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Diagrammi di Bode
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm
(versione del 5-12-2012)
2
Funzioni di trasferimento
● Le funzioni di trasferimento (f.d.t) dei circuiti lineari tempo invarianti sono funzioni razionali (cioè rapporti tra due polinomi) a coefficienti reali della variabile j
● Per evitare di trattare esplicitamente quantità immaginarie, si introduce una variabile s j detta frequenza complessa
● I valori di s per cui si annulla il polinomio N(s) sono detti zeri della f.d.t
● I valori di s per cui si annulla il polinomio D(s) sono detti poli della f.d.t
012
2
012
2
)()()(
)()()(
)(
)()(
ajajaja
bjbjbjb
j
jj
nn
mm
D
NH
012
2
012
2
)(
)()(
asasasa
bsbsbsb
s
ss
nn
mm
D
NH
3
Funzioni di trasferimento
● Si indicano con m0 e n0 i numeri di zeri e di poli nulli della f.d.t. m1 e n1 i numeri di zeri (z1,..., zm1) e di poli (p1,..., pn1) reali diversi da
zero della f.d.t. m2 e n2 i numeri di coppie di zeri (z1,..., zcm1) e di poli (p1,..., pcn1)
complessi coniugati della f.d.t. La f.d.t può essere posta nella forma
21
21
00
21
21
00
1
2
cc2
1
1
2
cic2
1)(
1
*cc
1
1
*cc
1)(
)Re(2)(
)Re(2)(
))(()(
))(()()H(
n
iii
n
ii
m
ii
m
ii
nm
n
m
n
iii
n
ii
m
iii
m
ii
nm
n
m
pspsps
zszszss
a
b
pspsps
zszszss
a
bs
4
Funzioni di trasferimento
● Dall’espressione precedente si può ottenere la forma canonica
dove
i
ii
i
ii
iiii
ii
ii
z
z
p
p
zp
zp
c
c
c
c
c0c0
ReRe
11
21
21
00
120
2
01
12
0
2
01)(
211
211
)H(n
i ii
in
ii
m
i ii
im
ii
nm
sss
sss
Kss
21
21
1
20
1
1
20
1
1
1
n
ii
n
i i
m
ii
m
i i
n
m
a
bK
5
Note
● Se m0n0 0, K rappresenta il valore di H(s) per s 0 (e quindi per 0) cioè è il valore in continua delle funzione di trasferimento
● Si può notare che, affinché un termine quadratico del tipo
corrisponda a una coppia di poli o zeri complessi coniugati, occorre che sia negativo il discriminante
Quindi deve essere soddisfatta la condizione
20
2
0
21
s
s
01
20
20
2
6
Risposta in frequenza
● La risposta in frequenza può essere riottenuta sostituendo s con j
● L’andamento di H(j) viene rappresentato mediante due grafici (diagrammi di Bode) che riportano
il modulo (in dB) risposta in ampiezza
l’argomento (in gradi o radianti) risposta in fase
in funzione della pulsazione o della frequenza (in scala logaritmica)
21
21
00
120
2
01
12
0
2
01)(
211
211
)()(n
k iii
n
ki
m
k iii
m
ki
nm
jj
jj
jKjH
7
Note
● Nella rappresentazione della frequenza (o della pulsazione) in scala logaritmica si mettono in evidenza intervalli di frequenza caratterizzati da un rapporto costante tra la frequenza superiore f2 e la frequenza inferiore f1
● In particolare si chiama decade un intervallo per cui f2 10f1 si chiama ottava un intervallo per cui f2 2f1
● Normalmente le fasi vengono rappresentate nell’intervallo oppure
8
Funzioni elementari
● La forma fattorizzata della funzione di trasferimento rende agevole la costruzione dei diagrammi di Bode, infatti
Il valore in dB del modulo di H è dato dalla differenza tra le sommatorie dei valori in dB dei moduli dei fattori del numeratore (incluso K) e dei fattori del denominatore
L’argomento H è dato dalla differenza tra le sommatorie degli argomenti dei fattori del numeratore (incluso K) e dei fattori del denominatore
I diagrammi possono essere ottenuti sommando i contributi di termini corrispondenti alle funzioni elementari
1
20
2
0
1
1
21)(1)(
)()(
jjjj
jjKj
HH
HH
9
Fattore costante
Kj )(H
)(log20)( 10dBKj H
0180
00)(arg
K
Kj
per
perH
)( jH )(arg jH
10
Zero nell’origine
90)(arg jH
jj )(H
)(log20)( 10dBjH
dB0)(1dB jH
+20 dB/decade
H(j
)(d
B)
arg
H(j
)
11
Polo nell’origine
jj
1)(H
)(log20)( 10dBjH
90)(arg jHdB0)(1dB jH
H(j
)(d
B)
20 dB/decade
arg
H(j
)
12
Zero reale - ampiezza
● Posto 0 1, si possono individuare due asintoti
retta orizzontale con ordinata nulla
retta con pendenza +20 dB/decade (= +6 dB/ottava) che interseca l’asse delle ascisse per 0
jj 1)(H
2210dB
1log20)( jH
01log20)( 10dB0 jH
0101020
2
10dB0 loglog20log20)(
jH
13
Zero reale - ampiezza
● L’andamento del modulo di H può essere approssimato con un diagramma formato da due semirette che si incontrano per (approssimazione asintotica)
● Per il modulo di H vale
● Questo valore rappresenta anche il massimo errore introdotto dalla rappresentazione asintotica
dB32log20)( 10dB0 jH
14
Zero reale - ampiezza
+20 dB/decade
0
H(j
)(d
B)
15
Zero reale - fase
● Se si ha Se si ha
● In questo caso si hanno due asintoti orizzontali
● L’andamento della fase può essere approssimato mediante una spezzata formata da due semirette orizzontali, corrispondenti agli asintoti, e da un segmento obliquo
● Il diagramma per 0 si può ottenere ribaltando attorno all’asse delle ascisse quello tracciato per 0
arctg)(arg jH
45)arctg(
90)arctg(lim
0)arctg(lim
0
0
45)arctg(
90)arctg(lim
0)arctg(lim
0
0
16
Zero reale - fase
● Per tracciare il segmento obliquo si possono utilizzare vari criteri
● Approssimazione 1:
Si collegano i due asintoti mediante la retta tangente alla curva nel punto
Si può dimostrare che le intersezioni di questa retta con gli asintotisi trovano in corrispondenza delle pulsazioni
● Approssimazione 2:
Si collegano gli asintoti mediante la retta che li interseca per
In questo modo il massimo scostamento risulta di circa 5.8° ed èinferiore al massimo errore che si ottiene con l’approssimazione 1
02
0202
01 5e2.0e
0201 101.0
17
Zero reale - fase
0
arg
H(j
)
approssimazione 1
approssimazione 2
0
18
Zero reale - fase
0
arg
H(j
)
approssimazione 1
approssimazione 2
0
19
Polo reale
● Dato che
i diagrammi del modulo e dell’argomento di questa funzione si ottengono ribaltando attorno all’asse delle ascisse i diagrammi corrispondenti alla funzione 1 j
jj
1
1)(H
jj
jj
1arg1
1arg
1log201
1log20 1010
20
Polo reale - ampiezza
20 dB/decade
0
H(j
)(d
B)
21
Polo reale - fase
0
arg
H(j
)
approssimazione 1
approssimazione 2
0
22
Zeri complessi coniugati - ampiezza
● Si individuano due asintoti
retta orizzontale con ordinata nulla
retta con pendenza +40 dB/decade (+12 dB/ottava) che interseca l’asse delle ascisse per 0
20
2
0
21)(
j
jH
2
0
2
20
2
10dB
21log20)(
jH
01log20)( 10dB0 jH
0101040
4
10dB0 loglog40log20)(
jH
23
Zeri complessi coniugati - ampiezza
● In questo caso, in prossimità della pulsazione 0 l’andamento del modulo di H può discostarsi sensibilmente dal diagramma asintotico
● In particolare la curva può presentare un minimo se esiste un valore reale R della pulsazione per cui si annulla la derivata di |H|
Questo avviene se
in questo caso si ha anche
In queste condizioni la risposta è detta risonante o sottosmorzata
Altrimenti la risposta è detta non risonante o sovrasmorzata
20R
2
0
2
20
2
2102
1
d
d
2
2
2R 12)( jH
24
Zeri complessi coniugati - ampiezza
+40 dB/decade
0
H(j
)(d
B)
25
Zeri complessi coniugati - fase
● Se si ha Se si ha
0220
0
0
0220
0
)sgn(180)(
2arctg
)sgn(90
)(
2arctg
)(arg
per
per
per
jH
90)(arg
180)(arglim
0)(arglim
0
0
j
j
j
H
H
H
90)(arg
180)(arglim
0)(arglim
0
0
j
j
j
H
H
H
26
Zeri complessi coniugati - fase
● Anche in questo caso si può approssimare l’andamento della fase mediante una spezzata formata collegando i due asintoti con un segmento obliquo, che può essere tracciato in più modi
● Per esempio si può utilizzare la retta tangente alla curva per 0
● Si può dimostrare che questa retta interseca gli asintoti per
● Il diagramma della fase per si ottiene ribaltando attorno all’asse delle ascisse il diagramma ottenuto per
02
0202
01 5e5e
27
Zeri complessi coniugati - fase
0
arg
H(j
)0
28
Poli complessi coniugati
● I diagrammi del modulo e della fase di H(j) possono essere ottenuti ribaltando attorno all’asse delle ascisse i grafici ottenuti per la funzione precedente
1
20
2
0
21)(
j
jH
29
Poli complessi coniugati - ampiezza
40 dB/decade0
H(j
)(d
B)
30
Poli complessi coniugati - fase
0
arg
H(j
)
0
31
Esempio 1
● Tracciare i diagrammi di Bode della f.d.t.
● La f.d.t. ha uno zero nell’origine e due poli
● Si riscrive la funzione in forma canonica
● Si tracciano i diagrammi asintotici dei moduli e delle fasi delle funzioni 150, j, 11j200, 11j104 e si sommano i loro contributi
642
4
1041004.22
108)(
ss
ssH
44
4
4
4
4
101
2001
50
1
101
2001
102002
108
)10)(200(2
108)(
sss
sss
ss
ssH
4
44684
21 10
200
2
1098.01002.1
2
108100404.11002.1,
pp
32
Esempio 1 – diagramma del modulo
33
Esempio 1 – diagramma della fase
34
Esempio 1 – confronto con i diagrammi esatti
35
Esempio 2
● Tracciare i diagrammi di Bode della f.d.t.
● La f.d.t ha uno zero per s 20, un polo semplice per s 104 e un polo doppio per s 500
● Si tracciano i diagrammi asintotici dei moduli e delle fasi delle funzioni 2, 1+j11j500, 11j104 e si sommano i contributi
● I grafici di 11j500 si ottengono moltiplicando per 2 il modulo e l’argomento di 11j500
4
2
101
5001
201
2)(ss
s
sH
36
Esempio 2 – diagramma del modulo
37
Esempio 2 – diagramma della fase
38
Esempio 2 – confronto con i diagrammi esatti
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