ecuaciones generales modelo de maxwell - upmecuaciones de maxwell. j.l. fernández jambrina eym 2a-1...
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Ecu
aci
ones
gen
erale
sM
odel
o d
e M
axw
ell
•Introducción
•Fuentes de campo:
–Carga eléctrica. Corriente eléctrica.
–Ecuación de continuidad.
•Definición del campo electromagnético.
•Ecuaciones de M
axwell.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-1
•Ecuaciones de M
axwell.
–Form
a Integral. Form
a diferencial.
•Ecuaciones de estado.
–Influencia sobre los m
ateriales.
–Clasificación de m
edios.
–Ley de O
hm. Constante de relajación.
•Condiciones en las interfases.
•Linealidad de las ecuaciones de M
axwell.
•Balance energético: Teorema de Poynting.
Intr
oducc
ión
•El modelo de M
axwell se compone de las denominadas ecuaciones
de Maxwelljunto con las ecuaciones de estado.
•Es un m
odelo macroscópico:
–Los m
ateriales se consideran continuos.
–En realidad son discretos, cuantificados, pero el elevado número de
partículas elementales en los recintos habituales perm
ite considerarlos
continuos.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-2
continuos.
•Hay dos form
as de expresar las ecuaciones de M
axwell:
–Integral:
»Flujos y circulaciones.
–Diferencial:
»Divergencias y rotacionales.
•Las fuentes del campo son las cargas y las corrientes.
–Se suponen conocidos los conceptos de carga y corriente.
–Se repasan los conceptos de densidades de carga y corriente.
Carg
a e
léct
rica
.
•Se supone conocido el concepto
de carga eléctrica.
–El concepto de carga va unido siempre a un recinto: carácter integral.
»Ejemplo: Carga contenida dentro de un volumen.
•Unidad: Culombio ó C
oulomb (C)
–Es una unidad m
uy grande. La carga de un esfera del tamaño de la tierra
puesta a 1V es del orden de 0.7 m
C
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-3
•Se puede considerar que los portadoresde carga básicos son los
protones, carga positiva, y los electrones, carga negativa.
–En un cuerpo descargado la carga de unos y otros se cancela.
–Los átomos no tienen por qué tener carga nula: iones.
–En los m
etales existen electrones libres que se pueden desplazar entre
una red de iones.
–En los semiconductores existen ‘huecos’ y electrones.
Den
sidad d
e ca
rga e
léct
rica
volu
mét
rica
.
•Magnitud diferencial o puntual asociada:
Densidad de carga por unidad de volumen:
–Definición:
()
dVdq
Vqlim
rV
=∆∆
=ρ
→∆
0
rdVdq
r rO
V
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-4
–Unidades: (C/m
3)
–Relación con la carga encerrada en un volumen:
dV
VV
∆→
∆0
()
∫∫∫∫∫∫
ρ=
=V
VdV
rdq
qr
O
Otr
os
tipos
de
dis
trib
uci
ones
de
carg
a
•Carga puntual:
–Es el modelo simplificado de una carga contenida en un recinto de
dim
ensiones m
uy pequeñas frente a la distancia de observación.
–La densidad de carga volumétrica no está definida en el punto en que se
encuentra la carga:
»Por muy pequeño que sea el volumen siempre habrá una carga q
en
su interior:
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-5
su interior:
»Su densidad se puede representar por una δ
tridim
ensional: δ
3
()
()
()
q
Vr
rq
rV
r
Vr
qdV
rq
rr
rrr
r−
δ=
ρ⇒
∉∈=
ρ=∫∫∫
3
;0
;
r r q
OV
q
() (
)
∉∈=
−δ
≠=
δ ∫∫∫V
r
Vr
dV
rr
rr
Vq
rrr
r
rr
;0
;1
0;
0
3
3
()
∞=
∆=
∆∆=
ρ→
∆→
∆Vq
lim
Vqlim
rV
V0
0
r
Dis
trib
uci
ón s
uper
fici
al de
carg
a.
•Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que una
de sus dim
ensiones es despreciable frente a la distancia de
observación.
–Caso típico: carga en la superficie
de un conductor.
–Densidad de carga superficial:
dS
S
O
dq
r r
()
dq
q∆
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-6
–Dificultad: la densidad de carga volumétrica no está definida en los
puntos de la superficie.
–Se puede representar por una δ.
»si la superficie está definida por ui= uS:
()
2
0m
CdS
dq
Sqlim
rS
S=
∆∆=
ρ→
∆
r
dS
dV
ρ ρρρ S
()
()
∞=
∆∆ρ
=∆∆
=ρ
→∆
→∆
VSr
lim
Vqlim
rS
VV
rr
00
()
()
()
ru
ur
SS
n
rr
ρ−
δ=
ρ
Dis
trib
uci
ón lin
eal de
carg
a
•Es un m
odelo sim
plificado de una distribución de carga tal que dos
de sus dim
ensiones son despreciables frente a la distancia al punto
de observación.
–Caso típico: carga de un hilo conductor.
–Densidad de carga lineal:
()
mC
dq
qlim
r=
∆=
ρr
dl
CO
dq
r r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-7
–Dificultad: la densidad de carga
volumétrica no está definida en los
puntos de la línea.
–Se puede representar por una δ2:
»si la línea está definida por ui= ul,iy uj= ul,j:
()
mC
0dl
llim
rl
L=
∆=
ρ→
∆
()
()
∞=
∆∆ρ
=∆∆
=ρ
→∆
→∆
Vlr
lim
Vqlim
rL
VV
rr
00
CO
()
()(
)()
ru
uu
ur
Lj
lj
il
i
rr
ρ−
δ−
δ=
ρ.
.
•La corriente eléctrica es la carga en m
ovim
iento.
•La m
agnitud utilizada para la caracterización de la corriente eléctrica
es la Intensidad de corriente que es la cantidad de carga que
atraviesa una superficie S en la unidad de tiempo. (M
agnitud integral)
Adt
dq
I=
Corr
iente
Elé
ctri
ca
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-8
–La unidad de intensidad de corriente es el Amperio, Ampère, que
equivale a un flujo de 1 C
oulomb en 1 segundo.
–En un m
etal la velocidad de los electrones es variable, pero su velocidad
media depende del campo eléctrico existente:
–Aceleran hasta interactuar (chocar) con la red iónica fija y se frenan.
–En un electrolito existen dos tipos de portadores, los iones positivos y
negativos.
»Sus velocidades m
edias dependen del campo eléctrico pero no
tienen por qué coincidir.
–Otro tanto se puede decir de los semiconductores.
Den
sidad d
e co
rrie
nte
volu
mét
rica
•Caracteriza la corriente eléctrica punto a punto.
•Definición:
–Es un vector:
»definición por componentes:
dS
SdI
$ n
dSdI
SIlim
Jn
S=
∆∆=
⋅→
∆0
ˆr
OjO
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-9
•Unidades: Amperio/m
etro2, es decir, A/m
2
•Relación con la intensidad de corriente:
•Debería hablarse de densidad superficial de corriente volumétrica.
–Densidad superficial porque es la densidad de flujo de cargas a través de
una superficie en la unidad de tiempo.
–Corriente volumétrica porque las cargas se m
ueven dentro de un volumen.
dS
S∆
∫∫∫∫
∫∫⋅
=⋅
==
SS
SS
dJ
dS
nJ
dI
Ir
rrˆ
OjO
Den
sidad d
e co
rrie
nte
volu
mét
rica
(2)
•Suponiendo un único tipo de portadores:
»densidad de carga asociada: ρ
»Velocidad m
edia de desplazamiento:
•La carga ∆qque atraviesa una superficie arbitraria en un intervalo ∆t
a partir de un instante t0, es la que en dicho instante está contenida
en el volumen ∆V:
vr
r vnt
⋅$∆
dtd
Sn
vV
qˆ ⋅
ρ∆ρ
∆r
rr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-10
•Puesto que la superficie es arbitraria:
•En el caso de varios tipos de portadores:
•Unidades: A/m
2
∆ ∆∆∆S
ρ ρρρ
r vr vnt
⋅$∆
$ n
r vt
∆
nv
dSdt
dtd
Sn
v
tS
Vlim
tS
qlim
nJ
SS
ˆˆ
ˆ0
0⋅
ρ=
⋅ρ
=∆
∆∆ρ
=∆
∆∆=
⋅→
∆→
∆
rr
r
vJ
rr
ρ=
∑∑
ρ=
=i
ii
i
iv
JJ
rr
r
OjO
•La corriente superficial es una aproxim
ación de una corriente que
circula a través de un recinto de espesor despreciable frente al punto
de observación.
•La densidad de corriente superficial
caracteriza este tipo de distribuciones.
»les la intersección de la superficie
Dis
trib
uci
ones
de
corr
iente
super
fici
al
dl
dI
lIlim
Jn
lS
=∆∆
=⋅
→∆
0
ˆr
dI
δ>0
δ⋅
=⋅
=r
rr
n̂
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-11
»les la intersección de la superficie
por la que circula la corriente con
la que se utiliza para el cálculo de
la intensidad.
»está contenido en la superficie
por la que circula la corriente y
es norm
al a l
•Unidades: A/m
–Amperios/(Unidad de anchura)
•Relación con la intensidad:
∫∫
⋅=
=L
SL
dl
nJ
dI
Iˆ
r
$ n
OjO
dl
nJ
Sd
JdI
δ⋅
=⋅
=ˆ
rr
r
dl
n̂
dI
δ=0
ld
JdI
S
rr⋅
=
dl
n̂
Dis
trib
uci
ones
filiform
es.
•Son una aproxim
ación de las corrientes que circulan a lo largo de un
recinto de dim
ensiones transversales despreciables frente a la
distancia al punto de observación.
–Ejemplo: corriente que circula por un hilo conductor.
•Se caracterizan por la intensidad de la corriente que circula, I,y el
vector unitario .
ˆl̂
l̂
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-12
l̂I
SI
l̂
∫∫⋅
=s
Sd
JI
rr
Ley
de
conse
rvaci
ón d
e la
carg
a:
Ecu
aci
ón d
e co
ntinuid
ad
•Ley de conservación de la carga:
La carga no se crea ni se destruye.
–Ecuación de continuidad en form
a integral.
»Para cualquier volumen V
la disminución de la carga encerrada es
$ n
dV
dq
r rO
VS
r J
⇔−
=dt
dq
I0
=+
dt
dq
I
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-13
»Para cualquier volumen V
la disminución de la carga encerrada es
igual a la carga que fluye fuera de él, la corriente saliente.
–Ecuación de continuidad en form
a diferencial.
»Si Vperm
anece fijo en el tiempo:
»Y como la integral debe ser nula para cualquier volumen:
0=
∂∂ρ+
⋅∇
tJr
0=
∂∂ρ+
⋅∇
=+
⇒
ρ=
ρ=
⇒ρ
=
⋅∇
=⋅
=
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
V
VV
V
VS
dV
tJ
dt
dq
IdV
dt
ddV
dtd
dt
dq
dV
q
dV
JS
dJ
Ir
rr
r
Def
inic
ión d
el c
am
po e
lect
rom
agnét
ico
•La descripción del campo electromagnético requiere cuatro vectores:
–: Intensidad de campo eléctrico (V/m
)
–: Densidad de flujo eléctrico, Inducción eléctrica ó Desplazamiento
eléctrico (C/m
2)
–: Densidad de flujo m
agnético (T=wb/m
2)
–: Intensidad de campo m
agnético (A/m
)
•La definición es la expresión conocida como fuerza de Lorentz.
Er Dr Br Hr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-14
•La definición es la expresión conocida como fuerza de Lorentz.
–Si una carga q se m
ueve a velocidad en el seno de un campo
electromagnético, entonces aparecerá sobre ella una fuerza de valor:
•Fuerzas sobre distribuciones volumétricas:
vr
()
Bv
Eq
Fr
rr
r×
+=
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫
×+
ρ=
×ρ
+ρ
=
=×
+=
VV
VV
dV
BJ
dV
EdV
Bv
dV
E
dq
Bv
dq
EF
rr
rr
rr
rr
rr
Ecu
aci
ones
de
Maxw
ell
•Son cuatro.
–A M
axwell se debe sólo un térm
ino de una de ella
s.
•Ecuaciones de M
axwell
Forma Integral
Forma Diferencial
Ley de Gauss
qS
dD S
=⋅
∫∫r
rρ
=⋅
∇Dr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-15
S∫∫
Ley de Faraday
∫∫∫
⋅∂∂
−=
⋅S
CS
dB
tl
dE
rr
rr
tBE
∂∂−
=×
∇
rr
Flujo del campo
Magnético
0=
⋅∫∫ S
Sd
Br
r0
=⋅
∇Br
Ley de Ampère
∫∫∫
⋅∂∂
+=
⋅S
CS
dD
tI
ld
Hr
rr
r
tDJ
H∂∂
+=
×∇
rr
r
Ley
de
Gauss
•Enunciado:
–El flujo del vector de desplazamiento eléctrico, , a través una
superficie cerrada es igual a la carga contenida en su interior.
qS
dD S
=⋅
∫∫r
rdV
V
$ n
r D
dS
Dr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-16
•Es fácil pasar de su form
a integral a la diferencial:
–Para cualquier volumen que contenga únicamente puntos ordinarios:
•La densidad de carga es la fuente escalar del campo : las líneas
tienen su origen en regiones de carga positiva y su fin en regiones de
carga negativa.
VS
⇒ρ
=⋅
∇⇒
ρ=
⋅∇
=⋅
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫V
V
V
V
Gauss
SdV
dV
DdV
q
dV
DS
dD
rr
rr
ρ=
⋅∇
Dr
Dr
Ley
de
Fara
day
•Relaciona el campo con la variación temporal del campo .
–La circulación del campo a lo largo de un contorno C
es igual a la
menos derivada con respecto al tiempo del flujo del campo a través
de una de las superficies lim
itadas por C.
∫∫∫
⋅∂∂
−=
⋅S
CS
dB
tl
dE
rr
rr
dS
S
C
$ n
Br
BrEr
Er
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-17
–Si se supone que la superficie S
perm
anece fija
y que sólo contiene puntos ordinarios:
–La variación temporal de es fuente vectorial del campo .
C
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
⇒⋅
∂∂−
=⋅
×∇
⋅∂∂
=⋅
∂∂
⋅×
∇=
⋅
=∂∂
SS
S
tS
S
S
Sto
kes
C
Sd
tBS
dE
Sd
tBS
dB
t
Sd
El
dE
rr
rr
rr
rr
rr
rr
0tB
E∂∂
−=
×∇
rr
ErBr
Ecu
aci
ón d
el flu
jo d
el c
am
po m
agnét
ico
•Las líneas de campo m
agnético son cerradas:
–Para toda superficie:
–Y si sólo contiene puntos ordinarios:
0=
⋅∫∫ S
Sd
Br
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-18
–Equivale a negar la existencia de m
onopolos o cargas m
agnéticas.
⇒=
⋅∇
=⋅
∫∫∫∫∫
0V
SdV
BS
dB
rr
r
0=
⋅∇
Br
•Relaciona el campo con la variación temporal del campo y la
corriente.
–La circulación del campo a lo largo de un contorno C
es igual a la
derivada con respecto al tiempo del flujo del campo a través de una
de las superficies lim
itadas por C m
ás la corriente.
Hr
Dr
dS
S
$ n
∫∫∫
⋅∂∂
+=
⋅S
CS
dD
tI
ld
Hr
rr
r
Hr
Dr
Ley
de
Am
pèr
e
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-19
–Si se supone que la superficie S perm
anece fija y
que sólo contiene puntos ordinarios:
•La variación temporal de y la densidad de corriente, ,son fuentes
vectoriales del campo .
C
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫∫
⇒⋅
∂∂+
=⋅
×∇
⇒
⋅=
⋅∂∂
=⋅
∂∂
⋅×
∇=
⋅
=∂∂
SS
S
S
tS
S
S
Sto
kes
C
Sd
tDJ
Sd
H
Sd
JI
Sd
tDS
dD
t
Sd
Hl
dH
rr
rr
r
rr
rr
rr
rr
rr
0
tDJ
H∂∂
+=
×∇
rr
r
DrJr
Hr
•El térm
ino es la contribución de M
axwell.
•Se puede justificar su necesidad:
–Supongamos que el campo eléctrico es nulo
fuera del condensador y escogamos una
superficie que corte al conductor:
Ley
de
Am
pèr
e(2
)
tD
∂∂r
∫∫∫
⋅=
⋅=
10
SC
Sd
Jl
dH
Ir
rr
r
I 0q+
S1
I 0
C
n̂
Iq+
S2
I 0
C
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-20
–Si con el mismo contornose escoge una
superficie que que pase entre las arm
aduras:
–Considerando que la corriente del caso inicial provoca una acumulación
de carga en el condensador es fácil obtener un térm
ino que conduce al
resultado correcto:
∫∫∫
1S
C
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
⋅∂∂
=⋅
=⇒
=⋅
∂∂+
⋅−
⇒
⇒=
⋅∂∂
+⋅
⇒=
∂∂+
+−
=
+−
=
21
21
0
21
21
0
00
SS
SS
SS
S
SS
S
SS
Sd
Dt
Sd
JI
Sd
Dt
Sd
J
Sd
Dt
Sd
Jtq
I
rr
rr
rr
rr
rr
rr
02
0=
⋅≠
⋅=
∫∫∫
SC
Sd
Jl
dH
Ir
rr
r
I 0q+
I 0
n̂
–trabajando un poco:
–resulta que y varían de form
a que se compensan sus variaciones
desde el punto de vista de cálculo de sus flujos.
–Así pues es razonable pensar que se puede generalizar la ley de
Ley
de
Am
pèr
e (3
)
00
=
∂∂
+⋅
∇=
⋅∇
∂∂+
⋅∇
⇒
ρ=
⋅∇
=∂ρ∂
+⋅
∇D
tJ
Dt
J
Dt
Jr
rr
r
r
r
tD
∂∂r
Jr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-21
–Así pues es razonable pensar que se puede generalizar la ley de
Ampère
clásica de esta form
a:
–Esta fue la aportación de M
axwell.
–Esta aportación perm
itió la predicción de la propagación de ondas
electromagnetismo y fue la confirm
ación experimental de la existencia de
éstas (Hertz1886) lo que confirm
ó la validez de este térm
ino.
tDJ
Hct
etD
J
JH
∂∂+
=×
∇⇒
=∂∂
+
=×
∇r
rr
rr
rr
?
Red
undanci
a e
n las
ecuaci
ones
de
Maxw
ell
•Existe un cierto grado de redundancia si se consideran las
ecuaciones de M
axwell junto a la ecuación de continuidad:
–Calculando la divergencia de la Ley de Faraday:
cte
BB
tB
ttB
E
tBE
=⋅
∇⇒
=⋅
∇∂∂
⇒
⋅∇
∂∂=
∂∂ ⋅∇
=×
∇⋅∇
⇒∂∂
−=
×∇
rr
rr
rr
r0
0
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-22
–Calculando la divergencia de la Ley de Ampère:
–La experiencia dice que ambas constantes son nulas.(
)
()
cte
DD
t
Dt
Dt
JtD
J
H
tDJ
HE
c
Cont
+ρ
=⋅
∇⇒
=⋅
∇+
ρ−
∂∂⇒
⇒
⋅∇
+ρ
−∂∂
=⋅
∇∂∂
+⋅
∇=
∂∂+
⋅∇
=×
∇⋅∇
⇒∂∂
+=
×∇
rr
rr
rr
r
rr
rr
0
0.
.
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