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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1
ELECTROMAGNETISMO
INTRODUCCIÓN
● MÉTODO
1. En general:Se dibujan la !uer"a #ue a$%&an 'bre el i%e(a.Se $al$ula la reul%an%e )'r el )rin$i)i' de u)er)'i$i*n.Se a)li$a la +, le- de Ne%'n /le- 0unda(en%al de la Din(i$a2
3F 4 m · a
+. En l' )r'ble(a de $a()' ele$%r'%%i$' de $arga )un%uale ' e!5ri$a.La !uer"a ele$%r'%%i$a F E en%re d' $arga6 Q - q 6 )un%uale ' e!5ri$a /$'ndu$%'ra 7ue$a '
(a$i"a6 ' ailan%e $'n una di%ribu$i*n 7'('g5nea de $arga2 e)arada una di%an$ia r erige )'r la le- de C'ul'(b:
F =K Qq
r 2u
r
La in%enidad del $a()' ele$%r'%%i$' E $read' )'r una $arga )un%ual Q en un )un%' i%uad' auna di%an$ia r e igual a la !uer"a el5$%ri$a F E #ue ejer$er8a la $arga Q 'bre la unidad de $arga)'i%i9a i%uada en ee )un%'.
E 4 F E q
iend' q la $arga de )rueba i%uada en el )un%'. La e;)rei*n #ueda:
E =K Q
r 2u
r
La in%enidad de $a()' ele$%r'%%i$' en un )un%' $read' )'r 9aria $arga )un%uale e lau(a 9e$%'rial de la in%enidade de $a()' ele$%r'%%i$' $reada )'r $ada $arga $'(' i la'%ra n' e%u9ieen /)rin$i)i' de u)er)'i$i*n2El )'%en$ial ele$%r'%%i$' en un )un%' i%uad' a una di%an$ia r de una $arga )un%ual < e el %ra=baj' #ue 7a$e la !uer"a ele$%r'%%i$a $uand' la unidad de $arga )'i%i9a e %ralada dede u)'i$i*n 7a%a el in!ini%':
V =W r →∞q
=
∫r
∞ F
E
q d r =
∫r
∞
K Qr 2
ur d r =∫r
∞
K Qr 2
d r =[−K Qr ]r
∞
=K Qr
El )'%en$ial ele$%r'%%i$' en un )un%' debid' a 9aria $arga )un%uale e la u(a de l' )'=%en$iale ele$%r'%%i$' $read' )'r $ada $arga $'(' i la '%ra n' e%u9ieen.>ara $al$ular el %rabaj' ne$eari' )ara %raladar una $arga # en%re d' )un%' A - ? e $al$ula)ri(er' el %rabaj' #ue 7a$en la !uer"a del $a()'6 #ue6 iend' $'ner9a%i9'6 e igual a:%rabaj' #ue 7a$en la !uer"a del $a()':
W A@? 4 = /E >? E >A2 4 E >A = E >? 4 q /V A V ?2
Su)'niend' #ue la $arga )ar%e del re)'' - #ue llega a ? $'n 9el'$idad nula6 el %rabaj' de la
!uer"a reul%an%e e nul'6 - el %rabaj' de la !uer"a e;%eri'r er:
WB = - WA@?
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 2
. En l' )r'ble(a de ('9i(ien%' de $arga en un $a()' (agn5%i$' $'n%an%e.>'r la le- de L'ren%"6
F B 4 q /v B2
la !uer"a (agn5%i$a e )er)endi$ular a la 9el'$idad6 )'r l' #ue n' reali"a %rabaj'. La 9el'$idad
%endr un 9al'r $'n%an%e6 - la a$elera$i*n *l' %iene $'()'nen%e n'r(al. C'(' %'da la (ag=ni%ude 'n $'n%an%e6 %a(bi5n l' er la a$elera$i*n n'r(al - el radi' de $ur9a%ura6 )'r l' #uela %ra-e$%'ria er $ir$ular.La %ra-e$%'ria de la )ar%8$ula en el in%eri'r de un $a()' (agn5%i$' $'n%an%e 'n $ir$ulare.En%'n$e6 la a$elera$i*n *l' %iene $'()'nen%e n'r(al aN 4 v + r 6 -6 al n' %ener a$elera$i*n %an=gen$ial6 el (*dul' de la 9el'$idad e $'n%an%e.
● RECOMENDACIONES
1. Se 7ar una li%a $'n l' da%'6 )and'l' al Si%e(a In%erna$i'nal i n' l' e%u9ieen.
+. Se 7ar '%ra li%a $'n la in$*gni%a.
. Se dibujar un $r'#ui de la i%ua$i*n6 )r'$urand' #ue la di%an$ia del $r'#ui ean $'7eren=%e $'n ella. Se deber in$luir $ada una de la !uer"a ' de la in%enidade de $a()'6 - u re=ul%an%e.
. Se 7ar una li%a de la e$ua$i'ne #ue $'n%engan la in$*gni%a - algun' de l' da%'6 (en$i'=nand' a la le- ' )rin$i)i' al #ue e re!ieren.
F. En $a' de %ener alguna re!eren$ia6 al %er(inar l' $l$ul' e 7ar un anlii del reul%ad')ara 9er i e el e)erad'. En )ar%i$ular6 $'()r'bar #ue l' 9e$%'re $a()' ele$%r'%%i$' %ie=nen la dire$$i*n - el en%id' a$'rde $'n el $r'#ui.
. En (u$7' )r'ble(a la $i!ra igni!i$a%i9a de l' da%' 'n in$'7eren%e. Se re'l9er el)r'ble(a u)'niend' #ue l' da%' #ue a)are$en $'n una ' d' $i!ra igni!i$a%i9a %ienen la(i(a )re$ii*n #ue el re%' de l' da%' /)'r l' general %re $i!ra igni!i$a%i9a26 - al !inal e7ar un $'(en%ari' 'bre el la $i!ra igni!i$a%i9a del reul%ad'.
● ACLARACIONES
1. L' da%' de l' enun$iad' de l' )r'ble(a n' uelen %ener un n&(er' ade$uad' de $i!raigni!i$a%i9a6 bien )'r#ue el reda$%'r )iena #ue la 08i$a e una ra(a de la Ma%e(%i$a - l'n&(er' en%er' 'n n&(er' He;a$%' /).ej la 9el'$idad de la lu": 1JK ( $ree #ue eJJ JJJ JJJ6JJJJJJJJJJJJJJJ... (2 ' )'r#ue a&n n' e 7a en%erad' de #ue e )uede uar $al=$ulad'ra en el e;a(en - le )are$e ( en$ill' uar 1JK #ue + + FK (2.
>'r e' 7e u)ue%' #ue l' da%' %ienen un n&(er' de $i!ra igni!i$a%i9a ra"'nable6 $aiie()re %re $i!ra igni!i$a%i9a. Men' $i!ra dar8an reul%ad'6 en $ier%' $a'6 $'n a()li'(argen de err'r. A8 #ue $uand' %'(' un da%' $'(' c 4 1JK ( - l' ree$rib' $'(':Cifras significativas: c 4 6JJ1JK (l' #ue #uier' indi$ar e #ue u)'ng' #ue el da%' 'riginal %iene %re $i!ra igni!i$a%i9a /n' #uela %enga en realidad2 )ara )'der reali"ar l' $l$ul' $'n un (argen de err'r ( )e#ue' #ueel #ue %endr8a i l' %'(ara %al $'(' l' dan. /1J K ( %iene una 'la $i!ra igni!i$a%i9a6 - un err'r rela%i9' del J . C'(' l' err're e uelen a$u(ular a l' larg' del $l$ul'6 el err'r !inal er8ainad(iible. En%'n$e6 P)ara #u5 reali"ar l' $l$ul'Q C'n una e%i(a$i*n er8a u!i$ien%e2.
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 3
>RO?LEMAS
● CAM>O ELECTROSTTICO
1. Una $arga )un%ual Q '$u)a la )'i$i*n /J6 J2 del )lan' XY en el 9a$8'. En un )un%' A del eje X el)'%en$ial e V 4 =1JJ - el $a()' el5$%ri$' e E 4 =1J i NC /$''rdenada en (e%r'2:a2 Cal$ula la )'i$i*n del )un%' A - el 9al'r de Q .b2 De%er(ina el %rabaj' ne$eari' )ara lle9ar un )r'%*n dede el )un%' ? /+6 +2 7a%a el )un%' A.$2 a" una re)reen%a$i*n gr!i$a a)r';i(ada de la energ8a )'%en$ial del i%e(a en !un$i*n de
la di%an$ia en%re a(ba $arga. u%i!i$a la re)ue%a.Da%': $arga del )r'%*n: 161J=1 CV K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. !t. ""#Rta.: a) r A = (10,0, 0) m; Q = -1,11×10-7 C; b) W = -4,05×10-17 J
Datos Cifras significativas: 3Posición de la carga Q r = (0, 0) mPo!encial en el "#n!o A V = -100 $Cam"o el%c!rico en el "#n!o A E = -10,0 i &'C
Posición del "#n!o r = (,000, ,000) mCarga del "ro!ón q " = 1,*0×10-1+ CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
Posición del "#n!o A r A$alor de la carga Q Qraba.o necesario "ara lle/ar #n "ro!ón de a A W AOtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
Cam"o el%c!rico creado "or #na carga "#n!#al Q a #na dis!ancia r E = K Q
r
ur
Po!encial elec!ros!3!ico de #n #n "#n!o #e dis!a #na dis!ancia r de #na carga Q V = K Q
r
raba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n "#n!o A as!a o!ro "#n!o W A = q (V A 8 V )
9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga q en #n "#n!o A E P A = q V A
Solución:
a) e s#s!i!#2en los da!os en las ec#aciones del cam"o
E = K Q
r
ur
−10,0 i [ & / C ]=+,00×10+ [ &m C− ]Q
r u
r
#e, !omando sólo el mód#lo, #eda<
10,0 [ & /C]=+,00×10+ [ &m C−]|Q|
r
ambi%n se s#s!i!#2e en la ec#ación de "o!encial elec!ros!3!ico<
V = K Q
r
−100 [ $ ]=+,00×10+ [ &m C−] Qr
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 4
Como en la ec#ación del cam"o a"arece el /alor absol#!o de la carga Q, a"licamos /alores absol#!os a laec#ación del "o!encial, #e #eda<
100 [ $ ]=+,00×10+
[ &m C
−]|Q|
r
e res#el/e el sis!ema
10,0=+,00×10+∣Q∣r
100=+,00×10+∣Q∣r
di/idiendo la seg#nda ec#ación en!re la "rimera> e ob!iene
r = 10,0 m
? des"e.ando el /alor absol#!o de la carga Q de la seg#nda ec#ación<
Q = 1,11×10-7 C9l "o!encial es nega!i/o, "or lo !an!o la carga debe ser nega!i/a<
Q = -1,11×10-7 C
Como la in!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o es nega!i/a, E r = -10,0 i (&'C), el "#n!o !iene #ees!ar en el semie.e "osi!i/o<
r A = (10,0, 0) m
b) 9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es
W A = q (V 8 V A)
@a dis!ancia del "#n!o a la carga Q es<r =√ (,00 [ m])
+(,00 [ m ])=,B m
9l "o!encial en el "#n!o /ale<
V =+,00×10+
[ &mC
−]
|−1,11×10−7 [C ]|,B [ m ]
=−B5B $
9l !raba.o de la 6#era del cam"o es
W A = q (V 8 V A) = 1,*0×10-1+ CD (-B5B 8 (-100) ) $D = -4,05×10-17 J
#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o#e a2 #e acer es<
W eE!erior = -W cam"o = 4,05×10-17 J
c) @a energ:a "o!encial de dos cargas /iene dada "or la eE"re-sión<
E "=q·V = K Q· q
r
2 es in/ersamen!e "ro"orcional a la dis!ancia en!re ambas car-gas>Como las cargas son de signo o"#es!o la energ:a "o!encial es ne-ga!i/a 2 a#men!a con la dis!ancia as!a ser n#la a #na dis!anciain6ini!a>
0 2 4 6 8 10
-0,2
-0,1
-0,1
-0,0
0! "#$
E P
" % & $
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO
+. Dada la $arga )un%uale Q 1 4 KJ XC6 Q + 4 =KJ XC6 Q 4 J XC i%uada en l' )un%' A/=+6 J26? /+6 J2 - C/J6 +2 re)e$%i9a(en%e /$''rdenada en (e%r'26 $al$ula:a2 La in%enidad del $a()' ele$%r'%%i$' en el )un%' /J6 J2b2 El %rabaj' ne$eari' )ara %raer una $arga de 1 XC dede el in!ini%' 7a%a el )un%' /J6 J2Da%': K 4 1J NW(+WC =+ (P.A.U. $%n. &'#Rta.: a) E = (B,* i 8 0,+ j)×105 &'C; b) W eE!erior = -W cam"o = 0,1 J
Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (-,00, 0) m Q1 = 0,0 FC = ,00×10-5 C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (,00, 0) m Q = -0,0 FC = -,00×10-5 C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (0, ,00) m QB = 40,0 FC = 4,00×10-5 C$alor de la carga #e se des"laa q = 1,00 FC = 1,00×10-* CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) E raba.o "ara !raer #na carga de 1 FC desde el in6ini!o as!a el "#n!o (0, 0) W Otros símbolos
is!ancia en!re los "#n!os A 2 r A EcuacionesGn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r V = K
Qr
Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
Solución:
a) e ace #n dib#.o con los /ec!ores in!ensidad de cam- "o elec!ros!3!ico creado "or cada carga 2 la s#ma /ec!o-rial #e es el /ec!or cam"o E res#l!an!e>@as dis!ancias en!re los "#n!os A, 2 C son lasmismas<
r = ,00 m@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0)m, debida a la carga de 0 FC si!#ada en el "#n!o A es<
E A=+,00×10+ [ &m C− ]
,00×10−5 [ C]
(,00 [ m ]) i =1,0×105 i & /C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) m, debida a la carga de -0 FC si!#ada en el "#n!o es la misma<
E = 1,0×105 i &'C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) m, debida a la carga de 40 FC si!#ada en el "#n!o Ces<
E C=+,00×10+ [ &m C− ]
4,00×10−5 [C]
(,00 [ m ]) (− j )=−0,+0×105 j & / C
Por el "rinci"io de s#"er"osición, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico res#l!an!e en el "#n!o (0, 0) es las#ma /ec!orial de las in!ensidades de cam"o de cada carga<
E = E A I E I E C = 1,0×105 i &'CD I -0,+0×105 j &'CD = (B,*0×105 i 8 0,+0×105 j) &'C
|E|= √(B *0×105 [ & /C ])+( 0 +0×105 [ & /C])=B 71×105 & /C
A
C
9A
9
9C 9
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 6
Análisis: La dirección del campo resultante es cuatro veces mayor hacia la derecha que hacia abao! como se ve en el dibuo"
b) @os "o!enciales en el "#n!o (0, 0) debidos a cada carga /alen<
V A=+,00×10+
[ &m
C
−
]
,00×10−5 [C]
(,00 [ m]) =B,*0×105
$
V
=+,00×10+ [ &m C− ]−,00×10−5 [C]
(,00 [m ]) =−B,*0×105 $
V C=+,00×10+ [ &m C−]
4,00×10−5 [C](,00 [ m ])
=1,0×105 $
9l "o!encial elec!ros!3!ico de #n "#n!o debido a la "resencia de /arias cargas, es la s#ma algebraica de los "o!enciales debidos a cada carga>
V = V A I V I V C = B,*0×105 $D 8B,*0×105 $D I 1,0×105 $D = 1,0×105 $
9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es
W = q (V 8 V ) = 1,00×10-* C (0 8 1,0×105) $ = -0,10 J
s#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o #e a2 #e acer es<
W eE!erior = -W cam"o = 0,10 J
. D' $arga el5$%ri$a de (C e%n i%uada en A/6 J2 - ?/=6 J2 /en (e%r'2. Cal$ula:a2 El $a()' el5$%ri$' en C/J6 F2 - en D/J6 J2b2 El )'%en$ial el5$%ri$' en l' (i(' )un%' C - D$2 El %rabaj' )ara %raladar q B 4 =1 (C dede C a DDa%': K 4 1J NW(+WC=+ V 1 (C 4 1J= C (P.A.U. $%n.
Rta.: a) E C = 1,0B×10*
j &'C; E = 0; b) V c = ,4B×10*
$; V = 1,B5×107
$ c) W eE! = -5,1×10B
J Datos Cifras significativas: 3
$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (4,00, 0) m Q1 = B,00 mC = B,00×10-B C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (-4,00, 0) m Q = B,00 mC = B,00×10-B C$alor de la carga #e se !raslada q = -1,00 mC = 1,00×10 -B CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en los "#n!os C< (0, 5,00) 2 < (0, 0) E C, E Po!encial elec!ros!3!ico en los "#n!os C< (0, 5,00) 2 < (0, 0) V C, V raba.o "ara !rasladar #na carga de -1 mC desde C a W COtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A EcuacionesGn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r
V = K Q
r
Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
Solución:
a) e ace #n dib#.o con los /ec!ores in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico creado "or cada carga 2 la s#mai l l E l
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO '
Para el "#n!o C<@as dis!ancias en!re los "#n!os AC, 2 C son las mismas<
r AC=r C=√ (4,00 [m ]) +(5,00 [ m])=*,40 m
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C(0, 5), debida a la
carga de B mC si!#ada en el "#n!o A es< E
A→C=+,00×10+ [ &m C− ]
B,00×10−B [ C]
(*,40 [m ])−4,00 i +5,00 j
*,40 =
=(−4,11×105 i +5,14×105 j ) & /C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C(0, 5) debida a lacarga de B mC si!#ada en el "#n!o es sim%!rica a la del "#n!o A<
E C = (4,11×105 i I 5,14×105 j) &'C
Por el "rinci"io de s#"er"osición, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!i-co res#l!an!e en el "#n!o C(0, 5) es la s#ma /ec!orial de las in!ensida-des de cam"o de cada carga<
E C = E AC I E C = (-4,11×105 i I 5,14×105 j) &'CD I (4,11×105 i I 5,14×105 j) &'CD = 1,0B×10* j &'C
Análisis: La dirección del campo resultante es vertical hacia arriba! como se ve en el dibuo"
Para el "#n!o <Como las dis!ancias en!re los "#n!os A 2 son las mismas 2 las cargas en A 2 son ig#ales, los /ec!o-res cam"o creados "or las cargas en A 2 son o"#es!os (mismo /alor 2 dirección "ero sen!ido con!rario)
"or lo #e s# res#l!an!e es n#la>
E = 0
b) @os "o!enciales en el "#n!o C(0, 5) debidos a cada carga son ig#ales 2 /alen<
V →C=V A→C=+,00×10
+ [ &m C− ]B,00×10−B [ C]
(*,40 [ m ]) =4,×10* $
9l "o!encial elec!ros!3!ico de #n "#n!o debido a la "resencia de /arias cargas, es la s#ma algebraica de los "o!enciales debidos a cada carga>
V C = V AC I V C = 4,×10* $D I 4,×10* $D = ,4B×10* $
An3logamen!e "ara el "#n!o
V →=V A→=+,00×10
+ [ &m C− ]B,00×10−B [ C]
(4,00 [ m ]) =*,75×10* $
V = V A I V = *,75×10*
$D I *,75×10*
$D = 1B,5×10*
$
c) 9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es
W C = q (V C 8 V ) = -1,00×10-B CD (,4B×10* 8 1B,5×10*) $D = 5,1×10B J
s#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o #e a2 #e acer es<
W eE!erior = -W cam"o = -5,1×10B J
. Tre $arga de Y ZC e%n i%uada e#uidi%an%e en%re 8 'bre una $ir$un!eren$ia de radi'+ (. Cal$ula:
a2 El )'%en$ial el5$%ri$' en el $en%r' de la $ir$un!eren$ia.b2 El 9e$%'r $a()' el5$%ri$' en el (i(' )un%'.$2 El %rabaj' )ara %raer una $arga qB 4 1 ZC dede el in!ini%' al $en%r' de la $ir$un!eren$ia.
A(
C
E A)C
E()C
EC
*
E()*
E A)*
r ( C
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 8
Rta.: a) V = 4,05×104 $; b) E = 0; c) W eE! = 4,05×10- J
Datos Cifras significativas: 3$alor de cada carga Q = B,00 KC = B,00×10-* CLadio de la circ#n6erencia # = ,00 m
$alor de la carga #e se !raslada q = -1,00 KC = 1,00×10
-*
CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC- Incógnitas
Po!encial elec!ros!3!ico en el cen!ro de la circ#n6erencia V Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el cen!ro de la circ#n6erencia E raba.o "ara !rasladar #na carga de 1 KC desde el in6ini!o al cen!ro W Otros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r V = K
Qr
Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
Solución:
a) @os "o!enciales en el cen!ro de la circ#n6erencia, debidos a cada carga son ig#ales "or#e !an!o la cargacomo la dis!ancia al cen!ro son ig#ales> $alen<
V C →=V →=V A→ =+,00×10
+ [ &m C−]B,00×10−* [C]
(,00 [ m ]) =1,B5×104 $
9l "o!encial elec!ros!3!ico de #n "#n!o debido a la "resencia de /arias cargas, es la s#ma algebraica de los "o!enciales debidos a cada carga>
V = V A I V I V C = B 1,B5×104 $D = 4,05×104 $
b) e ace #n dib#.o con los /ec!ores in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico creado "or cada carga 2 la s#ma /ec!orial #e es el /ec!or cam"o E res#l!an!e>Al ser las !res cargas ig#ales 2 es!ar a la misma dis!ancia del cen!ro de la circ#n6eren-cia, los !res /ec!ores in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico son sim%!ricos 2 s# res#l!an!ees n#la<
E = 0i #ieres realiar los c3lc#los<@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el cen!ro de la circ#n6erencia, debida a la carga de B KC si!#adaen el "#n!o A es<
E A→=+,00×10+ [ &m C−]
B,00×10−* [C]
(,00 [ m ]) (− i )=−*,75×10B i & /C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el cen!ro de la circ#n6erencia, debida a la carga de B KC si!#adaen el "#n!o es<
E →=+,00×10+ [ &mC−]
B,00×10−* [C]
(,00 [m ])
(cos(−*0 M) i +sen (−*0 M ) j )=(B,B×10B i−5,5×10B j ) & / C
Por sime!r:a, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el cen!ro de la circ#n6erencia, debida a la carga deB KC si!#ada en el "#n!o C es<
A
(
C
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO +
E C = B,B×10B i I 5,5×10B j &'C
Por el "rinci"io de s#"er"osición, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico res#l!an!e en el "#n!o es la s#ma/ec!orial de las in!ensidades de cam"o de cada carga<
E = E A I E I E C = (-*,75×10B i) I (B,B×10B i 8 5,5×10B j) I (B,B×10B i I 5,5×10B j) = 0 i I 0 j
c) 9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es
W = q (V 8 V ) = 1,00×10-* CD (0 8 4,05×104) $D = -4,05×10- J
#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o #e a2 #e acer es<
W eE!erior = -W cam"o = 4,05×10- J
F. Tre $arga el5$%ri$a )un%uale de 1J= C e en$uen%ran i%uada en l' 95r%i$e de un $uadrad'de 1 ( de lad'. Cal$ula:a2 La in%enidad del $a()' - el )'%en$ial ele$%r'%%i$' en el 95r%i$e libre.
b2 M*dul'6 dire$$i*n - en%id' de la !uer"a del $a()' ele$%r'%%i$' 'bre una $arga de =+1J
=
C i%uada en di$7' 95r%i$e.$2 El %rabaj' reali"ad' )'r la !uer"a del $a()' )ara %raladar di$7a $aga dede el 95r%i$e al $en=
%r' del $uadrad'. In%er)re%ar el ign' del reul%ad'.Da%': K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. !t. "*#Rta.: a) E = 1,7×104 &'C, diagonal acia 6#era; $ = ,4×10 4 $; b) F = 0,0B4 &, diagonal acia el
cen!ro; c) W 9 = 0,0 J
Datos Cifras significativas: 3
@ado del c#adrado l = 1,00 m$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (0, 0) m QA = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (1,00, 0) m> Q = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (0, 1,00) m QC = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (1,00, 1,00) m Q = -,00×10-* CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o E $Po!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o V raba.o del cam"o al lle/ar a carga desde al cen!ro del c#adrado N W NOtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición
E A=∑
E A i
raba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n "#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r V = K
Q
r Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
Solución:
a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!orescam"o 2 de la s#ma /ec!orial #e es el /ec!or cam"o E res#l-!an!e>
@as dis!ancias 2 C /alen la longi!#d del lado<r = r C = l = 1,00 m
E ( ) *
C*
EC)*
E A ) *
E *
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 10
r A=| r AD|=√ (1,00 [m ])+(1,00 [m ])=1,41 me elige #n sis!ema de re6erencia con el origen en cada carga, !omando el e.e & orion!al, "osi!i/o acia ladereca 2 el e.e ' /er!ical, "osi!i/o acia arriba>9l /ec!or #ni!ario uC del "#n!o !omando como origen el "#n!o C es el /ec!or i #ni!ario del e.e & >9l /ec!or #ni!ario u del "#n!o !omando como origen el "#n!o es el /ec!or j #ni!ario del e.e ' >9l /ec!or #ni!ario uA del "#n!o !omando como origen el "#n!o A es<
uA=
r A
| r A|=
(1,00 i +1,00 j) [m ]1,41 [m ]
=0,707 i +0,707 j
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o , debida a la carga de 1 FC si!#ada en el "#n!o A es<
E A→=+,00×10+ [ &m C− ]
(1,00×10−* [C])
(1,41 [ m ]) (0,707 i +0,707 j )=(B,1×10B i +B,1×10B j ) & / C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o , debida a la carga de 1 FC si!#ada en el "#n!o es<
E →=+,00×10+ [ &mC−]
(1,00×10−* [C])
(1,00 [m ]) j=+,00×10B j & /C
Por analog:a, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o , debida a la carga de 1 FC si!#ada en el "#n!o C es<
E C = +,00×10B i &'C
A"licando el "rinci"io de s#"er"osición,
E = H E i = E A I E I E C
E = (B,1×10B i I B,1×10B j) I (+,00×10B j) I (+,00×10B i) = (1,×104 i I 1,×104 j) &'C
Análisis: (e ve que el vector intensidad de campo el)ctrico resultado del cálculo es dia*onal hacia arriba yhacia la derecha! coherente con el dibuo que se hab+a hecho"
9l /alor del cam"o es<
| E D|=√ (1,×104 [ & /C ])+(1,×104 [ & /C ])=1,7×104 & / C
Neneraliando el res#l!ado "ara c#al#ier sis!ema de re6erencia,
O E O = 1,7×104 &'C> 9l cam"o /a en la dirección de la diagonal, acia 6#era>
@os "o!enciales elec!ros!3!icos en el "#n!o debidos a las cargas en C 2 son ig#ales 2 /alen<
V →=V C→=+,00×10
+ [ &mC− ]1,00×10−* [C]
(1,00 [ m]) =+,00×10B $
9l "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o debidos a la carga en A /ale<V A→ =+,00×10
+ [ &m C−]1,00×10−* [C ]
(1,41 [m ]) =*,B*×10B $
9l "o!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o debido a la "resencia de /arias cargas, es la s#ma algebraica de los "o!enciales debidos a cada carga>
V = V A I V I V C = *,B*×10B $D I +,00×10B $D = ,44×104 $
b) Como la in!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o es la 6#era sobre la #nidad de carga "osi!i/a co-locada en ese "#n!o, "odemos calc#lar la 6#era elec!ros!3!ica sobre la carga de - FC a "ar!ir del /ec!or in-!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico<
F = q E = -,00×10-* CD (1,×104 i I 1,×104 j) &'CD = (-,44×10- i 8 ,44×10- j) &
c) 9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se !raslada la carga q = - FC desde el /%r!ice al cen!ro
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 11
W N = q (V 8 V N) = -1,00×10-B CD (,4B×10* 8 1B,5×10*) $D = 5,1×10B J
a2 #e calc#lar el "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o N si!#ado en el cen!ro del c#adrado de 6orma an3lo-ga a como se io an!es>@a dis!ancia de cada /%r!ice al cen!ro del c#adrado es la mi!ad de la diagonal<
r AN = r N = r CN = 1,41 mD ' = 0,707 m
@os "o!enciales elec!ros!3!icos en el "#n!o N debidos a las cargas en A, 2 C son ig#ales 2 /alen<
V A→N=V →N=V C→N=+,00×10
+ [ &m C− ]1,00×10−* [C]
(0,707 [ m ]) =1,7×104 $
9l "o!encial elec!ros!3!ico en N es la s#ma algebraica de los "o!enciales debidos a cada carga>
V N = V AN I V N I V CN = B 1,7×104 $D = B,×104 $
9l !raba.o de la 6#era del cam"o es
W N = q (V 8 V N) = -,00×10-* CD (,44×104 8 B,×104) $D = ,7*×10- J
9l !raba.o el "osi!i/o "or#e el sen!ido de la 6#era (acia el cen!ro del c#adrado) 2 el del des"laamien!o
son ig#ales>
. En l' 95r%i$e de un $uadrad' de 1 ( de lad' e i%&an $ua%r' $arga de 9al're =16 Y16 =1 - Y16en XC6 de (anera #ue la de ign' igual e%n en 95r%i$e ')ue%'. Cal$ula:a2 El $a()' el5$%ri$' en el )un%' (edi' de un' $ual#uiera de l' lad'.b2 El %rabaj' ne$eari' )ara de)la"ar una #uin%a $arga de Y1 XC dede el )un%' (edi' de $ual=
#uier lad' del $uadrad' al )un%' (edi' de $ual#uier '%r' lad'.Da%': K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. !t. &+#Rta.: a) O E O = *,5*×104 &'C, en la dirección del lado, acia a la carga nega!i/a; b) W QQR = 0
Datos Cifras significativas: 3
$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (0, 0) m QA = -1,00 FC = -1,00×10-*
C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (1,00, 0) m> Q = 1,00 FC = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (1,00, 1,00) m QC = -1,00 FC = -1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (0, 1,00) m Q = 1,00 FC = 1,00×10-* C$alor de la carga #e se des"laa q = 1,00 FC = 1,00×10-* CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-P#n!o medio del lado C Q (1,00, 0,50) mP#n!o medio del lado A QR (0,50, 0) m
Incógnitas
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o Q E raba.o "ara lle/ar #na carga de 1 FC desde el Q a QR W Otros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A EcuacionesGn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r
V = K Q
r
Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
Solución:
a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores cam"o 2 de la s#ma /ec!orial #e es el /ec!orE l! !
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 12
i se llama Q al "#n!o medio del lado C, las dis!ancias AQ 2 Q /alen<
r Q=r AQ=| r AM|=√ (1,00 [ m ])+(0,50 [m ])
=1,1 m
e elige #n sis!ema de re6erencia con el origen en cada carga, !omando ele.e & orion!al, "osi!i/o acia la dereca 2 el e.e ' /er!ical, "osi!i/o a-
cia arriba>9l /ec!or #ni!ario uAQ del "#n!o Q !omando como origen "#n!o A es<
uAQ=
r AQ
| r AQ|=
(1,00 i +0,50 j ) [ m ]1,1 [ m ]
=0,+4 i +0,447 j
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o Q, debida a la carga de-1 FC si!#ada en el "#n!o A es<
E A
=+,00×10+ [ &m C− ](−1,00×10−* [C])
(1,1 [m ]) (0,+4 i +0,447 j )=(−*,44×10B i 8 B,×10B j) &/ C
Por sime!r:a, E = *,44×10B i 8 B,×10B j &'C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o Q, debida a la carga de I1 FC si!#ada en el "#n!o es<
E =+,00×10+ [ &m C−]
(−1,00×10−* [C])
(0,50 [ m]) j=B,*×104 j & /C
Por sime!r:a,
E C = B,*×104 j &'C
A"licando el "rinci"io de s#"er"osición,
E Q = H
E i
E Q = (-*,44×10B i 8 B,×10B j) I (*,44×10B i 8 B,×10B j) I B,*×104 j = *,5*×104 j &'C
Análisis: (e ve que el vector intensidad de campo el)ctrico resultado del cálculo es vertical hacia arriba!coherente con el dibuo que se hab+a hecho"
Neneraliando el res#l!ado "ara c#al#ier lado,
O E O = *,5*×104 &'C> 9l cam"o /a en la dirección del lado, acia a la carga nega!i/a>
b) Como V Q = -V AQ 2 V CQ = -V Q (misma dis!ancia, cargas de signos o"#es!os)
V Q = V Q I V AQ I V CQ I V Q = 0
"ara el "#n!o medio de c#al#ier lado, "or lo #e<
W QQR = q (V Q 8 V QR) = 0
. D' $arga )un%uale de K XC - F XC e%n i%uada re)e$%i9a(en%e en l' )un%' /J6 J2 - /16 12.Cal$ula:a2 La !uer"a #ue a$%&a 'bre una %er$era $arga de 1 XC i%uada en el )un%' /+6 +2b2 El %rabaj' ne$eari' )ara lle9ar e%a &l%i(a $arga dede el )un%' #ue '$u)a 7a%a el )un%'
/J6 12Da%': K 4 1J NW(+WC=+V la $''rdenada e dan en (e%r'. (P.A.U. $%n. &,#Rta.: a) F = 0,0B i I 0,0B j &; b) W eE! = -W cam"o = 0,05+7 J
Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (0 0) m QA = 00 FC = 00×10-* C
A (-1)
C (-1) (I1)
(I1)
99A
99C
9
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 13
Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (,00, ,00) m QC = 1,00 FC = 1,00×10-* CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-P#n!o al #e se !raslada (0, 1,00) m
Incógnitas
S#era sobre Qc , Craba.o "ara lle/ar QC desde C as!a W COtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
@e2 de Co#lomb (a"licada a dos cargas "#n!#ales se"aradas #na dis!ancia r ) F = K Q qr
ur
Princi"io de s#"er"osición F A=∑ F Airaba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada a#na dis!ancia r
V = K Q
r
Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
Solución:
a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores 6#era2 de la s#ma /ec!orial #e es la 6#era F C res#l!an!e>C3lc#lo de dis!ancias<
r AC=√ (,00 [ m ])+(,00 [m ])
=,B m
r C = r AC ' = 1,41 m
@os /ec!ores #ni!arios del "#n!o C, uAC res"ec!o a A 2 uC res"ec!o
a son el mismo<
uC= uAC=
r AC
| r AC|=
(,00 i +,00 j) m,B [m ]
=0,707 i +0,707 j
@a 6#era elec!ros!3!ica #e ace la carga de A sobre la de C es<
F A→ C=+×10
+ [ &m C− ],00×10−* [C] 1,00×10−* [C ]
(,B [ m ]) (0,707 i +0,707 j )=(*,B*×10−B i +*,B*×10−B j) &
@a 6#era elec!ros!3!ica #e ace la carga de sobre la de C es<
F →C=+×10+
[ &m
C−
]5,00×10−* [C]1,00×10−* [C]
(1,41 [m ]) (0,707
i +0,707
j )=(15,+×10−B
i +15,+×10−B
j) &
A"licando el "rinci"io de s#"er"osición,
F C = H F i = F AC I F C
F C = (*,B*×10-B i I *,B*×10-B j) &D I (15,+×10-B i I 15,+×10-B j) &D = (0,0B i I 0,0B j) &
Análisis: (e ve que la -uer.a resultante del cálculo está en la dia*onal del primer cuadrante! coherente conel dibuo que se hab+a hecho"
b) @os "o!enciales en el "#n!o C debidos a cada carga /alen<
V A →C=+,00×10+
[ &m
C−
],00×10−* [C]
(,B [ m]) =,54×104
$
+ [ ]5 00×10−* [ C] 4
A ()
C (1)
(5)
SAC
SC
SC
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 14
9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o C es<
V / = V AC I V C = ,54×104 $D I B,1×104 $D = 5,7B×104 $
@as dis!ancias r A = r = 1,00 m@os "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<
V A →=+,00×10+ [ &m C−] ,00×10
−*
[C](1,00 [ m ])
=7,0×104 $
V → =+,00×10+ [ &m C−]
5,00×10−* [C](1,00 [m ])
=4,50×104 $
9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o es<
V $ = V A I V = 7,0×104 $D I 4,50×104 $D = 11,70×104 $
9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es
W C = QB (V C 8 V ) = 1,00×10-* CD (5,7B×104 8 11,70×104) $D = -0,05+7 J
#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o #e a2 #e acer es<
W eE!erior = -W cam"o = 0,05+7 J
K. En d' de l' 95r%i$e de un %ringul' e#uil%er' de + $( de lad' e i%&an d' $arga )un%ualede Y1J XC $ada una. Cal$ula:a2 El $a()' el5$%ri$' en el %er$er 95r%i$e.b2 El %rabaj' )ara lle9ar una $arga de F XC dede el %er$er 95r%i$e 7a%a el )un%' (edi' del lad'
')ue%'.$2 u%i!i$a )'r #u5 n' ne$ei%a $'n'$er la %ra-e$%'ria en el a)ar%ad' an%eri'r.Da%': K 4 1J NW(+WC=+V 1 XC 4 1J= C (P.A.U. $%n. ,#Rta.: a) E C = B,+0×10 &'C, en la bisec!ri acia el eE!erior; b) W eE! = 45,0 J
Datos Cifras significativas: 3
$alor de cada carga 6i.a Q = 10,0 FC = 1,00×10-5 C@ongi!#d del lado del !ri3ng#lo e#il3!ero L = ,00 cm = 0,000 m$alor de la carga #e se des"laa q = 5,00 FC = 5,00×10-* CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
$ec!or in!ensidad del cam"o el%c!rico en el !ercer /%r!ice E Craba.o "ara lle/ar 5 FC desde C el !ercer /%r!ice as!a el "#n!o medio dellado o"#es!o
W C
Otros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os c#ales#iera A 2 r A EcuacionesGn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o %W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r
V = K Q
r Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
Solución:
a) e si!Tan las cargas en los /%r!ices A 2 del lado orion!al 2 se ace #n dib#.o de cada #no de los /ec!o-res in!ensidad de cam"o 2 de la s#ma /ec!orial #e es el /ec!or cam"o res#l!an!e en el "#n!o C #e es el o!ro
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1
9l /ec!or #ni!ario del "#n!o C, uAC res"ec!o a A es<
uA=cos*0M i +sen*0M j=0,500 i +0,** j
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E CA en C debida a la carga en A es<
E CA=+,00×10+
[ &m
C−
]
1,00×10−5 [C]
(0,000 [ m]) ( 0,500
i +0,**
j )==(1,1B×10 i +1,+5×10 j) & / C
Por sime!r:a, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E C en C debida a la carga en es<
E C = (81,1B×10 i I 1,+5×10) j &'C
2 el cam"o res#l!an!e en C debido a ambas cargas ("rinci"io de s#"er"osición) es<
E C = (81,1B×10 i I 1,+5×10 j) &'CD I (1,1B×10 i I 1,+5×10 j) &'CD = B,+0×10 j &'C
Análisis: (e ve que el campo resultante del cálculo es vertical! coherente con el dibuo que se hab+a hecho"
Una res"#es!a general inde"endien!e de cómo se a2an elegido los /%r!ices ser:a< 9l cam"o el%c!rico en el!ercer /%r!ice /ale B,+0×10 &'C 2 es!3 dirigido segTn la bisec!ri del 3ng#lo acia el eE!erior del !ri3ng#lo>
b) @os "o!enciales en el "#n!o C debidos a cada carga /alen<
V CA
=V C
=+,00×10+ [ &m C−]1,00×10−5 [C](0,000 [ m ])
=4,50×10* $
9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o C es<
V / = V CA I V C = 4,50×10* $D = +,00×10* $
@lamando "#n!o al cen!ro del lado A, los "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<
V A=V =+,00×10+
[ &m
C
−
]
1,00×10−5 [ C]
(0,0100 [m ]) =+,00×10*
$
9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o es<
V $ = V A I V = +,00×10* $D = 1,0×107 $
9l !raba.o realiado "or las 6#eras del cam"o elec!ros!3!ico c#ando se m#e/e #na carga q = 5 FC desde el "#n!o C al es la dismin#ción de la energ:a "o!encial en!re los "#n!os C 2 <
W C = q (V C 8 V ) = 5,00×10-* CD (+,00 ×10* 8 1,0×107) $D = 845,0 J
9l !raba.o necesario "ara mo/er #na carga q = 5 FC desde el "#n!o C al , s#"oniendo #e lleg#e a con lamisma /elocidad #e !en:a en C, es<
W eE!erior = 8 W cam"o = = 45,0 J
c) @a 6#era elec!ros!3!ica es #na 6#era conser/a!i/a 2 el !raba.o #e realia es inde"endien!e del caminoseg#ido "ara ira de #n "#n!o a o!ro>
. D' $arga )un%uale iguale q 4 1 XC e%n i%uada en l' )un%' A/F6 J2 - ?/=F6 J2. Cal$ula:a2 El $a()' el5$%ri$' en l' )un%' C/K6 J2 - D /J6 2b2 La energ8a )ara %raladar una $arga de =1 XC dede C a D.Da%': 1 XC 4 1J= C6 K 4 1J NW(+WC=+. La $''rdenada en (e%r'. (P.A.U. !t. '#Rta.: a) E C = 1,05×10B i &'C; E = ,74×10 j &'C
b) V C = B,*+×10B $; V = ,1×10B $; V E = 8,1×10-4 J
Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (5,00, 0,00) m QA = 1,00 FC = 1,00×10-* C$ l d l i! d l ! ( 5 00 0 00) Q 1 00 C 1 00 10 * C
E C A
E C
A (
C
E C (
2c#
*
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 16
Datos Cifras significativas: 3Coordenadas del "#n!o C r C = (,00, 0,00) mCoordenadas del "#n!o r = (0,00, 4,00) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
$ec!or in!ensidad del cam"o el%c!rico en los "#n!os C 2 E C, E 9nerg:a "ara lle/ar -1 FC desde C as!a W COtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os c#ales#iera A 2 r A Ecuaciones
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o %W A = q (V A 8 V )
9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga q en #n "#n!o A E P A = q V APo!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada
a #na dis!ancia r V = K Q
r Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
Solución:
a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores in!ensidad de cam"o 2 de la s#ma /ec!orial #ees el /ec!or cam"o res#l!an!e en cada "#n!o>P#n!o C
C3lc#lo de dis!ancias<r AC = (,00, 00) mD 8 (5,00, 0,00) mD = B,00 m
r C = (,00, 00) mD 8 (-5,00, 0,00) mD = 1B,00 m
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E AC en C debida a la carga en A es<
E A→C=+×10+ [ &m C−]
1,00×10−* [C]
(B,00 [m ]) i =1,00×10B i & /C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E C en C debida a la carga en es<
E → C=+×10+ [ &m C− ]
1,00×10−* [ C]
(1B,0 [ m])
i =5B,B i & / C
A"licando el "rinci"io de s#"er"osi-ción,
E C = H E i = E AC I E C
E C = 1,00×10B i &'CD I 5B,B i &'CD =1,05×10B i &'C
Análisis: El resultado es coherente conel dibuo que se hab+a hecho"
P#n!o >
C3lc#lo de dis!ancias<r =r A=√ (5,00 [ m ])
+(4,00 [m ])=*,40 m B A
DE
B→D
EA→D
ED
r B D
O
B CA
EB→C
EA→C
EC
O
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1'
uA
= uA
= r A
| r A|=
(−5,00 i +4,00 j ) [ m ]
√ (−5,00 [ m])+(4,00 [ m])=−0,71 i +0,*5 j
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E A en debida a la carga en A es<
E A→ =
+,00×
10+
[ &m
C
−
]
1,00×10−* [C ]
(*,40 [m ]) (−0,71 i
+0,*5 j
)=(−1,71
×10
i
+1,B710
j
) &
/C
Por sime!r:a, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E en debida a la carga en es<
E = 1,71×10 i I 1,B7×10 j &'C
2 el cam"o res#l!an!e en debido a ambas cargas ("rinci"io de s#"er"osición) es<
E D = (– 1,71×10 i I 1,B7×10 j ) &'CD + (1,71×10 i I 1,B7×10 j ) &'CD = ,74×10 j &'C
Análisis: (e ve que la -uer.a resultante del cálculo es vertical! coherente con el dibuo que se hab+a hecho"
b) @os "o!enciales en el "#n!o C debidos a cada carga /alen<
V A →C=+,00×10+
[ &m
C−
]1,00×10−* [C]
(B,00 [ m]) =B,00×10B
$
V →C=+,00×10
+ [ &m C− ]1,00×10−* [ C]
(1B,00 [ m]) =*,+×10 $
9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o C es<
V / = V AC I V C = B,00×10B $D I *,+×10 $D = B,*+×10B $
@os "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<
V A =V =+,00×10+[ & m C−]
1,00×10−* [C ]*,40[ m ]
=1,41×10B $
9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o es<V $ = V A I V = 1,41×10B $D I 1,41×10B $D = ,1×10B $
@a energ:a #e a2 #e com#nicarle a #na carga q = 81 FC "ara mo/erla desde el "#n!o C al es la /aria-ción de energ:a ("o!encial)desde el "#n!o C al es<
V E C = q V 8 q V C = q (V 8 V C) = 81,00×10-* CD (,1 ×10B 8 B,*+×10B) $D = ,1×10-4 J
s#"oniendo #e lleg#e a con la misma /elocidad #e !en:a en C>
1J. D' $arga el5$%ri$a )un%uale de =+ XC6 e%n i%uada en l' )un%' A/=6 J2 - ?/6 J2.a2 Cal$ula la !uer"a 'bre una $arga de 1 XC6 i%uada en el )un%' /J6 F2
b2 P
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 18
Otros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
@e2 de Co#lomb (a"licada a dos cargas "#n!#ales se"aradas #na dis!ancia r ) F = K Q qr
ur
Princi"io de s#"er"osición F A=∑ F Airaba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n "#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada a#na dis!ancia r V = K
Qr
Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga en #n "#n!o A E PA = q V A
Solución:
a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores 6#era 2 de las#ma /ec!orial #e es la 6#era F C res#l!an!e>
C3lc#lo de dis!ancias<r AC=r C=√ (4,00 [m ])
+(5,00 [ m])=*,40 m
9l /ec!or #ni!ario del "#n!o C, uAC res"ec!o a A es<
uAC=
r AC
| r AC|=
(4,00 i +5,00 j ) [ m ]*,40 [ m ]
=0,*5 i +0,71 j
@a 6#era elec!ros!3!ica #e ace la carga de A sobre la de C es<
F A→C=+,00×10+ [ &m C−]
−×10−* [ C]1×10−* [C]
(*,40 [m ]) (0,*5 i +0,71 j )=(−,74×10−4 i 8 B,4B×10−4 j ) &
Por sime!r:a,F C = (,74×10-4 i 8 B,4B×10-4 j) &
A"licando el "rinci"io de s#"er"osición,
F C = F AC I F C = (-,74×10-4 i 8 B,4B×10-4 j) &D I (,74×10-4 i 8 B,4B×10-4 j) &D = -*,*×10-4 j &
Análisis: (e ve que la -uer.a resultante del cálculo es vertical hacia abao! coherente con el dibuo que sehab+a hecho"
b) Como la 6#era elec!ros!3!ica es #na 6#era conser/a!i/a, 2 es la Tnica #e a2 #e !ener en c#en!a (2 m#-c:simo m3s in!ensa #e la gra/i!a!oria), la energ:a mec3nica se conser/a>
( E c I E ")C = ( E c I E ")X m vC I q · V C = X m v I q · V
9l "o!encial en el "#n!o C debido a cada carga /ale lo mismo, "or#e la dis!ancia es la misma (es!3n si!#a-das sim%!ricamen!e) 2 el /alor de la carga !ambi%n es el mismo> ambi%n es /3lido "ara el "#n!o >
V C= · V A→C=+,00×10+ [ &m C−]
−,00×10−* [C](*,40 [m ])
=−5,*×10B $
V
= · V A→ =+,00×10
+ [ &m C− ]−,00×10−* [ C]
(4,00 [ m]) =−+,00×10B $
A"licando el "rinci"io de conser/ación de la energ:a
1,00×10 8* CD (-5,*×10B $D) = X 1,00×10-B WgD v I 1,00×10 8* CD (-+,00×10B $D)v = ,*0 m's
FAC
FC
Q
r A C
r A
QA
FC
C
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1+
A#n#e el /alor de la 6#era res#l!an!e 2 la aceleración en el origen es cero, "or el /alor de la 6#era calc#la-do en el "#n!o C (0, 5) mD 2 el eco de #e "ase "or el origen, se "#ede ded#cir #e la aceleración !iene ladirección del e.e ? en sen!ido nega!i/o> i #n mó/il "ar!e del re"oso, 2 la aceleración !iene dirección cons-!an!e, el mo/imien!o ser3 rec!il:neo en la l:nea de la aceleración> Por lo !an!o la dirección de la /elocidad esla del e.e ? en sen!ido nega!i/o
v = -,*0 j m's
11. D' $arga )un%uale iguale de Y+ ZC e en$uen%ran en l' )un%' /J6 12 ( - /J6 =12 (. Cal$ula:a2 El 9e$%'r $a()' - el )'%en$ial ele$%r'%%i$' en el )un%' /=6 J2 (.b2 alla el %rabaj' ne$eari' )ara %raladar una $arga de Y ZC dede el in!ini%' al $i%ad' )un%'.Si en el )un%' /=6 J2 ( e aband'na una $arga de =+ ZC - (aa 1 g:$2 Cal$ula u 9el'$idad en el 'rigen de $''rdenada.DATO: K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. !t. "#Rta.: a) E = -B,4×10B i &'C; V = 1,14×104 $; b) W eE! = -W cam"o = 0,0B4 J; c) v = +,+ i m's
Datos Cifras significativas: 3
$alores de las cargas 6i.as Q = ,00 FC = ,00×10-* CPosiciones de las cargas 6i.as A (0, 1,00) m (0, -1,00) m
Posición del "#n!o C C (-B,00, 0) m$alor de la carga #e se !raslada desde el in6ini!o q1 = B,00 FC = B,00×10-* CCarga #e se des"laa as!a el origen q = -,00 FC = -,00×10-* CQasa de la carga #e se des"laa as!a el origen m = 1,00 g = 1,00×10-B Wg $elocidad inicial en el "#n!o C (se s#"one) vC = 0P#n!o "or el #e "asa la carga #e se des"laa (0, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
$ec!or cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C E CPo!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o C V Craba.o necesario "ara !rasladar B KC desde el in6ini!o al "#n!o C W C$elocidad #e !endr3 la carga de - KC al "asar "or el "#n!o vOtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
@e2 de Co#lomb (a"licada a dos cargas "#n!#ales se"aradas #na dis!ancia r ) F = K Q qr
ur
Princi"io de s#"er"osición F A=∑ F Airaba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada a#na dis!ancia r V = K Qr Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga en #n "#n!o A E PA = q V A9nerg:a cin%!ica E c = X m v
Solución:
a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores in-!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico 2 de la s#ma /ec!orial #e es elcam"o E C res#l!an!e>C3lc#lo de dis!ancias<
r AC= r C=√ (B,00 [m ])+(1,00 [ m])=B,1* m
9l /ec!or #ni!ario del "#n!o C uAC res"ec!o a A es<
E A)C
EC
A
(
*C
E()C
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 20
uAC=
r AC
| r AC|=
(−B,00 i −1,00 j) [m ]B,1* [m ]
=−0,+4+ i−0,B1* j
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C debido a la carga A es<
E A→C=
+,00×
10+
[ &m
C
−
]
×10−* [C ]
(B,1* [ m]) (−0,+4+ i
−0,B4B j
)=(−1,71
×10
B i 8 5,*+
×10
j
) &
/C
Por sime!r:a,
E C = (-1,71×10B i I 5,*+×10 j) &'C
A"licando el "rinci"io de s#"er"osición,
E C = E AC I E C = (-1,71×10B i 8 5,*+×10 j &D I (-1,71×10B i I 5,*+×10 j) &D = -B,4×10B i &'C
Análisis: (e ve que el campo resultante del cálculo es hori.ontal hacia la i.auierda! coherente con el dibuoque se hab+a hecho"
9l "o!encial en el "#n!o C debido a cada carga /ale lo mismo, "or#e la dis!ancia es la misma (es!3n si!#a-
das sim%!ricamen!e) 2 el /alor de la carga !ambi%n es el mismo>
V C=V A→C+V →C= · V A→C=+,00×10+ [ &m C−]
,00×10−* [C](B,1* [ m])
=1,14×104 $
b) 9l !raba.o realiado "or las 6#eras del cam"o elec!ros!3!ico c#ando se m#e/e #na carga q1 = IB FC desdeel in6ini!o as!a el "#n!o C es la dismin#ción de la energ:a "o!encial en!re los "#n!os 2 C> Como se !omael in6ini!o como origen de "o!encial, V = 0, 2
W C = q1 (V 8 V C) = B,00×10-* CD (0 8 1,14×104) $D = 80,0B4 J
9l !raba.o necesario "ara mo/er #na carga q = IB FC desde el in6ini!o as!a el "#n!o C, s#"oniendo #e lle-
g#e a C con la misma /elocidad #e !en:a en el in6ini!o, es
V = · V A→=+,00×10+ [ &m C−]
,00×10−* [C](1,00 [ m])
=B,*0×104 $
A"licando el "rinci"io de conser/ación de la energ:a-,00×10 8* CD (-1,14×104 $D) = (1,00×10-B WgD v) ' I (-,00×10 8* CD) (B,*0×104 $D)
v = +,+ m's
Como la /elocidad es #n /ec!or, a2 #e ded#cir la dirección 2 sen!ido>A#n#e el /alor de la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico res#l!an!e 2 la aceleración en el origen es cero, "orel /alor de la in!ensidad de cam"o calc#lado en el "#n!o C (-B, 0) mD 2 el eco de #e "ase "or el origen,se "#ede ded#cir #e la aceleración !iene la dirección del e.e & en sen!ido "osi!i/o> i #n mó/il "ar!e del re-
"oso, 2 la aceleración !iene dirección cons!an!e, el mo/imien!o ser3 rec!il:neo en la l:nea de la aceleración>Por lo !an!o la dirección de la /elocidad es la del e.e & en sen!ido "osi!i/o
v = +,+ i m's
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 21
1+. D' $arga )un%uale nega%i9a iguale6 de 1J= XC6 e en$uen%ran 'bre el eje de ab$ia6 e=)arada una di%an$ia de +J $(. A una di%an$ia de FJ $( 'bre la 9er%i$al #ue )aa )'r el )un%'(edi' de la l8nea #ue la une6 e $'l'$a una %er$era )ar%8$ula /)un%ual2 de Y1J = XC de $arga - 1 gde (aa6 ini$ial(en%e en re)''. Cal$ula:a2 El $a()' - )'%en$ial el5$%ri$' $read' )'r la d' )ri(era en la )'i$i*n ini$ial de la %er$era.b2 La 9el'$idad de la %er$era $arga al llegar al )un%' (edi' de la l8nea de uni*n en%re la d' )ri=
(era.1 XC 4 1J= C6 K 4 1J NW(+WC=+ /*l' e $'nidera la in%era$$i*n ele$%r'%%i$a2 (P.A.U. $%n. #Rta.: a) E = *7,+ &'C /er!ical acia el e.e de abscisas> V = -B5,B $; b) v = -0,017 j m's
Datos Cifras significativas: 3
$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (-0,100, 0) m QA = -1,00×10-B FC = -1,00×10-+ C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (0,100, 0) m> Q = -1,00×10-B FC = -1,00×10-+ C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (0, 0,500) m QC = 1,00×10-B FC = 1,00×10-+ CQasa de la "ar!:c#la #e se des"laa m = 1,00 g = 1,00×10-B Wg$elocidad inicial en el "#n!o C vC = 0P#n!o "or lo #e "asa (0, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
IncógnitasGn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C E CPo!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o C V C$elocidad #e !endr3 al "asar "or el "#n!o vOtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q
desde #n "#n!o A as!a o!ro "#n!o %
W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
V = K Q
r Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga en #n "#n!o A E PA = q V A
Solución:
a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores in!ensidad de cam"o elec!ros-!3!ico 2 de la s#ma /ec!orial #e es el /ec!or E C in!ensidad de cam"o res#l!an!e>C3lc#lo de dis!ancias<
r AC=r C=√ (0,100 [m ]) +(0,500 [ m ])
=0,510 m
9l /ec!or #ni!ario del "#n!o C, uAC res"ec!o a A es<
uAC
=
r AC
| r AC|=
(0,100 i +0,500 j ) [ m]0,510 [ m ]
=0,1+* i +0,+1 j
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de la en el "#n!o C es<
E A→C=+,00×10
+ [ &m C− ]−1,00×10−+ [C]
(0,510 [m ]) (0,1+* i +0,+1 j )=(−*,7+ i 0 BB,+ j ) & /C
Por sime!r:a,
E C = (*,7+ i 8 BB,+ j) &'C
A"licando el "rinci"io de s#"er"osición, E C = E AC I E C = (-*,7+ i 8 BB,+ j) &'CD I (*,7+ i 8 BB,+ j) &'CD = -*7,+ j &'C
EAC
EC
EC
C
A
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 22
Análisis: (e ve que la -uer.a resultante del cálculo es vertical hacia abao! coherente con el dibuo que sehab+a hecho"
9l "o!encial en el "#n!o C debido a cada carga /ale lo mismo, "or#e la dis!ancia es la misma (es!3n si!#a-das sim%!ricamen!e) 2 el /alor de la carga !ambi%n es el mismo>
V C= ·V A→C=+,00×10+ [ &m C−] −1,00×10−
+ [C](0,510 [ m])
=−B5,B $
b) Como la 6#era elec!ros!3!ica es #na 6#era conser/a!i/a, 2 es la Tnica #e a2 #e !ener en c#en!a (2 m#-c:simo m3s in!ensa #e la gra/i!a!oria), la energ:a mec3nica se conser/a>
( E c I E ")C = ( E c I E ")
X m vC I q · V C = X m v I q · V
9l "o!encial en el "#n!o /ale<
V = · V A→ =+,00×10+ [ &m C− ]
−1,00×10−+ [C]
(0,100 [ m ]) =−10 $
1,00×10 8+ CD (-B5,B $D) = X 1,00×10 -B WgD v I 1,00×10 8+ CD (-10 $D)
v = 0,017 m's
Como la /elocidad es #n /ec!or, a2 #e ded#cir la dirección 2 sen!ido>A#n#e el /alor de la 6#era res#l!an!e 2 la aceleración en el origen es cero, "or el /alor de la 6#era calc#la-do en el "#n!o C 2 el eco de #e "ase "or el origen, se "#ede ded#cir #e la aceleración !iene sido en ladirección del e.e ? 2 en sen!ido nega!i/o> i #n mó/il "ar!e del re"oso, 2 la aceleración !iene dirección cons-!an!e, el mo/imien!o ser3 rec!il:neo en la l:nea de la aceleración> Por lo !an!o la dirección de la /elocidad esla del e.e ? en sen!ido nega!i/o
v = -0,017 j m's
1. Tre $arga el5$%ri$a de Y1 ZC6 e%n en l' )un%' A/=16 J26 ?/J6 +2 - C/J6 =+2 /(e%r'2. Cal$ulaen D/J6 J2 - en 0/+6 J2:a2 El $a()' el5$%ri$'.b2 El )'%en$ial el5$%ri$'.$2 Si en D/J6 J2 e $'l'$a una %er$era $arga q [ de Y1 ZC - de 1J g de (aa6 '(e%ida *l' a la a$=
$i*n ele$%r'%%i$a de la '%ra %re6 $al$ula la 9el'$idad $'n la #ue llega al )un%' 0/+6 J2K 4 1J NW(+WC=+V 1 ZC 4 1J= C (P.A.U. $%n. "#Rta.: a) E = +,0×10B i &'C; E S= ,*×10B i &'C; b) V = 1,×104 $; V S=+,4×10B $; c) v = 1,B1m's
Datos Cifras significativas: 3
$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (-1,00, 0) m QA = 1,00 FC = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (0, ,00) m> Q = 1,00 FC = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (0, -,00) m QC = 1,00 FC = 1,00×10-* CQasa de la "ar!:c#la #e se des"laa m = 10,0 g = 1,00×10- WgCarga de la "ar!:c#la #e se des"laa q = 1,00 FC = 1,00×10-* C$elocidad inicial en el "#n!o v = 0P#n!o del #e sale (0, 0) mP#n!o a lo #e llega S(,00, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
Gn!ensidades del cam"o elec!ros!3!ico en los "#n!os (0, 0) 2 S(, 0) E , E SPo!enciales elec!ros!3!icos en los "#n!os 2 S V , V S
$elocidad #e !endr3 al "asar "or el "#n!o S vSOtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 rA
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 23
Ecuaciones
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada la #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iPo!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada
la #na dis!ancia r V = K
Q
r Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga q en #n "#n!o A E PA = q V A
Solución:
a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores in!ensidadde cam"o elec!ros!3!ico 2 de la s#ma /ec!orial #e es el /ec!or E in!en-sidad de cam"o res#l!an!e>@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debido a la carga de A en el "#n!o es<
E A→ =+,00×10+ [ &m C− ] 1,00×10−*
[C ](1,00 [ m]) i=+,00×10B
i & / C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debido a la carga de en el "#n!o es<
E → =+,00×10+ [ &m C− ]
1,00×10−* [C ]
(,00 [m ]) i= ,5×10B i & /C
Por sime!r:a,
E C = ,5×10B j &'C
A"licando el "rinci"io de s#"er"osición,
E = E A I E I E C = +,00×10B i &'C Análisis: (e ve que el vector intensidad de campo resultante del cálculo eshori.ontal hacia derecha! coherente con el dibuo que hicimos previamente"
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o S debido a la carga en Aes<
E A→ S=+,00×10+ [ &m C− ]
1,00×10−* [C ]
(B,00 [m ]) i =1,00×10B i & /C
Para calc#lar los cam"os debidos a las cargas en 2 en C, se ace an!es elc3lc#lo de dis!ancias<
r CS=r S=√ (,00 [m ])+(,00 [ m ])
=,B m
9l /ec!or #ni!ario del "#n!o S, uS res"ec!o a es<
uS=
r S
| r S|=
(,00 i −,00 j) [m ],B [ m ]
=0,707 i−0,707 j
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o S debido a la carga en es<
E →S=+,00×10+ [ &m C−]
1,00×10−* [ C]
(,B [ m]) (0,707 i −0,707 j )=(7+5 i 8 7+5 j) & / C
Por sime!r:a,
E CS = (7+5 i I 7+5 j) &'C
A li d l i i i d i ió
E A)*
E*
(
E()*
C
* A
EC)*
E A)F
EF
(
E()F
C
F A
EC)F
,
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 24
E S = E AS I E S I E CS = ,5+×10B i &'C
Análisis: (e ve que el vector intensidad de campo resultante del cálculo es hori.ontal hacia derecha! cohe1rente con el dibuo que hicimos previamente"
b) @os "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<
V C →=V → =+,00×10+ [ &m C− ]
1,00×10−* [ C](,00 [ m ])
=4,50×10B $
V A →=+,00×10
+ [ &m C−]1,00×10−* [C]
(1,00 [ m ]) =+,00×10B $
9l "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o es<
V = V A I V I V C = +,00×10B $D I 4,50×10B $D = 1,00×104 $
@os "o!enciales en el "#n!o S debidos a cada carga /alen<
V C → S=V →S=+,00×10+ [ &m C− ]
1,00×10−* [ C]
(,B [ m ])
=B,1×10B $
V A →S=+,00×10+ [ &m C−]
1,00×10−* [C](B,00 [ m])
=B,00×10B $
9l "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o S es<
V S = V AS I V S I V CS = B,00×10B $D I B,1×10B $D = +,B*×10B $
c) Como la 6#era elec!ros!3!ica es #na 6#era conser/a!i/a la energ:a mec3nica se conser/a>
( E c I E ")C = ( E c I E ")
X m vS I q · V S = X m v I q · V
@a /elocidad en el "#n!o S /ale<
(1,00×10- WgD ' ) vS I 1,00×10 8* CD +,B*×10B $D = 1,00×10 8* CD 1,00×104 $D
vS = 1,B1 m's
Como la /elocidad es #n /ec!or, !enemos #e ded#cir la dirección 2 sen!ido>Por la dirección 2 sen!ido del /ec!or in!ensidad de cam"o en los "#n!os 2 S, se "#ede ded#cir #e la acele-ración es!3 en la dirección del e.e Y 2 en sen!ido "osi!i/o> i #n mó/il "ar!e del re"oso, 2 la aceleración !ie-ne dirección cons!an!e, el mo/imien!o ser3 rec!il:neo en la l:nea de la aceleración> Por lo !an!o la direcciónde la /elocidad es la del e.e Y 2 el sen!ido "osi!i/o
vS = 1,B1 i m's
1. D' $arga el5$%ri$a de YK ZC e%n i%uada en A/J6 J6F2 - ?/J6 =J6F2 /en (e%r'2. Cal$ula:a2 El $a()' el5$%ri$' en C/16 J2 - en D/J6 J2b2 El )'%en$ial el5$%ri$' en C - en D.$2 Si una )ar%8$ula de (aa m 4 J6F g - $arga q 4 =1 ZC e i%&a en C $'n una 9el'$idad ini$ial de
1J (6 $al$ula la 9el'$idad en D.Da%': K 4 1J NW(+WC=+. N'%a: *l' in%er9ienen !uer"a el5$%ri$a. (P.A.U. !t. ")#Rta.: a) E C = 1,0B×105 i &'C; E = 0; b) V C = 1,+×105 $; V = ,×105 $ c) v = -1,00×10B i m's
Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (0, 0,500) m QA = ,00 FC = ,00×10-* C
$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (0, -0,500) m Q = ,00 FC = ,00×10
-*
CCoordenadas del "#n!o C r C = (1,00, 0,00) mCoordenadas del "#n!o r = (0,00, 0,00) m
4
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 2
Datos Cifras significativas: 3Carga de la "ar!:c#la #e se des"laa q = -1,00 FC = -1,00×10-* C$elocidad inicial en el "#n!o C vC = 1,00×10B m'sCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
Gn!ensidades del cam"o elec!ros!3!ico en los "#n!os C(1, 0) 2 (0, 0) E C, E Po!enciales elec!ros!3!icos en los "#n!os C 2 V C, V $elocidad #e !endr3 al "asar "or el "#n!o vOtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada la #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iPo!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adala #na dis!ancia r
V = K Q
r
Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga q en #n "#n!o A E PA = q V A
Solución:
a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!oresin!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico 2 de la s#ma /ec!orial #ees el /ec!or E in!ensidad de cam"o res#l!an!e>C3lc#lo de dis!ancias<
r AC=r C=√ (0,500 [m ]) +(1,00 [ m])=1,1 m
9l /ec!or #ni!ario del "#n!o C (1, 0), uAC res"ec!o al "#n!o A
es< uAC=
r AC
| r AC|=
(1,00 i−0,500 j ) [m ]1,1 [m ]
=0,+4 i−0,447 j
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debido a la carga de A en el "#n!o C es<
E A→C=+,00×10+ [ &m C− ]
,00×10−* [C ](1,1 [ m ])
(0,+4 i −0,447 j)=(5,15×104 i −,5×104 j ) & /C
Por sime!r:a, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debido a la carga de en el "#n!o C es<
E C = (5,15×104 i I ,5×104 j) &'C
A"licando el "rinci"io de s#"er"osición, el cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C es
E C = E AC I E C = 1,0B×105 i &'C
Análisis: (e ve que el vector intensidad de campo resultante del cálculo es hori.ontal hacia derecha! cohe1rente con el dibuo que hicimos previamente"
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) debido a la carga en A es<
E A→ =+,00×10+ [ &m C− ]
,00×10−* [C]
(0,500 [ m]) (− j )=−,×105 j & /C
Por sime!r:a, el cam"o en el "#n!o debido a la carga si!#ada en es
E = B,×105 j &'C
A"licando el "rinci"io de s#"er"osición,
E = E I E = 0 &'C
E A)C
EC
A
(
* C
E()C
A
E()*
(
* C
E A)*
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 26
Análisis: /omo las distancias y las car*as son i*uales! y están situadas sim)tricamente! la resultante tieneque ser nula"
b) @os "o!enciales en el "#n!o C debidos a cada carga /alen<
V A →C=V →C=+,00×10+
[ &m
C
−
]
,00×10−* [C]
(1,1 [m ]) =*,44×104
$
9l "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o C es la s#ma de ambos<
V C = V A C I V C = *,44×104 $D = 1,+×105 $
@os "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<
V A →=V →=+,00×10
+ [ &m C−],00×10−* [C]
(0,500 [m ]) =1,44×105 $
9l "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o es<
V = V A I V = 1,44×105 $D = ,×105 $
c) Como la 6#era elec!ros!3!ica es #na 6#era conser/a!i/a la energ:a mec3nica se conser/a>
( E c I E ")C = ( E c I E ")
X m vC I q · V C = X m v I q · V
9l "o!encial en el "#n!o /ale<
(5,00×10-4 WgD ' ) (1,00×10B m'sD) I (-1,00×10 8* CD) 1,+×105 $D == (5,00×10-4 WgD ' ) v I (-1,00×10 8* CD) ,×105 $D
v = 1,00×10B m's
Análisis: La velocidad es prácticamente la misma pero un poco mayor ya que la car*a ne*ativa es acelera1
da en sentido contrario al campo el)ctrico"Como la /elocidad es #n /ec!or, !enemos #e ded#cir la dirección 2 sen!ido>Por la dirección 2 sen!ido del /ec!or in!ensidad de cam"o en!re los "#n!os C 2 , se "#ede ded#cir #e laaceleración es!3 en la dirección del e.e Y 2 en sen!ido "osi!i/o (las cargas nega!i/as s#6ren #na 6#era desen!ido o"#es!o al cam"o)> @a Tnica "osibilidad de #e la carga #e sale del "#n!o C "ase "or el "#n!o es#e inicialmen!e se es!#/iese mo/iendo en el sen!ido nega!i/o del e.e Y> Por lo !an!o la dirección de la /elo-cidad es la del e.e Y 2 el sen!ido nega!i/o
v = -1,00×10B i m's
1F. D' $arga el5$%ri$a )un%uale de Y+ - =+ XC6 e%n i%uada en l' )un%' /+6 J2 - /=+6 J2 /en (e=
%r'2. Cal$ula:a2 Ca()' el5$%ri$' en /J6 J2 - en /J6 1J2b2 Trabaj' )ara %ran)'r%ar una $arga q B de 1 XC dede /16 J2 a /=16 J2Da%': K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. $%n. "#Rta.: a) E = -+×10B i &'C; E ' = -* i &'C; b) W eE! = -W cam"o = 0,04 J
Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (-,00, 0) m QA = -,00 FC = -,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (,00, 0) m> Q = ,00 FC = ,00×10-* CCarga de la "ar!:c#la #e se des"laa q = -1,00 FC = -1,00×10-*P#n!o "ara calc#lar la in!ensidad de cam"o el%c!rico (0, 0) mP#n!o C "ara calc#lar la in!ensidad de cam"o el%c!rico C (0, 10,00) m
P#n!o de "ar!ida N "ara calc#lar el !raba.o N (1,00, 0) mP#n!o de llegada "ara calc#lar el !raba.o (-1,00, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 2'
Datos Cifras significativas: 3Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en los "#n!os C 2 E C, E raba.o "ara lle/ar q desde N as!a W NOtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r
V = K Q
r Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
Solución:
a) Para el "#n!o (0, 0)@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de la en el "#n!o es<
E A→ =+,00×10+ [ &m C− ]
−,00×10−* [C]
(,00 [ m]) i=−4,50×10B i & /C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de en el "#n!o es la misma, "or lo #e la in!en-sidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o es, "or el "rinci"io de s#"er"osición<
E = E A = -+,00×10B i &'C
Para el "#n!o C (0, 10)C3lc#lo de dis!ancias<
r AC=r C=√ (,00 [m ])+(10,0 [m ])=10, m
9l /ec!or #ni!ario del "#n!o C, uAC res"ec!o al "#n!o A es<
uAC=
r AC
| r AC|=
(,00 i +10,0 j ) [ m ]10, [ m ]
=0,1+* i +0,+1 j
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de la en el "#n!o C es<
E A→ C=+,00×10+ [ &m C− ]
−,00×10−* [C]
(10, [ m]) (0,1+* i +0,+1 j)=(−BB,+ i 8 170 j) & / C
Por sime!r:a,
E C = (-BB,+ i I 170 j) &'CA"licando el "rinci"io de s#"er"osición,
E C = E AC I E C = (BB,+ i 8 170 j) &'CD I (BB,+ i I 170 j) &'CD = -*7,+ i &'C
Análisis: (e ve que la -uer.a resultante del cálculo es hori.ontal hacia la i.quierda! coherente con el dibuoque se hab+a hecho"
b) @os "o!enciales en el "#n!o N(1, 0) debidos a cada carga /alen<
V A →N=+,00×10+ [ &m C− ]
−,00×10−* [C](B,00 [ m ])
=−*,00×10B $
V →N=+,00×10
+ [ &m C−] ,00×10−*
[ C](1,00 [ m])
=1,0×10B $
EAC
EC
(I)
EC
C
A(-)
EA
E
(I)
E
A(-)
-
8/17/2019 electromag 1
28/291
Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 28
V N = V AN I V N = -*,00×10B $D I 1,0×10B $D = 1,0×10B $
@as dis!ancias r A = r = 1,00 m@os "o!enciales en el "#n!o (-1, 0) debidos a cada carga /alen<
V A →P=+,00×10+ [ &m C−]
−,00×10−* [C]
(1,00 [ m ])
=−1,0×10B $
V → P=+,00×10
+ [ &m C−],00×10−* [C]
(B,00 [ m ]) =*,00×10B $
9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o es<
V = V A I V = *,00×10B $D I -1,0×10B $D = -1,0×10B $
9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es<
W N = q (V N 8 V ) = -1,00×10-* CD (1,0×10B 8 (-1,0×10B) ) $D = -0,040 J
#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o #e a2 #e acer es<
W eE!erior = -W cam"o = 0,040 J
1. Dada d' $arga el5$%ri$a q 1 4 1JJ XC i%uada en A/=6 J2 - q + 4 =FJ XC i%uada en ?/6 J2 /la$''rdenada en (e%r'26 $al$ula:a2 El $a()' - el )'%en$ial en /J6 J2b2 El %rabaj' #ue 7a- #ue reali"ar )ara %raladar una $arga de =+ C dede el in!ini%' 7a%a /J6 J2Da%': 1 C 4 1J XC6 K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. $%n. )#Rta.: a) E = 1,5×105 i &'C; V = 1,5×105 $; b) W eE! = -W cam"o = 8B×105 J
Datos Cifras significativas: 3
$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (-B,00, 0) m QA = 100 FC = 1,00×10-4 C
$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (B,00, 0) m> Q = -50,0 FC = -5,00×10
-5
CCarga de la "ar!:c#la #e se des"laa q = -,00 CP#n!o C C (0, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C E CPo!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o C V Craba.o "ara lle/ar q desde as!a C W COtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-
!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r
V = K Q
r Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
Solución:
a) @a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de Aen el "#n!o C es<
E A→C=+,00×10+ [ &m C− ]
1,00×10−4 [ C]
(B 00 [m ]) i =1,00×105 i & /C
EAC
EC
(-50)
EC
CA(100)
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 2+
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de en el "#n!o C es la mi!ad, "or lo#e la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C es, "or el "rinci"io de s#"er"osición<
E C = 1,5 E AC = 1,50×105 i &'C
@os "o!enciales en el "#n!o C(0, 0) debidos a cada carga /alen<
V A →C=+,00×10
+ [ &m C−] 1,00×10−4
[ C](B,00 [ m ])
=B,00×105 $
V →C=+,00×10
+ [ &m C− ]−5,00×10−4 [ C]
(B,00 [m ]) =−1,50×105 $
9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o C es<
V C = V AC I V C = B,00×105 $D I (-1,50×105 $D) = 1,50×105 $
9l "o!encial elec!ros!3!ico en el in6ini!o es 0 "or de6inición>
V = 0
9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es
W C = q (V 8 V C) = -,00 CD (0 8 1,50×105) $D = B,00×105 J
#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o #e a2 #e acer es<
W eE!erior = -W cam"o = -B,00×105 J
1. Tre $arga )un%uale de + XC e i%&an re)e$%i9a(en%e en A/J6 J26 ?/16 J2 - C/1+6 \+2. Cal$u=la:a2 El $a()' el5$%ri$' en l' )un%' D /1+6 J2 - 0 /1+6 1/+\22b2 El %rabaj' )ara %raladar una $arga q B4 1 XC de D a 0.$2 C'n e%e %rabaj'6 Pau(en%a ' di(inu-e la energ8a ele$%r'%%i$a del i%e(aQ
/La $''rdenada en (e%r'6 K 4 1J
NW(+
WC=+
V 1 XC 4 1J=
C2 (P.A.U. $%n. +#Rta.: a) E = -,40×104 j &'C; E S = 0; b) W S (eE!erior) = 8 W S (cam"o) = 7×10-84 J
Datos Cifras significativas: 3
$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (0, 0) m QA = ,00 FC = ,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (1, 0) m> Q = ,00 FC = ,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (1', ZB') m> QC = ,00 FC = ,00×10-* CCarga de la "ar!:c#la #e se des"laa q = 1,00 FC = 1,00×10-* CP#n!o (1', 0) mP#n!o S S (1', 1'(ZB)) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o E Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o S E Sraba.o "ara lle/ar q desde as!a S W SOtros símbolos
is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n
"#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )
Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r V = K Qr Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i
EAC
EC
(I)
EC
C
A(-)
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 30
Solución:
a) @a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de A en el "#n!o es<
E A→ =+,00×10+ [ &m C− ]
,00×10−* [C]
(0,500 [ m]) i=7,0×104 i & / C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de en el "#n!o es o"#es!a,
E = -7,0×104 i &'C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de C en el "#n!o es<
E C→ =+,00×10+ [ &m C− ]
,00×10−* [C]
(√ B / [m ])
(− j )=−,40×104 j & /C
"or lo #e la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o es, "or el "rinci"io de s#"er"osición<
E = E C = -,40×104
j &'C@as dis!ancias de los "#n!os A, 2 C al "#n!o S /alen !odas lo mismo,
r S= r AS=√(1
[ m])
+( 1 √ B [ m ])
=0,577 m
r CS=√(
1
[ m]−
1
[ m ])
+( 1√ B [ m ]−√ B
[ m ])
=0,577 m
"or lo #e los mód#los de los /ec!ores cam"o creados en S "or las cargas(ig#ales) si!#adas en los "#n!os A, 2 C son ig#ales> Al es!ar si!#ados sim%!ricamen!e, s# res#l!an!e es n#la>
E A→S=+,00×10+ [ &m C−] ,00×10−
* [C](0,577 [ m ])
0,500
i +0,+
j0,577
=(4,*×104 i +,70×104 i ) & /C
Por sime!r:a
E S = 84,*×104 i I ,70×104 j &'C
E C→ S=+,00×10+ [ &mC−]
,00×10−* [C]
(0,577 [m ]) (− j)=−5,40×104 j & / C
9l cam"o res#l!an!e en el "#n!o S, "or el "rinci"io de s#"er"osición es<
E S = E AS I E S I E CS = (4,*×104 i I ,70×104 j) I (84,*×104 i I ,70×104 j) 8 5,40×104 j = 0
b) @os "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<
V A →=V → =+,00×10+ [ &m C−]
,00×10−* [C](0,500 [ m])
=B,*0×104 $
V C→ =+,00×10+ [ &m C−]
,00×10−* [ C](√ B/ [ m ])
=,0×104 $
9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o es<
V = V A I V I V C = B,*0×104 $D I ,0×104 $D = +,×104 $
@os "o!enciales en el "#n!o S debidos a cada carga /alen<
V A →S=V →S=V C→S=+,00×10+ [ &m C−]
,00×10−* [ C](0,577 [m ])
=B,1×104 $
Q(
Q A
E()F
FE
A)F
EC)F
QC
Q(
Q A E
()*
*
E A)*
EC)*
QC
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 31
V S = V AS I V S I V CS = B B,1×104 $D = +,B5×104 $
9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es
W S = q (V 8 V S) = 1,00×10-* CD (+,×104 8 +,B5×104) $D = 87×10 84 J
Análisis: Al restar dos potenciales tan pró2imos! se pierden ci-ras si*ni-icativas"
#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o #e a2 #e acer es<
W eE!erior = -W cam"o = 7×10 84 J
c) 9n #n cam"o conser/a!i/o, el !raba.o de las 6#eras del cam"o es ig#al 2 de sen!ido con!rario a la /aria-ción de la energ:a "o!encial>
W A = 8 3E " 4 q 5V A 8 V )
Como el !raba.o de las 6#eras del cam"o elec!ros!3!ico es nega!i/o, la energ:a "o!encial del sis!ema a#men-!a>
1K. Una $arga )un%ual Q $rea un $a()' ele$%r'%%i$'. Al %raladar '%ra $arga q B dede un )un%' A alin!ini%' e reali"a un %rabaj' de 1J - i e %ralada dede al in!ini%' a ? el %rabaj' e de =+J :a2 P Q [ 0>10 JD = -qR V A V A = 10 JD ' ,0 CD = 5,0 $
9l "o!encial es in/ersamen!e "ro"orcional a la dis!ancia, el "#n!o es!3 m3s "róEimo a la carga Q #e el A>V A \ V r A [ r
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 32
1. Dada %re $arga )un%uale q 1 4 1J XC en /=K6 J2 (6 q + 4 1J XC en /K6 J2 ( - q 4 +1J= XC en/J6 K2 (. Cal$ula:a2 El $a()' - el )'%en$ial el5$%ri$' en /J6 J2b2 La energ8a ele$%r'%%i$a.$2 u%i!i$a #ue el $a()' ele$%r'%%i$' e $'ner9a%i9'.Da%': 1 XC 4 1J CV K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. !t. +#
Rta.: a) E = 0, i 8 0, j &'C; V 0 = ,5 $; b) E = -5,*B×10-10 J
Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o 1< (-,00, 0) m q1 = 10-B FC = 1,00×10-+ C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (I,00, 0) m q = -10-B FC = -1,00×10-+ C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o B< (0, ,00) m qB = ×10-B FC = ,00×10-+ CP#n!o 4 donde a2 #e calc#lar el cam"o 2 "o!encial (0, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-
Incógnitas
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) E 4Po!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) V 49nerg:a elec!ros!3!ica E Otros símbolosis!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A
Ecuaciones
Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r
E = K Q
r
ur
Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iPo!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r V = K
Qr
Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na in!eracción en!re dos cargas Q 2 q si-!#adas a #na dis!ancia r #na de la o!ra> E "=q · V = K
Q q
r
9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #n con.#n!o de cargas E " = H E " i = XH E "
Solución:
a) @a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de 1 en el "#n!o 4 es<
E 1→4=+,00×10+ [ &mC−]
1,00×10−+ [ C]
(,00 [m ]) i =0,141 i & /C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga en el "#n!o 4 es la misma,
E 4 = 0,141 i &'C
@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga B en el "#n!o 4 es<
E B→4=+,00×10+ [ &mC−]
,00×10−+ [C]
(,00 [ m]) (− j)=−0, j & /C
"or lo #e la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o 4 es, "or el "rinci"io de s#"er"osición<
E 4 = E 14 I E 4 I E B4 = 0, i 8 0, j &'C
c#2o mód#lo /ale<
|⃗ E 4|=√ ((0, [ & / C])+(0, [ & /C ]) )=0,B+ & / C
@os "o!enciales en el "#n!o 4 debidos a cada carga /alen<9l "o!encial elec!ros!3!ico debido a la carga 1<
V 1→ 4=+,00×10+ [ &m C− ]
1,00×10−+ [ C](,00 [ m ])
=1,1B $
-
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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 33
9l "o!encial elec!ros!3!ico debido a la carga es o"#es!o, 2a #e la carga /ale lo mismo #e la carga 1 "ero es nega!i/a 2 se enc#en!ra a la misma dis!ancia<
V 4 = -1,1B $
9l "o!encial elec!ros!3!ico debido a la carga B es el doble #e el de la carga 1, 2a #e la carga B /ale el doble2 se enc#en!ra a la misma dis!ancia<
V B4 = ,5 $
9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o 4 es<
V 4 = V 14 I V 4 I V B4 = 1,1B $ 8 1,1B $ I ,5 $ = ,5 $
b) @a energ:a "o!encial de cada in!eracción en!re dos cargas /iene dada "or la eE"resión<
E " i= K Q · q
r
2 la energ:a !o!al elec!ros!3!ica es la s#ma de las energ:as de las !res in!eracciones< 1]; ]B 2 1]B>
E 1↔
=+,00×10+ [ &m C− ] 1,00×10−+ [ C] (−1,00×10−+) [ C]
1*,00 [ m] =−5,*B×10−10 J
E ↔B
=+,00×10+ [ &m C− ](−1,00×10−+) [C],00×10−+ [ C]
√ (,00 [ m ])+(,00 [ m ])
=−15,+×10−10 J
E 1↔B
=+,00×10+ [ &m C−]1,00×10−+ [C] ,00×10−+ [ C]
√ (,00 [m ])+(,00 [m ])
=15,+×10−10 J
E = E 1] I E ]B I E 1]B = -5,*B×10-10 J
Análisis: (i se calculase la ener*+a total como la suma de las ener*+as potenciales de las tres car*as! el re1 sultado dar+a el doble! porque se estar+an contando las interacciones dos veces" 9or eemplo la interacción ; < aparece en el cálculo de la ener*+a potencial del la car*a y tambi)n en el cálculo de la ener*+a po1tencial de la car*a 9n es!e caso se "#ede de6inir #na 6#nción escalar llamada "o!encial V asociada al cam"o de 6#eras/ec!orial de modo #e el !raba.o en!re esos "#n!os es ig#al a /ariación de la energ:a "o!encial en!re esos dos
"#n!os> Como el "o!encial elec!ros!3!ico es ig#al a la energ:a "o!encial de la #nidad de carga>
W A = - 3E " = -q 3V = q (V A 8 V )
+J. Una $arga q de + (C e% !ija en el )un%' A /J6 J26 #ue e el $en%r' de un %ringul' e#uil%er' delad' \ (. Tre $arga iguale Q e%n en l' 95r%i$e - la di%an$ia de $ada $arga Q a A e (.El $'njun%' e% en e#uilibri' ele$%r'%%i$'.
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