elemente de teoria jocurilor
Post on 26-Sep-2015
821 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
1
Specializarea:
Elemente de teoria jocurilor
ANUL III Semestrul VI
Cluj-Napoca 2013
-
2
Cuprins
Modulul 1 JOCURI STATICE DE INFORMATIE COMPLETA 7
Unitatea 1 Jocuri matriciale 7
Unitatea 2 Jocuri matriciale si programare liniara 19
Unitatea 3 Joc necooperativ 22
Unitatea 4 Aplicatii economice 35
TEME DE CONTROL 61
Modulul 2 JOC POZITIONAL 66
Unitatea 1 Jocuri dinamice (pozitionale) 66
Unitatea 2 Reducerea jocului pozitional 73
Unitatea 3 Rezolvarea jocului pozitional 77
TEME DE CONTROL 84
Modulul 3 JOCURI STATICE DE INFORMATIE INCOMPLETA 85
Unitatea 1 Joc static de tip Bayes 85
Unitatea 2 Echilibru de tip Nash-Bayes 92
TEME DE CONTROL 94
-
3
UNIVERSITATEA BABE-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE TIINE ECONOMICE I GESTIUNEA AFACERILOR
SPECIALIZAREA: FB, CIG, MN, IE
ANUL UNIVERSITAR 2013/2014
SEMESTRUL: VI
I. Informaii generale
Date de identificare a cursului
Date de contact ale titularului de curs:
Nume: Muresan Anton S.
Birou: Cabinetul 229, Etajul II Telefon: 0264-418653
Fax: 0264-412570
E-mail: anton.muresan@econ.ubbcluj.ro Consultatii: Joi orele 15,00-17,00
Date de identificare curs si contact tutori:
Numele cursului: ELEMENTE DE TEORIA JOCURILOR
Codul cursului: EBS0097
Anul III Semestrul VI
Tipul cursului: Optional
Pagina web a cursului: https://portal.portalid.ubbcluj.ro/ Tutori: Muresan Anton S.
Adresa e-mail tutori: anton.muresan@econ.ubbcluj.ro
-
4
Locul de desfurare a cursului: Cldirea Campus, sli etajul II Programarea n orar a activitilor (la nvmtul de zi): Sptmnal 2 ore de curs + 1 or de lucrri (seminar), conform orarului afiat la sediul facultii
Condiionri si cunosinte prerechizite:
Pentru inscrierea la cursul de faa este nevoie de parcurgerea si promovarea anterioara a disciplinelor de Matematici aplicate in economie (anul I, semestrul I) si Matematici financiare si actuariale (anul I, semestrul II). Este necesar a fi cunoscute notiunile de derivate, integrale, probabilitati.
Descrierea cursului :
Se vor avea in vedere urmatoarele obiective:
Familiarizarea studenilor cu tehnicile i metodele matematice utilizate n modelerea unor fenomene si procese economice si de interese diferite
Introducerea ctorva noiuni despre jucator, strategie (mutare, decizie), castig, solutie (punct de echilibru
Crearea bazelor de rationament si calcul pentru aplicatiile din domeniul economic
Organizarea temelor (partilor) in cadrul cursului: Cursul va avea urmatoarele trei parti:
1. Jocuri statice de informatie completa 2. Joc pozitional 3. Jocuri statice de informatie incompleta Organizarea temelor s-a facut avand in vederea ordinea fireasca si gradul de dificultate sa urmeze o ordine crescatoare. Informatia relevanta referitoare la fiecare tema (parte) se gaseste in lista bibliografica ce va fi prezentata ulterior, iar accesul va fi realizat direct.
Formatul si tipul activitatilor implicate de curs:
Formatul va fi unul clasic, permitand studentului de a-si gestiona singur, fara constrangeri, parcurgerea cursului. De sigur o participare la activitatile planificate va usura intelegerea tematicii cursului. Tipurile de activitati ce vor fi abordate in cadrul cursului vor fi atat cele clasice cat si proiecte de grup, discutii pe anumite teme si proiecte de cercetare.
-
5
Materiale bibliografice obligatorii:
Principalele materiale bibliografice pe care le vom utiliza, si care se vor gasi la biblioteca facultatii, iar unele vor putea fi accesate prin internet, sunt:
1. Blaga P. Muresan A.S., Lupas Al., Matematici aplicate in economie, vol. 2, ed. Promedia Plus, Cluj-Napoca, 1999
2. Gibbons, R., Game theory for applied economists Princeton Univ. Press, Prenceton, New Jersey
3. Muresan, A.S., Non cooperative games, Ed. Mega, Cluj-Napoca, 2012 4. Muresan A.S.Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. 2, ed.
Transilvania Press, Cluj-Napoca, 1996 5. Muresan A.S., Cercetari operationale, vol. 1 si 2, lito. UBB, Cluj-Napoca, 1997
Materiale si instrumente necesare pentru curs :
Vom folosi: calculator si softuri specifice pentru a putea vizualiza aplicatiile, pentru a prelucra date. Astfel, mentionam aici: Word, Excel, Adobe Reader.
Politica de evaluare si notare:
Evaluarea si notarea finala se va face prin rezolvarea de probleme, intocmirea unor referate si elaborarea unor proiecte aplicative. Toate acestea se vor realiza in cadrul examenului (colocviului) din sesiunea de examene. Intrarea in examenul final este conditionata de realizarea sarcinilor ce rezulta din temele de control de la sfarsitul fiecarui modul al suportului de curs. Studentii vor primi feed-back la rezultatele realizate in examenul final prin comunicare directa cu cei care solicita. In cazul cand studentul doreste sa revina la un examen de marire a notei, acest nou examen se va desfasura in aceleasi conditii, cu aceleasi cerinte, ca si examenul initial.
Elemente de deontologie academica:
Pentru a evita situatiile care pun in discutie onestitatea studentilor facem de la inceput precizarea ca se interzice categoric frauda, iar tentativele de frauda se
-
6
vor trata conform reglementarilor in vigoare elaborate la nivelul facultatii si universitatii. Este normal ca atunci cand se utilizeaza anumite date, texte, formulari, etc. luate din alte surse, sa se faca citarea, si astfel sa se asume meritele doar pentru munca si contributia proprie. Se va cere studentului sa aiba un comportament academic fata de profesori si colegi.
Studentii cu dizabilitati:
Nu vor avea nici o problema in a se incadra in cerintele cursului si a celorlalte activitati, sansele in pregatire si obligatiile lor fiind de aceeasi factura ca si pentru studentii fara dizabilitati.
Strategii de studiu recomandate:
Recomandam studentilor sa se pregateasca mai intai din aspectele teoretice, asa incat, mai intai, din curs, sa fie studiate modulele cu teoria si exemplele ilustrative formulate, apoi sa se abordeze problemele rezolvate, iar apoi si problemele formulate spre rezolvare. Pentru tot cursul, apreciem ca fondul de timp necesar insusirii complete este de 56 de ore, din care 40 pentru suportul de curs, 8 pentru activitatile directe cu tutorii, iar 12 pentru sarcinile individuale de studiu al bibliografiei si realizarea temelor de control.
-
7
I. Suportul de curs propriu-zis
Modulul 1
JOCURI STATICE DE INFORMATIE COMPLETA
Concepte de baz Jucator, strategie, castig, joc matricial, punct de echilibru Obiective:
a. definirea notiunii de joc matricial b. considerarea diverselor tipuri de jocuri matriciale
c. notiunea de solutie
Recomandri privind studiul: se recomanda studentilor sa-si insuseasca notiunile importante, in aplicatiile practice, de joc matricial si de solutii ale acestora. De asemenea solutiile pentru diversele probleme formulate plecand de la jocurile matriciale
Rezultate ateptate:
a) se asteapta ca studentii sa poata formula si opera cu diversele tipuri de jocuri matriciale, sa le recunoasca si sa le utilizeze in aplicatii
b) sa fie in stare sa gasesca solutiile pentru jocurile si problemele simple intalnite in aplicatii
Unitatea 1
Jocuri matriciale : definitie, clasificari, solutie
Obiective:
a) evidentierea principalelor tipuri de jocuri matriciale b) prezentarea diverselor tipuri de clasificari c) lamurirea notiunii de solutie
Noiuni cheie : Jucator, strategie, castig, joc matricial, punct de echilibru CONINUTUL UNITII
Exist situaii n care modelele matematice la care se ajunge se prezint sub forma unor jocuri matriciale. Asa sunt, de exemplu, acelea in care 2 sau mai multi parteneri, prin deciziile pe care le iau, influenteaza rezultatul (castigul) fiecarui participant.
-
8
Jocuri statice de informaie completa
In aceasta unitate consideram jocuri de urmatoarea simpla forma: mai intai jucatorii aleg simultan actiuni (decizii), apoi ei obtin castiguri ce depind de combinatia actiunilor ce tocmai au fost alese. In clasa unor astfel de jocuri statice (sau cu miscare-simultana) ne restrangem atentia asupra jocurilor cu informatie completa. Adica, functia de castig a fiecarui jucator (functia ce determina castigurile jucatorilor de la fiecare combinatie de actiuni) este total cunoscuta de toti jucatorii. Jocuri cu suma nula de doua persoane
Consideram un joc cu doi jucatori : jucatorul 1 si jucatorul 2. Ceea ce jucatorul 1 castiga este tocmai ce jucatorul 2 pierde, si vice versa. In continuare sa avem o intelegere intuitiva a unui astfel de joc introducem, prin cateva exemple simple, ideile de baza.
Exemplul 1.1. (Potrivirea monedelor) Fiecare din cei doi participanti (jucatori) pune pe masa o moneda, fara ca celalalt jucator sa o vada. Daca monedele se potrivesc, adica, daca ambele monede sunt cu capul sau ambele cu pajura, atunci jucatorul 1 ia ambele monede. Daca ele nu se potrivesc, jucatorul 2 ia ambele monede. In alte cuvinte, primul caz, jucatorul 1 primeste un castig (o moneda) de la jucatorul 2, si, in al doilea caz, jucatorul 1 primeste un castig de -1 (isi pierde moneda sa). Aceste castiguri pot fi listate in urmatorul tabel:
Juctorul 2
Juctorul 1 1 (capul) 2 (pajura)
1 (capul) 1 -1
2 (pajura) -1 1
De asemenea, ele pot fi scrise in matricele de castig pentru cei doi jucatori:
,
1111
1
=H
=
1111
2H
Spunem ca fiecare jucator are doua strategii (actiuni, mutari, decizii). In matricea 1H prima linie reprezinta prima strategie a jucatorului 1, a doua linie reprezinta a
-
9
doua strategie a jucatorului 1. Daca jucatorul 1 alege strategia 1, inseamna ca moneda sa arata capul deasupra. Strategia 2 inseamna pajura deasupra. Similar, prima si a doua second coloana a matricei 1H corespunde respectiv la prima si a doua strategie a jucatorului 2. In 2H avem aceleasi situatii, dar pentru jucatorul 2. Observatia 1.1. Acest ansamblu de concurs (competitie) este un joc de doua persoane cu suma nula (zero). Simplu spunand, un joc este o multime de reguli in care se precizeaza intregul process de competitie (sau concurs), incluzand jucatorii, strategiile, si castigurile (rezultatele) dupa fiecare jucare a jocului. Toate acestea sunt descrise complet.
Observatia 1.2. Datele (elementele) din tabelul de mai sus formeaza o matrice de castig (payoff matrix a jucatorului 1, adica 1H ). Matricea 2H este matricea de castig a jucatorului 2, si avem
H1 H2t O2 ,
unde tH 2 este transpusa lui 2H .
Observatia 1.3. Castigul este o functie de strategiile celor doi jucatori. Daca, de exemplu , moneda jucatorului 1 este cu capul deasupra (strategia 1) si moneda jucatorului 2 este cu capul deasupra (strategia 1), atunci elementul 111 =h noteaza castigul pe care jucatorul 1 il primeste de la jucatorul 2. La fel, daca jucatorul 1 alege strategia 2 (pajura) si jucatorul 2 alege strategia 1 (capul), atunci elementul
121 =h este castigul pe care jucatorul 1 il primeste. In acest caz, castigul pe care jucatorul 1 il primeste este un numar negativ. Aceasta inseamna ca jucatorul 1 pierde o unitate monetara, deci jucatorul 1 plateste o unitate monetara jucatorului 2 Exemplul 1.2. (Piatra-hartia-foarfecele) Foarfecele bate hartia, hartia bate piatra, si piatra bate foarfecele. Exista doi jucatori: 1 si 2. Fiecare jucator are trei strategii. Fie strategiile 1, 2, 3 reprezentand piatra, hartia respectiv foarfecele. Daca presupunem ca invingatorul cadstiga cate 1 unitatea monetara de la cel care pierde atunci matricea de castig este:
-
10
Juctorul 2
1 2 3
Juctorul 1 1 0 -1 1
2 1 0 -1
3 -1 1 0
Observatia 1.4. Matricele de castig pentru cei doi jucatori sunt:
,
011101110
1
=H ,011101
110
2
=H
Avem 21 HH = si 321 OHH t =+ .
Exemplul 1.3. Consideram jocul de doua personae cu suma nula pentru care matricea de castig este data in urmatorul tabel: Juctorul 2
q
p
0 1 2
Juctorul 1 0 0 1 4
1 -1 2 7
2 -4 1 8
3 -9 -2 7
Avem matricele de castig:
,
729814721410
1
=H
=
787421219410
2H
Jucatorul 1 are patru strategii, in timp ce jucatorul 2 are trei strategii. Observatia 1.5. Castigul jucatorului 1 (adica, ceea ce jucatorul 2 plateste la jucatorul 1) poate fi determinat de functia
-
11
f : 0, 1, 2, 3 0, 1, 2 Z, fp, q q2 p2 2pq.
In fiecare din exemplele de mai sus exista doi jucatori, anume jucatorul 1 si jucatorul 2, si o matrice de castig, 1H (exista de asemenea si matricea 2H asa ca
021 =+tHH ). Fiecare jucator are mai multe strategii. Strategiile jucatorului 1 sunt
reprezentate de liniile matricei de castig 1H , si acelea ale jucatorului 2 de coloanele matricei de castig 1H . (Strategiile jucatorului 2 sunt reprezentate de liniile matricei de castig 2H , si acelea ale jucatorului 1 de coloanele matricei de castig 2H ). Jucatorul 1 alege o strategie din multimea strategiilor sale, si jucatorul 2, independent, alege o strategie din multimea strategiilor sale. Dupa ce cele doua alegeri au fost facute, jucatorul 2 plateste jucatorului 1 o valoare, care este castigul corespunzator acestei situatii jucare a jocului. Aceasta valoare este reprezentata in matricea de castig. Aceasta valoare poate fi pozitiva, 0, sau negativa. Daca castigul este pozitiv, jucatorul 1 primeste o valoare pozitiva de la jucatorul 2, adica, jucatorul 1 castiga o valoare de la jucatorul 2. Daca castigul este negativ, jucatorul 1 primeste o valoare negativa de la jucatorul 2, adica, jucatorul 1 pierde o valoare catre jucatorul 2 (jucatorul 2 castiga o valoare de la jucatorul 1). Castigul jucatorului 1 este egal cu pierderea jucatorului 2. Ce jucatorul 1 castiga este tocmai ceea ce jucatorul 2 pierde, si vice versa. De aceea, un astfel de joc este numit un joc cu suma zero (nula).
Jocuri matriciale
In cele ce urmeaza presupunem ca jucatorul 1 are m strategii si jucatorul 2 are n strategii. Notam prin ija , mi ,1= , nj ,1= castigul pe care jucatorul 1 il obtine de la jucatorul 2 daca jucatorul 1 alege strategia i si jucatorul 2 alege strategia j .
Asa obtinem matricea de castig )(1 AH :
( )
==
mnmm
n
n
ij
aaa
aaa
aaa
aA
...
............
...
...
21
22221
11211
-
12
Definitia 1.1. Numim joc matricial jocul care este complet determinat de matricea A de mai sus.
Sa rezolvam jocul, adica sa gasim solutia (ce castig maxim are jucatorul 1 si ce startegii sunt alese de ambii jucatori pentru a obtine aceasta) examinam elementele matricei A .
In acest joc, jucatorul 1 vrea sa obtina un castig aij cat mai mare posibil, in timp ce jucatorul 2 va face alegerea sa cea mai buna si conduca la o valoare aij cat mai mica posibil. Interesele celor doi jucatori sunt complet opuse (in conflict). Daca jucatorul 1 alege strategia i el poate fi sigur ca va obtine cel putin castigul
min1jn
a ij. #
Acesta este elementul minim al liniei i din matricea de castig A .
Deoarece jucatorul 1 vrea sa-si maximizeze castigul sau el poate alege strategia i asa incat sa faca valoarea de mai sus cat de mare posibil. Adica, altfel spus jucatorul 1 poate alege strategia i in asa fel incat el sa primeasca un castig nu mai mic decat
max1im
min1jn
a ij . #
Cu alte cuvinte, daca jucatorul 1 face cea mai buna alegere a sa, ceea ce obtine el nu poate fi mai mic decat valoarea de mai sus.
Similar, daca jucatorul 2 alege strategia sa j , el va pierde cel mult
max1im
a ij . #
Dar, jucatorul 2 vrea sa-si minimizeze pierdearea sa, iar pentru asta va incerca sa sa-si aleaga strategia sa j asa ca sa obtina minimul valorii de mai sus. Anume, jucatorul 2 poate alege j asa incat pierderea sa sa fie nu mai mare decat
min1jn
max1im
a ij . #
Asa, daca jucatorul 2 face cea mai buna alegere a sa, castigul pe care il obtine jucatorul 1 nu poate fi mai mare decat valoarea de mai sus. Am vazut ca jucatorul 1 poate alege strategia i care sa-I asigure un castig care sa fie cel putin
-
13
v 1 max1im
min1jn
a ij,
in timp ce jucatorul 2 poate alege strategia j asa ca sa faca pierderea sa (castigul jucatorului 1) cel mult
v 2 min1jn
max1im
a ij.
Exista ceva relatie intre valorile v1 si v2 ? Raspunsul este dat prin
Lema 1.1. Urmatoarea inegalitate are loc: 21 vv , adica
v 1 max1im
min1jn
a ij min1jn
max1im
a ij v 2 . #
Demonstratie. Pentru fiecare mi ,1= avem
njaa ijijnj
,1,min1
=
si pentru fiecare nj ,1= avem
miaa ijnjij
,1,max1
=
Deci inegalitatea
min1jn
a ij max1im
a ij
are loc, pentru fiecare mi ,1= , si fiecare nj ,1= .
Deoarece membrul stang al ultimei inegalitati este independent de j , luand minimul in raport cu j in ambii membri avem
mivaa ijminjijnj
,1maxminmin 2111 ==
adica,
min1jn
a ij v 2 .
Deoarece membrul drept al ultimei inegalitati este independent de i , luand maximul in raport cu i in ambii membri obtinem
-
14
max1im
min1jn
a ij v 2 ,
adica, 21 vv , si demonstratia este completa.
Sa examinam cele trei exemple din sectiunea 1.1.
In Exemplul 1.1 avem 2=m , 2=n , deci ,1)1,1(maxminmax
21211===
ijjiav
.1)1,1(minmaxmin21212
=== ijij
av
Asa, in Exemplul 1.1 avem 21 vv < .
In Exemplul 1.2, avem 3=m , 3=n , deci ,1)1,1,1(maxminmax
31311===
ijjiav
.1)1,1,1(minmaxmin31312
=== ijij
av
Asa, in Exemplul 1.2 avem 21 vv < .
In Exemplul 1.3, avem 4=m , 3=n , deci ,0)9,4,1,0(maxminmax
31411===
ijjiav
.0)8,2,0(minmaxmin41312
=== ijij
av
Asa, in Exemplul 1.3 avem 21 vv = .
Puncte sa in strategii pure
Exista situatii in care 21 vv = . In consecinta dam
Definitia 1.2. Daca elementele matriei de castig A ale jocului matriceal satisfac urmatoarea egalitate
,maxminminmax 211111 vaav ijminjijnjmi ===
cantitatea )( 21 vvv == este numita valoarea jocului. Observatia 1.6. Valoarea v este valoarea comuna a acelora date in (3) si (5). Valoarea jocului din Exemplul 1.3 este 0=v .
-
15
Daca egalitatea (7) are loc, atunci exista un i si un j astfel incat ,minmaxmin
111vaa ij
njmijinj==
si .maxminmax
111vaa ij
minjijmi==
Deci .maxmin
11
= ijmijinj
aa
Dar, evident avem .maxmin
11
ijmijijinj aaa
Astfel .minmax
11 jinjjiijmiavaa
===
Deci, pentru orice i si orice j .jijiij avaa =
In consecinta, daca jucatorul 1 alege strategia i , atunci castigul sau nu poate fi mai mic decat v daca jucatorul 2 pleaca de la strategia j ; daca jucatorul 2 alege strategia j , atunci castigul sau nu poate sa depaseasca v daca jucatorul 1 se departeaza de la strategia i .
Definitia 1.3. Numim i si j strategii optimale ale jucatorilor 1 si 2 respectiv. Perechea ),( ji este un punct sa (saddle point) in strategii pure a jocului. Spunem ca = ii , = jj este o solutie (sau echilibru Nash) a jocului.
Observatia 1.7. Relatia (8) ne arata ca valoarea castigului la punctul sa ),( ji (solutia jocului) este valoarea jocului. Cand jucatorul 1 isi mentine strategia sa optimala i , el se poate astepta sa-si creasca castigul sau daca jucatorul 2 se departeaza de la startegia sa optimala j . Similar, daca jucatorul 2 isi mentine strategia sa optimala j , castigul jucatorului 1 poate descreste daca el se departeaza de la strategia sa optimala i . Astfel, daca jocul are un punct sa
),( ji atunci egalitatea (7) are loc si va ji = .
Observatia 1.8. Un joc matriceal poate avea mai mult decat un punct sa in startegii pure. Totusi, castigurile la diferitele puncte sa sunt egale,. Valoarea lor comuna fiind valoarea jocului.
-
16
Exemplul 1.4. Consideram jocul matrieal cu matricea de castig
=
576500212634
A
Avem pentru minimul liniilor sale
min4, 3, 6, 2 2, min1, 2, 0, 0 0, min5, 6, 7, 5 5
si atunci maximul acestor minime este:
.5)5,0,2(max 1v==
Acum, avem pentru maximele coloanelor sale
,5)5,0,2(max,7)7,0,6(max,6)6,2,3(max,5)5,1,4(max ====
si atunci minimul acestor maxime este: .5)5,7,6,5(min 2v==
Cum 521 == vv avem punct sa in satrategii pure. Este usor de verificat ca )1,3( si )4,3( sunt ambele puncte sa in strategii pure pentru ca
a31 a34 v 5.
Observatia 1.9. Daca jocul matricial are un punct sa in startegii pure ),( ji , atunci el este foarte usor de gasit. Realmente, prin Definitia 1.3 a unui astfel de punct sa in startegii pure (8), valoarea jia este un element din matricea de castig A
= )( ija care este in acelasi timp minimul din linia sa si maximul din coloana sa.
In Exemplul 1.3, )1,1( este un punct sa in strategii pure al jocului deoarecei 011 =a este cel mai mic element din prima linie si in acelasi timp este cele mai mare element din prima coloana.
In Exemplul 1.4 53431 == aa sunt doua elemente cu cea mai mica valoare in linia a treia si in acelasi timp cele mai mari din prima si a patra coloana, respective.
Un joc matricial poate avea mai multe puncte sa in strategii pure. In acest caz putem demonstra urmatorul rezultat:
-
17
Lema 1.2. Fie ),( ji si ),( ji puncte sa in strategii pure ale unui joc matricial. Atunci ),( ji si ),( ji sunt de asemnea puncte sa in strategii pure si valorile la toate aceste puncte sa sunt egale, adica
. === jijijiji aaaa
Demonstratie. Dovedim ca i , j este un punct sa in startegii pure. Faptul ca i , j
este un punct sa in startegii pure se face intr-un mod similar.
Deoarece ),( ji este un punct sa in strategii pure avem
jijiij aaa
pentru toti i=1,m si toti j=1,n . Deoarece ),( ji este un punct sa in strategii pure avem
jijiij aaa
pentru toti i=1,m si toti j=1,n . Din aceste inegalitati obtinem , jijijijiji aaaaa
care dovedesc (9). Prin (9) si prin inegalitatile de mai sus avem jijiij aaa
pentru toti i=1,m si toti j=1,n . Deci ),( ji este un punct sa in strategii pure. Din aceasta lema rezulta ca un joc matricial cu puncte sa in strategii pure are urmatoarele proprietati:
-- interschimarea sau proprietatea rectangulara a punctelor sa in strategii pure,
-- egalitatea valorilor la toate punctele sa in startegii pure.
Exemplul 1.5. Jocul cu matricea de castig
=
112417503
A
are punctual sa in strategii pure )2,3( deoarece 11 =v , 12 =v si 132 == va .
Exemplul 1.6. Perechea )3,3( este un punct sa in strategii pure pentru jocul ca matricea de castig
-
18
=
011101110
A
Avem 0=v .
Exemplul 1.7. Perechea )3,2( este un punct sa in strategii pure pentru jocul cu matricea de castig
=
213210214132
A
Valoarea jocului este 0=v . Exemplul 1.8. Jocul cu matricea de castig
=
417112114
A
are patru puncte sa in strategii pure deoarece avem (vezi Lema 1.2) .123221312 vaaaa =====
Exemplul 1.9. Jocul cu matricea de castig
=
8114490657
A
Nu are un punct sa in strategii pure, in sensul Definitiei 1.2 deoarece 5)1,0,5(max1 ==v
si .8)8,9,14(min2 ==v
-
19
Unitatea 2
Jocuri matriciale si programare liniara
Obiective:
a) studentii trebuie sa cunoasca elementele de programare liniara b) sa stie incadra un joc matricial in una din problemele de programare liniara de care ea apartine
c) sa-si insuseasca metodele de rezolvare si sa interpreteze rezultatele obtinute
Noiuni cheie : ecuatii liniare, functii scop, probleme de programare liniara, probleme duale, algoritmul simplex, solutii
CONTINUTUL UNITTII
Jocuri matriciale si programare liniara
In continuare, formulam jocul matricial ca o problema de programare liniara. Fie )( ijaA = matricea de castig a jocului.
Nu este o restrictie sa presupunem ca 0>ija pentru toti mi ,1= , si pentru toti nj ,1= . Atunci valoarea v a jocului trebuie sa fie un nunar pozitiv.
Prin alegearea strategiei mixte mSX jucatorul 1 poate obtine celk putin castigul asteptat
min1jn
XA j u.
Deci avem uXA j , nj ,1= adica
=
=m
iiij njuxa
1.1,
cu
.,1,011
=
==m
iii mixx
Notam mixux ii ,1,/ , == . Atunci problema devine
-
20
=
=
ux
njxa
i
iij
1,1,1
,
,
mixi ,1,0,
=
Jucatorul 1 vrea sa-si maximizeze valoarea u , (acest maxim este valoarea v a jocului), adica, el vrea sa minimizeze valoarea 1/u. Astfel problema se reduce la urmatoarea problema de programare liniara
minf x 1 x 2 x m
i1
m
a ijx i 1, j
x i 0, i
#
#
#
# #
Similar, jucatorul 2, prin alegerea unei strategii mixte nSY , poate face ca jucatorul 1 sa nu primeasca mai mult decat
.max1
wYA timi
=
Asa, avem wYA ti , mi ,1= , adica,
=
=n
jjij miwya
1.1,
unde
,,1,011
=
==m
jjj njyy
Notam njywy jj ,1,/ , == .
Deoarece jucatorul 2 vrea sa minimizeze w (acest minim este la fel valoarea v a jocului), adica, el vrea sa maximizeze valoarea 1/w , problema de mai sus se reduce la urmatoarea problema de programare liniara, care este duala lui (39), formulata mai sus:
-
21
maxg y1 y2 yn
j1
n
a ijy j 1, i
y j 0, j .
#
#
#
# #
Astfel problema gasirii solutiei unui joc matricial este este echivalenta cu problema rezolvarii unei perechi de probleme de programare liniara duale.
Observatia 1.28. Datorita teoremei dualitatii, bine cunoscuta in programarea liniara, este suficient sa se rezolve una singura dintre acele probleme de mai sus.
Exemplul 1.18. Consideram acelasi joc matricial ca in Exemplul 1.17. Astfel avem
=
804243324
B
Sa obtinem 0>ija vom aduna constanta 1 la fiecare element al matriei B si asa vom obtine
=
915354435
A
Corespunzatoarea problema de programare liniara (40) este [ ] ,3,2,1max yyyg ++=
0,,19513541435
,
3,
2,
1
,
3,
2,
1
,
3,
2,
1
,
3,
2,
1
++++++
yyyyyyyyyyyy
In continuare se rezolva aceasta problema folosim metoda simplex. Matricea simplex poate fi scrisa si apoi folosim algoritmul simplex.
-
22
Unitatea 3
Joc necooperativ
Obiective:
a) studentii trebuie sa recunoasca tipurile de jocuri necooperative b) sa stie incadra un joc necooperativ in unul din categoriile de care el apartine
c) sa-si insuseasca metodele de solutionare directa in cazul diferitelor tipuri de jocuri necooperative Noiuni cheie : jucator, strategie (mutare, decizie), castig, punct de echilibru
CONINUTUL UNITII
1. Definiia jocului necooperativ
Teoria jocurilor este acea ramur a matematicii care formuleaz i rezolv probleme legate de diferite modele ale situaiilor conflictuale. Deoarece jocul este prototipul situaiilor conflictuale de orice fel, termenii teoriei jocurilor sunt n mare parte dai prin termeni uzuali folosii n jocurile efective. Astfel de termeni sunt, de exemplu joc, ctig, strategie i altele. Orice termen al teoriei jocurilor are ns un coninut cu caracter pur matematic. Termenul joc este folosit pentru denumirea unui joc oarecare, definit matematic. Orice joc definit, pentru a i se scoate n eviden aspectul concret n raport cu jocul n general, va fi supranumit prin folosirea unui atribut, de obicei cu un anumit sens din limbajul de toate zilele. Pentru a deosebi acest joc de jocul efectiv se mai adaug uneori atributul matematic i se spune, mai complet, joc matematic. La orice joc obinuit particip un numr de n (numr natural) juctori. Din punct de vedere matematic numai existena juctorilor este esenial, precum i posibilitatea identificrii lor, respectiv deosebirii lor de toi ceilali juctori. De aceea mulimea juctorilor I se identic cu multimea primelor n numere naturale:
{ }nI ,...,1= . Fiecare juctor Iii , , poate aplica mai multe strategii. n cazul unui joc efectiv juctorul i poate, n momentele de decizie ale jocului, s aleag dintr-o mulime iS de variante. Vom considera c iS este o multime finit pentru orice i. Deoarece din punct de vedere matematic natura concret a variantelor nu este interesant, doar posibilitatea de identificare a lor, se va nota { }ii mS ,...,1= i se consider n continuare notaia general { }ii sS = , unde ni ,1= (i variaz de la 1 la
-
23
n) i pentru i fixat ii ms ,1= ( is variaz de la 1 la im ). Lund cte o strategie a fiecrui juctor se obine o situaie (strategie) a jocului ( )nsss ,...,1= , element al produsului cartezian ....1 i
Iin SxSxSS
==
n fiecare situaie s, fiecare juctor i, primete o sum ( )sH i . Aceat funcie, definit pe mulimea tuturor situaiilor s, se numete matricea de ctig a juctorului i.
Definiia 1. Se numete joc necooperativ sistemul { } { } >==
-
24
Matricea de ctig a juctorului 2 are urmtoarea exprimare:
( ) =sH 2 ( ) ( )( ) ( )
=
1111
2,22,11,21,1
22
22
HHHH
unde acum liniile corespund strategiilor juctorului 2 i coloanele corespund strategiilor juctorului 1.
Observaia 2. O notaie mai general pentru matricele de ctig este n forma unui tabel de tipul urmtor:
Situaia Matricea de ctig
1s ... ns 1H ... nH
Astfel, n cazul exemplului considerat, matricele de ctig pot fi date i n urmtoarea form:
Situaia Matricea de ctig
1s 2s 1H 2H
1
1
2
2
1
2
1
2
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
1. Definiia punctului de echilibru
Fie dat un joc necooperativ oarecare { } { } >=
-
25
ctig negativ) permanent. Situaie similar s-ar produce dac juctorul 1 ar aplica permanent strategia a doua.
Dac analiza s-ar fi fcut din punctul de vedere al juctorului 2 am fi ajuns la aceiai concluzie: nu este avantajos ca juctorul 2 s aplice permanent una i aceiai strategie.
Din cele stabilite rezult c n orice situaie ( ),, 21 sss = unul dintre juctori are o alt situaie preferat 's , fa de cea existent s n acel moment, la care se poate ajunge modificnd numai strategia juctorului cu alt preferin:
Situaia dat s
Situaia preferat 's pentru
juctorul 1 2
(1,1) (1,2) (1,2) (2,2) (2,1) (1,1) (2,2) (2,1)
n concluzie, jocul repetndu-se este necesar aplicarea fiecrei strategii is cu probabilitatea (frecvena relativ)
iisp care s asigure un ctig ct mai mare, n
totalitatea jocurilor jucate, pentru fiecare juctor, sau, ceea ce este acelai lucru, de a asigura valoarea medie cea mai mare posibil a ctigului pentru fiecare juctor. Pentru notarea matricei linie a tuturor probabilitilor
iisp , ii ms ,1= , asociate
juctorului i, se folosete simbolul [ ].,...,1 iimii ppP = . Vectorul ,iP indiferent de valorile probabilitilor, se numete strategie mixt a juctorului i. Dac o singur probabilitate din vectorul ,iP este diferit de 0, fiind egal cu 1, atunci ,iP este (echivalent cu) strategia pur is a juctorului i. Dac toate strategiile ,iP ni ,1= sunt pure, ( )nPPP ...,,1= este (echivalent cu ) strategia pur (situaia ( )nsss ...,,1= ) a ntregului joc. Notm cu iJ matricea linie format din im cifre egale cu 1 i atunci se poate scrie ,1=Tii JP unde T este simbolul transpunerii matricei.
-
26
Cu iP notm strategia mixt a tuturor juctorilor j, cu excepia juctorului i,
luai la un loc, presupunnd c fiecare juctor i-a fixat strategia sa n mod independent de restul juctorilor: jiji PP = . Aici nmulirea vectorilor se consider component cu componen n sensul unui produs cartezian. Prin convenie se asigur ordonarea lexicografic la scrierea elementelor vectorului
iP . De exemplu, dac [ ] [ ] [ ]343332313232221212111 ,,,,,,,, ppppPpppPppP === , sunt strategiile mixte ale juctorilor { }3,2,1=I , avem
[ ]342333233223312334223322322231223421332132213121321
,,,,,,,,,,, pppppppppppppppppppppppp
PPP
=
==
[ ]34123312321231123411331132113111312
,,,,,,, pppppppppppppppp
PPP
=
==
[ ].,,,,, 231222122112231122112111213
pppppppppppp
PPP
=
==
Cu notaiile introduse dm urmtoarea definiie:
Definiia 1. Rezolvarea jocului necooperativ const n determinarea acelor strategii mixte (soluii) ,iP ,1=Tii JP ni ,1= , pentru care, considernd constant vectorul
iP , funcia de ctig T
iiii PHPF = are valoare maxim, oricare ar fi i.
Strategiile ,iP se noteaz cu ( )nPPP ,...,1= i obiectul matematic astfel determinat se numete punct de echilibru al jocului.
Exemplul 2. Datele jocului necooperativ din exemplul precedent. pot fi reprezentate prin urmtoarele 2 tabele:
1F
2F
2P
1P
21p 22p 1P
2P
11p 12p
11p 1 -1 21p -1 1
12p -1 1 22p 1 -1
crora le corespund urmtoarele sisteme de egaliti
-
27
( ) ( )( ) ( ) .
,
,1,1
2212112112112
1222211122211
22211211
ppppppFppppppF
pppp
++=
++=
=+=+
Dac 21 , PP este soluia problemei, atunci nu exist nici un vector de probabilitate
[ ]01201101 , ppP = pentru care ( ) ( ),,, 2111201101 PPFFPPFF =>= unde ( ) ( ) 0122221011222101 ppppppF ++= i nu exist nici un vector de probabilitate [ ]02202102 , ppP = pentru care ( ) ( ),,, 2122021202 PPFFPPFF =>= unde ( ) ( ) .0221211021121102 ppppppF ++=
De exemplu,
=
=
21
,
21
,
21
,
21
21 PP este o soluie a jocului i avem 021 == FF .
3. Stabilirea punctelor de echilibru ale jocului necooperativ Soluia problemei exemplului 1 din punctul precedent a fost obinut printr-un procedeu particular, n funcie de elementele matricelor asociate jocului respectiv i nu printr-o metod care s fie valabil n cazul oricrui joc necooperativ i pentru orice soluie a acestuia.
Pentru a rezolva jocul necooperativ, potrivit definiiei 1 din presupunem c am obinut strategiile mixte ,iP ni ,1= i scriem funciile de ctig ,iF n form matriceal ,Tiii PF = unde [ ]iii FF ,...,= este o matrice linie cu im componente egale cu .iF
Reamintim c iJ este un vector linie format din im componente egale cu 1. Astfel, avnd n vedere definiia amintit rezult c se poate scrie
,Tii
Tiii PPHP =
adic
( ) ,0= TiTiii PHP unde
,0iP ni ,1= i .0 TiTii PH
-
28
Dac componenta j a vectorului TiTii PH ar fi pozitiv, atunci prin nmulirea la stnga cu vectorul iP cu toate componentele egale cu 0, exceptnd componenta j egal cu 1, ar rezulta iTiiii FPHPF >= , contrar definiiei 1 conform creia iF este valoarea maxim a expresiei Tiii PHP
pentru iP fixat.
Astfel raionnd, iP fiind un vector linie de probabiliti iisp , 10 iisp pentru orice valori ale probabilitilor, deci i pentru soluia problemei pentru care avem maxim, maximul funciei de ctig iF este atins (ntre altele) pentru o strategie is pentru care
( ) ( ) ,max 000
Tiii
s
Tiii
PsHPsHi
=
unde 0is este o strategie oarecare. Aici cu ( ) Tiii PsH , respectiv ( ) Tiii PsH 0 am notat elementul cu indice de linie is , respectiv 0is al matricei .Tii PH
Introducnd o matrice linie iT cu variabile independente nenegative iist , ii ms ,1=
[ ]iimii
ttT ,...,1= ,
pentru fiecae juctor i, se poate scrie o ecuaie matriceal echivalent cu inecuaia 0 Ti
Tii PH ; .
Ti
Tii
Ti TPH =
n concluzie rezult urmtoarea teorem: Teorema 1. Determinarea punctelor de echilibru ale jocului necooperativ
const n rezolvarea, n numere negative, a sistemului de ecuaii multiliniare:
,1=Tii JPT
iT
iiTi TPH = , ,0=
TiiTP
unde ni ,1= .
Observaia 1. Valorile reale necunoscute iF se consider scrise ca diferen a dou valori nenegative ,iF i ,,iF , iF = ,iF - ,,iF pentru a avea toate necunoscutele nenegative.
Observaia 2. Pentru rezolvarea problemei formulate in teorema 1 i n mod implicit pentru rezolvarea problemei formulate prin definiia 1 din punctul precedent se poate aplica orice metod pentru rezolvarea sistemelor de ecuaii-inecuaii de grad oarecare n numere negative. O metod destul de eficient este metoda eliminrii complete.
-
29
Observaia 3. Avnd n vedere c determinarea punctelor de echilibru ale unui joc necooperativ const n rezolvarea sistem de ecuaii multiliniare, teoria ce se prezint ar putea fi intitulat ,,teoria jocurilor multiliniare,, Prin faptul c am descris metoda de rezolvare a oricrui joc necooperativ nc nu rezult c soluia este efectiv i nu este vid. De aceea este important urmtoare teorem a lui Nash
Teorema 2. (J. Nash) Orice joc necooperativ are soluia nevid. Nu vom da demonstraia acestei teoreme din urmtoarele dou motive n
primul rnd pentru c se bazeaz pe cunotine matematice care depesc cadrul cursului i n al doilea rnd pentru c nu este constructiv ci existenial.
Exemplul 1. Problema din exemplul 1. punctul precedent, conform teoremei 1, este echivalent cu problema rezolvrii n numere nenegative,
,0,0,0,0 2121 TTPP a sistemului de ecuaii multiliniare:
,111 =TJP TTT TPH 1111 = ,011 =
TTP
,122 =TJP TTT TPH 2222 = ,022 =
TTP
unde
[ ] [ ]
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ],,,,11
11,
1111
,,,,
1,1,,
,,,,
''
2'
2''
2'
22''
1'
1''
1'
11
21
2221212111
21
1221
2221212111
FFFFFFFF
HH
ttTttTJJ
PPPPppPppP
==
=
=
==
==
==
==
unde
,,,0,0,0,0 2''
2'
21''
1'
1''
2'
2''
1'
1 FFFFFFFFFF ==
sau, n form dezvoltat i reordonat:
''
12221
11''
1'
12221
22211211
0,1,1
Fpp
tFFpp
pppp
+
=++
=+=+
-
30
0,0
22''
2'
21211
21''
2'
21211
=++
=+++
tFFpp
tFFpp
.0,0,0,0 2222212112121111 ==== tptptptp
Rezolvnd acest sistem prin metoda eliminrii se obine soluia gsit cu ocazia rezolvrii problemei din exemplul 1, punctul 2. prin procedeul particular.
Observaia 4. Avnd n vedere nenegativitatea necunoscutelor, avem urmtoarele echivalene
,0,00 1212111112121111 ===+ tptptptp
,0,00 2222212122222121 ===+ tptptptp
i prin urmare ecuaia 0=TiiTP poate fi nlocuit cu im ecuaii de forma
iiisis mstp ii ,1,0 == oricare ar fi .,1, nii =
4. Stabilirea punctelor de echilibru ale jocului bimatriceal
Definiia 1. Jocul necooperativ n cazul a doi juctori se numete joc bimatriceal.
Un astfel de joc permite o rezolvare mai simpl. Problema formulat prin teorema 1 din punctul 4.3. avnd n vedere c 21 PP = i 12 PP = poate fi descompus n trei subprobleme independente. Subproblema (1) const n rezolvarea n numere nenegative 2P a sistemului de ecuaii liniare
==
TTT
T
TPHJP
1211
22 ,1, (1)
Subproblema (2) const n rezolvarea n numere nenegative 1P a sistemului de ecuaii
==
TTT
T
TPHJP
2122
11 ,1 (2)
ambele subprobleme rezolvndu-se prin metoda simplex. Deoarece soluia general se obine ca o combinaie liniara convex a soluiilor de baz, rezult c trebuie s selectm acele soluii de baz ( )21 , PP pentru care se verific i subproblema (3) format din sistemul de ecuaii
-
31
011 =TTP , .022 =
TTP
Dac pentru un indice 1s oarecare, 111 ms necunoscuta 11st intr n soluia de baz a subproblemei (1) i pe deasupra 0
11 st ( 011 =st n caz de degenerare), atunci 0
11 =sp
Deci pentru toate cazurile 011 st avem 011 =sp i la fel pentru 0212 st rezult
0212 =sp proprietatea care permite stabilirea soluiei care verific sistemul (3).
Soluia general se obine scriind combinaia liniar convex a tuturor soluiilor de baz 1P asociate unui 2P fixat i combinaia liniar convex a tuturor soluiilor de baz 2P asociate unui 1P .
Exemplu 1. Problema din exemplul 1 punctul 3. se refer la un joc bimatriceal. Cele trei sisteme sunt urmtoarele
=+++
=++
=+
00
,1
12''
1'
12221
11''
1'
12221
2221
tFFpptFFpp
pp ( )'1
=++
=+++
=+
00
,1
22''
2'
21211
21''
2'
22211
1211
tFFpptFFpp
pp ( )'2
.0,0,0,0 2222212112121111 ==== tptptptp ( )'3 Subproblemei ( )'1 i corespunde matricea simplex (linia funciei de optimizat (pentru fixarea ideilor se consider minimizat) este linia egal cu 0):
=
0000000010111100111111000011
1S .
Obinem urmtoarele soluii de baz
[ ] [ ]0,2,0,1,1,0,2,0,0,1,0,1,0,0,0,0,21
,
21
131211 ==
= XXX Aici simbolul X s-a folosit
pentru uniformizarea notaiei necunoscutelor
.,,,,, 126115''
14'
13222211 txtxFxFxpxpx ======
-
32
Astfel de uniformizri vor fi folosite i n continuare, ori de cte ori va fi necesar fr nici o precizare special.
Subproblema ( )'2 are urmtoarea matrice simplex
=
0000000010111100111111000011
2S
i are soluiile de baz
[ ] [ ]2,0,0,1,1,0,0,2,0,1,0,1,0,0,0,0,21
,
21
232221 ==
= XXX
S notm cu ,3,1;2,1,' == jiX ij vectorii care se obin prin omiterea componentelor .2,1,, ''' =iFF ii Obinem:
,0,0,21
,
21
,0,0,21
,
21
'
21'
11
=
= XX
[ ] [ ],0,2,0,1,2,0,0,1 '22'12 == XX
[ ] [ ].2,0,1,0,0,2,1,0 '23'13 == XX . Pentru a stabili perechile de soluii ( )'2'1 , ji XX care s fie soluii ale problemei de joc bimatriceal, trebuie s fie ndeplinit condiia 0
11st 011 =sp i
0212st 0212 =sp Se constat c exist o singur soluie 1P = 2P =
21
,
21
obinut
pentru 022211211 ==== tttt i ''1'1 FF = 0''2'2 === FF i prin urmare 021 == FF .
4. Stabilirea punctelor de echilibru ale jocului antagonist
Definiia 1. Se numete joc antagonist jocul bimatriceal cu matricele (bidimensionale) 1H i 2H dac 021 =+ THH unde 0 este matricea nul.
-
33
Avnd n vedere c orice egalitate este echivalent cu dou inegaliti, sistemele (1), (2) i (3) din punctul 4. pot fi scrise n urmtoarea form:
,11
0
22
22
121
T
T
TT
PJPJ
PH (4)
,11
0
11
11
211
T
T
JPJP
HP (5)
==
0)(0)(
2211
1211T
TT
PHPPHP
(6)
unde 1 conine ca elemente una i aceiai valoare ,1F iar 2 conine una i aceiai valoare ,2F
Din subproblema (6) rezult TT PP 2211 = deci 12 FF =
Aceste valori pot fi considerate i ca alori minimax (minumul unor valori maxime) obinute prin minimizarea funciei ,1F (maximul este infinit), respectiv maximin (maximul unor valori minime) obinute prin maximizarea funciei 12 FF = (minimul este infinit). Adugnd sistemului (4) funcia ''1'11 FFF = iar sistemului (5) funcia ''2'22 FFF += rezult dou probleme de programare liniar, una duala celeilalte. Desigur se poate folosi notaia simplificat 21 FFF == i considerm c se determin F = MIN prin sistemul (4) i F = MAX prin sistemul (5). Astfel, cel puin o soluie prticular a jocului antagonist se poate obine rezolvnd numai unul dintre sistemele (4) i (5). Jocul antagonist poate avea ns, ca joc bimatriceal, i alte soluii, rezultnd din rezolvarea sistemului (1), (2) i (3) din punctul 4. punnd FFF == 12 Avnd n vedere simetria celor dou sisteme (4) i (5) i notnd 21 FFF == , rezult urmtoarea teorem cu privire la jocurile antagoniste (teorema von Neumann-Morgenstern). Teorema 1. Minimul n raport cu 2P al maximelor (minimax) funciei ( )21 , PPF n raport cu 1P , pentru 2P fixat, este egal cu maximul n raport cu
1P al minimelor (maximin) funciei ( )21 , PPF n raport cu 2P , pentru 1P fixat, deci
-
34
( ) ( ).,minmax,maxmin 21212112
PPFPPFPPPP
=
Observaia 1. n cazul unui joc bimatriceal oarecare, ca o extindere a condiiei de la jocul antagonist, se poate formula ntrebarea: pentru care soluie ( )21 , PP funcia 21 FF + ia valoarea minim? Aceast formulare conduce la problema considerrii cooperiei: cnd poate avea loc cooperare i cnd nu? La jocul antagonist .021 =+ FF
Exemplul 1. Jocul bimatriceal din exemplul 1 al punctului 4.4. este un joc antagonist. Deoarece are o singur soluie, aceeai soluie se obine i dac se minimizeaz funcia 1FF = deci ''1'1 FFF = , n ipoteza utilizrii la rezolvare a sistemului (4), nlocuind linia format numai din zerouri n matricea simplex 1S cu linia funciei de minimizat [ ]0,0,0,0,1,1,0,0 . Astfel se obine matrice simplex
0001100010111100111111000011
care prin reducere conduce la aceeai soluie 1P = 2P =
21
,
21
, pentru care
,0''1'
1 == FF deci FMIN = 0.
-
35
Unitatea 4
Aplicatii economice
Obiective:
a) studentii trebuie sa cunoasca etapele unui proces de modelare matematica folosind jocurile b) sa stie incadra o problema economica in una din categoriile de jocuri de care ea apartine
c) sa-si insuseasca metodele de rezolvare directa si sa interpreteze rezultatele gasite
Noiuni cheie : jucator, decizie, duopol, oligopol, punct de echilibru CONINUTUL UNITII
Aplicatii in economie
In cele ce urmeaza dam ceva aplicatii ale jocurilor in economic. Vom evalua functia de castig pentru fiecare jucator, care va fi dependenta de strategiile jucatorilor. Aici multimile strategiilor vor fi intervale ale axei reale. 1. Modelul Cournot al duopolului
Consideram o foarte simpla versiune a modelului lui Cournot. Fie 1q si 2q notate cantitatile unui produs omogen, produse de firmele 1 si 2, respectiv. Fie
QaQP =)( pretul care curata piata (the market-clearing price) cand cantitatea agregata pe piata este 21 qqQ += . Deci avem
( )
-
36
continuuu divizibil si outputuri negayive nu pot fi. Astfel, spatiul strategiilor fiecarei firme este ),0[ =iS , numerele reale nenegative, in care caz o tipica strategie is este o cantitate aleasa, 0iq . Deoarece 0)( =QP pentru aQ , nici o firma nu va produce o cantitate aqi > . Castigul firmei i , o functie de strategiile alese de ea si de cealalta firma, profitul sau, poate fi scris ca
].)([),( cqqaqqq jiijii +=pi
Cum stim, un punct de echilibru (echilibrul Nash) este perechea ),( 21 qq unde iq , pentru fiecare firma i , rezolva problema de optimizare
].)([max),(max00
cqqaqqq jiiqjiiq ii+=
-
37
echilibrul Cournot, din contra, cantitatea agregata este mare, asa ca pretul asociat este scazut, asa ca tentatia de a creste outputul este redusa.
Observatia 1.37. O alta rezolvare, inafara de cea algebrica, pentru echilibrul Nash in jocul Cournot se poate lua un procedeu grafic folosind cel mai bun raspuns pentru o firma:
( ) ( )cqaqR = 112 21
-- cel mai bun raspuns al firmei 2, si
( ) ( )cqaqR = 221 21
-- cel mai bun raspuns al firmei 1.
Un al treilea mod de a rezolva pentru un echilibru Nash este sa aplicam procedeul de eliminare iterata a strategiilor strict dominate.
2. Modelul Bertrand al duopolului
Acest model al lui Bertrand este bazat pe faptul ca firmele acum isi aleg preturile, altfel decat la modelul lui Cournot. Modelul lui Bertrand este un joc diferit decat modelul jocului lui Cournot deoarece spatial strategiilor este diferit si functiile de castig sunt diferite. Astfel obtinem un alt punct de echilibru, dar conceptual de echilibru folosit este tot de echilibru Nash definit in sectiunile precedente. Consideram cazul produselor diferentiate. Daca firmele 1 si 2 aleg preturile 1p and
2p , respectiv, cantitatea ce consumatorii o cer de la firma i este
,),( jijii bppappq +=
unde 0>b reflecta extinderea la care produsul firmei i este un substitut pentru produsul firmei j. Aceasta o nerealista functie de cerere pentru ca cererea pentru produl firmei i este positiva chiar cand firma i isi alege un pret arbitrar de inalt, cu conditia ca firma j de asemenea isi alege un pret destul de inalt. Presupunem ca sunt costuri de productie constante, ca sunt costurile marginale constante, la c , unde ac < , si ca firmele actioneaza simultan (isi aleg preturile lor). Translatam problema economica intr-un joc necooperativ. Exista din nou doi jucatori. In acest moment totusi, strategiile posibile la fiecare firma sunt preturile diferite care se pot schimba, altfel decat diferitele cantitati ce se pot produce. Vom presupune ca preturile negative nu sunt admisibile, dar ca orice pret nenegativ poate fi ales nu exista nici o restrictie la preturi determinate de monede. Astfel la fiecare firma spatiul strategiilor poate fi din nou reprezentat ca ),0[ =iS , si o strategie tipica
is esste acum un pret, 0ip .
-
38
Vom presupune din nou ca functia de castig pentru fircare firma este tocmai profitul. Profitul firmei i cand este ales pretul ip si rivala sa alege pretul pj este
ip i, p j q ip i, p jp i c a p i bp jp i c.
Astfel, perechea de preturi ),( 21 pp este un echilibru Nash daca, pentru fiecare firma i , ip rezolva problema
).)((max),(max00
cpbppapp ijipjiip ii+=
-
39
2. Doi juctori scriu, independent , unul din numerele 1, 2 sau 3. Dac ei au scris acelai numr atunci juctorul 1 pltete juctorului 2 un numr de uniti monetare egal cu numrul scris de primul juctor. n caz contrar, juctorul 2 pltete juctorului 1 numrul de uniti monetare egal cu numrul pe care juctorul 1 l-a scris. Care este matricea de ctig a acestui joc?
Soluie. Este uor de constatat c matricea de ctig a juctorului 1 este:
=
333222111
A
3. Care dintre jocurile precedente are punct a n strategii pure? Soluie. Pentru primul joc avem:
( ) ,55,3,5,1maxminmax31411
=== ijji
av
( ) ,510,5,9minmaxmin41312
=== ijij
av
Cum 521 == vv rezult c primul joc are punct a n strategii pure. Este usor de verificat c (2,2) i (4,2) sunt puncte a n strategii pure deoarece .54222 == aa
Astfel 4,2 == ii sunt strategii optimale ale juctorului 1 i 2=j este strategia optimal a juctorului 2. Pentru al doilea joc avem:
( ) ,13,2,1maxminmax31311
=== ijji
av
( ) ,22,3,3minmaxmin31312
=== ijij
av
Astfel al doilea joc nu are punct a n strategii pure deoarece .21 21 vv =
-
40
Pentru al doilea joc, fie ( )321 ,, xxxX = i ( )321 ,, yyyY = strategiile mixte ale juctorului 1, respectiv 2. Atunci ctigul ateptat al juctorului 1 este:
==
++++==3
12212312111
3
122
jjiij
i
t yxyxyxyxyxyxaYAX
.3332 33231332 yxyxyxyx +++
5. Folosind eliminarea iterat a strategiilor strict dominate rezolvai jocul cu matricea de ctig:
=
011101110
A
Soluie. n matricea A, elementele primei linii sunt mai mici dect elementele corespunztoare din linia a 3-a. n consecin, juctorul 1 niciodat nu va folosi prima sa strategie. Prima linie va fi eliminat. Obinem astfel matricea de ctig redus:
=
011101
'A
Acum, n aceast matrice 'A fiecare element al primei coloane este mai mare dect elementele corespunztoare ale coloanei a 3-a. n consecin juctorul 2 nu va folosi niciodat prima sa strategie, deci prima coloan poate fi eliminat. Aa obinem matricea redus:
=
0110
''A
Similar obinem succesiv:
[ ] [ ].0,01''' == IVAA Astfel strategiile optimale (pure) sunt ( ) ( )1,0,0,1,0,0 == YX i valoarea jocului este .0=v Avem, desigur, un punct a n strategii pure ( ) ( )3,3, = ji deoarece .033 == va 6. Gsii strategiile optimale ale jocurilor cu matricile de ctig:
a)
=
3102
A , b)
=
0221
A , c)
=
1111
A
Soluie. Acestea sunt jocuri matriciale 2 x 2. Astfel, putem folosi strategiile mixte ( ) ( )qqYppX == 1,,1, unde
cbdabcad
vcbda
bdqcbda
cdp+
=
+
=
+
=
,,
a) Obinem: ,
23
10321032
,
43
103203
,
21
103213
=
+
==
+
==
+
= vqp
-
41
Deci .23
,
41
,
43
,
21
,
21
=
=
=
vYX
b) Avem: ,
34
22012202
,
32
220120
,
32
220120
=
+
==
+
==
+
= vqp
Deci .34
,
31
,
32
,
31
,
32
=
=
=
vYX
c) Obinem:
( )( ) ( )
( ) ( ),0
41111
,
21
,
21
111111
=
===
+
= vqp
Deci .0,21
,
21
=
==
vYX
7. Rezolvai problema precedent folosind metoda lui Williams. Soluie. Fie ( ) ( )2121 ,,, yyYxxX == strategiile mixte pentru juctorii 1 si 2 respectiv. Sunt satisfcute relaiile
ac
bdyy
yybadc
x
xxx
==+
==+2
121
2
121 ,1,,1 (conform metodei lui
Williams).
a) Obinem ,10231
,12
121 =
==+x
xxx deci ,
21
, 2121 === xxxx respectiv
,32103
,12
121 =
==+yy
yy deci .41
,
43
,3 2112 === yyyy
Astfel
=
=
41
,
43
,
21
,
21 YX i atunci
23
2323
21
,
21
4143
3102
21
,
21
=
=
==
t
YAXv
b) Avem ,22102
,12
121 =
==+x
xxx deci ,
31
,
32
,2 2121 === xxxx respectiv
.
31
,
32
,
1220
,1 212
121 ==
==+ yyyy
yy Astfel ,31
,
32
==
YX i
34
3132
34
,
34
3132
0221
31
,
32
=
=
==
t
YAXv
-
42
c) Avem ( ) 11111
,12
121 =
==+x
xxx deci ,
21
, 2121 === xxxx respectiv
( ).
21
,,11111
,1 21212
121 ====
==+ yyyyyy
yy Astfel ,21
,
21
==
YX i
.0
2121
1111
21
,
21
=
=
v
8. Rezolvai problema 6 cu metoda grafic descris pentru jocurile matriceale de tip n2 respectiv 2m .
Soluie. Fie ( ) ( )yyyxxX == 1,,1, respectiv, strategiile mixte pentru juctorii 1 i 2. Trasm liniile drepte ac, bd i ab, cd respectiv n cele dou figuri (sistemele de coordonate) n planele xOv respectiv yOv. Apoi determinm coordonatele punctelor de intersecie ale acestor linii drepte.
a) Matricea de ctig este ,3102
=A astfel avem liniile drepte care unesc punctele de coordonate
(1,2), (0,1) respectiv (1,0), (0,3). Ecuaiile acestor drepte sunt:
212
101
=
vx respectiv
030
101
=
vx
Sau
1+= xv respectiv 33 += xv
Punctul de intersecie are coordonatele: .23
,
21
== vx Astfel ,21
,
21
=
X este strategia optimal
a juctorului 1 iar 23
=v este valoarea jocului.Pentru strategia optimal a juctorului 2 considerm liniile drepte ce unesc punctele de coordonate (1,2), (0,1) respectiv (1,1), (0,3). Ecuaiile acestor drepte sunt:
202
101
=
vy respectiv
131
101
=
vy
Sau
yv 2= respectiv 32 += yv
Punctul de intersecie are coordonatele .23
,
43
== vy Astfel
=
41
,
43Y este strategia optimal a
juctorului 2, iar 23
=v este valoarea jocului.
-
43
b) Procednd ca i n cazul punctului a) gsim valorile 34
,
32
,
32
=== vyx aa nct strategiile
optimale sunt
==
31
,
32YX i valoarea jocului este
34
=v .
c) Gsim valorile ,0,21
,
21
=== vyx deci
==
21
,
21YX sunt strategiile optimale, iar
valoarea jocului este 0=v . 9. Folosind metoda grafic, rezolvai jocurile matriceale cu matricele de ctig:
a)
=
=
814965
),57383692
AbA
Soluie.
a) Fie ( )xxX = 1, o strategie mixt a juctorului 1. Liniile drepte ae; df; cg; dh; care unesc punctele: (1,2), (0,8); (1,9), (0,3); (1,6), (0,7); (1,3), (0,5) au ecuaiile:
.
353
101
;676
101
;939
101
;282
101
=
=
=
=
vxvxvxvx
Punctul de intersecie ce corespunde maximului minimelor este determinat de dreptele care unesc punctele (1,9), (0,3) respectiv (1,3), (0,5), adic
,
353
101
939
101
=
=
vxrespectivvx
sau .3652 +=+= xvrespectivxv
Coordonatele punctului de intersecie (maximul minimelor) sunt .29
,
41
== vx
Astfel
=
43
,
41X este strategia optimal a juctorului 1, iar valoarea jocului este .
29
=v
Pentru strategia mixt a juctorului 2 avem ( )4321 ,,, yyyyY = i ea se va determina aa nct 14321 =+++ yyyy i 2
9==
vYAX t .
Ajungem la sistemul de ecuaii liniare
==+++
=+++
4,101818271826
1
4321
4321
jyyyyy
yyyy
j
care are soluia [ ].1,0,1,,0,0 4231 ==== qqyqyyy
Se consider c 41
=q , deci strategia optimal a juctorului 2 este
=
43
,0,41
,0Y .
-
44
b) Fie ( )yyY = 1, o strategie mixt pentru juctorul 2. Liniile drepte ab, cd, ef care unesc punctele (1,5), (0,6); (1,9), (0,4); (1,1), (0,8) au ecuaiile
.
181
101
,
949
101
,
565
101
=
=
=
vyvyvy
Punctul de intersecie (minimul maximelor este acelai pentru oricare dou drepte) se obine din sistemul de ecuaii (format cu ultimele dou, pentru minimul maximelor)
.87,45 +=+= yvyv
Astfel avem 3
17,
31
== vy i atunci
=
32
,
31Y este strategia optimal pentru juctorul al doilea
iar valoarea jocului este .3
17=v
Strategia mixt a juctorului 1 are forma ( )321 ,, xxxX = i se determin aa nct 1321 =++ xxx i .
317
== vYAX
t
Ajungem la sistemul de ecuaii liniare
==++
=++
3,1017171717
1
321
321
ixxxx
xxx
i
Se constat c strategia optimal a juctorului 1 este .125
,
127
,0
=
X
10. Rezolvai jocul matriceal pentru care matricea de ctig este
.
564328306
=A
Soluie. Folosim metoda descris pentru jocurile matriceale de forma 3x3.
Pentru juctorul 1, cu strategia mixt (coordinate baricentrice) ( )321 ,, xxxX = calculm .533,62,486 32133223211 xxxAXxxAXxxxAX ++=+=++=
Ecuaia liniei 21 = AXAX este .02106 321 =+ xxx
Dar 1321 =++ xxx aa nct gsim .562 31 =+ xx
Ecuaia liniei 32 = AXAX este 32131 53362 xxxxx ++=+ , sau ,053 321 =+ xxx adic .562 31 =+ xx
-
45
Ecuaia liniei 13 = AXAX este
562,053,486533 31321321321 =+=+++=++ xxadicxxxsauxxxxxx
Regiunea ,1R n care 131min = AXAX jj se determin din inegalitile 21 AXAX
i 31 AXAX care ne dau .562 31 =+ xx
Astfel regiunea ,1R este delimitat de punctele
65
,
61
,0
43
,0,41
i ( )1,0,0
ntruct ,3
14
65
,
61
,01 =
AX ,
29
43
,0,411 =
AX ( ) 41,0,01 = AX constatm c valoarea maxim
este .3
14max,
314
=
Regiunea ,2R n care 231min = AXAX jj se determin din inegalitile 122 AXAX
i 32 AXAX care ne dau .562 31 + xx
Astfel regiunea ,2R este delimitat de punctele ( ) ( )
43
,0,41
,
65
,
61
,0,0,1,0,0,0,1 .
ntruct ( ) ,00,0,12 = AX ( ) ,20,1,02 = AX ,314
65
,
61
,02 =
AX ,
29
43
,0,412 =
AX constatm
c valoarea maxim este .3
14max,
314
=
Regiunea ,3R n care 331min = AXAX jj se determin din inegalitile 13 AXAX
i 23 AXAX care ne dau .053 321 =++ xxx
Astfel regiunea ,3R este determinat de punctele .43
,0,41
,
65
,
61
,0
ntruct ,3
14
65
,
61
,03 =
AX ,
29
43
,0,413 =
AX constatm c valoarea maxim este
.
314
max,3
14=
Acum valoare jocului v este dat de relaia =
==
321
31 3323133max,max,maxminminmax AXAXAXAXv
RSXRSXRSXjjSX III
-
46
.
314
314
,
314
,
314
min =
=
Strategia optimal a juctorului 1, pentru care se obine valoarea juctorului este .65
,
61
,0
=
X
Pentru juctorul 2 fie ( )321 ,, yyyY = o strategie mixt. Calculm .564,328,36 32133212311 yyyYAyyyYAyyYA ttt ++=+=+=
Regiunea ,1T n care ,max 131tt
iiYAYA
= se determin din inegalitile tt YAYA
21 i tt YAYA
21 ,
care ne dau .210 2121 yyiyy
ntruct aceste inegaliti se contrazic rezult c regiunea ,1T este mulimea vid, .1 =T
Regiunea ,2T n care ,max 231tt
iiYAYA
=
se determin din inegalitile tt YAYA
12 i
tt YAYA
32 , care ne dau .310 2121 yyiyy
Rmne doar .31
21 yy Regiunea 2T este delimitat de punctele ( )
310,
31
,0,31
,
32
,0,0,1 .
ntruct ( ) ,80,0,12 = tYA ,314
0,31
,
322 =
tYA ,
314
31
,0,322 =
tYA constatm c valoarea minim este
.
314
min,3
14=
Regiunea 3T , n care ,max 331tt
iiYAYA
= se determin din inegalitile tt YAYA
13 i tt YAYA
23 ,
care ne dau .31
21
2121 yyiyy
Rmne doar .31
21 yy
Regiunea 3T este delimitat de punctele ( ) ( ) .32
,0,31
,1,0,0,0,1,0,0,31
,
32
ntruct ,3
140,
31
,
323 =
tYA ( ) ,60,1,03 =
tYA ( ) ,51,0,03 =tYA ,
314
32
,0,313 =
tYA constatm c
valoarea minim este .3
14,
314
=v
Acum valoarea jocului v este dat de relaia
-
47
.
314
314
,
314
maxmax,min,minmaxmaxmin3323133 31
=
=
==
tiTSX
tiTSX
tiTSY
ti
iSXYAYAYAYAv
III
Strategiile optimale ale juctorului 2 sunt ,0,31
,
32
1
=
Y
=
32
,0,31
2Y . Astfel soluia (strategia
optimal) pentru juctorul 2 este ( ) [ ],1,01 21 += cuYYY iar valoarea jocului .314
=v
11. Folosind programarea liniar, rezolvai jocurile cu matricile de ctig:
a)
=
=
456493285306
),1520
AbA
Soluie. Considerm problema de programare liniar
[ ] ''2'1 ...max nyyyg +++= miyan
jjij ,1,1
1
'
==
.,1,0' niy j =
a) Avem, n primul caz, problema [ ]
.0,1512
max
'
2'
1
'
2'
1
'
2
'
2'
1
+
+=
yyyy
yyyg
Matricea simplex ataat este
000111101510120
asupra creia aplicm ARS. Obinem succesiv
53
51
5200
101
51
10101
210
2110
51
510
540
51
510
511
10120
Astfel ,61
101
35
,
153
'
11'
1max ====== ywydeciyiwdeciw
g
.
65
,
21
2'
2 == ydeciy
-
48
n plus .0,0 43'4'3 ==== yydeciyy
De asemenea 52
'
1 =x aa nct 31
,
51
,
32
2'
2'
11 ==== xdecixxwx
n concluzie strategiile optimale ale celor doi juctori sunt ,65
,
61
,
31
,
32
=
=
YX iar valoarea
jocului este .35
== vw
a) n cazul al doilea problema de programare liniar este: [ ]
4,1,014564193281536
max
'
'
4'
3'
2'
1
'
4'
3'
2'
1
'
4'
3'
1
'
4'
3'
2'
1
=++++++++
+++=
jyyyyyyyyy
yyyyyyyg
j
pentru care matricea simplex este
.
00001111110045641010932810015306
Aplicnd algoritmul reducerii simplex (ARS) obinem succesiv
810
810
81
85
450
211
210
21
2770
810
810
89
83
411
410
431
47
43
230
143
285
2810
281000
141
71
1410
141
2110
71
281
2830
1431
2101
71
143
1491
1423000
Astfel avem ,1143
maxw
g == deci 3
14=w respectiv
,
71
,
1 =y ,141
,
2 =y ,0,
3 =y ,0,
4 =y ,71
,
5 =y ,0,
6 =y ,0,
7 =y aa nct:
.0,0,32
,0,0,31
,
32
765432,
11 ======== yyyyyyywy n concluzie o strategie optimal
a juctorului 2 este ,0,0,31
,
32
=
Y iar valoarea jocului este 3
14== vw . De asemenea avem
-
49
,0,1 =x ,281
,
2 =x ,285
,
3 =x ,0,
4 =x ,0,
5 =x ,0,
6 =x ,281
,
7 =x aa nct
.
61
,0,0,0,65
,
61
,0 765432,
11 ======== xxxxxxxwx Strategia optimal a juctorului 1
este .65
,
61
,0
=
X Observm c exist i o alt soluie pentru c n ultima linie a matricei precedente
este un element egal cu 0 ntr-o coloan neredus. Obinem
143
285
2810
281000
71
72
710
71120
141
283
2850
716011
71
143
1491
1423000
Astfel ,141
,
1 =y ,0,
2 =y ,71
,
3 =y ,0,
4 =y ,71
,
5 =y ,0,
6 =y ,0,
7 =y deci
.0,0,32
,0,32
,0,31
7654321 ======= yyyyyyy
O alt soluie (strategie optimal) pentru juctorul 2 este .0,32
,0,31
2
=
Y
n concluzie, strategia optimal general a juctorului 2 este
( ) [ ],1,0,1 21 += YYY iar valoarea jocului este .314
=v
12. Matricea de ctig n reprezentare general
Trei firme utilizeaz, cu scop tehnologic, apa dintr-un acelai rezervor. Fiecare firm are la dispoziie dou strategii: i construiete staie de purificare (strategia 1) sau folosete apa nepurificat (strategia 2). Se tie c dac cel mult o firma folosete apa nepurificat atunci apa din rezervor este bun i nu apar cheltuieli. Dac, ns, cel puin dou firme folosesc apa nepurificat atunci fiecare firm pierde 3 uniti monetare. Construirea staiei de purificare cost o unitate monetar. Scriei matricele de ctig pentru acest joc. Soluie. Avnd n vedere anunul constatm c este un joc de 3 ,,persoane la care fiecare ,,juctor are 2 strategii. Deci .2,3 321 ==== mmmn Numrul situaiilor jocului este 8321 = mmm , iar ctigurile juctorilor sunt reprezentate n urmtorul tabel (reprezentare general):
-
50
Situaii Ctiguri
s1 s2 s3 H1(s) H2(s) H3(s)
1 1 1 -1 -1 -1
1 1 2 -1 -1 0
1 2 1 -1 0 -1
1 2 2 -4 -3 -3
2 1 1 0 -1 -1
2 1 2 -3 -4 -3
2 2 1 -3 -3 -4
2 2 2 -3 -3 -3
Valorile ,,ctigurilor au fost calculate avnd n vedere enunul. Spre exemplu, n situaia (1,2,2), firmele 2 i 3 folosesc apa nepurificat deci (cum sunt dou) fiecare firm pierde 3 uniti monetare. Firma 1, ns, i construiete staie de purificare, deci mai cheltuiete o unitate monetar, deci, ,,ctigul ei este -4.
13. Matricea de ctig n reprezentare bidimensional
Dou fabrici produc acelai tip de produs A, respectiv B, n dou sortimente 21 AiA respectiv
21 BiB . Produsele sunt interschimbabile. n urma unui test, fcut n avans, s-a constatat c preferinele cumprtorilor, exprimate n procente, sunt reprezentate n urmtorul tabel
B
A B1 B2
A1 40 90
A2 70 20
Precizm c precedentele date se refer la prima fabric (primul produs), n timp ce precedentele pentru a doua fabric (al doilea produs) sunt completare fa de procentul de 100%. Scrieti matricele de ctig pentru acest joc. Soluie. Sunt 2 juctori (fabricile) i fiecare are cte 2 strategii (posibiliti, sortimente). Din enun se constat c sunt precizate n tabelul cu cu punctele chiar ,,ctigurile primului ,,jucotor. Astfel ntr-o reprezentare general (tabelar) matricile de ctig pentru cei doi juctori pot fi scrise n tabelul:
-
51
Situaii Ctiguri
s1 s2 H1(s) H2(s)
1 1 40 60
1 2 90 10
2 1 70 30
2 2 20 80
n acest caz (pentru c sunt doar doi juctori) se poate utiliza i reprezentarea bi-matriceal (obinuit) pentru matricele de ctig. Astfel avem:
=
=
80103060
,
20709040
21 HH
14. Rezolvarea jocului bimatriceal Reconsiderm problema precedent cu urmtoarele modificri n condiiile privind cumprarea: se tie c 50% din cei care cumpr produsul A2 vor cumpra i produsul B2 respectiv se tie c 50% din cei care cumpr produsul B2 vor cumpra i produsul A2. Exprimnd vnzrile n valori absolute considernd 1000 de uniti vndute i pstrnd celelalte consideraii din enunul problemei precedente, se cere:
a) scriei matricele de ctig
b) rezolvai jocul bimatriceal necooperativ. Soluie. Se pstreaz datele privind juctorii i stagiile (,,mutrile) de la problema precedent. Sunt modificri doar la valorile ,,ctigurilor.
a) Se obine tabelul cu reprezentarea general a matricelor de ctig
Situaii Ctiguri
s1 s2 H1(s) H2(s)
1 1 400 600
1 2 900 100
2 1 700 300
2 2 600 900
Se consider c modificrile ,,eseniale sunt doar la situaia (2,2) (n rest sunt datele de la problema precedent la care procentele (100%) au fost nlocuite cu unitile vndute (1000)), care au fost calculate conform relaiilor
-
52
.90020021800,600800
21200 =+=+
n scrierea bi-matriceal avem matricile de ctig:
=
=
900100300600
,
600700900400
21 HH
b) ntruct
=+
1500100010001000
21tHH
deci nu este o matrice cu toate elementele egale (sum constant) jocul din aceast problem este un joc bi-matriceal (nu este antagonist). Pentru a-l rezolva trebuie s gsim toate soluiile admisibile de baz pentru dou sisteme de ecuaii liniare, iar apoi se vor pstra doar perechile de soluii care verific i al treilea sistem de ecuaii.
Primul sistem este:
=+++
=+++
=+
060070009004001
12''
1'
12221
11''
1'
12221
2221
tFFpptFFpp
pp
pentru care avem succesiv:
070010
7001
7001
761
0741
73
73
739000
1700
107001
7001
710
01011600700001119004001000011
21
6001
60010001
21
6001
60010010
65065
611100
10000113001100600070010111000
.
300110006001000011
90001110500
Se constat c avem trei soluii admisibile de baz:
-
53
.300,00,9001,0
0,0,0,650,21
,
21
,0,300,0,700,0,1
1211''
1'
12221
1211''
1'
12221
1211''
1'
12221
======
======
======
ttFFpp
ttFFpp
ttFFpp
Al doilea sistem este
=+++
=+++
=+
090010003006001
22''
2'
21211
21''
2'
21211
2221
tFFpptFFpp
pp
Pentru care avem succesiv
0161
65
65
217000
006001
6001
6001
211
106001
6001
6001
210
01011900100001113006001000011
115
11001
110010010
116
11001
110010001
115100
113
1181100
5001100110001000011
60001113000
.
100001160011000110090010110800
i acum, n acest caz, sunt trei soluii admisibile de baz:
.0,6000,9001,0.3
0,0,0,11
5100,
115
,
116
.2
,500,0,0,600,0,1.1
2221''
2'
21211
2221''
2'
21211
2221''
2'
21211
======
======
======
ttFFpp
ttFFpp
ttFFpp
Ultimul sistem de ecuaii este de forma
,2,1,2,1,0 === iisis sitp ii
deci produsul dintre un ,,p, i un ,,t cu aceeai indici trebuie sa fie 0 (zero).
Testnd toate cele 9 combinaii posibile (fiecare cu fiecare) constatm c doar soluiile (combinaiile) (2, II) satisfac acest ultim sistem. ntradevr
.0021
,0021
,00115
,00116
2222212112121111 ======== tptptptp
-
54
Nici o alta combinaie (din cele 8 rmase) nu se poate accepta pentru ca mcar o ecuaie din ultimul sistem nu este verificat. Spre exemplu combinaia (3, I) nu convine pentru c dei
.001,001,03000 222212121111 ====== tptptp
totui .060012121 = tp
n concluzie unica soluie (care verific toate cele trei sisteme) este:
,0,11
5100,0,650,
21
,
21
,
115
,
116
,,
2,
2,,
1,
122211211 ======== FFFFpppp
.022211211 ==== tttt
Astfel strategia optimal a jucatorului 1 este ,115
,
116
1
=P cu catigul
,650,,1,11 == FFF iar strategia optimal a juctorului 2 este
=
21
,
21
2P cu catigul
.
115100
,,
2,
22 == FFF
15. Rezolvarea jocului antagonist Reconsiderm jocul de la problema 13. Se cere: a) Rezolvai jocul. b) Scriei matricele de structur.
Soluie. Matricele de ctig sunt:
=
=
80103060
,
20709040
21 HH
i cum
=+
100100100100
21tHH jocul este antagonist cu suma constant 100.
a) Pentru a rezolva un astfel de joc este nevoie s rezolvm problema de programare liniar corespunztoare. n cazul de fa avem
-
55
=
=
+++=+++
=+
.min02070
090401
''
1'
1
12''
1'
12221
11''
1'
12221
2221
FFF
tFFpptFFpp
pp
Utilizm pentru rezolvare ARS i atunci putem scrie succesiv:
10000110101120700011190401000011
00011000101120700011190401000011
000000010000113011001000701011500
17010
701
701
750
07010
701
701
721
0741
73
73
75500
17010
701
701
750
70100050010000113011001000701011500
00011001000011
3011001000701011500
0001100107
1001
10010001
103
1001
10010010
6521
211100
0000000107
1001
10010001
103
1001
10010010
6521
211100
.
6521
210000
107
1001
10010001
103
1001
10010010
6521
211100
Astfel avem soluia (unic)
-
56
,0,65,103
,
107
''
1'
12221 ==== FFpp .0,0 1211 == tt
Problema dual (pentru primul juctor) are soluia (citibil tot din ultima matrice)
.
21
,
21
1211 == pp Deci
=
21
,
21
1P este strategia optimal a primului juctor, care va obine ctigul
maxim ,651 =F iar strategia optimal a juctorului 2 este
=
103
,
107
2P care va obine ctigul
maxim .652 =F
b) Matricele de structur (care reflect mprirea ctigurilor pe juctori, corespunztor deciziilor alese) sunt date n urmtoarele tabele
B B1 B2
A
A
= A1 14 13,5 27,5
A2 24,5 3 27,5
38,5 16,5 55
A A1 A2
B
B
= B1 21 10,5 31,5
B2 1,5 12 13,5
22,5 22,5 45
Elementele din matricele de structur constituie termenii rezultai ca urmare a exprimrii funciilor de ctig. Astfel n prima matrice au fost trecui termenii lui
===
2121
20709040
103
107
2111111tt PHPPHPF
dup cum urmeaz:
( ) ( ),2190
1035,13,
2140
10714 211212221111 phpphp ====
-
57
( ) ( ).2120
1033,
2170
1075,24 222212222111 phpphp ==== Apoi, pe ultima coloan, sunt
trecute sumele elementelor de pe liniile corespunztoare, iar pe ultima linie sunt trecute sumele de pe coloanele corespunztoare. Tabelul (de 55) reprezint ctigul final (maxim) al juctorului 1. ntr-un mod cu totul analog se obin elementele matricei de structur pentru al doilea juctor pornind de la
===
103
107
80103060
21
21
1222222tt PHPPHPF
De altfel situaia sintetic, exprimat n procente, asupra structurii tipurilor de produse, este urmtoarea:
%.5,13:%,5,31:%,5,27:%,5,27: 2121 BBAA
Asta n condiia c producia ambelor fabrici este 100%. Datorit antagonicitii pieei, a doua fabric realizeaz o vnzare mai mic dect prima, care este de 45%.
16. Considerm problema 15 n ipoteza c a doua fabric, la momentul cnd i alege strategia sa, cunoate strategia aplicat de prima fabric. Se cere:
a) Scriei matricele de ctig ale acestui nou joc.
b) Rezolvai jocul.
c) Comparai rezultatul obinut cu cel anterior i interpretai diferena dintre ele.
Soluie. a) Fa de problema anterioar (15) acum al doilea juctor are o informaie suplimentar: tie ce strategie a ales primul juctor. n consecin se va modifica matricea de ctig a juctorului 1, deoarece juctorul 2 poate aplica alte dou strategii obinute prin combinarea strategiilor sale ,21 BiB dup cum urmeaz:
strategia ,1B ca rspuns la strategia ,1A
strategia ,1B ca rspuns la strategia ,2A
strategia ,2B ca rspuns la strategia ,1A
strategia ,2B ca rspuns la strategia .2A
Astfel avem matricea de ctig a juctorului 1 dat de tabelul
-
58
B 1B 1B 2B 2B
A 1B 2B 1B 2B
1B 40 40 90 90
2B 70 20 70 20
Acum 2P va fi de forma [ ],,,, 242322212 ppppP = iar [ ].,, 12111 ppP = a) Pentru rezolvare, observm mai nti c strategia a treia este dominant aa nct poate fi
eliminat, deci 023 =p i atunci problema de programari liniar ce trebuie rezolvat este
=
=
++++=++++
=++
.min0202070
09040401
''
1'
1
12''
1'
1242221
11''
1'
1242221
242221
FFF
tFFppptFFppp
ppp
Avem succesiv
00011000010112020700011190404010000111
10000111010112020700011190404010000111
17010
701
701
75
750
07010
701
701
72
721
0741
73
73
7550
72000
17010
701
701
75
750
0000000010000111
30110010050070101150500
0001100010000111
30110010050070101150500
701000505001000011130110010050070101150500
-
59
5521
21000250
107
1001
1001000
211
103
1001
1001001
210
5521
21110250
.
400100500052
501
50100101
53
501
50100210
4011115000
Soluia optim este ,0,40,0,53
,
52
''
1'
1242221 ===== FFppp ,0,0 1211 == tt deci
= 0,
53
,
52
'
2P este o strategie optimal a juctorului 2. Se constat c mai exist i o alt soluie,
conform matricei
,
400100500020110050050100001112000110050
deci ,0,40,0,53
,
52
''
1'
1242221 ===== FFppp .20,0 1211 == tt
Astfel o alt strategie optimal a juctorului 2 este [ ]0,1,0''2 =P . n concluzie, innd cont i de faptul c ,023 =p soluia general (strategia optimal a juctorului 2) este
[ ] [ ] 11,0,0,0,1,00,0,53
,
52
212121''
22'
212 =++
=+= cuPPP iar valoarea maxim a lui
[ ].0,1,40 1''1'111 === PcuFFFesteF b) Compararea rezultatelor ne evideniaz matricele de structur (simplificate necompletate unde
sunt zerouri)
-
60
B B1 B1
A B1 B2
A
= A1 162 401+242 40
162 401+242 40
A A1
B
B
= B1 B1 242 242
B1 B2 601+362 601+362
60 60
Constatm o descretere cu 15% pentru prima fabric, ceea ce d o cretere cu 15% pentru fabrica a doua. Aceasta se datoreaz informaiei suplimentare pe care a avut-o fabrica a doua. Mai putem spune c prima fabric va face 40% din sortimentul A1 iar a doua fabric va face numai sortimentul B1, n total de 60% (cu mprirea: 242% datorit ,,strategiei B1: B1 i (601+362) % datorit ,,strategiei B1: B2, cu
[ ] 1,1,0 2121 =+ ).
-
61
TEME DE CONTROL
1. Fie un joc de dou persoane cu suma nul dat cu matricea de ctig
==
5354816106963
1 AH
Care este matricea de ctig a juctorului 2? Cte strategii are juctorul 1, respectiv juctorul 2?
2. (Jocul Morra). Doi juctori arat simultan unul sau dou degete de la mna stng i n acelai timp spun numrul de degete pe care ei cred c l va arta oponentul.Dac un din juctor nimerete numrul de degete artat de oponent, el primete aa de multe uniti monetare ct este numrul de degete pe care le-au artat mpreun. Dac ambii juctori nimeresc sau niciunul nu nimerete atunci niciunul nu primete nimic. Care este matricea de ctig a acestui joc?
3. Care dintre jocurile problemelor precedente au puncte a n strategii pure?
4. S se exprime ctigurile ateptate de ctre juctorul 1 n cazurile jocurilor precedente.
5. Folosind eliminarea iterat a strategiilor dominante rezolvai jocul cu matricea de ctig
=
3132515442030211
A
6. Gsii strategiile optimale i valoarea jocului (cu relaiile de calcul) pentru jocurile cu urmtoarele matrice de ctig:
;2532)
=Aa ;
5416)
=Ab .
1342)
=Ac
7. Rezolvai problema 6 cu metoda Williams.
8. Rezolvai problema 6 cu metoda grafic pentru jocurile de tip 2 x n i m x 2.
9. Folosind metoda grafic, rezolvai jocurile cu urmtoarele matrice de ctig:
-
62
a) ,153412
=A b)
=
05611342
A
10. Folosind coordonatele boricentrice rezolvai jocul cu matricea de ctig:
=
012111211
A
11. Folosind programarea liniar rezolvai jocurile cu urmtoarele matrice de ctig:
a) ,210381
032
=A b) .8114490657
=A
12. O firm produce trei tipuri de produse ,,, 321 PPP folosind trei tipuri de materiale .,, 321 MMM
Cheltuielile cu materialele ncorporate n cte o unitate de produs sunt date n tabelul:
P
M P1 P2 P3
M1 4 4 6
M2 3 5 3
M3 5 2 4
Scriei matricele de ctig n reprezentare general.
13. Dou ramuri economice au de fcut investiii n 4 obiective. Strategia cu codul i const n a finana
obiectivul i, .4,1=i Ca urmare a tuturor analizelor fcute s-a constatat c, pentru prima ramur,
ctigurile sunt date de matricea:
=
00021210
23012110
A
Se presupune c fiecare ramur i materializeaz ctigul n nelegere cu cealalt, adic ceea ce ctig una pierde cealalt i invers.
Scriei matricele jocului n reprezentare general.
-
63
14. Considerm dou persoane care joac un joc necooperativ dat cu matricele:
=
=
8781
,
4371
21 HH
Rezolvai jocul.
15. Pentru dezvoltarea economic i social a unui ora apare problema construirii sau nu a dou obiective economice. Exist dou strategii corespunztoare Ministerului tutelar i pentru autoritile locale ale oraului: 1 a construi primul obiectiv, 2 a construi al doilea obiectiv. Autoritile oraului au 2 strategii: 1 agreeaz (accept) propunerea Ministerului, 2 nu agreeaz (accept) propunerea.
Strategiile se aplic independent. Ctigurile sunt date de matricele:
=
=
1125
,
11210
21 HH
Rezolvai acest joc necooperativ.
16. Fie reconsiderat Problema 12. Acum se cere:
16.1. Care sunt procentele 321 ,, ppp pe care s le facem, n avans, pentru oferta cu materialele n aa
fel nct stocul s fie sigur asigurat i s
top related