defleksi elastik balok
Post on 19-Jan-2016
232 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Universitas Gadjah Mada
Bab 6
Defleksi Elastik Balok
6.1. Pendahuluan
Dalam perancangan atau analisis balok, tegangan yang terjadi dapat diteritukan
dan sifat penampang dan beban-beban luar. Untuk mendapatkan sifat-sifat
penampang dan tegangan yang terjadi telah dibicarakan pada Bab 3 dan 4. Pada
prinsipnya tegangan pada balok akibat beban luar dapat direncanakan tidak
melampaui suatu nilai tertentu, misalnya tegangan ijin. Perancangan yang berdasarkan
batasan tegangan ini dinamakan perancangan berdasarkan kekuatan (designfor
strength).
Namun demikian, pada umumnya lendutan/defleksi balok perlu ditinjau agar
titik melampaui nilai tertentu. Dapat terjadi, dari segi kekuatan balok masih mampu
menahan beban, namun Iendutannya cukup besar sehingga tidak nyaman lagi.
Perancangan yang mempertimbangkan batasan lendutan dinamakan perancangan
berdasarkan kekakuan (design for stiffhess).
Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa metode untuk menghitung
lendutan balok. Dalam kenyataan, lendutan balok diakibatkan oleh momen lentur dan
gaya geser secara bersamaan. Namun lendutan balok yang diakibatkan oleh lentur
lebih dominan dibandingkan oleh geser. Pada uraian di bawah akan dibahas beberapa
cara perhitungan lendutan balok akibat lentur antara lain:
- metode integrasi ganda (double integration)
- metode luas momen (momen area)
- metode superposisi (superposition)
Oleh karena pengaruhnya cukup kecil, perhitungan lendutan akibat gaya geser tidak
diberikan pada buku ini.
6.2. Persamaan Diferensial Kurva Lendutan
Universitas Gadjah Mada
Gambar 6.1. Defleksi balok akibat lentur murni
Pada Gambar 6. diperlihatkan kurva defleksi batang yang menenirna lentur.
Sebagaimana telah dibahas pada Bab 4, hubungan antara kelengkungan dan momen
lentur murni telah diperoleh. yaitu:
Sedangkan kurva suatu garis Iengkung dapat didefinisikan juga sebagai:
dengan x dan y adalah koordinat titik pada suatu kurva.
Umumnya defleksi balok sangat kecil dibandingkan dengan panjang bentangnya, maka
kemiringan dxdy
sangat kecil, sehingga 2
��
���
�
dxdy
juga sangat kecil. Persamaan (6.2) dapat
disederhanakan menjadi:
2
21dx
yd≈ρ
(6.3)
Jika Persamaan (6.3) disubstitusikan dalam Persamaan (6.1), dengan memperhatikan
tanda dan sumbu koordinatnva maka diperoleh:
≈
≈−=ElM
dxyd2
2
(6.4)
6.2.1. Persamaan-persamaan Diferensial Balok Secara Umum
Persamaan (6.4) juga dapat digunakan untuk balok secara umuni yang
menerima momen lentur yang tidak konstan atau penampang yang tidak prismatis.
Persamaan-persamaan terdiri dari (Iihat juga Gambar 6.2):
a. Syarat keseimbangan
Universitas Gadjah Mada
b. Hubungan geometri dan penggunaan sifat material
2
2
)(,
)(dx
ydElxM x−= (6.7)
c. Kombinasi dari ketiga persamaan di atas didapatkan persamaan:
Gambar 6.2. Bagian balok yang mengalami momen lentur M(x),
geser V(x) dan beban q(x)
6.2.2. Syarat-syarat Batas
Dalam penyelesaian persamaan-persamaan defleksi balok perlu diperhatikan
syaratsyarat batas (boundary conditions). Syarat-syarat batas antara lain dapat
berupa:
a. Tumpuan jepit, terjadi defleksi dan kemiringan kurva lendutan yang sama dengan
nol
a adalah absis titik tumpuan yang terjepit.
b. Tumpuan sederhana (sendi atau rol) rnempunyai defleksi nol dan tidak dapat
menahan momen
Universitas Gadjah Mada
c. Ujung bebas yang tidak menahan momen dan gaya lintang
6.3. Beberapa Contoh Hitungan Lendutan Balok
Contoh 6.1 : Lendutan balok terjepit pada ujung yang satu dibebani momen pada
ujung yang lain.
Momen pada setiap titik
(sembarang) absis x adalah
M(x) = -M
El = konstan
Gambar 6.3. Balok dengan salah satu ujung terjepit dengan beban momen pada
ujung lainnya
Untuk mencari C1, dan C2 digunakan syarat-syarat batas:
Universitas Gadjah Mada
Jadi persamaan garis elastic:
Lendutan ujung balok sebelah kanan untuk x = / adalah
Contoh 6.2.: Balok terjepit pada salah satu ujung dengan beban terbagi rata q
Gambar 6.4. Balok terjepit pada salah satu ujung dengan beban terbagi rata q
Syarat batas:
Jadi persamaan garis elastik:
Universitas Gadjah Mada
Maka lendutan ujung balok sebelah kanan untuk x =l adalah
Contoh 6.3 : Balok terjepit sebelah dengan beban titik pada ujungnya
Gambar 6.5. Balok terjepit sebelah dengan beban titik pada ujungnya
Syarat batas:
Persamaan garis lentur:
Untuk x = l
Universitas Gadjah Mada
Lendutan El
Pf
3
3�=
Contoh 6.4 : Balok diatas dua tumpuan sederhana (sendi-rol) dengan beban terbagi
rata q
Gambar 6.6 Balok diatas dua tumpuan sederhana (sendi-rol)
dengan beban terbagi rata q
Syarat batas:
Universitas Gadjah Mada
Atau
Lendutan balok maksimum (terjadi di tengah bentang), sebesar:
6.4. Metode Luas Momen
Untuk mendapatkan lendutan balok dengan metoda integrasi, seringkali dijumpai
persamaan yang rumit yang disebabkan oleh variasi dan diskontinuitas serta
penampang yang bervariasi (non prismatis). Berikut akan dibahas suatu cara lain untuk
mendapatkan lendutan balok yang dikenal dengan metode luas-momen (momen-area).
Metode ini mempunvai pendekatan dan pembatasan yang sama dengan yang
dipelajari selama ini, dimana hanya memperhitungkan lenturan balok (geser
diabaikan). Metode ini dapat digunakan untuk menentukan defleksi dan perputaran
sudut suatu titik tertentu pada balok.
Perhatikan balok AR pada Gambar 6.7. Akibat sembarang beban, terjadi lendutan
seperti diperlihatkan oleh garis putus-putus. Titik 1 dan 2 terletak pada balok. Jika
dibuat garis singgung pada kurva lendutan di kedua titik tersebut, akan didapatkan
sudut yang dibentuk oleh kedua garis singgung tersebut sebesar 12θ .
Universitas Gadjah Mada
Gambar 6.7. Metode Luas Mornen
Besarnya kelengkungan pada titik X yang berjarak x dari tumpuan sebelah kiri, seperti
telah dibicarakan pada Bab 4.2, adalah sebagai berikut:
Untuk menurunkan persamaan-persamaan metode ini dapat digunakan lagi
Persamaan (6.4) yaitu:
Jika ditinjau bagian kecil dx akan terjadi perubahan sudut dθ Untuk dv yang sangat
kecil didapatkan pula dxd
dxdy θ=
Sebagai kesepakatan, digunakan tanda negatif jika garis singgung yang disebelah
kanan berputar berlawanan dengan arah jarum jam atau:
EldxxM )(
adalah luas bagian yang terarsir pada diagram ElM
. Untuk mendapatkan
sudut 12θ dilakukan dengan cara mengintegralkan luasan tersebut dan titik 1 sampai
dengan titik 2:
Universitas Gadjah Mada
Tergantung pada macam balok dan titik yang ditinjau, luas diagram ElM
adalah
besaran aljabar yang dapat bernilai positif, negatif atau nol. Jika nilainya positif maka
garis singgung pada titik disebelah kanannya akan berputar berlawanan arah jarum
jam, jika nilainya negatif, gans singgung yang kanan berputar berlawanan arah jarum
jam. Apabila nilainya nol, maka kedua garis singgung tersebut sejajar satu sama lain.
Selanjutnya metode luas momen cocok dipergunakan untuk menghitung lendutan
disuatu titik pada balok. Besarnya lendutan vertikal 21δ antara titik 2 dan titik 2’ yang
terletak pada garis singgung yang melalui titik 1 (lihat Gambar 6.8).
Gambar 6.8. Kurva lendutan balok
Dengan anggapan bahwa sudut dθ sangat kecil, maka besarnya dδ adalah:
Selanjutnya lendutan 21δ , didapat dengan mengintegralkan Persamaan (6.13)
tersebut, sehingga menjadi:
Ruas kanan tidak lain sama dengan momen statis luasan ElM
antara titik 1 dan 2
terhadap titik 2. Persamaan tersebut dapatjuga dituliskan sebagai berikut:
Universitas Gadjah Mada
El
S 21221
−=δ (6.15)
dengan,
S12-2 = momen statis luasan M yang dibatasi oleh titik 1 dan 2 terhadap titik 2.
6.5. Beberapa Contoh Hitungan Lendutan Balok dengan Metode Luas Momen
Lendutan ujung sebelah kanan:
Gambar 6.9
Contoh 6.6 : Mencari θ dan δ pada balok diatas dua tumpuan dengan beban titik.
a) Mencari aθ dan bθ :
��
Universitas Gadjah Mada
Gambar 6.10. b : jarak dan resultan beban bidang M
kepada titik B
Agar didapatkan rumus yang Iangsung dalam P. a, b dan � maka dapat diteruskan
menjadi:
Universitas Gadjah Mada
b) Mencari lendutan disembarang titik x yang berada disebelah kiri dan kanan beban.
b. 1) Ditinjau pada potongan x disebelah kiri beban P:
Universitas Gadjah Mada
Dengan cara yang sama dapat dicari lendutan balok di sebelah kanan beban titik P,
yaitu :
c) Dengan menggunakan rumus di atas, maka besarnya lendutan di bawah beban
terpusat P adalah:
d) Letak dan besarnya maksδ
Universitas Gadjah Mada
Rumus berlaku jika 0 <x < b
� maksδ terjadi pada bagian yang panjang.
Besarnya maksδ :
Contoh 6.7 : Oleh karena maksδ terjadi pada jarak �21≈x , maka sering karena
pertimbangan praktis maksδ dihitung pada ��2
121 δδ ≈→≈ mazx . Pada tabel di bawah
diperlihatkan a (letak beban a dari tumpuan sebelah kiri) dan x (letak terjadinya
lendutan maksimal).
A ( )22
31
ax −= �
0,5 �
0,4 �
0,3 �
0,2 �
0,1 �
0,50 �
0,53 �
0,55 �
0,56 �
0,575 �
Universitas Gadjah Mada
Contoh 6.8 : Berapakah besarnya max2
1 δδ ≈� jika dinyatakan dalam µ , seperti
gambar di bawah:
6.3. Asas Superposisi
Dalam praktek, sering dijumpai pembebanan yang bennacam-macam. Karena dibatasi
bahwa balok masih dalam kondisi elastik, maka berlaku asas superposisi. Sebagai
contoh balok yang dibebani dengan beban merata q dan beban terpusat P seperti
pada Gambar 6.12, maka untuk menghitung defleksi yang terjadi pada suatu titik dapat
dipisahkan menjadi 3 kasus pembebanan.
Gambar 6.12. Metode superposisi
Secara umum dapat digunakan asas superposisi untuk menghitung defleksi balok di
tengah bentang akibat beberapa beban, masing-masing berjarak u dan tengah
bentang (lihat Contoh 6.8):
Universitas Gadjah Mada
Gambar 6.13. Balok dengan
beberapa beban terpusat
Sedangkan rumus umum untuk mencari lendutan maksimumnya, jika balok dibebani
terbagi merata adalah:
Gambar 6.14. Balok dengan beban terbagi
Merata
21
max δδ ≈ =
6.4. Balok Non Prismatis
Sering terjadi, balok dengan profil tertentu cukup kuat, namun lendutan yang terjadi
melebihi lendutan maksimum yang disyaratkan. Untuk memperkecil lendutan dapat
digunakan ukuran balok yang lebih besar, namun dapat berakibat harga menjadi Iebih
mahal atau ukuran tersebut sulit didapat dipasaran. Untuk mengatasi hal ini dapat
digunakan tambahan pada bagian tertentu saja (tidak pada seluruh bentang balok,
misalnya hanya bagian tengah saja agar diperoleh penampang yang Iebih besar).
Selain pertimbangan lendutan, pemilihan penampang dalam satu balok disesuaikan
dengan momen lentur yang harus ditahan, misalnya digunakan balok tirus. Berikut
akan digunakan metode luas momen untuk menghitung lendutan balok non prismatis.
Universitas Gadjah Mada
Sebagai contoh balok dengan momen inersia bagian tengah 2 kali dibandingkan
dengan bagian tepi seperti diperlihatkan pada Gambar 6.15.
Gambar 6.15. Balok dengan penampang non prismatis
Dari Gambar 6.15.(c) didapatkan sudut kelengkungan dititik a:
Lendutan balok pada titik C:
fc= momen statis dan terhadap titik C
Universitas Gadjah Mada
6.8. Rangkuman
Ada beberapa kesimpulan penting yang dapat diambil dan bahasan mengenai defleksi
elastik balok, yaitu:
1. Dalam suatu perencanaan balok, lendutan merupakan suatu batasan yang perlu
diperhatikan. Sedangkan untuk mencari lendutan dapat digunakan beberapa
metode antara lain: metode integrasi ganda, luas momen dan superposisi.
2. Untuk metode integrasi ganda, prsamaan kurva balok yang melendut didapat
dengan cara mengintegralkan dua kali persamaan lentur murni, yaitu:
� � ===
ElM
y
memperhatikan kondisi-kondisi batas balok yang ditinjau.
3. Metode luas momen lebih cocok untuk menentukan lendutan pada suatu titik
dengan beban sembarang, momen inersia penampang balok konstan atau
bervariasi dengan cara menghitung besarnya momen statis luasan bidang momen
yang dibatasi oleh titik-titik yang ditinjau terhadap titik yang dicari lendutannya.
4. Jika variasi dan jumlah beban cukup banyak, dapat digunakan prinsip superposisi,
yaitu dengan menjumlahkan besaran lendutan pada titik yang ditinjau akibat
beban-beban tersebut yang telah dihitung secara terpisah.
6.9. Soal-soal
1. Balok dengan ketentuan seperti pada gambar di bawah, hitungan lendutan yang
terjadi pada titik C.
Universitas Gadjah Mada
2. Sebuah balok sederhana menerima beban terpusat seperti terlihat pada gambar di
bawah. Penampang yang digunakan pada bagian tengah bentang dan perletakan
seperti terlihat pada gambar tersebut. Jika tegangan lentur yang diizinkan adalah
120 MPa, berapakah beban P yang maksimum yang diijinkan. Berapakah lendutan
yang terjadi pada titik C.
3. Balok kantilever yang dibebani merata, q = 15 kN/m seperti diperlihatkan pada
gambar di bawah
Ditanyakan: Lendutan maksimum balok tersebut (Ebeton 2,5. 104 MPa).
top related