estrutura de dados Árvores avl
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1AlgAlg. e . e EstruturaEstrutura de Dados IIde Dados IIProf. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
YYrvores Binrvores Binrias Balanceadasrias Balanceadas
FaculdadeFaculdade SEAMASEAMACurso de Sistemas de InformaCurso de Sistemas de Informaoo
AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
Problemas com rvores BinriasProblemas com rvores Binrias
Deterioraoquando inserimos utilizando a insero simples, dependendo da distribuio de dados, pode haver deteriorao.rvores deterioradas perdem a caracterstica de eficincia de buscaeficincia de busca.
rvore deteriorada: em desequilbrio
44 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores Binriasrvores Binrias
rvores binrias so rvores cujos ns tem um grau igual ou menor a 2. Consequentemente as sub-rvores devem classificar-se em sub-rvore esquerda ou direita.
dd
bb ff
aa cc ee
-
255 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores Binriasrvores Binrias
rvore estritamente binria so rvores cujos ns tem um grau igual a 0 ou 2.
ff
bb gg
aa dd
cc ee
66 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores Binriasrvores Binrias
rvore binria completa so rvores cujos ns terminais esto no penltimo ou ltimo nvel da rvore
ff
bb hh
aa dd
cc ee
gg ii
77 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores Binriasrvores Binrias
rvore binria cheia so rvores cujos ns terminais esto no ltimo nvel da rvore e os seus ns intermdios so de grau 2
ff
bb hh
aa dd gg ii
88 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores Binriasrvores Binrias
A * (B + C)
Infixa: A*(B+C)Posfixa: ABC+*Prefixa: *A+BC
**AA ++
BB CC
-
399 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores Balanceadasrvores Balanceadas
Uma rvore dita balanceada quando as suas sub-rvores esquerda e direita possuem a mesma altura.
Todos os links vazios esto no mesmo nvel, ou seja, que a rvore est completa.
A rvore que no est balanceada, define-se como degenerada
1010 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores Balanceadasrvores Balanceadas
dd
bb ff
aa ggcc ee
cc
bb dd
aa ee
ff
gg
dd
bb ff
aa ggcc ee
hh
Arvore BinArvore Binria Cheia Balanceadaria Cheia BalanceadaArvore BinArvore Binria Degeneradaria Degenerada
Arvore BinArvore Binria Completa Balanceadaria Completa Balanceada
1111 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores Balanceadasrvores Balanceadas
Balanceamento:
Busca uma distribuio equilibrada dos ns;
Busca otimizar a consulta;
Busca minimizar o nmero mdio de comparaes necessrio para a localizao de uma chave.
1212 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores Balanceadasrvores Balanceadas
Balanceamento por altura:Busca-se minimizar a altura da rvore;
rvore Completamente Balanceada:Uma rvore completamente balanceada quando a distncia mdia dos ns at a raiz for mnima;
Uma rvore binria dita completamente balanceada se, para cada n, o nmero de ns de suas sub-rvores diferem de no mximo, 1;
rvore completamente balanceada a rvore com menor altura para o seu nmero de ns.
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4AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores AVLrvores AVL
Algoritmo de balanceamento de rvores binrias
Criao da rvore AVLAVL (AAdelson-VVelskii e LLandis), divulgado em 1962.
A rvore AVL uma rvore binria com uma condicondio de o de balanbalanoo
rvores AVL permitem insero / deleo e rere--balanceamentobalanceamento aceitavelmente rpidos.
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rvores AVLrvores AVL
Critrio de balanceamento:Dado um nodo qualquer, uma rvore est AVLAVL--balanceadabalanceada se as alturas das duas sub-rvores deste nodo diferem de, no mximo, 1.
Para re-balancear uma rvore aps uma insero, so utilizadas rotarotaeses de sub-rvores:
Rotaes simples em muitos casosRotaes duplas em alguns.
1515 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores AVL: Incluso com Rotaorvores AVL: Incluso com Rotao
Exemplo de reExemplo de re--balanceamento: balanceamento: O nodo com chave 7 desequilibrou a O nodo com chave 7 desequilibrou a rvore. Com a rvore. Com a rotarotao da subo da sub--rvore em torno do nodo 8, rervore em torno do nodo 8, re--balanceamos.balanceamos.
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rvores AVL: Incluso com Rotaorvores AVL: Incluso com Rotao
Algoritmo bsico:Partimos do nodo inserido e subimos a rvore.
Atualizamos a informao do balanceamento em cada nodo (na rvore AVL, cada nodo conhece a sua altura).
Se chegamos raiz sem encontrar nada errado, terminamos.
Caso encontremos um nodo desbalanceado (corresponde |Hesq - Hdir| < 2 ferida), realizamos a rotao no primeiro nodo desbalanceado encontrado. No exemplo anterior, isto significa que, depois da insero
de 7, o nodo 9 ficou desbalanceado.
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5AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores AVL: Incluso com Rotaorvores AVL: Incluso com Rotao
Exemplo: Criao de uma rvore AVL com os nos de 1 a 7
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rvores AVL: Incluso com Rotaorvores AVL: Incluso com Rotao
O primeiro problema ocorre quando inserimos o 3. A condicondioo--AVLAVL foi violada.
Executamos uma rotao simples entre a raiz (cuja condio-AVL est violada) e seu filho da direita.
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rvores AVL: Incluso com Rotao Simplesrvores AVL: Incluso com Rotao Simples
Inserimos 4 sem problemas. Inserimos 5: violao em 3.
Mesmo processo da rotao anterior ser seguido.ImportantImportantssimossimo: Observe que 2 precisa ser notificado que seu filho agora o nodo com chave 4
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rvores AVL: Incluso do 6rvores AVL: Incluso do 6
O 6 desequilibra a raiz:Sub-rvore direita tem altura 3Sub-rvore esquerda tem altura 1.
Rotacionamos na raiz entre 2 e 4:Transformamos 2 em filho de 4Sub-rvore esquerda original de 4 agora sub-rvore direita de 2. Condio de ordem da rvore de busca mantida.
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6AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores AVL: Incluso do 7rvores AVL: Incluso do 7
A incluso de um nodo com chave 7 causa uma rotao como j havamos visto antes:
5 fica desequilibrado. Rotacionamos em 6.
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rvores AVL: Incluso com Rotao Duplarvores AVL: Incluso com Rotao Dupla
O algoritmo descrito at agora tem um problema:
Existem casos onde ele no basta para consertar a rvore aps uma incluso ou excluso.
Exemplo: Inserimos as chaves 88 a 1515, em ordem inversa, na rvore anterior
A insero de 1515 no provoca problemas, nem desbalanceia a rvore.
A insero de 1414, por sua vez, faz o re-balanceamento falhar.
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rvores AVL: Incluso com Rotao Duplarvores AVL: Incluso com Rotao Dupla
O problema que surge aqui, que tanto 7 como 14 so candidatos sub-rvore esquerda de 15.Neste caso, necessitamos de uma dupla
rotao.
AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores AVL: Incluso com Rotao Duplarvores AVL: Incluso com Rotao Dupla
Semelhante rotao simples, s que envolve 4 sub-rvores:
Corresponderia a uma rotao efetuada primeiro entre k1 e k2 e depois entre k2 e k3.
kk33
kk11
kk22AA
BB CC
DD
kk22
kk11kk33
CCAA BB DD
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7AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores AVL: Incluso com Rotao Duplarvores AVL: Incluso com Rotao Dupla
kk33
kk11
kk22AA
BB
CC DD
kk22
kk11kk33
CCAA BB DD
kk33
kk11
kk22AA
BB CC
DD
AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores AVL: Incluso com Rotao Duplarvores AVL: Incluso com Rotao Dupla
Exemplo simtrico ao anterior
kk33
kk11
kk22
DD
BB CC
AA
kk22
kk33kk11
CCAA BB DD
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rvores AVL: Incluso do 14 com Rotao Duplarvores AVL: Incluso do 14 com Rotao Dupla
No exemplo, a rotao direitadireita--esquerdaesquerda envolve o 7, o 15 e o 14:
k3k3 o nodo de chave 7, k1k1 o de chave 15 e k2k2 o de chave 14Primeiro rotacionamos 14-15 a direita, depois 7-14 a esquerda.
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rvores AVL: Incluso do 13 (rot.dupla)rvores AVL: Incluso do 13 (rot.dupla)
Novamente uma dupla rotao direita-esquerda:Desta vez a rotao envolver 6 (k3k3), 14 (k1k1) e 7 (k2k2).
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8AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvores AVL: Incluso do 12rvores AVL: Incluso do 12
A incluso do 12 provoca um desequilbrio na raiz:
Como 12 no est entre 4 e 7, sabemos que uma rotao simples vai funcionar.
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rvores AVL: Incluso do 11rvores AVL: Incluso do 11
A incluso do 11 provoca um desequilbrio logo embaixo:
Como 11 no est entre 12 e 13, sabemos que uma rotao simples vai funcionar.
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rvores AVL: Incluso do 10,9,8rvores AVL: Incluso do 10,9,8
10 e 9 sero inseridos com rotao simples, 8 sem rotao alguma.
Tente em casa.
A rvore resultante veremos adiante.
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rvores AVL: Incluso com Rotao Duplarvores AVL: Incluso com Rotao Dupla
rvore resultante
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93333 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
120
110 150
130 200100
80
RotaoDireita
120
100 150
130 20080 110
Implementao - rvore AVLImplementao - rvore AVL
Exemplo de Rotao Direita:
3434 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
procedure rotacao_direita(var pt: Apno);var ApU: Apno;begin
Apu:= pt^.esq;pt^.esq:= Apu^.dir; Apu^.dir:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;
end;
rvore AVL Rotao para Direitarvore AVL Rotao para Direita
110110balbal = |2|= |2|
b /
100100c /
8080/ /
pt = apt = a
3535 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
procedure rotacao_direita(var pt: Apno);var ApU: Apno;begin
Apu:= pt^.esq;pt^.esq:= Apu^.dir; Apu^.dir:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;
end;
begin
rvore AVL Rotao para Direitarvore AVL Rotao para Direita
procedure rotacao_direita(var pt: Apno);var ApU: Apno;
Apu:= pt^.esq;pt^.esq:= Apu^.dir;Apu^.dir:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;
end;
110110balbal = |2|= |2|
b /
100100c /
8080/ /
pt = apt = aApuApu = ?= ?ApuApu = b= b
/
a
110110balbal = |0|= |0|
pt = bpt = b
3636 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvore AVL Rotao para Direitarvore AVL Rotao para Direita
100100c a
8080/ / 110110BalBal = |2|= |2|
/ /110110
pt = bpt = b
-
10
3737 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
RotaoEsquerda
120
100 150
130 20080 110
120
130100
11080 150
200
Implementao - rvore AVLImplementao - rvore AVL
Exemplo de Rotao Esquerda:
3838 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
procedure rotacao_esq(var pt: Apno);var Apu: Apno;begin
Apu:= pt^.dir;pt^.dir:= Apu^.esq; Apu^.esq:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;
end;
rvore AVL Rotao para Esquerdarvore AVL Rotao para Esquerda
130130balbal = |2|= |2|
/ b
150150/ c
200200/ /
pt = apt = a
3939 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
procedure rotacao_esq(var pt: Apno);var Apu: Apno;begin
Apu:= pt^.dir;pt^.dir:= Apu^.esq; Apu^.esq:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;
end;
begin
rvore AVL Rotao para Esquedarvore AVL Rotao para Esqueda
procedure rotacao_esq(var pt: Apno);var Apu: Apno;
Apu:= pt^.dir;pt^.dir:= Apu^.esq;Apu^.esq:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;
end;
130130balbal = |2|= |2|
/ b
150150/ c
200200/ /
pt = apt = a
ApuApu = ?= ?ApuApu = b= b
/130130balbal = |0|= |0|
pt = bpt = b
a
4040 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
rvore AVL Rotao para Esquerdarvore AVL Rotao para Esquerda
150150c a
130130/ / 110110BalBal = |2|= |2|
/ /200200
pt = bpt = b
-
11
4141 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
120
100 150
130 20080 110
RotaoDupla Direita
120
110 150
130 20080
100
rvore AVLrvore AVL
Exemplo de Rotao Dupla Direita:
4242 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
120
100 150
130 20080 110
120
100 130
150
20080 110
RotaoDupla Esquerda
rvore AVLrvore AVL
Exemplo de Rotao Dupla Esquerda:
4343 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
Identificao do caso a ser aplicado:Supondo que o n q foi includo na rvore T, se houver desbalanceamento da rvore, sendo p o n mais prximo das folhas de T:
|he(p) hd(p)| = 2he: altura da subrvore esquerdahd: altura da subrvore direita Caso 1: he(p)>hd(p)
Sendo u o filho esquerda de p:1.1. he(u)>hd(u) rotao direita1.2. hd(u)>he(u) rotao dupla direita
Caso 2: hd(p)>he(p)Sendo z o filho direita de p:2.1. hd(z)>he(z) rotao esquerda2.2. he(z)>hd(z) rotao dupla esquerda
Regra Geral - rvore AVLRegra Geral - rvore AVL
4444 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
AplicaesAplicaes
Para que servem as rvores Binrias?
Exemplos de aplicaes:Redes de Comunicao de Dados Envio de pacotes ordenados e/ou redundantes
Codificao de Huffman Compresso e Descompresso de arquivos
-
12
4545 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
1) Redes de Comunicao1) Redes de Comunicao
A maioria dos protocolos de comunicao fragmenta as mensagens em pacotes que so numerados e enviados atravs da redeNo h garantia da chegada em ordem dos
pacotesPerdas de pacotes geram novos envios e estes
podem causar duplicatas dos mesmos
4646 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
Reconstruo da MensagemReconstruo da Mensagem
Como reconstruir a mensagem corretamente?Descartar os pacotes repetidosOrdenar os pacotes
Como implementar tal algoritmo?Utilizando rvores Binrias
4747 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
Exemplo:Exemplo:
R
R
R
RR
A B
P3
P1
P2
P3
P1
P2
P3
P1P1
Ordem de Chegada:
P3 P1 P2
Confirmao de envio: P1 e P3.
P1 Ok
P2 ?
P3 Ok
Reenvio de P2.
P2 P2
Problemas: ordens e redundncia dos pacotes
4848 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
AlgoritmoAlgoritmo
O primeiro pacote colocado na raiz da rvore. Cada pacote sucessivo comparado com o da raizSe for igual, descarta-se a rplica. Se for menor
ou maior, percorre-se os lados esquerdo ou direito da rvoreSub-rvore vazia implica insero do novo
pacoteSub-rvore no vazia implica comparao dos
pacotes com a mesma
-
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4949 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
Problemas resolvidos?Problemas resolvidos?
Problema da ordenaoA ordenao dos pacotes pode ser feita trivialmente com apenas uma chamada ao mtodo inOrder() da rvore binria
Problema da redundnciaSolucionado com o algoritmo de insero na rvore, visto que o pacote, antes de ser inserido, comparado com os demais que j se encontram na rvore binria
5050 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
2) Codificao de Huffman2) Codificao de Huffman
Algoritmo utilizado para comprimir arquivosTodo o algoritmo baseado na criao de uma
rvore BinriaProgramas como Winzip e WinRAR utilizam
este algoritmoCriado por David Huffman em 1952
5151 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
ConclusesConcluses
As rvores binrias so uma das estruturas de dados mais importantes devido a grande aplicabilidade das mesmas.A maioria dos algoritmos das rvores binrias
so de simples entendimento, facilitando sobremaneira o desenvolvimento de sistemas.
5252 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
DvidasDvidas
-
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5353 AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa
RefernciasReferncias
Adaptado de Notas de Prof. Yandre Maldonado e Gomes da Costa
Applet para testes: http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AVL%20tree%20applet.htmhttp://www.engin.umd.umich.edu/CIS/course.des/cis350/treetool/index.htmlhttp://www.cs.queensu.ca/home/jstewart/applets/bst/bst-rotation.html
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