estado general de esfuerzos y estado general de deformaciones- teoria de fallas
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7/25/2019 Estado General de Esfuerzos y Estado General de Deformaciones- Teoria de Fallas
1/33
ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS YESTADO GENERAL DE DEFORMACIONES
PRCTICA DOMICILIARIA DE ESTADO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
PROBLEMA 7.2.5Resolver el anterior si las tensiones normales y tanen!iales "#e a!t$an so%reel elemento A son & '(( )si * +( )si y '(( , -(( )si . en las /ire!!iones
mostra/as en la 0#ra1 y el 2n#lo es /e 3( 4 .5a!ia la i6"#ier/a 1
SolucinTensi7n )lana .2n#lo 1
x=7500psi
y=20500psi
xy=4 800psi
=30
A)li!an/o la 87rm#la
2016
-
7/25/2019 Estado General de Esfuerzos y Estado General de Deformaciones- Teoria de Fallas
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x1=x+y
2+
xy2
cos 2+xy sin2
x1=3600psi
A)li!an/o la 87rm#la
x1y
1
=xy
2cos2+ xy cos2
x1y
1
=14520psi
y1=x+yx 1=9340psi
PROBLEMA 7.2.
Una )la!a re!tan#lar /e /imensiones 39( )#l : '9( )#l est2 8orma/a )or /os)la!as trian#lares sol/a/as .v;ase la 0#ra19 La 0#ra est2 someti/a a #n
es8#er6o /e tensi7n /e '(( l%< pulg2
en la /ire!!i7n lara y a #n es8#er6o /e
!om)resi7n /e 3'( l%< pulg2
en la /ire!!i7n !orta9
-
7/25/2019 Estado General de Esfuerzos y Estado General de Deformaciones- Teoria de Fallas
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Determine el es8#er6o normal w "#e a!t$a en senti/o )er)en/i!#lar al
!or/7n /e sol/a/#ra y el es8#er6o !ortante w "#e a!t$a )aralelo al !or/7n
.s#)ona "#e el es8#er6o normal w es )ositivo !#an/o a!t$a en tensi7n
!ontra a sol/a/#ra y "#e el es8#er6o !ortante
w es )ositivo !#an/o a!t$a ensenti/o !ontrario a las mane!illas /el relo= !ontra ella1
SolucinEs8#er6o %ia:ial .#ni7n sol/a/a1
x=500psi y > ?350 psi xy >@
5=tan1.6=30.96 3
=tan1
A)li!an/o la 87rm#la
x1=x+y
2+
xy2
cos 2+xy sin2
x1=275psi
A)li!an/o la 87rm#la
x1y
1
=xy
2cos2+ xy cos2
x1y
1
=375
-
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y1=x+yx 1=125psi
Tensiones "#e a!t$an en la sol/a/#ra
w=125psi
w=375psi
PROBLEMA 7.!."Un m#ro /e !ortante en #n e/i0!io /e !on!reto re8or6a/o est2 someti/o a #na!ara verti!al #ni8orme /e intensi/a/ #y a #na 8#er6a 5ori6ontal$9 !omo sem#estra en la )rimera )arte /e la 0#ra* .la 8#er6a $re)resenta a loses8#er6os /el viento y a las !aras )or sismo1 !omo !onse!#en!ia /e estas!aras* los es8#er6os en el )#nto A so%re la s#)er0!ie /el m#ro tienen losvalores mostra/os en la se#n/a )arte /ela 0#ra .es8#er6o /e !om)resi7n /e(( l%
-
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H
A
A
480 lb/pulg^2
1100 lb/pul^2q
SolucinDatos /e )ro%lemaB
0x
=
1100y psi =
480xy psi = E"#ivalen!iaB
21
lg
lbpsi
pu=
a Es8#er6o )rin!i)al9
De0ni!i7n /e 8orm#la9
2tan 2 xy
p
x y
=
2( 480 )tan2
0 ( 1100 )p
psi
psi
=
tan 2 0.87273p =
2 41.11p = o
20.56p = o
Por 2n#lo !om)lementario se tiene "#eB
2 138.89p
= o
69.44p = o
De0ni!i7n /e 8orm#la9
-
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1cos 2 s n 2
2 2
x y x y
x xy e
+
= + +
Para
2 41.11p = o
se tieneB
1
0 ( 1100 ) 0 ( 1100 )cos( 41.11 ) ( 480 )s n( 41.11 )
2 2x
psi psi psi psipsi e
+ = + + o o
1550 414.3968 315.6032x psi psi psi = + +
1180x psi =
Para
2 138.89p = o
se tieneB
2
0 ( 1100 ) 0 ( 1100 )cos(138.89 ) ( 480 ) s n(138.89 )
2 2x
psi psi psi psipsi e
+ = + + o o
2550 550 cos(138.89 ) ( 480 )s n(138.89 )x psi psi psi e = + +
o o
2 550 414.3968 315.6032x psi psi psi =
21280x psi =
Por lo tantoB
1180x psi =
y1
20.56p
= o
2 1280x psi = y2 69.44p =
o
Diarama /e orienta!i7n a)ro)ia/a9
-
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X
Y
1280 psi
180psi
69.44
% Es8#er6os !ortantes m2:imos9De0ni!i7n /e 87rm#laB
( )2
2
max2
x y
xy
= +
( )2
2
max
0 ( 1100 )480
2
psipsi
= +
( )2
2
max
1100480
2
psipsi
= +
2 2
max 302500 230400psi psi = +
max730psi =
Es8#er6os normales aso!ia/os9
1 145s p =
1
20.56 45s =
1
65.56s =
o
y730psi=
2 245s p =
1
20.56 45s = +
124.44
s = o
y730psi=
-
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2
x y
p
+=
0 ( 1100 )
2p
psi
+ =
1100
2p
psi
=
550p psi =
Diarama /e orienta!i7n a)ro)ia/a9
Y
X
550psi
730psi
550psi
24.44
PROBLEMA 7.!.2%Un elemento en el es8#er6o )lano est2 someti/o a los es8#er6os :>?-9' MPa y
:y>39+ MPa .v;ase la 0#ra19 Se sa%e "#e #no /e los es8#er6os )rin!i)ales esi#al a +93MPa en tensi7n9
a Determinar el es8#er6o y9% Determinar el otro es8#er6o )rin!i)al y la orienta!i7n /e los )lanos
)rin!i)alesB m#estre l#eo los es8#er6os )rin!i)ales en #n /iarama /e#n elemento %ien orienta/o9
-
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X
Y
O
39.2 MPa
68.5 MPa
Solucin
a Determina!i7n /el
y
68.5x MPa =
39.2xy MPa =
?y =
De0ni!i7n /e 8orm#la
( )2
2
12 2
x y x y
xy
+ = + +
Reem)la6an/o /atos en la 8orm#la anterior tieneB
( )
2
268.5 68.526.3 39.2
2 2
y yMPa MPaMPa MPa
+ = + +
( )
2
268.5 68.526.3 39.2
2 2
y yMPa MPaMPa MPa
+ + = + +
( )
2
268.5 68.526.3 39.2
2 2
y yMPa MPaMPa MPa
+ + = +
( ) ( )( ) ( )2 252.6 68.5 1
68.5 2 68.5 4 39.22 2
y
y
MPa MPaMPa MPa MPa
+ = + +
-
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( ) ( )( ) ( )2 2
52.6 68.5 68.5 2 68.5 4 39.2y y
MPa MPa MPa MPa MPa + = + +
2121.1 4692.25 137 6146.56y y y = + + +
( ) ( )22
2121.1 10838.81 137y y y = + +
( ) ( )14665.21 242.2 10838.81 137y y = +
10.09y MPa =
% Determina!i7n /el es8#er6o )rin!i)al
De0ni!i7n /e 8orm#la
2tan2
xy
p
x y
=
2(39.2 )tan2
68.5 10.9p
MPa
MPa MPa
=
78.4tan2
78.59p
MPa
MPa =
tan 2 0.9975p =
2 44.9283p =
22.4641p =
Por 2n#lo !om)lementario se tieneB
2 135.0717p =
67.5359p =
Por 8orm#la
-
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1cos 2 s n 2
2 2
x y x y
x xy e
+
= + +
Para
2 44.93p =
se tieneB
1cos 2 s n 2
2 2
x y x y
x xy e
+ = + +
1
68.5 10.9 68.5 10.9cos( 44.93) (39.2 )s n( 44.93)
2 2x
MPa MPa MPa MPaMPa e
+ = + +
1 28.8 39.7 cos( 44.93) (39.2 )s n( 44.93)x MPa MPa MPa e = +
128.8 28.1064 27.6847x MPa MPa MPa =
184.5911x MPa =
Para
2 135.7p =se tieneB
1cos 2 s n 2
2 2
x y x y
x xy e
+ += + +
1
68.5 10.9 68.5 10.9cos(135.7) (39.2 )s n(135.7)
2 2x
MPa MPa MPa MPaMPa e
+ = + +
128.8 39.7 cos(135.7) (39.2 )s n(135.7)
x MPa MPa MPa e = +
128.8 28.1064 27.6847
x MPa MPa MPa = + +
126.9914x MPa =
-
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Por lo tantoB
126.9914x MPa =
y1
67.5359p =
2 84.5911x MPa = y2 22.4641p =
Diarama /el elemento %ien orienta/o9
Y
X
O
26.3MPa
84.7 MPa
67.54
PROBLEMA 7.&.5
Un elemento en el es8#er6o )lano est2 someti/o a los es8#er6os x , yy xy
.o%serve la 0#ra19
Utili6an/o el !ir!#lo /e Mo5r* /etermine los es8#er6os "#e a!t$an so%re #n
elemento "#e 8orma #n 2n#lo !on res)e!to al e=e :9 M#estre estos
es8#er6os en #n /iarama /e #n elemento orienta/o !on #n 2n#lo 9 .NotaB
el 2n#lo es )ositivo en senti/o !ontrario a las mane!illas /el relo= y neativoen el senti/o o)#esto19
x=5750lb /pul g2
, y=750 lb /pul g2
y xy=2100 lb /pul g2
,=75
-
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Solucin
Diarama /e es8#er6os .an#lo 1
x=5750psi , y=750psi y xy=2100psi,=75
.To/os los es8#er6os en )si1
R=32502+21002=3869psi
=arctan2100
3250=32.87
=+30=62.87
P#nto D . =75 1B
x1=2500+Rcos=735psi
x1y 1=R sin=3444psi
P#nto DG . =15 1B
-
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x1=2500R cos=4265psi
x1y 1=R sin=3444psi
PROBLEMA 7.5."
Un !#%o /e !on!reto . E=3.0106
lb /pul g2 , v=0.1 /e ,9( )#l )or la/o* esta
!om)rimi/o en es8#er6o %ia:ial )or me/io /e #n mar!o /e )r#e%as !ara/o!omo se ve en la 0#ra9
S#)ona "#e !a/a !ara F es /e +( Hl% y /etermine el !am%io V en el
vol#men /el !#%o y la enera /e /e8orma!i7n U alma!ena/a en el !#%o9
SolucinEs8#er6o Jia:ial?!#%o /e !on!reto
Uni7n AB
-
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P=F2=28.28 kips
x=y=P
b2=1768psi
Cam%io /e vol#menB
E"9 .&?,&1B e=12v
E ( x+y )=0.0009429
4
V0=b3=
V=eV0=0.0603.3
.Dismin#ye el vol#men1
Enera /e /e8orma!i7n
E"9 .&?'(1B u= 1
2E(x
2+y22v x y)=0.9377psi
U=u V0=60.0lb
-
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PROBLEMA 7.5.Una )la!a !#a/ra/a /e an!5o % y es)esor t est2 !ara/a )or 8#er6as normales
PX y PY y )or 8#er6as !ortantes K* !omo se m#estra en la 0#ra9 Estas
8#er6as )ro/#!en es8#er6os #ni8ormemente /istri%#i/os "#e a!t$an so%re las!aras laterales /e la )la!a9
Cal!#le el !am%io K en el vol#men /e la )la!a y la enera /e /e8orma!i7n Ualma!ena/a en la )la!a si s#s /imensiones son % > + )#l y t > 9( )#l9 E >
((( l%< pulg2
* v > (933* PX > ( l%* Py > +( l% y K > ' l%9
SolucinPlato !#a/ra/o en tensi7n )lana
% > + )#l
t > 9( )#l
E > ((( l%< pulg2
v > (933
PX > ( l% x=PX
bt=7500psi
Py > +( l% y=Py
bt=1667psi
K > ' l%9 xy=Py
bt=1250psi
CAMJIO EN KOLUMEN
E"9 .&?,&1B
-
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v0=b2
t=1443
v=e v0=0.0423 3
Enera /e /e8orma!i7n
E"9 .&?'(1B
e= 1
2E(x
2+y22 v x y )+
xy2
2!
!= E
2(1+v )=3985ksi
Reem)la6an/o valores n#m;ri!os
u=2.591psi
U=u V0=373lb
PROBLEMA 7.'.!Un !#%o /e 5ierro 8#n/i/o !on la/os /e lonit#/ a>,9( )#l9 .K;ase la 0#ra1se ensaya en #n la%oratorio someti;n/olo al esta/o tria:ial /e es8#er6os9 Lose:tens7metros monta/os en la m2"#ina /e ensayo m#estran "#e las/e8orma!iones /e !om)resi7n en el material sonB :>?++':(? y y>6>?3&9':(?9
Determine las si#ientes !anti/a/esB
a Los es8#er6os normales : * y y 6 "#e a!t$an so%re las !aras : *y y 6/el !#%o9
% El es8#er6o !ortante m2:imo ma: en el material9! El !am%io K /el vol#men /el !#%o9/ La enera /e /e8orma!i7n U alma!ena/a en el !#%o .s#)ona E>,'((
l%(9+'19
-
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Solucin:>?++':(? y>?3&9':(? 6>?3&9':(? a>,9( )#l E>,((( l%(9+'9
a Es8#er6o normalB
x= E(1+")(12")
[(1+" )x+" (y+# )]
x=4200 lb /pulg2
De i#al 8orma tenemosB
y=2100 lb /pulg2
#=2100lb /pulg2
% M2:imo es8#er6o !ortanteB
$%x= y #
2=1050lb /pulg2
! Cam%io /e vol#men9
e=x+y+#=0.0003
V=%3
V=e %3=0.0192pulg3 .De!re!e1
/ Enera /e /e8orma!i7nB
-
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u=1
2( x x+ y y+ # # )
u=0.55125 lb
pulg2
U=u %3=35.3pulglb
PROBLEMA 7.'."Una %ola es8;ri!a soli/a /e lat7n .E>'Q( l%(93,1 se s#mere enel o!;ano a #na )ro8#n/i/a/ /e ( ((( )ies9 El /i2metro /e la %ola es /e 9()#l9
Determine el /e!remento / /e /i2metro* el /e!remento K /e vol#men y laenera /e /e8orma!i7n U /e la %ola9
SolucinE>'Q(l%(93,
Alt#ra 5>(((( )ies
Di2metro /> )#l
Peso es)e!8i!o /el a#a /e marB >39- l% 5>3-((( l%,,3 l%
-
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V=e V0=0.198pulg3
Enera /e /e8orma!i7n:> y >6> (
u=3 (12" ))2
2=0.6283
lb
pulg2
U=u V0=438pulglb
PROBLEMA 7.&."Un elemento en esta/o /e !ortante )#ro est2 someti/o a los es8#er6os xy >
,(((l%< pulg2
* !omo se m#estra en la 0#ra9 Utili6an/o el !r!#lo /e Mo5r*
/etermineB
a1 Los es8#er6os "#e a!t$an so%re #n elemento !olo!a/o so%re #na )en/iente/e 3 ( xy > ,((( )si y > (
-
7/25/2019 Estado General de Esfuerzos y Estado General de Deformaciones- Teoria de Fallas
21/33
3
4=36.870
= tan1
+
> &39&,(4
> 39-&(4
R > ,((( )si
P#nto DB x1=Rcos16.26=3840 )si
x
1y
1
=R se*16.26 =1120)si
P#nto DB x1=R cos16.26=3840 )si
x
1y
1
=R se*16.26=1120 )si
P#nto P1 B 2p1 > (4 p1 > ,'4
1 > R > ,((( )si
P#nto P2 B 2p2 > ?(4 p2 > ?,'4
-
7/25/2019 Estado General de Esfuerzos y Estado General de Deformaciones- Teoria de Fallas
22/33
TEORIAS DE FALLA
La 8alla /e #n elemento se re0ere a la );r/i/a /e s# 8#n!ionali/a/* es /e!ir!#an/o #na )ie6a o #na m2"#ina /e=an /e ser $tiles9
Esta 8alta /e 8#n!ionali/a/ se /ar )orB
Rot#ra Distorsi7n Permanente Dera/a!i7n
Et!9
La rot#ra o la /era/a!i7n )ermanente se /e%en a "#e los es8#er6osso)orta/os son mayores "#e la resisten!ia /el material /e 8a%ri!a!i7n9
Para )o/er /eterminar )ara "#; !anti/a/ /e es8#er6o a)li!a/o se )ro/#!ir2#na 8alla* se #tili6an al#nas teoras /e 8alla9
To/as las teoras /e 8alla se %asan en la !om)ara!i7n /el es8#er6o a!t#ante
!ontra el res#ltante a)li!a/o en #na )r#e%a #nia:ial /e tensi7n o !om)resi7n9
. TEOR(A DE FALLA POR ESFUERZO NORMAL M)*IMO
La 8alla o!#rrir2 en la )arte /i !#al"#iera /e los es8#er6os normales )rin!i)alese:!e/e el es8#er6o normal )rin!i)al "#e /a l#ar a la 8alla en la )r#e%a #nia:ialsim)le9
SiB S> Es8#er6o Prin!i)al y!> Es8#er6o /e #en!ia a !om)resi7n
S+ > Es8#er6o Prin!i)al + yt> Es8#er6o /e #en!ia a tensi7n9
S3 > Es8#er6o Prin!i)al 39
-
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23/33
Se /e%e !#m)lir "#eB
ytyc
ytyc
ytyc
SS
S
3
2
1
.1
Si se a)li!a #n 8a!tor /e /iseVo se !onsi#en las e!#a!iones /e /iseVoB
d
yt
d
yc
d
yt
d
yc
d
yt
d
yc
nS
n
nS
n
nS
n
3
2
1
.+1
Para materiales 8r2iles y! o ytes el es8#er6o /e #en!ia9
2 TEORIA DE FALLA POR ESFUERZO CORTANTE M)*IMO+
Para materiales /$!tilesB
La 8alla o!#rre en #na )arte si !#al"#iera /e los es8#er6os !ortantes )rin!i)alese:!e/e el es8#er6o !ortante )rin!i)al "#e /a l#ar a la 8alla en la )r#e%a#nia:ial sim)le9
P#esto "#eB
-
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24/33
2
2
2
32
32
31
31
2121
=
=
=
.31 =flu encia
La teora /e 8alla esB
( )
( )
( ) ytyc
ytyc
ytyc
31
32
21
.,1
Si se intro/#!e #n 8a!tor /e /iseVo se tiene la res)e!tiva e!#a!i7n /e /iseVoB
( )d
yt
d
yc
nn
21
.'1
Esta teora )re/i!e "#e si se )resenta #n esta/o /e es8#er6os 5i/rost2ti!os nose )ro/#!e #en!ia* as estos es8#er6os sean mayores "#e yB
Si se /es!om)onen !a/a es8#er6o )rin!i)al normal en #na !om)onente5i/rost2ti!a mas otra !#al"#iera se o%tieneB
333
222
111
'''
'''
'''
+=+=+=
.1
-
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en /on/eB GB Com)onente Wi/rost2ti!a9
Se !#m)le "#eB 1= 2= 3
Si en al$n !asoB G1= G+ > G3> (* Se ten/ra "#e 1= GGet!9
No 5a%ra !ortanteX
Por esta ra67n se !re7 la teora /e 8alla /e la enera /e /istorsi7n y/e8orma!i7n9
! TEORIA DE FALLA POR ENERG(A DE DEFORMACI,N M)*IMA+
La 8alla o!#rre en #na )arte !#an/o la enera /e /e8orma!i7n )or vol#men#nitario e:!e/a la /e #na )r#e%a /e tensi7n #nia:ial en la 8alla9
Para /eterminar la enera /e /e8orma!i7n )or vol#men #nitarioB
Sea el %lo"#e /e /imensiones /i8eren!iales /e la 0#ra * so%re el !#al a!t$anlos es8#er6os normales )rin!i)alesB
-
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Fi#ra 9 Jlo"#e !on es8#er6os #nitarios9
La enera /e /e8orma!i7n es el tra%a=o reali6a/o )or estas 8#er6as al /es)la6ar
el !#%o #na /istan!ia l9
La enera /e /e8orma!i7n U es i#al al tra%a=o ne!esario )ara /e8ormar el!#%oB
== lFWU ..&1
Para !a#sar esta /e8orma!i7n* la 8#er6a !a#sa/a )or !a/a es8#er6o esB
3
2
1
yxz
zxy
zyx
ddfinalF
ddfinalF
ddfinalF
=
=
=
.-1
P#esto "#e el estiramiento /e)en/e linealmente /e la 8#er6a a)li!a/a* este!om)ortamiento se )#e/e mostrar !omo en la r20!a 39
-
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Fi#ra +9 !om)ortamiento lineal /e 8#er6a )or /es)la6amiento
Por lo tantoB2
. lFW
=
.1
22
.
2
. finalFyfinalFxfinalFU z
yXndeformaci ++=
.(1
A/em2s !omoB
l
l=
dz
z
dy
y
dx
x
=
=
=
3
2
1
l#eo
dxz
dxy
dxx
.
.
.
3
2
1
=
=
=
.1
Por la ley /e Wooe se tiene "#eB
( )
( )
( )3133
2122
3211
.1
.1
.1
=
=
=
E
E
E
.+1
-
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Por lo tantoB
( ) ( ) ( )
( )( )3231212
3
2
2
2
1
2133
3122
3211
22E
2E
2E
2E
++++=
++=
dxdzdyU
dzdydxdydzdxdxdzdyU
.31
Como es )or vol#men #nitario* se /ivi/e )or dx dy dz:
( )( )3231212
3
2
2
2
1 22E
1 ++++=
.,1
Por ra6onamiento similar la enera /e /e8orma!i7n )or vol#men #nitario en la)r#e%a /e tensi7n esB
2
21
ypfyE
=
.'1
Y 0nalmente se tiene )ara /iseVarB
( ) disea!"a!a2
2
323121
2
3
2
2
2
1
++++
fs
yp
N
.1
TEORIA DE FALLA POR ENERGIA DE DISTORSI,N M)*IMA
-M/01il0 D3c/il04
-
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La enera /e /e8orma!i7n se !om)one /e la enera /e /e8orma!i7n .!am%io/e vol#men1 y /e la /istorsi7n9
)( disto!sion#ol$men ++= dv .&1
La 8alla o!#rre si la enera /e /istorsi7n )or vol#men #nitario e:!e/e la!orres)on/en!ia a #na )r#e%a /e tensi7n #nitaria en la 8alla9
Los es8#er6os )rin!i)ales se !om)onen /e es8#er6os "#e )ro/#!en !am%io /evol#men y !am%io /e /istorsi7n9
v
v
v
3
'
33
'
i2
'
22
'
i1
'
11
#ol$men.decam%ioca$sa&$e
.disto!sinca$sa&$e
+=
=+=
=+=
.-1
Y )ara "#e no 5alla !am%io /e vol#men )or los !om)onentes /e /istorsi7n se/e%e !#m)lir "#eB
0''' 321 =++ .1
A/em2s se tiene "#e )or la ley /e WooeB
-
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( )
( )
( )2133
3122
3211
'.(.'.1'
'.(.'.1
'
'.(.'.1
'
=
=
=
E
E
E
.+(1
Como se /e%e !#m)lir la e!#a!i7n
( ) 0'..''..''..'1
213312321 =++ E
.+1
Por lo tanto
( ) 0'.2''' 321321 =++++ .++1
Y )#esto "#e no es !ero* se !#m)le "#e
( ) 0'. 321 =++ .+31
De otra )arte si se s#man las e!#a!iones -
0' 321321 =+++++=++ vvv
-
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( )321.3
1 ++=v
.+,1
La e!#a!i7n +, se )#e/e #sar )ara en!ontrar los es8#er6os )rin!i)ales /e/istorsi7n en 8#n!i7n /e los es8#er6os normales )rin!i)ales9
Como se tiene la !on/i!i7n /e las e!#a!iones - sa%ien/o "#e ves el mismo)ara los tres es8#er6osB
( )32111 .3
1 ++= 3211
3
1
3
1
3
2 =
=
22.
3
2 3211
= 22.32
3122
.+'1
=
22.
3
2 2133
La enera /e /e8orma!i7n )or !am%io /e vol#men ser2B
2
3 vvvU
=
(26)
-
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32/33
En este !aso se )#e/e #sar la ley /e Wooe !omoB
( ) ( )
21...1
==EE
vvvvv
.+&1
Por lo tanto
( )
212
.2
3= vvvU
(28)
Y tenien/o en !#enta la rela!i7n +,
( ) 23216
321
++
=
EUv
(29)
Y !omo U/> U ? Uv .3(1
Y "#e
( )[ ]323121232221 22
1 ++++=
EUv
.31
Se tiene /e + 3( y 3 "#e
[ ]3231212322213
1
++
=E
Ud
.3+1
An2loamente )ara #na )r#e%a #nia:ial* la enera /e /istorsi7n ser2B
-
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33/33
[ ]23
1ypd
EU
=
.331
Y enton!es )ara /iseVar se tiene el si#iente !riterio* intro/#!ien/o #n 8a!tor/e DiseVo N/
2
323121
2
3
2
2
2
1
++
d
yp
n
.3,1
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