equations 5.3 notes - mastering-mathematics

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EQUATIONS

OUTLINE

• Linear Equations

• Literal Equations

• Quadratic Equations

• Cubic Equations

• Linear Inequalities

• Simultaneous Equations

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2

2

LINEAR EQUATIONS

• solve complex linear equations involving algebraic fractions

LINEAR EQUATIONS

Linear equations have exactly one solution.

eg. Solve 2𝑥 1 3 𝑥 1

3

4

3

EQUATIONS WITH FRACTIONS

Solve:

𝑥 13

𝑥2

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PRONUMERALS ON THE BOTTOM

When pronumerals are on the bottom, we treat the fractions exactly 

the same.

2𝑥

32𝑥

11𝑥

5

6

4

BINOMIAL NUMERATORS OR DENOMINATORS

Solve:

𝑥 23

𝑥 54

BINOMIAL NUMERATORS OR DENOMINATORS

Solve 

𝑥𝑥 1

3𝑥 1

1

7

8

5

LITERAL EQUATIONS

• change the subject of formulas

LITERAL EQUATIONS

A literal equation has more than one variable. We cannot solve a literal 

equation unless we do simultaneous equations. We can change the 

subject of the equation.

Make y the subject of 2𝑥 3𝑦 5.

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6

LITERAL EQUATIONS

We can change the subject of a formula to make it easier to solve 

questions.

Find the value of h if 𝑉 120 and 𝑟 6 by changing the subject of the formula  𝑉 𝜋𝑟 ℎ.

LITERAL EQUATIONS

Make r the subject of 𝐴 𝜋𝑟 .

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7

LITERAL EQUATIONS

Make 𝑟 the subject of 𝑆𝑎

1 𝑟.

QUADRATIC EQUATIONS

• solve equations of the form 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0 by factorisation and by 'completing the square’

• use the quadratic formula to solve quadratic equations

• identify whether a given quadratic equation has real solutions, and whether or not they are equal

• solve a variety of quadratic equations and check the answers through substitution

• substitute a pronumeral to simplify higher‐order equations in order to solve them

• solve quadratic equations resulting from substitution into formulas or through solving problems and check their solutions

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QUADRATIC EQUATIONS

Recall that quadratic equations may have one, two or no solutions.

𝑥 0

𝑥 1

𝑥 9

FACTORISING AND SOLVING

For quadratic trinomials, we can factorise and use the null factor law to 

solve the equation.

𝑥 3𝑥 2 0Null Factor Law:

If 𝐴 𝐵 0 then 

either 𝐴 0 or 𝐵 0.

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FACTORISING AND SOLVING

Solve the following equations:

𝑥 2𝑥 63 0

3𝑥 5𝑥 12 0

CHECKING SOLUTIONS

Like all equations, we can check if our solutions are correct by 

substituting back into the equation.

3𝑥 5𝑥 12 0

𝑥 3,43

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COMPLETING THE SQUARE

What happens if we cannot factorise?

Solve 𝑥 6𝑥 5 0

EXAMPLE

Solve 𝑥 4𝑥 6 0 by completing the square.

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THE QUADRATIC FORMULA

Solve the equation 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0.

THE QUADRATIC FORMULA

Given any quadratic equation in the form 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0 we can 

find the solutions of the equation by using the formula:

𝑥𝑏 𝑏 4𝑎𝑐

2𝑎

The solutions to a quadratic equation are called the roots or zeroes. They are the x‐intercepts of the graph of the equation.

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THE QUADRATIC FORMULA

Use the quadratic formula to find the roots of the equation 𝑥 6𝑥 5 0.

THE QUADRATIC FORMULA

Find the roots of the equation to 3𝑥 𝑥 18 0 to 3 significant 

figures.

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EQUATIONS REDUCIBLE TO QUADRATICS

Solve 𝑥 13𝑥 36 0

EQUATIONS REDUCIBLE TO QUADRATICS

By making an appropriate substitution, solve the equation:

2 4 5 2 2 0

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THE DISCRIMINANT

There is a quick way to determine whether a quadratic equation has 

zero, one or two solutions. All we need to do is calculate the expression 

under the square root in the quadratic formula.

𝑥𝑏 𝑏 4𝑎𝑐

2𝑎This is called the discriminant and has the symbol ∆.

THE DISCRIMINANT

Let’s look at some examples:

a 𝑥 5𝑥 3 0

b) 𝑥 6𝑥 9 0

c) 2𝑥 4𝑥 7 0

𝑥5 25 4 3

25 13

2

𝑥6 36 4 9

26 0

23

𝑥4 16 4 2 7

2 24 40

4

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THE DISCRIMINANT

A quadratic equation has:

• Two real roots if ∆ 0

• One real root if ∆ 0

• No real roots if ∆ 0

EXAMPLE

Use the discriminant to find the number of solutions to the following 

quadratic equations:

a 2𝑥 𝑥 9 0 ∆ 1 4 2 9 71 none

b) 𝑥 5𝑥 11 0 ∆ 5 4 1 11 69 two

c) 4𝑥 12𝑥 9 0 ∆ 12 4 4 9 0 one

d) 𝑥 6𝑥 12 0 ∆ 6 4 1 12 84 two

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THE DISCRIMINANT

There is one other piece of information we can get from the 

discriminant. We can tell whether a quadratic can be factorised or not.

eg. Find the discriminant of the following:

2𝑥 𝑥 6 ∆ 1 4 2 6 49

3𝑥 𝑥 5 ∆ 1 4 3 5 61

2𝑥 𝑥 3 ∆ 1 4 2 3 25

Two of these can be factorised. Which ones?

If the discriminant is a perfect square, the answer will be _________.

EQUATIONS FROM FORMULAE

The cosine rule is a formula that finds unknown sides or angles of a non 

right angled triangle:

𝑐 𝑎 𝑏 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶

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WORD PROBLEMS

A skydiver jumps from a plane. The height above the ground after tseconds is given by ℎ 1900 5𝑡 .

a) What height was the plane when the skydiver jumped?

b) Approximately how many seconds will it take for the skydiver to 

reach the ground?

WORD PROBLEMS

A skydiver jumps from a plane. The height above the ground after tseconds is given by ℎ 1900 5𝑡 .

c) How many seconds does it take for the skydiver to fall 1000m?

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WORD PROBLEMS

The product of two consecutive, positive integers is 342. What are the 

numbers?

CUBIC EQUATIONS

• solve simple cubic equations of the form 𝑎𝑥 𝑘, leaving answers in exact form and as decimal approximations

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CUBE ROOT

Unlike square root, when we take the cube root there is only one 

solution.

Why?

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CUBIC EQUATIONS

The highest power of a cubic equation is 3.

A cubic equation can have one, two or three solutions.

Solve the following cubic equations:

The opposite operation of 3 is ∛.

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LINEAR INEQUALITIES

• solve linear inequalities, including through reversing the direction of the inequality sign and graph the solutions 

LINEAR INEQUALTIES

Recall the two rules for solving inequalities:

• if we turn the inequality around (that is, swap sides) the inequality sign flips

• if we multiply or divide by a negative the sign flips

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EXAMPLES

Solve, and graph the solution on a number line:

2𝑥 1 𝑥 2 2𝑥 1 3𝑥 1

HARDER INEQUALITIES

Inequalities can have three parts to them. For example:

2 𝑥 1 5

This means that 𝑥 1 lies between  2 and 5.

We can solve this inequality by applying opposite operations to all 

three sides.

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HARDER INEQUALITIES

Solve 1 1 2𝑥 5.

SIMULTANEOUS EQUATIONS

• use analytical methods to solve simultaneous equations, where one 

equation is non‐linear

• use graphical methods to solve simultaneous equations, where one 

equation is non‐linear

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SIMULTANEOUS EQUATIONS

Recall that there are three methods of solving simultaneous equations:

• Elimination

• Substitution

• Graphical

When one of the equations is non‐linear, it is not practical to use the 

elimination method.

SUBSTITUTION METHOD

Solve the following simultaneous equations:

𝑦 𝑥 3𝑥 1

𝑦 2𝑥 5

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SUBTITUTION METHOD

Solve the following simultaneous equations.

𝑦2𝑥

𝑦 𝑥 1

GRAPHICAL METHOD

Solve the simultaneous equations by 

graphing and finding the points of 

intersection.

𝑦2𝑥

𝑦 𝑥 1

x -2 -1 0 1 2

y

x -2 -1 0 1 2

y

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