di secondo grado equazioni di secondo grado introduzione la seguente presentazione è un esempio di...

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO DI SECONDO GRADO

INTRODUZIONEINTRODUZIONELa seguente presentazione è un esempio di unità didattica La seguente presentazione è un esempio di unità didattica

contestualizzabile in un percorso didattico riferito al contestualizzabile in un percorso didattico riferito al programma di matematica di un istituto professionale.programma di matematica di un istituto professionale.

E’ rivolta non solo agli studenti di una classe seconda E’ rivolta non solo agli studenti di una classe seconda superiore,ma anche agli adulti che intendono conseguire superiore,ma anche agli adulti che intendono conseguire il diploma di scuola secondaria di II grado attraverso una il diploma di scuola secondaria di II grado attraverso una formazione a distanza.formazione a distanza.

L’unità didattica è ampliabile e integrabile con l’interazione L’unità didattica è ampliabile e integrabile con l’interazione diretta col docente attraverso gli strumenti offerti dalla diretta col docente attraverso gli strumenti offerti dalla piattaforma on line o in presenza dell’insegnante piattaforma on line o in presenza dell’insegnante

EQUAZIONI DI SECONDO GRADOEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

METODOLOGIA Poiché acquisire la tecnica per risolvere equazioni di 2° grado è

fondamentale per tutto il percorso didattico che seguirà, l’unità didattica è stata sviluppata mettendo in rilievo le nozioni basilari e i saperi essenziali che consentono allo studente di raggiungere tale obiettivo.

A tale scopo, dopo la trattazione di ogni unità di apprendimento sono stati introdotti:

esercizi svolti per esemplificare regole ed applicazioni; esercizi guidati per permettere allo studente sia di verificare

immediatamente quanto appreso sia di ottenere gratificazione e motivazione;

esercizi da svolgere. Al termine dell’unità didattica: brevi test o domande a risposta aperta consentono un ripasso

generale dell’argomento. Link utili per un lavoro di personale approfondimento.

EQUAZIONI DI 2° GRADOEQUAZIONI DI 2° GRADO

PREREQUISITIPer affrontare questa unità didattica lo studente deve saper:

Eseguire operazioni con numeri naturali, interi relativi e razionali relativi Risolvere equazioni di primo grado Calcolare radici quadrate

OBIETTIVIIn questa unità didattica lo studente imparerà: A riconoscere la forma normale di un’equazione di II grado A distinguere tra equazioni complete, pure e spurie A conoscere ed applicare la formula risolutiva A conoscere il significato del discriminante A risolvere equazioni complete, pure e spurie

CONTENUTICONTENUTI Equazioni completeEquazioni complete Formula risolutivaFormula risolutiva Significato del discriminanteSignificato del discriminante Equazioni incompleteEquazioni incomplete Equazioni incomplete pureEquazioni incomplete pure Equazioni incomplete spurieEquazioni incomplete spurie

Libro di riferimento:

Mario Lepora

ELEMENTI DI MATEMATICA

per gli Istituti Professionali vol 2

Petrini editore

EQUAZIONI COMPLETEEQUAZIONI COMPLETE

La forma normale di un’equazione di 2° La forma normale di un’equazione di 2° grado completa è:grado completa è:

a x2 + b x + c = 0

con a, b, c numeri reali e a ≠ 0con a, b, c numeri reali e a ≠ 0

FORMULA RISOLUTIVAFORMULA RISOLUTIVA

Per risolvere un’equazione di secondo grado Per risolvere un’equazione di secondo grado completa si applica la formula:completa si applica la formula:

x = - b ± √b2 – 4ac 2a

L’espressione che appare sotto il segno di radice L’espressione che appare sotto il segno di radice b2 – 4ac

si chiama discriminante dell’equazione e si indica si chiama discriminante dell’equazione e si indica con la lettera greca con la lettera greca ∆ ( delta ).( delta ).

SIGNIFICATO DEL DISCRIMINANTE

Il segno di ∆ determina le soluzioni di un’equazione di secondo grado::

Se ∆ > 0l’equazioneammette due soluzioni reali e distinte

Se ∆ = 0l’equazioneammettedue soluzioni realie coincidenti

Se ∆ < 0L’equazionenon ammette soluzioni

ESEMPIO 1

x2 – 4x + 3 = 0 a = 1, b = - 4, c = 3

x = 4 ±√16 – 4·1·3 = 4 ±√4 = 4 ± 2

2 2 2

∆ > 0

X1 = 1 X2 = 3

DUE SOLUZIONI REALI E DISTINTE

ESEMPIO 2

x2 + 6x + 9 = 0 a = 1, b = 6, c = 9

x = -6 ±√36 – 4·1·9 = 4 ±√0 = 4 ± 0

2 2 2

∆ = 0

X1 = 2 X2 = 2

DUE SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI

ESEMPIO 3

x2 + x + 5 = 0 a = 1, b = 1, c = 5

x = -1±√1– 4·1·5 = -1±√-19

2 2

∆ < 0

EQUAZIONE IMPOSSIBILE

Esercizio guidato 1Esercizio guidato 1

8x8x22 -10x + 3 = 0 -10x + 3 = 0

Si applica la formula risolutiva:Si applica la formula risolutiva:

x = x = 10 10 ±√ 100 – 96 ±√ 100 – 96 = =

1616

Le soluzioni sono:Le soluzioni sono:

xx11 = x = x22 = =

Esercizio guidato 2Esercizio guidato 2

3x3x22 + 4x + 5 = 0 + 4x + 5 = 0

Si applica la formula risolutiva:Si applica la formula risolutiva:

x = x = - 4 - 4 ±√ 16 – 60 ±√ 16 – 60 = =

66

Le soluzioni sono:Le soluzioni sono:

Esercizio guidato 3Esercizio guidato 3

4x4x22 - 28x + 49 = 0 - 28x + 49 = 0

Si applica la formula risolutiva:Si applica la formula risolutiva:

x = x = 28 28 ±√ 784 - 784 ±√ 784 - 784 = =

88

Le soluzioni sono:Le soluzioni sono:

Soluzioni esercizi guidati Soluzioni esercizi guidati equazioni completeequazioni complete

1.1. xx11 = 1/2 x = 1/2 x22 = ¾ = ¾

2.2. L’equazione non ammette soluzioni realiL’equazione non ammette soluzioni reali

3.3. xx1 1 =x=x2 2 = 7/2= 7/2

Esercizi da svolgere da svolgere

1.1. xx22 - 2x - 8 = 0 - 2x - 8 = 0 xx11 = -2 = -2 xx2 2 = 4= 4

2.2. 15x15x22 - 7x - 4 = 0 - 7x - 4 = 0 xx11 = -1/3 = -1/3 xx2 2 = 4/5= 4/5

3.3. xx22 + 4x - 12 = 0 + 4x - 12 = 0 xx11 = 2 = 2 xx2 2 = -6= -6

4.4. xx22 - 6x + 9 = 0 - 6x + 9 = 0 xx11 = = xx22= 3= 3

5.5. xx22 - 8x + 7 = 0 - 8x + 7 = 0 xx11 = 7 = 7 xx22= 1= 1

6.6. 5x5x22 - 3x - 2 = 0 - 3x - 2 = 0 xx11 = 1 = 1 xx22= -2/5= -2/57.7. 3x3x22 +5x + 42 = 0 impossibile +5x + 42 = 0 impossibile

8.8. 9x9x22 + 15x - 6 = 0 + 15x - 6 = 0 xx11 = -2 = -2 xx2 2 = 1/3= 1/3

9.9. 25x25x22 - 100x + 64 = 0 - 100x + 64 = 0 xx11 = 4/5 = 4/5 xx22= 16/5= 16/5

10.10. 9x9x22 + 12x - 12 = 0 + 12x - 12 = 0 xx11 = -2 = -2 xx22= 2/3= 2/3

EQUAZIONI INCOMPLETE

Se b = 0 l’equazione

diventa

a x2 + c = 0

e si chiama

equazione PURA

Se c = 0l’equazione

diventa

a x2 + bx = 0

e si chiama

equazione SPURIA

EQUAZIONI PURE

Le equazioni pure si risolvono isolando il termine con l’incognita:

ax2 + c = 0

ax2 = - c

x = ±√-c/a

ESEMPI

ESEMPI di equazioni pure

x2 – 16 = 0

x2 = 16

x = ± 4

25x2 – 4 = 0

x2 = 4/25

x = ± 2/5

x2 + 9 = 0

x2 = - 9

x = ±√ - 9

Equazioneimpossibile

Le soluzioni di un’equazione pura, se esistono, sono numeri opposti.

Esercizi guidatiEsercizi guidatiequazioni pureequazioni pure

1.1. 2x2x22 - 18 = 0 2x - 18 = 0 2x22 = 18 x = 18 x22 = 9 = 9 x =

2.2. xx22 - 16 = 0 x - 16 = 0 x22 = x = = x =

3.3. 4x4x22 - 25 = 0 4x - 25 = 0 4x22 = x = x22 = x = = x =

4.4. xx22 + 25 = 0 x + 25 = 0 x2 2 = l’equazione è = l’equazione è

Soluzioni esercizi guidati Soluzioni esercizi guidati equazioni pureequazioni pure

1.1. x = x = ± 3± 3

2.2. x = x = ± 4± 4

3.3. x = x = ± 5/2± 5/2

4.4. impossibileimpossibile

Esercizi da svolgere Esercizi da svolgere equazioni pureequazioni pure

1.1. xx22 = 49 x = = 49 x = ± 7± 72.2. xx22 - 36 = 0 x = - 36 = 0 x = ± 6± 63.3. xx22 - 625 = 0 x = - 625 = 0 x = ± 25± 254.4. 10x10x22 - 1000 = 0 x = - 1000 = 0 x = ± 10± 105.5. 3x3x22 - 75 = 0 x = - 75 = 0 x = ± 5± 56.6. 8x8x22 - 32 = 0 x = - 32 = 0 x = ± 2± 27.7. 12x12x22 - 1200 = 0 x = - 1200 = 0 x = ± 10± 108.8. 2x2x22 + 28 = 0 impossibile + 28 = 0 impossibile9.9. 3x3x22 = -27 impossibile = -27 impossibile10.10. 2x2x22 - 32 = 0 x = - 32 = 0 x = ± 4± 4

EQUAZIONI SPURIE

Le equazioni spurie si risolvono raccogliendo x ed applicando la legge di annullamento del prodotto, secondo la quale il prodotto di due fattori è zero se almeno uno di essi è zero.

axax22 + bx = 0 + bx = 0 x = 0x = 0x( ax + b ) = 0 ax + b = 0 x = - b/a

ESEMPI

ESEMPI di equazioni spurieESEMPI di equazioni spurie

x2 – 4x = 0 x1 = 0x( x – 4) = 0 x – 4 = 0 x2 = 4

3x2 + 5x = 0 x1 = 0x( 3x + 5 ) = 0 3x + 5 = 0 x2 = -5/3

L’equazionespuria ha due soluzioni reali una delle quali sempreuguale a zero

Esercizi guidatiEsercizi guidatiequazioni spurieequazioni spurie

1.1. 7x7x2 2 + 4x = 0 x = 0 + 4x = 0 x = 0

x ( 7x + 4 ) = 0 x ( 7x + 4 ) = 0

7x + 4 = 0 x = 7x + 4 = 0 x =

2.2. 5x5x2 2 – x = 0– x = 0 x ( ) = 0x ( ) = 0

Soluzioni esercizi guidatiSoluzioni esercizi guidatiequazioni spurieequazioni spurie

1.1. x = 0 x = - 4/7x = 0 x = - 4/7

2.2. x = 0 x = 1/5x = 0 x = 1/5

Esercizi da svolgere Esercizi da svolgere equazioni spurieequazioni spurie

1.1. 3x3x2 2 - 4x = 0 x = 0 x = 4/3- 4x = 0 x = 0 x = 4/32.2. 8x8x2 2 - 32x = 0 x = 0 x = 4- 32x = 0 x = 0 x = 43.3. 25x25x2 2 + 5x = 0 x = 0 x = - 1/5+ 5x = 0 x = 0 x = - 1/54.4. 7x7x2 2 - 2x = 0 x = 0 x = 2/7- 2x = 0 x = 0 x = 2/75.5. 9x9x2 2 - 36x = 0 x = 0 x = 4- 36x = 0 x = 0 x = 46.6. 12x12x2 2 + x = 0 x = 0 x = - 1/12+ x = 0 x = 0 x = - 1/127.7. 7x7x2 2 - 56x = 0 x = 0 x = 8- 56x = 0 x = 0 x = 88.8. 2x2x2 2 + 14x = 0 x = 0 x = -7+ 14x = 0 x = 0 x = -79.9. 4x4x2 2 - 6x = 0 x = 0 x = 3/2 - 6x = 0 x = 0 x = 3/210.10. 5x5x2 2 + 5x = 0 x = 0 x = - 1+ 5x = 0 x = 0 x = - 1

ax2 + bx + c = 0

Nome

equazione Soluzioni Tipo di soluzioni

b ≠ 0, c ≠ 0 completa x = -b±√ ∆

2a

Se ∆ > 0 reali distinte

Se ∆ = 0 reali coincidenti

Se ∆ < 0 nessuna soluzione

b = 0, c ≠ 0 pura x = ±√-c/a Se esistono, sono opposte

b ≠ 0, c = 0 spuria x1 = 0

x2 = -b/a

Reali distinte

VERIFICAVERIFICAtesttest

Riconosci , tra le seguenti espressioni, l’equazione di II gradoRiconosci , tra le seguenti espressioni, l’equazione di II gradoa) x + 1= 2xa) x + 1= 2x22 b) x – 2x + 1 = 0 b) x – 2x + 1 = 0 c) 3xc) 3x2 2 – 4x +2 – 4x +2 d) 4xd) 4x33 -5 x -5 x2 2 +3 = 0+3 = 0

Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado completaRiconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado completaa) 3 xa) 3 x22 -x = 0 -x = 0 b) xb) x22 - x - 3= 0 - x - 3= 0 c) xc) x22 - 9 = 0 - 9 = 0 d) 5 xd) 5 x22 = 0 = 0

Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado spuriaRiconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado spuriaa) 3 xa) 3 x22 -x = 0 -x = 0 b) xb) x22 - x - 3= 0 - x - 3= 0 c) xc) x22 - 9 = 0 - 9 = 0 d) 5 xd) 5 x22 = 0 = 0

testtest Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado puraRiconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado puraa) 3 xa) 3 x22 -x = 0 -x = 0 b) xb) x22 - x - 3= 0 - x - 3= 0 c) xc) x22 - 9 = 0 - 9 = 0 d) 5 xd) 5 x22 = 0 = 0

Riconosci l’equazione di II grado completa ridotta a forma normaleRiconosci l’equazione di II grado completa ridotta a forma normalea) 3 xa) 3 x22 = x – 5 = x – 5 b) 4 xb) 4 x22 + 7x – 2x +3 = 0 + 7x – 2x +3 = 0 c) 4 xc) 4 x22 + 3x - 1 = 0 + 3x - 1 = 0

Individua i coefficienti a,b e c delle seguenti equazioniIndividua i coefficienti a,b e c delle seguenti equazionia) 4 xa) 4 x22 - 8x + 3 = 0 a = b = c = - 8x + 3 = 0 a = b = c =b) 3xb) 3x22 -1 +8x = 0 a = b = c = -1 +8x = 0 a = b = c = c) 2x – 3xc) 2x – 3x22 + 1 = 0 a = b = c = + 1 = 0 a = b = c =

testtest La formula risolutiva dell’equazione completa di II grado è:La formula risolutiva dell’equazione completa di II grado è:

a) x = a) x = b ±√ bb ±√ b22 + 4ac + 4ac 2 a 2 a

b) x = b) x = b ±√ -bb ±√ -b2 2 – 4ac– 4ac 2 a 2 a

c) x = c) x = -b ±√ b-b ±√ b22 – 4ac – 4ac 2 c 2 c

d) x = d) x = - b ±√ b- b ±√ b2 2 – 4ac– 4ac 2 a 2 a

VERIFICAVERIFICAdomande apertedomande aperte

Data l’equazione 2xData l’equazione 2x2 2 - 3x + 5 = 0, applica la formula risolutiva - 3x + 5 = 0, applica la formula risolutiva Risolvi le equazioni Risolvi le equazioni

3 x3 x22 - 6x + 3 = 0 - 6x + 3 = 0

3 x3 x22 - 6x = 0 - 6x = 0

3 x3 x22 - 27= 0 - 27= 0

Scrivi la formula del Scrivi la formula del

Completa le seguenti frasiCompleta le seguenti frasi

Se risulta Se risulta ….. 0, l’equazione ha ………………………………………. ….. 0, l’equazione ha ……………………………………….

Se risulta Se risulta ….. 0, l’equazione ha ………………………………………. ….. 0, l’equazione ha ……………………………………….

Se risulta Se risulta ….. 0, l’equazione ha ………………………………………. ….. 0, l’equazione ha ……………………………………….

LINK UTILILINK UTILI

Per approfondire l’argomento si segnalano i Per approfondire l’argomento si segnalano i seguenti siti:seguenti siti:

http://www.matematicamente.ithttp://www.matematicamente.it

http://www.ripmat.ithttp://www.ripmat.it

http://www.silviocilloco.ithttp://www.silviocilloco.it

http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_quadraticahttp://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_quadratica

http://matematicagenerale.ithttp://matematicagenerale.it

http://www.matematiche.orghttp://www.matematiche.org

http://www.zanichelli.ithttp://www.zanichelli.it