escoamentos*não*isotérmicos* - puc-rionaccache.usuarios.rdc.puc-rio.br/.../aula2.pdf•...
Post on 27-Feb-2021
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Escoamentos não isotérmicos
Profa. Mônica F. Naccache PUC-‐Rio
1 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Condições de contorno: paredes sólidas e interfaces
• Tipos: – Fronteira livre – Fronteira limitada: paredes ou interfaces
• Condição cinemáEca (conservação de massa em S, componente normal da velocidade conInuo)
u•n=û•n em S Se a outra fase é sólida, û=usólido (parede fixa impermeável, û=0)
Mudança de fase na interface:
ρ(u-‐ uI)•n= ρ( û-‐ ûI) •n em S
Velocidade da interface 2 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• Condição de contorno térmica • Temperatura: em S (=θs se for parede) • Fluxo de calor (conservação de energia na interface): €
θ = ˆ θ
€
j•n = ˆ j •n em S
j = −k∇θ + ρ u−uI( )CP θ −θ ref( )ˆ j = − ˆ k ∇ ˆ θ + ˆ ρ ˆ u −uI( ) ˆ C P ˆ θ −θ ref( )
Sem mudança de fase Com mudança de fase (H=CP∆θ)
€
u•n = ˆ u •n = uI •n
−k ∇θ •n( ) = − ˆ k ∇ ˆ θ •n( )= Qs (se for parede)
€
−k ∇θ •n( ) + ˆ k ∇ ˆ θ •n( ) = ρ H − ˆ H ( ) u−uI( ) •n
3 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• Condição de contorno dinâmica – Especifica a relação entre os componentes tangenciais da velocidade
– Assumindo que a velocidade é conInua na interface (não deslizamento):
– A condição de não deslizamento ocorre na maioria dos fluidos Newtonianos (moléculas pequenas), e também em muitas situações dos fluidos complexos
€
u− u•n( )n = ˆ u − ˆ u •n( )n (parede, ˆ u =Usólido)parede estática : u− u•n( )n = 0
4 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• Condição de contorno de deslizamento: Navier-‐slip: – β: coeficiente de deslizamento (empírico) – A condição estabelece que ocorre um deslizamento, e que este é função da magnitude da tensão cisalhante na parede
• O deslizamento em geral ocorre para altos valores de tensão
€
u− u•n( )n−β T•n− T•n( ) •n( )n[ ] = 0
5 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Observações: • Nas interfaces, além das CC de velocidade, são necessárias CC
adicionais • Interfaces mudam ao longo do escoamento. Generalização da
condição cinemáEca:
• Condição de tensão: balanço de forças na interface (que tem volume nulo) -‐ soma das forças na interface é zero
• Hipótese: interface é caracterizada por uma superccie ou tensão interfacial, que é função do estado termodinâmico local (T ou p)
• Forças agindo na interface: pressão e tensão agindo nas faces (proporcionais à área da interface); força devida a tensão interfacial que age no plano da interface, nas bordas do elemento de superccie.
• Tensão interfacial: medida de energia livre por unidade de área. Aumento de área requer aumento da energia livre (trabalho) do sistema. Na teoria macroscópica, este trabalho é produzido pela força por unidade de comprimento γ (tensão interfacial)
€
F ≡ z − h x,y,t( )1∇F
∂F∂t
+ u•n = 0
€
n = ±∇F∇F
6 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
F: função escalar que define a forma da interface
Definições: Escoamento viscoso • Laminar: transferência de momentum a nível molecular
• Turbulento: transferência de momentum a nível macroscópico • Transição: número de Reynolds
u
ttransiente permanente
u’ 'uuu +=
€
Rex =ρUx
µ=
forças inérciaforças viscosas
7 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• Escoamento internos x Escoamentos externos O escoamento e transferência de calor apresentam caracterísEcas diferentes dependendo se é externo ou interno. ü Escoamento externo: caracterizado pela região com gradiente acentuado de velocidade (camada limite hidrodinâmica) e gradiente acentuado de temperatura (camada limite térmica)
ü Escoamento interno: ü Entrada: comportamento análogo à camada limite externa ü Longe da entrada, em tubulações longas: escoamento desenvolvido: • Hidrodinâmicamente desenvolvido: ∂u/∂x=0 ; dp/dx=cte • Termicamente desenvolvido: forma do perfil de temperatura não varia (∂θ/∂x=0 , θ é temperatura adimensional ⇒ θ =(T-‐Tref)/ ΔTref
8 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Le/Dlam=Re/20 Le/Dturb=40
9 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• Escoamento internos x Escoamentos externos – Diâmetro hidráulico – Fator de atrito – Número de Nusselt – Temperatura de mistura (ou de de “bulk”) – Região desenvolvida
10 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Camada Limite Hidrodinâmica: região do fluido que sofre os efeitos da parede (u ≤ U)
δ(x)
δ
x
y τ
τ
U U
u(y) Fluidos Newtonianos:
€
τ s = µ∂u∂y y= 0
11
Espessura da CL depende da viscosidade
Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Camada Limite Térmica: região do fluido que apresenta variações no campo de temperatura devido a presença da parede
δt(x)
δt
x
y
T0 U
T(y)
T0
Ts
€
Ts −TTs −T0
= 0,99
qs" = −k f
∂T∂y y= 0
= h Ts −T0( )
⇒ h =
−k f∂T∂y y= 0
Ts −T0( )
⇒ h é função da distribuição de temperaturas
δt cresce com x ⇒ ∂T/∂y⏐y=0 cai com x ⇒ h cai com x
12 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Escoamento interno: Algumas definições
• Velocidade média:
• Temperatura de mistura (ou de bulk): • Diâmetro hidráulico: DH=4Ac/P Ac -‐ área seção transversal P -‐ perímetro molhado
€
˙ m = ρumA
um =1ρA
ρu(r, x)dAA∫
€
Tb = Tm =1
˙ m cv
ρucvTdAA∫
13 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
-‐ Escoamento no interior de um tubo circular: -‐ Hip.: Escoamento laminar, regime permanente, propriedades constantes, esc. desenvolvido ∂u
∂x= 0 v = 0
-‐ Balanço de forças:
€
τ(2πrdx) − {τ(2πrdx) +ddr
τ (2πrdx)[ ]dr} +
p(2πrdr) − {p(2πrdr) +ddx
p(2πrdr)[ ]dx} = 0
−1rd rτ( )dr
= r dpdx
SubsEtuindo na equação obEda do balanço de forças: €
τ = −µdudr
-‐ Fluido Newtoniano:
µrddr
r dudr
!
"#
$
%&=
dpdx
u(r) = 1µdpdx
r2
4+C1 ln r +C2
CC : u(r0 ) = 0 dudr r=0
= 0 ⇒ u(r) = − 14µ
dpdxr0
2 1− rr0
!
"#
$
%&
2)
*++
,
-..
14 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
-‐ Velocidade média:
€
um = −r02
8µdpdx
-‐ Queda de pressão e fator de atrito para escoamento desenvolvido
€
f =−(dp/dx)D1/2ρum
2
€
Cf =τ
1/2ρum2
Cf =f4
fator de atrito:
Coeficiente de atrito:
-‐ Escoamento laminar desenvolvido:
€
f =64Re
-‐ Escoamento turbulento -‐ superccies lisas:
€
f = 0.316Re−1/ 4 Re ≤ 2x104
f = 0.184 Re−1/ 5 Re ≥ 2x104
f = 0.79(lnRe−0.164)−2 3000 ≤ Re ≤ 5x106
15 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
-‐ Número de Nusselt:
€
dqconv + ˙ m (cvTm + pv) − ˙ m (cvTm + pv) + ˙ m d(cvTm + pv)dx
dx#
$ % &
' ( = 0
⇒ dqconv
taxa de troca decalor por convecção
= ˙ m d(cvTm + pv)fluxo de energia térmica devida ao fluxo massa + trabalho líquido realizado pelo fluido ao se movimentaratravés do VC
16
€
NuLc =hLck
=qs"Lc
k Ts −Tref( )
Para gases ideais: pv=RTm , cp=cv+R
€
⇒ dqconv = ˙ m c p dTm
Para líquidos incompressíveis, cv=cp e v é muito pequeno (d(pv)<<d(cvTm))
€
⇒ dqconv = ˙ m c p dTm
Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Integrando a equação acima ao longo de todo o tubo:
€
qconvcalor total transferido ao tubo
= ˙ m cp (Tm,s −Tm,e )
Num elemento diferencial de fluido:
€
dqconv = q"s PdxP - perímetro da superfície (tubo circular : P = πD)
⇒dTm
dx=
q"s P˙ m c p
=P
˙ m c p
h(Ts − Tm)
• Se Ts>Tm, calor é transferido ao fluido e Tm cresce com x • Se Ts<Tm, calor é transferido pelo fluido e Tm cai com x
17
€
NuLc =hLc
k=
qs"Lc
k Ts −Tref( )=
˙ m cpLc / P
k Ts −Tref( )dTm
dx
Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Escoamentos simples unidimensionais: soluções exatas
18 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Solução de Escoamentos • Equações não lineares • Soluções exatas só para escoamentos simples (p. ex. termos não lineares nulos -‐ u•grad u=0)
• Soluções aproximadas: – Soluções numéricas – Métodos analíEcos -‐ métodos assintóEcos ou técnicas de perturbação: soluções analíEcas baseadas em aproximações/ hipóteses que simplificam as equações
19 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Soluções exatas: Escoamentos unidimensionais Escoamento de Coueze -‐
entre 2 placas paralelas infinitas • Hipóteses: – Propriedades ctes – Escoamento desenvolvido – Esc. no plano xy: w=0, – Regime permanente – Fluido Newtoniano – , T=T(y)
€
∂ /∂x = 0( )
€
∂ /∂z = 0
€
∂T /∂x = 0
20 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Eq. conservação de massa:
€
∂u∂x
+∂v∂y
= 0⇒ ∂v∂y
= 0 v = cte = 0
€
ρ u∂u∂x
+ v∂u∂y
$
% &
'
( ) = −
∂p∂x
+ µ∂ 2u∂x 2
+∂ 2u∂y 2
$
% &
'
( ) + ρgx
ρ u∂v∂x
+ v∂v∂y
$
% &
'
( ) = −
∂p∂y
+ µ∂ 2v∂x 2
+∂ 2v∂y 2
$
% &
'
( ) + ρgy
⇒ −∂p∂y
− ρg = 0 p = f (x) − ρgy
P = p + ρgy⇒∂P∂y
=∂p∂y
+ ρg = 0 ∂P∂x
=∂p∂x
=dPdx
dPdxg( x )
= µ∂ 2u∂y 2$
% &
'
( )
h( y )
= cte(= A)⇒ u =Aµy 2
2+C1y +C2
Eq. conservação de QML: €
v = u ˆ e x+ v ˆ e y+ w ˆ e z = u(y) ˆ e x
21 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
CC : y = −a u = 0y = a u =U
⇒ u = − dPdx
a2
2µ1− y
2
a2#
$%
&
'(+U2
ya+1
#
$%
&
'(
um = −13dPdx
a2
µ+U2
τ = µdudy
= a dPdx
ya#
$%&
'(+µ
U2a
Casos parEculares: U=0 dP/dx=0 Exercício: Obtenha o fator de atrito para estes casos parEculares
22 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
€
f =−(dp/dx)D1/2ρum
2
€
Cf =τ
1/2ρum2
fator de atrito:
Coeficiente de atrito:
Eq. da Energia:
ρcp u∂T∂x
+ v∂T∂y
!
"#
$
%&= k
∂ 2T∂x2 +
∂ 2T∂y2
!
"#
$
%&+µφ + q
µφ = µ∂u∂y
+∂v∂x
!
"#
$
%&
2
+ 2 ∂u∂x!
"#
$
%&
2
+∂v∂y!
"#
$
%&
2'
())
*
+,,
-./
0/
12/
3/
⇒ 0 = k d 2Tdy2
!
"#
$
%&+µ
dudy!
"#
$
%&
2
T = −µk
2µdpdx
!
"#
$
%&
2y4
12+dpdx
Uy3
6aµ+
U2a!
"#
$
%&
2 y2
2
'
())
*
+,,+C1y+C2
CC : y = −a T = T0 (placa inferior)y = a T = T1 (placa superior)
θ =T − ToT1 − To
=12
1+ ya
'
()*
+,+µ cpk
U 2
cp T1 − To( )18
1− y2
a2
!
"#
$
%&+
13µ cpk
U [dp / dxa2 / (2 µ)]cp T1 − To( )
ya−y3
a3
!
"#
$
%&+
13µ cpk
dp / dx a2 / (2 µ)( )2
cp T1 − To( )1− y
4
a4
!
"#
$
%&
23 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Número de Prandtl: razão entre difusividades de momentum e térmica Número de Eckert: energia cinéEca/variação entalpia – caracteriza a dissipacão
€
T − ToT1 − To
=121+ y
a"
#$%
&'+ Pr E 1
81− y
2
a2(
)*
+
,-+
13Pr U [dp / dx a
2 / (2 µ)]cp T1 − To( )
ya−y3
a3(
)*
+
,-+13Pr
dp / dx a2 / (2 µ)( )2
cp T1 − To( )1− y
4
a4(
)*
+
,-
T − ToT1 − To
=121+ y
a"
#$%
&'+ Pr E 1
81− y
2
a2(
)*
+
,-+
13Pr E [dp / dx a
2 / (2 µ)]U
ya−y3
a3(
)*
+
,-+13Pr E
dp / dx a2 / (2 µ)( )2
U1− y
4
a4(
)*
+
,-
24 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Pr = να=
µ / ρk / ρcp( )
=µ cpk
E = U 2
cp T1 − To( )
Exemplos: 1. dP/dx=0
€
" " q w = − k∂ T∂ y
%
& '
y =a
= − kT1 − To
2 a1−Pr E
2(
) * +
, -
" " q w = − k∂ T∂ y
%
& '
y =−a
= − kT1 − To
2 a1+Pr E
2(
) * +
, - =
k To − T1 +PrU 2
2 cp
.
/ 0 0
%
& ' '
Temp. de recuperação ou Temp. de parede adiabática
(
)
* * * * *
+
,
- - - - -
2 a
temperatura da parede inferior, quando ela está isolada (i.e., qw=0)
25 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Perfil de temperatura para placa inferior adiabáEca (qwi=0):
€
T = T1 +µkU 2
83 − 2 y
a−y 2
a2#
$ %
&
' (
⇒ Taw = T(y = −a) = T1 + Pr U 2
2cp
Taw-‐ temperatura aEngida pela superccie adiabáEca, devido à dissipação viscosa -‐ Aumento de temperatura devido a conversão de energia cinéEca (da placa superior) em energia térmica -‐ Def.: Fator de recuperação= En. térmica recuperada En. cinéEca na placa superior
€
r =cp Taw −T1( )U 2 /2
= PrGases: Pr < 1 è r < 1 Líquidos: Pr > 1 è r > 1
26 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
2. dP/dx≠0 e U=0
€
T − To
T1 − To
=121+
ya
#
$ % &
' ( +13Pr E 1 −
y 4
a4)
* +
,
- .
E =umax2
cp T1 − To( )
/ / q w = − k∂ T∂ y
,
- .
y = a
= − kT1 − To
2 a1−
83Pr E
#
$ % &
' (
/ / q w = − k∂ T∂ y
,
- .
y =−a
= − kT1 − To
2 a1+83Pr E
#
$ % &
' ( =
k To − T1 +83Pr umax
2
cp
)
* + +
,
- . .
#
$ % %
&
' ( (
2 a
Taw = T1 +83Pr umax
2
cp
r =cp (Taw − T1)umax2 / 2
=12 Pr
27 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
top related