examen mai 2012 graphe

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Faculte des sciences et techniques de Sidi Bouzid L’annee 2014-2015

Depatement de Mathematiques et Informatiques Section LFM2

Epreuve : Theorie des graphes

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Exercice 1

Soit n un entier superieur ou egal a 2. On considere le graphe simple Gn = (Sn, An) definisur Sn = {1, 2, · · · , n} comme suit : pour tous i, j ∈ Sn, {i, j} ∈ An si et seulement si les entiersi et j ne sont pas de meme parite.

1. Montrer que le graphe Gn est connexe.

2. Montre que Gn est un graphe biparti complet en precisant sa bipartition.

3. Dessiner les graphes G5 et G6.

4. On supose dans cette question, que l’entier n est pair.

(a) Quel est le degre d’un sommet de Gn ? Que peut-on conclure ?

(b) En deduire le nombre d’aretes de Gn.

(c) Verifier que Gn admet un cycle qui passe par tous les sommets.

5. On supose dans cette question, que l’entier n est impair.

(a) Determiner le degre d’un sommets i de Gn ( on distinguera le cas ou i est pair du casou i est impair ).

(b) En deduire le nombre d’arete du graphe Gn.

(c) Montrer que le graphe Gn n’admet aucun cycle qui passe par tous les sommets ( onpourra raisonner par l’absurde ).

Exercice 2

1. Quelle est la definition d’un graphe simple connexe.

2. Soit G = (S,E) un graphe simple connexe d’ordre n. Montrer que, si ∀x ∈ S, dG(x) ≤ 2,alors G est un cycle elementaire Cn ou G est une chaıne elementaire Pn.

3. Montrer que la sequence D1 = (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2) n’est pas d’un graphe simple connexe.

Exercice 3

On considere un graphe simple G ayant 11 aretes et 8 sommets dont 7 sont de meme degre.

1. Donner la suite croissante des degres des sommets de G.

2. (a) Montrer qu’il n’existe aucun graphe simple dont la suite croissante des degres de sessommets est (1, 3, 3, 3).

(b) Soient X une composante connexe de G, x ∈ X et k un entier naturel. Justifier que :si dG(x) = k, alors | X |≥ k + 1.

(c) Deduire que le graphe G est connexe.

3. Donner un exemple d’un tel graphe G.