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DETERMINANTE Aulas 01 a 05
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário DETERMINANTE ......................................................... 1
Exemplo 1 ..................................................................................................................................................... 1
Exemplo 2 ..................................................................................................................................................... 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 1
Exemplo 3 ..................................................................................................................................................... 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 2
TEOREMA DE LAPLACE ............................................... 2
COFATOR ...................................................................................................................................................... 2
Exemplo 1 ..................................................................................................................................................... 2
TEOREMA DE LAPLACE .................................................................................................................................. 2
Exemplo 3 ..................................................................................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 2
Propriedades ............................................................. 3
Considere 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏 em todos os casos a seguir. ................................................. 3
FILA NULA ..................................................................................................................................................... 3
Exemplo 1 ..................................................................................................................................................... 3
FILAS PARALELAS........................................................................................................................................... 3
Exemplo 2 ..................................................................................................................................................... 3
Exemplo 3 ..................................................................................................................................................... 3
COMBINAÇÃO LINEAR ................................................................................................................................... 3
Exemplo 4 ..................................................................................................................................................... 3
Exemplo 5 ..................................................................................................................................................... 3
TROCA DE FILAS PARALELAS .......................................................................................................................... 3
Exemplo 6 ..................................................................................................................................................... 3
MATRIZ TRANSPOSTA ................................................................................................................................... 3
Exemplo 6 ..................................................................................................................................................... 3
MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM NÚMERO REAL ............................................................................... 4
Exemplo 7 ..................................................................................................................................................... 4
TEOREMA DE JACOBI..................................................................................................................................... 4
MATRIZ TRIANGULAR .................................................................................................................................... 4
Seja 𝑨 uma matriz triangular, então 𝐝𝐞𝐭𝑨 é o produto dos elementos da diagonal principal. ........................ 4
Exemplo 8 ..................................................................................................................................................... 4
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 4
TEOREMA DE BINET ...................................................................................................................................... 4
Elson Rodrigues e Gabriel Carvalho Página 1
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 4
Regra de Chió............................................................. 5
REGRA DE CHIÓ ............................................................................................................................................. 5
Exemplo 2 ..................................................................................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 5
MATRIZ DE VANDERMONDE.......................................................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 5
Matriz Inversa ............................................................ 5
Matriz dos cofatores ..................................................................................................................................... 5
Exemplo 1 ..................................................................................................................................................... 6
Matriz adjunta .............................................................................................................................................. 6
Exemplo 2 ..................................................................................................................................................... 6
Matriz Inversa ............................................................................................................................................... 6
Exemplo 3 ..................................................................................................................................................... 6
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 6
QUESTÕES EXTRAS ........................................................................................................................................ 7
CAIU NO VEST ............................................................................................................................................... 8
GABARITO ..................................................................................................................................................... 8
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................................................... 8
QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 8
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 8
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1
AULA 01 DETERMINANTE
A toda matriz quadrada pode ser associado um
número real, chamado de determinante.
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. O
determinante de 𝐴, 𝐝𝐞𝐭 𝑨, é calculado por diferentes
técnicas que variam de acordo com a ordem da
matriz.
• ORDEM 𝟏
O determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao
único elemento que compõe essa matriz.
Exemplo 1
• 𝐴 = [−2], então det 𝐴 = −2.
• 𝐴 = [𝜋], então det 𝐴 = 𝜋.
• 𝐴 = [0], então det 𝐴 = 0.
• ORDEM 𝟐
O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal menos o
produto dos elementos da diagonal secundária.
Se 𝐴 = (𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22), então
det 𝐴 = |𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22| = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21
Exemplo 2
Se 𝐴 = (1 32 7
), então det 𝐴 = |1 32 7
| = 7 − 6 = 1
Obs.1: O determinante da matriz pode ser denotado
por | |.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Calcule os determinantes a seguir.
a) | − 7|
b) |2 93 7
|
c) |1 −13 −2
|
d) |5 4
−2 −1|
e) |𝑠𝑒𝑛 𝑎 − cos 𝑎cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎
|
1.2. Resolva, em ℝ, a equação |2𝑥 3𝑥 − 21 𝑥
| = 1.
• ORDEM 𝟑
O determinante da matriz de ordem 3 é calculado
utilizando a Regra de Sarrus.
Observe o passo-a-passo no exemplo a seguir.
Exemplo 3
Calcule o determinante da matriz 𝐴 = [1 0 20 3 1
−1 2 3].
1) Copie ao lado da matriz 𝑨 as suas duas primeiras
colunas.
|1 0 20 3 1
−1 2 3|
1 00 3
−1 2
2) Multiplique os elementos da diagonal principal.
Faça o mesmo, separadamente, para cada
“diagonal paralela”.
|1 0 20 3 1
−1 2 3|
1 00 3
−1 2
3) Multiplique os elementos da diagonal
secundária, trocando o sinal do produto obtido.
Faça o mesmo, separadamente com as suas
“diagonais paralelas”.
|1 0 20 3 1
−1 2 3|
1 00 3
−1 2
4) Some os valores obtidos.
det 𝐴 = 9 + 0 + 0 + 6 − 2 + 0 = 13
6 − 2 0
9 0 0
3 ⋅ 2 1 ⋅ 7
𝑎11𝑎22 𝑎12𝑎21
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EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.3. Calcule
A) |3 2 11 2 51 −1 0
|
B) |1 −1 25 7 −44 0 1
|
AULA 02 TEOREMA DE LAPLACE
COFATOR Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2 e seja
𝑎𝑖𝑗 um elemento de 𝐴. A cada elemento da matriz 𝑎𝑖𝑗
está associado um número real chamado de cofator.
O cofator de 𝑎𝑖𝑗, denotado por Δ𝑖𝑗 , é tal que
𝚫𝒊𝒋 = (−𝟏)𝒊+𝒋 ⋅ 𝑫𝒊𝒋,
em que 𝐷𝑖𝑗 é o determinante da matriz que se obtém
de 𝐴, eliminando a 𝑖-ésima linha e 𝑗-ésima coluna.
Exemplo 1
Na matriz 𝑨 = [𝟎 𝟏 −𝟏𝟐 𝟑 𝟏
−𝟐 𝟎 𝟒], qual o cofator do
elemento 𝒂𝟏𝟑?
Para determinar o cofator de 𝒂𝟏𝟑 precisamos calcular
𝑫𝟏𝟑 que é obtido eliminando a primeira linha e
terceira coluna.
[𝟎 𝟏 −𝟏𝟐 𝟑 𝟏
−𝟐 𝟎 𝟒] ⇒ 𝐃𝟏𝟑 = |
𝟐 𝟑−𝟐 𝟎
| = 𝟎 + 𝟔 = 𝟔
E assim,
Δ13 = (−1)1+3 ⋅ 𝐷13 = (−1)4 ⋅ 6 = 6.
TEOREMA DE LAPLACE O determinante de uma matriz quadrada de ordem
𝑛 ≥ 2 é igual a soma dos produtos dos elementos de
uma fila com os seus respectivos cofatores.
Exemplo 3
Calcule o determinante da matriz 𝐴 = [
1 2 1 12 1 4 33 0 0 24 3 2 5
].
1º) Utilizando o teorema de Laplace na linha 3
det 𝐴 = 𝑎31 ⋅ Δ31 + 𝑎32 ⋅ Δ32 + 𝑎33 ⋅ Δ33 + 𝑎34 ⋅ Δ34
det 𝐴 = 3 ⋅ Δ31 + 0 ⋅ Δ32 + 0 ⋅ Δ33 + 2 ⋅ Δ34
det 𝐴 = 3 ⋅ Δ31 + 2 ⋅ Δ34
Perceba que ao escolher a linha 3 só será necessário
calcular dois cofatores, pois ela possui dois termos
nulos.
2º) Calculando o cofator 𝚫𝟑𝟏
Δ31 = (−1)3+1 ⋅ |2 1 11 4 33 2 5
| = 1 ⋅ 22 = 22
3º) Calculando o cofator 𝚫𝟑𝟒
Δ34 = (−1)3+4 ⋅ |1 2 12 1 44 3 2
| = (−1) ⋅ 16 = −16
4º) Voltando ao determinante
det 𝐴 = 3 ⋅ Δ31 + 2 ⋅ Δ34
det 𝐴 = 3 ⋅ 22 + 2 ⋅ (−16)
det 𝐴 = 34
Obs.2: O termo fila se refere a uma linha ou coluna da
matriz.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Calcule
TAREFA 1 – Página 10, exercícios propostos 1(a, b,
c, d, e, f), 2(a, b) e 4.
Teorema de Laplace
Observe que no teorema de Laplace cada cofator é
multiplicado pelo seu respectivo elemento, com isso
caso o elemento seja nulo não é necessário calcular
seu cofator.
Logo, escolha sempre a fila com a maior quantidade
de elementos nulos para simplificar o cálculo.
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a) |
3 15 0
−2 1 1 2
4 02 1
1 −10 3
|
b)
1 4 1 1
2 0 4 3
5 0 2 1
3 0 7 1
AULA 03
Propriedades
Considere 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏 em
todos os casos a seguir.
FILA NULA
Se 𝐴 possui uma fila na qual todos os elementos são
nulos, então det 𝐴 = 0.
Exemplo 1
O determinante |2 3 10 0 0
−1 2 7| é nulo, pois a segunda
linha é nula.
FILAS PARALELAS
Se 𝐴 possui filas paralelas iguais ou proporcionais,
então det 𝐴 = 0.
Exemplo 2
O determinante |2 1 45 −1 22 1 4
| é nulo, pois a linha 1 é
igual a linha 3.
Exemplo 3
O determinante |1 1 22 5 43 6 6
| é nulo, pois a coluna 3 é o
dobro da coluna 1
COMBINAÇÃO LINEAR
Se os elementos de uma fila de uma matriz são
combinações lineares dos elementos correspondentes
de filas paralelas, então seu determinante é nulo
Exemplo 4
O determinante |1 2 34 5 9
−1 2 1| é nulo, pois a coluna 3 é
a soma da coluna 1 e 2.
Exemplo 5
O determinante |1 2 84 5 23
−1 2 4| é nulo, pois a coluna 3
é a igual a coluna 1 vezes 2 mais a coluna 2 vezes 3.
TROCA DE FILAS PARALELAS
Se trocarmos a posição de duas filas paralelas de 𝐴,
obtendo uma matriz 𝐴′, então
det 𝐴′ = − det 𝐴.
Exemplo 6
Se o determinante |3 2 11 2 51 −1 0
| é igual a 22, então o
determinante |1 2 53 2 11 −1 0
| é igual a −22, pois a linha
1 foi trocada com a linha 2.
MATRIZ TRANSPOSTA
Seja 𝐴𝑡 a transposta da matriz 𝐴 então
det 𝐴 = det 𝐴𝑡
Exemplo 6
Se o determinante |3 2 11 2 51 −1 0
| é igual a 22, então o
determinante da matriz |3 1 12 2 −11 5 0
| será igual a 22,
pois ela é a sua transposta.
TAREFA 2 – Página 10, exercícios propostos 1(g, h,
i).
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MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM
NÚMERO REAL
Quando todos os elementos de uma fila de 𝐴 são
multiplicados por um número 𝑘 obtendo uma matriz
𝐴′, então det 𝐴′ = 𝑘 ∙ det 𝐴.
Exemplo 7
Se o determinante |3 2 11 2 51 −1 0
| é igual a 22, então o
determinante |6 2 12 2 52 −1 0
| é igual a 44, pois a coluna
1 foi multiplicada por 2.
TEOREMA DE JACOBI
Seja A' a matriz obtida pela substituição de uma fila de
uma matriz A pela soma dessa fila com um múltiplo
de outra fila paralela a ela não altera o determinante,
ou seja, det 𝐴 = det 𝐴′
MATRIZ TRIANGULAR
Seja 𝑨 uma matriz triangular, então 𝐝𝐞𝐭 𝑨 é o produto
dos elementos da diagonal principal.
Exemplo 8
|
3 50 1
1 0 2 3
0 00 0
2 10 4
| = 3 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 4 = 24.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.1. Calcule.
a) |7 8 90 0 0
−1 2 −3|
b) |
1 12 2
0 40 6
3 14 2
0 70 8
|
c) |2 3 14 5 −22 3 1
|
3.2. Sabendo que |𝑥 𝑦𝑧 𝑤
| = 7, calcule os
determinantes.
a) |𝑧 𝑤𝑥 𝑦 |
b) |5𝑥 5𝑦𝑧 𝑤
|
c) |5𝑥 5𝑦5𝑧 5𝑤
|
3.3. Se 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 2 e
det 𝐴 = 7, qual o valor de det 3𝐴?
3.4. Em cada determinante a seguir, justifique por
meio de uma propriedade o porquê do determinante
ser igual a zero.
a) ||
2 3 4 0 −11 2 0 0 20 3 0 0 51 1 2 0 31 4 −1 0 2
|| = 0
b) |
3 1 2 −10 4 2 53 1 2 −15 6 9 10
| = 0
c) |
2 3 −1 91 2 3 64 5 2 150 −4 1 −12
| = 0
d) ||
1
2
1
21 3
2 3 5 017 10 27 8−4 0 −4 5
|| = 0
e) |
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑𝑥 𝑦 𝑧 𝑤1 1 1 1
2𝑎 + 3𝑥 2𝑏 + 3𝑦 2𝑐 + 3𝑧 2𝑑 + 3𝑤
|
TEOREMA DE BINET
Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de mesma ordem,
então
det(𝐴 ⋅ 𝐵) = det 𝐴 ⋅ det 𝐵
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.5. Prove que uma matriz invertível possui
determinante diferente de zero.
3.6. (AFA – 2012) Considere as matrizes 𝐴 e 𝐵,
inversíveis e de ordem 𝑛, bem como a matriz
identidade 𝐼. Sabendo que det(𝐴) = 5 e det(𝐼 ⋅ 𝐵−1 ⋅
𝐴) =1
3, então o det[3 ⋅ (𝐵−1 ⋅ 𝐴−1)] é igual a
(A) 5 ⋅ 3𝑛.
(B) 3𝑛−1
52 .
(C) 3𝑛
15.
(D) 3𝑛−1.
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AULA 04
Regra de Chió
REGRA DE CHIÓ A regra de Chió nos permite calcular o determinante
de uma matriz de ordem 𝑛, utilizando uma matriz de
ordem menor.
Obs.3: Para utilizar a regra de Chió o elemento 𝒂𝟏𝟏
deve ser igual a 𝟏.
(1 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
)
PASSO A PASSO
1. Suprima a 1º linha e 1º coluna.
2. Dos elementos restantes, subtraia o produto
dos dois elementos suprimidos
correspondentes a mesma linha e coluna.
3. A nova matriz tem o mesmo determinante
da matriz original
Exemplo 2
|
𝟏 23 7
4 2 5 6
1 103 8
−4 52 3
| = |7 − 2 ⋅ 3 5 − 4 ⋅ 3 6 − 3 ⋅ 2
10 − 2 ⋅ 1 −4 − 4 ⋅ 1 5 − 1 ⋅ 28 − 2 ⋅ 3 2 − 4 ⋅ 3 3 − 3 ⋅ 2
|
= |1 −7 08 −8 32 −10 −3
|
= |−8 − (−7) ⋅ 8 3 − 8 ⋅ 0
−10 − (−7) ⋅ 2 −3 − 2 ⋅ 0|
= |56 34 −3
| = −144 − 12 = −156
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Calcule
a) |
1 22 −3
0 4 5 1
1 63 2
3 −11 4
|
b) |
4 13 1
2 00 2
5 31 0
2 22 1
|
MATRIZ DE VANDERMONDE A matriz de Vandermonde, ou matriz das potências, é
uma matriz quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2 do tipo
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 1
n
n
n n n n
n n x n
a a a a
a a a aA
a a a a
Obs.4: Os elementos da segunda linha da matriz de
Vandermode são chamados de elementos
característicos.
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao
produto de todas as diferenças entre os seus
elementos característicos (𝑎𝑖 − 𝑎𝑘), com 𝑖 > 𝑘.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.2. Calcule
a)|
1 12 3
1 15 7
4 98 27
25 49125 343
|
b) |
1 11 −2
1 15 3
1 41 −8
25 9125 27
|
AULA 05
Matriz Inversa
Matriz dos cofatores
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. A matriz dos
cofatores de 𝐴, denotada por 𝐴′, é a matriz em que
cada elemento Δ𝑖𝑗 é o cafoto de cada elemento 𝑎_𝑖𝑗
de 𝐴.
TAREFA 2 – Página 10, exercícios propostos 3, 5, 6,
7, 8
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Em outras palavras, a matriz 𝐴′ é a matriz que se
obtém a partir de 𝐴, substituindo cada elemento de 𝐴
pelo seu cofator.
Exemplo 1
Sendo 𝐴 = [2 3
−1 1] temos que os cofatores dos
elementos da matriz 𝐴 são iguais a
Δ11 = (−1)1+1 ⋅ 1 = 1
Δ12 = (−1)1+2 ⋅ (−1) = 1
Δ21 = (−1)2+1 ⋅ 3 = −3
Δ22 = (−1)2+2 ⋅ 2 = 2
Assim, a matriz dos cofatores será igual a
𝐴′ = [1 1
−3 2]
Matriz adjunta
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. A matriz
adjunta de 𝐴, denotada por �̅� é igual a transposta da
matriz dos cofatores, ou seja
�̅� = (𝐴′)𝑡
Exemplo 2
Sendo 𝐴 = [2 3
−1 1] temos que a matriz dos cofatores
é igual a
𝐴′ = [1 1
−3 2]
Assim, a matriz adjunta de 𝐴 é igual a
�̅� = [1 −31 2
]
Com a matriz adjunta temos uma segunda forma de
se obter a matriz inversa de 𝐴.
Matriz Inversa
Seja 𝐴 uma matriz invertível quadrada de ordem 𝑛. A
matriz inversa de 𝐴 é igual a
𝐴−1 =1
det 𝐴⋅ �̅�
em que �̅� é a matriz adjunta de 𝐴.
Para obter a matriz inversa de 𝐴 basta seguir o
seguinte passo-a-passo
1º) Calcule o determinante de 𝐴. Lembre-se que se ele
for diferente de zero a matriz é inversível.
2º) Obtenha a matriz dos cofatores de 𝐴.
3º) Obtenha a matriz adjunta de 𝐴.
4º) Divida os elementos da matriz ajunta pelo
determinante de 𝐴.
Exemplo 3
Sendo 𝐴 = [2 3
−1 1] temos que
I. det(𝐴) = 5
II. 𝐴′ = [1 1
−3 2]
III. �̅� = [1 −31 2
]
IV. 𝐴−1 =1
det 𝐴⋅ �̅� =
1
5⋅ [
1 −31 2
] = [
1
5−
3
51
5
2
5
]
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
5.1. Considere a matriz 𝐴 = [
2
3−
1
31
20
].
a) Calcule det 𝐴.
b) Obtenha a matriz, 𝐴′, dos cofatores de 𝐴.
c) Obtenha a matriz �̅�, adjunta de 𝐴.
d) Obtenha a matriz 𝐴−1, inversa de 𝐴
5.2. Considere as matrizes 𝐴 = [3 0 01 2 0
−1 1 𝑥].
a) Para que valores de 𝑥 a matriz 𝐴 é invertível?
b) Determine o elemento 𝑎21 da matriz inversa
de 𝐴.
Matriz Inversa de ordem 2
No caso da matriz quadrada de ordem 2 a matriz
inversa seguirá um padrão especial. Observe a
seguinte matriz de ordem 2
𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑
]
A matriz dos cofatores e a matriz adjunta de 𝐴 são
dadas por
𝐴′ = [ 𝑑 −𝑐−𝑏 𝑎
] ⇔ �̅� = [ 𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎
]
Assim, a inversa de 𝐴 é igual a
𝐴−′=
1
det 𝑎⋅ [
𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎
]
Ou seja, para determinar a inversa da matriz de
ordem 2 basta
I. Permutar os elementos da diagonal principal
II. Mudar o sinal dos elementos da diagonal
secundária
III. Dividir todos os elementos pelo
determinante
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EXTRA
QUESTÕES EXTRAS 1. O valor de
𝐴 = | −3 1−2 1
| + | 2 3 −1
4 5 √2−4 −6 2
| −
(A) √2 − 1 .
(B) −5.
(C) 5.
(D) −3.
(E) 3 .
2. O valor do determinante
é igual a
(A) −720.
(B) 720.
(C) −2160.
(D) 2160.
(E) −240 .
3. Considere a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)4𝑥4
em que
det 𝐵 = 5. É correto afirmar que
(A) det 2𝐵 = 2 ∙ det 𝐵 .
(B) det (−𝐵 ) = det 𝐵 .
(C) det 3𝐵 < 400 .
(D) det 𝐵2 = 10 .
(E) det 𝐵𝑡 = − det 𝐵 , em que 𝐵𝑡 é a matriz
transposta de 𝐵.
4. Considere a matriz 𝐴 = [2 3 −10 2 01 2 1
] e julgue os
itens a seguir.
1. det(2𝐴) = 8 ⋅ det (𝐴).
2. Seja 𝐵 = [4 6 −20 2 01 2 1
]. Então, é correto
afirmar que det(𝐵) = 2 ⋅ det (𝐴).
3. Sendo 𝐴𝑡 a matriz transposta da matriz 𝐴,
tem-se que det(𝐴𝑡) = det (𝐴).
4. Sendo 𝐴−1 a inversa da matriz 𝐴, tem-se que
det(𝐴−1) =1
6.
5. A matriz 𝐴 é inversível.
5. Resolva a equação |1 2 𝑥
−1 𝑥 (𝑥 + 1)3 2 𝑥
| = 6 e
determine, em ℝ, o seu conjunto-solução.
6. Considere a matriz 𝐴 = (
1 20 0
2 22 2
2 22 2
3 22 4
). Calcule o
determinante da matriz inversa de 𝐴.
7. O conjunto-solução, em ℝ, da equação
|1 𝑥 12 13 𝑥1 3 0
| = |3 02 𝑥
| é
(A) 𝑆 = {−2; 3}.
(B) 𝑆 = {2; −3}.
(C) 𝑆 = {7}.
(D) 𝑆 = {−1;7}.
(E) 𝑆 = {1;-7}.
8. Dada a matriz 𝐴 = [𝑎 𝑏 𝑐𝑚 𝑛 𝑝𝑥 𝑦 𝑧
], em que
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são números reais, é
correto afirmar que
(A) det(5𝐴) = 5 ⋅ det(𝐴).
(B) |𝑥 𝑦 5𝑧
2𝑎 2𝑏 10𝑐𝑚 𝑛 5𝑝
| = −10 ⋅ det 𝐴.
(C) |
𝑎 𝑥 𝑚𝑏 𝑦 𝑛𝑐 𝑧 𝑝
| = det 𝐴.
(D) |2𝑎 2𝑏 2𝑐3𝑥 3𝑦 3𝑧𝑚 𝑛 𝑝
| = 6 ⋅ det 𝐴.
(E) | 𝑎 𝑐 𝑏𝑚 𝑝 𝑛
𝑥 + 2𝑚 𝑧 + 2𝑝 𝑦 + 2𝑛| = − det 𝐴.
9. O determinante da matriz 𝐴 = [
0 11 −1
1 02 1
2 00 0
1 03 0
] é
igual a
(A) -6.
(B) -4.
(C) 0.
(D) 4.
1 -2 4 -3
0 -1 2 √2 0 0 2 5
0 0 0 2
3 3 3 3
2 -2 4 -1
4 4 16 1
8 -8 64 -1
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(E) 6.
CAIU NO VEST 1. Considere a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×2, tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 −
𝑗. Calcule det(𝐴 ⋅ 𝐴𝑡).
2. Calcule |𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos 𝑦 |.
3. Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3
em que 𝑎𝑖𝑗 = {1, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗2, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
.
Calcule det 𝐴.
4. Sabendo-se que 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de
ordem 2, det 𝐴 = 12 e det 𝐵𝑡 = −6, qual é o valor de
det (𝐴 ⋅ 𝐵)?
5. Resolva, em ℝ, a equação|
𝑥 00 0
1 2−1 1
−3 −11 2
2 01 3
| =
−31
6. Calcule o valor da expressão
|2 56 15
| + 2 |
4 −11 3
2 57 9
0 −12 6
4 514 18
| + |3 −2 35 0 5
1 √3 1
|
7. (UnB – 2012) Dada uma matriz quadrada 𝐴, define-
se o traço de 𝐴, simbolizado por 𝑡𝑟(𝐴), como a soma
dos elementos de sua diagonal principal. A partir
dessas informações e considerando as matrizes
𝑃 = (0,7 0,20,3 0,8
) ; 𝑄 = (2 −13 1
)
e
𝑅 = 100𝑄−1𝑃𝑄,
Determine o valor do quociente det(𝑅)
𝑡𝑟(𝑅), em que det (𝑅)
é o determinante da matriz 𝑅. Despreze, caso exista, a
parte fracionária do resultado final obtido, após ter
efetuado todos os cálculos solicitados.
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. a) −7 b) −13 c) 1 d) 3 e) 1
1.2. 𝑆 = {1
2; 1}
1.3. a) 22 b) −28
2.1. a) −31 b) −452
3.1. a) 0 b) 0 c) 0
3.2. a) −7 b) 35 c) 175
3.3. 63
3.4. a) Coluna 4 nula (fila nula)
b) Linha 1 igual a linha 3 (filas paralelas iguais)
c) Coluna 1 proporcional a coluna 4 (filas
paralelas proporcionais)
d) Coluna 3 é combinação linear da coluna 1 e 2
(combinação linear de filas paralelas)
e) Linha 4 é combinação linear da linha 1 e linha 2
(combinação linear de filas paralelas)
3.5. Demonstração
3.6. B
4.1. a) 281 b) 30
4.2. a) 240 b) 168
5.1. a) 1
6
b) 𝐴′ = [0 −
1
21
3
2
3
]
c) �̅� = [0
1
3
−1
2
2
3
]
d) 𝐴−1 = [0 2
−3 4]
5.2. a) 𝑥 ≠ 0
b) −1
6
QUESTÕES EXTRAS
1. E
2. C
3. B
4. CCCCC
5. {1}
6. 1/12
7. 𝐷
8. E
9. A
CAIU NO VEST
1. 0
2. 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦)
3. 1
4. −72
5. {2}
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 9
6. 0
7. 033
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