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5
Einführung
betrachten als Beispiel (Fredholm1sche) Integralgleichung (zweiter Art),
f(s)−∫ 1
0
k(s, t)f(t) dt = g(s), s ∈ [0, 1], (1)
mit g : [0, 1] → R, k : [0, 1]× [0, 1] → R stetig; suchen f : [0, 1] → R stetig als Lösung 99K können (1) alsSystem unendlich vieler Gleichungen (für jedes s ∈ [0, 1]) mit unendlich vielen Unbekannten f(s) auffassen, diestetig ‘zusammengehören’ 99K formalisieren, um prinzipielle Ideen linearer Algebra (zum Lösen endlich vielerGleichungssysteme) auszunutzen; dazu
Kf(s) :=
∫ 1
0
k(s, t)f(t) dt, s ∈ [0, 1],
wobei K : C[0, 1]→ C[0, 1], f 7→ Kf , linear,
(1) ⇐⇒ f(s)−Kf(s) = g(s), s ∈ [0, 1],
bzw. als Funktionen betrachtet
⇐⇒ f −Kf = g ⇐⇒ ( id−K)︸ ︷︷ ︸A
f = g ⇐⇒ Af = g
und A : C[0, 1]→ C[0, 1], f 7→ Af = ( id−K)f , linear
in der linearen Algebra für n× n Matrizen A: Ax = y genau dann eindeutig lösbar, wenn detA 6= 099K Ersatz für n→∞? 99K Fredholmsche Alternative, Bedingungen an K und Grundraum C[0, 1]
1 Banachräume
1.1 Grundbegriffe
1.1.1 Normierte Vektorräume und metrische Räume
sei X Vektorraum über K, Skalare K =
R ; reeller Vektorraum
C ; komplexer Vektorraum
• x1, . . . , xn ⊂ X linear unabhängig ⇐⇒ ∀ λi ∈ K :n∑
i=1
λixi = 0 =⇒ λ1 = · · · = λn = 0;
sonst: x1, . . . , xn ⊂ X linear abhängig
M ⊂ X linear unabhängig ⇐⇒ Jede endliche Teilmenge von M ist linear unabhängig.
• x ∈ X Linearkombination von x1, . . . , xn ⊂ X ⇐⇒ ∃ λ1, . . . , λn ∈ K : x =n∑
i=1
λixi
Menge aller Linearkombinationen von x1, . . . , xn: lineare Hülle,
span x1, . . . , xn =
n∑
i=1
λixi : λi ∈ K
Unterraum von X
für beliebiges M ⊂ X, M 6= ∅, setzt man
spanM =
x ∈ X : ∃ k ∈ N ∃ λj ∈ K, xj ∈M : x =
k∑
j=1
λjxj
“von M erzeugter Teilraum”
1Erik Ivar Fredholm (∗ 7.4.1866 Stockholm † 17.8.1927 Stockholm)
6 1 Banachräume
• U Unterraum von X, x1, . . . , xk ∈ U , k ∈ Nx1, . . . , xk heißt Basis von U ⇐⇒ x1, . . . , xk ⊂ X linear unabhängig und U = span x1, . . . , xkAnzahl der Elemente einer Basis von U : Dimension von U , dimU = k = #x1, . . . , xkdimU =∞ ⇐⇒ ∀ n ∈ N ∃ n linear unabhängige Elemente in U
Bemerkung : • spanM =⋂U Teilraum von X : U ⊃M ‘kleinster Teilraum, der M enthält’
• dimU = n ⇐⇒ Es existieren n linear unabhängige Elemente in M , aber n + 1Elemente aus M sind stets linear abhängig.
• Ist x1, . . . , xn Basis von U ⊂ X, so lässt sich jeder Vektor x ∈ U in eindeutiger Weiseals Linearkombination der xi, i = 1, . . . , n, schreiben, d.h. jedes x ∈ U besitzt eineDarstellung
x = λ1x1 + · · ·+ λnxn
für eindeutig bestimmte Zahlen λ1, . . . , λn ∈ K.
Beispiel : Für C[a, b] = f : [a, b] → K stetig, [a, b] ⊂ R, gilt dimC[a, b] = ∞: betrachten1, x, . . . , xn y linear unabhängig für alle n ∈ N
Definition 1.1 Es sei X ein Vektorraum über K und
‖ · ‖ : x ∈ X 7−→ ‖x‖ ∈ R+ = [0,∞)
eine Abbildung von X nach R+ mit folgenden Eigenschaften :
(i) ‖x‖ ≥ 0 für alle x ∈ X, ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0
(ii) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ für alle λ ∈ K, x ∈ X
(iii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ für alle x, y ∈ X
Dann heißen [X, ‖ · ‖] normierter Raum und ‖ · ‖ Norm.
Beispiele : • Rn und Cn mit
‖x‖1 =n∑
k=1
|xk|, ‖x‖2 =( n∑
k=1
|xk|2)1/2
, ‖x‖∞ = maxk=1,...,n
|xk| für x = (x1, . . . , xn)
• C[a, b] mit ‖f‖∞ = supx∈[a,b]
|f(x)| = maxx∈[a,b]
|f(x)|
• ℓp(N), p = 1, 2,∞, mit
ℓ1(N) =
a = (aj)
∞j=1 ⊂ K,
∞∑
j=1
|aj | <∞
, ‖a‖1 =
∞∑
j=1
|aj |,
ℓ2(N) =
a = (aj)
∞j=1 ⊂ K,
∞∑
j=1
|aj |2 <∞
, ‖a‖2 =
∞∑
j=1
|aj |2
1/2
,
und
ℓ∞(N) =
a = (aj)
∞j=1 ⊂ K, sup
j∈N
|aj | <∞, ‖a‖∞ = sup
j∈N
|aj |
Es gelten: dim ℓ1(N) = dim ℓ2(N) = dim ℓ∞(N) =∞
1.1 Grundbegriffe 7
Übung I-1 : Zeigen Sie, dass ‖ · ‖p auf ℓp(N) für p ∈ 1, 2,∞ eine Norm definiert.
Bemerkung : A ⊂ X beschränkt ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ a ∈ A : ‖a‖ ≤ c
Übung I-2 : Man kann auf C[a, b] auch die Normen ‖f‖p =( b∫
a
|f(x)|p dx) 1
p
, 1 ≤ p <∞, betrachten.
• Für 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ gibt es ein c = c(p, q) > 0, so dass für alle f ∈ C[a, b] gilt‖f‖p ≤ c ‖f‖q; die Umkehrung ist falsch.
• Für f ∈ C[a, b] ist ‖f‖∞ = limp→∞
‖f‖p.
Wiederholung: metrischer Raum
M 6= ∅ beliebig, d : M ×M −→ R+ Metrik, falls für alle x, y, z ∈M gilt
• d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
• d(x, y) = d(y, x)
• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
Bemerkung : • Mit d(x, y) = ‖x− y‖ wird jeder normierte Raum zu einem metrischen Raum.
• Eine ‘Grundmenge’ M kann mit verschiedenen Metriken ausgestattet sein.
• Rn , d2 = ‖x− y‖2 . . . euklidische Metrik
Grundbegriffe im metrischen Raum
• Kε(a) = K(a, ε) := b ∈M : d(a, b) < ε offene ε-Kugel um a ∈M , ε > 0
• a ∈M innerer Punkt von A ⇐⇒ ∃ ε > 0 : K(a, ε) ⊂ A, A . . . Menge der inneren Punkte von A
• a ∈M Berührungspunkt von A ⇐⇒ ∀ ε > 0 : K(a, ε) ∩ A 6= ∅a ∈M isolierter Punkt zu A ⇐⇒ ∃ ε > 0 : K(a, ε) ∩ A = aa ∈M Häufungspunkt von A ⇐⇒ ∀ ε > 0 : #K(a, ε) ∩ A =∞A = A ∪ a ∈M : a Häufungspunkt zu A . . . Abschluss von A
• a ∈M Randpunkt von A ⇐⇒ ∀ ε > 0 : K(a, ε) ∩ A 6= ∅ und K(a, ε) ∩ (M \A) 6= ∅∂A . . . Menge der Randpunkte von A
• A offen ⇐⇒ A = A; A abgeschlossen ⇐⇒ M \A offen ⇐⇒ A = A
Bemerkung : A =⋂B ⊃ A : B abgeschlossen, A =
⋃B ⊂ A : B offen, A = A ∪ ∂A,∂A = A \ A
• (xn)∞n=1 ⊂M konvergent ⇐⇒ ∃ x0 ∈M ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0(ε) : d
(xn, x
0)< ε
• (xn)∞n=1 ⊂ M Cauchy2-Folge (Fundamentalfolge) ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n,m ≥ n0(ε) :
d (xn, xm) < ε
Definition 1.2 Sei[X, ‖ · ‖
]ein normierter Raum.
(i) Eine Folge (xn)∞n=1 ⊂ X heißt konvergent ⇐⇒ ∃ x0 ∈ X ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0(ε) : ‖xn−x0‖ < ε.
(ii) Eine Folge (xn)∞n=1 ⊂ X heißt Cauchy-Folge (Fundamentalfolge) ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n,m ≥
n0(ε) : ‖xn − xm‖ < ε.
2Augustin Louis Cauchy (∗ 21.8.1789 Paris † 23.5.1857 Paris)
8 1 Banachräume
Bemerkung : x0 ∈ X heißt Grenzwert/Limes von (xn)n, man schreibt z.B. limn→∞
xn = x0, oder xn −−−−→n→∞
x0, oder xn −→ x0 für n→∞, bzw. xnin X−−−−→n→∞
x0
Lemma 1.3 Sei [X, ‖ · ‖] ein normierter Raum.
(i) Jede konvergente Folge (xn)∞n=1 ⊂ X ist eine Cauchy-Folge.
(ii) Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.
(iii) Aus xn −−−−→n→∞
x0 folgt ‖xn‖ −−−−→n→∞
‖x0‖ (Stetigkeit der Norm).
Be w e i s : Wiederholung/Übung
Definition 1.4
(i) Ein metrischer Raum[M,d
]heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in
[M,d
]konvergiert.
(ii) Ein normierter Raum[X, ‖ · ‖
]heißt vollständig , wenn der (zugehörige) metrische Raum
[X, d
]mit
d(x, y) = ‖x− y‖ ein vollständiger metrischer Raum ist.
(iii) Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach3-Raum.
Beispiele : • Rn, Cn mit ‖ · ‖1, ‖ · ‖2, ‖ · ‖∞ vollständig
• Q, Qn mit ‖ · ‖1, ‖ · ‖2, ‖ · ‖∞ nicht vollständig
• C[a, b] mit ‖ · ‖∞ vollständig
• C[a, b] mit ‖ · ‖1 nicht vollständig, z.B. [a, b] = [0, 1], ‖f‖1 =∫ 1
0
|f(t)| dt
betrachten fn(x) = xn ∈ C[0, 1], n ∈ N; sei n > m
y ‖fn − fm‖1 =
∫ 1
0
(xm − xn) dx ≤ 1
m+ 1−−−−→m→∞
0
y Cauchy-Folge
fn(x) −−−−→n→∞
0 , 0 ≤ x < 11 , x = 1
= f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y ‖fn − f‖1 =
∫ 1
0
xn dx =1
n+ 1−−−−→n→∞
0, aber f 6∈ C[0, 1]
• P = p : [a, b] → K, p Polynom ⊂ C[a, b] . . . (algebraische) Polynome, Teilraum vonC[a, b]
P mit ‖ · ‖∞ nicht vollständig: betrachten pm(x) =
m∑
k=0
xk
k!∈ P , (pm)∞m=0 Cauchy-Folge,
pmin C[a, b]−−−−−−→m→∞
f ∈ C[a, b], f(x) = exp(x) = ex 6∈ P
Bemerkung : • Nicht jeder normierte Raum ist vollständig.
• Vollständigkeit kann von gewählter Norm abhängen.
• Unterräume vollständiger Räume müssen nicht vollständig sein.
3Stefan Banach (∗ 30.3.1892 Kraków † 31.8.1945 Lvov)
1.1 Grundbegriffe 9
Satz 1.5 Sei [X, ‖ · ‖] ein normierter Vektorraum. Dann ist X vollständig genau dann, wenn für alle Folgen
(xk)k ⊂ X mit∞∑
k=1
‖xk‖ <∞ gilt, dass x = limm→∞
m∑
k=1
xk =
∞∑
k=1
xk ∈ X.
Übung I-3 : Beweisen Sie Satz 1.5.
Satz 1.6 Sei A 6= ∅. Dann ist der Raum der beschränkten Funktionen,
B(A) = f : A→ K : ‖f‖∞ = supx∈A|f(x)| <∞
ein Banachraum.
Be w e i s : verwenden Satz 1.5: sei (fk)k ⊂ B(A) Folge mit∞∑
k=1
‖fk‖∞ < ∞; z.z.: f =
∞∑
k=1
fk ∈ B(A),
d.h.
supx∈A
∣∣∣∞∑
k=1
fk(x)∣∣∣ <∞
Sei x ∈ A ==⇒Vor.
∀ ε > 0 ∃ m > n > n0:
∣∣∣∣∣
m∑
k=n
fk(x)
∣∣∣∣∣ ≤m∑
k=n
‖fk‖∞ < ε
y
(m∑
k=1
fk(x)
)
m
Cauchy-Folge in K =======⇒K vollständig
∃ ax ∈ K : ax =
∞∑
k=1
fk(x), setzen f(x) := ax, x ∈ A
y f : A→ K, |f(x)| ≤∞∑
k=1
‖fk‖∞ <∞ für alle x ∈ A ==⇒sup
‖f‖∞ <∞ ⇐⇒ f ∈ B(A)
Folgerung 1.7 Die Räume ℓ1(N), ℓ2(N) und ℓ∞(N) sind vollständig.
Be w e i s : Aussage zu ℓ∞(N) folgt aus Satz 1.6; hier ℓ1(N); ℓ2(N) analog (als Übung);
sei (an)n ⊂ ℓ1(N) Cauchy-Folge
y ∀ ε > 0 ∃ n0 ∀ m > n ≥ n0 : ‖am − an‖1 =
∞∑
k=1
|amk − ank | < ε (2)
y ∀ k ∈ N :(ank)n
Cauchyfolge in K =======⇒K vollständig
∀ k ∈ N ∃ bk = limn→∞
ank ; setzen b = (bk)k∈N
g.z.z.: (an)n −−−−→n→∞
b in ℓ1(N)
sei j ∈ N, (2) yj∑
k=1
|amk − ank | < ε für m > n ≥ n0 ====⇒m → ∞
j∑
k=1
|ank − bk| < 2ε für n ≥ n0
====⇒j → ∞
∞∑
k=1
|ank−bk| ≤ 2ε für n ≥ n0 y∞∑
k=1
|bk| ≤∞∑
k=1
|ank−bk|+∞∑
k=1
|ank | ≤ 2ε+‖an‖1 <∞ y b ∈ ℓ1(N),
(an)n −−−−→n→∞
b in ℓ1(N)
10 1 Banachräume
Übung I-4 : Zeigen Sie, dass die folgenden normierten Räume nicht vollständig sind:
• ℓp(N), 1 ≤ p <∞, mit ‖ · ‖∞,
• C[a, b] mit ‖·‖p, 1 ≤ p <∞,
• C1[a, b] = f : [a, b]→ K : f (m) ∈ C[a, b],m = 0, 1 mit ‖f‖∞ = supx∈[a,b]
|f(x)|,
• ℓ1(N) mit der Norm ‖a‖ = supn∈N
∣∣∣n∑
k=1
ak
∣∣∣.
Definition 1.8 Sei [X, ‖ · ‖] ein normierter Vektorraum.
(i) M ⊂ X heißt dicht (in X) ⇐⇒ ∀ x ∈ X ∃ (xj)j ⊂M : xjin X−−−→j→∞
x
(ii) X heißt separabel genau dann, wenn eine abzählbare dichte Teilmenge in X existiert.
Bemerkung : • Q dicht in R, Qn dicht in Rn
• analoge Definition gilt allgemeiner für metrische Räume: A ⊂M dicht ⇐⇒ ∀ x ∈M ∀ ε > 0 ∃ xε ∈ A : d(x, xε) < ε, d.h. xε ∈ K(x, ε)
Beispiel : ℓ1(N) ist separabel (analog: ℓ2(N) separabel):
betrachten c00(N) = a = (aj)j ⊂ K : ∃ m ∈ N ∀ n > m : an = 0 y dicht in ℓ1(N):
a ∈ ℓ1(N) y∞∑
k=m
|ak| < ε, m ≥ m0 y ∃ a0 = (a1, . . . , am0 , 0, . . . ) ∈ c00(N) : ‖a− a0‖1 < ε;
zudem ist jedes a ∈ c00(N) durch Folgen aus cQ00(N) = a ∈ c00(N) : an ∈ Q approximierbar, undcQ00(N) abzählbar
Übung I-5 : Zeigen Sie, dass ℓ∞(N) nicht separabel ist.
Bemerkung : • Teilraum U heißt abgeschlossen ⇐⇒ [U, ‖ · ‖] vollständig
• U dicht in X ⇐⇒ U = X
Beispiele : (a) U1 = x ∈ Rn : xn = 0 ⊂ Rn Hyperebene; abgeschlossen
U2 = x ∈ R2 : a1x1 + a2x2 = 0 ⊂ R2, (a1, a2) 6= 0 Gerade durch Ursprung;abgeschlossen
U3 = x ∈ R3 : a1x1+a2x2+a3x3 = 0 ⊂ R3, (a1, a2, a3) 6= 0 Ebene durch Ursprung;abgeschlossen
(b) c0(N) = a ∈ ℓ∞(N) : limj→∞
aj = 0 ⊂ ℓ∞(N) Nullfolgen; abgeschlossener Teilraum,
denn: sei (an)n ⊂ c0(N) ⊂ ℓ∞(N) mit an −−−−→n→∞
a ∈ ℓ∞(N); z.z.: a ∈ c0(N), d.h.
limj→∞
aj = 0; sei ε > 0
y |aj | ≤ |aj − anj |+ |anj | ≤ ‖a− an‖∞︸ ︷︷ ︸<ε, n>n0(ε)
+|anj | < ε+ |anj |︸︷︷︸<ε, j>j0(ε,n)
< 2ε, j ≥ j0
analog zur Argumentation für ℓ1(N) y c0(N) separabel
(c) c00(N) = a ∈ ℓ∞(N) : ∃ j0 ∀ j ≥ j0 : aj = 0 ⊂ ℓ∞(N) Teilraum, nicht abgeschlossen;Es gilt: c00(N) = c0(N) ( ℓ∞(N);
klar: c00(N) ⊆ c0(N) y c00(N) ⊆ c0(N) =(b)
c0(N); n.z.z.: c0(N) ⊆ c00(N)
1.1 Grundbegriffe 11
Beispiele : sei a ∈ c0(N) ==⇒Def.
limj→∞
aj = 0 ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ j0 ∀ j ≥ j0 : |aj | < ε; setzen
bj = (a1, . . . , aj, 0, . . . , 0) y bj ∈ c00(N), ‖a− bj‖∞ = supk∈N
|ak − bjk| = supk>j|ak| < ε, j ≥ j0
1.1.2 Vervollständigung
sei [X, ‖ · ‖] normierter Vektorraum, U ⊂ X Teilraum
Frage: Kann man für jeden beliebigen Teilraum U eines Banachraumes X, bzw. sogar für jeden normiertenVektorraum Y eine ‘Vervollständigung’ finden, d.h. einen Banachraum W mit Y = W?
Definition 1.9 Seien [X, ‖·‖X] und [Y, ‖·‖Y] normierte Vektorräume. X und Y heißen isometrisch-isomorphgenau dann, wenn eine lineare Abbildung L : X→ Y existiert, für die gilt
(i) ‖Lx‖Y = ‖x‖X für alle x ∈ X
(ii) L surjektiv, L(X) = Y.
Die Abbildung L heißt isometrischer Isomorphismus.
Bemerkung : L : X→ Y linear, surjektiv, isometrisch y L−1 : Y→ X existiert, isometr. Isomorphismus
Satz 1.10 (i) Jeden normierten Vektorraum kann man isometrisch-isomorph auf eine dichte Teilmengeeines geeigneten Banachraumes abbilden.
(ii) Sämtliche Banachräume mit dieser Eigenschaft sind untereinander isometrisch-isomorph.
Be w e i s : 1. Schritt: zu (i); sei [X, ‖ · ‖X] normierter Vektorraum; konstruieren Banachraum [Y, ‖ · ‖Y] undIsomorphismus L : X→ L(X) ⊆ Y mit L(X) = Y
führen auf der Menge aller Cauchyfolgen (xn)n in X Äquivalenzrelation ein:
(xn)n ∼X (zn)n ⇐⇒ (xn − zn)n ∈ c0(X,N) Nullfolge, d.h. limn→∞
‖xn − zn‖X = 0
betrachten für Cauchy-Folge x = (xn)n deren Äquivalenzklasse
[x]X = (zn)n Cauchy-Folge in X : (xn)n ∼X (zn)n
setzen Y = [x]X : (xn)n Cauchy-Folge in X; linearer Vektorraum:
• [0]X = (zn)n ⊂ X : limn→∞
zn = 0 = c0(X,N)
• x = (xn)n, y = (yn)n Cauchy-Folgen, λ, µ ∈ K y λ[x]X + µ[y]X = [λx+ µy]X
Unabhängigkeit von der Auswahl der Repräsentanten: seien (ξn)n ∈ [x]X, (ηn)n ∈ [y]X
y λξn + µηn = λxn + λ (ξn − xn)︸ ︷︷ ︸−−−−→n→∞
0
+µyn + µ (ηn − yn)︸ ︷︷ ︸−−−−→n→∞
0
∼X λxn + µyn
führen nun Norm ein auf Y: sei [x]X ∈ Y, setzen∥∥[x]X
∥∥Y= lim
n→∞‖xn‖X
• existiert nach Lemma 1.3(iii), da (‖xn‖X)n Cauchy-Folge in K und K vollständig;
• unabhängig von Auswahl des Repräsentanten: seien (xn)n, (zn)n ∈ [x]X y (xn)n ∼X (zn)n
y∣∣∣ ‖xn‖X − ‖zn‖X
∣∣∣ ≤ ‖xn − zn‖X −−−−→n→∞0 y lim
n→∞‖xn‖X = lim
n→∞‖zn‖X = ‖[x]X‖Y
12 1 Banachräume
y [Y, ‖ · ‖Y] normierter Vektorraum;
Isomorphismus L: sei für x ∈ X, x = (x, x, . . . ) = (xn)n mit xn ≡ x, n ∈ N; setzen Lx = [x]X
y ‖Lx‖Y = ‖[x]X‖Y = limn→∞
‖x‖X = ‖x‖X
y L : X→ L(X) ⊂ Y isometrisch-isomorph
z.z.: L(X) dicht in Y: sei [y]X ∈ Y y ∃ (yk)k ∈ [y]X Cauchyfolge in X, setzen ηk = Lyk = [yk]X, k ∈ N
y ηk ∈ L(X),∥∥∥ηk − [y]X
∥∥∥Y=∥∥∥[yk]X − [y]X
∥∥∥Y= lim
n→∞‖yk − yn‖X < ε für k ≥ k0
z.z.: [Y, ‖ · ‖Y] vollständig
sei (yk)k Cauchy-Folge in Y =========⇒L(X) dicht in Y
∃ (ξk)k ⊂ L(X), Cauchy-Folge, mit ‖yk − ξk‖Y ≤ 2−k, k ∈ N
y ‖ξk − ξm‖Y ≤ ‖ξk − yk‖Y︸ ︷︷ ︸<2−k<ε, k≥k0
+ ‖yk − ym‖Y︸ ︷︷ ︸<ε, m>k≥m0
+ ‖ym − ξm‖Y︸ ︷︷ ︸<2−m<ε, m≥m1
< 3ε, m, k ≥ k1
y (ξk)k Cauchyfolge in Y, ξk ∈ L(X), setzen xk = L−1ξk ∈ X, k ∈ N
=======⇒L isometrisch
‖ξk‖Y = ‖Lxk‖Y =∥∥[xk]X
∥∥Y= ‖xk‖X
y x = (xk)k Cauchy-Folge in X; betrachten y = [x]X
y ‖y − yk‖Y ≤ ‖y − ξk‖Y︸ ︷︷ ︸lim
n→∞‖xn−xk‖X
+ ‖ξk − yk‖Y︸ ︷︷ ︸
≤2−k
≤ limn→∞
‖xn − xk‖X︸ ︷︷ ︸
≤ε, k≥k0
+ 2−k
︸︷︷︸≤ε, k≥k1
≤ 2ε, k ≥ k2
y ∃ y = [x]X ∈ Y mit ‖y − yk‖Y −−−−→k→∞
0 y Y vollständig
2. Schritt: zu (ii); seien Y1, Y2 Banachräume gemäß (i), für die Isomorphismen L1, L2 existieren mit
L1 :X→ L1(X) ⊂ Y1, und L1(X) = Y1,
L2 :X→ L2(X) ⊂ Y2, und L2(X) = Y2;
betrachtenL = L2 L−1
1 : L1(X)→ L2(X) isometrisch-isomorph,
da L1, L2 Isometrien: y ∈ L1(X) y ∃ x ∈ X : y = L1x y L2x = Ly ∈ L2(X),
‖Ly‖Y2 = ‖L2x‖Y2 = ‖x‖X = ‖L1x‖Y1 = ‖y‖Y1, y ∈ L1(X)
Erweiterung auf L : Y1 → L(Y1) ⊂ Y2:
y ∈ Y1 =======⇒L1(X) = Y1
∃ (ηk)k ∈ L1(X) : ηk −−−−→k→∞
y, insbesondere (ηk)k Cauchyfolge in L1(X)
=============⇒L Isometrie auf L1(X)
(Lηk)k = (L2(L−11 ηk))k Cauchy-Folge in L2(X) ⊂ Y2
========⇒Y2 vollständig
∃ η ∈ Y2 : Lηkin Y2−−−−→k→∞
η, setzen Ly := η
L wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Auswahl der Folge (ηk)k: sei (ξk)k ∈ L1(X) : ξk −−−−→k→∞
y
=====⇒wie oben
∃ ξ ∈ Y2 mit Lξkin Y2−−−−→k→∞
ξ,
‖η − ξ‖Y2≤ ‖η − Lηk‖Y2︸ ︷︷ ︸
<ε, k≥k0
+ ‖Lηk − Lξk‖Y2︸ ︷︷ ︸=‖ηk−ξk‖Y1
, L isom.
+ ‖Lξk − ξ‖Y2︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k1
< 2ε+ ‖ηk − y‖Y1︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k2
+ ‖y − ξk‖Y1︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k3
< 4ε, k ≥ k4 y η = ξ in Y2
1.1 Grundbegriffe 13
L surjektiv, L(Y1) = Y2: sei y ∈ Y2 =======⇒L2(X) = Y2
∃ (ηk)k ⊂ L2(X) : ηk −−−−→k→∞
y
======⇒L isomorph
∃ (zk)k ⊂ L1(X) : Lzk = ηk; (ηk)k Cauchy-Folge in L2(X) ======⇒L Isometrie
(zk)k Cauchy-Folge in
L1(X) ⊂ Y1 ========⇒Y1 vollständig
∃ x ∈ Y1 : zk −−−−→k→∞
x ==⇒s.o.
Lx = y
L isometrisch auf Y1: seien y ∈ Y1 mit (ηk)k ∈ L1(X) : ηk −−−−→k→∞
y und Lηk −−−−→k→∞
Ly;
wissen bereits: L : L1(X)→ L2(X) Isometrie, d.h. ‖ Lηk︸︷︷︸∈L2(X)
‖Y2 = ‖ ηk︸︷︷︸∈L1(X)
‖Y1 , k ∈ N
y ‖Ly‖Y2 = limk→∞
‖Lηk‖Y2 = limk→∞
‖ηk‖Y1 = ‖y‖Y1
Bemerkung : • Den Banachraum gemäß (i) nennt man Vervollständigung des normierten Vektorraumes.
• Banachräume in (ii) heißen Kopien und werden im folgenden nicht weiter unterschieden.
• analoges Resultat auch für metrische Räume
1.1.3 Kompaktheit
Definition 1.11 Seien [X, d] metrischer Raum, A ⊂ X. A heißt kompakt (folgenkompakt) genau dann,wenn jede Folge aus A eine in A konvergente Teilfolge besitzt.
Bemerkung : • früher: A ⊂ Kn kompakt ⇐⇒ A beschränkt und abgeschlossen; i.a. nur =⇒
• A ⊂ X kompakt, f : A ⊂ R stetig y mina∈A
f(a),maxa∈A
f(a) existieren
• A ⊂ X kompakt, f : A→ K stetig y f gleichmäßig stetig
Definition 1.12 Seien I eine beliebige Indexmenge und die Mengen Uα, α ∈ I, offen, und A ⊂ X.
(i) Das System Uαα∈I heißt offene Überdeckung von A, falls gilt A ⊂ ⋃α∈I Uα.
(ii) Sei I0 ⊂ I. Dann heißt Uγγ∈I0 offene Teilüberdeckung von A, falls gilt A ⊂ ⋃γ∈I0Uγ .
(iii) A heißt überdeckungskompakt, wenn zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckungexistiert.
Satz 1.13 (Heine4- Borel5)Seien [X, d] metrischer Raum, A ⊂ X. Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) A (folgen)kompakt
(ii) A überdeckungskompakt
(iii) Jede unendliche Teilmenge von A besitzt einen Häufungspunkt in A.
Be w e i s : 1. Schritt: seien A (folgen)kompakt, Uαα∈I eine offene Überdeckung; zeigen zunächst
∃ ε > 0 ∀ x ∈ A ∃ α ∈ I : Kε(x) ⊂ Uα (3)
indirekt, Annahme: (3) falsch, d.h. (mit ε = 1n )
∀ n ∈ N ∃ xn ∈ A ∀ α ∈ I : K1/n(xn) 6⊂ Uα
4Heinrich Eduard Heine (∗ 16.3.1821 Berlin † 21.10.1881 Halle)5Félix Edouard Justin Emile Borel (∗ 7.1.1871 Aveyron/Frankreich † 3.2.1956 Paris)
14 1 Banachräume
(xn)n ⊂ A ======⇒A kompakt
∃ (xnk)k ⊂ (xn)n in A konvergente Teilfolge, d.h. xnk
−−−−→k→∞
x0 ∈ A
x0 ∈ A ⊂⋃
α∈I
Uα y ∃ α0 ∈ I : x0 ∈ Uα0 =====⇒Uα0 offen
∃ ε0 > 0 : Kε0(x0) ⊂ Uα0
xnk−−−−→k→∞
x0 y ∃ k0 ∀ k ≥ k0 : d(xnk, x0) <
ε02,
1
nk<ε02
sei x ∈ Kε0/2(xnk), k ≥ k0
y d(x, x0) ≤ d(x, xnk) + d(xnk
, x0) <ε02
+ε02
= ε0
y K1/nk(xnk
) ⊂ Kε0/2(xnk) ⊂ Kε0(x
0)
y K1/nk(xnk
) ⊂ Kε0(x0) ⊂ Uα0 , k ≥ k0 zur Annahme
Uα0
A
x0
Kε0(x0)
K1/nk(xnk
)
2. Schritt: (i) ⇒ (ii) seien A 6= ∅ (folgen)kompakt, Uαα∈I offene Überdeckung; wählen ε > 0 aus (3);
sei x1 ∈ A =⇒(3)∃ α1 ∈ I : Kε(x1) ⊂ Uα1 ;
wählen x2 ∈ A \Kε(x1) y d(x2, x1) ≥ ε, ∃ α2 ∈ I : Kε(x2) ⊂ Uα2 ;
Iteration y wählen xn ∈ A\n−1⋃
k=1
Kε(xk) y mink 6=i
d(xk, xi) ≥ ε, ∃ α1, . . . , αn ∈ I :n⋃
k=1
Kε(xk) ⊂n⋃
k=1
Uαk;
g.z.z.: ∃ m ∈ N : A \m⋃
k=1
Kε(xk) = ∅ (Folge bricht ab)
indirekt, Annahme: ∀ m ∈ N : A \m⋃
k=1
Kε(xk) 6= ∅ y ∃ (xk)k∈N ⊂ A : d(xi, xk) ≥ ε > 0, i 6= k
y ∃ (xk)k∈N ⊂ A : (xk)k∈N hat keine konvergente Teilfolge zu A kompakt
y ∃ m ∈ N : A ⊂m−1⋃
k=1
Kε(xk) ⊂m−1⋃
k=1
Uαk
3. Schritt: (ii) ⇒ (iii) sei M ⊂ A unendlich, z.z.: M hat Häufungspunkt in A
indirekt, Annahme: M hat keinen Häufungspunkt in A ====⇒M = M
M abgeschlossen,
∀ m ∈M ∃ εm > 0 : M ∩Kεm(m) = m y M ⊂⋃
m∈M
Kεm(m) ⊂ X
X \M offen y A ⊂ (X \M) ∪⋃
m∈M
Kεm(m) =:⋃
α∈IM
Uα offene Überdeckung
=⇒(ii)∃ Uαini=1 ⊂ Uαα∈IM : A ⊂
n⋃
i=1
Uαi y #x ∈ X : x ∈ A ∩M ≤ n <∞
4. Schritt: (iii) ⇒ (i) sei (xk)k ⊂ A beliebige Folge
falls #xk : k ∈ N <∞ (nur endlich viele verschiedene Werte) y es existiert eine konvergente Teilfolge
falls #M = xk : k ∈ N =∞ ==⇒(iii)∃ x0 Häufungspunkt für (xk)k y ∃ (xkl
)l∈N ⊂ (xk)k∈N : xkl−−−→l→∞
x0
Bemerkung : ausreichend zur Bezeichnung: A kompakt
Folgerung 1.14 Seien [X, d] metrischer Raum, und X kompakt. Dann ist X separabel.
Be w e i s : betrachten offene Überdeckung von X mit Uα = K1/j(x), α = x ∈ X = I, j ∈ N fest
y ∀ j ∈ N : X ⊂⋃
x∈X
K1/j(x) =====⇒Satz 1.13
∀ j ∈ N ∃ xjknj
k=1 ⊂ X : X ⊂nj⋃
k=1
K1/j(xjk) (4)
1.1 Grundbegriffe 15
g.z.z.: M := xjk, j ∈ N, k = 1, . . . , nj ⊂ X abzählbare dichte Teilmenge in X
M dicht: seien x ∈ X, ε > 0, wählen j0 > 1ε =⇒
(4)x ∈ X ⊂
nj0⋃
k=1
K1/j0(xj0k )
y ∃ k ∈ 1, . . . , nj0 : x ∈ K1/j0(xj0k ) y d(x, xj0k ) <
1
j0< ε
Definition 1.15 Seien [X, d] metrischer Raum, A ⊂ X.
(i) Die Menge A heißt präkompakt genau dann, wenn für jede Folge in A eine (in X) konvergente Teilfolgeexistiert.
(ii) Sei ε > 0. M ⊂ X heißt ε-Netz für A, falls A ⊂ ⋃x∈M Kε(x) gilt.
Folgerung 1.16 Seien [X, d] metrischer Raum, A ⊂ X.
(i) A kompakt ⇐⇒ A abgeschlossen und präkompakt.
(ii) A präkompakt =⇒ A beschränkt.
Be w e i s : zu (i): folgt unmittelbar aus Definitionen, bis auf: A kompakt ⇒ A abgeschlossen:
sei (an)n∈N ⊂ A konvergente Folge, limn→∞
an = a ∈ X y g.z.z.: a ∈ A
(an)n∈N ⊂ A ======⇒A kompakt
∃ (ank)k∈N ⊂ (an)n∈N : lim
k→∞ank∈ A =======⇒
lim eindeutiga = lim
n→∞an = lim
k→∞ank∈ A
zu (ii): A präkompakt =⇒(i)
A beschränkt, für x0 ∈ X gilt A ⊂⋃
n∈N
Kn(x0)
=====⇒Satz 1.13
∃ m ∈ N : A ⊂m⋃
k=1
Knk(x0) ⊂ Knmax(x0), nmax = max
k=1,...,mnk y A ⊂ Knmax(x0)
Bemerkung : A endlich =====⇒Satz 1.13
A kompakt =====⇒Folg. 1.16
A präkompakt & abgeschlossen
Satz 1.17 Seien [X, d] ein vollständiger metrischer Raum, A ⊂ X. Dann ist A präkompakt genau dann,wenn für jedes ε > 0 ein endliches ε-Netz für A existiert.
Be w e i s : 1. Schritt: =⇒ sei ε > 0 y A ⊂⋃
a∈A
Kε(a) y A ist ε-Netz für A; analog zum 2. Schritt
des Beweises von Satz 1.13 folgt: ∃ m ∈ N, a1, . . . , am ⊂ A : A ⊂m⋃
j=1
Kε(aj)
2. Schritt: ⇐=sei (xj)j ⊂ A beliebig, o.B.d.A. xj 6= xk für j 6= k; konstruieren Teilfolge (xjk )k mit xjk −−−−→
k→∞x ∈ X
ε = 1 y ∃ y1, . . . , ym : xj : j ∈ N ⊂m⋃
k=1
K1(yk) y ∃ yk1 , Teilfolge (x1j )j ⊂ (xj)j mit x1j 6= x1l , j 6= l :
(x1j )j∈N ⊂ K1(yk1)
ε = 12 y ∃ yk2 , Teilfolge (x2j )j ⊂ (x1j )j mit x2j 6= x2l , j 6= l : (x2j )j∈N ⊂ K1/2(yk2)
...ε = 1
n y ∃ ykn , Teilfolge (xnj )j ⊂ (xn−1j )j mit xnj 6= xnl , j 6= l : (xnj )j∈N ⊂ K1/n(ykn)
16 1 Banachräume
betrachten Diagonalfolge (xjj)j , Teilfolge von (xj)j : ∀ j ≥ n : xjj ∈ K1/n(ykn)
y d(xjj , xll) ≤ d(xjj , ykn) + d(ykn , x
ll) <
2
n, j, l ≥ n
y (xjj)j Cauchy-Folge in X =======⇒X vollständig
∃ x ∈ X : xjj −−−→j→∞
x
Bemerkung : für =⇒ Vollständigkeit von [X, d] nicht notwendig (1. Schritt)
Folgerung 1.18 Seien [X, d] metrischer Raum, A ⊂ X. Dann ist A präkompakt genau dann, wenn für jedesε > 0 ein präkompaktes ε-Netz für A existiert.
Be w e i s : =⇒ A präkompakt =====⇒Satz 1.17
∀ ε > 0 ∃ Mε endliches ε-Netz für A =====⇒Bem. s.o.
Mε präkom-
paktes ε-Netz
⇐= Seien ε > 0 und Mε präkompaktes ε-Netz für A; Satz 1.17 y ∃ Nε endliches ε-Netz für Mε y Nε
ist endliches 2ε-Netz für A =====⇒Satz 1.17
A präkompakt
Beispiel : betrachten Standardbasis E = ej = (
j−1︷ ︸︸ ︷0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . . ), j ∈ N ⊂ ℓ1(N)
y E beschränkt in ℓ1(N), aber E nicht präkompakt, da∥∥ej − ek
∥∥1= 2, j 6= k y es kann keine
konvergente Teilfolge geben
analog für ℓ2(N), ℓ∞(N), c0(N), . . .
Lemma 1.19 A ⊂ ℓ1(N) präkompakt genau dann, wenn A beschränkt ist und supa∈A
∞∑
j=n
|aj | −−−−→n→∞
0 gilt.
Be w e i s : =⇒ A präkompakt =====⇒Folg. 1.16
A beschränkt;
sei ε > 0 =====⇒Satz 1.17
∃ m1, . . . ,mr ⊂ ℓ1(N) endliches ε-Netz für A;
mj ∈ ℓ1(N) y ∀ j = 1, . . . , r ∃ nj(ε) :
∞∑
k=nj
|mjk| < ε ==⇒
max∃ nε ∀ j = 1, . . . , r :
∞∑
k=nε
|mjk| < ε
sei a ∈ A y∞∑
k=n
|ak| ≤∞∑
k=n
|ak −mjk|
︸ ︷︷ ︸∃j: ≤‖a−mj‖1<ε
+
∞∑
k=n
|mjk|
︸ ︷︷ ︸<ε, n≥nε
< 2ε, n ≥ nε ========⇒a ∈ A beliebig
supa∈A
∞∑
k=n
|ak| < 2ε, n ≥ nε
⇐= sei (ak)k∈N Folge in A, konstruieren in ℓ1(N) konvergente Teilfolge
A beschränkt y (ak)k∈N beschränkt in ℓ1(N) y (akj )k∈N ⊂ K beschränkt für j ∈ N; verwenden Satz von
Bolzano6-Weierstraß7: j = 1 y ∃ (a1,k)k∈N ⊂ (ak)k∈N, b1 ∈ K : a1,k1 −−−−→k→∞
b1
j = 2 y ∃ (a2,k)k∈N ⊂ (a1,k)k∈N, b2 ∈ K : a2,k2 −−−−→k→∞
b2, a2,k1 −−−−→
k→∞b1
...j = m y ∃ (am,k)k∈N ⊂ (am−1,k)k∈N, bm ∈ K : am,k
l −−−−→k→∞
bl, l = 1, . . . ,m
betrachten Diagonalfolgen (dk)∞k=r = (ak,k)∞k=r ⊂ (ar,k)∞k=r, r ∈ N, Teilfolgen von (ak)k∈N ⊂ A;
r ∈ N y dkr = ar,lkr −−−−→lk→∞
br, d.h. ∀ ε > 0, n ∈ N ∃ k0 = k0(ε, n) ∀ k ≥ k0 : |dkr − br| <ε
2n
y ∀ ε > 0, n ∈ N ∃ m0 = m0(ε, n) ∀ k ≥ m ≥ m0 : |dkr − dmr | <ε
n6Bernhard Bolzano (∗ 5.10.1781 Prag † 18.12.1848 Prag)7Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (∗ 31.10.1815 Ostenfelde/Westfalen † 19.2.1897 Berlin)
1.1 Grundbegriffe 17
y ‖dk − dm‖1 =∞∑
r=1
|dkr − dmr | =n−1∑
r=1
|dkr − dmr |︸ ︷︷ ︸<ε, k≥m≥m0
+∞∑
r=n
|dkr − dmr |︸ ︷︷ ︸
≤2 supc∈A
∞∑
j=n
|cj |<2ε, n≥n0
< 3ε für k ≥ m ≥ m0
y (dk)k Cauchyfolge in ℓ1(N) ==========⇒ℓ1(N) vollständig
(dk)k konvergent
Übung I-8 : Beweisen Sie, dass eine Menge A ⊂ c0(N) genau dann präkompakt ist, wenn es eine Nullfolge(xn)n∈N gibt, so dass für alle (an)n∈N ∈ A gilt: |an| ≤ xn, n ∈ N.
1.1.4 Endlich-dimensionale Vektorräume
Beispiele : • Kn, dimKn = n
• Pn =p(x) =
n∑
j=0
ajxj , aj ∈ K
Raum der algebraischen Polynome mit deg(p) ≤ n;
dimPn = n+ 1, Basis 1, x, . . . , xn
• Tn =t(x) =
n∑
k=−n
ckeikx, ck ∈ K
Raum der trigonometrischen Polynome mit
deg(t) ≤ n; dim Tn = 2n+ 1, Basis eikx, k = −n, . . . , n
Bemerkung : • alternative Darstellung von Tn mit cos(kx), sin(kx), k = 0, . . . , n
• lineare Algebra: V Vektorraum über K mit dimV = n ⇐⇒ V ≃ Kn isomorph (d.h.es existiert ein bijektiver, linearer Endomorphismus)
Definition 1.20 Sei X ein linearer Vektorraum. Zwei Normen ‖ · ‖1 und ‖ · ‖2 heißen äquivalent auf X falls
∃ c1 > 0, c2 > 0 ∀ x ∈ X : c1‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ c2‖x‖1.
Bemerkung : Äquivalente Normen erzeugen gleichen Konvergenzbegriff und gleiche Topologie, d.h. A offenbzgl. d1 ∼ ‖ · ‖1 ⇐⇒ A offen bzgl. d2 ∼ ‖ · ‖2
Lemma 1.21 Sei [X, ‖ · ‖X] normierter Vektorraum über K, x1, . . . , xn linear unabhängig. Dann existiertein c > 0, so dass für alle a ∈ Kn gilt
‖a|ℓn1‖ =n∑
j=1
|aj | ≤ c∥∥∥
n∑
j=1
ajxj
∥∥∥X.
Be w e i s : betrachten g : Kn → X, g(x) =n∑
j=1
ajxj y g linear und stetig; sei ξ = maxk=1,...,n
‖xk‖X
y ‖g(a)‖X ≤n∑
j=1
|aj |‖xj‖X ≤ ξ‖a|ℓn1‖, a ∈ Kn
betrachten Sn1 = a ∈ Kn : ‖a|ℓn1‖ = 1 ⊂ Kn y Sn
1 beschränkt und abgeschlossen in Kn ⇐⇒ Sn1
kompakt in Kn ====⇒g stetig
g(Sn1 ) ⊂ X kompakt ======⇒
‖ · ‖X stetig‖g(a)‖X : a ∈ Sn
1 kompakt in R
===========⇒Satz vom Minimum
∃ γ := min‖g(a)‖X : ‖a|ℓn1‖ = 1 (5)
γ > 0, denn: γ = 0 ⇐⇒ ∃ a0 ∈ Kn, ‖a0|ℓn1‖ = 1,n∑
j=1
a0jxj = 0 ========⇒xi lin. unabh.
a01 = · · · = a0n = 0
18 1 Banachräume
sei a ∈ Kn, a 6= 0 ya
‖a|ℓn1‖∈ Sn
1
=⇒(5)
γ ≤∥∥∥∥g(
a
‖a|ℓn1‖
)∥∥∥∥X
=∥∥∥
n∑
j=1
aj‖a|ℓn1‖
xj
∥∥∥X⇐⇒ γ ‖a|ℓn1‖ ≤
∥∥∥n∑
j=1
ajxj
∥∥∥X
===⇒γ > 0
‖a|ℓn1‖ ≤ c∥∥∥
n∑
j=1
ajxj
∥∥∥X
mit c =1
γ
Satz 1.22 Sei X ein Vektorraum über K mit dimX = n.
(i) Alle Normen auf X sind untereinander äquivalent.
(ii) X ist isomorph zum Raum Kn (bei geeigneter Normierung).
(iii) X ist vollständig und separabel.
Be w e i s : 1. Schritt: betrachten [X, ‖ · ‖X], mit ‖ · ‖X beliebig, dimX = n, Basis x1, . . . , xnbetrachten
‖x‖1 = ‖a|ℓn1‖ =n∑
j=1
|aj | für x =
n∑
j=1
ajxj , a ∈ Kn
y ‖ · ‖1 Norm auf X,
=======⇒Lemma 1.21
∃ c = c−11 > 0 : ‖x‖1 ≤
1
c1‖x‖X ≤
n∑
j=1
|aj |‖xj‖X ≤ maxj=1,...,n
‖xj‖X‖x‖1 =: c2‖x‖1
y ‖ · ‖1 ∼ ‖ · ‖X auf X für beliebige ‖ · ‖X y (i)
2. Schritt: betrachten [X, ‖ · ‖1] und [Kn, ‖ · |ℓn1‖], setzen
L : X −→ Kn, x =n∑
j=1
ajxj 7−→ Lx = (a1, . . . , an)
y L linear, surjektiv, isometrisch, da ‖Lx|ℓn1‖ = ‖a|ℓn1‖ = ‖x‖1 y bijektiv y (ii)
3. Schritt: [Kn, ‖ · |ℓn1‖] vollständig y X = L−1(Kn) vollständig (da L Isometrie)
M =x ∈ X : ∃ (a1, . . . , an) ∈ Qn : x =
n∑j=1
ajxj
abzählbar, dicht in X y X separabel y (iii)
Satz 1.23 (Riesz8)
Sei [X, ‖ · ‖X] ein normierter Vektorraum über K. Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) X ist endlich-dimensional.
(ii) Jede beschränkte Menge ist präkompakt.
(iii) Die abgeschlossene Einheitskugel in X,
UX = K1(0) = x ∈ X : ‖x‖X ≤ 1
ist kompakt.
8Frigyes (Frederic) Riesz (∗ 22.1.1880 Györ † 28.2.1956 Budapest)
1.2 Funktionenräume und Folgenräume 19
B e w e i s : (i) ⇒ (ii) folgt aus Isomorphie mit [Kn, ‖ · |ℓn1‖] und entsprechender Aussage für Kn
(ii) ⇒ (iii) folgt aus Folg. 1.16(i)
(iii) ⇒ (i) sei UX kompakt =====⇒Satz 1.13
∃ y1, . . . , ym ∈ X : UX ⊂m⋃
j=1
K1/2(yj), setzen Y := spany1, . . . , ym
y Y ⊆ X linearer abgeschlossener Teilraum, dimY ≤ m y g.z.z.: X = Y
indirekt, Annahme: Y ( X y ∃ x0 ∈ X \Y y dist (x0,Y) = infy∈Y‖x0− y‖X = d > 0 (da Y abgeschlossen)
=⇒inf∃ y0 ∈ Y : 0 < d ≤ ‖x0 − y0‖X ≤
3
2d (6)
sei z0 =x0 − y0‖x0 − y0‖X
∈ X y z0 ∈ UX y ∃ yj ∈ Y : ‖z0 − yj‖X <1
2
y x0 = y0 + ‖x0 − y0‖X z0 = y0 + ‖x0 − y0‖X yj︸ ︷︷ ︸=:u∈Y
+‖x0 − y0‖X (z0 − yj)
y ‖x0 − y0‖X ‖z0 − yj‖X︸ ︷︷ ︸< 1
2
= ‖x0 − u‖X ≥ infy∈Y‖x0 − y‖X = d y ‖x0 − y0‖X > 2d zu (6)
1.2 Funktionenräume und Folgenräume
1.2.1 Die Räume ℓp
Definition 1.24 Für 0 < p <∞ definiert man
ℓp(N) =a = (aj)
∞j=1 ⊂ K,
∞∑
j=1
|aj |p <∞, ‖a‖p =
( ∞∑
j=1
|aj |p)1/p
,
und
ℓ∞(N) =a = (aj)
∞j=1 ⊂ K, sup
j∈N
|aj | <∞, ‖a‖∞ = sup
j∈N
|aj |.
Bemerkung : in Kn betrachtet man analog ℓnp , 0 < p ≤ ∞: ‖a|ℓnp‖ =
( n∑
j=1
|aj |p)1/p
, p <∞
supj=1,...,n
|aj |, p =∞
Lemma 1.25 (Young9sche Ungleichung)
Sei für 1 < p <∞ die Zahl p′ durch 1p + 1
p′ = 1 definiert. Dann gilt für alle p ∈ (1,∞),
xy ≤ xp
p+yp
′
p′, x, y ≥ 0.
9William Henry Young (∗ 20.10.1863 London † 7.7.1942 Lausanne)
20 1 Banachräume
Be w e i s : siehe ÜS I-1; z.B.
xy ≤∫ x
0
tp−1 dt
︸ ︷︷ ︸1px
p
+
∫ y
0
u1
p−1 du
︸ ︷︷ ︸p−1p y
pp−1
=xp
p+yp
′
p′
dap
p− 1= p′
y
0
f(t) = tp−1
x
Satz 1.26 (Hölder10sche Ungleichung)
Sei für 1 < p < ∞ die Zahl p′ durch 1p + 1
p′ = 1 definiert, für p = 1 setzt man p′ = ∞. Dann gilt für allep ∈ [1,∞) und a, b ∈ Kn,
∣∣∣n∑
k=1
akbk
∣∣∣ ≤n∑
k=1
|ak||bk| ≤( n∑
k=1
|ak|p) 1
p
( n∑
k=1
|bk|p′) 1
p′
für p > 1, p′ <∞,
supk=1,...,n
|bk| für p = 1, p′ =∞.
Be w e i s : p = 1, p′ =∞ klar; o.B.d.A. p > 1, a 6= 0, b 6= 0
setzen αk =ak‖a|ℓnp‖
, βk =bk‖b|ℓnp′‖
yn∑
k=1
|αk|p =
n∑
k=1
|βk|p′
= 1
=======⇒Lemma 1.25
∣∣∣n∑
k=1
αkβk
∣∣∣ ≤n∑
k=1
|αk||βk| ≤1
p
n∑
k=1
|αk|p +1
p′
n∑
k=1
|βk|p′
=1
p+
1
p′= 1
========⇒·‖a|ℓnp‖‖b|ℓ
np′‖
∣∣∣n∑
k=1
akbk
∣∣∣ ≤ ‖a|ℓnp‖‖b|ℓnp′‖
Satz 1.27 (Minkowski11sche Ungleichung)
Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Dann gilt für alle a, b ∈ Kn,
( n∑
k=1
|ak + bk|p) 1
p ≤( n∑
k=1
|ak|p) 1
p
+( n∑
k=1
|bk|p) 1
p
.
Be w e i s : p = 1 und p =∞ (mit sup statt∑
) klar; o.B.d.A. 1 < p <∞n∑
k=1
|ak + bk|p ≤n∑
k=1
|ak + bk|p−1(|ak|+ |bk|) =n∑
k=1
|ak + bk|p−1
︸ ︷︷ ︸γk
|ak|+n∑
k=1
|ak + bk|p−1
︸ ︷︷ ︸γk
|bk|
≤Hölder
( n∑
k=1
γp
p−1
k︸ ︷︷ ︸|ak+bk|p
) p−1p( n∑
k=1
|ak|p) 1
p
+( n∑
k=1
γp
p−1
k︸ ︷︷ ︸|ak+bk|p
) p−1p( n∑
k=1
|bk|p) 1
p
=p
p−1 = p′
( n∑
k=1
|ak + bk|p) 1
p′
︸ ︷︷ ︸o.B.d.A. > 0
[( n∑
k=1
|ak|p) 1
p
+( n∑
k=1
|bk|p) 1
p
]
10Otto Ludwig Hölder (∗ 22.12.1859 Stuttgart † 29.8.1937 Leipzig)11Hermann Minkowski (∗ 22.6.1864 Alexotas/Russland † 12.1.1909 Göttingen)
1.2 Funktionenräume und Folgenräume 21
y( n∑
k=1
|ak + bk|p) 1
p ≤( n∑
k=1
|ak|p) 1
p
+( n∑
k=1
|bk|p) 1
p
Bezeichnungen:
c(N) = a ∈ ℓ∞(N) : ∃ a ∈ K : limj→∞
aj = a ⊂ ℓ∞(N) konvergente Folgen; abgeschlossener Teilraum
c0(N) = a ∈ ℓ∞(N) : limj→∞
aj = 0 ⊂ c(N) Nullfolgen; abgeschlossener Teilraum
c00(N) = a ∈ ℓ∞(N) : ∃ j0 ∀ j ≥ j0 : aj = 0 ⊂ c0(N) Teilraum, nicht abgeschlossen
Satz 1.28 (i) Die Räume [ℓp(N), ‖ · ‖p], 1 ≤ p ≤ ∞, sind Banachräume. Für 1 ≤ p < ∞ ist ℓp(N)separabel, ℓ∞(N) ist nicht separabel.
(ii) A ⊂ ℓp(N), 1 ≤ p <∞, ist genau dann präkompakt, wenn A beschränkt ist und zusätzlich gilt
supa∈A
∞∑
j=n
|aj |p −−−−→n→∞
0.
(iii) Die Räume [c(N), ‖ · ‖∞] und [c0(N), ‖ · ‖∞] sind abgeschlossene, separable Teilräume von ℓ∞(N).
Be w e i s : zu (i):
• ‖ · ‖p Norm auf ℓp(N): Dreiecksungleichung folgt aus Minkowski-Ungleichung, Satz 1.27 mit n→∞• Vollständigkeit von [ℓp(N), ‖ · ‖p]: für p = 1 und p =∞ in Folg. 1.7, für 1 < p <∞ analoger Beweis
• Separabilität: für ℓ1(N) in Beispiel nach Def. 1.8, analog für 1 < p < ∞; ℓ∞(N) nicht separabel: sieheÜA I-5
zu (ii): analog zu Lemma 1.19 für p = 1
zu (iii): c0(N) abgeschlossener Teilraum, separabel: Beispiel (b) nach Def. 1.8
analog für c(N): sei (an)n ⊂ c(N) ⊂ ℓ∞(N) mit an −−−−→n→∞
a ∈ ℓ∞(N); z.z.: a ∈ c(N)
an ∈ c(N) y ∃ bn ∈ K : anj −−−→j→∞
bn, n ∈ N; g.z.z.: aj −−−→j→∞
b = limn→∞
bn
b = limn→∞
bn existiert: |bn − bm| ≤ |bn − ank |︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k1
+ |ank − amk |︸ ︷︷ ︸≤‖an−am‖∞
+ |amk − bm|︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k2
< 3ε, m > n ≥ n0
y (bn)n Cauchy-Folge in K =======⇒K vollständig
∃ b ∈ K : b = limn→∞
bn
n.z.z.: limj→∞
aj = b: |aj − b| ≤ |aj − anj |︸ ︷︷ ︸≤‖a−an‖∞<ε,n≥n0
+ |anj − bn|︸ ︷︷ ︸<ε, j≥j0(n0,n1,ε)
+ |bn − b|︸ ︷︷ ︸<ε, n≥n1
< 3ε, j ≥ j0
analog zur Argumentation für ℓ1(N) y c(N) separabel
Lemma 1.29 Seien x, y ≥ 0, 0 < p <∞. Dann gilt
(x+ y)p ≤2p−1(xp + yp), 1 ≤ p <∞,xp + yp ≤ 21−p(x+ y)p, 0 < p ≤ 1.
Be w e i s : o.B.d.A. x, y > 0 y äquivalente Aussage für t > 0:
(1 + t)p ≤2p−1(1 + tp), 1 ≤ p <∞1 + tp ≤ 21−p(1 + t)p, 0 < p ≤ 1
22 1 Banachräume
o.B.d.A. p 6= 1; betrachten g(t) =(1 + t)p
1 + tpy lim
t↓0g(t) = lim
t→∞g(t) = 1, g(1) = 2p−1
g′(t) = p(1 + t)p−1
(1 + tp)2(1− tp−1) y g′(t) = 0 ⇐⇒ t = 1
y g hat lokales Minimum in t = 1 für 0 < p < 1 bzw. lokales Maximum in t = 1 für 1 < p < ∞, d.h. füralle t > 0 gilt
1 ≤ g(t) ≤ 2p−1, 1 ≤ p <∞2p−1 ≤ g(t) ≤ 1, 0 < p ≤ 1
⇐⇒1 + tp ≤ (1 + t)p ≤ 2p−1(1 + tp), 1 ≤ p <∞2p−1(1 + tp) ≤ (1 + t)p ≤ 1 + tp, 0 < p ≤ 1
Bemerkung : Beweis mittels Jensen12scher Ungleichung:
f(x) = xp
konvex, p ≥ 1
konkav, p ≤ 1=⇒
f
(x+ y
2
)≤ f(x) + f(y)
2, p ≥ 1
f
(x+ y
2
)≥ f(x) + f(y)
2, p ≤ 1
=⇒(x+ y)p ≤ 2p−1(xp + yp), p ≥ 1
(x+ y)p ≥ 2p−1(xp + yp), p ≤ 1
Folgerung 1.30 (i) Sei 0 < p < q ≤ ∞. Dann gilt
ℓp(N) ⊂ ℓq(N) mit ‖a‖q ≤ ‖a‖p für alle Folgen a = (ak)k∈N ⊂ K.
(ii) Seien 0 < p < 1 und a = (ak)k∈N, b = (bk)k∈N ∈ ℓp(N). Dann gilt für a+ b = (ak + bk)k∈N,
‖a+ b‖p ≤ 21p−1 (‖a‖p + ‖b‖p) ,
‖a+ b‖pp ≤ ‖a‖pp + ‖b‖pp.
Be w e i s : zu (i): sei n ∈ N y( n∑
k=1
|ak|q) 1
q
=
( ( n∑
k=1
|ak|q) p
q
︸ ︷︷ ︸≤
n∑
k=1
|ak|p, p<q
) 1p
≤Lemma 1.29
( n∑
k=1
|ak|p) 1
p ≤ ‖a‖p
n→∞ y ‖a‖q ≤ ‖a‖pzu (ii): folgt unmittelbar aus Lemma 1.29
Bemerkung : Eine Abbildung ‖ · ‖ : X → R+, die Definition 1.1(i),(ii) genügt, aber anstelle von Definiti-on 1.1(iii) nur erfüllt
∃ c > 1 ∀ x, y ∈ X : ‖x+ y‖ ≤ c (‖x‖+ ‖y‖) ,
heißt Quasinorm, und [X, ‖ · ‖] quasinormierter Raum; falls anstelle von Definition 1.1(iii) gilt
∃ ∈ (0, 1] ∀ x, y ∈ X : ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖,
so nennt man ‖ · ‖ eine -Norm, und [X, ‖ · ‖] -normierten Raum. Ist [X, ‖ · ‖] vollständigbezüglich dieser Quasi- bzw. -Norm, so nennt man [X, ‖·‖] einen Quasi- bzw. -Banachraum.
Es gilt: ‖ ·‖ ist -Norm y ‖ ·‖ Quasinorm. Für jede Quasinorm ‖ ·‖ existiert eine äquivalente-Norm ‖·‖ für passendes ∈ (0, 1], siehe z.B. [Köt60, §15.10], [DL93, Chapter 2, Thm. 1.1].
12Johan Ludwig William Valdemar Jensen (∗ 8.5.1859 Nakskov/Dänemark † 5.3.1925 Kopenhagen)
1.2 Funktionenräume und Folgenräume 23
Folgerung 1.31 ℓp(N) ist für 0 < p < 1 ein Quasi-Banachraum bzw. ein p-Banachraum.
1.2.2 Räume stetiger Funktionen
Definition 1.32 Seien [X, d] ein metrischer Raum und [Y, ‖ · ‖Y] ein normierter Raum. Dann ist
B(X,Y) = f : X→ Y : f beschränkt auf X
der Raum der (Y-wertigen) beschränkten Funktionen,
C(X,Y) = f : X→ Y : f stetig auf X
der Raum der (Y-wertigen) stetigen Funktionen, und
UCB(X,Y) = f ∈ B(X,Y) : f gleichmäßig stetig auf X
der Raum der (Y-wertigen) gleichmäßig stetigen und beschränkten Funktionen, versehen mit der Norm
‖f‖∞ = ‖f |B(X,Y)‖ = ‖f |C(X,Y)‖ = supx∈X
‖f(x)‖Y.
Bemerkung : Schreibweise für Y = K: B(X,K) = B(X), C(X,K) = C(X), UCB(X,K) = UCB(X)
Satz 1.33 Seien [X, d] ein metrischer Raum und [Y, ‖ · ‖Y] ein Banachraum.
(i) [B(X,Y), ‖ · |B(X,Y)‖] ist ein Banachraum.
(ii) [C(X,Y) ∩ B(X,Y), ‖ · ‖∞] ist ein abgeschlossener Teilraum von B(X,Y).
(iii) [UCB(X,Y), ‖ · ‖∞] ist ein abgeschlossener Teilraum von B(X,Y) bzw. von C(X,Y) ∩ B(X,Y).
Be w e i s : zu (i): analog zu Satz 1.6 (mit X = A, Y = K)zu (ii): sei (fj)j Cauchy-Folge in C(X,Y)∩B(X,Y) y (fj)j Cauchy-Folge in B(X,Y) =⇒
(i)∃ f ∈ B(X,Y) :
‖fj − f‖∞ −−−→j→∞
0; sei ε > 0 y ∃ j0 ∀ j ≥ j0 : ‖fj − f‖∞ < ε sei x0 ∈ X
y ‖f(x)− f(x0)‖Y ≤ ‖f(x)− fj(x)‖Y︸ ︷︷ ︸<‖f−fj‖∞<ε
+‖fj(x) − fj(x0)‖Y + ‖fj(x0)− f(x0)‖Y︸ ︷︷ ︸<‖f−fj‖∞<ε
< 2ε+ ‖fj(x) − fj(x0)‖Y︸ ︷︷ ︸<ε,d(x,x0)<δ(ε,x0,j)
< 3ε für d(x, x0) < δ(x0, ε)
y f ∈ C(X,Y) ∩ B(X,Y)
zu (iii): analog zum Beweis von (ii), gleichmäßige Stetigkeit von fj benutzen
Bemerkung : falls [X, d] kompakter metrischer Raum y UCB(X,Y) = C(X,Y) ∩ B(X,Y) = C(X,Y)
speziell: Y = K, Ω ⊂ Rn offen, beschränkt y X = Ω kompakt y UCB(Ω) = C(Ω)
jetzt: Ω ⊂ Rn offen, betrachten C(Ω), UCB(Ω) bezüglich ihrer stetigen Fortsetzungen, d.h.
UCB(Ω) = UCB(Ω) in dem Sinne, dass
f ∈ UCB(Ω) 99K f |Ω ∈ UCB(Ω)
g ∈ UCB(Ω) 99K ∃ ! f ∈ UCB(Ω) : f |Ω = g
24 1 Banachräume
Schreibweise: analog zu X = Ω schreibt man für Ω ⊂ Rn offen: C(Ω) = C(Ω,K), UCB(Ω) = UCB(Ω,K)
Bemerkung : bei obiger Interpretation gilt für Ω ⊂ Rn offen, beschränkt:
UCB(Ω) = UCB(Ω) = C(Ω)
Definition 1.34 Für eine offene Menge Ω ⊂ Rn setzt man
C(Ω) = UCB(Ω).
Bemerkung : • Satz 1.33(iii) y [C(Ω), ‖ · ‖∞] Banachraum
• Ω ⊂ Rn offen und beschränkt y C(Ω) = C(Ω) (bei entsprechender Interpretation)
Rechtfertigung der Bezeichnung: sei u ∈ C(Ω) = UCB(Ω), z.z.: u ∈ C(Ω), d.h. fürξ ∈ ∂Ω y u (eindeutig) stetig fortsetzbar in ξ
sei ξ ∈ ∂Ω y ∃ (xk)k ⊂ Ω : d(xk, ξ) −−−−→k→∞
0 y (xk)k Cauchyfolge in
Ω ====⇒u stetig
∃ k0 ∀ k, l ≥ k0(δ(ε)) : d(xk, xl) < δ y |u(xk)−u(xl)| < ε y (u(xk))k
Cauchyfolge in K =======⇒K vollständig
∃ η ∈ K : u(xk) −−−−→k→∞
η =: u(x)
Unabhängigkeit von der Auswahl der Folge: sei (yk)k ⊂ Ω, yk −−−−→k→∞
ξ, u(yk) −−−−→k→∞
η
u gleichmäßig stetig in Ω y |u(xk)− u(yk)| < ε für d(xk, yk) < δ(ε)
y |η − η| ≤ |η − u(xk)|︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k0
+ |u(xk)− u(yk)|︸ ︷︷ ︸<ε, d(xk,yk)<δ(ε)
+ |u(yk)− η|︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k1
< 3ε für k ≥ k2 y η = η
Übung I-13 : Für a > 0 und I ⊂ R kompakt heißt f : I → K Lipschitz13- (bzw. Hölder-) stetig mit Ordnunga > 0, falls gilt ∃ M > 0 ∀ h ∈ R ∀ x, x+ h ∈ I : |f(x+ h)− f(x)| ≤ M |h|a.Man definiert Lipa(I) als die Menge aller f ∈ C(I), für die
‖f‖Lipa(I) = supy∈I|f(y)| + sup
h 6=0,x,x+h∈I
|f(x+ h)− f(x)||h|a
endlich ist. Es gilt:
• Lipa(I), 0 < a ≤ 1, ist mit ‖ · ‖Lipa ein Banachraum.
• C1[0, 1] ( Lipa[0, 1] ( C[0, 1], 0 < a ≤ 1
Definition 1.35 Sei [X, d] ein kompakter metrischer Raum. Eine Teilmenge A ⊂ C(X) heißt gleichgradigstetig, falls
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, y ∈ X, d(x, y) < δ : supf∈A|f(x)− f(y)| < ε.
Beispiel : (a) Lipa[0, 1], 0 < a < 1, A = f ∈ Lipa[0, 1] : ‖f‖Lipa(I) < 1 gleichgradig stetig in C[0, 1]:
f ∈ A y |f(x)− f(y)| < |x− y|a < ε für |x− y| < δ = ε1/a
13Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (∗ 14.5.1832 Königsberg † 7.10.1903 Bonn)
1.2 Funktionenräume und Folgenräume 25
Beispiele : (b) C([0, 1],R), A = f ∈ C([0, 1],R) : 0 = f(0) ≤ f(t) ≤ f(1) = 1, t ∈ [0, 1] nichtgleichgradig stetig:
wählen ε0 = 12 , δ ∈ (0, 1) beliebig, x0 = 1, y0 = 1 − δ
2 , f0(s) = sn0 mit n0 = n0(δ) so,dass (1− δ
2 )n0 < 1
2 y ∃ ε0 > 0 ∀ δ ∈ (0, 1) ∃ x0, y0 ∈ [0, 1], |x0−y0| < δ ∃ f0 ∈ A :
|f0(x0)− f0(y0)| = 1− (1− δ
2)n0 >
1
2= ε0
analog: A = xn : n ∈ N ⊂ C([0, 1],R) nicht gleichgradig stetig in C([0, 1],R)
(c) C([0, 1],R), A = xγ : 0 < γ ≤ 1 ⊂ C([0, 1],R) nicht gleichgradig stetig (ÜA I-16)
Satz 1.36 (Arzelà14-Ascoli15)
Sei [X, d] ein kompakter metrischer Raum. Dann ist A ⊂ C(X) präkompakt genau dann, wenn A beschränktund gleichgradig stetig ist.
Be w e i s : =⇒ A präkompakt =====⇒Satz 1.17
A beschränkt, ∀ ε > 0 ∃ Mε endliches ε-Netz für A
seien ε > 0, Mε = f1, . . . , fm ⊂ C(X) ======⇒glm. stetig
∃ δ = minj=1,...,m
δj(ε) ∀ x, x′ ∈ X, d(x, x′) < δ :
maxj=1,...,m
|fj(x)− fj(x′)| < ε
seien x, x′ ∈ X mit d(x, x′) < δ, f ∈ A
|f(x)− f(x′)| ≤ |f(x)− fj(x)|︸ ︷︷ ︸<‖f−fj‖∞<ε, j=j(f)
+ |fj(x) − fj(x′)|︸ ︷︷ ︸<ε, d(x,x′)<δ
+ |fj(x′)− f(x′)|︸ ︷︷ ︸<‖f−fj‖∞<ε, j=j(f)
< 3ε
========⇒f ∈ A beliebig
supf∈A|f(x)− f(x′)| < 3ε y A gleichgradig stetig
⇐= sei (fk)k ⊂ A, z.z.: ∃ (gr)r ⊂ (fk)k konvergente Teilfolge
sei ε > 0, wählen δ aus Definition 1.35 y ∀ x, y ∈ X, d(x, y) < δ ∀ k ∈ N : |fk(x) − fk(y)| < ε
[X, d] kompakt =====⇒Folg. 1.14
∃ M = xj , j ∈ N ⊂ X mit M = X y X =⋃
j∈NKδ(xj)
======⇒X kompakt
∃ m ∈ N : X =
m⋃
j=1
Kδ(xj)
(fk(xj))k ⊂ K, j ∈ N beschränkt, wenden iterativ Satz von Bolzano-Weierstraß an:
y ∃ (f1k )k ⊂ (fk)k ∃ y1 ∈ K : f1
k (x1) −−−−→k→∞
y1
∃ (f2k )k ⊂ (f1
k )k ∃ y2 ∈ K : f2k (x2) −−−−→
k→∞y2
...∃ (f r
k )k ⊂ (f r−1k )k ∃ yr ∈ K : f r
k (xr) −−−−→k→∞
yr
sei (gr)r Diagonalfolge, (gr)r = (f rr )r y (gr)
∞r=l ⊂ (f l
r)∞r=1, l ∈ N y gr(xl) −−−→
r→∞yl, l = 1, . . . ,m
C(X) vollständig y g.z.z.: (gr)r Cauchy-Folge in C(X), d.h. ‖gr − gj‖∞ < ε für r, j ≥ j0(ε)
Wahl von δ = δ(ε) > 0, (gr)r ⊂ (fk)k y ∀ x, y ∈ X, d(x, y) < δ ∀ j ∈ N : |gj(x)− gj(y)| < ε
sei x ∈ X =m⋃
k=1
Kδ(xk) =⇒ ∃ k ∈ 1, . . . ,m ∀ j ∈ N : |gj(x)− gj(xk)| < ε (7)
14Cesare Arzelà (∗ 6.3.1847 La Spezia/Italien † 15.3.1912 La Spezia/Italien)15Giulio Ascoli (∗ 20.1.1843 Trieste † 12.7.1896 Milano)
26 1 Banachräume
gj(xk) −−−→j→∞
yk, k = 1, . . . ,m y ∃ j0 = j0(ε) ∀ j, r ≥ j0 ∀ k = 1, . . . ,m : |gj(xk)− gr(xk)| < ε (8)
y |gj(x) − gr(x)| ≤ |gj(x) − gj(xk)|︸ ︷︷ ︸<ε, (7)
+ |gj(xk)− gr(xk)|︸ ︷︷ ︸<ε, (8), j,r≥j0
+ |gr(xk)− gr(x)|︸ ︷︷ ︸<ε, (7)
< 3ε
==⇒sup
‖gj − gr‖∞ ≤ 3ε, j, r ≥ j0
y (gr)r ⊂ C(X) Cauchyfolge =========⇒C(X) vollständig
(gr)r konvergent
Bemerkung : wesentlich: [X, d] kompakt
betrachten u(x) =
x, x ∈ [0, 12 ]
1− x, x ∈ [ 12 , 1]
0, sonst
y u ∈ Lip1, |u(x)− u(y)| ≤ |x− y|; 1 212
12 u2u1
u = u0
betrachten uk(x) = u(x − k), k ∈ N0 y A = uk : k ∈ N0 ⊂ C(R), A beschränkt undgleichgradig stetig, aber A nicht präkompakt, da ‖uk − ul‖∞ = 1, k 6= l
Beispiele : (a) Lipa[0, 1], 0 < a < 1, A = f ∈ Lipa[0, 1] : ‖f‖Lipa(I) < 1 präkompakt in C[0, 1]
(b) C([0, 1],R), A = f ∈ C([0, 1],R) : 0 = f(0) ≤ f(t) ≤ f(1) = 1, t ∈ [0, 1] beschränkt,nicht präkompakt in C([0, 1],R)
betrachten jetzt C(X) nicht nur als normierten Vektorraum, sondern als Algebra
Definition 1.37
(i) Eine Algebra A ist eine Menge, auf der Addition und Multiplikation definiert sind, und die unter diesenOperationen abgeschlossen ist.
(ii) Eine Subalgebra (Unteralgebra) U ⊂ A einer Algebra A ist eine Teilmenge von A, die unter Additionund Multiplikation abgeschlossen ist.
Beispiele : • A Unteralgebra der Algebra C(X) ⇐⇒ A Teilraum, sowie ∀ f, g ∈ A : fg ∈ A
• P =⋃
n Pn algebraische Polynome (beliebiger Ordnung) y P Unteralgebra von C(I)
• Pn ⊂ C(I) Subalgebra von C(I) ⇐⇒ n = 0
Übung I-17 : Zeigen Sie, dass für eine Algebra A ⊂ C(X) stets gilt A Algebra.
Satz 1.38 (Stone16-Weierstraß)
Seien [X, d] ein kompakter metrischer Raum und A ⊂ C(X,R) eine Unteralgebra mit den Eigenschaften
(i) A ist punktetrennend, d.h.
∀ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∃ f ∈ A : f(x) 6= f(x′)
(ii) 1 ∈ A
Dann ist A dicht in C(X,R).
16Marshall Harvey Stone (∗ 8.4.1903 New York † 9.1.1989 Madras)
1.2 Funktionenräume und Folgenräume 27
Bemerkung : • A dicht in C(X) ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∀ f ∈ C(X) ∃ a ∈ A : ‖f − a‖∞ < ε ⇐⇒ A = C(X)
• Forderung (i) nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig : sei A nicht punktetren-nend, d.h.
∃ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∀ a ∈ A : a(x) = a(x′)
sei jetzt f ∈ C(X) mit f(x) 6= f(x′)17 y
0 < |f(x)− f(x′)| ≤ |f(x)− a(x)|+ |a(x)− a(x′)|︸ ︷︷ ︸0
+|f(x′)− a(x′)| ≤ 2 ‖f − a‖∞
=⇒inf
dist (f,A) = infa∈A
‖f − a‖∞ ≥ 1
2|f(x)− f(x′)| > 0
y A nicht dicht in C(X)
noch einige Vorbereitungen vor dem Beweis von Satz 1.38
Lemma 1.39 Ein Vektorraum V ⊂ C(X,R) mit 1 ∈ V ist genau dann punktetrennend, wenn es zubeliebigen x, x′ ∈ X mit x 6= x′, und y, y′ ∈ R eine Funktion f ∈ V gibt, so dass gilt
f(x) = y, f(x′) = y′.
Be w e i s : ⇐= klar=⇒ seien jetzt x, x′ ∈ X, x 6= x′, y, y′ ∈ R gegeben, g.z.z. : ∃ f ∈ V : f(x) = y, f(x′) = y′
V punktetrennend =⇒(ii)∃ g ∈ V : g(x) 6= g(x′), setzen f(t) := y′
g(t)− g(x) · 1(t)g(x′)− g(x) + y
g(t)− g(x′) · 1(t)g(x)− g(x′)
Lemma 1.40 Es existiert eine Folge von Polynomen (pn)n∈N0 , für die gilt
pn(0) = 0, n ∈ N0, sowie limn→∞
sup|x|≤1
∣∣∣pn(x)− |x|∣∣∣ = 0.
Be w e i s∗ : ÜA I-12; betrachten z.B. induktiv definierte Folge
p0 ≡ 0, pn+1(x) = pn(x) +1
2
(x2 − p2n(x)
)= pn(x) +
1
2(|x| − pn(x)) (|x|+ pn(x)) , n ∈ N0
man kann (mittels vollständiger Induktion) zeigen: 0 ≤ pn(x) ≤ |x|, n ∈ N0, |x| ≤ 1, sowie
|x| − pn+1(x) = (|x| − pn(x))(1− |x|+ pn(x)
2
)
︸ ︷︷ ︸≤ 2+n|x|
2+(n+1)|x|
≤ (|x| − pn(x))2 + n|x|
2 + (n+ 1)|x|
≤ (|x| − pn−1(x))2 + n|x|
2 + (n+ 1)|x|2 + (n− 1)|x|
2 + n|x|...≤ (|x| − p0(x))︸ ︷︷ ︸
|x|
2 + n|x|2 + (n+ 1)|x|
2 + (n− 1)|x|2 + n|x| · · · 2
2 + |x|︸ ︷︷ ︸
22+(n+1)|x|
=2|x|
2 + (n+ 1)|x| ≤2
n+ 1−−−−→n→∞
0
17Existenz von f : x ∈ V , x′ ∈ V ′, V ∩ V ′ = ∅, o.B.d.A. V, V ′ ⊂ X abgeschlossen, f(y) :=dist (y, V )
dist (y, V ) + dist (y, V ′)y f(x) = 0, f(x′) = 1; i.a. : Lemma von Urysohn, siehe z.B. [Köt60, §6.4]
28 1 Banachräume
Bezeichnungen : seien f, g ∈ C(X,R) =⇒ |f |, max(f, g), min(f, g) ∈ C(X,R), gegeben durch
|f |(x) = |f(x)|, max(f, g)(x) = maxf(x), g(x), min(f, g)(x) = minf(x), g(x), x ∈ X
Lemma 1.41 Sei A ⊂ C(X,R) eine Unteralgebra zu C(X,R) mit 1 ∈ A.
(i) f ∈ A =⇒ |f | ∈ A
(ii) f, g ∈ A =⇒ max(f, g) ∈ A, min(f, g) ∈ A
(iii) Sei F ⊂ A eine endliche Teilmenge, dann gilt max f : f ∈ F ∈ A, min f : f ∈ F ∈ A
Be w e i s : zu (i) : sei f ∈ A, o.B.d.A. f 6= 0 mit ‖f‖∞ = 1 (sonst g = ‖f‖−1∞ f betrachten); verwenden
Lemma 1.40 mit h(x) = |x| auf [−1, 1]
y ∃ (pn)n, pn ∈ P : ‖pn − h‖∞glm.−−−−→n→∞
0; f ∈ A ====⇒Algebra
pn(f) ∈ A
y∥∥∥pn(f)− |f |︸︷︷︸
h(f)
∥∥∥∞
= supx∈X
|pn (f(x))− h (f(x))| ≤ξ = f(x)
sup|ξ|≤‖f‖∞=1
|pn(ξ)− h(ξ)|︸ ︷︷ ︸
‖pn−h‖∞
Lemma 1.40−−−−−−−→n→∞
0
======⇒pn(f) ∈ A
|f | ∈ A
zu (ii), (iii) : max(f, g) =f + g + |f − g|
2, min(f, g) =
f + g − |f − g|2
außerdem : A Algebra ====⇒ÜA -17
A Algebra =⇒(i)
(ii) ==⇒Ind.
(iii)
B e w e i s : (von Satz 1.38)
sei f ∈ C(X,R), z.z.: f ∈ A =========⇒A abgeschlossen
g.z.z. : ∀ ε > 0 ∃ aε ∈ A : ‖aε − f‖∞ < ε
seien ε > 0, x, ξ ∈ X, x 6= ξ =======⇒Lemma 1.39
∃ hx,ξ ∈ A ⊂ C(X,R) : hx,ξ(x) = f(x), hx,ξ(ξ) = f(ξ)
setzenΩx,ξ :=
y ∈ X : hx,ξ(y) < f(y) +
ε
2
⊂ X, x, ξ ∈ X
y x, ξ ⊂ Ωx,ξ, Ωx,ξ offen (als Urbild offener Mengen unter stetigen Funktionen), und
X ⊇⋃
ξ∈X, ξ 6=x
Ωx,ξ ⊇⋃
ξ∈X, ξ 6=x
x, ξ︸ ︷︷ ︸
X
=⇒ X︸︷︷︸
kompakt
=⋃
ξ∈X, ξ 6=x
Ωx,ξ
︸︷︷︸offen
, x ∈ X
=====⇒Satz 1.13
∀ x ∈ X ∃ Fx ⊂ X, #Fx <∞ : X =⋃
ξ∈Fx
Ωx,ξ
setzen hx := minhx,ξ : ξ ∈ Fx, x ∈ X =========⇒Lemma 1.41(iii)
hx ∈ A, hx(y) ≤ f(y) +ε
2, x, y ∈ X
definieren jetzt
Ωx :=y ∈ X : hx(y) > f(y)− ε
2
⊂ X, x ∈ X
y x ∈ Ωx, Ωx offen, und
X ⊇⋃
x∈X
Ωx ⊇⋃
x∈X
x︸ ︷︷ ︸
X
=⇒ X︸︷︷︸
kompakt
=⋃
x∈X
Ωx
︸︷︷︸offen
=⋃
x∈F
Ωx für ein F ⊂ X, #F <∞
mit aε := maxhx : x ∈ F =========⇒Lemma 1.41(iii)
aε ∈ A, aε(y) ≥ f(y)− ε
2, y ∈ X
1.2 Funktionenräume und Folgenräume 29
y f(y)− ε < aε(y) < f(y) + ε, y ∈ X ⇐⇒ ‖f − aε‖∞ < ε
Schreibweise: Multiindex α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0 , |α| =
n∑
i=1
αi, ξα = ξα11 · · · ξαn
n , ξ ∈ Rn
Folgerung 1.42 Sei Ω ⊂ Rn offen, beschränkt. Dann liegt die Menge aller reellen Polynome
P =⋃
m∈N0
Pm =p(x) =
m∑
|α|=0
aαxα, aα ∈ R, m ∈ N0, α ∈ Nn
0
dicht in C(Ω,R).
Be w e i s : X = Ω, P ⊂ C(X,R) Unteralgebra aller reellen Polynome mit
• 1P = p0 ∈ P , p0(x1, . . . , xn) ≡ 1
• x, ξ ∈ Ω ⊂ Rn, x 6= ξ y ∃ j ∈ 1, . . . , n : xj 6= ξj ; setzen f := pj ∈ P mit pj(y1, . . . , yn) = yj ,j = 1, . . . , n
y P punktetrennend =====⇒Satz 1.38
P dicht in C(Ω,R)
Bemerkung : auch PQ =p(x) =
m∑
|α|=0
aαxα, aα ∈ Q, m ∈ N0, α ∈ Nn
0
dicht in C(Ω,R)
speziell für n = 1, Ω = [a, b] klassisches Resultat:
Folgerung 1.43 (Weierstraß 1885)Sei f ∈ C[a, b]. Dann existiert eine Polynomfolge (pn)n, die gleichmäßig auf [a, b] gegen f konvergiert.
Bemerkung : zahlreiche verschiedene Beweise, konstruktiver Beweis mit Bernstein18-Polynomen Bnf ∈ Pn,n ∈ N0, gegeben für f : [0, 1] −→ R als
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(n
k
)f
(k
n
)xk(1− x)n−k, x ∈ [0, 1]
siehe ÜA -18
Beispiel : Seien X = R ∪ ∞ (1-Punkt-Kompaktifizierung), und
C(X,R) =
f ∈ C(R) : −∞ < lim
x→∞f(x) = lim
x→−∞f(x) <∞
,
A =
g ∈ C(X,R) : ∃ p(x) ∈ P ∃ n ∈ N0 : g(x) =
p(x)
(1 + x2)n
„rationale Funktionen“
y A ⊂ C(X,R) Unteralgebra,
(i) 1A = g0 ∈ A, g0 ≡ 1 =p0
(1 + x2)0
(ii) x, ξ ∈ X, x 6= ξ, A ∋ f(y) :=
y
1 + y2, xξ 6= 1 ∧ (x, ξ) 6= (0,∞)
1− y21 + y2
, xξ = 1 ∨ (x, ξ) = (0,∞)
y A punktetrennend =====⇒Satz 1.38
A dicht in C(X,R)
18Sergi Natanovich Bernstein (∗ 5.3.1880 Odessa † 26.10.1968 Moskau)
30 1 Banachräume
Satz 1.44 (Stone-Weierstraß)
Seien X ein kompakter metrischer Raum und A ⊂ C(X,C) eine Unteralgebra mit den Eigenschaften
(i) A ist punktetrennend,
(ii) 1 ∈ A,
(iii) f ∈ A =⇒ f ∈ A.
Dann ist A dicht in C(X,C).
Be w e i s : sei f ∈ A ==⇒(iii)
f ∈ A y ℜe f, ℑm f ∈ A; sei AR = ℜe g : g ∈ A ∪ ℑmh : h ∈ A
y AR Unteralgebra von C(X,R), 1 ∈ AR, punktetrennend
=====⇒Satz 1.38
∃ (gj)j ⊂ AR, (hj)j ⊂ AR : ‖gj −ℜe f‖∞ −−−→j→∞0, ‖hj −ℑm f‖∞ −−−→j→∞
0
===========⇒fj = gj + ihj , (iii)
∃ (fj)j ∈ A : ‖fj − f‖∞ −−−→j→∞0
Bezeichnungen: C2π(K) =
f : R −→ K, f stetig, 2π − periodisch, ‖f‖∞ = sup
x∈R
|f(x)| <∞
Folgerung 1.45 Die Menge der trigonometrischen Polynome
T =⋃
m∈N0
Tm =t(x) =
m∑
k=−m
akeikx, ak ∈ C, m ∈ N0
ist dicht in C2π(C).
Be w e i s : sei X = S1 = z ∈ C : |z| = 1, A =h(z) =
m∑
k=−m
akzk, ak ∈ C, m ∈ N0
⊂ C(X,C),
1 ∈ A, punktetrennend (da id ∈ A),
h ∈ A y h(z) =
m∑
k=−m
akzk y h(z) =
m∑
k=−m
ak zk︸︷︷︸|z|kz−k
=|z| = 1
m∑
k=−m
akz−k y h ∈ A
=====⇒Satz 1.44
A dicht in C(X,C); betrachten natürliche Isomorphie
f ∈ C(X,C) ←→ f ∈ C2π(C), f(eix)
= f(x), x ∈ R; h ∈ A ←→ h ∈ T
y T dicht in C2π(C)
Folgerung 1.46 Die Menge der trigonometrischen Polynome
TR =t(x) =
a02
+
m∑
k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) , ai, bi ∈ R, m ∈ N0
ist dicht in C2π(R).
Be w e i s : analog zum Beweis von Folg. 1.45 mit A = span cos(kx), sin(kx), k ∈ N0 ⊂ C2π(R)
1.2 Funktionenräume und Folgenräume 31
Bemerkung : konstruktive Beweise u.a. mit Fejér19-Polynomen Fnf oder de la Valleé-Poussin20-PolynomenVnf :
Fnf =1
n
n−1∑
k=0
Sk[f ], bzw. Vnf =1
n
2n−1∑
k=n
Sk[f ], f ∈ C2π(R), n ∈ N,
mit den Fourier21-Partialsummen
Sn[f ](x) =a0(f)
2+
n∑
k=1
(ak(f) cos(kx) + bk(f) sin(kx)) , x ∈ [−π, π],
und ak(f) =1
π
π∫
−π
f(x) cos(kx) dx, bk(f) =1
π
π∫
−π
f(x) sin(kx) dx, k ∈ N0
1.2.3 Räume differenzierbarer Funktionen
Schreibweise: Multiindex α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0 , |α| =
n∑
i=1
αi, Dα =∂|α|
∂α1x1 . . . ∂
αnxn
in Abschnitt 1.2.2: C(Ω,K) = C(Ω), C(Ω), C(Ω); setzen C(Ω) = C0(Ω)
Definition 1.47 Seien Ω ⊂ Rn offen, m ∈ N0.
(i) Cm(Ω) = f : Ω→ K : ∀ α ∈ Nn0 , |α| ≤ m ∃ Dαf ∈ C(Ω); C∞(Ω) =
⋂
m∈N0
Cm(Ω)
(ii) Für f : Rn → K nennt man supp f = x ∈ Rn : f(x) 6= 0 Träger der Funktion f . Man setzt
C∞0 (Ω) = f ∈ C∞(Ω) : supp f ⊂ Ω kompakt .
(iii) Cm(Ω) = f ∈ Cm(Ω) : ∀ α ∈ Nn
0 , |α| ≤ m : Dαf beschränkt und gleichmäßig stetig
‖f‖Cm(Ω) =
∑
|α|≤m
‖Dαf‖∞
(iv) Für Ω ⊂ Rn beschränkt und offen setzt man
Cm(Ω) =
f ∈ C(Ω) : ∀ α ∈ Nn
0 , |α| ≤ m ∃ stetige Fortsetzung von Dαf auf Ω
Bemerkung : analog zu früheren Betrachtungen: Cm(Ω) = Cm(Ω) für Ω ⊂ Rn offen, beschränkt
Satz 1.48 Seien Ω ⊂ Rn offen, m ∈ N0. Dann ist Cm(Ω) mit der Norm ‖ · ‖
Cm(Ω) ein Banachraum.
Be w e i s : sei (fk)k ⊂ Cm(Ω) Cauchyfolge y ∀ α ∈ Nn
0 , |α| ≤ m : (Dαfk)k ⊂ C(Ω) Cauchyfolge=======⇒Satz 1.33(iii)
C(Ω) vollständig y ∀ α ∈ Nn0 , |α| ≤ m ∃ fα ∈ C(Ω) : ‖Dαfk − fα‖∞ −−−−→k→∞
0
sei f = f(0,...,0); g.z.z.: Dαf = fα, α ∈ Nn0 , |α| ≤ m
19Lipót Fejér (∗ 9.2.1880 Pécs (Ungarn) † 15.10.1959 Budapest)20Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Valleé-Poussin (∗ 14.8.1866 Louvain / Belgien † 2.3.1962 Louvain)21Jean Baptiste Joseph Fourier (∗ 21.3.1768 Auxerre, Bourgogne/Frankreich † 16.5.1830 Paris)
32 1 Banachräume
sei α1 = (1, 0, . . . , 0) y Dα1fk =∂fk∂x1
===⇒k→∞
fα1
fk(x01 + h, x2, . . . , xn)− fk(x01, x2, . . . , xn)
h
︸ ︷︷ ︸⇓ k → ∞
=1
h
x01+h∫
x01
∂fk∂x1
(s, x2, . . . , xn) ds
︸ ︷︷ ︸⇓ k → ∞
f(x01 + h, x2, . . . , xn)− f(x01, x2, . . . , xn)h
=1
h
x01+h∫
x01
fα1(s, x2, . . . , xn) ds
===⇒h → 0
∂f
∂x1(x01, x2, . . . , xn) = fα1(x
01, x2, . . . , xn) existiert 99K Iteration
Beispiel : betrachten
ω(x) :=
c e
− 11−|x|2 , |x| < 1,
0, |x| ≥ 1,x ∈ Rn, (9)
mit c =( ∫
K1(0)
e− 1
1−|x|2 dx)−1
y∫
Rn
ω(x) dx = 1,
supp ω = x ∈ Rn : |x| ≤ 1
Beh. : ω(x) ∈ C∞0 (Rn)
Rn
ω(x)ce−1
0
∂ω(x)
∂xj= c e
− 11−|x|2
−2xj(1− |x|2)2
99K · · · 99K Dγω(x) = c e− 1
1−|x|2
Polynom︷ ︸︸ ︷pγ(x)
(1− |x|2)2|γ|, γ ∈ Nn
0
lim|x|↑1
Dγω(x) = lim|x|↑1
e− 1
1−|x|2c pγ(x)
(1− |x|2)2|γ|=
t = 11−|x|2
limt→∞
e−t t2|γ| pγ(t) = 0
c
ω(x)
ωh(x)
Rn1 0 1
sei jetzt h > 0, setzen
ωh(x) :=1
hnω(xh
), x ∈ Rn (10)
supp ω = x ∈ Rn : |x| ≤ 1 = K1(0)
y supp ωh = y ∈ Rn : |y| ≤ h = Kh(0)
y ωh ∈ C∞0 (Rn),
∫
Rn
ωh(x) dx =1
hn
∫
Rn
ω(xh
)dx
=y = x
h
∫
Rn
ω(y) dy = 1
Lemma 1.49 Seien Ω ⊂ Rn offen und Γ ⊂ Ω kompakt. Dann gibt es ein ϕ ∈ C∞0 (Rn) mit suppϕ ⊂ Ω,
ϕ(x) = 1 für x ∈ Γ, und 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, x ∈ Ω.
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 33
B e w e i s : seien 0 < ε < 12dist (Γ, ∂Ω), Γε = y ∈ Rn : dist (Γ, y) ≤ 2ε kompakt y Γ ⊂ Γε ⊂ Ω
Γ ⊂⋃
x∈Γ
Kε(x) =====⇒Satz 1.13
∃ x1, . . . , xm ∈ Γ : Γ ⊂m⋃
j=1
Kε(xj) ⊂ Γε ⊂ Ω
sei ω gegeben durch (9)
y ψ(x) =
m∑
j=1
ω
(x− xjε
)∈ C
∞0 (Rn), suppψ ⊂
m⋃
j=1
Kε(xj) ⊂ Γε ⊂ Ω,
Ω
Γ
Γε
x ∈ Γ y ∃ j ∈ 1, . . . ,m : x ∈ Kε(xj) y ψ(x) > ω
(x− xjε
)> 0 y h0 = min
x∈Γψ(x) > 0
betrachten auf R: ωh(· − h), h > 0, mit ωh aus (10)
suppωh = [−h, h] y suppωh(· − h) = [0, 2h],∫
R
ωh(t− h) dt =∫ 2h
0
ωh(t− h) dt = 1; setzen
ηh(t) =
∫ t
0
ωh(s− h) ds, t > 0,
0, t ≤ 0,
y ηh ∈ C∞(R), supp ηh ⊂ [0,∞), mit ηh(t)
= 1 t ≥ 2h,
∈ [0, 1], 0 < t < 2h,
= 0, t ≤ 0 2h
ηh1
0
ϕ1
Γ Ω
Ω
Γ
Rn
setzen
ϕ = ηh0/2 ψ : Rn → [0, 1] y ϕ ∈ C∞(Rn)
x ∈ Γ y ψ(x) ≥ miny∈Γ
ψ(y) = h0 > 0 y ηh0/2(ψ(x)) = 1
x ∈ Ω \ Γε ⊂ Rn \ Γε y ψ(x) = 0 y ηh0/2(ψ(x)) = 0
y ϕ ∈ C∞0 (Rn), suppϕ ⊂ Γε ⊂ Ω, ϕ(x)
= 1 x ∈ Γ,
∈ [0, 1], x ∈ Γε,
= 0, x ∈ Ω \ Γε
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω)
1.3.1 Maße und messbare Funktionen
Definition 1.50 Sei Ω 6= ∅ eine beliebige Menge. Ein System von Teilmengen A von Ω heißt σ-Algebra,falls gelten
(i) Ω ∈ A, ∅ ∈ A
(ii) A ∈ A y Ω \A ∈ A
(iii) (Ak)k∈N ⊂ A y⋃
k∈N
Ak ∈ A
Bemerkung : • sei (Ak)k∈N ⊂ A =⇒(ii)
(Ω \Ak)k∈N ⊂ A ==⇒(iii)
⋃
k∈N
(Ω \Ak) = Ω \⋂
k∈N
Ak ∈ A
=⇒(ii)
⋂
k∈N
Ak ∈ A
• Potenzmenge P(Ω) ist σ-Algebra
34 1 Banachräume
Definition 1.51 Sei A eine σ-Algebra über Ω. Eine Abbildung µ : A→ [0,∞] heißt Maß auf A, falls gelten
(i) µ(∅) = 0
(ii) Für alle Mengen Ak ∈ A, k ∈ N, mit Ak ∩ Aj = ∅, k 6= j, gilt
µ( ⋃
k∈N
Ak
)=
∞∑
k=1
µ(Ak).
Jedes A ∈ A heißt (µ−)messbare Menge, das Tripel [Ω,A, µ] nennt man Maßraum.
Bemerkung : • µ(A) =∞ möglich
• aus (ii) folgt Monotonie: seien A,B ∈ A mit A ⊂ B y B \A = B ∩ (Ω \A) ∈ A
=⇒(ii)
µ(B) = µ(A) + µ(B \A)︸ ︷︷ ︸≥0
≥ µ(A)
Definition 1.52 Sei [Ω,A, µ] ein Maßraum.
(i) µ heißt σ-endliches Maß, falls es ein System (Ak)k∈N ⊂ A gibt mit
µ(Ak) <∞, k ∈ N, und Ω =⋃
k∈N
Ak.
In diesem Fall nennt man [Ω,A, µ] einen σ-endlichen Maßraum.
(ii) µ heißt endliches Maß, falls µ(Ω) <∞ gilt.
(iii) µ heißt vollständig, falls für alle N ∈ A mit µ(N) = 0 und alle A ⊂ N folgt A ∈ A. In diesem Fallnennt man [Ω,A, µ] einen vollständigen Maßraum.
Bemerkung : wegen der Monotonie impliziert (iii) unmittelbar 0 ≤ µ(A) ≤ µ(N) = 0, d.h. µ(A) = 0
Beispiel : Ω = N, A = P(N), µ = ν Zählmaß, d.h. ν(A) = #A = card(A) y [N,P(N), ν] vollständigerσ-endlicher Maßraum
wichtigstes Beispiel hier: Lebesgue22-Maß auf Rn
Definition 1.53 Eine Menge B ⊂ Rn heißt Borel-Menge, falls B durch abzählbar viele Mengenoperationen(Vereinigung, Durchschnitt, Komplementbildung) offener Mengen entstanden ist.
Bezeichnung: seien a, b ∈ Rn mit aj < bj , j = 1, . . . , n
Q =n¡
j=1
(aj , bj) = (a1, b1)× · · · × (an, bn) ⊂ Rn offener Quader (Intervall)
Lemma 1.54 (i) Die Familie der Borelmengen Bn ist die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Teilmengendes Rn enthält.
(ii) Eine offene Menge Ω ⊂ Rn ist die abzählbare Vereinigung einer Folge offener Quader, Ω =⋃
m∈NQm.
Bemerkung : • Darstellung in (ii) nicht eindeutig
• Ein Maß µ auf [Rn,Bn] heißt Borel-Maß.
22Henri Léon Lebesgue (∗ 28.6.1875 Beauvais, Picardie/Frankreich † 26.7.1941 Paris)
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 35
Ziel: spezielles Borelmaß λn : Bn → [0,∞] mit
λn(Q) =
n∏
j=1
(bj − aj), Q =n¡
j=1
(aj , bj)
Satz 1.55 Sei Bn die σ-Algebra der Borelmengen auf Rn. Es existiert genau ein σ-endliches Maß λ aufBn, so dass
λ(Q) =n∏
j=1
(bj − aj)
für alle offenen Quader Q =n
j=1
(aj , bj) gilt.
Bemerkung : • elementargeometrisches Volumen∏n
j=1(bj−aj) ist (Lebesguesches) Prämaß, d.h. erfülltEigenschaften (i) und (ii) aus Definition 1.51, aber auf Halbring23H statt σ-Algebra A
• dann: äußeres Maß24 µ∗ : P(X)→ [0,∞]A ⊂ X µ∗-messbar ⇐⇒ ∀ B ⊂ X : µ∗(B) ≥ µ∗(B ∩A) + µ∗(B \A)Satz von Carathéodory25: sei µ∗ : P(X)→ [0,∞] äußeres Maß
y A∗ = A ⊂ X : A µ∗-messbar σ-Algebra, µ∗|A∗Maß
• Fortsetzungssatz: sei µ : H→ [0,∞] Prämaß y µ∗ : P(X)→ [0,∞], gegeben durch
µ∗(A) = inf
∑
k∈N
µ(Ak) : Ak ∈ H, A ⊂⋃
k∈N
Ak
äußeres Maß, alle Mengen aus H sind µ∗-messbar, µ∗|H = µ y µ∗|A∗Fortsetzung von
µ zu Maß auf σ-Algebra, die H umfasst
• speziell: Konstruktion von λ∗ zu λ:
λ∗(Ω) = inf
∑
k∈N
λ(Ωk) : Ω ⊂⋃
k∈N
Ωk, Ωk ∈ Bn
, Ω ⊂ Rn
möglich: Ωk = Qk offene Quader, abgeschlossene Quader, . . .
• [Rn,Bn, λ] nicht vollständig
• Satz26von Hahn27: Jedes Maß besitzt eine kleinste vollständige Erweiterung.
Satz 1.56 Es gibt eine kleinste vollständige Erweiterung [Rn,Ln, λn] von [Rn,Bn, λ], d.h.
(i) [Rn,Ln, λn] ist ein vollständiger, σ-endlicher Maßraum,
(ii) λn setzt λ auf Ln ⊃ Bn fort: ∀ A ∈ Bn : λn(A) = λ(A) ⇐⇒ λn|Bn= λ,
(iii) für alle Maßräume [Rn,A, µ] mit den Eigenschaften (i) und (ii) folgt Ln ⊂ A sowie µ|Ln= λn.
Bezeichnungen: – [Rn,Ln, λn] aus Satz 1.56: Lebesguescher Maßraum, λn Lebesgue-Maß– A ⊂ Rn Lebesgue-messbar ⇐⇒ A ∈ Ln, |A| = λn(A), A ∈ Ln
– N ∈ Ln Lebesguesche Nullmenge ⇐⇒ λn(N) = 0
23∅ ∈ H; A,B ∈ H y A ∩ B ∈ H; A,B ∈ H y ∃ C1, . . . , Cm ∈ H, Cj ∩ Ci = ∅, i 6= j : A \B =⋃m
k=1Ck
24µ∗(∅) = 0, A ⊂ B ⊂ X y µ∗(A) ≤ µ∗(B), (An)n ⊂ X y µ∗(⋃
n An) ≤∑
n µ∗(An)25Constantin Carathéodory (∗ 13.9.1873 Berlin † 2.2.1950 München)26Jedes σ-endliche Prämaß µ0 lässt sich zu einem eindeutig bestimmten vollständigen Maß µ erweitern, das auch σ-endlich ist.27Hans Hahn (∗ 27.9.1879 Wien † 24.7.1934 Wien)
36 1 Banachräume
Satz 1.57 (i) N ⊂ Rn ist eine Lebesguesche Nullmenge genau dann, wenn
∀ ε > 0 ∃ (Qk)k∈N, N ⊂⋃
k∈N
Qk :∑
k∈N
|Qk| < ε
(ii) Jede abzählbare Menge in Rn ist Lebesguesche Nullmenge.
(iii) Das Lebesgue-Maß ist invariant bezüglich Translation und Rotation im Rn:
∀ x0 ∈ Rn ∀ A ∈ Ln ∀ T ∈ O(n) : λn(x0 +A) = λn(A) = λn(Tx : x ∈ A)
(iv) Das Lebesgue-Maß λn ist regulär, d.h.
∀ A ∈ Ln ∃ B ⊂ Rn offen ∃ F ⊂ Rn abgeschlossen : F ⊂ A ⊂ B, λn(B\A) < ε, λn(A\F ) < ε
Bemerkung : • Translationsinvarianz in (iii) charakteristisch: sei µ translationsinvariant auf Ln mitµ((0, 1]n) = 1 y µ = λn
• Verallgemeinerung der Rotationsinvarianz in (iii): sei Φ : Rn → Rn bijektive, affineAbbildung, A ∈ Ln y Φ(A) ∈ Ln, λn(Φ(A)) = | detΦ|λn(A)
Beispiel : seien a1, . . . , an ∈ Rn, V = γ1a1 + · · ·+ γnan, γi ∈ [0, 1] = Φ(Q0) Parallelepiped
Q0 Einheitswürfel, Φ = (a1, . . . , an) : Rn → Rn betrachtet als n× n-Matrix
y vol(V ) = λn(V ) = | det(a1, . . . , an)|
bzw. mittels Gram28-Determinante
g(a1, . . . , an) =
∣∣∣∣∣∣∣
〈a1, a1〉 〈a1, a2〉 · · · 〈a1, an〉...
...〈an, a1〉 〈an, a2〉 · · · 〈an, an〉
∣∣∣∣∣∣∣y vol(V ) =
√g(a1, . . . , an)
Bemerkung : • anstelle von (iv) gilt sogar für A ⊂ Rn: A ∈ Ln genau dann, wenn
∀ ε > 0 ∃ B ⊂ Rn offen, F ⊂ Rn abgeschlossen : F ⊂ A ⊂ B, λn(B \ F ) < ε
• A ∈ Ln y λn(A) = infλn(B) : B ⊃ A, B offen= supλn(F ) : F ⊂ A, F abgeschlossen= supλn(K) : K ⊂ A, K kompakt
• A ∈ A von innen regulär ⇐⇒ µ(A) = supµ(K) : K ⊂ A, K ∈ A, K kompaktA ∈ A von außen regulär ⇐⇒ µ(A) = infµ(B) : A ⊂ B, B ∈ A, B offenA ∈ A regulär ⇐⇒ A von innen & außen regulär; µ regulär ⇐⇒ ∀ A ∈ A : A regulär
• Es gilt Ln ( P(Rn), d.h. ∃ M ⊂ Rn : M /∈ Ln (Vitali 1905)
Bezeichnungen
• charakteristische Funktion χB(x) =
1, x ∈ B0, x 6∈ B
• [Ω,A, µ] vollständig, σ-endlich;Eigenschaft H gilt auf A ⊂ Ω µ-fast überall (µ-f.ü.) ⇐⇒ ∃ N ∈ A, µ(N) = 0 : H gilt auf A \N
28Jorgen Pedersen Gram (∗ 27.6.1850 Nustrup/Dänemark † 29.4.1916 Kopenhagen)
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 37
Definition 1.58 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A.
(i) Eine Funktion s : A → K heißt einfache Funktion oder Treppenfunktion, falls m ∈ N, αj ∈ K,Aj ∈ A, j = 1, . . . ,m, existieren mit
A ⊂m⋃
j=1
Aj und s(x) =m∑
j=1
αjχA∩Aj(x), x ∈ A.
(ii) Eine Funktion f : A→ K heißt µ-messbar, falls eine Folge von Treppenfunktionen (sk)k∈N existiert,so dass sk −−−−→
k→∞f µ-f.ü. auf A gilt.
Beispiele : (a) [Ω,A, µ] Maßraum, A ⊂ X, α ∈ K \ 0; f = αχAµ-messbar ⇐⇒ A ∈ A
(b) [Ω,A, µ] = [R,L1, λ1]; f(x) =
1, x ∈ [0, 1] ∩Q
0, x ∈ [0, 1] \Q spezielle “Treppenfunktion”
Satz 1.59 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, f : A → K. Folgende Aussagensind äquivalent:
(i) f ist µ-messbar
(ii) Die Urbilder offener Mengen in K unter f sind µ-messbar.
(iii) Die Urbilder von Borelmengen in K unter f sind µ-messbar.
Bezeichnung: f : A→ R y f+ = max(f, 0), f− = −min(f, 0) y f = f+ − f−
Satz 1.60 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A.
(i) Für f, g : A→ K µ-messbar sind auch f + g, fg, fg , |f |α für α ∈ R µ-messbar.
(ii) Seien fk : A→ K µ-messbar, k ∈ N, mit fk −−−−→k→∞
f µ-f.ü. Dann ist auch f µ-messbar.
(iii) Für f, g : A→ R µ-messbar sind auch f+, f−, max(f, g) und min(f, g) µ-messbar.
(iv) Für fk : A→ R µ-messbar, k ∈ N, sind supk∈N
fk, infk∈N
fk, lim supk→∞
fk und lim infk→∞
fk µ-messbar.
Satz 1.61 (Egorov29)Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A mit µ(A) < ∞, fk : A → K µ-messbar fürk ∈ N. Dann gilt:
fk −−−−→k→∞
f µ-f.ü. auf A ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ Aε ∈ A : µ(A \Aε) < ε ∧ fk ===⇒k→∞
f gleichmäßig auf Aε
Satz 1.62 Seien [Rn,Ln, λn] der Lebesguesche Maßraum, A ⊂ Rn.
(i) Falls f : Rn → K λn-f.ü. stetig ist, so ist f λn-messbar.
(ii) Falls ∂A eine Lebesgue-Nullmenge ist, d.h. ∂A ∈ Ln mit λn(∂A) = 0, so ist A ∈ Ln.
(iii) f : A→ K ist λn-messbar, falls fA λn-f.ü. stetig ist auf Rn, wobei fA =
f, auf A,
0, sonst.
29Dimitri Fedorovich Egorov (∗ 22.12.1869 Moskau † 10.9.1931 Kazan)
38 1 Banachräume
Bemerkung : Satz von Lusin30: Sei f : Rn → K λn-messbar. Dann existieren für alle ε > 0 und A ∈ Ln
eine kompakte Menge K ⊂ A, so dass λn(A \K) ≤ ε gilt, sowie eine stetige Fortsetzung f ,die auf K mit f übereinstimmt.
1.3.2 Das Lebesgue-Integral
Definition 1.63 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A.
(i) Für eine einfache Funktion s =m∑j=1
αjχA∩Aj, αj ∈ K, Aj ∈ A, j = 1, . . . ,m, setzt man
∫
A
s(x) dµ =
m∑
j=1
αjµ(A ∩ Aj).
(ii) Eine µ-messbare Funktion f : A→ K heißt µ-integrierbar, falls für eine Folge von Treppenfunktionen(sk)k∈N mit sk −−−−→
k→∞f µ-f.ü. auf A gilt
∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n,m ≥ n0(ε) :
∫
A
|sn(x) − sm(x)| dµ < ε.
Man setzt in diesem Fall ∫
A
f(x) dµ = limn→∞
∫
A
sn(x) dµ
(unabhängig von der Auswahl der Folge (sn)n∈N).
Bemerkung : • seien f = g µ-f.ü. und f µ-integrierbar y g µ-integrierbar,∫Af dµ =
∫Ag dµ
•∫A1 dµ =
∫Adµ = µ(A), A ∈ A
• sei f : Ω→ K µ-messbar y∫Af dµ =
∫Ωfχ
Adµ, falls das Integral existiert
• anderer Zugang:
– zunächst f : A→ [0,∞] µ-messbar y∫
A
f dµ = sup0≤s≤f
∫
A
s dµ, falls existent
– f : A→ R µ-messbar ========⇒f = f+ − f−
∫
A
f dµ =
∫
A
f+ dµ−∫
A
f− dµ
– f : A→ C µ-messbar ===========⇒f = ℜe f + i ℑm f
∫
A
f dµ =
∫
A
ℜe f dµ+ i
∫
A
ℑm f dµ
Beispiel : f(x) =
1, x ∈ [0, 1] ∩Q
0, x ∈ [0, 1] \Q λ1-messbar 99K ∃∫ 1
0
f dλ1 = 0
Satz 1.64 (Lebesgue/Vitali31)
Sei Q ⊂ Rn ein offener Quader. Eine beschränkte Funktion f : Q → K ist Riemann-integrierbar genaudann, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitspunkte eine λn-Nullmenge ist; in diesem Fall gilt
∫
Q
f(x) dx =
∫
Q
f dλn.
30Nikolai Nikolaevich Lusin (∗ 9.12.1883 Irkutsk † 25.2.1950 Moskau)31Guiseppe Vitali (∗ 26.8.1875 Ravenna † 29.2.1932 Bologna)
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 39
Geometrische Deutung der beiden Integrale
x1 x2 xn−1a b
U(f,Z)
O(f,Z)
f
Riemann32-Integral∫ b
a
f(x) dx
Zerlegung Z des Integrationsgebietes,
[a, b] =
n⋃
j=1
Ij
mit Ij = [xj , xj+1)
U(f,Z) =n∑
j=1
infx∈Ij
f(x) |Ij |
O(f,Z) =n∑
j=1
supx∈Ij
f(x) |Ij |
falls U(f) = supZ
U(f,Z) = infZO(f,Z) = O(f)
y ∃∫ b
a
f(x) dx = U(f) = O(f)
f
a b
y1
ym
y2
OL(f,ZL)
UL(f,ZL)
A2A1
Lebesgue-Integral∫
[a,b]
f dλ1
Zerlegung ZL des Wertebereiches,[
infx∈[a,b]
f(x), supx∈[a,b]
f(x)
]=
m−1⋃
j=1
[yj , yj+1)
und Aj = x ∈ [a, b] : yj ≤ f(x) < yj+1
UL(f,ZL) =
m−1∑
j=1
yj λ1(Aj)
OL(f,ZL) =
m−1∑
j=1
yj+1 λ1(Aj)
falls UL(f) = supZL
UL(f,ZL) = infZL
OL(f,ZL) = OL(f)
y ∃∫
[a,b]
f dλ1 = UL(f) = OL(f)
Wiederholung: Jordan33-Messbarkeit für Ω ⊂ Rn, Ω beschränkt
S ⊂ Rn Q-Gebiet ⇐⇒ ∃ Q1, . . . , Qm, Qj ∩Qk = ∅, j 6= k :
S =
m⋃
k=1
Qk
setzen |Ω|i = sup |S| : S Q-Gebiet, S ⊆ Ω|Ω|a = inf |T | : T Q-Gebiet, T ⊇ Ω
T
Ω
S
Ω Jordan-messbar ⇐⇒ |Ω|i = |Ω|a = |Ω|(n) Jordan-Inhalt (bzw. Peano34-Inhalt)
⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ Qε Q-Gebiet : ∂Ω ⊂ Qε, |Qε|(n) < ε ⇐⇒ |∂Ω|(n) = 0
⇐⇒ χΩ
bezüglich beliebigem Quader Q ⊃ Ω integrierbar; dann ist∫Q
χΩ(x) dx = |Ω|(n)
Bemerkung : • sei Ω ⊂ Rn Jordan-messbar, f : Ω → K beschränkt ===⇒früher
∃∫Ωf(x) dx Riemann-
Integral; andererseits: Ω Jordan-messbar y Ω ∈ Ln y ∃∫Ωf dλn, es gilt:
∫
Ω
f(x) dx =
∫
Ω
f dλn
• absolut konvergente (uneigentliche) Riemann-Integrale auch identisch mit Lebesgue-Integralen
32Georg Friedrich Bernhard Riemann (∗ 17.9.1826 Hannover † 20.7.1866 Selasca/Italien)33Marie Ennemond Camille Jordan (∗ 5.1.1838 Lyon † 22.1.1922 Paris)34Giuseppe Peano (∗ 27.8.1858 Cuneo/Italien † 20.4.1932 Turin)
40 1 Banachräume
Schreibweise: [Rn,Ln, λn] Lebesguescher Maßraum, A ∈ Ln:∫Af dλn =
∫Af(x) dx
Satz 1.65 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A mit µ(A) > 0.
(i) Für µ-integrierbare Funktionen f, g : A→ K und α, β ∈ K existiert∫A(αf + βg) dµ, es gilt
∫
A
(αf + βg) dµ = α
∫
A
f dµ+ β
∫
A
g dµ
(ii) Für µ-integrierbare Funktionen f, g : A→ R, für die f ≤ g µ-f.ü. gilt, ist∫
A
f dµ ≤∫
A
g dµ.
(iii) f : A→ K ist genau dann µ-integrierbar, wenn |f | : A→ R µ-integrierbar ist; es gilt∣∣∣∫
A
f dµ∣∣∣ ≤
∫
A
|f | dµ
(iv) Sei f : A→ K µ-integrierbar. Dann gilt∫
A
|f | dµ = 0 ⇐⇒ f = 0 µ-f.ü.
(v) Für eine messbare Funktion f : A→ K und eine µ-integrierbare Funktion g : A→ K, für die |f | ≤ |g|µ-f.ü. gilt, ist auch f µ-integrierbar mit∫
A
|f | dµ ≤∫
A
|g| dµ.
Bemerkung : • insbesondere: f : A→ K µ-integrierbar, g : A→ K messbar mit f = g µ-f.ü.
y g µ-integrierbar,∫
A
f dµ =
∫
A
g dµ
• für Riemann-Integrale keine Äquivalenz in (iii), z.B. f(x) =
1, x ∈ [0, 1] ∩Q
−1, x ∈ [0, 1] \Q
∃∫ 1
0
f dλn = −1, ∃∫ 1
0
|f | dλn = 1 =
∫ 1
0
|f(x)| dx, aber: ∄∫ 1
0
f(x) dx
Beispiele : (a) f(x) =
0, x ∈ [0, 1] \Q1q , x ∈ [0, 1] ∩Q, x = p
q mit minimalem p ∈ N0, q ∈ N
y λ1(Q ∩ [0, 1]) = 0 =====⇒Satz 1.64
f Riemann-integrierbar,
∫ 1
0
f(x) dx =
∫ 1
0
f dλ1 =Satz 1.65(iv)
0
(b) f(x) =sinx
x, x > 0 ====⇒
bekannt∃∫ ∞
0
sinx
xdx, ∄
∫ ∞
0
∣∣∣sinx
x
∣∣∣dx
=====⇒Satz 1.64
∄∫ ∞
0
|f | dλ1 =======⇒Satz 1.65(iii)
∄∫ ∞
0
f dλ1
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 41
Satz 1.66 Sei [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum.
(i) Falls f : Ω→ K µ-integrierbar und A ∈ A sind, so gilt∫
Ω
f dµ =
∫
A
f dµ+
∫
Ω\A
f dµ
(ii) Seien f : Ω→ R µ-integrierbar, A ∈ A, f > 0 auf A sowie∫
A
f dµ = 0. So folgt µ(A) = 0.
Folgerung 1.67 Sei [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum.
(i) Für eine Folge A1 ⊂ A2 ⊂ · · · mit Ω =⋃
k∈N
Ak, Ak ∈ A, gilt∫
Ω
f dµ = limk→∞
∫
Ak
f dµ.
(ii) Seien w : Ω→ [0,∞) µ-integrierbar, A ∈ A. Dann ist ν(A) =∫
A
w dµ ein endliches Maß auf A.
jetzt: Konvergenzsätze ; limk→∞
∫A fk dµ =
∫A lim
k→∞fk dµ ?
Satz 1.68 (Lebesgue)Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, fk : A → K µ-messbar. Es existiereneine µ-integrierbare Funktion g : A → R, so dass für alle k ∈ N gilt |fk(x)| ≤ g(x) µ-f.ü. in A, sowielimk→∞
fk(x) = f(x) µ-f.ü. auf A. Dann ist f µ-integrierbar auf A, es gilt
limk→∞
∫
A
fk dµ =
∫
A
limk→∞
fk dµ =
∫
A
f dµ.
Bemerkung : Satz von der majorisierten Konvergenz bzw. integrierbaren Majorante
wesentlich: g µ-integrierbar!
betrachten fk(x) =
k, x ∈ [0, 1k ]
0, sonst
y∫ ∞
0
fk(x) dx = 1 =
∫ ∞
0
fk dλ1,
limk→∞
fk(x) = 0 ≡ f λ1-f.ü.
y 1 =
∫ ∞
0
fk(x) dx 6=∫ ∞
0
limk→∞
fk(x) dx = 0
da g nicht λ1-integrierbar15
12
18
13
f3
f5
f4
1
3
1
2
4
5
8
14
f1f2
f8
g
Folgerung 1.69 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, f : A→ K µ-integrierbar,sowie (Ak)k eine Zerlegung von A, d.h. Ak ∈ A, Ak ∩ Aj = ∅, k 6= j, A =
⋃k Ak. Dann gilt
∫
A
f dµ =
∞∑
k=1
∫
Ak
f dµ.
42 1 Banachräume
Beispiel : sei f : [a, b] → K differenzierbar, f ′ beschränkt (nicht notwendig stetig!) y f ′ λ1-integrierbarauf [a, b] mit ∫ b
a
f ′ dλ1 = f(b)− f(a)
denn: fn(x) =f(x+ 1
n )− f(x)1n
−−−−→k→∞
f ′(x) auf [a, b], fn stetig =========⇒Sätze 1.60, 1.62
f ′ λ1-messbar
|fn(x)| =MWS
|f ′(ξ)| ≤M = g(x) =====⇒Satz 1.68
f ′ λ1-integrierbar,
∫ b
a
f ′ dλ1 = limn→∞
∫ b
a
fn(x) dx
= limn→∞
[F (b+ 1
n )− F (a+ 1n )
1n
− F (b)− F (a)1n
]
= limn→∞
[F (b+ 1
n )− F (b)1n
− F (a+ 1n )− F (a)1n
]= F ′(b)− F ′(a) = f(b)− f(a)
Satz 1.70 (B. Levi35)Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, fk : A → [0,∞) monoton wachsendeFolge µ-integrierbarer Funktionen, für die deren Integralfolge (
∫A fk dµ)k beschränkt ist. Dann existiert
limk→∞
fk(x) = f(x) µ-f.ü. auf A, f ist µ-integrierbar, es gilt
limk→∞
∫
A
fk dµ =
∫
A
limk→∞
fk dµ =
∫
A
f dµ.
Bemerkung : • Satz von der monotonen Konvergenz
• Monotonie wichtig, z.B. [Ω,A, µ] = [R,L1, λ1], fn(x) =1nχ[0,n]
Folgerung 1.71 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, fk : A→ R µ-integrierbar
mit fk(x) ≥ 0, sowie∞∑k=1
∫A fk dµ < ∞. Dann konvergiert
∞∑k=1
fk(x) = f(x) µ-f.ü. auf A, f ist
µ-integrierbar, es gilt∞∑
k=1
∫
A
fk dµ =
∫
A
∞∑
k=1
fk dµ =
∫
A
f dµ.
Beispiel : [Ω,A, µ] = [N,P(N), ν] Zählmaß, f : N→ [0,∞] y∫
Ω
f dν =
∞∑
n=1
f(n)
Satz 1.72 (Lemma von Fatou36)Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, fk : A→ R µ-integrierbarer Funktionen mitfk(x) ≥ 0 auf A. Es sei lim inf
k→∞
∫Afk dµ <∞. Dann ist lim inf
k→∞fk(x) µ-f.ü. endlich und µ-integrierbar auf
A, es gilt
lim infk→∞
∫
A
fk dµ ≥∫
A
lim infk→∞
fk dµ.
Existiert insbesondere limk→∞
fk(x) = f(x) µ-f.ü. auf A, so ist f µ-integrierbar, sowie
lim infk→∞
∫
A
fk dµ ≥∫
A
f dµ.
35Beppo Levi (∗ 14.5.1875 Turin † 28.8.1961 Rosario/Argentinien)36Pierre Joseph Louis Fatou (∗ 28.2.1878 Lorient/Frankreich † 10.8.1929 Pornichet/Frankreich)
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 43
1.3.3 Die Räume Lp(A, µ)
Definition 1.73 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A.
(i) Für 0 < p <∞ definiert man
Lp(A, µ) = f : A→ K : f µ-messbar, |f |p µ-integrierbar über A
sowie
‖f |Lp(A, µ)‖ =(∫
A
|f |p dµ) 1
p
, f ∈ Lp(A, µ).
(ii) Für p =∞ setzt man
L∞(A, µ) = f : A→ K : f µ-messbar, |f | µ-f.ü. beschränkt auf A
sowie
‖f |L∞(A, µ)‖ = inf c > 0 : µ (x ∈ A : |f(x)| > c) = 0 , f ∈ L∞(A, µ).
Bemerkung : (a) f ∈ L∞(A, µ): ess supx∈A
|f(x)| := infA ∋ N ⊂ Aµ(N) = 0
supx∈A\N
|f(x)| wesentliches Supremum
Es gilt: ‖f |L∞(A, µ)‖ = ess supx∈A
|f(x)|, denn:
sei ε > 0 =⇒inf
µ(x ∈ A : |f(x)| > ‖f |L∞(A, µ)‖ + ε︸ ︷︷ ︸=:N
) = 0
y ∃ N ∈ A, N ⊂ A, µ(N) = 0 : supx∈A\
|f(x)| ≤ ‖f |L∞(A, µ)‖+ ε
=⇒inf
ess supx∈A
|f(x)| ≤ ‖f |L∞(A, µ)‖ + ε ==⇒ε ↓ 0
ess supx∈A
|f(x)| ≤ ‖f |L∞(A, µ)‖
umgekehrt: ∀ ε > 0 ∃ Nε ⊂ A,Nε ∈ A, µ(Nε) = 0 : supx∈A\Nε
|f(x)| < ess supx∈A
|f(x)|+ ε
y µ(x ∈ A : |f(x)| > ess supx∈A
|f(x)|+ ε) ≤ µ(Nε) = 0
y ess supx∈A
|f(x)| + ε > ‖f |L∞(A, µ)‖ ==⇒ε ↓ 0
ess supx∈A
|f(x)| ≥ ‖f |L∞(A, µ)‖
(b) f ∈ L∞(A, µ) y ∃ N ∈ A, N ⊂ A, µ(N) = 0 : ‖f |L∞(A, µ)‖ = supx∈A\N
|f(x)|:
Definition & (a) y ∀ k ∈ N ∃ Nk ∈ A, Nk ⊂ A, µ(Nk) = 0 :
‖f |L∞(A, µ)‖ ≤ supx∈A\Nk
|f(x)| < ‖f |L∞(A, µ)‖ + 2−k
y ∃ N :=⋃
kNk ∈ A, N ⊂ A, µ(N) = 0:
‖f |L∞(A, µ)‖ = ess supx∈A
|f(x)| ≤ supx∈A\N
|f(x)| ≤ supx∈A\Nk
|f(x)| < ‖f |L∞(A, µ)‖+2−k
====⇒k → ∞
∃N ∈ A, N ⊂ A, µ(N) = 0 : ‖f |L∞(A, µ)‖ = ess supx∈A
|f(x)| = supx∈A\N
|f(x)|
Problem: für 0 < p ≤ ∞ gilt ‖f |Lp(A, µ)‖ = 0 ⇐⇒ f = 0 µ-f.ü. auf A, d.h. ‖·|Lp(A, µ)‖ keine Norm,sondern nur Halbnorm (bzw. Quasi-Halbnorm für 0 < p < 1) 99K Ausweg: betrachten
N = f : A→ K : f µ-messbar, f = 0 µ-f.ü. auf A ⊂ Lp(A, µ), 0 < p ≤ ∞Teilraum y können Quotientenraum bilden
Lp(A, µ) := Lp(A, µ)/N = [f ] = f +N : f ∈ Lp(A, µ), 0 < p ≤ ∞
44 1 Banachräume
mit Äquivalenzklassen [f ], wobei für g : A→ K µ-messbar gilt
g ∈ [f ] ⇐⇒ f − g ∈ N ⇐⇒ f − g = 0 µ-f.ü. in A
y ∀ f, g ∈ [f ] : ‖f |Lp(A, µ)‖ = ‖g|Lp(A, µ)‖, setzen∥∥[f ]
∣∣Lp(A, µ)∥∥ := ‖g|Lp(A, µ)‖ für ein g ∈ Lp(A, µ), 0 < p ≤ ∞
y∥∥[f ]
∣∣Lp(A, µ)∥∥ = 0 ⇐⇒ f ∈ N ⇐⇒ [f ] = 0
Vereinbarung: Man schreibt meist f ∈ Lp(A, µ) bzw. ‖f‖p := ‖f |Lp(A, µ)‖, 0 < p ≤ ∞, anstelle von
[f ] ∈ Lp(A, µ) bzw. ‖[f ]|Lp(A, µ)‖, muss aber die entsprechende Interpretation (Äquivalenzklassen stattFunktionen, Wahl eines Repräsentanten) beachten
Beispiele : (a) [Ω,A, µ] = [N,P(N), ν], g : N→ K, mit g(n) =: gn 99K g ∼ (gn)n∈N Folge
Bsp. nach Folg. 1.71 99K
∫
Ω
g dν =
∞∑
n=1
gn y Lp(N, ν) = ℓp(N)
(b) [Ω,A, µ] = [Rn,Ln, λn], G ⊆ Rn offen, G ∈ Ln
y Lp(G, λn) =: Lp(G), speziell: Lp(Rn, λn) = Lp(Rn)
Erinnerung: 1 ≤ p ≤ ∞ y p′ gegeben durch 1p + 1
p′ = 1, 1 < p <∞, bzw. p′ =
∞, p = 1
1, p =∞
Satz 1.74 (Hölder- und Minkowski-Ungleichung)
Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A.
(i) Seien 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp(A, µ), g ∈ Lp′(A, µ). Dann ist fg ∈ L1(A, µ) mit
‖fg|L1(A, µ)‖ ≤ ‖f |Lp(A, µ)‖ ‖g|Lp′(A, µ)‖.
(ii) Seien 0 < p ≤ ∞, sowie f, g ∈ Lp(A, µ). Dann gilt f + g ∈ Lp(A, µ) sowie
‖f + g|Lp(A, µ)‖ ≤ ‖f |Lp(A, µ)‖ + ‖g|Lp(A, µ)‖, 1 ≤ p ≤ ∞,
bzw.
‖f + g|Lp(A, µ)‖p ≤ ‖f |Lp(A, µ)‖p + ‖g|Lp(A, µ)‖p, 0 < p ≤ 1.
Be w e i s : zu (i): Messbarkeit von fg folgt aus Satz 1.60; o.B.d.A. 1 < p < ∞, f 6≡ 0, g 6≡ 0, sowie‖f |Lp(A, µ)‖ = ‖g|Lp′(A, µ)‖ = 1 (sonst Skalierung)
Lemma 1.25 y |f(x)g(x)| ≤ |f(x)|p
p+|g(x)|p′
p′µ-f.ü. in A ============⇒
Satz 1.65 & Def. 1.73fg µ-integrierbar, d.h.
fg ∈ L1(A, µ), mit∫
A
|f(x)g(x)| dµ(x) ≤ 1
p
∫
A
|f(x)|p dµ(x)︸ ︷︷ ︸‖f |Lp(A,µ)‖p=1
+1
p′
∫
A
|g(x)|p′
dµ(x)
︸ ︷︷ ︸‖g|Lp′(A,µ)‖p′=1
= 1 = ‖f |Lp(A, µ)‖ ‖g|Lp′(A, µ)‖
zu (ii): Messbarkeit von f + g folgt aus Satz 1.60; verwenden Lemma 1.29, ansonsten analog zum Beweisvon Satz 1.27 und (i)
Folgerung 1.75 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A mit µ(A) < ∞, 0 < q ≤p ≤ ∞. Dann gilt
Lp(A, µ) → Lq(A, µ) mit ‖f |Lq(A, µ)‖ ≤ µ(A)1q−
1p ‖f |Lp(A, µ)‖, f ∈ Lp(A, µ).
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 45
B e w e i s : o.B.d.A. q < p; f ∈ Lp(A, µ) y |f |q ∈ Lr(A, µ) mit r = pq > 1; g = χ
A∈ Lr′(A, µ),
‖χA|Lr′(A, µ)‖ =
(∫
A
dµ) 1
r′
= µ(A)1r′
======⇒Satz 1.74(i)
‖f |Lq(A, µ)‖ =( ∫
A
|f(x)|qχA(x) dµ(x)
) 1q
≤( ∫
A
|f(x)|rq dµ(x)) 1
rq
︸ ︷︷ ︸‖f |Lp(A,µ)‖, p=rq
(∫
A
χr′
A(x) dµ(x)
) 1r′q
︸ ︷︷ ︸∥
∥
∥χA|Lr′(A,µ)
∥
∥
∥
1/q
= ‖f |Lp(A, µ)‖ µ(A)1q (1−
qp ) = ‖f |Lp(A, µ)‖ µ(A)
1q−
1p
Satz 1.76 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, 1 ≤ p ≤ ∞.
(i) Lp(A, µ) ist ein Banachraum.
(ii) Für 1 ≤ p <∞ liegen die Treppenfunktionen dicht in Lp(A, µ).
Be w e i s : 1. Schritt: zu (i); nach Vorbemerkung (zu Lp(A, µ) und Lp(A, µ) und entsprechenden Normen)ist ‖ · |Lp(A, µ)‖ eine Norm y n.z.z.: Vollständigkeit, d.h. alle Cauchy-Folgen (fk)k ⊂ Lp(A, µ) mit
∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ m > n ≥ n0 : ‖fn − fm|Lp(A, µ)‖ < ε
sind in Lp(A, µ) konvergent
zuerst 1 ≤ p <∞, verwenden Satz 1.5: sei (fk)k ⊂ Lp(A, µ) mit
∞∑
k=1
‖fk|Lp(A, µ)‖ <∞ (11)
z.z.: ∃ f ∈ Lp(A, µ) :
∥∥∥∥∥f −m∑
k=1
fk|Lp(A, µ)
∥∥∥∥∥ −−−−→m→∞0
wollen Folgerung 1.75 mit q = 1 anwenden 99K nur für µ(A) < ∞ möglich y betrachten ZerlegungA =
⋃k Ak mit Ak ∈ A, µ(Ak) <∞ (da µ σ-endlich)
=====⇒Folg. 1.75
∀ k ∈ N ∀ n ∈ N : ‖fn|L1(Ak, µ)‖ ≤ µ(Ak)1p′
︸ ︷︷ ︸=:ck
‖fn|Lp(Ak, µ)‖ ≤ ck‖fn|Lp(A, µ)‖
y ∀ k ∈ N ∀ m ∈ N :
∫
Ak
m∑
n=1
|fn(x)| dµ(x) ≤ ck
∞∑
n=1
‖fn|Lp(A, µ)‖ <(11)∞
=====⇒Folg. 1.71
∃∞∑
n=1
|fn(x)| =: g(x) µ-f.ü. und ist µ-integrierbar auf Ak, k ∈ N, mit
∞∑
n=1
∫
Ak
|fn(x)| dµ(x) =∫
Ak
∞∑
n=1
|fn(x)| dµ(x) =∫
Ak
g(x) dµ(x)
=======⇒A =
⋃
k Ak
∃ g(x) =∞∑
n=1
|fn(x)| µ-f.ü. auf A =====⇒Satz 1.65
∃ f(x) =∞∑
n=1
fn(x) µ-f.ü. auf A, µ-integrierbar
nach Satz 1.74(ii) gilt wegen p ≥ 1 für alle m ∈ N,
∥∥∥m∑
n=1
|fn|∣∣∣Lp(A, µ)
∥∥∥ ≤m∑
n=1
‖fn|Lp(A, µ)‖ <(11)∞
46 1 Banachräume
=====⇒Folg. 1.71
∃( ∞∑
n=1
|fn(x)|)p
= g(x)p µ-f.ü., µ-integrierbar auf A, mit
∫
A
g(x)p dµ(x) =
∫
A
( ∞∑
n=1
|fn(x)|)p
dµ(x) <∞
|f(x)|p ≤ g(x)p µ-f.ü. & gp µ-integrierbar über A =======⇒Satz 1.65(v)
|f |p µ-integrierbar über A,
‖f |Lp(A, µ)‖p =
∫
A
|f(x)|p dµ(x) ≤∫
A
g(x)p dµ(x) <∞
y f ∈ Lp(A, µ); außerdem: |f(x) −m∑
n=1
fn(x)|p ≤( ∞∑
n=m+1
|fn(x)|)p≤ g(x)p, gp µ-integrierbar über A
===========⇒Satz 1.68/Lebesgue
limm→∞
∥∥∥f −m∑
n=1
fn|Lp(A, µ)∥∥∥p
= limm→∞
∫
A
∣∣∣f(x)−m∑
n=1
fn(x)∣∣∣p
dµ(x)
=
∫
A
limm→∞
∣∣∣f(x)−m∑
n=1
fn(x)∣∣∣p
︸ ︷︷ ︸=0,µ-f.ü.
dµ(x) = 0
2. Schritt: Vollständigkeit für p =∞; sei (fj)j ⊂ L∞(A, µ) mit ‖fj − fk|L∞(A, µ)‖ −−−−−→k,j→∞
0
‖fj−fk|L∞(A, µ)‖ = ess supx∈A
|fj(x)−fk(x)| =Bem.(b)
supA\Njk
|fj(x)−fk(x)| für passendesNjk ∈ A, µ(Njk) = 0
sei N :=⋃
j,k∈NNjk y N ∈ A, µ(N) = 0
y ‖fj − fk|L∞(A, µ)‖ ≤inf
supA\N
|fj(x)− fk(x)| ≤Njk ⊂ N
supA\Njk
|fj(x)− fk(x)| = ‖fj − fk|L∞(A, µ)‖
y ‖fj − fk|L∞(A, µ)‖ = supA\N
|fj(x)− fk(x)| y (fj)j Cauchyfolge in B(A \N,K) = B(A \N)
====⇒Satz 1.6
∃ f ∈ B(A \N) : ‖fj − f |L∞(A, µ)‖ −−−→j→∞
0, setzen f(x) =
f(x), x ∈ A \Nbeliebig, x ∈ N
y f ∈ L∞(A, µ) mit ‖fj − f |L∞(A, µ)‖ −−−→j→∞
0
3. Schritt: zu (ii), Dichtheit der Treppenfunktionen für p = 1
f ∈ L1(A, µ) ========⇒Def. 1.63, 1.73
∃ (sk)k Treppenfunktionen: sk −−−−→k→∞
f µ-f.ü.,∫
A
|sk − sl| dµ −−−−→k,l→∞
0,∫
A
f dµ = limk→∞
∫
A
sk dµ y limm→∞
|sk(x) − sm(x)| = |sk(x) − f(x)| µ-f.ü., |sk − f | ∈ L1(A, µ), d.h.
‖f − sk|L1(A, µ)‖ =∫
A
|f − sk| dµ =
∫
A
limm→∞
|sm − sk| dµ
=
∫
A
lim infm→∞
|sm − sk| dµ ≤Satz 1.72
lim infm→∞
∫
A
|sm − sk| dµ
< ε für k ≥ k0(ε)
4. Schritt: zu (ii), Dichtheit der Treppenfunktionen für p > 1
seien f ∈ Lp(A, µ), θ ∈ (0, 1), Aθ =x ∈ A : θ ≤ |f(x)| ≤ θ−1
∈ A y µ(A \Aθ) −−−→
θ→00,
‖f |Lp(A, µ)‖p =
∫
A
|f |p dµ ≥∫
Aθ
|f |p dµ ≥ θpµ(Aθ) y µ(Aθ) <∞, θχAθ∈ Lp(A, µ)
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 47
y χAθ∈ L1(A, µ), χ
Aθ|f | ≤ θ−1χ
Aθy χ
Aθf ∈ L1(A, µ) =====⇒
3. Schritt∃ (sθk)k Treppenfunktionen:
∥∥∥χAθf − sθk
∣∣L1(Aθ, µ)∥∥∥ −−−−→
k→∞0, sθk −−−−→
k→∞χAθf µ-f.ü. auf Aθ (12)
setzen σθk(x) :=
sθk(x), x ∈ Aθ ∧ |sθk(x)| ≤2
θ2
θ
sθk(x)
|sθk(x)|, x ∈ Aθ ∧ |sθk(x)| >
2
θ
0, x ∈ A \Aθ
Treppenfunktion, |σθk(x)| ≤
2
θ, x ∈ A
sei x ∈ Aθ mit |sθk(x)| > 2θ−1 ========⇒|f(x)| ≤ θ−1
|sθk(x)| > θ−1+|f(x)| y |sθk(x)−f(x)| ≥ |sθk(x)|−|f(x)| > θ−1
y |σθk(x) − f(x)| ≤ |f(x)|︸ ︷︷ ︸
≤θ−1
+ |σθk|︸︷︷︸
≤2θ−1
≤ 3θ−1 < 3|sθk(x) − f(x)| =x ∈ Aθ
3|sθk(x) − χAθf(x)|
==⇒(12)
‖σθk − χAθ
f |L1(A, µ)‖ = ‖σθk − χAθ
f |L1(Aθ , µ)‖ ≤ 3∥∥∥χ
Aθf − sθk|L1(Aθ, µ)
∥∥∥ −−−−→k→∞
0
y ‖f − σθk|Lp(A, µ)‖p =
∫
A
|f(x)− σθk(x)| dµ(x)
=
∫
A\Aθ
|f(x)− σθk(x)︸ ︷︷ ︸0
|p dµ(x) +∫
Aθ
|χAθf(x)− σθ
k(x)|︸ ︷︷ ︸
≤ 3θ
p−1|f(x)− σθk(x)| dµ(x)
≤∫
A\Aθ
|f(x)|p dµ(x)
︸ ︷︷ ︸<ε, θ<θ0(ε), µ(A\Aθ)→0
+
(3
θ
)p−1 ∥∥∥σθk − χAθ
f |L1(A, µ)∥∥∥
︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k0(θ0,ε)
< 2ε für k ≥ k0
da∫
A\Aθ
|f(x)|p dµ(x) =∫
A
|f(x)|pχA\Aθ
(x) dµ(x), |f |pχA\Aθ
≤ |f |p µ-integrierbare Majorante
===========⇒Satz 1.68/Lebesgue
limθ→0
∫
A\Aθ
|f(x)|p dµ(x) =∫
A
|f(x)|p limθ→0
χA\Aθ
(x)︸ ︷︷ ︸
=0, µ-f.ü.
dµ(x) = 0
Bezeichnung: sei Ω ⊆ Rn offen, f : Ω→ K mit supp f = x ∈ Rn : f(x) 6= 0f : Ω→ K heißt finit (in Ω), falls supp f beschränkt ist, supp f ( Ω
Satz 1.77 Seien Ω ⊂ Rn offen, 1 ≤ p <∞.
(i) Die Menge der finiten Treppenfunktionen ist dicht in Lp(Ω).
(ii) Die Menge der finiten und stetigen Funktionen ist dicht in Lp(Ω), C∞0 (Ω) ist dicht in Lp(Ω).
(iii) Lp(Ω) ist separabel und dimLp(Ω) =∞.
Be w e i s : 1. Schritt: wählen spezielle Überdeckung von Ω:
Ωk =x ∈ Ω : |x| < k, dist (x, ∂Ω) > 1
k
⊂ Ω, k ∈ N
y Ωk ⊂ Ωk+1,⋃
k∈N
Ωk = Ω
sei f ∈ Lp(Ω) =======⇒Folg. 1.67(ii)
∫
Ω
|f(x)|p dx = limk→∞
∫
Ωk
|f(x)|p dx
y∫
Ω\Ωk
|f(x)|p dx −−−−→k→∞
0 ⇐⇒∫
Ω
|f(x)− f(x)χΩk
(x)︸ ︷︷ ︸
gk, finit
|p dx −−−−→k→∞
0
0
∂ΩΩk
Ω
Ωk+1
48 1 Banachräume
y ∃ (gk)k ⊂ Lp(Ω), supp gk ⊂ Ωk ⊂ Ω finit: ‖f − gk|Lp(Ω)‖ −−−−→k→∞
0
f ∈ Lp(Ω) y gk ∈ Lp(Ωk) =======⇒Satz 1.76(ii)
∃ (skj )j ⊂ Lp(Ωk) Treppenfunktionen, supp skj ⊂ Ωk ⊂ Ωk+1:
‖gk − skj |Lp(Ω)‖ −−−→j→∞
0 y finite Treppenfunktionen dicht in Lp(Ω)
2. Schritt: sei f ∈ Lp(Ω) =⇒(i)
o.B.d.A. f(x) =m∑
k=1
αkχAkfinite Treppenfunktion, m ∈ N, αk ∈ K, Ak ∈ Ln
mit Ak ⊂ supp f ⊂ Ω, k = 1, . . . ,m ===============⇒endliche Summe, Linearität
o.B.d.A. f = χA, A ∈ Ln, A ⊂ Ω
A ∈ Ln =======⇒Satz 1.57(iv)
∃ Bε ⊂ Rn offen : A ⊂ Bε ⊂ Bε ⊆ Ω, λn(Bε \A) < ε
Bε ⊂ Rn offen ========⇒Lemma 1.54(ii)
∃ (Qεj)j offene Quader: Bε =
⋃
j
Qεj y approximieren χ
Qfür einQ ∈ Qε
jj∈N
sei Q offener Quader, Q ⊂ Ω =======⇒Lemma 1.49
∃ ϕh ∈ C∞0 (Rn): 0 ≤ ϕh ≤ 1, ϕh(x) = 1, x ∈ Q, suppϕh ⊂ Qh,
wobei Qh = x ∈ Rn : dist (x,Q) ≤ h, h > 0 y Q ⊂ Qh ⊂ Ω für 0 < h ≤ h0, λn(Qh\Q) ≤ chn −−−→h→0
0
∫
Ω
|χQ(x) − ϕh(x)|p dx =
∫
Qh\Q
ϕh(x)p
︸ ︷︷ ︸≤1
dx ≤ λn(Qh \Q) −−−→h→0
0 y C∞0 (Ω) dicht in Lp(Ω)
3. Schritt: sei F = span m∑
j=1
αjχQj, Qj offene Würfel, Qj ⊂ Ω, αj ∈ K, m ∈ N
y F ⊂ Lp(Ω),
dimF =∞ y dimLp(Ω) =∞
====⇒(i), (ii)
F = Lp(Ω), d.h. F dicht in Lp(Ω); approximieren F durch
FQ = span m∑
j=1
(αj + iβj)χRj, Rj =
n¡k=1
(ck, dk) ⊂ Ω, ck, dk, αj , βj ∈ Q, m ∈ N
y FQ = Lp(Ω), FQ abzählbar y Lp(Ω) separabel
Bemerkung : • L∞(Ω) nicht separabel
• C∞0 (Ω) nicht dicht in L∞(Ω), z.B. f ≡ 1 ∈ L∞(Ω).
Wiederholung aus der Maßtheorie:
Satz 1.78 (Fubini37)Seien f : Rn+m → K λn+m-messbar, f = f(x, y), x ∈ Rn, y ∈ Rm, und es existiere eines der Integrale
I1 =
∫
Rn+m
|f(x, y)| d(x, y), I2 =
∫
Rn
( ∫
Rm
|f(x, y)| dy)dx, I3 =
∫
Rm
(∫
Rn
|f(x, y)| dx)dy.
Dann gelten(i) f(·, y) ∈ L1(Rn) für λm-f.a. y ∈ Rm, f(x, ·) ∈ L1(Rm) für λn-f.a. x ∈ Rn
(ii)∫
Rm
f(·, y) dy ∈ L1(Rn),
∫
Rn
f(x, ·) dx ∈ L1(Rm)
(iii)∫
Rn+m
|f(x, y)| d(x, y) =∫
Rn
( ∫
Rm
|f(x, y)| dy)dx =
∫
Rm
( ∫
Rn
|f(x, y)| dx)dy
(iv)∫
Rn+m
f(x, y) d(x, y) =
∫
Rn
( ∫
Rm
f(x, y) dy)dx =
∫
Rm
(∫
Rn
f(x, y) dx)dy
37Guido Fubini (∗ 19.1.1879 Venedig † 6.6.1943 New York)
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 49
Koordinatentransformation: Ω ⊂ Rn ∼ (x1, . . . , xn) ←→ Ω ∼ (y1, . . . , yn)
speziell: yj = Φj(x) = Φj(x1, . . . , xn), j = 1, . . . , n, Ω = Φ(Ω), Φ = (Φ1, . . . ,Φn)
y betrachten Jacobi38- bzw. Funktionaldeterminante in x0 ∈ Ω
∂ (Φ1, . . . ,Φn)
∂(x1, . . . , xn)
(x0)= detJ
(Φ, x0
)= det
∂Φ1
∂x1(x0) . . .
∂Φ1
∂xn(x0)
......
∂Φn
∂x1(x0) . . .
∂Φn
∂xn(x0)
Satz 1.79 Seien Ω ⊂ Rn offen, Φ : Ω → Φ(Ω) ein C1-Diffeomorphismus, d.h. Φj ∈ C1(Ω), j = 1, . . . , n,Φ injektiv, detJ (Φ, x) 6= 0, x ∈ Ω, f : Rn → K. Dann existiert
∫Φ(Ω) f(y) dy genau dann, wenn∫
Ω(f Φ)(x)| detJ (Φ, x)| dx existiert, und es gilt∫
Φ(Ω)
f(y) dy =
∫
Ω
f(Φ(x))| detJ (Φ, x)| dx.
Beispiel : Oberflächeninhalt und Volumen der Einheitskugel im Rn
Kn = Kn(0) . . . n−dimensionale Einheitskugel, ωn = ∂Kn . . . Sphäre, Oberfläche der n-dimensionalen Einheitskugelverallgemeinerte Kugelkoordinaten : x1 = r cosϕ sinϑ1 sinϑ2 . . . sinϑn−2
x2 = r sinϕ sinϑ1 sinϑ2 . . . sinϑn−2
x3 = r cosϑ1 sinϑ2 . . . sinϑn−2
.... . .
...xn−1 = r cosϑn−3 sinϑn−2
xn = r cosϑn−2
︸ ︷︷ ︸x = Φn (r, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)
Π : 0 ≤ r <∞, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ ϑj ≤ π, j = 1, . . . , n− 2
∣∣∣∣∂(r, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)
∂(x1, . . . , xn)
∣∣∣∣ =∣∣detJ
(Φn, (r, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)
)∣∣ = rn−1 sinϑ1 (sinϑ2)2 · · · (sinϑn−2)
n−2
y Φn : Ω := (0,∞) × (0, 2π) × (0, π)n−2 −→ Rn \ x ∈ Rn : x1 ≥ 0 ∧ x2 = 0 =: Φn(Ω)C1-Diffeomorphismus
|ωn| =∫
ωn
dσ =
∫
Π∣∣r=1
∣∣∣∣∂(1, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)
∂(x1, . . . , xn)
∣∣∣∣ d(ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)
=
2π∫
0
π∫
0
· · ·π∫
0
sinϑ1 (sinϑ2)2. . . (sinϑn−2)
n−2dϑn−2 . . . dϑ1 dϕ︸ ︷︷ ︸
dω
|Kn| =∫
Kn
dx =
∫
Π
∣∣∣∣∂(r, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)
∂(x1, . . . , xn)
∣∣∣∣ d(r, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2) =
1∫
0
∫
ωn
rn−1 dω dr
= |ωn|1∫
0
rn−1 dr
︸ ︷︷ ︸1n
=|ωn|n
38Carl Gustav Jacob Jacobi (∗ 10.12.1804 Potsdam † 18.2.1851 Berlin)
50 1 Banachräume
Lemma 1.80 Seien n ≥ 2 und Kn = x ∈ Rn : x21 + · · ·+x2n < 1 ⊂ Rn die n-dimensionale Einheitskugelmit ωn = ∂Kn. Für ihr Volumen |Kn| und den Oberflächeninhalt |ωn| gelten
|ωn| =2√π n
Γ(n2
) und |Kn| =2√π n
n Γ(n2
) .
Be w e i s : früher: Γ(y) =
∞∫
0
e−t ty−1 dt, y > 0, Γ(m+ 1) = m!, m ∈ N
berechnen In :=
∫
Rn
e−|x|2 dx direkt und mit Sätzen 1.78, 1.79:
y In =
∞∫
0
∫
ωn
e−r2 rn−1 dω dr︸ ︷︷ ︸dx
= |ωn|∞∫
0
e−r2rn−1 dr =u = r2
|ωn|2
∞∫
0
e−uun2 −1 du =
|ωn|2
Γ(n2
)(13)
andererseits ist In =
∫
Rn
e−(x21+···+x2
n) d(x1, . . . , xn) =Satz 1.78
∫
R
e−y2
dy
n
= In1 ==⇒(13)
|ωn| =2In1Γ(n2
)
bekannt: |ω2| = 2π y I21 =|ω2|2
1︷︸︸︷Γ(1) = π y I1 =
√π y |ωn| =
2√π n
Γ(n2
) ; vorher: |Kn| =|ωn|n
Bemerkung : n = 3 y 4π = |ω3| =2√π3
Γ(32
) ⇐⇒ Γ
(3
2
)=
1
2Γ
(1
2
)=
√π
2⇐⇒ Γ
(1
2
)=√π
|ωn|
|Kn|5
10
15
20
25
30
35
2 6 8 10 12 14 16 18 2040
|ωn| =
2 πm
(m− 1)!, n = 2m
2m+1 πm
(2m− 1)!!, n = 2m+ 1
|ω1| = 2, |ω2| = 2π,
|ω3| = 4π, |ω4| = 2π2,
|ω5| = 83π
2, |ω6| = π3,
|ω7| = 1615π
3, |ω8| = 13π
4, . . .
limn→∞
|ωn| = 0, |ωmax| = |ω7|
|Kn| =
πm
m!, n = 2m
2m+1 πm
(2m+ 1)!!, n = 2m+ 1
y
|K1| = 2, |K2| = π, |K3| = 43π, |K4| = 1
2π2,
|K5| = 815π
2, |K6| = 16π
3, |K7| = 16105π
3, |K8| = 124π
4
limn→∞
|Kn| = 0, |Kmax| = |K5|
1.3.4 Faltung und Glättung
Satz 1.81 Seien 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), h ∈ Rn, Thf(x) = f(x+ h), x ∈ Rn.
(i) Es gilt Th : Lp(Rn)→ Lp(Rn) mit ‖Thf |Lp(Rn)‖ = ‖f |Lp(Rn)‖, h ∈ Rn.
(ii) lim|h|→0
‖Thf − f |Lp(Rn)‖ = 0
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 51
Bemerkung : (ii) ∼ Stetigkeit im p-ten Mittel, Th . . . Translationsoperator
Be w e i s : zu (i): klar, da λn translationsinvariant (Satz 1.57(iii))
zu (ii): seien ε > 0, f ∈ Lp(Rn) =======⇒Satz 1.77(ii)
∃ ϕ0 ∈ C∞0 (Rn), suppϕ0 = K kompakt: ‖f − ϕ0|Lp(Rn)‖ < ε
o.B.d.A. |h| ≤ 1 y supp (Thϕ0 − ϕ0) ⊂ K ′ = x ∈ Rn : dist (x,K) ≤ 1
‖Thf − f |Lp(Rn)‖ ≤ ‖Thf − Thϕ0|Lp(R
n)‖︸ ︷︷ ︸=‖f−ϕ0|Lp(Rn)‖<ε, (i)
+‖Thϕ0 − ϕ0|Lp(Rn)‖ + ‖ϕ0 − f |Lp(R
n)‖︸ ︷︷ ︸<ε
< 2ε+
(∫
K′
|ϕ0(x + h)− ϕ0(x)|︸ ︷︷ ︸≤ε, |h|≤h0(ε)
p dx
) 1p
≤ ε(2 + λn(K
′)1p
)für |h| ≤ min(h0, 1)
Bemerkung : (Th)h∈Rn ‘stark stetige Halbgruppe von Operatoren’:
Th1Th2 = Th1+h2 , h1, h2 ∈ Rn, lim|h|→0
Thf = f
Definition 1.82 Seien f, g : Rn → K λn-messbare Funktionen, und es existiere∫Rn f(x − y)g(y) dy für
λn-f.a. x ∈ Rn. Dann heißt
(f ∗ g)(x) =∫
Rn
f(x− y)g(y) dy, x ∈ Rn,
Faltung von f und g.
Erinnerung: 1 ≤ p <∞ y p′ =
p
p−1 , p > 1
∞, p = 1
Satz 1.83 Seien f, g, k : Rn → K λn-messbar.
(i) Die Faltung ist linear und symmetrisch, d.h. falls f ∗ g existiert, so auch g ∗ f , es gilt f ∗ g = g ∗ f .Für λ ∈ K existiert stets f ∗ (λg) = λ(f ∗ g). Falls zusätzlich f ∗ k existiert, so existiert f ∗ (g + k)mit f ∗ (g + k) = f ∗ g + f ∗ k.
(ii) Seien 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), g ∈ Lp′(Rn). Dann existiert f ∗ g ∈ C(Rn), es gilt
‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f |Lp(Rn)‖ ‖g|Lp′(Rn)‖ .
(iii) Für 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), g ∈ L1(Rn) existiert f ∗ g ∈ Lp(Rn), mit
‖f ∗ g|Lp(Rn)‖ ≤ ‖f |Lp(R
n)‖ ‖g|L1(Rn)‖ .
(iv) Seien 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), g ∈ Lp′(Rn) oder g ∈ L1(Rn), h ∈ Rn. Dann gelten
supp (f ∗ g) ⊂ supp f + supp g sowie Th(f ∗ g) = (Thf) ∗ g = f ∗ (Thg).
Bemerkung : Eigenschaft (iii) für p = 1 y L1(Rn) ‘Faltungsalgebra’:
f, g ∈ L1(Rn) y f ∗ g ∈ L1(Rn), ‖f ∗ g|L1(Rn)‖ ≤ ‖f |L1(Rn)‖ ‖g|L1(Rn)‖
52 1 Banachräume
Be w e i s : zu (i): folgt aus Koordinatentransformation, Substitutionsregel, Linearität des Integrals
zu (ii): Ungleichung folgt aus Hölder-Ungleichung (Satz 1.74); zu f ∗ g ∈ C(Rn), d.h. gleichmäßig stetig:
|(f ∗ g)(x+ h)− (f ∗ g)(x)| ≤∫
Rn
|f(x+ h− y)− f(x− y)||g(y)| dy
=z = x − y
∫
Rn
|f(z + h)− f(z)||g(x− z)| dz
≤Satz 1.74
(∫
Rn
|f(z + h)− f(z)|p dz) 1
p(∫
Rn
|g(x− z)|p′
dz
) 1p′
= ‖Thf − f |Lp(Rn)‖︸ ︷︷ ︸
−−−−→|h|→0
0, Satz 1.81
‖g|Lp′(Rn)‖ < ε für |h| ≤ h0 = h0(ε)
zu (iii): p = 1 y f, g ∈ L1(Rn) y ∃∫
Rn
(∫
Rn
|f(x− y)g(y)| dx)
︸ ︷︷ ︸|g(y)|‖f |L1(Rn)‖
dy = ‖f |L1(Rn)‖ ‖g|L1(R
n)‖
=========⇒Satz 1.78/Fubini
∃∫
Rn
f(· − y)g(y) dy für λn-f.a. x ∈ Rn,
‖f ∗ g|L1(Rn)‖ =
∫
Rn
∣∣∣∣∫
Rn
f(x− y)g(y) dy︸ ︷︷ ︸
(f∗g)(x)
∣∣∣∣dx ≤∫
Rn
(∫
Rn
|f(x− y)g(y)| dy)dx
=
∫
Rn
(∫
Rn
|f(x− y)g(y)| dx)dy = ‖f |L1(R
n)‖ ‖g|L1(Rn)‖
sei jetzt 1 < p <∞, f ∈ Lp(Rn), g ∈ L1(Rn)
|(f ∗ g)(x)| ≤∫
Rn
|f(x− y)g(y)| dy
=
∫
Rn
|f(x− y)||g(y)| 1p |g(y)|1p′ dy
≤Satz 1.74
(∫
Rn
|f(x− y)|p|g(y)| dy) 1
p(∫
Rn
|g(y)| dy) 1
p′
︸ ︷︷ ︸‖g|L1(Rn)‖1/p′
und somit
‖f ∗ g|Lp(Rn)‖p ≤ ‖g|L1(R
n)‖p
p′
∫
Rn
∫
Rn
|f(x− y)|p|g(y)| dy dx
=Satz 1.78
‖g|L1(Rn)‖
p
p′
∫
Rn
∫
Rn
|f(x− y)|p|g(y)| dx︸ ︷︷ ︸
|g(y)|‖f |Lp(Rn)‖p
dy
= ‖gL1(Rn)‖
pp′
+1‖f |Lp(Rn)‖p =
p
p′+ 1 = p
‖gL1(Rn)‖p‖f |Lp(R
n)‖p
zu (iv): sei x ∈ Rn \ supp f + supp g y ∃ δ > 0 : Kδ(x) ∩ supp f + supp g = ∅y ∀ y ∈ Kδ(x) : y /∈ supp f + supp g =========⇒
y = (y − z) + z∀ y ∈ Kδ(x) ∀ z ∈ supp g : y − z /∈ supp f
y ∀ y ∈ Kδ(x) ∀ z ∈ supp g : f(y − z) = 0
y ∀ y ∈ Kδ(x) : (f ∗g)(y) =∫
Rn
f(y−z)g(z) dz =∫
supp g
f(y − z)︸ ︷︷ ︸0
g(z) dz = 0 ======⇒x ∈ Kδ(x)
x /∈ supp (f ∗g)
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 53
Satz 1.84 (i) Seien 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), m ∈ N0, ϕ ∈ Cm(Rn) mit suppϕ kompakt. Dann gilt
f ∗ ϕ ∈ Cm(Rn) sowie ∀ α ∈ Nn
0 , |α| ≤ m : Dα(f ∗ ϕ) = f ∗Dαϕ.
(ii) Seien ϕ ∈ L1(Rn) mit∫Rn ϕ(x) dx = 1, ϕh(x) = h−nϕ(xh), h > 0, x ∈ Rn. Dann gilt für f ∈ Lp(Rn),
1 ≤ p <∞,
‖f − f ∗ ϕh|Lp(Rn)‖ −−−→
h→00,
sowie für g ∈ C(Rn)
‖g − g ∗ ϕh‖∞ −−−→h→0
0.
Be w e i s : zu (i): ϕ ∈ Cm(Rn), suppϕ kompakt =======⇒Satz 1.77(ii)
Dαϕ ∈ Lp′(Rn), |α| ≤ m
=====⇒Satz 1.83
∃ f ∗Dαϕ ∈ C(Rn), |α| ≤ m
g.z.z.:∂
∂xj(f ∗ ϕ) existiert mit
∂
∂xj(f ∗ ϕ) = f ∗ ∂ϕ
∂xj, j = 1, . . . , n, dann: Iteration
suppϕ kompakt y ∃ R > 0 : suppϕ ⊂ KR(0)
o.B.d.A. seien ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), x ∈ Rn, 0 < h < 1
limh→0
(f ∗ ϕ)(x + hej)− (f ∗ ϕ)(x)h
= limh→0
∫
Rn
ϕ(x + hej − y)− ϕ(x − y)h︸ ︷︷ ︸
=0, |x−y|≥R+1
f(y) dy
= limh→0
∫
KR+1(x)
ϕ(x + hej − y)− ϕ(x − y)h︸ ︷︷ ︸
|·|≤‖ ∂ϕ∂xj
‖∞
f(y) dy
︸ ︷︷ ︸===⇒Hölder
∫
KR+1(x)
|·|dy ≤ ‖f |Lp(Rn)‖ ‖ ∂ϕ∂xj
‖∞ |KR+1|1/p′
und damit nach Satz 1.68/Lebesgue
=
∫
Rn
limh→0
ϕ(x + hej − y)− ϕ(x − y)h
f(y) dy
=
∫
Rn
∂ϕ
∂xj(x− y) f(y) dy =
(f ∗ ∂ϕ
∂xj
)(x)
y∂(f ∗ ϕ)∂xj
(x) existiert,∂(f ∗ ϕ)∂xj
(x) =
(f ∗ ∂ϕ
∂xj
)(x), x ∈ Rn
zu (ii): seien f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p <∞, ε > 0
=====⇒Satz 1.81
∃ δ > 0 ∀ y ∈ Rn, |y| ≤ δ : ‖f − f(· − y)|Lp(Rn)‖ < ε (14)
|f(x)− f ∗ ϕh(x)| ≤∫
Rn
|f(x)− f(x− y)||ϕh(y)|1p |ϕh(y)|
1p′ dy
≤Satz 1.74
(∫
Rn
|f(x)− f(x− y)|p|ϕh(y)| dy) 1
p(∫
Rn
|ϕh(y)| dy) 1
p′
︸ ︷︷ ︸‖ϕh|L1(Rn)‖
1p′ =‖ϕ|L1(Rn)‖
1p′
y ‖f − f ∗ ϕh|Lp(Rn)‖p ≤
∫
Rn
∫
Rn
|f(x)− f(x− y)|p|ϕh(y)| dy dx ‖ϕ|L1(Rn)‖
p
p′
54 1 Banachräume
=
∫
Rn
|ϕh(y)|∫
Rn
|f(x) − f(x− y)|p dx︸ ︷︷ ︸
‖T−yf−f |Lp(Rn)‖p
dy ‖ϕ|L1(Rn)‖
p
p′
=
∫
|y|<δ
|ϕh(y)| ‖T−yf − f |Lp(Rn)‖p︸ ︷︷ ︸
<εp, (14)
dy ‖ϕ|L1(Rn)‖
p
p′
+
∫
|y|>δ
|ϕh(y)| ‖T−yf − f |Lp(Rn)‖p︸ ︷︷ ︸
≤2p‖f |Lp(Rn)‖p
dy ‖ϕ|L1(Rn)‖
p
p′
< εp‖ϕ|L1(Rn)‖p + 2p‖f |Lp(R
n)‖p‖ϕ|L1(Rn)‖
p
p′
∫
|y|>δ
|ϕh(y)| dy
=y = hz
εp‖ϕ|L1(Rn)‖p + 2p‖f |Lp(R
n)‖p‖ϕ|L1(Rn)‖
p
p′
∫
|z|>δh−1
|ϕ(z)| dz︸ ︷︷ ︸
<εp für h<h0(ε,δ), ϕ∈L1(Rn)
< C εp für h < h0(ε)
sei g ∈ C(Rn), ε > 0 y ∃ δ > 0 ∀ y ∈ Rn, |y| < δ : supx∈Rn
|g(x)− g(x− y)| < ε
y ‖g − g ∗ ϕh‖∞ ≤∫
|y|<δ
supx∈Rn
|g(x)− g(x− y)|︸ ︷︷ ︸
<ε
|ϕh(y)| dy +∫
|y|≥δ
supx∈Rn
|g(x)− g(x− y)|︸ ︷︷ ︸
≤2‖g‖∞
|ϕh(y)| dy
< ε‖ϕ|L1(Rn)‖+ 2‖g‖∞
∫
|z|>δh−1
|ϕ(z)| dz︸ ︷︷ ︸<ε für h<h0(ε,δ), da ϕ∈L1(Rn)
< C′ε für h < h0(ε)
Sobolev 39sches Mittelungsverfahren / Friedrichs 40sches Glättungsverfahrenzur Erinnerung:
ω(x) =
c e
− 11−|x|2 , |x| < 1
0, |x| ≥ 1∈ C∞
0 (Rn)
ωh(x) =1
hnω(xh
)∈ C∞
0 (Rn), h > 0
mit
suppω = K1(0), supp ωh = Kh(0)
und
∫
Rn
ω(x) dx =
∫
Rn
ωh(y) dy = 1
c
ω(x)
ωh(x)
Rn1 0 1
sei f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞. setzen
fh(x) = (f ∗ ωh)(x) =
∫
Rn
f(x− y)ωh(y) dy =
∫
|z|≤1
f(x− hz)ω(z) dz, x ∈ Rn, h > 0 (15)
39Sergei Lvovich Sobolev (∗ 6.10.1908 St. Petersburg † 3.1.1989 Leningrad)40Kurt Otto Friedrichs (∗ 28.9.1901 Kiel † 31.12.1982 New York)
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 55
Folgerung 1.85 Seien 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), fh gegeben durch (15), h > 0. Dann gelten
(i) fh ∈ Lp(Rn) ∩ C∞(Rn), ‖fh|Lp(Rn)‖ ≤ ‖f |Lp(Rn)‖
(ii) limh→0‖f − fh|Lp(Rn)‖ = 0
(iii) f ∈ C(Rn) impliziert ‖f − fh‖∞ −−−→h→0
0, fh ∈ C∞(Rn).
Be w e i s : folgt aus Definition (15) und Sätzen 1.83, 1.84
Bemerkung : spezielle Gestalt von ω nicht notwendig, nur ω ∈ C∞0 (Rn),
∫Rn ω(x) dx = 1, ω ≥ 0
Folgerung 1.86 Seien Ω ⊂ Rn offen, 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Ω), f(x) =
f(x), x ∈ Ω,
0, x ∈ Rn \Ω.
(i) supp fh ⊂ Ω +Kh(0), fh = fh|Ω ∈ Lp(Ω) ∩ C(Ω), limh→0‖f − fh|Lp(Ω)‖ = 0
(ii) Falls supp f ⊂ Ω kompakt ist, so existiert ein h0 > 0, so dass fh ∈ C∞0 (Ω), 0 < h < h0, sowie
‖f − fh|Lp(Ω)‖ −−−→h→0
0.
Be w e i s : zu (ii): sei f ∈ Lp(Ω), supp f ⊂ Ω kompakt, x ∈ Ω
fh(x) =
∫
|x−y|≤h
ωh(x− y)f(y) dy
dist(x, supp f) ≤ h =⇒i.a.
fh(x) 6= 0, dist(z, supp f) > h y fh(z) = 0
y supp fh ⊂ z ∈ Rn : dist (z, supp f) ≤ h
Ωfh(x) 6= 0
z fh(z) = 0
supp fh
supp f
x
dist(supp f, ∂Ω) > 0 y wählen h0 > 0 so, dass supp fh ⊂ Ω, 0 < h ≤ h0 y supp fh kompakt
Bemerkung : mit diesem Verfahren 99K alternative Beweise von Lemma 1.49 und Satz 1.77(ii) möglich:
seien Γ ⊂ Ω, Γ kompakt, Ω offen, Γh = y ∈ Rn : dist(Γ, y) < h, h > 0
=======⇒Sobolev-Mitt.
(χΓh
)h∈ C∞
0 (Ω),(χΓh
)h(x) = 1, x ∈ Γ, 0 ≤
(χΓh
)h≤ 1, mit
supp(χΓh
)h⊂ Γ2h ⊂ Ω für h < 1
2dist(Γ,Rn \ Ω)
Bezeichnung: sei Ω ⊂ Rn, f : Ω→ K; f ∈ Lloc1 (Ω) ⇐⇒ ∀ K ⊂ Ω, K kompakt : f ∈ L1(K)
Bemerkung : f ∈ Lloc1 (Ω) ∼ f ‘lokal integrierbar’ in Ω; L1(Rn) ( Lloc
1 (Rn), z.B. f ≡ 1
Satz 1.87 Seien Ω ⊂ Rn offen, f ∈ Lloc1 (Ω) mit
∫Ω f(x)ϕ(x) dx = 0 für alle ϕ ∈ C∞
0 (Ω). Dann giltf(x) = 0 f.ü. in Ω.
Be w e i s : Seien Γ ⊂ Ω ein beliebiges beschränktes (offenes) Gebiet mit Γ ⊂ Ω, ϕ ∈ C∞0 (Γ),
ϕh(x) =
∫
Ω
ωh(x− y)ϕ(y) dy =
∫
|y|≤1
ω(y)ϕ(x − hy) dy
56 1 Banachräume
dist(Γ, ∂Ω) > 0 y ∃ hΓ > 0 ∀ h, 0 < h ≤ hΓ : ϕh ∈ C∞0 (Ω) ==⇒
Vor.
∫
Ω
f(x)ϕh(x) dx = 0
setzen f und ϕ auf Rn fort, f(x) =
f(x), x ∈ Ω,
0, x ∈ Rn \ Ω, ϕ(x) =
ϕ(x), x ∈ Ω,
0, x ∈ Rn \ Ω,y ϕ ∈ C∞
0 (Rn), f ∈ Lloc1 (Rn)
y 0 =
∫
Rn
f(x)
∫
Rn
ωh(x− y)ϕ(y) dy︸ ︷︷ ︸
ϕh(x)
dx =Fubini
∫
Rn
(∫
Rn
ωh(x − y)f(x) dx)ϕ(y) dy
=ωh(z) = ωh(−z)
∫
Rn
(∫
Rn
ωh(y − x)f(x) dx)
︸ ︷︷ ︸fh(y)
ϕ(y) dy =
∫
Rn
fh(y)ϕ(y) dy
analog mit ϕ ∈ C∞0 (Γ) y 0 =
∫
Rn
ℜe fh(y)ϕ(y) dy = 0 für alle ϕ ∈ C∞0 (Γ)
z.z.: ℜe fh ≡ 0 in Γ; indirekt, Annahme: ∃ x0 ∈ Γ : ℜe fh(x0) 6= 0, o.B.d.A. ℜe fh(x0) > 0
========⇒fh ∈ C
∞(Rn)∃ > 0 ∀ y ∈ K(x0) : ℜe fh(y) > 0, o.B.d.A. K(x0) ⊂ Γ y ∃ ω(· − x0) ∈ C∞
0 (Γ) :
∫
Rn
ℜe fh(y) ω(y − x0)︸ ︷︷ ︸supp (·)⊂K(x0)
dy =
∫
K(x0)
ℜe fh(y)︸ ︷︷ ︸>0
ω(y − x0)︸ ︷︷ ︸>0 auf K/2(x0)
dy > 0
y ℜe fh ≡ 0 in Γ, analog: ℑm fh ≡ 0 in Γ y fh ≡ 0 in Γ
Γ ⊂ Ω kompakt =======⇒f ∈ Lloc
1 (Ω)f ∈ L1(Γ), fh = fh|Γ ∈ L1(Γ), 0 < h ≤ hΓ =====⇒
Folg. 1.86‖f − fh|L1(Γ)‖ −−−→
h→00
y ‖f |L1(Γ)‖ =∥∥∥f − fh︸︷︷︸
0
|L1(Γ)∥∥∥ −−−→
h→00 y ‖f |L1(Γ)‖ = 0 ⇐⇒
∫
Γ
|f(x)| dx = 0
=⇒ f(x) = 0 f.ü. in Γ =========⇒Γ ⊂ Ω beliebig
f(x) = 0 f.ü. in Ω
Bemerkung : „Fundamentallemma der Variationsrechnung“ :
f = 0 f.ü. in Ω ⇐⇒ ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω) :
∫
Ω
f(x)ϕ(x) dx = 0
zur Erinnerung: [X, ‖ · ‖X] normierter Raum, A ⊂ X beschränkt ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ a ∈ A : ‖a‖X ≤ c <∞
Bezeichnung: f ∈ Lp(Ω), Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, h ∈ Rn, x ∈ Rn; setzen f(x) =
f(x), x ∈ Ω,
0, x ∈ Rn \ Ωsowie Thf = Thf
Satz 1.88 Seien 1 ≤ p <∞, Ω ⊂ Rn offen und beschränkt. Sei M ⊂ Lp(Ω) beschränkt und gleichgradigLp-stetig, d.h.
lim|h|→0
supf∈M
‖Thf − f |Lp(Ω)‖ = 0.
Dann ist M präkompakt in Lp(Ω).
Be w e i s : 1. Schritt: sei Mh = fh : f ∈M, h > 0 =====⇒Folg. 1.86
Mh ⊂ C(Ω) = C(Ω)
zeigen: Mh präkompakt in C(Ω) =============⇒Satz 1.36/Arzelà-Ascoli
g.z.z.: Mh beschränkt und gleichgradig stetig in C(Ω)
1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 57
‖fh‖∞,Ω ≤Satz 1.83
‖f |Lp(Ω)‖ ‖ωh|Lp′(Rn)‖︸ ︷︷ ︸ch
≤ ch supf∈M
‖f |Lp(Ω)‖ y Mh ⊂ C(Ω) beschränkt
Mh gleichgradig stetig: ωh ∈ C∞0 (Rn) y ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z′, |z − z′| < δ : |ωh(z)− ωh(z
′)| < ε
y |fh(x) − fh(y)| ≤∫
Rn
|ωh(x− z)− ωh(y − z)||f(z)| dz
≤ ‖ωh(x− ·)− ωh(y − ·)|Lp′(Rn)‖︸ ︷︷ ︸=‖ωh(x−y+·)−ωh|Lp′(R
n)‖<ε|suppωh|1/p′=εch
‖f |Lp(Ω)‖
< ε supf∈M
‖f |Lp(Ω)‖ch = Cε für |x− y| < δ
y supfh∈Mh
|fh(x) − fh(y)| < Cε für x, y ∈ Ω, |x− y| < δ
2. Schritt: Mh ⊂ C(Ω) präkompakt ========⇒C(Ω) ⊂ Lp(Ω)
Mh ⊂ Lp(Ω) präkompakt
n.z.z.: M präkompakt in Lp(Ω) =====⇒Folg. 1.18
g.z.z.: Mh ist ε-Netz für M
‖f − fh|Lp(Ω)‖p =
∫
Ω
|f(x)− fh(x)|p dx
=
∫
Ω
∣∣∣∫
|z|≤1
ω(z)(f(x)− f(x − hz)) dz∣∣∣p
︸ ︷︷ ︸≤‖ω|Lp′(R
n)‖p∫
|z|≤1|f(x)−f(x−hz)|p dz
dx
≤ ‖ω|Lp′(Rn)‖p∫
|z|≤1
∫
Ω
|f(x)− f(x− hz)|p dx
︸ ︷︷ ︸‖f−f(·−hz)|Lp(Ω)‖p
dz
≤ ‖ω|Lp′(Rn)‖p∫
|z|≤1
supf∈M
‖f − T−hzf |Lp(Ω)‖p︸ ︷︷ ︸
<εp, |hz|≤h<h0
dz
≤ |Kn|‖ω|Lp′(Rn)‖pεp für h < h0, da M gleichgradig Lp-stetig
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