exercicio 3
Post on 07-Mar-2016
256 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
1
Considere o mecanismo apresentado na Figura a seguir composto pela barra OG e pelo
disco S. Este brao gira em torno do eixo vertical com uma velocidade angular constante. O disco S solidrio ao brao e apia-se numa superfcie horizontal fixa no ponto de contato
C e rola sem escorregar. Determine o que se pede abaixo.
(a) Determine a acelerao angular do disco S;
(b) Determine a velocidade do ponto A;
(c) Determine a acelerao do ponto A
G
C
A
3 r
r
Disco S
0
Figura 1 Mecanismo de rotao composto pela barra OG e pelo disco S.
Considere as mudanas no sistema de referncia, conforme as Figuras 2, 3 e 4 e as
respectivas matrizes de transformao associadas a estas mudanas.
S Disco
OG Brao
Fixo) (Sist. ),,(
)1(
),,(
)2(
),,(
)3(
),,( zyxzyxzyxzyxSRQF
-
2
0
G
x
x
y
y
Figura 2 Mudana no sistema de referncia QF .
Observao #1: Note que a rotao se d no sentido trigonomtrico (positivo), pois o
eixo zz est saindo do plano do papel;
Observao #2: O problema j estabelece uma velocidade angular constante na direo vertical. Portanto esta rotao deve obedecer seguinte relao =& .
Matriz de transformao para QF :
=
1000cos0cos
sensen
T QF
0
G
C
A
x
z
x
z
Figura 3 Mudana no sistema de referncia RQ .
-
3
Observao: Note que a rotao se d no sentido negativo (contrrio ao sentido
trigonomtrico), pois o eixo yy est entrando no plano do papel.
Matriz de transformao para RQ :
importante observar que existe uma relao geomtrica entre e r , dada por
rrtg
3
= . Portanto...
= 435,183 rrtgarc
. Para efeito de simplificao, ser
utilizado durante o desenvolvimento da soluo. importante ter em mente que constante pois o disco nunca perde contato com a superfcie (ponto C). Assim sendo...
=
=
cos0010
0cos
)(cos0)(010
)(0)(cos
sen
sen
sen
senT RQ
A
S
G
y
z
z
y
C
Figura 4 Mudana no sistema de referncia SR .
Observao: Note que a rotao se d no sentido negativo (contrrio ao sentido
trigonomtrico), pois o eixo xx est saindo do plano do papel.
-
4
Matriz de transformao para SR :
=
=
cos0cos0
001
)(cos)(0)()(cos0
001
sensen
sensenT SR
Soluo analtica:
Item (a): O melhor sistema para se obter a acelerao angular do disco
),,( zyxR . Portanto, deve-se determinar, pela ordem, SR e SR .
A determinao da velocidade linear do ponto G ( Gv ) importante para determinao
da velocidade de outros pontos do disco que sero calculadas a partir dela. Gv ser obtida a
partir da velocidade linear do ponto 0 ( Ov ) embarcado em ),,( zyxR e representado em ),,( zyxR .
GlRRG
ROR
RO
RG
R vrvv Re~ ++=
=
==
000
000
dtdr
dtdv O
FO
F logo...
=
000
OR v
Conforme destacado anteriormente, no existe velocidade angular quando se passa do
sistema ),,( zyxQ para o sistema ),,( zyxR , pois constante. Portanto...
QQ
QF
RQQQ
QR
Q
==
=
+
=+= 0
0
000
00
-
5
Aplicando a matriz de transformao a RQ , obtm-se RR .
=
==
cos00
0
cos0010
0cos sen
sen
senT R
QQRR
R
De posse de RR e de acordo com o formulrio, obtm-se a matriz RR~ .
=
000cos
0cos0~
sensenR
R
Observando a Figura 3, obtm-se
=
00
3 rrG
RO
Como o ponto G um ponto de ),,( zyxR ,
=
000
Re GlRR v
De posse de todos os termos, obtm-se GR v .
=
==
0cos3
0
00
3
000cos
0cos0~
r
r
sensenrv G
ROR
RG
R
Para determinao de S , utiliza-se a expresso para o clculo da velocidade do ponto de contato C a partir de Gv embarcado em ),,( zyxS e representado em ),,( zyxR .
ClRSC
RGS
RG
RC
R vrvv Re~ ++=
-
6
Obedecendo condio de no deslizamento...
=
000
CR v .
Conforme calculado anteriormente...
=
0cos3
0rvGR .
Considere um vetor genrico
=
zSR
ySR
xSR
SR
que d origem uma matriz genrica
=
0
0
0~
xSR
ySR
xSR
zSR
ySR
zSR
SR
.
Observao: Estes termos sero as incgnitas da equao.
Observando a Figura 3, obtm-se
=
rrC
RG 0
0.
Como o ponto C um ponto de ),,( zyxS ,
=
000
Re ClRS v
De posse de todos os termos, monta-se a equao para CR v .
+
+
=
++=
000
00
0
0
0
0cos3
0
000
~Re
rr
vrvv
xSR
ySR
xSR
zSR
ySR
zSR
ClRSC
RGS
RG
RC
R
-
7
Da primeira equao... ySRr =0 , portanto 0 =ySR .
Da segunda equao... xSRrr += cos30 , portanto cos3=xSR .
Note que a componente zSR indeterminada para este sistema. O que no quer dizer
que ela seja nula. Para determinao dessa componente, faz-se novamente o clculo de Gv s
que desta vez embarcado no sistema ),,( zyxS , porm representado em ),,( zyxR , conforme abaixo.
GlRSG
ROS
RO
RG
R vrvv Re~ ++=
Conforme calculado anteriormente...
=
0cos3
0rvGR
Conforme calculado anteriormente...
=
000
OR v
De posse dos resultados encontrados para xSR e ySR . Monta-se o vetor
=
zSR
SR
0
cos3 que d origem matriz
=
0cos30cos30
00~
zS
RzS
R
SR .
Conforme calculado anteriormente...
=
00
3 rrG
RO .
Como o ponto G um ponto de ),,( zyxS ,
=
000
Re GlRS v
-
8
De posse de todos os termos, monta-se a equao para GR v .
+
+
=
++=
000
00
3
0cos30cos30
00
000
0cos3
0
~Re
rr
vrvv
zSR
zSR
GlRSG
ROS
RO
RG
R
Da segunda equao... zS
Rrr 3cos3 = , portanto cos=zSR . As demais equaes no fornecem informaes relevantes.
Por fim, monta-se o vetor
=
cos0cos3
SR .
De posse de SR , determina-se a acelerao angular S do disco S.
( ) SRSRRRSRSR dtd & +== ~
Analisando o resultado encontrado para SR , verifica-se que SR& nulo, pois a
velocidade angular constante e tambm constante pois o disco nunca perde contato com a superfcie (ponto C). Assim sendo...
=
=
=
===
0coscos3
0
cos0cos3
000cos
0cos0
~
222
sen
sensen
dtd
SR
RR
SR
SR
-
9
Item (b): Para determinao de Av , ser utilizada a velocidade linear do ponto G
( Gv ), embarcado no sistema ),,( zyxS , porm representado em ),,( zyxR , conforme abaixo.
AlRSA
RGS
RG
RA
R vrvv Re~ ++=
Conforme calculado anteriormente...
=
0cos3
0rvGR .
A partir do vetor SR , de acordo com o formulrio, determina-se a matriz SR~ .
=
0cos30cos30cos0cos0
~
S
R
Considera-se uma rotao do ponto A em torno do ponto G, conforme Figura 4. A formulao rigorosa no permite a integrao de velocidades angulares. Porm, como SR , que equivale a & , escrito no SR ),,( zyxR , na verdade s possui uma componente na direo x , o ngulo pode ser determinado integrando a componente
xSRR no tempo.
Portanto....
SRRR
RS
R += RRSRSRR =
Mas SR e RR j foram obtidos anteriormente. Portanto
=
==
00
cos3
cos0
cos0cos3
sensen
RR
SR
SRR
-
10
Procedendo a integrao de xS
RR no tempo, obtm-se
( ) 1cos3 Ctsen += ,
tal que 1C uma constante de integrao associada s condies iniciais do problema. Para
simplificar este estudo, o ngulo a ser considerado ser chamado de . Portanto...
=
cos
0
rsenrr A
RG
Como o ponto A um ponto de ),,( zyxS ,
=
000
Re AlRS v .
De posse de todos os termos, obtm-se AR v .
+
=
=
+
+
=
=++=
senrrrsenr
rsenrr
vrvv AlRSA
RGS
RG
RA
R
cos3coscos3cos3
cos
000
cos
0
0cos30cos30cos0cos0
0cos3
0
~Re
Item (c): Para determinao de Aa , ser utilizada a acelerao linear do ponto G
( Ga ), embarcado no sistema ),,( zyxS , porm representado em ),,( zyxR , conforme abaixo.
AlRSAl
RSS
RA
RGS
RS
RG
RA
R avraa ReRe~2~~
2 ++
++=
-
11
Considerando a Figura 5 e lembrando que o ponto G descreve uma trajetria circular em
torno do ponto 0 com raio cos3 r , para este movimento no plano (x, y), tem-se:
0
G
x
y
v G
a T = 0
a N
cos3 r
Figura 5 Velocidade e acelerao do ponto G no sistema de referncia ),,( zyxQ :
Observao: A ttulo de curiosidade, observe que Gv s possui componente na
direo de y (tangente trajetria). Logo
=
0cos3
0rvGQ . Alm disso yy ,
portanto GR
GQ vv = encontrado anteriormente.
acelerao normal do ponto G: ( ) cos3cos3 222 rrraN === acelerao tangencial do ponto G: ( ) cos3cos3 rrraT === &&&
Como constante, 0=& . Logo 0cos3 == raT &
Portanto...
=
00
cos3 2
raG
Q
-
12
Aplicando a matriz de transformao a GQ a , obtm-se G
R a .
=
==
cos30
cos3
00
cos3
cos0010
0cos
2
222
senr
rr
sen
senaTa G
QQRG
R
A partir de SR , determina-se a matriz 2~SR .
=
=
=
2222
22
2222
2222
2222
2222
cos90cos30cos100cos30cos
cos90cos30coscos90cos30cos
~ 2S
R
A partir do vetor SR calculado anteriormente, obtm-se a matriz SR~ .
+
=
00coscos3000
coscos300~
222
222
sen
sen
SR
-
13
Efetuando o clculo parcial SR
SR ~~ 2 +
=
=
+
+
+
=+
222
22
22222
222
222
2222
22
2222
cos90cos0cos100
coscos60cos
00coscos3000
coscos300
cos90cos30cos100cos30cos
~~ 2
sen
sen
sen
sen
SR
SR
Conforme calculado anteriormente...
=
cos
0
rsenrr A
RG .
Como o ponto A um ponto de ),,( zyxS ,
=
000
Re AlRS v e
=
000
Re AlRS a .
De posse de todos os termos, obtm-se AR a .
=
=
+
+
=
=
++=
coscos9cos3cos10
coscoscoscos6cos3
cos
0
cos90cos0cos100
coscos60cos
cos30
cos3
~~
222
22
22222
222
22
22222
2
22
2
rsenrsenr
senrrr
rsenr
sen
sen
senr
r
raa ARGS
RS
RG
RA
R
-
14
Soluo Grfica
Item (a):
H duas velocidades angulares envolvidas no movimento do disco S. Estas velocidades
angulares correspondem aos vetores Q e SR , conforme Figura 6. Observe que Q est na direo zz pois h uma rotao associada esta velocidade
angular nesta direo. J SR , est posicionado num plano perpendicular ao disco S, passando pelo ponto G, ou seja, na direo negativa de x , de acordo com o sentido de rotao do disco.
0
G
C
A
x
z
x
z
= QQ
SRR
Figura 6 Velocidades angulares QQ e SRR responsveis pelo movimento do disco S.
Para determinao do vetor acelerao angular do disco S ( S ), necessrio obter o vetor velocidade angular do disco S ( S ). possvel obter S a partir de uma composio vetorial entre Q e SR .
Para derminar S , conveniente que todos os vetores estejam no mesmo sistema de referncia. Par isso, adotou-se o SR ),,( zyxR . O vetor S ser obtido a partir da seguinte composio
SRRR
RQQ
RS
R ++=
-
15
Mas... 0=RRQ e RQ = , portanto...
SRRR
RS
R +=
Lembrando ainda que para efetuar a soma vetorial grfica, deve-se fazer coincidir as
origens dos vetores RR e SRR e fazer a decomposio do vetor R nas direes x e
z , conforme Figura 7.
0 x
z
x
z
SRR
= RQ cos=zRR
senxRR =
Figura 7 Organizao dos vetores para a soma vetorial.
Desta forma, tem-se o vetor R escrito no SR ),,( zyxR .
=
cos0sen
RR
Para determinao de SR a partir de RR e SRR , necessrio introduzir o conceito
terico de eixo de rotao. Pois o vetor SR est exatamente sobre eixo de rotao do
sistema.
-
16
Para definir o eixo de rotao do sistema, necessrio identificar dois pontos de
velocidade nula do sistema como um todo. Estes dois pontos definem uma reta denominada
eixo de rotao. Para este caso, tem-se o ponto 0 (centro instantneo de rotao) e o ponto C
(ponto de contato) como pontos de velocidade nula. Portanto, SR est sobre o eixo de
rotao que est sobre a reta OC que coincide com o eixo xx , conforme Figura 8.
0 x
z
x
z
SRR
= RR
= RR
senxRR =
SR
cos=zRR
Figura 8 Composio do vetor velocidade angular do disco S SR .
Observe o tringulo retngulo formado pelos vetores SR , SRR e zRR . Utilizando
o ngulo , possvel escrever a seguinte relao
SRR
sen =
De onde se conclui que senSRR
= . Portanto...
=
00
sen
SRR .
-
17
De posse dos vetores RR e SRR , possvel determinar SR , conforme Figura 9.
0
x
z
x
z
cos=zRR
SR
xRR
SRR
Figura 9 Detrminao de SR .
Algebricamente, tem-se
+=
+
=+=
cos0
00
cos0
sensensensen
SRRR
RS
R
Este resultado difere do resultado terico.
=
cos0cos3
SR (Resultado Terico)
Porm aps uma rpida manipulao dos termos trigonomtricos da componente x ,
encontra-se o mesmo resultado.
( ) ( )
cos3
3
costancoscos1 22 =====+
rrsensen
sensensen
-
18
Portanto...
=
cos0cos3
SR
De posse de SR , determina-se a acelerao angular S do disco S.
( ) SRSRRRSRSR dtd & +== ~
Analisando o resultado encontrado para SR , verifica-se que SR& nulo, pois a
velocidade angular constante e tambm constante pois o disco nunca perde contato com a superfcie (ponto C). Assim sendo...
=
=
=
===
0coscos3
0
cos0cos3
000cos
0cos0
~
222
sen
sensen
dtd
SR
RR
SR
SR
interessante observar que quando se faz o produto vetorial de RR por SR ,
natural que aparea uma componente negativa na direo y , pois ambos os vetores pertencem ao plano zx . A justificativa para ser negativa reside no fato de que para ir de
RR a SR , pela regra da mo direita, tem-se um vetor saindo do plano do papel, enquanto o eixo y est entrando no plano do papel.
-
19
Item (b):
Para determinao do vetor velocidade do ponto A, utiliza-se novamente o conceito de
eixo de rotao. Decompe-se o vetor AO r em AAAOAO rrr += . Sendo que o ponto A a projeo do ponto A sobre o eixo de rotao. Portanto AERAA rr = .
Assim sendo, pode-se determinar a velocidade do ponto A a partir do eixo de rotao,
conforme a seguir.
AlRSA
RERS
RER
RA
R vrvv Re~ ++=
Note que o termo associado rotao no contempla AO r , pois SR e AO r so vetores colineares e portanto seu produto vetorial nulo.
De acordo com a Figura 10, observa-se que o vetor AQER r ser dado por
=
cos200
rr A
QER
0
G
C
A
x
z
x
z cos2 rr AQER =
SR
A
xAR
ERr
zAR
ERr
Figura 10 Determinao do vetor posio da projeo do ponto A sobre o eixo de rotao.
-
20
Porm, este vetor est escrito em ),,( zyxQ . necessrio decomp-lo nas direes x e z de ),,( zyxR .
=
==
2cos20
cos2
cos200
cos0010
0cos
r
senr
rsen
senrTr A
QER
QRA
RER
A partir do vetor SR , de acordo com o formulrio, determina-se a matriz SR~ .
=
0cos30cos30cos0cos0
~
S
R
O eixo de rotao possui rotao no plano yx porm 0=ERR v .
Como o ponto A um ponto de ),,( zyxS , 0Re =AlRS v .
A equao para AR v se resume a
+=
=
==
0cos6cos2
0
cos20
cos2
0cos30cos30cos0cos0
~
32
2
rsenr
r
senrrv A
RERS
RA
R
Novamente possvel fazer uma anlise acerca do resultado encontrado. Quando se faz
o produto vetorial de SR por ARER r , natural que aparea uma componente positiva na
direo y , pois ambos os vetores pertencem ao plano zx . A justificativa para ser positiva reside no fato de que para ir de S
R a ARER r , pela regra da mo direita, tem-se um vetor entrando no plano do papel, ou seja, no sentido positivo do eixo y .
-
21
O resultado encontrado difere daquele encontrado na teoria. Neste ponto, importante
observar que este estudo foi feito para este instante (quando o ponto A o ponto superior do
disco S). O estudo na teoria foi feito para uma posio do ponto em qualquer instante.
+
=
senrrrsenr
v AR
cos3coscos3cos3
cos (Resultado terico)
Para comparar os resultados, basta fazer 0= que fornece 0= sen e 1cos = . Portanto...
=
0cos6
0 rv AR
Ainda assim, difere do resultado encontrado na soluo grfica. Porm aps uma rpida
manipulao dos termos trigonomtricos da componente y , encontra-se o mesmo resultado.
rrsen
3cos
tan == cos3 rsenr = senr3cos =
( )( )[ ] ( ) cos6333cos2133cos2 cos3coscos2cos6cos2 2222232
rsensenrsensenr
senrrsenr
=+=+==+=+
Portanto...
=
0cos6
0 rv AR .
-
22
Item (c):
Para determinao da acelerao do ponto A ( AR a ), utiliza-se raciocnio anlogo
quele empregado no clculo de AR v . Assim sendo, tem-se a seguinte relao
AlRSAl
RSS
RA
RERS
RS
RER
RA
R avraa ReRe~2~~
2 ++
++=
Se 0=ERR v , ento 0=ERR a
Como o ponto A um ponto de ),,( zyxS , 0Re =AlRS v e 0Re =AlRS a .
A equao para AR a se resume a
=
=
=
=
=
+=
42222
4232
42222
324232
2222
22
22222
cos18cos20
cos12cos4
cos18cos20
cos2cos12cos2
cos20
cos2
cos90cos0cos100
coscos60cos
~~ 2
rsenr
rsenr
rsenr
senrrsenr
r
senr
sen
sen
ra AR
ERSR
SR
AR
O resultado encontrado novamente difere daquele encontrado na teoria.
=
coscos9cos3cos10
coscoscoscos6cos3
222
22
22222
rsenrsenr
senrrra A
R (Resultado terico)
-
23
Fazendo 0= sen e 1cos = , tem-se
=
222
222
cos9cos30
coscos9
rsenr
senrra A
R
Ainda assim, difere do resultado encontrado na soluo grfica. Porm aps uma rpida
manipulao dos termos trigonomtricos das componentes x e z , encontra-se o mesmo
resultado.
top related