dominio frecuencia bode v08s02
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-
1Anlisis en el Dominio de la Frecuencia
Sistemas de Control El desempeo se mide por
caractersticas en el dominio del tiempo
Respuesta en el tiempo es dficil de determinar analticamente, sobretodo en sistemas de orden superior
Anlisis en el Dominio de la Frecuencia
Dominio de la Frecuencia Se tiene un conjunto de mtodos grficos, no
limitados a sistemas de orden bajo Las propiedades en el dominio del tiempo se
pueden deducir con base en las caractersticas en el dominio de la frecuencia
El dominio de la frecuencia es mas conveniente para mediciones de sensibilidad al ruido del sistema
Anlisis en el Dominio de la Frecuencia
Dominio de la Frecuencia Las pruebas de respuesta son sencillas
Se puede determinar experimentalmente las funciones de transferencia de sistemas complicados mediante pruebas de respuesta de frecuencia
Anlisis en el Dominio de la Frecuencia
Respuesta de frecuencia Hace referencia a la respuesta de un sistema en
estado estacionario ante una entrada senoidal
Se utiliza anlisis de frecuencia en control por: Conveniencia Disponibilidad de herramientas
-
2Salida en estado estacionario para una entrada senoidal
T(s)r(t) y(t)
R(s) Y(s)
+=
=
fasedeoCorrimient
AmplitudYtYty
Entonces
Frecuencia
AmplitudRtRtr
:
:)sin()(
:
:)sin()(
0
0
0
T(s) es la funcin de transferencia de un sistema SISO
Salida en estado estacionario para una entrada senoidal
)()()(
)()(lim)(lim
jRjTjY
sRsTsY
js
jsjs
=
=
T(s)r(t) y(t)
R(s) Y(s)T(s) es la funcin de transferencia de un sistema SISO
En el dominio de la frecuencia compleja: Y(s) = T(s) R(s)
Para realizar el nalisis en rgimen senoidal permanente, se hace que s tienda a j
Salida en estado estacionario para una entrada senoidal
)()()(
)()()(
jYjYjY
Donde
jRjTjY
=
=
)()()(
)()()(
jRjTjY
fasederelacinlay
jRjTjY
+=
=
Considerando T(j) y R(j) complejos, tenemos:
Salida en estado estacionario para una entrada senoidal
)(0
jTRY =
Para las seales x(t) y y(t) descritas:
La amplitud de la senoidal de salida est dada por:
La fase de salida:
)(
)()()(
jT
jTjRjY
===
|T(j)| y el argumento de T(j) describen el comportamiento en estado estable para una entrada senoidal
-
3Salida en estado estacionario para una entrada senoidal
La magnitud y la fase de un sistema a lazo cerrado se puede utilizar para describir el comportamiento del sistema en estado estable, as como el transitorio en el dominio del tiempo
Respuesta en frecuencia de sistemas en lazo cerrado
)()(1
)(
)()(1
)()(
jHjG
jG
jHjG
jGjT
+=
+=
La magnitud de T(j) es:
La fase de T(j) es:
( ))()(1)()( jHjGjGjT +=
Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Pico de resonancia (Mr o Tr) Es el valor mximo de |T(j)|. Da indicacin de la estabilidad relativa de un
sistema estable a lazo cerrado Ligado al sobreimpulso mximo
Frecuencia de resonancia (r) Frecuencia a la cual ocurre el pico de
resonancia
Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Ancho de banda (BW ) Frecuencia a la cual |T(j)| cae al 70.7% (3dB)
de su valor a =0 (frecuencia de corte inferior) Da indicacin de propiedades de la respuesta
transitoria, las caractersticas de filtrado de ruido y robustez del sistema
Razn de corte Pendiente de |T(j)| de frecuencias altas
-
4Relacin entre r ,BW, Mr y , n
21;21 2 0,707 la frecuencia de resonancia (r) es cero y el pico de resonancia (Tr) es uno
Pico de resonancia
Tr es funcin solamente de
Relacin entre r ,BW, Mr y , n
( ) 24421 242 ++= n
BW
Ancho de Banda
Para valores de > 0,707 la frecuencia de resonancia (r) es cero y el pico de resonancia (Tr) es uno
Magnitud en funcin de la frecuencia normalizada de un sistema de control en lazo cerrado
referencia[3]
Fase normalizada en un sistema de 2doorden
(referencia [3])
-
5Tr en funcin de en un sistema de 2do Orden ur en funcin de en un sistema de 2do Orden
Correlacin entre respuesta en frecuencia y respuesta en el tiempo de un sistema de 2do Orden
(referencia [3])
Caracterstica de la respuesta en frecuencia en forma grfica
T(j) est caracterizada por: Magnitud ngulo de fase
En general se utilizan tres representaciones grficas: Diagrama de Bode o Diagrama Logartmico Diagrama de Nyquist o Diagrama Polar Diagrama de Nichols (Magnitud log contra la fase)
-
6Resumen de reglas para dibujar los diagramas de Bode
Respuesta aproximada de frecuencia
Grfica asinttica logaritmica de G(j).
Compuesta por dos curvas |G(j)| en decibeles respecto a log G(j) en grados como funcin de log
Resumen de reglas para dibujar los diagramas de Bode
Puesto que |G(j)| est expresada en decibeles entonces los factores multiplicativos y divisin se transforman en sumas y restas
Resumen de reglas para dibujar los diagramas de Bode
En general
Magnitud
Fase
( )( )222121)(1()1)(1(
)(nna sssTs
sTsTKsG
+++++
=
( ) ( ) )//21()1()()1()1()(
2
21
nna jTj
jTjTjKjG
++
++++=
( ) ( ) |//21|log20|1|log20||log20
|1|log20|1|log20)log(20))(log(20|)(|
2
21
nn
a
dB
j
Tjj
TjTjKjGjG
+
+
++++==
Pginas a consultar
http://lims.mech.northwestern.edu/~lynch/courses/ME391/2003/bodesketching.pdf
http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/Bode/BodeHow.html
-
7Informacin que se obtiene de la respuesta de frecuencia a lazo abierto
Regin de bajas frecuencias Indica comportamiento de estado estable del
sistema a lazo cerrado
Regin de frecuencias medias Estabilidad relativa
Regin de altas frecuencias Da idea de la complejidad del sistema
Anlisis del Sistema usando Grficas de Bode
La funcin de transferencia de un sistema SISO es:
La ecuacin caracterstica del sistema es:
)()()(lim
)()()(
)()(1
)()(
11
11
jHjGKsLy
sHsKGsL
abiertolazoaciatransferendeFuncin
sHsG
sGsT
js=
=
+=
0)(1)()(1 =+=+= sLsHsGs
Identificacin de polos y ceros del sistema
Polos de la funcin de transferencia a lazo cerrado son los ceros de 1+L(s)
Los ceros de 1+L(s) son las races de la ecuacin caracterstica
Condiciones de estabilidad (1) Estabilidad a lazo abierto
Si los polos de L(s) estn todos en el semiplano izquierdo del plano s
Estabilidad en lazo cerrado Un sistema es estable en lazo cerrado o
simplemente estable si los polos de T(s)(ceros de 1+L(s)) estn en el semiplano izquierdo del plano s
-
8Condiciones de estabilidad (2) El sistema es inestable si la magnitud
de la ganancia es mayor a uno, a una frecuencia en la que la fase del sistema sea 180
Es decir, el sistema es inestable si:
=
>=
180)()(
1||
1|)()(|
11
11
jHjGy
kjHjG
Condiciones de estabilidad (3) Margen de ganancia
Es la cantidad de ganancia en decibeles que se puede aadir al lazo antes que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable
Se define como la ganancia de amplitud necesaria para hacer |L(j)|=1 cuando L(j) es de 180
==
180)()(0
jLjLMG
Condiciones de estabilidad (4) Margen de fase
Es la diferencia hacia 180de la fase del sistema a una ganancia de 0 dB
Si hay cruces mltiples de 180entonces el margen de fase es la menor de las posibilidades
dBjLjLMF
01)|(|)(180
==
+=
Condiciones de estabilidad (5) Para que un sistema sea estable debe
cumplirse que los MG y MF deben ser positivos segn las definiciones
MG es positivo y el sistema es estable si |L(j)| al cruce de fase (p) es negativo en decibeles
MF es positivo y el sistema es estable si L(j)es mayor que 180en el cruce de ganancia (g)
-
9Margen de ganancia y Margen de fase [3]
(referencia [3])
Ventajas de las grficas de Bode Las grficas se pueden aproximar por
segmentos de rectas
Los cruces de ganancia y fase as como MG y MF se pueden determinar fcilmente
Para propsitos de diseo es fcil visualizar el efecto de aadir controladores y sus parmetros se visualizan fcilmente (mejor que sobre una grfica de Nyquist)
Desventajas de las grficas de Bode
Grfica de Bode es til slo para estudios de estabilidad de sistemas con funciones de transferencia de fase mnima
Ejemplo (Margen de fase)
-
10
Ejemplo (Margen de Ganancia) Sistemas de fase Mnima y No Mnima Trmino proviene de las caractersticas de
cambio de fase de tal sistema cuando estsujeto a entradas senoidales
Sistema de fase Mnima Si los polos y los ceros de un sistema se
encuentran todos en el semiplano izquierdo del plano s
Sistemas de fase Mnima y No Mnima
Sistema de fase No Mnima El sistema tiene al menos un polo o un
cero en el semiplano derecho del plano s
Las grficas de Bode de funciones de transferencia de trayectoria directa de fase no mnima no deben utilizarse para el anlisis de estabilidad de control en lazo cerrado
Sistemas de fase Mnima La mayora de funciones de transferencia en
procesos de control de sistemas LTI son de fase mnima
Una propiedad importante de los sistemas de fase mnima es que sus caractersticas de magnitud y fase estn relacionadas de forma nica
Para una funcin de fase mnima con m ceros y npolos (excluyendo los polos en s=0), cuando sj y vara de a 0, la variacin de fase total de G(j)es (n m)*90
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11
Caracterstica generales Para un sistema de fase mnima, MG y MF deben ser
positivos con el fin de que el sistema sea estable
Los dos valores delimitan el comportamiento del sistema en lazo cerrado cerca de la frecuencia de resonancia
Rendimiento satisfactorio MF entre 30y 60 MG mayor que 6 dB
Este requisito de MF en el diagrama de Bode significa que la pendiente de la curva de |L(j)|dB en la frecuencia de cruce de ganancia (g) debe ser menor que 40dB/dcada
Caracterstica generales
Para estabilidad es conveniente una pendiente de 20dB en la frecuencia de cruce de ganancia
Si la pendiente es de 40dB el sistema puede ser estable o inestable
Si la pendiente es de 60dB o superior es muy probable que el sistema sea inestable
10-2 10-1 100 101 102 103-180
-135
-90
-45
0
Fase
(d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 45 deg (at 11.8 rad/sec)
Frecuencia [rad/s] (rad/sec)
-80
-60
-40
-20
0
20
40
System: untitled1Frequency (rad/sec): 17.9Magnitude (dB): -6.03
System: untitled1Frequency (rad/sec): 0.012Magnitude (dB): 25.3
Mag
nitu
d (d
B)
MF=45
Error de estado estacionarioEl valor en dB de los coeficientes de error (Kp, Kv y Ka, dependiendo del tipo de sistema) se obtienen leyendo la interseccin de la recta en = 1 con la asntota de la curva de magnitud a = 0.
KpdB = 25.3 dBKp = 18.41
Respuesta en el tiempo
ess =1/(1+Kp)ess=1/(1+18.41)ess = 5.15%
Respuesta ante escaln
Tiempo [s] (sec)
Ampl
itud
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: untitled1Rise Time (sec): 0.105
System: untitled1Final Value: 0.948
tr
ess
-
12
Referencias [1] Dorf, Richard, Bishop Robert. Sistemas de control
moderno, 10 Ed., Prentice Hall, 2005, Espaa.
[2] Ogata, Katsuhiko. Ingeniera de Control Moderna, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4 Ed., Madrid.
[3] Kuo, Benjamin C.. Sistemas de Control Automtico, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, Mxico.
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