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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Equações diferenciais com retardo em biologia depopulações
Estudante: Renato Mendes Coutinho
Orientador: Roberto André Kraenkel
Instituto de Física Teórica (IFT) - Unesp
Defesa de Dissertação de MestradoSão Paulo, 2010
Renato Mendes Coutinho Eq. diferenciais com retardo em biologia de populações
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Sumário
1 IntroduçãoBiologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
2 Dinâmica da equação de HutchinsonEquações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
3 Capacidade de suporte periódicaSoluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
4 Conclusão
Renato Mendes Coutinho Eq. diferenciais com retardo em biologia de populações
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Sumário
1 IntroduçãoBiologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
2 Dinâmica da equação de HutchinsonEquações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
3 Capacidade de suporte periódicaSoluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
4 Conclusão
Renato Mendes Coutinho Eq. diferenciais com retardo em biologia de populações
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Sumário
1 IntroduçãoBiologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
2 Dinâmica da equação de HutchinsonEquações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
3 Capacidade de suporte periódicaSoluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
4 Conclusão
Renato Mendes Coutinho Eq. diferenciais com retardo em biologia de populações
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Sumário
1 IntroduçãoBiologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
2 Dinâmica da equação de HutchinsonEquações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
3 Capacidade de suporte periódicaSoluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
4 Conclusão
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Introdução
Renato Mendes Coutinho Eq. diferenciais com retardo em biologia de populações
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
O objeto de Estudo: populações
Vamos estudar populações biológicas.
Populaçõessão conjuntos de organismos que vivem agregados e possuemcomportamento semelhante;são tratadas “como um todo”, ou seja, não analisamos o queacontece com cada indivíduo;crescem ou decrescem de acordo com os processos que afetamo tamanho da população: nascimento, morte, migração.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
O objeto de Estudo: populações
Vamos estudar populações biológicas.
Populaçõessão conjuntos de organismos que vivem agregados e possuemcomportamento semelhante;são tratadas “como um todo”, ou seja, não analisamos o queacontece com cada indivíduo;crescem ou decrescem de acordo com os processos que afetamo tamanho da população: nascimento, morte, migração.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
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O objeto de Estudo: populações
Vamos estudar populações biológicas.
Populaçõessão conjuntos de organismos que vivem agregados e possuemcomportamento semelhante;são tratadas “como um todo”, ou seja, não analisamos o queacontece com cada indivíduo;crescem ou decrescem de acordo com os processos que afetamo tamanho da população: nascimento, morte, migração.
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O objeto de Estudo: populações
Vamos estudar populações biológicas.
Populaçõessão conjuntos de organismos que vivem agregados e possuemcomportamento semelhante;são tratadas “como um todo”, ou seja, não analisamos o queacontece com cada indivíduo;crescem ou decrescem de acordo com os processos que afetamo tamanho da população: nascimento, morte, migração.
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Populações não-interagentes
Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Populações não-interagentes
Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Populações não-interagentes
Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Populações não-interagentes
Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.
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Populações não-interagentes
Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
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Populações não-interagentes
Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Dinâmica de uma população
Qual a dinâmica de uma população?
Com recursos em abundância, ela cresce exponencialmente (leide Malthus);em altas densidades, a população satura em sua capacidadede suporte.A equação mais simples que dá conta desses fenômenos é aequação logística:
dudt
= ru(t)[1−
u(t)K
]
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Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Dinâmica de uma população
Qual a dinâmica de uma população?
Com recursos em abundância, ela cresce exponencialmente (leide Malthus);em altas densidades, a população satura em sua capacidadede suporte.A equação mais simples que dá conta desses fenômenos é aequação logística:
dudt
= ru(t)[1−
u(t)K
]
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Dinâmica de uma população
Qual a dinâmica de uma população?
Com recursos em abundância, ela cresce exponencialmente (leide Malthus);em altas densidades, a população satura em sua capacidadede suporte.A equação mais simples que dá conta desses fenômenos é aequação logística:
dudt
= ru(t)[1−
u(t)K
]
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
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Dinâmica de uma população
Qual a dinâmica de uma população?
Com recursos em abundância, ela cresce exponencialmente (leide Malthus);em altas densidades, a população satura em sua capacidadede suporte.A equação mais simples que dá conta desses fenômenos é aequação logística:
dudt
= ru(t)[1−
u(t)K
]
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Equação logística
0 4 8 12 16
tempo
K
popula
ção
dudt
= ru(t)[1−
u(t)K
]
r é a taxa de crescimento:natalidade menosmortalidade (na ausência defatores limitantes, ou seja,com abundância de recursos)K é a capacidade desuporte: é o valor atingidopela população após certotempo.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
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Equação logística
0 4 8 12 16
tempo
K
popula
ção
dudt
= ru(t)[1−
u(t)K
]
r é a taxa de crescimento:natalidade menosmortalidade (na ausência defatores limitantes, ou seja,com abundância de recursos)K é a capacidade desuporte: é o valor atingidopela população após certotempo.
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Equação logística
0 4 8 12 16
tempo
K
popula
ção
dudt
= ru(t)[1−
u(t)K
]
r é a taxa de crescimento:natalidade menosmortalidade (na ausência defatores limitantes, ou seja,com abundância de recursos)K é a capacidade desuporte: é o valor atingidopela população após certotempo.
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Generalizando a equação logística
A equação logística vai muito bem, mas é simples demais.Vamos supôr que a fecundidade per capita no instante tdeve ser calculada não com a quantidade de indivíduos notempo t, mas em um tempo anterior t − τ:
dudt
= u(t) r[1−
u(t − τ)K
]︸ ︷︷ ︸fecundidade per capita
τ é o chamado atraso temporal ou retardo na equaçãodiferencial.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Generalizando a equação logística
A equação logística vai muito bem, mas é simples demais.Vamos supôr que a fecundidade per capita no instante tdeve ser calculada não com a quantidade de indivíduos notempo t, mas em um tempo anterior t − τ:
dudt
= u(t) r[1−
u(t − τ)K
]︸ ︷︷ ︸fecundidade per capita
τ é o chamado atraso temporal ou retardo na equaçãodiferencial.
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Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Generalizando a equação logística
A equação logística vai muito bem, mas é simples demais.Vamos supôr que a fecundidade per capita no instante tdeve ser calculada não com a quantidade de indivíduos notempo t, mas em um tempo anterior t − τ:
dudt
= u(t) r[1−
u(t − τ)K
]︸ ︷︷ ︸fecundidade per capita
τ é o chamado atraso temporal ou retardo na equaçãodiferencial.
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
A equação de Hutchinson
dudt
= ru(t)[1−
u(t − τ)K
]é a equação de Hutchinson, ou de Hutchinson-Wright, ou aindaequação logística com atraso.
Foi usada, por exemplo, para descrever populações de moscas(Nicholson blowflies).Será o centro de nossas atenções neste trabalho.
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Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
A equação de Hutchinson
dudt
= ru(t)[1−
u(t − τ)K
]é a equação de Hutchinson, ou de Hutchinson-Wright, ou aindaequação logística com atraso.
Foi usada, por exemplo, para descrever populações de moscas(Nicholson blowflies).Será o centro de nossas atenções neste trabalho.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
A equação de Hutchinson
dudt
= ru(t)[1−
u(t − τ)K
]é a equação de Hutchinson, ou de Hutchinson-Wright, ou aindaequação logística com atraso.
Foi usada, por exemplo, para descrever populações de moscas(Nicholson blowflies).Será o centro de nossas atenções neste trabalho.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Interpretações do atraso temporal
Introduzimos a equação de Hutchinson de uma forma heurística.Ao longo do tempo, diversas interpretações do atraso temporalforam propostas.
Tempo de maturação sexual do indivíduoApenas os indivíduos sexualmente maduros são responsáveis pelocrescimento da população, daí a taxa de fecundidade estarrelacionada apenas a esses indivíduos, de idade maior que τ.
Tempo de recuperação dos recursosOs recursos dos quais a população depende não se recuperaminstantaneamente, mas têm um tempo típico de recuperação (τ).
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Interpretações do atraso temporal
Introduzimos a equação de Hutchinson de uma forma heurística.Ao longo do tempo, diversas interpretações do atraso temporalforam propostas.
Tempo de maturação sexual do indivíduoApenas os indivíduos sexualmente maduros são responsáveis pelocrescimento da população, daí a taxa de fecundidade estarrelacionada apenas a esses indivíduos, de idade maior que τ.
Tempo de recuperação dos recursosOs recursos dos quais a população depende não se recuperaminstantaneamente, mas têm um tempo típico de recuperação (τ).
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Interpretações do atraso temporal
Introduzimos a equação de Hutchinson de uma forma heurística.Ao longo do tempo, diversas interpretações do atraso temporalforam propostas.
Tempo de maturação sexual do indivíduoApenas os indivíduos sexualmente maduros são responsáveis pelocrescimento da população, daí a taxa de fecundidade estarrelacionada apenas a esses indivíduos, de idade maior que τ.
Tempo de recuperação dos recursosOs recursos dos quais a população depende não se recuperaminstantaneamente, mas têm um tempo típico de recuperação (τ).
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Interpretações do atraso temporal II
Uma outra interpretação, baseada numa nova derivação daequação de Hutchinson, é de que o atraso provém de umamortalidade acentuada de indivíduos de idade τ.Isso pode estar relacionado a uma estrutura de estágiossubjacente.Desse ponto de vista, considerar τ como o tempo dematuração do indivíduo é compatível com essa interpretação.
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Interpretações do atraso temporal II
Uma outra interpretação, baseada numa nova derivação daequação de Hutchinson, é de que o atraso provém de umamortalidade acentuada de indivíduos de idade τ.Isso pode estar relacionado a uma estrutura de estágiossubjacente.Desse ponto de vista, considerar τ como o tempo dematuração do indivíduo é compatível com essa interpretação.
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Interpretações do atraso temporal II
Uma outra interpretação, baseada numa nova derivação daequação de Hutchinson, é de que o atraso provém de umamortalidade acentuada de indivíduos de idade τ.Isso pode estar relacionado a uma estrutura de estágiossubjacente.Desse ponto de vista, considerar τ como o tempo dematuração do indivíduo é compatível com essa interpretação.
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson
Aplicações
Apesar de reproduzir qualitativamente alguns fenômenosobservados em laboratório, a equação de Hutchinson é aindaum modelo muito simples.Não se deve esperar muito dela em termos de comprovaçãoexperimental.Vamos encará-la como um modelo mínimo que introduz ummecanismo de atraso temporal, e estudar seu comportamentoqualitativo sob diversos regimes.
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Aplicações
Apesar de reproduzir qualitativamente alguns fenômenosobservados em laboratório, a equação de Hutchinson é aindaum modelo muito simples.Não se deve esperar muito dela em termos de comprovaçãoexperimental.Vamos encará-la como um modelo mínimo que introduz ummecanismo de atraso temporal, e estudar seu comportamentoqualitativo sob diversos regimes.
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Aplicações
Apesar de reproduzir qualitativamente alguns fenômenosobservados em laboratório, a equação de Hutchinson é aindaum modelo muito simples.Não se deve esperar muito dela em termos de comprovaçãoexperimental.Vamos encará-la como um modelo mínimo que introduz ummecanismo de atraso temporal, e estudar seu comportamentoqualitativo sob diversos regimes.
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
Dinâmica da equação deHutchinson
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
Definição
A equação de Hutchinson pertence à uma classe de equaçõeschamadas equações diferenciais funcionais
Equações diferenciais funcionais são aquelas em que a derivada davariável dependente u no instante t está relacionada a u comofunção de alguma outra função do tempo.
dudt
= f (t, u(t), u (g(t)))
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Definição
A equação de Hutchinson pertence à uma classe de equaçõeschamadas equações diferenciais funcionais
Equações diferenciais funcionais são aquelas em que a derivada davariável dependente u no instante t está relacionada a u comofunção de alguma outra função do tempo.
dudt
= f (t, u(t), u (g(t)))
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Definição
A equação de Hutchinson pertence à uma classe de equaçõeschamadas equações diferenciais funcionais
Equações diferenciais funcionais são aquelas em que a derivada davariável dependente u no instante t está relacionada a u comofunção de alguma outra função do tempo.
dudt
= f (t, u(t), u (g(t)))
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
Equações diferenciais com retardo
Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas
um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.
Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo
du(t)dt − u(t − 1) = 0
dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0
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Equações diferenciais com retardo
Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas
um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.
Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo
du(t)dt − u(t − 1) = 0
dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0
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Equações diferenciais com retardo
Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas
um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.
Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo
du(t)dt − u(t − 1) = 0
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Equações diferenciais com retardo
Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas
um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.
Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo
du(t)dt − u(t − 1) = 0
dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0
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Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas
um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.
Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo
du(t)dt − u(t − 1) = 0
dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0
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Equações diferenciais com retardo
Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas
um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.
Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo
du(t)dt − u(t − 1) = 0
dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0
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Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas
um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.
Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo
du(t)dt − u(t − 1) = 0
dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
Solução por continuação
Vamos resolver um caso simplespara entender como evolui notempo uma equação diferencialcom retardo:dudt = u(t − 1), t ≥ 0
Para calcularmos u ′(0),precisamos de u(−1), entãovamos tomaru(t) = 1, t ∈ [−1, 0].
Com 0 < t < 1, integramos afunção constante e obtemos asolução.
Prosseguimos assim,sucessivamente para cadaintervalo de tamanho 1.
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Vamos resolver um caso simplespara entender como evolui notempo uma equação diferencialcom retardo:dudt = u(t − 1), t ≥ 0
Para calcularmos u ′(0),precisamos de u(−1), entãovamos tomaru(t) = 1, t ∈ [−1, 0].
Com 0 < t < 1, integramos afunção constante e obtemos asolução.
Prosseguimos assim,sucessivamente para cadaintervalo de tamanho 1.
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
t
0
2
4
6
8
10
12
u1
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Solução por continuação
Vamos resolver um caso simplespara entender como evolui notempo uma equação diferencialcom retardo:dudt = u(t − 1), t ≥ 0
Para calcularmos u ′(0),precisamos de u(−1), entãovamos tomaru(t) = 1, t ∈ [−1, 0].
Com 0 < t < 1, integramos afunção constante e obtemos asolução.
Prosseguimos assim,sucessivamente para cadaintervalo de tamanho 1.
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
t
0
2
4
6
8
10
12
u1
1 +t
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
Solução por continuação
Vamos resolver um caso simplespara entender como evolui notempo uma equação diferencialcom retardo:dudt = u(t − 1), t ≥ 0
Para calcularmos u ′(0),precisamos de u(−1), entãovamos tomaru(t) = 1, t ∈ [−1, 0].
Com 0 < t < 1, integramos afunção constante e obtemos asolução.
Prosseguimos assim,sucessivamente para cadaintervalo de tamanho 1.
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
t
0
2
4
6
8
10
12
u1
1 +t
1/2 +t+t2 /2
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Solução por continuação
Vamos resolver um caso simplespara entender como evolui notempo uma equação diferencialcom retardo:dudt = u(t − 1), t ≥ 0
Para calcularmos u ′(0),precisamos de u(−1), entãovamos tomaru(t) = 1, t ∈ [−1, 0].
Com 0 < t < 1, integramos afunção constante e obtemos asolução.
Prosseguimos assim,sucessivamente para cadaintervalo de tamanho 1.
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
t
0
2
4
6
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10
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1/6 +t/2 +t2 /2 +t3 /6
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
Problema de valor inicial
A ordem da descontinuidade nos pontos múltiplos do atrasoaumenta, quer dizer, a solução ganha regularidade.É necessário fornecer uma história inicial para que o problemade valor inicial esteja bem definido:
dudt
= f (t, u(t), u(t − τ)) , t ≥ 0
u(t) = φ(t),−τ ≤ t ≤ 0
Uma solução única é determinada apenas por uma funçãoinicial φ num intervalo [−τ, 0], o que indica que o problema éde dimensão infinita.
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Problema de valor inicial
A ordem da descontinuidade nos pontos múltiplos do atrasoaumenta, quer dizer, a solução ganha regularidade.É necessário fornecer uma história inicial para que o problemade valor inicial esteja bem definido:
dudt
= f (t, u(t), u(t − τ)) , t ≥ 0
u(t) = φ(t),−τ ≤ t ≤ 0
Uma solução única é determinada apenas por uma funçãoinicial φ num intervalo [−τ, 0], o que indica que o problema éde dimensão infinita.
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Problema de valor inicial
A ordem da descontinuidade nos pontos múltiplos do atrasoaumenta, quer dizer, a solução ganha regularidade.É necessário fornecer uma história inicial para que o problemade valor inicial esteja bem definido:
dudt
= f (t, u(t), u(t − τ)) , t ≥ 0
u(t) = φ(t),−τ ≤ t ≤ 0
Uma solução única é determinada apenas por uma funçãoinicial φ num intervalo [−τ, 0], o que indica que o problema éde dimensão infinita.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
Soluções exponenciais
A solução por continuação pode ser numericamente útil, masnão permite análise do comportamento para t → ∞.Para equações lineares, podemos procurar por soluçõesexponenciais:
L(u) = a0dudt
+ b0u(t) + b1u(t − τ) = 0,
u(t) = Ceλt ∴ a0λ+ b0 + b1e−λτ ≡ h(λ) = 0
h é o polinômio característico. As (infinitas) raízes de h(λ)(os autovalores) determinam o comportamento das soluções.
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Soluções exponenciais
A solução por continuação pode ser numericamente útil, masnão permite análise do comportamento para t → ∞.Para equações lineares, podemos procurar por soluçõesexponenciais:
L(u) = a0dudt
+ b0u(t) + b1u(t − τ) = 0,
u(t) = Ceλt ∴ a0λ+ b0 + b1e−λτ ≡ h(λ) = 0
h é o polinômio característico. As (infinitas) raízes de h(λ)(os autovalores) determinam o comportamento das soluções.
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Soluções exponenciais
A solução por continuação pode ser numericamente útil, masnão permite análise do comportamento para t → ∞.Para equações lineares, podemos procurar por soluçõesexponenciais:
L(u) = a0dudt
+ b0u(t) + b1u(t − τ) = 0,
u(t) = Ceλt ∴ a0λ+ b0 + b1e−λτ ≡ h(λ) = 0
h é o polinômio característico. As (infinitas) raízes de h(λ)(os autovalores) determinam o comportamento das soluções.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
Autovalores complexos
Se λ for complexo, a solução pode oscilarIsso contrasta com equações diferenciais ordinárias, em queuma equação em uma única variável nunca oscila.
ExemploA equação
dudt
= −π
2u(t − 1)
tem soluçãou(t) = A cos
(π2t)
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Autovalores complexos
Se λ for complexo, a solução pode oscilarIsso contrasta com equações diferenciais ordinárias, em queuma equação em uma única variável nunca oscila.
ExemploA equação
dudt
= −π
2u(t − 1)
tem soluçãou(t) = A cos
(π2t)
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Autovalores complexos
Se λ for complexo, a solução pode oscilarIsso contrasta com equações diferenciais ordinárias, em queuma equação em uma única variável nunca oscila.
ExemploA equação
dudt
= −π
2u(t − 1)
tem soluçãou(t) = A cos
(π2t)
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Autovalores complexos
Se λ for complexo, a solução pode oscilarIsso contrasta com equações diferenciais ordinárias, em queuma equação em uma única variável nunca oscila.
ExemploA equação
dudt
= −π
2u(t − 1)
tem soluçãou(t) = A cos
(π2t)
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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson
Reescrevemos a equação de Hutchinson na forma adimensional
dudt
= u(t) [1− u(t − τ)]
tomando u = uK , t = rt e τ = rτ.
Há dois pontos fixos: u∗ = 0 e u∗ = 1.u∗ = 0 é sempre instável (pois r > 0).u∗ = 1 é mais complexo...
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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson
Reescrevemos a equação de Hutchinson na forma adimensional
dudt
= u(t) [1− u(t − τ)]
tomando u = uK , t = rt e τ = rτ.
Há dois pontos fixos: u∗ = 0 e u∗ = 1.u∗ = 0 é sempre instável (pois r > 0).u∗ = 1 é mais complexo...
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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson
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= u(t) [1− u(t − τ)]
tomando u = uK , t = rt e τ = rτ.
Há dois pontos fixos: u∗ = 0 e u∗ = 1.u∗ = 0 é sempre instável (pois r > 0).u∗ = 1 é mais complexo...
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Reescrevemos a equação de Hutchinson na forma adimensional
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= u(t) [1− u(t − τ)]
tomando u = uK , t = rt e τ = rτ.
Há dois pontos fixos: u∗ = 0 e u∗ = 1.u∗ = 0 é sempre instável (pois r > 0).u∗ = 1 é mais complexo...
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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson
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dudt
= u(t) [1− u(t − τ)]
tomando u = uK , t = rt e τ = rτ.
Há dois pontos fixos: u∗ = 0 e u∗ = 1.u∗ = 0 é sempre instável (pois r > 0).u∗ = 1 é mais complexo...
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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson II
A linearização ao redor de u∗ = 1 édudt
+ u(t − τ) = 0
h(λ) = e−λτ + λ = 0
Para τ < e−1, a solução λ da equação característica de maiorparte real (ou seja, a que domina) é real. Portanto nessaregião as soluções vão monotonicamente para o ponto fixo.Quando π/2 > τ > e−1, todos os λ são complexos e de partereal negativa, de modo que u∗ = 1 ainda é estável, mas tendeao ponto fixo oscilando.Quando τ = π/2, um par de autovalores λ = ±i cruza o eixoimaginário e passa a ter parte real positiva. A partir daí oponto fixo é instável. A equação de Hutchinson passa a tersoluções com oscilações auto sustentadas.
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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson II
A linearização ao redor de u∗ = 1 édudt
+ u(t − τ) = 0
h(λ) = e−λτ + λ = 0
Para τ < e−1, a solução λ da equação característica de maiorparte real (ou seja, a que domina) é real. Portanto nessaregião as soluções vão monotonicamente para o ponto fixo.Quando π/2 > τ > e−1, todos os λ são complexos e de partereal negativa, de modo que u∗ = 1 ainda é estável, mas tendeao ponto fixo oscilando.Quando τ = π/2, um par de autovalores λ = ±i cruza o eixoimaginário e passa a ter parte real positiva. A partir daí oponto fixo é instável. A equação de Hutchinson passa a tersoluções com oscilações auto sustentadas.
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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson II
A linearização ao redor de u∗ = 1 édudt
+ u(t − τ) = 0
h(λ) = e−λτ + λ = 0
Para τ < e−1, a solução λ da equação característica de maiorparte real (ou seja, a que domina) é real. Portanto nessaregião as soluções vão monotonicamente para o ponto fixo.Quando π/2 > τ > e−1, todos os λ são complexos e de partereal negativa, de modo que u∗ = 1 ainda é estável, mas tendeao ponto fixo oscilando.Quando τ = π/2, um par de autovalores λ = ±i cruza o eixoimaginário e passa a ter parte real positiva. A partir daí oponto fixo é instável. A equação de Hutchinson passa a tersoluções com oscilações auto sustentadas.
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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson II
A linearização ao redor de u∗ = 1 édudt
+ u(t − τ) = 0
h(λ) = e−λτ + λ = 0
Para τ < e−1, a solução λ da equação característica de maiorparte real (ou seja, a que domina) é real. Portanto nessaregião as soluções vão monotonicamente para o ponto fixo.Quando π/2 > τ > e−1, todos os λ são complexos e de partereal negativa, de modo que u∗ = 1 ainda é estável, mas tendeao ponto fixo oscilando.Quando τ = π/2, um par de autovalores λ = ±i cruza o eixoimaginário e passa a ter parte real positiva. A partir daí oponto fixo é instável. A equação de Hutchinson passa a tersoluções com oscilações auto sustentadas.
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Soluções da equação de Hutchinson
0 5 10 15 20 25 30
tempo (t)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
densi
dade (
u)
τ=0.2
τ=0.7
τ=1.6
0 10 20 30 40 50
tempo (t)
0
1
2
3
4
5
densi
dade (
u)
τ=1.6
τ=2.0
τ=2.5
Gráficos das soluções da equação para diversos τ.
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Oscilações periódicas em biologia de populações
Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:
Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.
Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.
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Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes
Oscilações periódicas em biologia de populações
Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:
Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.
Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.
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Oscilações periódicas em biologia de populações
Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:
Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.
Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.
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Oscilações periódicas em biologia de populações
Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:
Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.
Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.
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Oscilações periódicas em biologia de populações
Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:
Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.
Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.
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Oscilações periódicas em biologia de populações
Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:
Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.
Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.
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Oscilações periódicas em biologia de populações
Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:
Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.
Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.
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Período como função de τ
Podemos investigarnumericamente comose comporta o períododa solução quandoaumentamos τ.Ao lado, o período Tda solução em funçãodo parâmetro τutilizado.Assintoticamente,T (τ) u eτ.
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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Capacidade de suporte periódica
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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Perturbações externas
Quando se formula um modelo em biologia de populações, éimportante saber se ele é sensível a perturbações ambientais.Vamos adaptar a equação de Hutchinson de maneira que acapacidade de suporte seja periódica:
dudt
= u(t) [1− (1+ α cosγt)u(t − τ)]
A frequência γ corresponde a uma frequência externa, quepode corresponder a variações ambientais.
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Perturbações externas
Quando se formula um modelo em biologia de populações, éimportante saber se ele é sensível a perturbações ambientais.Vamos adaptar a equação de Hutchinson de maneira que acapacidade de suporte seja periódica:
dudt
= u(t) [1− (1+ α cosγt)u(t − τ)]
A frequência γ corresponde a uma frequência externa, quepode corresponder a variações ambientais.
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Perturbações externas
Quando se formula um modelo em biologia de populações, éimportante saber se ele é sensível a perturbações ambientais.Vamos adaptar a equação de Hutchinson de maneira que acapacidade de suporte seja periódica:
dudt
= u(t) [1− (1+ α cosγt)u(t − τ)]
A frequência γ corresponde a uma frequência externa, quepode corresponder a variações ambientais.
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Perturbações externas
Quando se formula um modelo em biologia de populações, éimportante saber se ele é sensível a perturbações ambientais.Vamos adaptar a equação de Hutchinson de maneira que acapacidade de suporte seja periódica:
dudt
= u(t) [1− (1+ α cosγt)u(t − τ)]
A frequência γ corresponde a uma frequência externa, quepode corresponder a variações ambientais.
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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Soluções
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
u(t
),γ
=0.
4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
u(t
),γ
=0.
8
100 200 300 400 500 600 700 800tempo (t)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
u(t
),γ
=0.9
Solução numérica da equação deHutchinson adaptada, para diversosvalores de γ, α = 0.1 e τ = 1.7.
As oscilações originais dosistema se mantém, porémsurge um novo modo deoscilação, que faz com que oenvelope da solução oscile.A amplitude das oscilaçõestambém varia com γ.Então: o que acontecequando γ se aproxima dafrequência natural dosistema, dependente de τ?
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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Soluções
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
u(t
),γ
=0.
4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
u(t
),γ
=0.
8
100 200 300 400 500 600 700 800tempo (t)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
u(t
),γ
=0.9
Solução numérica da equação deHutchinson adaptada, para diversosvalores de γ, α = 0.1 e τ = 1.7.
As oscilações originais dosistema se mantém, porémsurge um novo modo deoscilação, que faz com que oenvelope da solução oscile.A amplitude das oscilaçõestambém varia com γ.Então: o que acontecequando γ se aproxima dafrequência natural dosistema, dependente de τ?
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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Soluções
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
u(t
),γ
=0.
4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
u(t
),γ
=0.
8
100 200 300 400 500 600 700 800tempo (t)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
u(t
),γ
=0.9
Solução numérica da equação deHutchinson adaptada, para diversosvalores de γ, α = 0.1 e τ = 1.7.
As oscilações originais dosistema se mantém, porémsurge um novo modo deoscilação, que faz com que oenvelope da solução oscile.A amplitude das oscilaçõestambém varia com γ.Então: o que acontecequando γ se aproxima dafrequência natural dosistema, dependente de τ?
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Gráfico de ressonância
Ressonância!Ao redor da frequência natural, indicada em vermelho (bem como odobro desta). Aqui τ = 1.7 e α = 0.01.
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Comportamento anômalo
0.890 0.895 0.900 0.905 0.910 0.915 0.920
Frequência da perturbação (γ)
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
Am
plit
ude (max(u
)−min
(u))
(a)
(b)
(c)
Figura anterior aproximada próximo doprimeiro pico da ressonância.
Entretanto, aparece umfenômeno curioso:próximo do que seria omáximo da ressonância,existe uma “fenda”.Vamos olhar para asolução em outra escalade tempo...
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Comportamento anômalo
0.890 0.895 0.900 0.905 0.910 0.915 0.920
Frequência da perturbação (γ)
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
Am
plit
ude (max(u
)−min
(u))
(a)
(b)
(c)
Figura anterior aproximada próximo doprimeiro pico da ressonância.
Entretanto, aparece umfenômeno curioso:próximo do que seria omáximo da ressonância,existe uma “fenda”.Vamos olhar para asolução em outra escalade tempo...
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Comportamento anômalo II
1.900
1.902
1.904
1.906
1.908
1.910
(b)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
tempo (t)
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
2.05
2.10
(c)
Envoltória da solução da equaçãode Hutchinson adaptada, comτ = 1.7, α = 0.01 e(b) γ = 0.911; e(c) γ = 0.915.
Na região da fenda, a frequênciada oscilação do envelope ficapróxima de zero, levando a períodos(desse modo de oscilação)extremamente longos, como vemosna figura (c).Simulações nessa região deparâmetros indo até t = 107
(tempo adimensional) não sãocapazes de eliminar esse efeito.Isso evidencia a necessidade detempos arbitrariamente grandespara chegar a um “estadoestacionário”.
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Comportamento anômalo II
1.900
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1.904
1.906
1.908
1.910
(b)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
tempo (t)
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
2.05
2.10
(c)
Envoltória da solução da equaçãode Hutchinson adaptada, comτ = 1.7, α = 0.01 e(b) γ = 0.911; e(c) γ = 0.915.
Na região da fenda, a frequênciada oscilação do envelope ficapróxima de zero, levando a períodos(desse modo de oscilação)extremamente longos, como vemosna figura (c).Simulações nessa região deparâmetros indo até t = 107
(tempo adimensional) não sãocapazes de eliminar esse efeito.Isso evidencia a necessidade detempos arbitrariamente grandespara chegar a um “estadoestacionário”.
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1.910
(b)
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tempo (t)
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
2.05
2.10
(c)
Envoltória da solução da equaçãode Hutchinson adaptada, comτ = 1.7, α = 0.01 e(b) γ = 0.911; e(c) γ = 0.915.
Na região da fenda, a frequênciada oscilação do envelope ficapróxima de zero, levando a períodos(desse modo de oscilação)extremamente longos, como vemosna figura (c).Simulações nessa região deparâmetros indo até t = 107
(tempo adimensional) não sãocapazes de eliminar esse efeito.Isso evidencia a necessidade detempos arbitrariamente grandespara chegar a um “estadoestacionário”.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Descrição da envoltória
Observamos numericamente o que acontece nesse sistema.A envoltória possui um comportamento interessante.Gostaríamos de ter uma descrição analítica da sua dinâmica.Vamos tentar fazer uso do método de múltiplas escalas.Começamos abordando a equação de Hutchinson usual, semvariações na capacidade de suporte.
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Observamos numericamente o que acontece nesse sistema.A envoltória possui um comportamento interessante.Gostaríamos de ter uma descrição analítica da sua dinâmica.Vamos tentar fazer uso do método de múltiplas escalas.Começamos abordando a equação de Hutchinson usual, semvariações na capacidade de suporte.
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Descrição da envoltória
Observamos numericamente o que acontece nesse sistema.A envoltória possui um comportamento interessante.Gostaríamos de ter uma descrição analítica da sua dinâmica.Vamos tentar fazer uso do método de múltiplas escalas.Começamos abordando a equação de Hutchinson usual, semvariações na capacidade de suporte.
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Método de múltiplas escalas I
O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:
u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .
em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.
Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.
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Método de múltiplas escalas I
O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:
u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .
em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.
Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.
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Método de múltiplas escalas I
O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:
u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .
em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.
Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.
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Método de múltiplas escalas I
O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:
u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .
em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.
Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.
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Método de múltiplas escalas I
O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:
u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .
em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.
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Método de múltiplas escalas I
O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:
u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .
em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.
Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.
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Método de múltiplas escalas II
O objetivo dessa generalização é permitir a eliminação doschamados termos seculares, que são termos cuja amplitudenão pode ser controlada e que levam à perda daassintoticidade da solução perturbativa.Para definir a dinâmica das variáveis ui nas escalas de tempolentas, portanto, vamos impôr que:
A dinâmica nas escalas de tempo lentas será tal que os termosseculares sejam anulados.
Vamos olhar para o exemplo à mão.
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Método de múltiplas escalas II
O objetivo dessa generalização é permitir a eliminação doschamados termos seculares, que são termos cuja amplitudenão pode ser controlada e que levam à perda daassintoticidade da solução perturbativa.Para definir a dinâmica das variáveis ui nas escalas de tempolentas, portanto, vamos impôr que:
A dinâmica nas escalas de tempo lentas será tal que os termosseculares sejam anulados.
Vamos olhar para o exemplo à mão.
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Método de múltiplas escalas II
O objetivo dessa generalização é permitir a eliminação doschamados termos seculares, que são termos cuja amplitudenão pode ser controlada e que levam à perda daassintoticidade da solução perturbativa.Para definir a dinâmica das variáveis ui nas escalas de tempolentas, portanto, vamos impôr que:
A dinâmica nas escalas de tempo lentas será tal que os termosseculares sejam anulados.
Vamos olhar para o exemplo à mão.
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Método de múltiplas escalas II
O objetivo dessa generalização é permitir a eliminação doschamados termos seculares, que são termos cuja amplitudenão pode ser controlada e que levam à perda daassintoticidade da solução perturbativa.Para definir a dinâmica das variáveis ui nas escalas de tempolentas, portanto, vamos impôr que:
A dinâmica nas escalas de tempo lentas será tal que os termosseculares sejam anulados.
Vamos olhar para o exemplo à mão.
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Aplicação à equação de Hutchinson I
A equação de Hutchinsondudt
= u(t) [1− u(t − τ)]
é uma equação não-linear com retardo para a qual não temossolução analítica.Para aplicar o método, vamos considerar que o termo linear éuma perturbação (isso não compromete a generalidade dasolução, pois se trata apenas de uma mudança de escala)e que τ ≈ π/2, já que em π/2 temos a solução da parte linear,que é apenas um seno.A escolha das potências de ε é arbitrária e ajustada de formaconveniente. Escrevemos então a equação da seguinte forma:
dudt
= −u(t −
π
2− σε2
)[1+ εu(t)]
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Aplicação à equação de Hutchinson I
A equação de Hutchinsondudt
= u(t) [1− u(t − τ)]
é uma equação não-linear com retardo para a qual não temossolução analítica.Para aplicar o método, vamos considerar que o termo linear éuma perturbação (isso não compromete a generalidade dasolução, pois se trata apenas de uma mudança de escala)e que τ ≈ π/2, já que em π/2 temos a solução da parte linear,que é apenas um seno.A escolha das potências de ε é arbitrária e ajustada de formaconveniente. Escrevemos então a equação da seguinte forma:
dudt
= −u(t −
π
2− σε2
)[1+ εu(t)]
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Aplicação à equação de Hutchinson I
A equação de Hutchinsondudt
= u(t) [1− u(t − τ)]
é uma equação não-linear com retardo para a qual não temossolução analítica.Para aplicar o método, vamos considerar que o termo linear éuma perturbação (isso não compromete a generalidade dasolução, pois se trata apenas de uma mudança de escala)e que τ ≈ π/2, já que em π/2 temos a solução da parte linear,que é apenas um seno.A escolha das potências de ε é arbitrária e ajustada de formaconveniente. Escrevemos então a equação da seguinte forma:
dudt
= −u(t −
π
2− σε2
)[1+ εu(t)]
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Aplicação à equação de Hutchinson I
A equação de Hutchinsondudt
= u(t) [1− u(t − τ)]
é uma equação não-linear com retardo para a qual não temossolução analítica.Para aplicar o método, vamos considerar que o termo linear éuma perturbação (isso não compromete a generalidade dasolução, pois se trata apenas de uma mudança de escala)e que τ ≈ π/2, já que em π/2 temos a solução da parte linear,que é apenas um seno.A escolha das potências de ε é arbitrária e ajustada de formaconveniente. Escrevemos então a equação da seguinte forma:
dudt
= −u(t −
π
2− σε2
)[1+ εu(t)]
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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Aplicação à equação de Hutchinson IIEscolhemos as escalas de tempo e fazemos a expansão assintóticada solução:
t1 = ε2t0, t2 = ε4t0, t3 = ε6t0 . . .
u(t0, t1, . . . ) = u0(t0, t1, . . . ) + εu1(t0, t1, . . . ) + ε2u2(t0, t1, . . . ) + . . .
Expandimos tudo em potências de ε e comparamos os termos demesma ordem, chegando à série de equações:
∂u0
∂t0+ u0(t0 − π/2) = 0
∂u1
∂t0+ u1(t0 − π/2) = −u0(t0)u0(t0 − π/2)
∂u2
∂t0+ u2(t0 − π/2) = −
∂u0
∂t1(t0) − u0(t0 − π/2)u1(t0)
− u0(t0)u1(t − π/2) + σ∂u1
∂t0(t0 − π/2)
...
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Aplicação à equação de Hutchinson IIEscolhemos as escalas de tempo e fazemos a expansão assintóticada solução:
t1 = ε2t0, t2 = ε4t0, t3 = ε6t0 . . .
u(t0, t1, . . . ) = u0(t0, t1, . . . ) + εu1(t0, t1, . . . ) + ε2u2(t0, t1, . . . ) + . . .
Expandimos tudo em potências de ε e comparamos os termos demesma ordem, chegando à série de equações:
∂u0
∂t0+ u0(t0 − π/2) = 0
∂u1
∂t0+ u1(t0 − π/2) = −u0(t0)u0(t0 − π/2)
∂u2
∂t0+ u2(t0 − π/2) = −
∂u0
∂t1(t0) − u0(t0 − π/2)u1(t0)
− u0(t0)u1(t − π/2) + σ∂u1
∂t0(t0 − π/2)
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Aplicação à equação de Hutchinson IIEscolhemos as escalas de tempo e fazemos a expansão assintóticada solução:
t1 = ε2t0, t2 = ε4t0, t3 = ε6t0 . . .
u(t0, t1, . . . ) = u0(t0, t1, . . . ) + εu1(t0, t1, . . . ) + ε2u2(t0, t1, . . . ) + . . .
Expandimos tudo em potências de ε e comparamos os termos demesma ordem, chegando à série de equações:
∂u0
∂t0+ u0(t0 − π/2) = 0
∂u1
∂t0+ u1(t0 − π/2) = −u0(t0)u0(t0 − π/2)
∂u2
∂t0+ u2(t0 − π/2) = −
∂u0
∂t1(t0) − u0(t0 − π/2)u1(t0)
− u0(t0)u1(t − π/2) + σ∂u1
∂t0(t0 − π/2)
...
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Aplicação à equação de Hutchinson III
A solução em ordem 0 é
u0(t0, t1, . . . ) =∑
i
ci (t1, t2, . . . )eλi t0 + c .c .
Entretanto, desprezaremos todas as soluções que decaem a zero, oque deixa apenas a solução de autovalor λ = i :
u0 = A(t1, t2, . . . )e it0 + c .c .
Substituindo na equação de ordem 1 em ε:∂u1
∂t0+ u1(t0 − π/2) = iA2e2it0 + c .c . ,
cuja solução é (supondo que a parte homogênea apareça só naordem 0):
u1 =(2− i)A2
5e2it0 + c .c .
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A solução em ordem 0 é
u0(t0, t1, . . . ) =∑
i
ci (t1, t2, . . . )eλi t0 + c .c .
Entretanto, desprezaremos todas as soluções que decaem a zero, oque deixa apenas a solução de autovalor λ = i :
u0 = A(t1, t2, . . . )e it0 + c .c .
Substituindo na equação de ordem 1 em ε:∂u1
∂t0+ u1(t0 − π/2) = iA2e2it0 + c .c . ,
cuja solução é (supondo que a parte homogênea apareça só naordem 0):
u1 =(2− i)A2
5e2it0 + c .c .
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Aplicação à equação de Hutchinson III
A solução em ordem 0 é
u0(t0, t1, . . . ) =∑
i
ci (t1, t2, . . . )eλi t0 + c .c .
Entretanto, desprezaremos todas as soluções que decaem a zero, oque deixa apenas a solução de autovalor λ = i :
u0 = A(t1, t2, . . . )e it0 + c .c .
Substituindo na equação de ordem 1 em ε:∂u1
∂t0+ u1(t0 − π/2) = iA2e2it0 + c .c . ,
cuja solução é (supondo que a parte homogênea apareça só naordem 0):
u1 =(2− i)A2
5e2it0 + c .c .
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A solução em ordem 0 é
u0(t0, t1, . . . ) =∑
i
ci (t1, t2, . . . )eλi t0 + c .c .
Entretanto, desprezaremos todas as soluções que decaem a zero, oque deixa apenas a solução de autovalor λ = i :
u0 = A(t1, t2, . . . )e it0 + c .c .
Substituindo na equação de ordem 1 em ε:∂u1
∂t0+ u1(t0 − π/2) = iA2e2it0 + c .c . ,
cuja solução é (supondo que a parte homogênea apareça só naordem 0):
u1 =(2− i)A2
5e2it0 + c .c .
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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método
Aplicação à equação de Hutchinson IV
Substituindo as soluções em ordens 0 e 1 na equação para ordem 2:
∂u2
∂t0+u2(t0−π/2) =
[∂A∂t1
− σA+3i − 1
5A2A
]e it0︸ ︷︷ ︸
termo secular
−3+ i5
A3e3it0+c .c .
e aqui aparece um termo ressonante. Na presença dele, a soluçãoem ordem 2 diverge, e a série não pode ser truncada, ou seja, eladeixa de ser assintótica.Então, vamos impôr que
∂A∂t1
= σA−3i − 1
5A2A
Esta é chamada de equação secular. A solução desta equaçãodiverge em segunda ordem, o que nos obriga a prosseguir atéordens superiores.
Renato Mendes Coutinho Eq. diferenciais com retardo em biologia de populações
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
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Substituindo as soluções em ordens 0 e 1 na equação para ordem 2:
∂u2
∂t0+u2(t0−π/2) =
[∂A∂t1
− σA+3i − 1
5A2A
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termo secular
−3+ i5
A3e3it0+c .c .
e aqui aparece um termo ressonante. Na presença dele, a soluçãoem ordem 2 diverge, e a série não pode ser truncada, ou seja, eladeixa de ser assintótica.Então, vamos impôr que
∂A∂t1
= σA−3i − 1
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Esta é chamada de equação secular. A solução desta equaçãodiverge em segunda ordem, o que nos obriga a prosseguir atéordens superiores.
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∂t0+u2(t0−π/2) =
[∂A∂t1
− σA+3i − 1
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−3+ i5
A3e3it0+c .c .
e aqui aparece um termo ressonante. Na presença dele, a soluçãoem ordem 2 diverge, e a série não pode ser truncada, ou seja, eladeixa de ser assintótica.Então, vamos impôr que
∂A∂t1
= σA−3i − 1
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
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Aplicação à equação de Hutchinson IV
Substituindo as soluções em ordens 0 e 1 na equação para ordem 2:
∂u2
∂t0+u2(t0−π/2) =
[∂A∂t1
− σA+3i − 1
5A2A
]e it0︸ ︷︷ ︸
termo secular
−3+ i5
A3e3it0+c .c .
e aqui aparece um termo ressonante. Na presença dele, a soluçãoem ordem 2 diverge, e a série não pode ser truncada, ou seja, eladeixa de ser assintótica.Então, vamos impôr que
∂A∂t1
= σA−3i − 1
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Esta é chamada de equação secular. A solução desta equaçãodiverge em segunda ordem, o que nos obriga a prosseguir atéordens superiores.
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Solução perturbativa I
15 10 5 0 5 10 15(A)
15
10
5
0
5
10
15
(A)
ordem 4
ordem 6
ordem 10
Partes real e imaginária da solução para aamplitude A da solução em ordem 0 com σ = 1e ε = 0.1. A condição inicial é A = 0.1 + 0.1i .
Os cálculos envolvidostornam-seexcessivamente longos,então implementamosum programa que faz usode uma bibliotecasimbólica.Uma vez obtidas asequações seculares,podemos integrá-lasnumericamente paraobter a amplitude emordem 0 (A) da solução.
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Solução perturbativa I
15 10 5 0 5 10 15(A)
15
10
5
0
5
10
15
(A)
ordem 4
ordem 6
ordem 10
Partes real e imaginária da solução para aamplitude A da solução em ordem 0 com σ = 1e ε = 0.1. A condição inicial é A = 0.1 + 0.1i .
Os cálculos envolvidostornam-seexcessivamente longos,então implementamosum programa que faz usode uma bibliotecasimbólica.Uma vez obtidas asequações seculares,podemos integrá-lasnumericamente paraobter a amplitude emordem 0 (A) da solução.
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Solução perturbativa II
Essa aproximação fornece os seguintes resultados para o período dasolução:
solução período (T)u 6.33
u(4) 5.21u(6) 5.36u(10) 6.28
Observa-se que a aproximação melhora com o aumento da ordem,mas talvez fosse necessário levar ainda mais longe o método paraobter boas aproximações.
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Solução perturbativa II
Essa aproximação fornece os seguintes resultados para o período dasolução:
solução período (T)u 6.33
u(4) 5.21u(6) 5.36u(10) 6.28
Observa-se que a aproximação melhora com o aumento da ordem,mas talvez fosse necessário levar ainda mais longe o método paraobter boas aproximações.
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Solução perturbativa II
Essa aproximação fornece os seguintes resultados para o período dasolução:
solução período (T)u 6.33
u(4) 5.21u(6) 5.36u(10) 6.28
Observa-se que a aproximação melhora com o aumento da ordem,mas talvez fosse necessário levar ainda mais longe o método paraobter boas aproximações.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
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Solução perturbativa III
Amplitude de A fornecida pelasolução perturbativa, ao longodo tempo.
A amplitude dessa solução,entretanto, mantém-se bem acimade 1.Isto não é aceitável, já que leva aoscilações que cruzam o zero,resultando em soluções negativas, oque não é observadonumericamente.Portanto o método não foi capazde produzir resultados coerentespara a amplitude.
A análise do caso com capacidade de suporte variável não foiconsiderada, já que o resultado no caso mais simples já não tinhase mostrado adequado.
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Solução perturbativa III
Amplitude de A fornecida pelasolução perturbativa, ao longodo tempo.
A amplitude dessa solução,entretanto, mantém-se bem acimade 1.Isto não é aceitável, já que leva aoscilações que cruzam o zero,resultando em soluções negativas, oque não é observadonumericamente.Portanto o método não foi capazde produzir resultados coerentespara a amplitude.
A análise do caso com capacidade de suporte variável não foiconsiderada, já que o resultado no caso mais simples já não tinhase mostrado adequado.
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Solução perturbativa III
Amplitude de A fornecida pelasolução perturbativa, ao longodo tempo.
A amplitude dessa solução,entretanto, mantém-se bem acimade 1.Isto não é aceitável, já que leva aoscilações que cruzam o zero,resultando em soluções negativas, oque não é observadonumericamente.Portanto o método não foi capazde produzir resultados coerentespara a amplitude.
A análise do caso com capacidade de suporte variável não foiconsiderada, já que o resultado no caso mais simples já não tinhase mostrado adequado.
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Solução perturbativa III
Amplitude de A fornecida pelasolução perturbativa, ao longodo tempo.
A amplitude dessa solução,entretanto, mantém-se bem acimade 1.Isto não é aceitável, já que leva aoscilações que cruzam o zero,resultando em soluções negativas, oque não é observadonumericamente.Portanto o método não foi capazde produzir resultados coerentespara a amplitude.
A análise do caso com capacidade de suporte variável não foiconsiderada, já que o resultado no caso mais simples já não tinhase mostrado adequado.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
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Solução perturbativa III
Amplitude de A fornecida pelasolução perturbativa, ao longodo tempo.
A amplitude dessa solução,entretanto, mantém-se bem acimade 1.Isto não é aceitável, já que leva aoscilações que cruzam o zero,resultando em soluções negativas, oque não é observadonumericamente.Portanto o método não foi capazde produzir resultados coerentespara a amplitude.
A análise do caso com capacidade de suporte variável não foiconsiderada, já que o resultado no caso mais simples já não tinhase mostrado adequado.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Conclusão
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Sumário I
Abordamos um modelo simples que pode descrever populaçõesnão-interagentes cuja dinâmica é oscilatória.Adaptamos esse modelo para introduzirmos perturbaçõesambientais periódicas.Analisamos a dinâmica resultante e a interação entre afrequência externa e aquela intrínseca à população,encontrando um novo modo de oscilação, bem comoressonância.A fim de estudar como evolui o envelope da solução, buscamosaplicar técnicas perturbativas, em particular o método demúltiplas escalas.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Sumário I
Abordamos um modelo simples que pode descrever populaçõesnão-interagentes cuja dinâmica é oscilatória.Adaptamos esse modelo para introduzirmos perturbaçõesambientais periódicas.Analisamos a dinâmica resultante e a interação entre afrequência externa e aquela intrínseca à população,encontrando um novo modo de oscilação, bem comoressonância.A fim de estudar como evolui o envelope da solução, buscamosaplicar técnicas perturbativas, em particular o método demúltiplas escalas.
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Sumário I
Abordamos um modelo simples que pode descrever populaçõesnão-interagentes cuja dinâmica é oscilatória.Adaptamos esse modelo para introduzirmos perturbaçõesambientais periódicas.Analisamos a dinâmica resultante e a interação entre afrequência externa e aquela intrínseca à população,encontrando um novo modo de oscilação, bem comoressonância.A fim de estudar como evolui o envelope da solução, buscamosaplicar técnicas perturbativas, em particular o método demúltiplas escalas.
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Sumário I
Abordamos um modelo simples que pode descrever populaçõesnão-interagentes cuja dinâmica é oscilatória.Adaptamos esse modelo para introduzirmos perturbaçõesambientais periódicas.Analisamos a dinâmica resultante e a interação entre afrequência externa e aquela intrínseca à população,encontrando um novo modo de oscilação, bem comoressonância.A fim de estudar como evolui o envelope da solução, buscamosaplicar técnicas perturbativas, em particular o método demúltiplas escalas.
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Capacidade de suporte periódicaConclusão
Sumário II
O método, entretanto, produz aproximações insatisfatóriaspara a amplitude já no caso sem perturbações externas,embora tenha resultados interessantes quanto à previsão doperíodo.Retomando a equação de Hutchinson adaptada, observamos einvestigamos um fenômeno peculiar – uma fenda próxima aopico da ressonância.Finalmente, podemos concluir que as perturbações externas,periódicas, não produzem efeitos catastróficos sobre apopulação, mas podem ser de relevância na sua evoluçãobiológica, já que essa população pode se beneficiar dedensidades maiores dependendo da frequência externa dosistema.
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Sumário II
O método, entretanto, produz aproximações insatisfatóriaspara a amplitude já no caso sem perturbações externas,embora tenha resultados interessantes quanto à previsão doperíodo.Retomando a equação de Hutchinson adaptada, observamos einvestigamos um fenômeno peculiar – uma fenda próxima aopico da ressonância.Finalmente, podemos concluir que as perturbações externas,periódicas, não produzem efeitos catastróficos sobre apopulação, mas podem ser de relevância na sua evoluçãobiológica, já que essa população pode se beneficiar dedensidades maiores dependendo da frequência externa dosistema.
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Sumário II
O método, entretanto, produz aproximações insatisfatóriaspara a amplitude já no caso sem perturbações externas,embora tenha resultados interessantes quanto à previsão doperíodo.Retomando a equação de Hutchinson adaptada, observamos einvestigamos um fenômeno peculiar – uma fenda próxima aopico da ressonância.Finalmente, podemos concluir que as perturbações externas,periódicas, não produzem efeitos catastróficos sobre apopulação, mas podem ser de relevância na sua evoluçãobiológica, já que essa população pode se beneficiar dedensidades maiores dependendo da frequência externa dosistema.
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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson
Capacidade de suporte periódicaConclusão
Obrigado pela atenção!
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Apêndice
Apêndice
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Apêndice
Análise das frequências da equação de Hutchinson adaptada
0.5 1.0 1.5 2.0
Frequência da perturbação (γ)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Frequênci
as
pri
nci
pais Frequências de maior
potência na análise deFourier das soluções daequação de Hutchinsonadaptada em função dafrequência externa γ, comα = 0.01 e τ = 1.7.
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