signo de TODOS los términos en éste polinomio.

Luego, se trata como una suma.

c) Si no existen términos semejantes en los polinomios, el

polinomio nuevo se compone de los términos de cada

polinomio, en orden de grado de los términos

Suma y resta de polinomios - ejemplos

13)3x (4x 11) 5x 3x ( a) 22

10)– 11x (2x 7) 5x – (13x b) 22

Simplifique los siguientes ejemplos:

Suma y resta de polinomios - ejemplos

4x) 3x 2(11– 8) 4x– (2x c) 22