exponentielles et logarithmes fonctions exponentielles et logarithmes en terminale l spÉcialitÉ

FONCTIONS EXPONENTIELLES EXPONENTIELLES ET LOGARITHMESET LOGARITHMES

EN TERMINALE L SPEN TERMINALE L SPÉÉCIALITCIALITÉÉ

A – DES SUITES GA – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

I - INTRODUCTIONI - INTRODUCTION

A – DES SUITES GA – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

Certains problèmes, liés aux suites géométriques, ne peuvent pas être résolus à l’aide des suites géométriques …..

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La population d’un village diminue de 5% par an.Un agent de recensement passé dans le village le 15 janvier 2003 a compté 5230 habitants.Combien comptera-t-il d’habitants lorsqu’il repassera le 15 juin 2005 ?

On a placé le 1er janvier 2005 la somme de 1000 € sur un livret rapportant 3,5% d’intérêts (composés) par an.De quelle somme pourra-t-on disposer le 1er mars 2008 ?

Par exemple:

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Une interpolation linéaire est possible,

mais elle donne dans la plupart des cas une approximation trop éloignée du résultat exact.

A – DES SUITES GA – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

-1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

Ici la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5

En rouge : les points représentant les valeurs des termes de d’indices impairs calculés par interpolation linéaire à partir des termes de rangs pairs qui l’encadrent.

En noir: les points représentant les valeurs exactes des termes de la suite.

L’erreur commisedevient rapidementimportante

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II – CONSTRUCTION II – CONSTRUCTION D’UNE FONCTION D’UNE FONCTION EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE

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Les fonctions exponentielles sont présentées comme le prolongement des suites géométriques de premier terme 1 et de raison q strictement positive

La démarche est expérimentale.

Elle consiste à compléter le nuage de points représentant les puissances entières d’un réel strictement positif q

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L’algorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie.

Il s’appuie sur les deux résultats suivants :

Théorème 1:Théorème 1:Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes

consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si

b est la moyenne arithmétique de a et de c

(c’est-à-dire ) 2

a cb

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L’algorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie.

Il s’appuie sur les deux résultats suivants :

Théorème 2:Théorème 2:Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes

consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si

b est la moyenne géométrique de a et de c

(c’est-à-dire ) b ac

A – DES SUITES GA – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

1 2 3 4 5O

u0

u1

u2

u3

u4

u5

Considérons 3 points « consécutifs » de la représentation graphique d’une suite géométrique:

-pour abscisse, la moyenne arithmétique des abscisses des deux points qui l’entourent

-pour ordonnée, la moyenne géométrique des ordonnées des deux points qui l’entourent

Le point « du milieu » admet :

Illustration:

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Exemple:

Construction de la fonction à partir de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5

: 1,5xx

Outils: tableur et grapheur

A – DES SUITES GA – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

1 2 3 4 5O

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1ère étape:Points à abscisses entières

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2ème étape: Points à abscisses de la forme 1

2n

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2ème étape:

1 2 3 4 5O

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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3ème étape: Points à abscisses de la forme et 1

4n 3

4n

A – DES SUITES GA – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

3ème étape:

1 2 3 4 5O

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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Sachant que , on peut compléter le

graphique en partant de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison .

11,5

1,5

nn

1

1,5

On utilise le même processus dichotomique pour obtenir un nombre croissant de points

A – DES SUITES GA – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

On peut répéter le processus« à l’infini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points

A – DES SUITES GA – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

On peut répéter le processus« à l’infini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points

A – DES SUITES GA – DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

Cet ensemble de points suggère la courbe d’une fonction.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

On admet que cette fonction existe et est unique

C’est la fonction ou fonction exponentiellede base 1,5

: 1,5xx

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II – PROPRIII – PROPRIÉTÉSÉTÉS DES DES FONCTIONS FONCTIONS

EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

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Pour tout réel q strictement positif, la fonction exponentielle de base q est la fonction : xx q

Les propriétés suivantes sont admises :

Les fonctions sont définies et dérivables sur R. : xx q

Pour tout réel x, est strictement positif . xq

Pour tous réels x et y, x y x yq q q

Pour tout réel x, 1x

xq

q

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Remarques:Remarques:

L’expression de la dérivée de , l’allure des courbes

des fonctions exponentielles ainsi que leur

comportement à l’infini ne font pas partie des objectifs du

programme.

xq

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

I – DI – DÉFINITION DE LAÉFINITION DE LAFONCTIONFONCTION

EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

Si l’on trace les courbes des fonctions en faisant

varier la valeur de q, il semble qu’il en existe une et une

seule ayant une tangente de coefficient directeur 1 au point

d’abscisse 0

: xx q

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

En effet :

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

ou encore, en gardant la trace des courbes :

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

ou encore, en gardant la trace des courbes :

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

On admet l’existence et l’unicité de cette fonction, appeléefonction exponentielle et notée exp

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

e

L’image de 1 parla fonction exp est leréel noté e.

2,71828e

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

II – PROPRIII – PROPRIÉTÉS DE LAÉTÉS DE LAFONCTIONFONCTION

EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

Les propriétés de la fonction exponentielles se déduisentdes propriétés des fonctions exponentielles de base q.En particulier :

Les images des entiers par la fonction exp sont les termesde la suite géométrique de premier terme 1 et de raison e

On a alors, pour tout entier n, exp( ) nn e

On retrouve alors la notation :

exp( ) xx e

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

La fonction est définie et dérivable sur R. : xx e

Pour tout réel x, est strictement positif . xe

Pour tous réels x et y, x y x ye e e

Pour tout réel x, 1xx

ee

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

Sachant que la fonction exp est dérivable en tout a de R, on peut écrire :

0exp ( ) lim

a h a

h

e ea

h

Or1a h a a h a h

ae e e e e ee

h h h

cependant, par définition de la fonction exp:0

1lim 1

h

h

e

h

d’où exp ( ) aa e

La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée

B – LA FONCTIONB – LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE

Enfin

Les limites en -∞ et en +∞ sont admises (on s’appuie sur la représentation graphique ou la suite géométrique)

On admet également la dérivée de la fonction où u est une fonction dérivable sur un intervalle I

( ): u xx e

C – LA FONCTIONC – LA FONCTION LOGARITHME LOGARITHME NÉPÉRIENNÉPÉRIEN

I – DI – DÉFINITION DE LAÉFINITION DE LAFONCTIONFONCTION

LOGARITHMELOGARITHME

C – LA FONCTIONC – LA FONCTION LOGARITHME LOGARITHME NÉPÉRIENNÉPÉRIEN

Pour tout nombre réel strictement positif a, l’équation

admet une unique solution.exp( )x a

La fonction qui au réel a associe cette unique solution est

appelée fonction logarithme népérien et est notée ln

Ainsi, pour tout a strictement positif :

ln( ) exp( )a b a b

C – LA FONCTIONC – LA FONCTION LOGARITHME LOGARITHME NÉPÉRIENNÉPÉRIEN

En rouge est représentéela fonction exponentielle

La droite d’équation y = acoupe cette courbe en un unique point de coordonnées(ln(a), a)

Une symétrie par rapport àla droite d’équation y = x fait apparaître le point de coordonnées (a, ln(a))

Lorsque a décrit ]0;+∞[, ce point décrit la courbe représentative de la fonction ln

C – LA FONCTIONC – LA FONCTION LOGARITHME LOGARITHME NÉPÉRIENNÉPÉRIEN

On voit apparaître lacourbe en gardant la trace des points :

C – LA FONCTIONC – LA FONCTION LOGARITHME LOGARITHME NÉPÉRIENNÉPÉRIEN

On voit apparaître lacourbe en gardant la trace des points :

C – LA FONCTIONC – LA FONCTION LOGARITHME LOGARITHME NÉPÉRIENNÉPÉRIEN

II – PROPRIII – PROPRIÉTÉS DE LAÉTÉS DE LAFONCTIONFONCTION

LOGARITHMELOGARITHME

C – LA FONCTIONC – LA FONCTION LOGARITHME LOGARITHME NÉPÉRIENNÉPÉRIEN

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Les courbes des fonctionsln et exp sont symétriquespar rapport à la droited’équation y = x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5 xy e

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5 xy e

lny x

On tirera partie de cettesymétrie pour mettre enévidence les propriétésde la fonction logarithmenépérien.

C – LA FONCTIONC – LA FONCTION LOGARITHME LOGARITHME NÉPÉRIENNÉPÉRIEN

La fonction ln est définie et dérivable sur ]0;+∞[

ln1 = 0 et lne = 1.

Pour tous réels a et b strictement positifs :

ln( ) ln lnab a b

1ln lna

a

ln ln lna

a bb

C – LA FONCTIONC – LA FONCTION LOGARITHME LOGARITHME NÉPÉRIENNÉPÉRIEN

Si l’on a admis la dérivabilité de la fonction ln, il est cependantpossible de donner l’expression de sa fonction dérivée.En effet:

Pour tout x > 0, exp(ln( ))x x

En dérivant membre à membre, on obtient :

ln ( )exp ln( ) 1x x c’est-à-dire ln ( ) 1x x

Ce qui donne, pour tout x > 0

1

ln ( )xx

C – LA FONCTIONC – LA FONCTION LOGARITHME LOGARITHME NÉPÉRIENNÉPÉRIEN

Les limites en -∞ et en +∞ sont admises (on s’appuie sur la représentation graphique ou la suite géométrique)

On admet également la dérivée de la fonction où u est une fonction dérivable sur un intervalle I

: ln( ( ))x u x

L’expression de la dérivée permet de déduire :

le sens de variation et la conservation de l’ordre

Enfin:

D - PROLONGEMENTSD - PROLONGEMENTS

LA FONCTIONLA FONCTIONLOGARITHME DÉCIMALLOGARITHME DÉCIMAL

D - PROLONGEMENTSD - PROLONGEMENTS

La construction du logarithme décimal peut être menée comme celle du logarithme népérien:

prolongement de la suite géométrique de raison 10

étude de la fonction exponentielle de base 10

construction de la fonction logarithme décimal

Toutefois les comportements asymptotiques, les formulesde dérivation, les relations entre ln et log ne sont pas des objectifs du programme

D - PROLONGEMENTSD - PROLONGEMENTS

Le logarithme décimal pourra conduire à des travaux dans des domaines variés:

chimie : pH, ...

acoustique : décibel, …

biologie : magnitude, …

musique : savart, construction des gammes, …

et bien d’autres application encore …