dawyebit klasebsi matematikis swavlebis metodika 2
Post on 11-Nov-2021
5 Views
Preview:
TRANSCRIPT
- 1 -
dawyebiT klasebSi
maTematikis swavlebis
meTodika _ 2
V-VI klasebis maswavleblis
zogadi meTodikuri
saxelmZRvanelo
- 2 -
s a r C e v i$ 0. winaswari ganmartebebi
Tavi I . zogadi pedagogikur-fsiqologiuri da meTodikuri safuZvlebi
$ 1. saskolo maTematikis swavlebis miznebi
$ 2. samfaziani swavleba aqtiuri mzaobis meTodikis mixedviT
$ 2.1. amocanebis tipebi aqtiuri mzaobis meTodikis mixedviT
$ 3. Sefasebis sistema _ ganmaviTarebeli Sefaseba
$ 3.1. individualuri midgoma da individualuri ukukavSirebi;
mimdinare ganmaviTarebeli Sefaseba
$ 3.2. Semajamebeli (sakontrolo) werebi
$ 3.3. maTematikis namdvili codna
$ 4. diferencirebuli swavleba
$ 4.1. arCevanis Tavisufleba da gansxvavebuli molodinebi
$ 4.2. gamowvevebi da ganviTarebis uaxloesi zona
$ 4.3. dif. gakveTilis tipuri (Tumca ara erTaderTi da ara aucilebeli) sqema
$ 4.4. diferencirebis pirveli nabijebi
$ 4.5. jgufuri muSaobis gamoyeneba
$ 4.6. diferencirebuli swavlebis xelisSemSleli mTavari faqtorebi
$ 4.7. diferencirebuli swvleba da moswavleze orientirebuloba
$ 5. gaRrmavebuli swavleba
$ 5.1. cnebaTa gaazreba
$ 5.2. unarCvevaTa ganviTareba
$ 6. SemoqmedebiTi swavleba
$ 6.1. saganTaSorisi kavSirebi
$ 6.2. wakiTxulis gaazrebis unari da `saymawvilo maTematikis~ mTavari siZnele
$ 7. orientireba moswavlis cnobierebaze da istorizmis principi
$ 8. fasilitatori maswavleblis muSaoba da interaqcia
$ 9. gakveTilis msvleloba
$ 9.1. gakveTilis pirveli faza; amocanebis erToblivi garCeva
$ 9.2. gakveTilis meore faza _ axali codnis ageba-aRmoCena da gaazreba;
da mesame faza _ ganmtkiceba da gamoyeneba
$ 10. saklaso garemo
$ 10.1. TvalsaCinoeba
$ 10.2. ZiriTadi maTematikuri TamaSebi
Tavi II. maTematikuri sakiTxebis ganmarteba da maTi swavlebis konkretuli meTodikebi
$ 11. ricxvis raoba da ricxvis cnebis swavlebis meTodika
$ 12. Tvla da misi poziciuri sistema;
Tvlis fuZeebi; ricxvTa Caweris swavlebis meTodikis sakiTxebi
$ 13. gamravlebisa da gayofis cnebebi; naSTiani gayofa
$ 14. ariTmetikis swavlebis ZiriTadi safexurebi
$ 14.1. kalkulatoris xmareba
$ 15. geometriuli da umartivesi topologiuri cnebebi
$ 16. sayofacxovrebo amocanebi da saTanado TvalsaCinoeba;
algebrisa da maTematikuri modelirebis sawyisebi
$ 17. kombinatorikis sawyisebi
$ 18. simravleTa Teoriisa da logikis sawyisebi
$ 19. sivrciT-droiTi da sxva mimarTebani; egocentrizmi
$ 20. aramaTematikurad, gumaniT amosaxsneli amocanebi
Tavi II I . gakveTilebis nimuSebi
$ 22. damatebiTi literatura da daboloeba
- 3 -
zogadi meTodikuri saxelmZRvanelo maswavleblisTvis _ I-IV klasebi
moswavlis goneba hgavs ara Zvirfas kolofs, romelic ganZiT unda avavsoT,
aramed _ lampars, romelic unda avanToT da ar movakloT sawvavi.
$ 0. winaswari ganmartebebi
1. konkretuli klasis meTodikur saxelmZRvaneloebSi gadmocemulia mxolod is sakiTxebi, romlebic im
klasisTvisaa specifikuri. amitom maswavlebelma konkretuli klasis meTodikuri saxelmZRvanelos
wakiTxvamde jer winamdebare zogadi saxelmZRvanelo unda waikiTxos. Cveneuli saxelmZRvaneloebi
avtoris mier Seqmnil meTodikazea agebuli. es exeba rogorc zogad fsiqologiur-meTodikur
principebs, ise maTematikis calkeuli Temebis swavlebis konkretul meTodikebs. isini xSirad
ewinaaRmdegeba tradiciulad damkvidrebul Sexedulebebs. am yovelives gaazreba zogadad maincaa saWiro,
raTa Cveneuli saxelmZRvanelobiT swavleba srulfasovani iyos.
2. moswavlis saxelmZRvanelo (dawyebuli II klasidan) Tavebad iyofa. yoveli Tavis damTavrebis Semdeg
tardeba Semajamebeli wera. saswavlo wlis bolosac vatarebT wliur Semajamebel weras.
saxelmZRvanelos bolos amocanaTa Tematikuri krebulia. igi Sedgeba ara Tavebis, aramed
paragrafebisagan. Tavsa da paragrafs Soris arsebiTi gansxvavebaa. Tavi dalagebulia kalendarulad da
zustadaa dayofili gakveTilebis mixedviT. amitom `saymawvilo maTematikis~ sarCevi TiTqmis emTxveva
kalendarul gegmas.paragrafebi ki dalagebulia ara kalendarulad, aramed Tematikurad: maTSi amocanebi Temebis
mixedviTaa dajgufebuli. paragrafebis gavla ar unda moxdes miyolebiT (ise, rogorc wignSia). saWiroa
maTi paraleluri gavla. paragrafebis Tanmimdevrobas ara aqvs didi mniSvneloba, magram TiToeul para-
grafSi ki amocanebis gavla unda moxdes im TanmimdevrobiT, rogorc wignSia. yoveli paragrafi agebulia
amocanebis safexurebrivi garTulebis mixedviT. konkretulad ki Tavad maswavlebeli gaanawilebs sa-
kuTari SexedulebiT.
moswavlis saxelmZRvaneloSi mocemuli amocanebi ZiriTadad saSinao davalebebisTvisaa gankuTvnili.
klasSi xdeba Sesrulebuli davalebis erToblivi garCeva [$ 9.1]. Tematikur krebulSi gabneulia
agreTve is amocanebi, romlebic klass Semajamebel werebze unda mieces [$ 3.2].
saxelmZRvanelos ZiriTadi nawilis anu Tavebis gavlas (Semajamebelebis CaTvliT) dasWirdeba
daaxloebiT 150 gakveTili. saswavlo wlis bolomde darCenil droSi maswavlebeli ZiriTadad iyenebs
wignis meore nawils _ amocanebis Tematikur krebuls (pirveli nawili dasWirdeba mxolod calkeuli
Teoriuli sakiTxebis gasameoreblad _ sakuTari Sexedulebisamebr).
3. V klasidan maswavleblis muSaoba gaadvilebulia, radgan moswavlis saxelmZRvaneloebi cotaTi
TviTmaswavlebelTanaa miaxloebuli [$ 9]. yvelaferi Sigve weria. Tumca maswavlebels wignierebis
mimarTulebiT moswavleTa unarCvevaTa ganviTarebaze mouwevs muSaoba [$ 6.2].
4. winamdebare saxelmZRvanelos axlavs agreTve sxvadasxva klasebis gakveTilebis nimuSebi _ sruli
gegma-konspeqtebi [Tavi III]. es iseTi nimuSebia, romlebic saWiroa zogadad Cveneuli meTodikis
dasakonkreteblad _ raTa maswavlebels sakmarisad konkretuli warmodgena Seeqmnes im principebisa da
meTodebis Sesaxeb, romlebsac Cveneuli saxelmZRvaneloebi emyareba. TandarTuli gegma-konspeqtebis
nawili (integrirebuli gakveTilebi) arcaa mibmuli konkretul klasze (SeiZleba gamoyeneba, magaliTad,
IV an V klasebSi). gakveTilebis kidev 10-10 nimuSi mocemulia TiToeuli klasis meTodikur
saxelmZRvaneloSi (maswavleblis wignSi).
5. moswavlis saxelmZRvaneloebi moculobiTac da siZneliTac sakmaod didia. Cven araviTar SemTxvevaSi
ar vgulisxmobT, rom yvela bavSvma TiTqmis yvela amocanis amoxsna unda SeZlos. es mxolod
maTematikuri modrekilebis mqone da Tan bejiT bavSvebs xelewifebaT. magram saqme isaa, rom Tuki bavSvi
damoukideblad daZlevs amocanebis naxevars, xolo meore naxevris amoxsnis klasSi gaazrebas SeZlebs
(Sin sakuTari mcdelobis Semdeg) _ es ukve kargi miRwevaa da Zalian Seuwyobs xels am bavSvis
azrovnebis ganviTarebasa da mis mier namdvili, cocxali maTematikis Seswavlas.
saxelmZRvaneloebi agebulia aqtiuri mzaobis meTodikaze da gaTvaliswinebulia
diferencirebuli swavlebis principi (Tanamedrove msoflio pedagogikis yvelaze aqtualuri
principi). saSualo mzaobis moswavles vaswavliT aqtiurad da gaRrmavebulad [$ 5], dabali mzaobis
- 4 -
moswavlec maqsimalurad viTardeba da saswavlo standartis savaldebulo minimums gadalaxavs, maRali
mzaobis moswavlesac eqmneba saTanado pirobebi _ gaZlierebuli swavlisaTvis.
bavSvs ar moeTxoveba yvelafris gakeTeba _ gaakeTos imdeni, ramdensac SeZlebs da gaakeTos is,
rasac TviTon airCevs. imecadinos zomieri ZalisxmeviT, didi daZabvisa da wvalebis gareSe.
ganviTarebasa da gaZlierebaSi bavSvs TviTon amocanebi daexmareba. erTi SexedviT rTul amocanas win
uZRvis saTanado Semamzadebeli amocanebis jaWvedi, romelic iwyeba sul advili amocanebiT da Semdeg
TandaTan rTuldeba Tveebisa da wlebis ganmavlobaSi _ ise, rom bavSvi advilad mihyveba maT. Tanac
yoveli sirTule gaTvlilia saTanado wlovanebis bavSvze. da arc programis gavlas vCqarobT.
amasTan, Cven bavSvs ar vazepirebinebT wesebs, maTematikas vaswavliT SemoqmedebiTad. ar moviTxovT
Cawikwikebul rveulebs. bavSvs xazvisa Tu weris xarisxis moTxovnebiT nu gavawvalebT! [$ 3.2]
ganmaviTarebeli swavlebis wyalobiT moswavle TandaTan gaaumjobesebs Sedegebs. xSirad moxdeba,
rom maswavlebelica da mSobelic, maTda gasakvirad, aRmoaCenen, rom saSualo mzaobis moswavlesac arc
ise gauWirdeba erTi SexedviT Zneli da didi davalebis Sesruleba...
yvela SemTxvevaSi, Tuki moswavles ara aqvs Sesrulebuli saSinao davalebis romelime amocana, mas
klasSi dawers _ am amocanis erToblivi garCevisas (gakveTilis I fazaSi) [$ 9.1].
ufross pirisaxeze ukmayofilebac ki ar unda Seetyos imis gamo, rom bavSvs raRaca SeeSala, raRaca
ver gaigo, ver gaakeTa Tu sul ar gaakeTa. aqtiur-ZiebiTi meTodikiT swavlisas xSiria Secdoma Tu
gaugebroba! cudia is gakveTili, romlis ganmavlobaSic moswavleebs mxolod ramdenime umniSvnelo
Secdoma mouvidaT. aqtiuri swavlebis mTavari gza _ esaa Secdomebis gaazreba da maTi Sesworeba
saswavlo xaraCoebis (`slafoldingis~) daxmarebiT: anu calkeul miTiTebaTa, miniSnebaTa,
misaxvedrebel SekiTxvaTa, anda TvalsaCinoebis meSveobiT.
saxelmZRvaneloebis sidide amocanaTa didi mravalferovnebiTaa gamowveuli. es ki karg saSualebas
aZlevs bavSvs, rom sakuTari gemovnebiT (saswavlo profiliT, unarianobis wamyvani tipiTa da imwuTieri
interesebiT) airCios. sxvadasxvagvari tipis azrovnebis mqone bavSvebi ipovian Tav-TavianT sarbiels da
mravalmxriv ganviTardebian, klasSi SeZleben Tavis gamoCenas da siamovnebis miRebas warmatebisgan.
magaliTad, kargi sivrciTi warmodgenis mqone moswavle yvelaze xalisianad geometriul amocanebs
SeeWideba, Znel amocanebsac ar moerideba; enobrivi midrekilebis mqone moswavle ricxvebze ufro metad
teqstian amocanebs airCevs xolme; amasTan, moswavles SeuZlia, yoveldRiurad gansxvavebuli Sinaarsis
amocanebi airCios. dawyebiT klasebSi mravali moswavle Seecdeba, yvela amocana amoxsnas. es Zalian
kargia, maswavlebelma da mSobelma es unda waaxalison, magram mxolod bavSvis nebayoflobiTi arCevanis
winapirobiT! amasTan, bavSvi patarobidanve mixvdeba demokratiuli sazogadoebis mTavar princips:
arCevanis Tavisufleba + pasuxismgebloba (am abstraqtuli terminebis gareSe!)
zedmetad izarmace? es xom Sen TviTon airCie, Sen moisurve ase. ki batono, Sen amis ufleba gqonda. magram
Sedegic Sesabamisi iqneba. sxva dros Tuki metad moindomeb, gacilebiT ukeTesi Sedegi geqneba! [$ 4.1]
yvela bavSvi erTnairi ver iqneba da arc unda iyos. unda SevafasoT bavSvis ara pirovneba (`kargi
gogo~, `zarmaci biWi~, `Zalian niWieri moswavle~), aramed misi naSromi da misi mondomeba. Tanac unda
SevafasoT ara sxva bavSvTan (Tundac mis ZmasTan) SedarebiT (rac dauSvebelia!), da arc mSoblisa Tu
maswavleblis molodin-survilebTan SedarebiT, aramed _ misive winare miRwevasTan SedarebiT. moswavles
ar unda davukargoT winandelTan SedarebiT Tundac mciredi winsvla da es konkretulad unda
gamovkveToT. mere ki saqmiani da konkretuli SeniSvnac SeiZleba mivayoloT. esaa ganmaviTarebeliSefasebis principis safuZvlebi [$ 3].
es yovelive mSoblebsac unda ganvumartoT, radgan mSoblebic ase unda moqcnen Svilebs.
Tavi I . zogadi pedagogikur-fsiqologiuri da meTodikuri safuZvlebi
maTematikaa moswavlisTvis da ara moswavle _ maTematikisTvis
Cveni upirvelesi da uzogadesi mcnebaa moswavleze orientireba Tanmimdevrulad da siRrmiseulad
_ amitomac vuwodeT Cvens saxelmZRvaneloebs `saymawvilo maTematika~. ufro konkretulad ki es 3
mTavar mimarTulebaSi vlindeba:
- 5 -
1. konstruqtivizmi (swavleba keTebiT) + evristika (swavleba aRmoCenebiT) da Sesabamisi samfazia-ni swavleba (is sakmaod gansxvavdeba tradiciuli A, B, C fazebisgan) [$ 2]. maswavlebliseuli axsna
anu mzamzareuli codnis gadacema Secvlilia saswavlo xaraCoebiT. maswavlebeli ara mentor-
didaqtikosia, aramed mxolod fasilitatori [$ 8]; gakveTili srulad interaqciulia.
2. ganmaviTarebeli Sefaseba [$ 3], gansakuTrebiT _ misi 4 saxeoba: dakonkretebuli mimdinare
individualuri ukukavSirebi; ori sadiagnostiko testireba (seqtembris bolos da maisis Sua
ricxvebSi); ganmaviTarebeli Semajamebeli werebi; moswavlis TviTSefaseba.
3. diferencirebuli swavleba [$ 4]. yvela am principis Sesaxeb dawvrilebiTi da Zalian mdidari
masala ganTavsebulia proeqt `GPried~-is portalze www.kargiskola.ge: Teoriuli ganmartebebi,
praqtikuli aqtivobebi, mravalgvari damatebiTi amocanebi da aqtivobis baraTebi moswavlisTvis,
sadiagnostiko testebi, gakveTilebis dawvrilebiTi gegmebi, aqtivobaTa aRwerebi, gakveTilebisa da
aqtivobaTa videofilmebi, saklaso TvalsaCinoeba, mSoblebTan muSaobis formebi da resursebi,
maswavlebelTa samuSao jgufis muSaobis formebi da resursebi da sxva mravali.
$ 1. saskolo maTematikis swavlebis miznebi
saxelmwifo saswavlo
gegmaSi (`esg~) Camo-
yalibebuli miznebi
mokledaa Sejamebuli cxrilSi:
Sejamebulad _
ori mTavari mizania:
1) maTematikis sayovelTaod
saWiro sawyisebis daufleba;
maT Soris umTavresia praqtikul
gamoTvlaTa unarCvevebi;
2) gonebis ganviTareba daabstraqtuli azrovnebis
unarCvevaTa Camoyalibeba.
garda amisa, maTematikis
swavlebas udidesi aRmzrdelobiTi
daniSnulebac aqvs _ man unda
ganaviTaros mravali zogadpirovnu-
li Tviseba: mowesrigebuloba,
saqmis dagegmvis unarCvevebi, sibe-
jiTe, winaaRmdegobaTa gadalaxvis
Cveva, ganyenebul (TvaliT uxilav
da aranivTier) faseulobaTa
gancdis unari, kritikuli Se-
fasebis unari, sazogado wesebisa
da kanonebis pativiscema.
swored am Zvirfas pirovnul
TvisebaTa da zogad unarTa
ganviTarebaa maTematikis
Cveneuli swavlebis mTavari
mizani (da ara formaluri
manipulaciebis triali, sqolastikur msjelobaTa da mZime formulebis daxvaveba, rac saskolo
maTematikis tradiciuli programis udides nawils Seadgens).
maTematikis tradiciuli swavleba ver aRwevs samidan vercerT mizans. skoladamTavrebuli, romelsac
viTom trigonometriuli gantolebebi aqvs naswavli, wesierad ver angariSobs procentsa Tu farTobs,
gonebrivi unarebi,
romlebic unda ganaviTaros saskolo maTematikis swavlebam:
I. specifikurimaTematikuriunarCvevebi:
Zalian
mravladaa,
ZiriTadad _
praqtikul-
gamoyenebiTi
xasiaTisa.
II. zogadi maTematikuri
unarebi:
1) ariTmetikuli
_ raodenobriv
mimarTebaTa dauf-
leba: ricxvebze
moqmedebaTa,
sidideTa gazom-
visa an miaxloe-
biTi Sefasebisa;
2) geometriuli
_ sivrciT mimar-
TebaTa da for-
mebis daufleba;
3) algebruli _
maTematikuri mo-
delirebisa; for-
mulebisa da abst-
raqtuli niSnebis
gamoyenebisa;
4) diskretulma-
Tematikuri _ al-
goriTmis zustad,
Tanmimdevrulad
Sesrulebis, misi
mkafiod Camoya-
libebisa;
III. saazrovnounarebi:
1) sakiTxis gaazre-
bis, teqstis wakiT-
xvisa da gaazrebisa;
2) arsebiTis danax-
vis, misi sxva areSi
gadatanisa;
3) zusti azrovnebi-
sa da metyvelebisa;
4) logikuri dask-
vnis gamotanisa;
5) analizisa da sin-
Tezisa;
6) argumentirebis,
naTlad da Tan-
mimdevrulad msje-
lobis, dasabuTebisa
Tu uaryofisa;
7) gansazRvrebis ga-
azrebis, klasifika-
ciis, ganzogadebisa
Tu konkretizaciisa;
8) evristikuli una-
rebi (kanonzomiere-
bis aRmoCenisa, rai-
mes mixvedrisa).
5) statistikuri _
informaciis damu-
Savebisa da sxvada-
sxva sqematuri sa-
xiT warmodgenisa,
mosalodnelobis
Sefasebisa;
6) saerTo _ maTe-
matikuri enis dauf-
leba, saWiro sakiT-
xis moZiebis da
gaazrebis, wignze
muSaobis unarebi.
- 6 -
ver iazrebs diagramebsa Tu grafikebs, ver adgens proporcias, ver arkvevs ZiriTad geometriul cnebaTa
Soris logikur mimarTebebs... amis mTavari mizezia saswavlo programis gadatvirTva, saskolo
maTematikis metismeti algebraizacia da, zogadad, formalizacia. VII-VIII klasebidan dawyebuli, moswav-
les TiTqmis aRar muSaobs ricxvebze, xolo praqtikul gamoTvlaTa swrafi da ekonomiuri Catareba
maswavleblebsac ki uWirT.
aRmzrdelobiTi mxriv tradiciul swavlebas ukuSedegi ufro moaqvs: moswavleTa did umravlesobas
myari uaryofiTi damokidebuleba uyalibdeba maTematikis mimarT da, Tuki mainc cdilobs swavlas, es
mxolod umaRlesSi Casabarebladaa.
yovelive amis gamo maTematikis swavleba Zirfesvianad unda ganaxldes.
$ 2. samfaziani swavleba aqtiuri mzaobis meTodikis mixedviT
es meTodika iyenebs d. uznaZis, J. piaJes, l. vigotskisa da j. bruneris Teoriebs.
arcerTi axali sakiTxi pirdapir ar iswavleba _ aramed winaswar Semzaddeba; Semdeg ki manam ar
gadavalT momdevno sakiTxze, sanam axalnaswavli sakiTxi mravalmxriv ar damuSavdeba, gansakuTrebiT,
gamoyenebiTi mimarTulebebiT. maSasadame fazebis zogadi sqema aseTia:
I. `winaswar~ anu Semzadeba _ axali sakiTxisTvis saWiro winare codna-gamocdilebis gaaqtiureba(safuZvelis gamagreba); moswavleTa daintereseba axali sakiTxiT (motivaciuri mzaoba); moswavleTa
gonebis ganwyoba saTanado mimarTulebiT (gonebrivi mzaoba).
II. `ganmavlobaSi~ _ axali sakiTxis ageba an aRmoCena; misi gaazreba (maT Soris teqstis wakiTxviT);
axali sakiTxis magaliTebisa da kontrmagaliTebis ganxilva; moqmedebaTa garCeva.
III. `Semdgom~ _ naswavli sakiTxis ganmtkiceba, ganviTareba; dakavSireba naswavl sakiTxebTan; misi gamo-
yeneba; mis Tanmxleb sirTuleTa gaazreba; misi sxvadasxva waxnagis warmoCena; gavarjiSeba-gawafva...
samive es faza, rogorc wesi, erT 45-wuTian gakveTilSi ver Tavsdeba. kerZod, rogorc wesi, I faza
winare gakveTilze iwyeba (saTanado saSinao davalebis micemiT, anda klasSive); xolo III faza gadadis
momdevno gakveTilze da SemdgomSic _ Sesabamis gavarjiSebas drodadro momdevno gakveTilebis mcire
monakveTebic eTmoba, maT Soris momdevno wlebis ganmavlobaSic.
amgvari swavlebisTvis udidesi mniSvneloba aqvs saSinao davalebebs. I da III fazebis didi nawilebi
ufro xSirad swored saSinao davalebebSi keTdeba.
maTematikaSi konstruqcivistul-evristikuli swavlebisTvis mSvenieri bunebrivi saSualeba gvaqvs:
esaa swavleba ZiriTadad saswavlo amocanaTa Tanwyobis meSveobiT [$ 2.1]. swored saswavlo (ara
satesto) amocanebis amoxsniT aagebs Tu aRmoaCens moswavle axal codnas, Semdeg ki unarCvevebs
gaivarjiSebs da gaiwafeba. samfaziani swavlebis Sesabamisad saswavlo amocanebic sami saxisaa:
I. Semamzadebeli, winaswari samotivacio; II. gamaazrebeli; III. ganmamtkicebel-ganmaviTarebeli,
gamoyenebiTi.
oRond es saxeobebi konteqstzea damokidebuli _ amocanebis umravlesoba iseTia, rom
SeiZleba iyos an I, an II, an III _ gaaCnia, ra adgilasaa Casmuli [$ 2.1].
garda amisa, aucilebelia agreTve: IV. satesto-Semajamebeli amocanebi _ moswavleTa codna-
ganviTarebaze xSiri dakvirvebisaTvis da saTanado sakoreqcio muSaobis dagegmvisaTvis.
yovel gakveTilze
muSavdeba saswavlo
programis sxvadasxva
mimarTulebis
(saprogramo `xazebis~)
sxvadasxva faza. maT
sxvadasxva sagakveTilo
monakveTebi eTmoba.
paralelurad muSavdeba
agreTve erTi-ori
ganvlili sakiTxis III
faza anu ganmticeba-
gamoyeneba _ calkeuli
- 7 -
ganmaviTarebel-gamoyenebiTi amocanebis saSualebiT. es Zalian rTuli agebulebaa, magram saukeTesod
axorcielebs maTematikis gaerTianebul swavlebas, Tanac bavSvisTvis ufro saxalisoa. yvela gakveTilze
didi mravalferovnebaa, rac aucilebelia diferencirebuli swavlebisTvis. Tanac maswavlebels ar
moeTxoveba am programis arc dagegmva da arc safuZvlebis Rrmad codna _ mas gamzadebuli
saxelmZRvaneloebi miewodeba. maswavlebels ubralod zogadi warmodgena unda hqondes imaze, Tu ras
akeTebs da rogori programiT aswavlis.
tradiciulad gabatonebulia moswavleTaTvis axali masalis mzamzareuli saxiT miwodeba. es ar aris
Rrma da cocxali codnis SeTvisebis gza. xolo Cvens saxelmZRvaneloSi swavleba TiTqmis yovelTvis
problemurad mimdinareobs, moswavleebis sakuTari aqtiurobiT. aseTi swavleba bavSvebs SemecnebiT
interess uRvivebs, safuZvels uyris Rrma, namdvil, cocxal da aqtiur codnas. oRond saamisod
moswavlis goneba sagangebod unda iyos Semzadebuli.
cnebaSi `mzaoba~ sxva ramec igulisxmeba: yvela Sesaswavli sakiTxi danawevrebulia imdenad mcire
safexurebad, rom maTi gavla saSualo mzaobis moswavles damoukideblad an TiTqmis damoukideblad
SeuZlia. programa isea agebuli, rom moswavle yoveli am mcire siaxlisaTvis winaswaraa Semzadebuli
ara maswavleblis mier sakiTxis axsniT, aramed wina safexurebiT da fokusirebulad _ I faziT [$ 9.1].
amasTan, Semzadeba xdeba rogorc interesis gaRvivebis, ise gonebrivi momarTulobis mxriv. anu:
winaswar iqmneba saTanado ganwyoba rogorc grZnobiT-motivaciur, ise saazrovno doneze.maSasadame, yoveli sakiTxi isea Semzadebuli wina gakveTilebiT, rom mis arss moswavleebi TiTqmis
TviTon aRmoaCenen an aageben, sakuTari aqtiurobis gziT. maswavlebeli unda aclides klass fiqrs, Sec-
domis daSvebasa da mis gaazrebas, mis gasworebas, unda waaxalisebdes moswavleTa msjelobasa da maT
mier sakuTari azrebis gamoTqmas. maswavleblis mier sakiTxis axsnas, rogorc aseTs, mxolod gamonaklis
SemTxvevebSi mivmarTavT (da es sagangebodaa miTiTebuli gegma-konspeqtebSi). sakiTxi muSavdeba ZiriTadad
mxolod SekiTxvebis meSveobiT, dialogurad, problemurad. esaa ganmaviTarebeli swavleba.
maswavlebeli svams SekiTxvebs da cdilobs, sasurveli sruli pasuxi moswavleebs aTqmevinos.
Secdomebic TviTon bavSvebma unda Seasworon, xarvezebi _ Seavson. am dros maRali aqtiuri da maRali
mzaobis moswavleebi dagvexmarebian. maswavlebeli mxolod maSin unda Caerios, rodesac moswavleTa
ZalebiT es veRar xerxdeba, Tanac mxolod saswavlo xaraCoebiT unda Caerios. Tuki aRmoCndeba, rom
maRali mzaobis moswavleebsac ki ar eyoT saswavlo xaraCoebi, maSin es sakiTxi samermisod unda
gadavdoT: maswavlebelma ki ar unda axsnas, aramed gakveTilis Semdeg unda gaiazros Seferxebis
mizezebi _ winare codnis romeli sakiTxebia gansamtkicebeli. nagebobis Semdgomi nawilis agebamde jer
saZirkvelSi bzari unda aRmoifxvres. rasac saswavlo xaraCoebis daxmarebiT maRali mzaobis moswavleebi
ver daZleven damoukideblad _ is sakiTxi naadrevia klasisTvis da samermisod unda gadaidos.
zereloba, meqanikuroba da sqolastika dauSvebelia.
$ 2.1. amocanebis tipebi aqtiuri mzaobis meTodikis mixedviT
Cveneuli amocanebi
saguldagulod gaazrebul
Tanwyobas qmnis. upiratesad
swored am Tanwyobas efuZneba
interaqciuli swavleba _
moswavles Teoriul
teqstebze metad da, zogjer,
maswavlebelze metadac ki,
sagangebod Seqmnil-gawyobili
amocanebi aswavlis.
Semamzadebeli amocanebi
klass winare saSinao davalebad
eZleva (I faza [$ 9.1]). oTxi
ZiriTadi tipisaa. arcerTSi
axali, saswavli cneba, termini Tu wesi naxsenebic ki araa. is mxolod farulad monawileobs amocanaSi.
I. winare codnis gasaaqtiurebel 1-4 amocanas yovelTvis Seicavs I faza. axali sakiTxisaTvis
xSirad saWiroa xolme romelime adre naswavli sakiTxi. misi gameoreba swored Semamzadebeli amocanis
a m o c a n e b i
programuli damakavSirebeli damatebiTi am samis naerTi
Semamzadebelni (saswavli sakiTxis win) ganmamtkicebelni
I, II, III, IV tipisa I, II, III, IV tipisa
(romlebic
uSualod
mimdinare
programul
sakiTxzea)
(ori naswavlisakiTxisa
erTmaneTTan _gvaqvs sakiTxebisTiTqmis yvela
SesaZlo wyvilze)
(zogad saazrovno da
SromiT-saSemsruleblo
unarCvevaTa
ganmaviTarebelni
_ Zalian mravali
sxvadasxva saxisaa)
- 8 -
meSveobiT xdeba, aqtiurad. Tuki moswavles daviwyebuli aqvs es Zveli sakiTxi an kargad veRar iyenebs
mas, am amocanas ver amoxsnis. magram am saSinao davalebis klasSi garCevisas mainc moxdeba Sexseneba da
naswavlis gaaqtiureba, moswavle am amocanas klasSi mainc amoxsnis. amitom momdevno gakveTilisaTvis
(romelSic is axali sakiTxia) moswavle mainc Semzadebuli iqneba.
II. Semavsebeli _ axal sakiTxSi (dawyebuli V klasidan _ Teoriul teqstSi) zogjer erTi an ram-
denime Zneli adgili aris xolme (mag., raime gardaqmna, an SedarebiT rTuli msjeloba). am nawyvetis
gaadvilebuli varianti Semamzadebel amocanaSi muSavdeba. Tuki moswavleebs igi gauWirdebaT da Sesabamis
amocanas ver amoxsnian, am saSinao davalebis klasSi garCevisas sxva amocanebs Soris es Zneli adgilic
gairCeva. amitom momdevno gakveTilis im Zneli adgilisTvis moswavle mainc mainc Semzadebuli iqneba.
III. dasainteresebeli (samotovacio) amocana saWiroa imisaTvis, raTa moswavlisTvis saswavli
sakiTxi ar iyos `cidan Camovardnili~, raRac ganyenebuli Teoriis arafrismTqmeli nagleji _ aramed
moswavlem winaswarve icodes, rom axal sakiTxs azriani gamoyeneba aqvs da is moswavlisTvis ufro
axlobeli gaxdes.
IV. gonebrivi ganwyobis Camomayalibebeli amocana. esaa axali (saswavli) cnebisa Tu wesis
sxvadasxva konkretuli SemTxvevebis momcveli amocana (TviT am cnebisa Tu wesis gareSe!). misi
amoxsnisas moswavle eufleba saswavli cnebisa Tu wesis konkretul gamovlinebebs.
I da IV tipis Semamzadebeli amocanebi, rogorc wesi, advilebia da misawvdomia moswavleTa didi
umravlesobisTvis (Tuki Sin ara, klasSi mainc).
I da II tipis amocanebi moswavles aaridebs im maTematikur siZneleebs, romlebsac Sexvdeba axali
sakiTxis damoukideblad gaazrebisas. III tipis amocanebi moswavles saTanado dadebiT fsiqologiur
guneba-ganwyobilebas uqmnis. yvelaze mTavari ki mainc IV tipis amocanebia _ isini moswavlis gonebas im
mimarTulebiT mogezavs da gonebriv Zalebs ise ganawyobs, rom meore dRes gonebam TviTon SeZlos axali
sakiTxis dapyroba. TvalsaCino Sedareba: jari ise ver gaimarjvebs, Tuki brZolis win misma nawilebma
saTanado mogeziloba-ganlageba-ganwyoba ar daikava.
zogjer sxvadasxva tipis Semamzadebeli amocanebi erT amocanadaa Serwymuli, anu erTi amocana 2-3
Semamzadebeli tipis daniSnulebas asrulebs.
aseve aqtiur swavlebazea agebuli Cveneuli ganmamtkicebeli amocanebic. maTi sami ZiriTadi tipia:
I. standartuli amocana (savarjiSo) _ naswavli sakiTxis Cveulebrivi, pirdapiri gamoyenebis amoca-
na (blumis taqsonomiis I done). amgvari amocanebi uSualod mosdevs axalnaswavl sakiTxs (Tanac,
pirveli amocana Zalian advilia xolme, raTa misi amoxsna TiTqmis yvela moswavles SeeZlos).
II. gamaazrebeli amocana _ axalnaswavli sakiTxis sxvadasxva kuTxiT, ufro Rrmad gasaazreblad
(blumis taqsonomiis II done).
III. Semavsebeli amocana. ganmamtkicebeli amocanis es tipi hgavs II tipis Semamzadebel amocanas:
Tuki axalnaswavl Teoriul teqstSi gamotovebulia raime sakiTxi, an dasabuTebis nawyveti, an romelime
msgavsi SemTxvevis ganxilva, an damtkicebis dayvana advil saxeze da sxva _ es amocanaSi muSavdeba. Tuki
moswavle mas Tavs ver gaarTmevs, am saSinao davalebis klasSi garCevisas mainc gairkveva.
IV. gadatana-tranferis amocana (blumis taqsonomiis III done). esaa naswavli sakiTxis ganzogadebis,
an raimegvari ganviTarebis, an yofacxovrebasTan dakavSirebis, an sxvagvari saganTaSorisi amocanebi.
amgvari amocanebi saukeTesoa proeqtis tipis davalebisTvisac.
I da II tipis TiTo amocana mainc sasurvelia, gakveTilis me-3 fazaSi moeswros (danarCeni _ momdevno
saSinao davalebaSi). I da IV tipis ganmamtkicebeli amocanebi gadanawilebulia momdevno gakveTilebze,
momdevno wlebzec ki _ raTa es naswavli sakiTxi aqtiurad gameordes da ganviTardes xolme (gameoreba
codnis dedaa).
am saxis amocanebidan meTodikaSi met-naklebad cnobili iyo ganmamtkicebeli amocanebis oTxive tipi
da Semamzadebeli amocanebis I da III tipebi. Tumca yvela am tipis amocana Tanwyobis saxiT ar
gamoiyeneboda saxelmZRvaneloebSi, maTi gamoyeneba (garda I tipis ganmamtkicebeli amocanebisa) araTan-
mimdevruli iyo. xolo Semamzadebeli amocanebis II da gansakuTrebiT IV tipebi sul ar iyo cnobili da
Cven mieraa Seqmnili.
amrigad, Cveneuli interaqciuli swavlebis mTavari sayrdenia mravali tipis amocanebis sagangebo
Tanwyoba. amitom vaniWebT Cven udides mniSvnelobas amocanebis saguldagulod garCevas saklaso muSaobi-
- 9 -
sas. magram imisaTvis, raTa amocanis saklaso garCeva nayofieri iyos, saWiroa, rom moswavle klasSi
momzadebuli mivides _ winaswar nafiqri hqondes masze damoukideblad (saSinao davalebaSi).
$ 3. Sefasebis sistema _ ganmaviTarebeli Sefaseba
Sefaseba unda iyos swavlisTvis, da ara swavla _ SefasebisTvis
sazogadod moswavlis codna-ganviTarebis Sefasebis mizani moswavlis Sinagani motivaciiswaxaliseba unda iyos _ da ara garegani motivaciisa, rogoricaa ganmsazRvreli niSnebi, jildoebi da
sxva. moswavles maTematika unda SevayvaroT, is Sinagani interesiT unda swavlobdes, sakuTar gonebriv
ZalTa ganviTareba da siZnelis gadalaxva unda aniWebdes maRal siamovnebas _ da ara jildoebi.
jildo zeimiTa da maRali Sinagani siamovnebiT CavanacvloT. wavaxalisoT moswavleebi, raTa sakuTari
da Tanatolebis akademiuri miRwevebi โzeimiTโ aRniSnon. jansaRi bavSvi swavlisTvis Sinaganadaa
motivirebuli, rasac aClungebs jildoebis, prizebis, maRali qulebisa da sxva `qrTamebis~ mudmivi da
momabezrebeli gamoyeneba. amiT bavSvs espoba survili imisa, rom โiswavlos swavlis gamoโ. xolo
momavalSi praqtikuli, xelSesaxebi jildoebi adamianebs maRali donis azrovnebas uxSobs da swavlis
siyvaruls uklavs. amitom jildoebi, maT Soris saqebari sityvebi momWirned unda gavceT. ukeTesi
iqneba, Tuki Seqeba mTlianad Seicvleba saqmiani konkretuli ukukavSiriT.
Sinagani motivaciis gansaviTareblad da gansamtkiceblad swavliT sixarulis miRebis garemo unda
SevqmnaT. gamoviyenoT iseTi dakonkretebuli saqebari sityvebi, romlebic moswavleebs siamayis grZnobas
gauRvivebs. magaliTad: โzepir angariSSi Zalian Zlieri xar!~ `teqstis gaazrebas yovelTvis saukeTesod
axerxeb!~ `vamayob Seni mowesrigebulobiT!โ โSeni moTmineba da sibejiTe sakvirvelia!~ moswavleebi
wavaxalisoT, rom erTmaneTis miRwevebic aseve Seafason.
mTavari ki isaa, rom moswavleebma gemo gaugon SemoqmedebiT, azrovnebiT, aqtiurobiT, mixvedriT,
esTetikuri WvretiT, winaaRmdegobis gadalaxviT, miznis miRweviT miRebul maRal siamovnebas. amis
mTavari xelSemwyobia maswavleblis piradi magaliTi da mis mier sxartad xmarebuli saTanado sityvebi,
saTanado grZnobaTa TvalsaCino gamoxatva. es yovelive saukeTesod ganaxorciela maria montesorim da
pedagogikaSi iseTi saswaulebi moaxdina, rom nobelis premia miiRo.
swavliT vswavlobT swavlas. da aseve: swavliT vswavlobT swavlisTvis.
mcdaria is gacrcelebuli azri, romelsac zogi mwvrTnelic ki icavs treningebze: rom TiTqos Tuki
Sefaseba qulebiTaa da testzea dafuZnebuli, is aucileblad ganmsazRvrelia, xolo ganmaviTarebeli
Sefaseba mxolod sityvieriao. sinamdvileSi ki diferencirebuli swavlebisTvis mTavaria sadiagnostiko
testirebebi, romlebic formiT swored rom testuri da qulebrivia.
mTavaria Sefasebis ara forma, aramed misi mizani:
1. mimdinare ganmsazRvreli _ gakveTilze dawerili oficialuri qula-niSani, romelic oficialur
saklaso JurnalSi iwereba _ im dRis mecadineobis Semafasebeli (sasurvelia, iyos 3-4-komponentiani:
saSinao davaleba, saklaso muSaoba, CarTuloba-wesrigi, SemoqmedebiToba).
2. mimdinare ganmaviTarebeli _ gakveTilze im dRis mecadineobis Semfasebeli wamaxalisebeli SeniSvna,
miTiTeba Sedegis gasaumjobeseblad; zepiri an dawerili komentari; saqmiani ukukavSiri [$ 3.1]; CaniSnuli
Sefaseba ra fasdebarasTan
SedarebiTra mizniT
rogoristilis
ganmsazRvreli
swavlis Sedegi;
moswavlis Zlieri dasusti mxareebi
unificirebul
kriteriumebTan
swavlis xarisxis
kontroli damoswavlis mier
miRweuli donis
Semowmeba
formaluri,
upirovno
ganmaviTarebeli
swavlis procesi;moswavlis Zlieri da
susti mxareebi;
mondomeba,gamouyenebeli
SesaZleblobani,
winsvla
imave moswavliswinare
SedegebTan da
unificirebulkriteriumebTan
swavleba-swavlisxarisxis
gaumjobeseba da
moswavlisganviTarebis
xelSewyoba
indivi-
dualuri
- 10 -
niSnaki [$ 3.1]; `gasasvleli baraTi~, `wiTel-mwvane SuqniSnebi~, moswavlis TviTSefaseba da sxva mravali.
3. Semajamebeli ganmsazRvreli _ Semajamebeli qula-niSani saswavlo Temis, trimestris, semestris,
saswavlo wlis, safexuris an skolis dasrulebisas; Semajamebel weraze an gamocdaze dawerili
oficialuri qula-niSani.
4. Semajamebeli ganmaviTarebeli _ saswavlo Temis, trimestris, semestris, saswavlo wlis, an
safexuris dasrulebisas zepirad Tqmuli an dawerili komentari; moswavlis mecadineobisa da Sedegebis
daxasiaTeba (dadebiT-uaryofiTi mxareebi); wamaxalisebeli winadadebebi da miTiTebebi Semdgomi
muSaobisTvis, Sedegebis gasaumjobeseblad.
5. ganmsazRvrel-ganmaviTarebeli _ ganmsazRvreli Sefaseba (qula-niSani), romelsac axlavs sityvieri
ganmaviTarebelic.
ganmaviTarebeli Sefaseba formiT SeiZleba iyos: zepiri, werilobiTi, niSanxatiT (mag.: mze,
yvavili...); kiTxvari, jgufur aqtivobaSi Sefaseba, unarCvevis ganviTarebis etapis an donis miTiTeba; da
sxva mravali formacaa; SeiZleba iyos agreTve:
6. ganmaviTarebeli testireba _ tardeba specialurad Sedgenili testiT, romelSic umetesad
arCeviTpasuxebiani amocana-davalebebia; fasdeba cifrulad, quliT an procentiT; magram, amgvari formis
miuxedavad, mainc ganmaviTarebelia, radgan misi mizani igivea, rac sazogadod _ ganmaviTarebeli
Sefasebisa.
7. ganmaviTarebeli Semajamebeli wera [$ 3.2].
$ 3.1. individualuri midgoma da individualuri ukukavSirebi;
mimdinare ganmaviTarebeli Sefaseba
ganmsazRvreli Sefaseba oficialuri, formaluri da upirovnoa. umjobesia, rom Seafasos gareSe
specialistma (magaliTad, sxva maswavlebelma), Tanac anonimurad (rogorc samarTlianobis niSanxatia
Tvalebaxveuli Temida sasworiTa da xanjliT). amis sruli sapirispiroa ganmaviTarebeli Sefaseba,
romelic maqsimalurad pirovnul-individualuri unda iyos.
moswavleze orientirebuloba anu humanisturi swavleba gulisxmobs ara mxolod ganuxrel keTil-
mosurne da gulTbil damokidebulebas moswavlisadmi, aramed gacilebiT ufro arsebiT da mniSvnelovan
principebs: erTia mTliani swavlebis ageba ise, rogorc bunebrivia bavSvis cnobierebisaTvis; meore _
SeZlebisamebr individualuri midgoma.individualuri midgomis bolomde ganxorcieleba SeuZlebelia klasSi, miT umetes, did klasSi.
magram maswavleblis didi ostatoba da xelovneba swored isaa, rom SeZlebisamebr metad moaxerxos es.
man yovel moswavleSi ganumeorebeli pirovneba unda dainaxos, pativi sces am pirovnebas da, rac
mTavaria, Taviseburad miudges mas. amis zogadi wesebi ar arsebobs. yovel kerZo SemTxvevaSi
maswavlebelma unda moZebnos kerZo saSualebani. magaliTad, TamaSis dros. Cven yovel gakveTilze
vatarebT maTematikur TamaSs. TamaSi aucileblad ritmulad, swrafad unda mimdinareobdes, SezRuduli
droiT. magram maswavlebelma unda moaxerxos, rom im moswavles, romelic Tavisi bunebiT cota nelia
(neli araviTar SemTxvevaSi ar niSnavs CamorCenils!) _ cota met xans adrovos xolme. cxadia, es unda
gakeTdes ise, rom sxva moswavleebma ver SeamCnion (es ar iqneba usamarTloba). individiualuri midgomis
kidev erTi magaliTia gansxvavebuli damokidebuleba moswavleTa kaligrafiis mimarT. maswavlebelma unda
icodes, romel moswavles marTla Zalian uWirs wera da mas didi SeRavaTi unda gauwios. xolo Tuki
naweri cudia daudevrobis an celqobis gamo, maSin SeRavaTi araa saWiro.
individualuri midgomis kidev erTi mniSvnelovani mxarea moTxovnaTa araTanabroba moswavleTa
codnis mimarTac _ diferencirebuli swavleba [$ 4].
inividualur midgomas kidev erTi mniSvnelovani meTodikuri Sedegi aqvs: unda aikrZalos (ara
mxolod wamoZaxeba, aramed agreTve) gunduri pasuxebi. gunduri pasuxebisas calkeuli moswavlis xma
saerTo masaSia Cakarguli, pasuxoben yvelaze aqtiuri da swrafi moswavleebi, xolo klasis
umravlesoba miCveulia, rom am dros arcki ifiqros da mxolod gaimeoros wamyvanTa naTqvami, arc
Secdomis Sesworebis pirobebi aqvT. maswavlebelma SekiTxvaze unda apasuxebinos erT jerze mxolod
erT moswavles _ visac piradad mimarTavs, Tanac saxeliT, da ara gvariT. miT umetes, uxeSi
pedagogikuri Secdomaa, roca maswavlebeli gamorCeviT zog moswavles saxeliT mimrTavs, zogs ki
gvariT. gvariT mimarTva bvSvisaTvis xom ufro gulcivi damokidebulebis maCvenebelia!
maswavlebelma unda mimarTos pirovnebas, Tanac mimarTos gulTbilad!
- 11 -
inividualuri midgomis umniSvnelovanesi mxarea moswavlisTvis xSiri individualuri ukukavSirebis
miwodeba _ saSualod 2-jer yoveli gakveTilis ganmavlobaSi . ese igi yovel gakveTilze
TiToeulma moswavlem unda miiRos maswavleblisgan 2 mimdinare dakonkretebuli ukukavSiri, romelic
piradad mis namuSevarsa Tu naTqvams exeba (da ara mis pirovnebasa Tu ojaxs). mimdinare
individualuri ukukavSiris martivi formulaa _ saqmianad da konkretulad naTqvami:
erTi kargi ram + erTi SeniSvna, survili, anda biZgi Semdgomi winsvlisTvis.
magaliTad: `es naxazi Zalian momewona, magram aq gamoTvlebs daakvirdi!~.
gamocdileba codnaSi swored ukukavSiris meSveobiT gardaiqmneba xolme. yoveli aqtivobis Semdeg
moswavleebi sxart, konkretul detalebze fokusirebul ukukavSirs unda iRebdnen. imis magivrad, rom
vuTxraT, โyoCaR!โ, jobia, romelime erT detalze gavamaxviloT yuradReba. magaliTad: โam naxazSi ra
kargad mogifiqrebia wiTeli xazebis gamoyeneba!โ an โCinebulia! es ra kargi sityva gagxsenebia am
teqstisTvis!โ
aseTi mignebani sxva moswavleebsac unda vuCvenoT da maTac gamovayenebinoT.
araa aucilebeli maincadamainc waxaliseba. `... magram wertilebs ratom ar aqcev yuradRebas? amaze
xom ramdenimejer ukve visaubreT!~ rodesac raime sayuradRebo detals SevniSnavT da masze yuradRebas
vamaxvilebT, es moswavleebs Cvens gulwrfelobaSi arwmunebs da qmediTicaa.
Zalian nayofieria ukukavSiris miReba Tanatolebisganac. kargia agreTve iseTi aqtivoba, romelic
moswavles sakuTari Sedegis gadamowmebisa da TviTSefasebis saSualebas miscems.
pirveli individualuri ukukavSiri moswavlem I fazaSi, saSinao davalebis erToblivi garCevisas
unda miiRos [$ 9.1]: rodesac is dafasTan muSaobs, an rodesac dafasTan sxva moswavleebi muSaoben,
maswavlebeli ki mis merxTanaa. individualuri ukukavSirebi SeuZlebelia gakveTilis tradiciuli
Catarebisas _ rodesac maswavlebeli umetesad gakveTilis centrSi, kerZod ki dafasTan imyofeba.
maswavleblis ZiriTadi samuSao adgilia ara dafa da dafis win centri, aramed moswavleTa merxebi.
gakveTilis ganmavlobaSi maswavlebels dafasTan yofnis mxolod ramdenime wuTi ekuTvnis _ daaxloebiT
imdenive, ramdenic saSualod erT moswavles. maswavlebelma dafasTan moswavleebi unda amuSaos, maT
konkretuli davalebebi unda misces.
individualuri ukukavSiri sxva moswavleebs ar ainteresebT, amitom is Cumad unda warmovTqvaT,
mxolod erTi bavSvis gasagonad. sxvebi am dros TavianT saqmes akeTeben. Tumca zogjer individualuri
ukukavSiris pirveli, dadebiTi nawili xmamaRla iTqmis _ Tuki maswavlebeli miiCnevs, rom moswavlis
miRweva sxvebisTvisac sayuradReboa [$ 9.1].
saWiroa agreTve Semajamebeli individualuri ukukavSiri anu Semajamebeli ganmaviTarebeli Sefaseba
aranakleb weliwadSi erTxel (mokle teqsti imave formulis mixedviT).
srulad aRsakveTia CvenSi sayovelTaod damkvidrebuli `kargi gogo~/`kargi biWi~. moswavle ver iqneba
`kargi bavSvi~ imis gamo, rom kargad gvipasuxa; da vinc kargad ver gvpasuxobs, is araa `kargi bavSvi~??
maswavlebeli unda gadaeCvios amgvar logikurad mcdar da araeTikur frazebs samaswavlebloSi
kolegebTan saubrisasac ki. zogi moswavle maTematikas kargad swavlobs, zogi _ enas, zogi yvela sagans
swavlobs kargad, zogi Zalian mowesrigebulia, zogi _ yuradRebiani da mzrunveli, zogi kargad xatavs,
zogma kargi xumroba icis, zogi Zalian lamazia da ase Semdeg. yovel moswavles unda movuZebnoT
Rirseba, saamayo mxare da samudamod ukuvagdoT iarliyebi.
maswavleblisa da moswavlis urTierTobaSi da sazogadod saskolo garemoSi gamoricxuli unda iyos
SiSi. SiSze damyarebuli wesrigi da swavla Zalian aramyaria: gardatexis asakis Semdeg bavSvs aRar
eSinia maswavleblebisa da ormagad gadauxdis maT wina wlebSi dagrovili SiSis samagieros. Tanac
SiSiTa da daZabulobiT bavSvi Znelad Tu ganviTardeba. moswavles odnavadac ar unda eSinodes imis
Tqma, rom man raime ver gaigo, raRac ver gaakeTa (gamocdil maswavlebels ar gamoepareba, bavSvma
marTla ver gaakeTa, Tu ar gaakeTa da cuRlutobs). moswavle ar unda iboWebodes Secdomis daSvebis
SiSiT. yoveli Secdoma saqmiani da mSvidi msjelobis sagani unda gaxdes. moswavles unda vacaloT azris
gamoTqma, Tundac es iyos mcdari azri. maswavlebels pirisaxis gamometyvelebaze an xmazec ki ar unda
Seetyos ukmayofileba. _ SemdgomSic moindomeb da ukeTesad gaakeTeb, axla ki mousmine Sens megobars daadvilad gaigeb! _ daaxloebiT amgvari ram unda iTqvas, mSvidad da gulTbilad.
zogierTi maswavlebeli xazgasmiT, ganzrax gamokveTs xolme imas, rom bavSvi raRacas ver akeTebs,
ver igebs, unergavs ra bavSvebs SiSsa da morCilebis grZnobas. es uxeSad arapedagogiuri saqcielia,
- 12 -
metic, danaSaulia.
sazogadod, maswavlebeli unda Seegos imas, rom moswavleebs ver eqnebaT Cawikwikebuli rveulebi.
cxadia, maswavlebels es ar siamovnebs, magram meti gza ara gvaqvs. saqme isaa, rom muSaobisas, roca
goneba azrovnebiTaa dakavebuli, Secdomebi, xarvezebi da Casworeba-Camatebani gardauvalia. mozrdili
adamianic xom ase muSaobs da bavSvi _ miTumetes! Tuki Cawikwikebuli rveulebi gvsurs, maSin bavSvs
unda hqondes or-ori rveuli da meore dRes gadaaTeTros xolme namuSevari saSinao da Semdeg saklaso
muSaobis Semdeg (Cveni meTodikiT xom saSinao davaleba momdevno gakveTilze, klasSi ivseba, ixveweba da
da swordeba). es bavSvisaTvis, cxadia, uzarmazari damatebiTi datvirTva iqneba: qarTulSic, maTema-
tikaSic da sxva sagnebSic! amitom meti gza ar gvrCeba: unda SeveguoT imas, rom (cxadia, gadamwyveti
isev da isev moswavleTa pirovnuli Taviseburebebia, magram zogadad es mainc asea):
moswavlis rveuli _ esaa samuSao rveuli!
Cawikwikebis unari calke specifikuri niWia, romelic mxolod zogierT bavSvs aqvs da romelsac
ara aqvs kavSiri maTematikasa da azrovnebis unarebTan (Tumca TavisTavad kargia).
ganmaviTarebeli SefasebisTvis aucilebelia ganuwyveteli dakvirveba. pirvel yovlisa, esaa
sadiagnostiko testireba, romelic TiToeuli moswavlis saerTo mzaobas aCvenebs. magram aucilebelia
konkretuli axali sakiTxisTvis moswavlis mzaobis Semowmebac . es dakvirvebiTa da mimdinare
SefasebiT xdeba. saSinao davalebis dawvrilebiTi ganxilvisa da konstruqtivistuli samfaziani
swavlebis mTlianad I fazis erT-erTi mizanic swored esaa _ TiToeuli moswavlis mzaobis mimdinare
Sefaseba (sxva miznebia naswavlis ganmtikiceba-ganviTareba, axali sakiTxisTvis saWiro winare codnisa da
unarCvevaTa gaaqtiureba, moswavleTa motivireba da Semzadeba axali sakiTxis codnis asagebad da
saswavlad) [$ 9.1]. amitom I faza sakmaod xangrZlivi unda iyos _ sul mcire, 25-30 wuTia saWiro
(konstruqtivistuli samive faza, rogorc wesi, erT gakveTilze ver eswreba) [$ 9.3].
amis garda, maswavlebeli yuradRebiT akvirdeba TiToeul moswavles, atarebs sagangebo gamokiTxvebs,
esaubreba kolegebsac da moswavleTa mSoblebsac, raTa kargad dainaxos TiToeuli moswavlis
Taviseburebani.
maswavleblis tipuri Secdomaa, roca is ramdenime moswavlis pasuxis safuZvelze askvnis, rom
`moswavleebma ician~; `kargad gaiges~; `mixvdnen~. sazogadod, `ician~ uazroa _ maswavlebelma unda
Seafasos konkretulad TiToeuli moswavlis mzaobis done da misi miRweva.
ukukavSirebi aramarto moswavleebisTvis, aramed agreTve maswavleblisTvisacaa aucilebeli. igi xSir-
xSirad yuradRebiT unda iRebdes moswavleTa gamoxmaurebas, unda amowmebdes:
Tu ramdenad azrianad mimdinareobs swavla da xom ar xdeba misi gadagvareba uazro, meqanikur
gawafvaSi;
calkeuli moswavleebisTvis xom ar darCa gaugebari axali sakiTxebi, programis gavlis tempi xom
araa zedmetad Cqari, calkeuli moswavleebi xom ar CamorCnen saswavlo programas (Tuki amas
droulad ar vuSveleT, Semdeg aTmagad Zneli iqneba);
naswavli sakiTxebi xom ar rCeba mxolod faqtobrivi codnis, informirebulobis doneze, xdeba Tu
ara maTi gaazreba (blumis taqsonomiis meore doneze); sakmarisad viTardeba Tu ara moswavleTa
logikuri azrovneba da msjeloba-argumentaciis unarCvevebi;
naswavli sakiTxebi aris Tu ara mravalmxriv ganviTarebuli, sakmarisad viTardeba Tu ara Sesabamisi
maTematikuri da gamoyenebiTi unarCvevebi (blumis taqsonomiis mesame doneze); sakmarisad viTardeba
Tu ara moswavleTa SemoqmedebiTi unari, intuicia, mixvedriloba.
yovelive amis misaRwevad saWiroa gaRrmavebuli, mravalmxrivi, auCqarebeli swavleba, ZiriTadad
orientireba naswavlis xarisxze _ da ara moculobaze.
rCeba erTi siZnele _ rogor iqnes aRricxuli mimdinare (sagakveTilo) ganmaviTarebeli Sefasebebi.
aRricxvis gareSe amdeni wvrilmanis damaxsovreba yovlead SeuZlebelia. magram maswavlebelsac,
moswavlesac da mis ojaxsac unda ainteresebdeT, Tu rogoria yoveldRiuri swavlis, mondomebisa da
miRwevebis dinamika.
Semajamebeli naSromebisTvis Sefasebis 10-doniani sistemaa saWiro (oRond yvela done unda muSaobdes
_ da aramarto 5-6 done). xolo yoveldRiuri, mimdinare SefasebebisTvis 3-doniani jobia. saqme isaa,
rom interaqciuli meTodikiT agebul gakveTilze ver xerxdeba moswavlis codnis safuZvliani Semowmeba
- 13 -
(raki moswavles ar viZaxebT gakveTilis mosayolad, sazogadod erT moswavles didxans ar
valaparakebT). samagierod Cans TiTqmis yvela moswavlis (Zalian did klasSi _ moswavleTa
umravlesobis) aqtiuroba, maTi pasuxebi da msjeloba, calkeuli sakiTxebis codna. Cveneuli
interaqciuli gakveTilis Semdeg maswavlebels SeuZlia 20 moswavlesac ki Camouweros pirobiTi
niSnakebi. xolo moswavleTa codnis safuZvliani Semowmeba Semajamebel werebze moxdeba.
maswavlebels vTavazobT erT Zalian moqnil da praqtikulad gamocdil sistemas. maswavlebels
SeuZlia, gakveTilis bolos swrafad Seafasos TiTqmis yvela moswavle (an maTi umravlesoba) _ magram
es ver iqneba iseTi dazustebuli, diferencirebuli da myari niSnebi, rogorebic iwereba Semajamebel
werebze. amitom mimdinare Sefasebebad ukeTesia amgvari: + (CaTvla), _ (arCaTvla), \ (saSualo) oTxi
komponentidan TiToeulis mixedviT: saSinao davaleba, saklaso aqtiuroba, SemoqmedebiToba da
mowesrigebuloba (yofaqceva). Tanac + araa igive, rac Zveli 5-iani, is aRniSnavs mxolod imas, rom
moswavlem mimdinare gakveTilze esa Tu is komponenti `CaTvala~: Sesrulebuli hqonda saSinao dava-
lebis ZiriTadi nawili _ Tundac ramdenime SecdomiT; saklaso muSaobisas iaqtiura da erT-or
SekiTxvas kargad upasuxa. Tuki moswavlem damatebiT kidev TamaSSic gaimarjva, an raimeTi Zalian gamoi-
Cina Tavi, mas mesame komponentSi daewereba + da ase Semdeg. xolo \ iwereba, Tuki moswavlem mxolod
sanaxevrod CaTvala. gamartivebac SeiZleba: oTxive komponentis gaerTianeba da jamuri +, _, / niSnakebis
dawera. trimetris bolos ki SeiZleba am niSnakebis Sejameba, TiTo _ niSani gaabaTilebs TiTo + niSans,
xolo ori cali \ CaiTvleba erT + niSnad. saboloo qula gamoyvaneba miRebuli ricxvisa da
Semajamebeli werebis saSualo qulis SejerebiT (arsebobs specialuri kompiuteruli programa). mTeli
es informacia moswavlis portfolioSi Seinaxeba.
maswavlebels SeuZlia sxva sistema gamoiyenos. Tumca mimdinare ganmaviTarebel SefasebaTa aRricxva
Zalian sasurvelia.
$ 3.2. Semajamebeli (sakontrolo) werebi
weliwadSi saSualod 15 Semajamebeli wera tardeba. Semajamebel werebs Zalian didi mniSvneloba
aqvs. isini gviCvenebs moswavleTa namdvil codnas, friad nayofieria swavlebisaTvisac. yuradRebiani
maswavlebeli fasdaudebel ukukavSirs iRebs yoveli moswavlisgan.
Cveneul Semajamebel werebs ZiriTadad ganmaviTarebeli Sefasebis daniSnuleba aqvs _ da ara
ganmsazRvrelisa. marTalia, `esg~-s mixedviT, V klasis meore naxevarSi da VI klasSi maswavlebelma
ganmsazRvreli niSnebic unda daweros, magram mTavari mainc ganmaviTarebeli komponenti unda iyos.amisaTvis upirvelesad saWiroa:
Semajamebeli weris naSromebi kargad unda gaasworos maswavlebelmac da Semdeg moswavlemac. amis
mifuCeCeba ar SeiZleba, radganac moswavle yvelaze kargad sakuTari Secdomebisa da xarvezebis
gasworebiT swavlobs. amitom, Zalian sasurvelia, rom maTematikis 5 kvireul saaTs daematos 1
damatebiTi mecadineoba, romelic gakveTilebis Semdeg dainiSneba. am damatebiT gakveTilze klasi
guldasmiT gaasworebs Semajamebeli namuSevrebs, mTavari Secdomebi dafazec gairCeva. visac ra
aklda, imasac gaigebs da Seavsebs sakuTar nawers. am gakveTilidan moswavleTa umravlesoba 5-10
wuTis Semdeg wava, roca morCebian sakuTari Secdomebis gasworebas. darCebian mxolod is
moswavleebi, romlebsac mravali Secdoma hqondaT da ese igi, sazogadodac CamorCebian (Tundac
droebiT, gacdenebis gamo). amgvar moswavleebs ki isedac sWirdebaT damatebiTi mecadineoba. Tuki
damatebiTi gakveTilis Catareba ar xerxdeba, maSin Secdomebi unda gaswordes erT-erTi
gakveTilis bolos mas Semdeg, rac gairCeva saSinao davalebis amocanebi.
Cveni rCevaa: Semajamebel weraSi daiweros ori niSani: erTi ganmsazRvreli da meore _
ganmaviTarebeli, magaliTad: 6/9 (moswavle kargad aumjobesebs Sedegebs, imis miuxedavad, rom
bolo Sedegi araa maRali); 9/5 (moswavlis Sedegi maRalia, Tumca misi mondomeba da winsvla
araa damakmayofilebeli).
ganmaviTarebeli Sefasebis principi kidev erT rames moiTxovs: moswavlem kargi ukukavSiri unda
miiRos maswavleblisgan. kargi ukukavSiri ki dadebiTis konkretuli gamokveTiT unda daiwyos. wiTeli
feriT maswavlebelma aramarto Secdoma-xarvezebi unda moniSnos, aramed agreTve:
moswavlisTvis gasagebad unda eweros TiToeuli Secdoma-xarvezis gamosworebis gza;
wiTladve unda iyos moniSnuli is yovelive, rac maswavlebels mosawonad miaCnia _ konkretuli
moswavlis SesaZleblobaTa da mondomebis gaTvaliswinebiT; ar unda daikargos arcerTi mosawoni
- 14 -
ram, gansakuTrebiT _ Tundac mcire SemoqmedebiTi miRweva; saamisod maswavlebels pirobiTi
niSani unda hqondes (magaliTad, + niSani, ! niSani an varskvlavi...), romelsac zustad im adgilas
dasvams, sadac mosawoni ram weria. anu moswavle unda mixvdes, Tu konkretulad ra da ra
mouwona mas maswavlebelma.
Zalian sasurvelia, Tuki maswavlebeli mokle komentarsac daurTavs nawers: `esa da es kargi iyo...mixaria, rom Seni axlandeli namuSevari winandelze ukeTesia!.. esa da es _ gasaumjobesebelia... naweriki kargi iyo, magram Sens winandel naSromze uaresia... naxazebi Zalian momewona, magram gamoTvlebiufro yuradRebiT unda akeTo... es kargi mixvedraa, magram ar momwons, ase uSnod da mouwesrogebladrom wer... ratom Cqarobdi?.. Seni naSromi, rogorc yovelTvis, saukeTesoa, yoCaR!.. ...~.
ukve II klasis Semajamebel namuSevarSi maswavlebeli wers qulebs. Tumca es ganmaviTarebel-
sadiagnostiko qulebia (da ara ganmsazRvreli). isini maswavlebels Senaxuli unda hqondes (maT Soris
_ moswavleTa portfolioebSic). es qulebi umniSvnelovanes informacias miawvdis maswavlebelsac,
moswavlis ojaxsac da Tavad moswavlesac: rogoria TiToeuli moswavlis miRwevebi da Zlieri mxareebi;
romlebia susti mxareebi, romlebsac gaumjobeseba sWirdeba; rogoria moswavlis progresi, misi
ganviTarebis dinamika saswavlo wlis ganmavlobaSi da agreTve wlebis ganmavlobaSi. xolo mTeli klasis
qulebis cxrilis analizis safuZvelze maswavlebelma Tavis muSaobaSi, saswavlo procesSi unda
Seitanos saTanado cvlilebebi.
Cveneuli ganmaviTarebeli Semajamebeli Sefasebis qulebia 0-dan 9-mde. esaa mTavari qulebi. xolo V
klasis meore naxevarSi da VI klasSi maswavlebelma ganmsazRvreli niSnebi unda daweros ise, rogorc
`esg~ moiTxovs. CvenTvis am niSnebs, damoukideblad ganmaviTarebeli qulebisgan, ara aqvs arsebiTi
mniSvneloba. mTavaria Sefaseba swavlebisTvis _ da ara tradiciuli oficialuri `niSnebi~.
Semajamebeli werisTvis araviTari winaswari momzadeba araa saWiro! maswavlebeli gakveTilebs
atarebs Cveulebrivad, gegma-konspeqtebis mixedviT. Cven TviTon ise gvaqvs programa dagegmili, rom
moswavles TavisTavad uwevs imdagvari amocanebis amoxsna, rogorebic Semajamebeli weraze Sexvdeba.
Tumca, SeiZleba mcire siaxlec Sexvdes _ raTa SemoqmedebiTi azrovneba aamoqmedos.
moswavleebi unda mieCvion winaaRmdegobis gadalaxvas, sakuTari codnis warmoCenasa da damtkicebas,
daZabul viTarebaSi Tavis gatanas da patiosan, samarTlian Sejibrsac ki.
Semajamebeli werisas gamoricxuli unda iyo daxmareba; gamoricxuli unda iyos agreTve yovelgvari
siyalbe, gadawera, karnaxi da sxva sisaZagle. gamoricxuli unda iyos yalbi niSnebis werac. maswavle-
beli Tavad darwmundeba, rom Sefasebis Cveneuli kriteriumebi isedac sakmaod lmobieria, isedac vcdi-
lobT, rom moswavles ar daekargos Tundac mcire codna, mondomeba Tu mosazreba. nel moswavles co-
taTi met xansac vadrovebT, yvelanairad xels vuwyobT da veferebiT moswavleebs _ magram siyalbe mainc
sastikad unda gamoiricxos! yvela moswavle ver miiRebs umaRles qulebs da arc unda miiRos [$ 4].
TiTo siyalbe sawamlavis TiTo wveTia, romelic ryvnis moswavlis suls!
samagierod, moswavles unda SeeZlos saWiro resursebis gamoyeneba: TvalsaCinoeba, cxrilebi,
cnobarebi, saxelmZRvaneloebi, sxva wignebi... _ visac ra surs (oRond ara kalkulatori).
Semajamebel, TviT sagamocdo werazec ki iseTi davalebebi unda iyos, rom resursebis
Tavisufalma gamoyenebam saqme ar gaafuWos. gvaxsovdes, rom mecniersac ki naSromis werisas
mravalgvari resursis gamoyeneba sWirdeba!
Semajamebeli wera tardeba saxelmZRvanelos TiToeuli Tavis bolos. agreTve saswavlo wlis bolos
tardeba wliuri Semajamebeli wera. amis garda, uaRresad sasurvelia, rom Catardes ori sadiagnostiko
testireba _ saSemodgomo da sagazafxulo. saamiso testebi, testirebis instruqciebi da Sefasebis
kriteriumebi ganTavsebulia proeqt `GPried~-is portalze www.kargiskola.ge.weris win bavSvebs davalebad eZlevaT Sesabamisi Tavis ukanaskneli gakveTili (SeiZleba, es iyos
damatebiTi amocanebi), xolo Semajamebeli weris momdevno dRisaTvis ki _ momdevno Tavis pirveli
gakveTili. swored am davalebaTa garCeva unda moxdes weris momdevno gakveTilze, ramdenisac moeswreba.
Semajamebeli werisaTvis SerCeuli yvela amocana aRebulia moswavlis saxelmZRvanelodan _ amocanaTa
Tematikuri krebulidan. maswavlebelma dafaze unda Camoweros mxolod amocanebis nomrebi, isini ori
rigisTvisaa. moswavleebs ar unda movTxovoT amocanebis pirobaTa gadawera. rveulSi
moswavleebma unda Caweron amocanis nomeri da misi sruli amoxsna.
Semajamebeli weris amocanebi isea SerCeuli, rom maT amosaxsnelad erTi gakveTilisaTvis
- 15 -
gankuTvnili dro _ 45 wuTi sakmarisi unda iyos. Tumca zogierTi moswavle mainc ver aswrebs am
droSi. Tuki SesaZlebelia, kargi iqneba, mivceT maT damatebiTi dro Semajamebeli samuSaos
dasamTavreblad. magram es unda moxdes maSinve, da ara sxva gakveTilebis Semdeg.
gasarkvevia erTi sakiTxic _ naweris xarisxisa. Cveni azriT, cudi nawerisa Tu naxazebis gamo
moswavles SeiZleba daakldes qula, ukidures SemTxvevaSi _ ori qula; an, ufro kargi iqneba, aRar
epatios is wvrilmani Secdoma, romlis patiebac Cveni kriteriumebis mixedviT SeiZleboda. magram: mainc
rogor cud nawerze unda moxdes es?
upirvelesad, Tuki naweri cudia gaformebis TvalsazrisiT: mindvrebi, sityvebsa Tu maTematikur
gamosaxulebebs Soris Sualedebis dacva, wiladis xazis saWiro adgilas dawera, amocanis pirobis
mokle Canaweris wesierad Sedgena, CamonaTvalis garkveviT Camowera, naxazis ise daxazva, rom nakvTi
nakvTs hgavdes da sxva. Sesabamisi xarvezebi maswavlebelma wiTlad unda moniSnos, iseve rogorc yvela
sxva Secdoma da moswavlem unda gaasworos _ anu wesierad gadaweros Tu gadaxazos _ Secdomebis
gasworebisas.
meorec, Tuki kaligrafiaa Zalian cudi da amasTan, Tuki maswavlebelma icis, rom am moswavles
SeuZlia ukeTesad wera da esoden cudi naweri maimunobis an mifuCeCebis bralia. magram saSualod cud
kaligrafiaze moswavles qula ar unda daakldes, miT umetes, roca maswavlebelma icis, rom moswavles
Zalian uWirs lamazad wera da ukeTesad TiTqmis rom ar ZaluZs.
moswavles ar unda daakldes qula arc gadaxazulebze (Tuki metismetad araa gadadRabnili),
Casworebulebze, Canamatebze da sxva.
Semajamebeli weris rveuli _ esaa ara saCvenebeli, aramed samuSao rveuli! Cawikwikebuli
nawerebi iseTive siyalbea, rogoric _ gakveTilze sxapasxupiT pasuxebi. rveulSi unda Candes
moswavlis muSaobs, misi Secdomebi da TiToeuli Secdomis gamosworebac iqve unda eweros!
aucilebeli wesia: moswavlem yvelaferi, maT Soris gamoTvlebic, srulad unda Caweros
Semajamebeli weris rveulSive. araviTari `Savi~ nawerebi. maswavlebeli unda xedavdes, Tu
rogor iazrovna moswavlem, rogor gamoTvala, rogor mivida pasuxamde. maSasadame, maswavlebelma
xSirad unda Seaxsenos moswavleebs, rom Semajamebeli weris rveulSive _ da ara calke furcelze! _
gaakeTon xolme samuSao Canawerebi. es Canawerebi SeiZleba ar iyos lamazad Sesrulebuli, SeiZleba
iyos gadaxazuli, Canamatebiani da sxva _ magram amaSi moswavle qula ar daakldeba! piriqiT, qula
daakldeba im moswavles, romelsac ar eqneba amgvari Canawerebi da pirdapir eqneba dawerili pasuxi.
amocanis piroba romc ar moiTxovdes dasabuTebas _ samuSao Canawerebi mainc unda Candes. Semajamebeli
naweris gasworebisas yovelTvis unda mieqces yuradReba: aris Tu ara rveulSi moswavlis mier
gakeTebuli raime Canawerebi, romlebic adasturebs, rom man namdvilad amoxsna amocana _ da ara
gadaiwera mzamzareuli pasuxi! es gansakuTrebiT mniSvnelovania maSin, roca amocanis an misi
qveamocanebis pasuxebi Sedgeba erTi-ori asosgan, erTi-ori ricxvisa an erTi-ori sityvisagan. es
yovelive bavSvebis umravlesobas ezareba, pirdapir pasuxis dawera urCevnia, magram Semajamebeli werisas
maswavlebeli sul merxebs Soris unda dadiodes da saTanado miTiTebebs aZlevdes moswavleebs: `sruladwere! aq ar Cans, pasuxi rogor miiRe! nu meubnebi, mosmena ar mWirdeba, aqve dawere! ... ~
iseve rogorc, zogadad, Cveneuli meTodikiT warmarTuli gakveTili _ esaa ara saCvenebeli, lamazi
da saintereso gakveTili, aramed _ gakveTili yoveldRiuri muSaobisa, rudunebisa, msjelobisa,
daxvewisa, Ziebisa, azrovnebisa da, rac mTavaria, gonebrivi varjiSisa da isev da isev varjiSisa.
Semajamebeli werisas maswavlebeli yurdRebiT unda iyos, raTa yvela moswavlem, jer erTi,
damoukideblad imuSaos, da, meorec, imuSaos: bavSvs xSirad efanteba yuradReba, zogi moswavle gacile-
biT ukeTes Sedegs aRwevs, roca mas aiZuleben, rom wesierad imuSaos! amrigad, Cven maswavlebels
vukrZalavT moswavlis mixmarebas maTematikis mxriv, magram vTxovT mixmarebas nebelobis mxriv.
amas ukavSirdeba kidev erTi sakiTxi. zogi moswavle bejiTia, Tanmimdevruli da Seupovari, bolomde
zis da muSaobs. zogi ki cercetaa, cdilobs, male moamTavros wera (rac Zalian ezareba) da sxva rame
akeTos. magram maswavlebeli zaris darekvamde ar gauSvebss moswavleebs gareT saTamaSod. maSin is
moswavleebi, romlebmac adre moamTavres wera, cqmutaven da sxvebs uSlian xels. amas yvelafers didi
yuradRebis miqceva sWirdeba. maswavlebelma unda aiZulos moswavleebi, rom kidev erTxel yuradRebiT
waikiTxon TaviaTi naweri, gadaamowmon, xelaxla iangariSon (amocanaSi romc ar iyos moTxovnili
Semowmeba, mainc!). moswavle unda mieCvios sakuTari codnis warmoCenasa da damtkicebas, nebisyofis
- 16 -
mokrebiT maRali da ufro maRali Sedegebis mopovebas. xolo Tuki maRali mzaobis swraf moswavles
yvelaferi srulad uweria, mas damatebiTi davaleba unda mieces. vadaze adre gaSveba ar SeiZleba.
yovelive amas udidesi mniSvneloba aqvs. da ara mxolod imisaTvis, rom moswavlem ukeTes Sedegs
miaRwios, aramed agreTve gacilebiT ufro mniSvnelovani ramisTvis: moswavles mtkiced unda
Camouyalibdes sakuTari naSromis Semowmebis, zogadad, TviTkritikisa da sakuTari namoqmedaris
garedan danaxvis unarCvevebi. amave unarCvevis gansaviTareblad, iseve rogorc sakuTriv maTematikuri
codnis Sesavsebad da gansamtkiceblad yovlad aucilebelia Semajamebeli nawerebis saguldagulo
gasworeba moswavleTa mier!
TviTkritikisa da sakuTari namoqmedaris garedan danaxvis unarCveva _ adamianis erT-erTi
umniSvnelovanesi da uZvirfasesi Tvisebaa [ix. $ 19-Si]. amitom Semajamebeli wera unda iyos Semajamebeli
ara mxolod maswavleblis mier moswavlis codnis Semowmebis TvalsazrisiT, aramed agreTve Tavad
moswavlis mier sakuTari codnisa da sakuTari naSromis Semowmebisa da Semdeg gasworebis
TvalsazrisiT... Tumca moswavleTa umravlesobas ezareba Secdomebis gasworeba da Tavidan gamarTulad
dawera. amisTvisac maswavlebelma merxebs Soris unda iaros, moswavleebs individualuri ukukavSirebi
zepiradac miawodos, moswavleebi waaxalisos da swori variantebic daawerinos.
rigiT Semajamebel weraze 5 amocanaa (wlurze _ 10). rogorc wesi, pirveli, meore da mesame
amocanebi _ oTxqulianebia, xolo meoTxe da mexuTe _ xuTqulianebi. Tuki es qulebi sadme Secvlilia,
sagangebodaa miTiTebuli. pirveli ori-sami amocanis amoxsna unda SeZlon SedarebiT dabali mzaobis
moswavleebmac. meoTxe, da gansakuTrebiT mexuTe amocana ufro Znelebia. xSirad mexuTe amocanaSi aris
xolme damatebiTi davalebac, romlis kargad Sesrulebisas moswavle (Tuki man sxva davalebebic kargad
Seasrula), miiRebs umaRles Sefasebas. yvela Semajamebeli weris yoveli amocanisTvis momzadebuli
gvaqvs Sefasebis rubrikebi da konkretuli kriteriumebi. isini gadmocemulia maswavleblis wignebSi,
saTanado adgilas. iq zogierTi amocana SedarebiT dawvrilebiTaa amoxsnili, amoxsnis gzis etapebis
aRweriT, zogierTisa ki mxolod pasuxia mocemuli. TiToeuli etapis (an saboloo pasuxis) bolos
frCxilebSi miTiTebulia qulebis maqsimaluri raodenoba, riTac SeiZleba Sefasdes am etapis (an
mTlianad davalebis) Sesruleba. Tuki moswavles kargad aqvs Sesrulebuli amoxsnis aRwerili etapi (an
mTlianad davaleba), maSin es moankveTi unda Sefasdes miTiTebuli maqsimaluri quliT; srulad da
marTebulad Sesrulebul davalebaSi maswavlebelma unda daweros 4 qula (pirvel, meore an mesame
amocanaSi) an 5 qula (meoTxe an mexuTe amocanaSi). xolo Tuki amocana amoxsnilia nawilobriv an sul
araa amoxsnili, maSin moswavle iRebs ufro nakleb qulas: 3-s, 2-s, 1-s an 0-s _ imisdamixedviT, Tu
amocanis amosaxsnelad ra nabijebia gadadgmuli. kerZod:
Tuki Sesrulebulia davalebis daaxloebiT naxevari, mesamedi, meoTxedi (maswavleblis azriT), maSin
aRwerili etapi (an mTlianad davaleba) unda Sefasdes Sesabamisad miTiTebuli maqsimaluri qulis
naxevriT, mesamediT, meoTxediT. Tuki moswavles dawerili aqvs amosanis amosaxsnelad saWiro erTi mainc
marTebuli gardaqmna, gamoTvla Tu msjeloba, mas am amocanaSi 0,5 an 1 qula mainc unda daeweros. Tuki
moswavles amoxsnisas warmatebiT aqvs gamoyenebuli mis mier mignebuli, uCveulo, skolaSi arnaswavli
xerxi, an gamovlenia sxva SemoqmedebiTi migneba, mas 0,5 an 1 qula unda daematos. miRebuli qulebi unda
Seikribos (rogorc wesi, jamis maqsimaluri mniSvnelobaa 22; wliur weraze _ 42). es iqneba moswavlis
namuSevaris qulebrivi Sefaseba. maswavlebels SeuZlia am qulis mixedviT daweros ganmaviTarebeli an
wamaxalisebebli niSani, anda oficialuri ganmsazRvreli Sefaseba.
yvela SemTxvevaSi maswavlebelma
moswavlis Semajamebel namuSevarze
garkveviT unda aRniSnos, Tu
konkretulad raSi moumata Tu raSi
daaklo qula da, ese igi, ramdeni
quliT Seafasa TiToeuli amocana.
yuradReba!
Semajamebeli werebisaTvis gankuTvnili
amocanebi moTavsebulia saxelmZRvane-
los bolos _ amocanaTa Tematikur
krebulSi, areuladaa sxva amocanebs
qulaTa jami Sefaseba
0-2 03-8 19-14 215-19 320-23 424-27 528-31 632-35 736-39 840-42 9
qulaTa jami Sefaseba
0-1 02-4 15-7 28-9 310-11 412-13 514-15 616-17 718-20 821-22 9
- 17 -
Soris (raTa ar etyobodes, rom Semajamebeli werisTvisaa). amitom maswavlebelma saswavlo wlis dasaw-
yisSive moswavlis saxelmZRvaneloSi (romelsac xmarobs) unda Semoxazos (wiTlad) am amocanebis nom-
rebi, raTa romelime maTgani winaswarve ar misces klass (damatebiT saSinao an saklaso davalebad).
$ 3.3. maTematikis namdvili codna
moswavlis codna-ganviTarebis yovelgvari Sefasebis safuZvelia imis mkafiod Camoyalibeba, Tu,
fsiqologiuri TvalsazrisiT, ra aris maTematikuri sakiTxis namdvili codna. erTi mxriv, es araviTar
SemTxvevaSi ar daiyvneba imaze, rom moswavles SeuZlia am sakiTxis moyola (Cveni meTodikiT moswavlis
gamoZaxeba gakveTilis mosayolad xom arc xdeba!). maTematika araa istoria an moTxroba, rom misi codna
moyoliT SevamowmoT. maTematikuri sakiTxis namdvili codna imas niSnavs, rom moswavles xelewifeba
am sakiTxis Tavisuflad da aqtiurad gamoyeneba saTanado amocanebis amoxsnisas. codnis
kriteriumi _ esaa misi gamoyenebadoba anu is, Tu es codna ramdenad dayalibda aqtiur gonebriv
unarCvevad (blumis taqsonomiis me-3 done). magram saqme isaa, rom am dros moswavles, SesaZloa, ar
ZaluZdes sakuTari codnis sityvierad gamarTulad Camoyalibeba!
oRond, amasTan, aucilebelia sakvanZo cnebebisa da maT Soris mimarTebaTa kargad gaazreba _ da
ara manipulaciebSi (gardaqmnebSi, gamoTvlebSi da sxva) meqanikuri gawafva [$ 5.1].
Cveneul Semajamebel werebzec ZiriTadad mowmdeba naswavli sakvanZo sakiTxebis gaazrebis xarisxi da
maTi aqtiurad gamoyenebis unarCveva. Tuki moswavle kargad iyenebs raime cnebasa Tu wess nairgvari (maT
Soris arastandartuli) amocanebis amoxsnisas _ ese igi mas kargad scodnia es sakiTxi da am codnis
calke Semowmeba aRaraa saWiro.
Semajamebel werebze moswavle survilisamebr iyenebs saxelmZRvanelosa Tu cnobars. amasTan,
mas avuxsniT, rom zogi ramis zepirad damaxsovrebaa ukeTesi. magaliTad, didi ubedureba araa,
Tuki IV-V klaselma zepirad ar icis gamravlebis tabula da TvalsaCinoebas iyenebs, anda
gonebaSi angariSobs. Tumca ukve V-VI klasebSi es mas did siZneleebs Seuqmnis: amocanebis
amoxsnisas ubralo gamravleba-gayofaSi didi dro da Zal-Rone daexarjeba, ris gamoc mTavar
sakiTxebs kargad veRar gaumklavdeba.
maSasadame, SeiZleba moxdes, rom moswavlem, arsebiTad, ar icodes maTematikuri sakiTxi, magram
sityvierad unaklod ayalibebdes mas _ Tuki es sakiTxi wina dRiT aqvs wakiTxuli da sityvierad
damaxsovrebuli anu gazepirebuli (didi xnis Semdeg es, cxadia, SeuZlebeli iqneba). meore mxriv ki,
SeiZleba moxdes, rom moswavlem saukeTesod icodes sakiTxi, magram sityvierad ver ayalibebdes mas.
sazogadod, Teoriuli sakiTxis gamarTuli sityvieri Camoyalibeba sakmaod Zneli amocanaa. am unaris
ganviTarebas Cveni meTodika sakmao yuradRebas aqcevs [$ 6.2]. magram maswavlebels gaazrebuli unda
hqondes, rom es calke unaria da mas ara aqvs uSualo kavSiri Sesabamisi maTematikuri sakiTxebis
namdvil codna-arcodnasTan. Cveneuli meTodika (saSinao davalebis Semamzadebeli amocanebiT da Semdeg
saklaso aqtiuri garCeviT) sakiTxs jer kargad gaaazrebinebs moswavles, da mxolod amis Semdeg dgeba
sakiTxi zepiri Tu werilobiTi sityvieri Camoyalibebisa da msjelobis unaris ganviTarebisa _ rac
calke samuSaoa. ese igi, SesaZloa, moswavlem ukve kargad icis ganvlili gakveTilis sakiTxebi (rac
imaSi vlindeba, rom am sakiTxebs kargad iyenebs saTanado amocanebis amoxsnisas!), magram sityvierad ver
ayalibebdes mas gamarTulad. swored amisaTvisaa saWiro II fazis bolo ramdenime wuTi [$ 9.2].
$ 4. diferencirebuli swavleba
imis miuxedavad, rom mexuTeklaselis terfis saSualo zoma 32-ia, yvela
mexuTeklasels 32 nomer fexsacmels nu CavacmevT! es prokrusteseuli borotebaa.
diferencireba (laT. difer- gansxvaveba) _ mTlianis Sinagani ganawevreba nawilebs Soris gansxvavebaTa
Setanis mizniT. diferencirebuli swavleba _ klasis diferencireba da gansxvavebuli jgufebis
moswavleTa mimarT gansxvavebuli midgoma. araa igive, rac individualuri midgoma, radgan ara yovel
calkeul moswavles, aramed moswavleTa jgufs miemarTeba (Tumca iziarebs individ. midgomis ZiriTad
principebs). araa igive, rac inkluziuri swavleba, radgan Tanabrad exeba rogorc sssm, ise sruliad
Cveulebriv moswavleebs (Tumca iziarebs inkluziis calkeul principebs). araa igive, rac profiluri
swavleba (romelsac CvenSi mcdarad uwodes `dif. swavleba~), radgan xorcieldeba erTi klasis SigniT,
xolo profiluri swavleba iwyeba moswavleTa gadanawilebiT sxvadasxva profilis klasebSi
(humanitaruli, sabunebismetvelo da sxva).
- 18 -
diferencirebuli swavlebis mizania, rom yovelma moswavlem miiRos misTvis Sesaferisi
davaleba da misTvis saWiro daxmareba maswavleblisgan (maT Soris _ nulovani daxmareba).
saamisod SeiZleba jgufuri muSaoba, an wyvilebSi muSaoba, an sulac individualuri muSaoba.
amasTan, yvela kargi maswavlebeli, gaazrebulad Tu gauazreblad, iyenebs arsebiTad dif. swavlebis
calkeul elementebs mainc. individualuri midgomis bolomde ganxorcieleba SeuZlebelia, miT umetes,
did klasSi. magram maswavleblis didi ostatoba da xelovneba swored isaa, rom SeZlebisamebr metad
moaxerxos es. kargi swavleba, arsebiTad, yovelTvis diferencirebulia.
diferencirebuli swavleba aris mZlavri saSualeba saimisod, rom swavlebis procesSi yvela
moswavle CavrToT. saSualo moswavleze morgebuli swavleba gaumarTlebelia, radgan zogma ukve kargad
icis sakiTxi, zogi ki misi aTvisebisaTvis mzadac ki araa.
diferencireba SeiZleba gamovlindes: gakveTilebis ganmavlobaSi; gakveTilebis Semdeg, Tumca jer
kidev skolaSi; skolisagan damoukidebel garemoSi, magaliTad, ojaxSi an klasgareSe RonisZiebaze.
diferencirebisTvis SeiZleba moxdes:
saswavli masalisa anda saswavlo programis cvlilebebi: sxvadasxva moswavle sxvadasxva siZnelis,
sirTulis, abstraqtulobis, anda sulac sxvadasxva Sinaarsis davalebebze muSaobs.
sxvadasxva saxis aqtivobani sxvadasxva garemoSi: zogi moswavle upiratesad maswavleblisgan
swavlobs, zogi _ saxelmZRvaneloTi, zogi internetSi eZebs misTvis saintereso masalas, zogi
Tanaklaselebs ekiTxeba da sxva.
sxvadasxva moswavle sxvadasxva formatiT waradgens Sesrulebul davalebas da sxvadasxva gziT
gviCvenebs Tavis codnas (magaliTad, sityvieri msjelobiT, TxrobiT, sqemiT, naxatiT, maketiT...).
diferenciaciisTvis maswavlebelma unda gaiTvaliswinos, rom moswavleebi
erTmaneTisgan gansxvavdebian Semdegi maxasiaTeblebiT (diferenciacia xdeba romelime
am faqtoris an maTi raime kombinaciis mixedviT):
mzaoba _ unarCvevaTa ganviTarebis done da winare codna (cvalebadia);
SemZlebloba, Tandayolili niWi _ SedarebiT ucvleli maxasiaTebelia;
interesebi (magaliTad: sporti, xelovneba, cxovelebi, megobroba);
swavlis stili anu saswavlo profili: wamyvani unarianobis tipi gardneris mixedviT (verbaluri,
logikur-maTematikuri, sabunebismetyvelo, teqnikuri, vizualuri, SexebiT-kinesTetikuri, musikalur-
ritmuli, interpersonaluri, intrapersonaluri); Tu rogor urCevnia moswavles muSaoba
(individualurad, wyvilSi, mcire jgufSi Tu did jgufSi) da rogor garemoSi urCevnia (didi farTi
Tu mcire da myudro adgili); ramdenad sWirdeba xolme moZraoba-gadaadgileba;
miRwevisa da warmatebis motivaciis siZliere, ojaxis dainteresebulobis done;
nebelobiTi Tvisebebi (nebisyofa, sibejiTe, yuradRebis mokrebis unari, Tanmimdevruloba da saqmis
bolomde miyvanis unari);
swavlis tempi, azrovnebis tempi (davalebis Sesasruleblad saWiro dro);
sxva fsiqologiuri Taviseburebebi (mag., temperamentis tipi, konformuloba, an raime saxis gadaxra...);
janmrTelobis mdgomareoba anda SezRuduli unari;
sociokulturuli Taviseburebebi (umetesad ojaxisa da Tanatolebis wris zegavleniT);
cxovrebiseuli gamocdileba.
mTavaria orgvari diferencireba:
mzaobis donis mixedviT _ ganSreveba mzaobis sami donis Sesabamisadaa: maRali, saSualo da dabali
(optimaluria swored 3 done);
saswavlo profilisa da interesebis mixedviT.
saswavlo profilebi da moswavlis wamyvani unarianoba, romelic arsebiTia dawyebiT
klasebSi maTematikis swavlebisas _ moswavleTa ganSreveba dif. swavlebisTvis:
1. abstraqtul-maTematikuri azrovnebis tipi, maTematikisken midrekilebiT; advilad (xSirad TviTon,
auxsnelad) swavlobs ricxvebs, gamosaxulebebs, algebrul mimarTebebs, formulebs... sayofacxovrebo
amocanis pirobaSi dauyovnebliv amoicnobs maTematikis TvalsazrisiT arsebiT mimarTebas, sxva
informacias ki ugulebelyofs. teqstebi ar uyvars.
2. enobrivi azrovnebis tipi. sxvebze ukeT kiTxulobs, gaiazrebs da wers teqstebs; sxvebze ufro
mdidari da gamarTuli eniT metyvelebs; maTematikis sakiTxebs yvelaze advilad sityvieri logikuri
- 19 -
msjelobebiT swavlobs. sazogadod, sakmaod kargi logikuri azrovneba aqvs (kargi, gaazrebuli
swavlebis pirobebSi). ar uyvars formulebi da abstraqtuli gamosaxulebebi.
3. mxedvelobiTi tipi. aqvs kargi aRqma da Zlieri mxedvelobiTi mexsiereba; eadvileba sivrciTi
warmodgena; uyvars TvalsaCinoeba, sqemebi, naxatebi. misi azrovneba umetesad xatobrivia. umravles
SemTxvevaSi izidavs teqnika, romelsac kargad flobs; Zlieria CxirkedelaobaSi anda Wra-kervaSi.
maTematikaSi yvelaze metad geometriuli formebi da naxazebi ainteresebs. ar uyvars formulebi da
abstraqtuli gamosaxulebebi, arc teqstebi.
4. ritmul-kinesTetikuri tipi. kargad flobs sxeuls, Warbad moZraobs, gamorCeulad uyvars cekva anda
sporti. umravles SemTxvevaSi izidavs musika. ar uyvars formulebi da abstraqtuli gamosaxulebebi,
arc teqstebi.
5. interpersonaluri tipi. uyvars da exerxeba adamianuri urTierTobebi, ar uyvars martooba. kargad
ugebs sxvebs. misTvis mTavaria adamianebi _ da ara saqme. maTematikaSi yvelaze metad moswons
statistikuri monacemebis Segroveba da damuSaveba, sazogadod ki _ jgufuri muSaoba.
aseTia wminda tipebi _ romlebic cxovrebaSi iSviaTad gvxvdeba. rogorc wesi, adamiani ori-sami
tipis Taviseburi naerTia da maTgan erT-erTi tipi viTarebis mixedviT aqtiurdeba. amasTan, zogs
TiTqmis mxolod erTi tipis unarianoba aqvs wamyvani; zogs ori-sami tipis unarianoba TiTqmis Tanabrad
Zlieri aqvs; zogs ki piriqiT _ arcerTi ara aqvs Zlieri.
amitom diagnozis dasma friad saTuoa. yvelaze saimedoa: aqtivoba-davalebaTa farTo mravalferovneba
rogorc Sinaarsis, ise formis mxriv (ricxvebi da maTematikuri gamosaxulebebi, mokle teqstebi,
naxazebi, suraTebi, modelebi, moZravi da ritmuli TamaSebi, muSaoba mewyvilesTan erTad da mcire
jgufTan erTad...); da moswavleebisTvis farTo arCevanis micema, raTa TiToeulma moswavlem is aqtivoba
(davalebis forma) airCios, romliskenac yvelaze metad gauwevs guli.
rasakvirvelia, saswavlo profilisa da interesebis mixedviT diferencirebaze ufro mniSvnelovania
moswavleTa mzaobis donis mixedviT diferencireba. yvela SemTxvevaSi moswavleTa dajgufeba
homogenuria anu erTgvarovania (jgufSi msgavsi tipisa an msgavsi mzaobis moswavleebi arian). asea
ukeTesi konkretuli maTematikuri sakiTxis swavlebisTvis. xolo tradiciuli, heterogenuri dajgufeba
(Sereuli jgufebi) ufro socialur unarCvevaTa ganviTarebas emsaxureba.
gakveTilis I fazaSi diferencireba upiratesad mzaobis donis mixedviTaa. es II da III fazebSic
grZeldeba, ZiriTadad SekiTxva-davalebaTa ganawilebis mxriv. amasTan, II anda III fazaSi SeiZleba agreTve
saswavlo profilisa da interesebis mixedviT diferencireba _ moswavleTa Tavisufali dajgufeba.
maswavlebeli erTsadaimave maTematikur sakiTxze 4-5 gansxvavebul davalebas SesTavazebs klass.
davalebebi gansxvavdeba:
1) abstraqtulobis doniTa da formiT (nivTieri an suraTovani TvalsaCinoeba / sqemebi da naxazebi /
mokle teqstebi / ricxviTi gamosaxulebebi; dawyebiT klasebSi zogjer SesaZlebelia agreTve ritmul-
kinesTetikuri modelebi _ kakun-taSebi da sxva);
2) teqstiani amocanis konkretuli SinaarsiT: saTamaSoebi, yvavilebi, cxovelebi, teqnika, saxlebi,
adamianebi, geometriuli nakvTebi da sxva. moswavle TviTon irCevs sasurvel davalebas.
Tuki romelime am formis msurveli ar aRmoCndeba, am formiT aqtivoba sul ar Sesruldeba.
maswavlebeli moswavleebs ise gadaajgufebs, rom erT jgufSi 3-4-ze meti moswavle ar iyos (jgufebis
raodenoba ki _ nebismieri).
maSasadame Zalian arsebiTia gakveTilis Tematikuri mravalferovneba. gakveTilis dagegmvisas
arasasurvelia ori ukiduresoba: 1) gakveTilis daqsaqsuloba, mravalferovani da mravali aqtivoba
(Tundac TavisTavad kargi da saxaliso), magram arasakmarisi fokusireba misaRwev Sedegebze.
2) gakveTilis Sinaarseuli erTferovneba, Semofargvla mxolod misaRwev SedegebTan dakavSirebuli
aqtivobebiT (mag., mTeli gakveTilis ganmavlobaSi mxolod gamokleba, an mxolod stereometriuli
maketebis keTeba). gakveTili mravalferovani unda iyos aramarto aqtivobebiT, aramed agreTve
Sinaarseuladac, raTa yvela midrekilebis mqone moswavlem cotaTi mainc iaqtiuros TavisTvis
sasurveli Sinaarsze; mravalferovani, oRond fokusirebuli. martivad: 35 wuTidan jamuri 25-30 wuTi
rom mTavar misaRwev Sedegebs daeTmoba, 5 wuTi mainc saswavlo standartis sxva mimarTulebebs unda
daeTmos. uamisod verc naswavli sakvanZo sakiTxebis perioduli gameoreba-ganmtkiceba-ganviTareba moxdeba
da maTi Sesabamisi unarCvevebi susti darCeba.
- 20 -
praqtikulad advilad gansaxorcielebeli da maTematikaSi friad nayofieri diferencireba mzaobis
mixedviT: masw.avlebeli jgufebs zustad erTsadaimave ariTmetikul moqmedebas avalebs, oRond jgufebis
mixedviT: I. nivTieri TvalsaCinoebiT; II. sqematuri TvalsaCinoebiT, naxazebiT; III. ricxviTi
gamosaxulebebiT. samive jgufisTvis igulisxmeba Tanmxlebi logikuri msjeloba, anu moqmedebaTa sruli
gaxmovaneba. samive jgufi erTad, paralelurad waradgens namuSevars: erTis warmomadgeneli dafaze
ricxviT gamosaxulebebs wers, meore gverdiT xazavs sqemas, mesame ki win magidaze awyobs ricxvis
nivTier modelebs. ase moswavleebi TviTon aTvalsaCinoveben ricxviTi gamosaxulebebiT Catarebul
moqmedebebs, avseben erTmaneTis msjelobas.
aseve Zalian kargia meoregvari diferencireba: mTel klass kvlav arsebiTad erTidaigive davaleba _
teqstiani amocana _ eZleva, oRond: I. amocanas axlavs nimuSi, an instruqcia, an saWiro SekiTxvebis
dasawyisi... anda jgufs maswavlebeli exmareba saswavlo xaraCoebiT; II. amocana Cveulebrivadaa micemuli,
jgufi damoukideblad (an TiTqmis damoukideblad muSaobs); III. amocana aramarto unda amoxsnan, aramed
agreTve unda Seasrulon SemoqmedebiTi davaleba: amocanis garTuleba kidev erTi-ori moqmedebiT, an
nakluli monacemebis Sevseba, an piriqiT, Warbi (zedmeti) monacemebis moZebna, an msgavsi amocanis
Sedgena, romelSic Sekrebis nacvlad gamokleba iqneba saWiro, an yvela ricxvi wiladuri iqneba, an
unaSTo gayofis nacvlad naSTiani gayofa iqneba saWiro da sxva.
diferencirebis umartivesi saxeobaa maRali mzaobisa da aqtiuri moswavleebisTvis damatebiTi
davalebis micema rogorc klasSi, ise saSinaod (maT Soris uqme dReebze an ardadegebze). xolo dabali
mzaobis moswavleebisTvis: maswavlebeli calke erTad dasvams ramdenime yvelaze pasiur da dabali
mzaobis mqone moswavles da maTTan axlos imyofeba; sanam sxva moswavleebi SedarebiT Znel davalebebze
muSaoben, maswavlebeli ZiriTadi minimumis sakiTxebze amuSavebs dabali mzaobis jgufs da drodadro
exmareba mas.
dif. swavlebisTvis dauSvebelia : standartuli, erTtipuri davalebebi; mTeli klasis muSaoba sul
erT masalaze mxardaWeris gareSe; daZalebiT swavleba; bavSvis gansxvavebulobis gamokveTa;
individualuri saWiroebebisaTvis upiratesobis miniWeba jgufis saWiroebebTan SedarebiT;
individualuri programa yoveli moswavlisTvis klasSi _ Tumca saWiroebisas moswavlis individualuri
daxmareba diaxac rom aucilebelia.
Cveneuli meTodika da programa ise agebuli, rom kargad daakmayofilebs rogorc maRali, ise dabali
mzaobis mqone, agreTve gansakuTrebulad niWieri moswavlis saWiroebebs. am mxriv damatebiTi masalis
moZieba araa saWiro (`SSm~-Ta inkluziuri swavlebis sakiTxebs ar vexebiT).
$ 4.1. arCevanis Tavisufleba da gansxvavebuli molodinebi
sazogadod, dif. swavlebisTvis udidesi mniSvneloba aqvs saklaso aqtivobaTa Tu davalebaTa did
mravalferovnebas da davalebis arCevanis Tavisuflebas (maT Soris saSinao davalebaSi). moswavle aseve
Tavisuflad irCevs swavlis tempsa da saklaso aqtivobis formas. sxvadasxva tipis unarianobis mqone
moswavleebs Tav-TavianTTaTvis yvelaze Sesaferisi davalebis povnis saSualeba unda hqondeT. arCevanis
Tavisufleba aZlierebs moswavleTa Sinagan motivacias da xels uwyobs imas, rom swavleba TiToeuli
moswavlisTvis optimalur doneze mimdinareobdes.
maswavlebeli sagangebod uqmnis moswavleebs darwmunebulobas damoukideblobaSi. Sesabamisad,
moswavle swavlaze pirad pasuxismgeblobasac grZnobs.
amasTan, arc maswavlebeli, arc mSobeli da arc TviT moswavleebi ar unda moelodnen, rom yvela
moswavles yvelaferi erTnairad ecodineba da erTnairad maRali ganmsazRvreli Sefasebebi eqneba.
saWiroa sagangebo muSaoba im damokidebulebis Camoyalibebasa da damkvidrebaze, rom maTematikaSi dabali
qulebi moswavlis pirovnebis marcxs ki ar moswavebs, aramed mis Taviseburebas gviCvenebs. yvela adamiani
erTnairi ver iqneba. Cveni mizania, TiToeul moswavles saswavlo standartebis indikatorebidan
maqsimums mivaRwevinoT, mis SesaZleblobaTa da midrekilebaTa farglebSi . magram Tuki
TiToeul moswavles misTvis Sesaferis garemos, masalasa da temps ver davaxvedrebT, is sakuTar
SesaZleblobaTa meaTedsac ki ver ganaxorcielebs.
erTi moswavlis akademiuri ganviTarebis โsagzao rukaโ sxvebisgan gansxvavebulia. swavla did
Zalisxmevas moiTxovs, mniSvnelovan riskebs Seicavs da misi Sedegi didi pirovnuli gamarjveba unda
gaxdes. saswavlo garemo moswavles im azrs unda umkvidrebdes, rom warmateba mxolod bejiTi
mecadineobis, xangrZlivi Sromis Sedegad miiRweva (`niWieri, magram zarmaci~ _ Zalian mavne
- 21 -
stereotipia, SefasebaTa kargi sistema aseT stereotips aqarwylebs).
moswavlem konkurencia sakuTar Tavs unda gauwios _ da ara Tanatolebs.
$ 4.2. gamowvevebi da ganviTarebis uaxloesi zona
yvela asakSi gamowvevebi gonebriv SesaZleblobebs aviTarebs. diferencirebuli swavlebisas
ganviTareba mxolod warCinebuli bavSvebis xvedri rodia. amitom saSualo da saSualoze sust
moswavleebsac iseve sWirdebaT gamowvevebi, rogorc warCinebulebs.
Zalian mcdari da mavne damokidebulebaa gavrcelebuli: `am moswavles maTematika ar uyvars, isedac
pasiuri bavSvia, amitom mxolod standartuli amocanebiT davkmayofildeT~. anu _ saSualo moswavle
aRar ganvaviTaroT?
davalebebi frTxilad unda SevarCioT, radgan zedmetad Zneli amocanebi SfoTvas, gawbilebasa da,
sabolood, arasrulfasovnebis grZnobas iwvevs; zedmetad advil davalebaTa Sedegi ki mowyeniloba,
uinteresoba da sabolood isev arasrulfasovnebis grZnobaa, agreTve ganviTarebis Seferxeba. advili da
standartuli davalebebi mxolod arsebul unarCvevaTa ganmticebas iwvevs _ da ara ganviTarebas. kargi
gamowveva iseTi unda iyos, romelTan gasamklavebladac moswavles mniSvnelovani, magram ara uzomo
Zalisxmeva dasWirdeba, zomieri daZabviT . optimaluria davaleba, romelic moswavlis ganviTarebis
uaxloes zonaSia [l. vigotski] _ anu romelsac damoukideblad ver daZlevs, an Znelad daZlevs,
magram saswavlo xaraCoebis daxmarebiT ki daZlevs. swored ase iRebs moswavle maRal Sinagan
siamovnebas, rwmundeba sakuTar ZalebSi da aqtiur, gabedul, mxne pirovnebad yalibdeba.
im amocanam, romlis daZleva erT bavSvs eadvileba, meores SeiZleba far-xmali daayrevinos. da aseve:
is amocana, romelic erTi bavSvisTvis arafrismomcemia, meorisTvis karg gamowvevad SeiZleba iqces.
amiyomaa saWiro diferencireba mzaobis mixedviT. magram standartuli davaleba, romelic ZiriTadad
mexsierebazea damyarebuli, gamowvevad aravis gamoadgeba.
$ 4.3. dif. gakveTilis tipuri (Tumca ara erTaderTi da ara aucilebeli) sqema
$ 4.4. diferencirebis pirveli nabijebi
davamkvidroT diferenciaciis xelSemwyobi garemo _ romelic moswavleTa Sesabamis damokidebulebaTa
Camoyalibebas Seuwyobs xels (magaliTad: โbavSvebo, Tqven sxvadasxvanair davalebebs SeasrulebT
xolmeโ). bavSvebs, maTTvis gasagebi eniT, avuxsnaT, rom yvela adamiani gansxvavebulia, yvela
sxvadasxvanairad swavlobs, zogs ase urCevnia da zogs _ ise; zogi amaSia Zlieri da zogi _ imaSi;
aseve, yvelas raRaca gviWirs, sxvas ki swored es eadvileba.
saerTosaklaso, an
individ., an wyvi-
lebSi muSaoba _
mcire diferenci-
rebiT (SekiTxva-
davalebaTa miz-
nobrivi ganawi-
leba), an dife-
rencirebis gareSe.
moswavleTa ganawileba upiratesad
homogenur anu erTgvarovan
jgufebSi _ anu klasis
ganSreveba ;
jgufebisTvis gansxvavebul
davalebaTa micema, oRond
erTsadaimave Temaze (gansxvaveba
SeiZleba iyos siZnelis doneSi, an
sirTulis doneSi, an Sesrulebis
stilSi, an Sesasruleblad saWiro
wamyvan aqtivobaSi);
jgufebis muSaoba; amasTan,
maswavlebeli aqtiurad muSaobs
erT-erT jgufTan erTad _ misi
daxmarebis mizniT (swored esaa
dif. swavlebis jgufuri muSaobis
erT-erTi mTavari mizani).
Sedegebis saerTo-
saklaso Sejereba,
(prezentaciebi da
momdevno ganxilvebi araa
aucilebeli; ufro
metic, iSviaTad tardeba;
es araa Cveulebrivi
jgufuri muSaoba,
romelic swored
prezentacia-ganxilva-
SejamebiT unda
dagvirgvindes).
- 22 -
Cven zogjer vaxsenebT: `maRali (dabali) mzaobis mqone moswavle~, `pasiuri moswavle~ da sxva.
xSirad maT gansxvavebuli davalebebi eZleva. magram moswavleTa gasagonad dauSvebelia mzaobis donisa
da amasTan dakavSirebuli sakiTxebis xseneba. TviT moswavlem odnavadac ar unda igrZnos es! garda
amisa, es ar unda iqces moswavlis mudmiv maxasiaTeblad, radgan xSirad xdeba, rom bavSvi
TandaTan aumjobesebs Tavis miRwevebs! amis garda, xSirad moswavle erT gakveTilze da erTi
konkretuli TemisTvis dabali mzaobisaa, magram sxva gakveTilze da sxva konkretuli TemisTvis
_ maRali mzaobisa. sasurvelia mzaobis jgufebis Sedgenilobis xSiri cvla (mzaobis mixedviT
diferencirebis SesaniRbavi xrikebi aRwerilia proeqt `GPried~-is portalze www.kargiskola.ge).am kviraSi SearCieT erTi yvelaze warmatebuli da erTi yvelaze CamorCenili moswavle da romelime
erTi gakveTilis farglebSi TiToeuls gansxvavebuli amocana dausaxeT. es amocana rTulad misaRwevic
unda iyos da, amasTanave, realuric. ifiqreT, am aqtivobiT sxva moswavleebi ra sargebels naxaven.
Sedegad, aRmoaCenT, rom ganSrevebuli gakveTili ukve CagitarebiaT!
am kviraSive dagegmeT, moswavleebs asarCevad ra masalebs, davalebebs Tu Sesrulebis formatebs
SesTavazebT.
davamkvidroT saqmiani rutina. SevimuSavoT gegma, romlis mixedviTac yovel saswavlo dRes erTi da
imave ganrigiT warvmarTavT da davasrulebT saqmianobas. SevimuSavoT mkacrad gawerili ganrigi da wesi,
romlis mixedviTac moswavleebi ganaxorcieleben iseT rutinul aqtivobebs, rogoricaa mecadineobis
dawyeba, saklaso aqtivobaSi CarTva, saSinao davalebaTa Cawera da motana, rveulebisa da wignebis
gadaSla, kalmistrebis momarjveba, Semajamebeli wera or rigad an sxvagvarad, jgufebad gadasxdoma,
jgufuri samuSaoebi, samxari, sxvadasxva klasgareSe RonisZiebidan saklaso oTaxSi dabrunebis wesi,
masalebis darigeba da sxva. amiT mniSvnelovnad davzogavT drosa da Zal-Rones, aviridebT zedmet
xmaursa da daRlas. gulmodgined vaswavloT bavSvebs, rogor marTon sakuTari qceva.
daiwyeT TiToeuli moswavlis fsiqologiuri profilis Sedgena. SeagroveT informacia mis
Sesaxeb, gaarkvieT, ra sisusteebi axasiaTebs, raSia Zlieri da ra interesebi da midrekilebebi aqvs.
amisTvis gamoiyeneT: gakveTilebis ganmavlobaSi dakvirveba, dasvenebaTa ganmavlobaSi dakvirveba,
moswavlesTan gasaubreba, sadiagnostiko testirebis monacemebi, formaluri Sefasebis Sedegebi
(gamocdebi, Semajamebeli werebi), sxva maswavleblebTan da skolis sxva TanamSromlebTan saubari,
TanamSromloba mSoblebTan, moswavlis mier Sesrulebuli namuSevrebi an maTi aslebi Tu fotoebi... es
yovelive moswavlis portfolios Seadgens.
maswavleblisa da mSoblebis TanamSromloba moswavlis winsvlisaTvis uaRresad mniSvnelovania.
mSoblebs esec auxseniT da diferenciaciis safuZvlebic; mkafiod ganumarteT, raoden faseulia
TqvenTvis TiToeuli bavSvis individualuroba da unikaluroba. rodesac Cveulebriv, saklaso swavlebas
moswavlis individualur swavlebas daupirispirebT, mSoblebi naTlad xvdebian, rom maTi bavSvi
ubralod โkidev erTi, meTerTmete moswavleโ ki ar aris, aramed unikaluri pirovnebaa, romelic,
jerovani garemosa da waxalisebis pirobebSi, Tavis SesaZleblobaTa maqsimums miaRwevs.
$ 4.5. jgufuri muSaobis gamoyeneba
maswavleblisa da moswavlis Cveneul saxelmZRvaneloebSi aRwerilia gakveTilebi rogorc
tradiciuli (socialur unarCvevaTa ganviTarebaze fokusirebuli) jgufuri muSaobiT, ise ganSrevebuli
(diferencirebaze fokusirebuli) jgufuri muSaobiT. pirvelisgan gansxvavebiT, meoregvari jgufuri
muSaoba maqsimalurad gamartivebulia; misi Catareba yoveldRiuradac ki SeiZleba. erTaderTi SezRudva
isaa, rom jgufebi mcire unda iyos _ araumetes 5 wevrisa. samagierod, dasaSvebia jgufebSi wevrebis
raodenobaTa didi gansxvaveba. ufro metic, erT jgufSi rom 5 moswavlea, meoreSi SeiZleba 2 iyos, an
sulac 1 (anu zogi moswavle individualurad muSaobdes). es yovelive maswavleblis gadasawyvetia.
davaleba nebismieri SeiZleba _ maT Soris iseTic, romelic ar uSvebs samuSaos (rolebis) ganawilebas
da namdvil gundur muSaobas. diferencirebuli dajgufebis mizania ara srulfasovani gunduri muSaoba,
lideroba da prezentaciebi, aramed is, rom yovelma moswavlem miiRos misTvis Sesaferisi davaleba
da misTvis saWiro daxmareba maswavleblisgan (maT Soris _ nulovani daxmareba).
srulfasovani jgufuri muSaoba gulisxmobs namdvil gundur muSaobas: sagangebo dagegmviT,
resursebis momzadebiT, didi da rolebis danawilebadi davalebebiT, jgufebSi funqciebis ganawilebiT,
Semdeg namuSevrebis wardgeniT, saerTo SejamebiT, jgufebis muSaobis SefasebiT (sasurvelia,
maswavlebliseul Sefasebas win uswrebdes jgufebis urTierTSefaseba da TviTSefaseba; kidev ukeTesia,
- 23 -
Tuki es moxdeba rubrikebis mixedviT _ sagangebod momzadebul cxrilebSi). magram saqme isaa, rom
aseTi srulfasovani jgufuri muSaoba ZviradRirebulia, bevr dros saWiroebs (xSirad erTi gakveTilic
ki ar hyofnis), Sromatevadia da xSirad ver Catardeba. kargia mcire-mcire, xanmokle, arasrulfasovani
jgufuri (an wyviluri) muSaobani, romlebic, sasurvelia, xSirad Catardes (arc namuSevrebis wardgenaa
aucilebeli, maswavlebeli adgilzeve naxavs namuSevars da iqve miawvdis ukukavSirs). sul 5-10 wuTSi
SeiZleba moeswros: 1 wuTi mosawesrigeblad da davalebaTa misacemad (miT umetes, rom xSirad mTel
klass arsebiTad erTidaigive davaleba eZleva, romelic dafaze weria); 2-3 wuTi jgufebs samuSaod; 2-3
wuTi maswavleblisgan ukukavSirebis misaRebad; 1 wuTi _ maswavlebliseuli Sejameba. Tanac, Tuki
prezentaciebi araa, maSin arc isaa aucilebeli, rom jgufebma erTdroulad daasrulon muSaoba.
Cveneuli meTodikis mixedviT, gakveTilze mTavaria kargad dasmul SekiTxva-davalebaTa Tanwyoba.
mxolod amgvarad, interaqciulad, dialogurad Seiswavleba sakiTxi. amitom gegma-konspeqtebSi swored
saWiro SekiTxva-davalebaTa nimuSebia mocemuli. iqvea savaraudo da sasurveli pasuxebic, romlebic
figurul { } frCxilebSia Casmuli. Cven maswavlebels Zalian vuadvilebT muSaobas imiT, rom vawvdiT
dawvrilebiT ganmartebebs da, rac mTavaria, yvela gakveTilis gegma-konspeqts. magram saWiroa misi ga-
cocxleba [$ 8], SekiTxvebis gamravalferovneba da sxvadasxva moswavlisaTvis maTi dasma _ anu
diferencireba; klasis gaaqtiurebisa da gaxalisebis konkretul saSualebaTa gamoyeneba. erT-erTi aseTi
saSualebaa jgufuri muSaoba, romelic bavSvebs Zalian moswonT.
jgufur samuSaoTa sixSire da formati maswavlebelma Tavad SearCios, gaiTvaliswinos ra sakuTari
codna-gamocdileba da gemovneba, skolis SesaZleblobebi, klasSi moswavleTa raodenoba da sxva.
ar arsebobs araviTari wesebi jgufuri muSaobisas klasis danawilebis Sesaxeb. misaRebia yvelanairi
dajgufeba _ Tuki is maswavleblis mier dasaxul konkretul miznebs Seesabameba! Cven, magaliTad,
ufro xSirad viyenebT maswavleblis mier dagegmil aseT dajgufebas: I. ramdenime dabali
mzaobis mqone moswavle (Tundac 1 an 2, an 1 an 2 jgufi); II. saSualo mzaobis mqone moswavleebi _
erT, or Tu met jgufSi (klasSi moswavleTa raodenobis mixedviT); II. ramdenime maRali mzaobis
mqone moswavle (Tundac 1 an 2, an 1 an 2 jgufi).
III TavSi Cven aRwerili gvaqvs jgufuri muSaobis konkretuli nimuSebi mTeli gakveTilis gegmebTan
erTad. danarCeni ki masw.-ma Tavad moawyos _ gegma-konspeqtebis umravlesoba iseTia, rom advilad
SeiZleba maTi ganxorcieleba rogorc saerTosaklaso aqtivobis formatiT, ise jgufuri formatiT,
aRwerili nimuSebis magvarad _ maswavleblis survilisamebr. vTqvaT, magaliTad, gegma-konspeqtSi
mokledaa mocemuli:
ese igi ricxvebis Sedarebis konkretuli meTodika aRwerili yofila 46-e gakveTilis gegma-
konspeqtSi (46.2 _ meore sagakveTilo monakveTi); aqac igive unda gameordes. aq mocemulia Sedarebis
sami magaliTi. sasurvelia zustad am SedarebaTa Sesruleba, radgan Cven mraval rames viTvaliswinebT
(magaliTad: wina gakveTilebze iyo mrgvali aseulebis Sedareba, amitom axla sxvebia saWiro; momdevno
gakveTilze iqneba orniSna ricxvisa da samniSnas Sedareba, anda 1000-Tan Sedareba da sxva). Cveneuli
programa saaTiviTaa awyobili da misi nabijebis darRveva gaumarTlebelia.
magram saqme isaa, rom am sami Sedarebis Sesruleba SeiZleba xan saerTosaklaso muSaobiT (erTi
moswavle muSaobs dafasTan, sxvebi weren TavianT rveulebSi da Tan maT maswavlebeli usvams jvaredina
SekiTxvebs amave sakiTxze; Semdeg dafasTan sxva moswavle gadis...), xan ki _ jgufuri formatiT.
1. heterogenuri (Sereuli) jgufebi. klasi daiyofa 3 jgufad, daurigdebaT masala da miecemaT
davaleba jgufuri muSaobisTvis:
I jgufs: _ SeadareT: rvaas oTxmocdaaTi da rvaas ocdaTormeti; + ... ... (msgavsi wyvili)
II jgufs: _ SeadareT: samasi da xuTas oTxmocdaSvidi; + ... ... (msgavsi wyvili)
III jgufs: _ SeadareT: as samoci da oras samocdaaTi. + ... ... (msgavsi wyvili)
Semdeg namuSevrebs sajarod waradgens TiToeuli jgufis erT-erTi wevri. axsnis, rogor Seadares
50.2. sityvierad mocemul ricxvTa Sedareba 999-is farglebSi.
yvelaferi keTdeba iseve, rogorc 46.2-Si, Sedardeba:
as samoci da oras samocdaaTi; samasi da xuTas oTxmocdaSvidi;
rvaas oTxmocdaaTi da rvaas samocdaToTxmeti.
- 24 -
da daasabuTebs.
cxadia, es araa saintereso da srulfasovani gunduri muSaoba. maTematikaSi mxolod iSviaT sakiTxebs
miesadageba srulfasovani gunduri muSaoba (ufro xSirad esaa geometriasTan an monacemTa
damuSavebasTan dakavSirebuli sakiTxebi).
ganvixiloT heterogenuri jgufuri muSaobis kidev erTi, sxvagvari magaliTi (Tumca arc isaa
srulfasovani gunduri muSaoba _ aseTebis ramdenime nimuSi konkretuli klasebis saxelmZRvaneloebSia).
gazomvis an awonis Seswavlis Semdeg Zalian sasurvelia, rom klasSi Catardes xanmokle jgufuri
muSaoba: jgufebs gaunawildes asawoni nivTebi; sanam isini aTvaliereben am nivTebs, masw.-i dafaze
daxazavs wonebis cxrils:
jgufebi jer varaudebs gamoTqvamen,
Semdeg ki awonian. cxrili TandaTan
Seivseba. bolos maswavlebeli
Seajamebs, moswavleebs amsjelebs
imaze, Tu sxvadasxva jgufma ratom miiRo
sxvadasxva ricxvebi; ra yofila cdomileba. da aseve _ sigrZis, farTobis, moculobis Temebzec.
2. heterogenuri (Sereuli) jgufebi. klasi daiyofa mraval mcire jgufad, daurigdebaT masala da
yvelas miecema erTidaigive davaleba jgufuri muSaobisTvis: SeadareT: rvaas oTxmocdaaTi da
rvaas ocdaTormeti; samasi da xuTas oTxmocdaSvidi; as samoci da oras samocdaaTi.
oRond diferencirebiT: I jgufs: _ gamoiyeneT plastamisis modelebi (agur-svet-kedlebi);
II jgufs: _ daxazeT aseul-aTeul-erTeulis sqemebi;
III jgufs: _ CawereT saTanrigo SesakrebTa jamis gamosaxulebebi.
sxvagvari diferencireba _ saswavlo profilisa da interebis mixedviT. saerTo davalebaa teqstiani
amocanis Sedgena, romelSic gamoiyeneba aTasis farglebSi ricxvebis Sedareba. erTi jgufi _ cxovelebis
wonebze; meore _ sportze; mesame _ geometriul nakvTebze; ... ... damatebiT, maRali mzaobis wyvils
daevaleba, rom amocana iyos ormoqmedebiani: Sekreba (gamokleba) da mere Sedareba. an: amocanaSi unda
iyos Warbi (zedmeti) monacemebi, romlebic sxva jgufebma unda gamoicnon.
$ 4.6. diferencirebuli swavlebis xelisSemSleli mTavari faqtorebi
1. ganmaviTarebel SefasebaTa, maT Soris ganmaviTarebel testirebaTa sistemisa da tradiciis arqona.
2. mcdari azri, romelsac zogi mwvrTnelic ki icavs treningebze: rom TiTqos jgufuri muSaobis
dros moswavleTa dajgufeba mxolod heterogenuri (Sereuli) unda iyoso. dif. swavleba, piriqiT,
homogenur dajgufebas aniWeba upiratesobas.
3. mcdari azri, rom TiTqos jgufuri muSaobisas maswavlebeli ar unda Caerios jgufebis muSaobaSi.
dif. swavleba, piriqiT, moiTxovs, rom maswavlebeli aqtiurad unda Caerios dabali mzaobis jgufis
muSaobaSi da mis wevrebs swavlaSi daexmaros.
4. `meorexarisxovani sagnebis~ mavne stereotipi da Sesabamisi praqtika. arsebiTad ki xatvaSi niWieri
an adamianur urTierTobebSi niWieri bavSvi iseTive niWieria, rogorc _ logikur azrovnebaSi an
ariTmetikaSi niWieri; aseve, susti nebisyofis mqone bavSvi, romelsac yuradRebis mokreba uWirs, Tumca
sxarti azrovneba aqvs, aranakleb `uniWoa~, vidre is bavSvi, romelsac ucxo enebis Seswavla uWirs.
Tuki musikaSi viTvaliswinebT bavSvebis SemZleblobas, igive unda vqnaT sxva sagnebSic. xom uazroa, rom
yvela bavSvs movTxovoT qarTuli xalxuri cekvebis an `Sen xar venaxi~ sagaloblis Sesruleba (Tumca,
miRwevadi rom yofiliyo, brwyinvale iqneboda!); xom uazroa, rom yvela bavSvs movTxovoT mZleosnobaSi
III Tanrigis miRweva (Tumca, miRwevadi rom yofiliyo, brwyinvale iqneboda!); aseve uazroa is, rom yvela
moswavles movTxovoT or ucxo enaSi B1 donis miRweva an maTematikaSi logariTmebis Seswavla
(sazogadod, im maTematikisa, romelic scildeba saerTaSoriso standarts _ zogad unarTa maTematikas).
5. rogorc skolis, ise moswavlisa da misi ojaxis orientireba tradiciul niSnebze anu
ganmsazRvrel Sefasebebze (ganmsazRvrel SefasebaTa sistema ganmaviTarebel SefasebasTan unda iyos
Sewonili, unda emsaxurebodes mas da sazogadod moswavlis ganviTarebas).
6. gadatvirTuli saswavlo standartebi da orientireba `programis gavlaze~ _ da ara xarisxian
swavlaze. sazogadod, moswavleze orientirebulobis mxolod sityvieri gamocxadeba, praqtikaSi ki
umetesad ugulebelyofa _ imis daviwyeba, rom skola da maTematikaa moswavlisTvis da ara moswavlea
wigni msxali doqi larnaki ... ...
savaraudo wona
namdvili wona
gansxvaveba _
cdomileba
- 25 -
skolisa da maTematikisTvis!
$ 4.7. diferencirebuli swvleba da moswavleze orientirebuloba
moswavle yoveldRiurad unda grZnobdes, rom skola Cvenia, CvenTvisaa.
moswavles unda SeeZlos saWiro resursebis gamoyeneba (TvalsaCinoeba, cxrilebi, cnobarebi,
saxelmZRvaneloebi, sxva wignebi... Tuki teqnikurad SesaZlebelia, internetic), Tanac TiTqmis yovelTvis.
Semajamebel, TviT sagamocdo werazec ki iseTi davalebebi unda iyos, rom resursebis
Tavisufalma gamoyenebam saqme ar gaafuWos . gvaxsovdes, rom mecniersac ki naSromis werisas
mravalgvari resursis gamoyeneba sWirdeba!
davamkvidroT iseTi fsiqosocialuri garemo, romelSic moswavleebi daxmarebisTvis erTmaneTs
Tavisuflad mimarTaven. klasSi gamokruli iyos โdamxmareTa siaโ _ im moswavleTa, romlebic Tanaxmani
arian, Tanatolebs daexmaron, vTqvaT, maTematikaSi, qurTukis CacmaSi, kiTxvaSi, xatvaSi,
bunebismcodneobaSi, marTlweraSi... (cxadia, es aRar vrceldeba individualur samuSaoebze da
Sefasebebze).
skolaSi unda iyos adgili, sadac moswavles SeeZleba, moaTavsos werili Tavisi SekiTxviT,
SesaWiriT, sawuxariT, imediT, SexedulebiT... (survilisamebr _ anonimurad an daSifrulad). Semdeg ki
gulisxmieri pasuxi unda miiRos.
dauSvebelia yvela Temis gavla Tanabari tempiT; agreTve orientireba programis gavlaze da ara
TiToeuli moswavlis Sedegebze. rogorc ki gamovlindeba moswavlis codnis xarvezi, is unda gamoswor-
des damatebiTi muSaobiT (Tuki xarvezebi da CamorCena dagrovdeba, mere gacilebiT ufro Znelad dasaZ-
levi iqneba). saWiroa agreTve individualuri davalebani gansakuTrebul unarTa, niWis gansaviTareblad.
ganuwyveteli gulisyuri unda mivapyroT TiToeul moswavles _ da ara programis gavlas.
diferencirebuli swavlebisas amosavali wertilia moswavleTa codna-ganviTarebis mimdinare
done da ara saswavlo programis moTxovnebi .
Tuki moswavle, mizezTa gamo, CamorCa raime sakvanZo sakiTxSi, misTvis azri ar aqvs programaSi
winsvlas _ Tuki es CamorCena ar daiZlia. amgvar CamorCenaTa Cafarcxva gamoiwvevs am moswavlis
gariyvas saswavlo procesidan. xolo rodesac klasis umetesobas aqvs xarvezebi sakvanZo sakiTxebSi,
maSin saskolo swavleba uazro xdeba; ufro uaresic _ is moswavleTa ara ganviTarebas, aramed
daTrgunvasa da gulisacruebas iwvevs. moswavleze orientirebulobis ukugdeba _ `programis gavlis~
gulisTvis _ skolas yazarmad aqcevs.
yvela moswavle sagans erTnairad kargad ver iswavlis; magram aqedan ar gamomdinareobs, rom klasis
didma nawilma saswavlo standartebis is minimumic ver aiTvisos myarad da aqtiurad, romlis
aTvisebasac namdvilad SeZlebda ufro neli da ufro xarisxiani swavlebis pirobebSi.
saSinelebaa, absurdia, danaSaulia is, rac saqarTveloSi xdeba aTwleulTa ganmavlobaSi:
skoladamTavrebulTa 80 %-ma wiladi, procenti da diagramis Sedgena ar icis wesierad, am dros ki
viTom trigonometriul gantolebas aswavlian; ubralo erTgverdiani teqstis wakiTxva-gaazreba uWirs,
am dros ki viTom asjer ufro rTul teqstebs aswavlian yoveldRiurad; mzis sistemis agebuleba da
siCqaris gamoTvla ar icis wesierad, am dros ki viTom eleqtromagnitur velSi veqtorebs aswavlian;
guSindeli laSqrobis ambis gamarTulad werilobiT gadmocema uWirs, am dros ki viTom urTules
Rrmaazrovan Txzulebebs awerineben; ar icis, ra aris konstantinopoli, am dros ki viTom
istoriografiuli da kulturologiuli kvlevis meTodebs aswavlian; cocxali organizmebis ZiriTadi
klasifikacia ar icis, am dros ki viTom genetikis uaxles miRwevebs aswavlian... da arc is enaRvlebaT,
ainteresebs Tu ara da rameSi dasWirdeba Tu ara axalgazrdas es sakiTxebi.
moswavleze orientirebuloba, sabolood, saxelmwifoze orientirebulobacaa. RvTis madliT,
bavSvebis 90 % ibadeba jansaRi, wrfeli, gonieri da sikeTisken midrekili; maTgan saukeTeso moqalaqeebi
da kargi pirovnebebi aRizrdebodnen; magram maT ojaxi, skola da sazogadoeba (swored am
TanmimdevrobiT) amaxinjeben...
$ 5. gaRrmavebuli swavleba
`jobia, erTi sakiTxi vaswavloT aTi kuTxiT, vidre aTi sakiTxi vaswavloT erTi kuTxiT!~
[a. distervegi, pedagogikis klasikosi].
Cven mier damuSavebulia saskolo maTematikis gaRrmavebuli swavlebis erTiani kursi pirveli
- 26 -
klasidan ufros klasebamde. igi sxvadasxva klasebisa Tu safexurebis uwyvetobisa da urTierTgan-
viTarebis saukeTeso saSualebas qmnis. kursi saerTo xerxemalzea agebuli da ufrosi klasebis
sakiTxebi uwyveti ganviTarebiTaa miRebuli pirveli klasidan. es klasi gadabrunebuli wakveTili
piramidis mcire fuZesaviTaa, romelic Semdeg klasebSi ganiSleba da ganviTardeba. ese igi I klasSi
iwyeba im safuZvlebis damkvidreba, romlebsac unda daemyaros Semdgomi wlebis muSaoba.
mravalwlianma gamocdilebam dagvarwmuna: Tuki skolis damTavrebisaTvis kargi Sedegebis miReba
gvsurs, pirvelive klasidan unda daviwyoT namdvili maTematikis gaRrmavebuli swavleba, oRond, cxadia,
bavSvisaTvis misawvdom doneze da misTvis bunebrivi saxiT.
sapirispirod sayovelTaod gavrcelebuli Sexedulebisa, gaRrmavebuli (meoregvarad _
intensiuri) swavleba ar gulisxmobs programis gafarToebas da swavlebis aCqarebas (rac axasiaTebs
ara intensiur, aramed, piriqiT, eqstensiur swavlebas). gaRrmavebuli programa ver itans aCqarebas. is
Semofarglulia mxolod im sakiTxebiT, romelTa swavleba eswreba srulfasovnad, Rrmad, safuZvlianad
da mravalmxrivad. sakiTxi an ase iswavleba, an sul ar iswavleba. amasTan, upirvelesi mniSvneloba
eniWeba moswavlis rogorc saSemsruleblo, ise azrovnebis, damoukidebeli muSaobisa da kvlevis,
SemoqmedebiT unarCvevaTa ganviTarebas (magaliTisTvis ix. cilindris cnebis swavleba [Tavi III]).
gaRrmavebuli swavleba gulisxmobs ara saswavli Sinaarsis eqstensiur gafarToebas da tempis
aCqarebas, aramed piriqiT: saswavli Teoriuli sakiTxebis Semcirebas, tempis Senelebas da Rrma,
gaazrebul, intensiur swavlebas. naswavli unda Seesisxlxorcos moswavlis gonebas, unda gamoiwvios
gonebis Sinagani zrda, misi mravalmxrivi ganviTareba. Cven veswrafviT moswavlis aramarto zusti
maTematikur-logikuri azrovnebis ganviTarebas, aramed agreTve intuiciis, gumanis, mixvedrilobis
ganviTarebasac [$ 20].
dif. swavlebisa da sazogadod, yovelgvari kargi swavlebis mTavari winapirobaa swavlebis tempis
Seneleba, saswavlo programis moculobisa da sirTulis Semcireba da gaRrmavebuli swavleba.
vaswavloT cota, magram xarisxianad. yoveli sakiTxi an vaswavloT xarisxianad, an sul ar vaswavloT _
Tuki klasi misTvis mzad araa. ase moswavleebi sabolood gacilebiT ukeTes Sedegebs miaRweven.
aseve gvaxsovdes, rom gonebisTvis aucilebelia dasveneba da naswavlis โgadaxarSvaโ, mowesrigeba. nu
vcdilobT, rom mraval moswavles erTdroulad bevri ram vaswavloT _ bavSvis tvins ar ZaluZs
ganuwyveteli daZabuli muSaoba. Tanac rac ufro pataraa moswavle, mis tvins dasveneba miT ufro
xSirad sWirdeba. aqtiuri swavlisTvis โyoveli wuTisโ gamoyeneba ukuSedegs mogvcems. amitom
swavlisgan โdasvenebaโ xSirad swavlisTvis yvelaze mniSvnelovan periodad gvevlineba. amitomaa, rom
Cveneuli programiT I faza, rogorc wesi, winare dRes iwyeba [$ 9.1].
goneba naswavlis gadamuSavebas gakveTilis merec ganagrZobs. amitom Tuki gvsurs, rom miRebuli
codna moswavleebis gonebaSi Rrmad aRibeWdos, ar SeiZleba didi moculobis saswavlo programis
garbena. konstruqtivistuli swavleba sam fazas moiTxovs, es ki sammagi drois gareSe siyalbe iqneba.
miT umetes, Tuki blumis taqsonomiis II da III doneebis miRweva gvsurs.
$ 5.1. cnebaTa gaazreba
sakuTriv maTematikis gaRrmavebuli swavlebis arsebiTi maxasiaTebelia mTavari yuradRebis gadatana
manipulaciebidan cnebebisaken. es gansakuTrebiT mniSvnelovani V klasidan xdeba _ saSualod am asakidan
viTardeba logikur-cnebiTi azrovneba anu formaluri operaciebi [J. piaJe].
cxadia, dawyebiT klasebSi SeuZlebelia da uazrobaa marTla cnebaTa gaazreba. V klasSic ki es
mxolod Zalian SezRudulad Tu moxdeba. Tuki Cvens Sexedulebas fsiqologiurad zustad Camo-
vayalibebT, ase unda vTqvaT: I-IV klasebSi (xatobriv-asociaciuri azrovnebis anu konkretuli
operaciebis asakSi) bavSvs cnebebs ki ar vaazrebinebT, aramed vuqmniT am cnebebis Sesabamis xatobrivzogad warmodgenebs.
`saymawvilo maTematika~ Zalian did dros uTmpbs sakvanZo cnebebis _ TviT cnebebis! _ gaazrebas.
magaliTad: farTobis cneba; moculobis cneba; cilindris cneba [Tavi III] da wiladis cneba.
wiladis cneba albaT saskolo maTematikis `nomer pirveli~ cnebaa. misi ZirisZiramde gaazrebis
gareSe (swored cnebisa _ da ara wiladebze moqmedebebisa!) azri ara aqvs momdevno klasebis maTematikis
swavlas, iseve rogorc fizikisa, qimiisa, geografiuli masStabisa, welTaRricxvisa, statistikisa da
sxvaTa. Cven Semowmebuli gvaqvs: tradiciulad naswavl skoladamTavrebulebsac ki (maT daaxloebiT 70-
80 %-s) ar esmiT wiladis cneba. es yvelam SeiZleba Seamowmos, mag., amgvari advili amocaniT:
- 27 -
ezoSi xeebis 3/7 nawili kopitebia, amdenive _ Wadrebi. kidev ezoSi dgas 2 naZvi. sul ramdeni
xe dgas am ezoSi?
a) 4; b) 7; g) 8; d) 14; e)76
2 ; v)146
2 .
moswavleTa didi umravlesoba irCevs pasuxs e), anda, kidev uaresi _ v) (rac imis maCvenebelia, rom
wiladebis Sekrebis wesic ki ar icis). orive es pasuxi gviCvenebs, rom moswavles sruliad ar esmis, ra
aris wiladi; verc imas iazrebs, rom xeebis raodenoba ar SeiZleba wiladuri iyos! moswavlem uazrod,
meqanikurad Sekriba:76
2273
73
. am dros ki amoxsnas TiTqmis ar sWirdeba wiladebze
moqmedebaTa wesebi, saWiroa mxolod wiladis cnebis codna: 2 naZvi Seadgens ezos xeebis 1/7 nawils, ese
igi, ezoSi sul 14 xe mdgara. sul esaa, gantolebac ki zedmetia da am amocanisTvis gantolebis
Sedgena moswavlis saazrovno unarCvevaTa ganuviTareblobas moaswavebs [sxva magaliTebi $ 11-Sia].
maSasadame, tradiciuli swavlebiT ufrosklaselTa 80 % mainc, arsebiTad, fuWad dadis maTematikis,
fizikisa Tu qimiis gakveTilebze, radgan maT ar esmiT wiladi.
Cveneuli programiT, wiladi Semogvaqvs mxolod V klasSi; Tanac, sul mcire 10 saaTs vuTmobT
wiladis jer mxolod cnebas. V klasis ariTmetikis programa, arsebiTad, mxolod wiladebs eTmoba,
aTwiladebi jer naadrevia! marTlac, aTwiladi, arsebiTad, igive wiladia (maTematikurad _ racionaluri
ricxvi), oRond sxvagvarad Cawerili. Tuki moswavles bolomde ara aqvs gaazrebuli wiladis cneba,
wiladebis Sedareba da maTze ariTmetikuli moqmedebebi da ukve aTwiladebs vaswavliT, es niSnavs
Semdegs: CvenTvis mTavaria moqmedebaTa Sesruleba (rac aTwiladebze ufro advilia) _ da ara cnebis
gaazreba da azrovneba. anu, CvenTvis mTavaria, moswavlem kalkulatoriviT imuSaos uSecdomod _ da ara
is, rom wiladis arsi esmodes. marTlac, rogor SeiZleba bavSvma gaiazros aTwiladebze _ anu
sxvagvarad Caweril da kerZo saxis wiladebze moqmedebebi _ Tuki jer wiladebze ar gauazrebia? Tuki
moswavles azriT ar esmis, romelia meti _ 3/7 Tu 5/9, maSin ra dros aTwiladebze moqmedebebSi meqa-
nikuri gawafvaa? da, sazogadod, ra saWiroa, kalkulatoris saqmes esoden didi yuradReba rom
davuTmoT? Cven ar vambobT, rom moswavlisTvis zedmetia aTwiladebze moqmedebaTa codna, es zedmeti
araa, magram arc mTavaria! mTavaria wiladis cneba da wiladebze moqmedebaTa gaazreba (da aqac ara
gamoTvlebSi gawafva).
ariTmetikaSi mTavari isaa, rom manam, sanam moswavle ariTmetikuli moqmedebis Sesrulebas
daiwyebdes, jer TviT am moqmedebis arsi unda hqondes gaazrebuli. magaliTad, fuWia Tvla, sanam
moswavles raodenobis arsi ara aqvs gaazrebuli [$ 11]; fuWia `gamravlebis tabulis~ daswavla, sanam
moswavles TviT gamravlebis cneba ara aqvs gaazrebuli [$ 13]; aseve fuWia wiladebze da aTwiladebze
moqmedebebi, sanam wiladis cneba araa Rrmad da aqtiurad gaazrebuli.
$ 5.2. unarCvevaTa ganviTareba
blumiseuli taqsonimiis Sesabamisad, `gaazrebis~ Semdgomi done `gamoyeneba~ (unarCvevaTa ganmtkiceba-
gawafva da transfer-gadatana unda iyos).
Cveneuli midgomis erT-erTi ZiriTadi maxasiaTebelia gamudmebuli zrunva unarCvevaTa ganviTarebaze.ganaTlebulma adamianma ara mxolod unda icodes , aramed agreTve unda SeeZlos kidec. mTavaria
logikuri azrovnebis unarCvevebi. sxva mniSvnelovani unarCvevebia: kritikuli gaazrebisa; zusti
Tanmimdevruli moqmedebisa da amgvari moqmedebis zusti aRwerisa (algoriTmis Sesrulebisa da misi
Camoyalibebisa); informaciis moZiebis, gaazrebis, daxarisxebisa da sxvadasxvagvarad warmodgenisa;
sqemis Sedgenis, gaazrebisa da gamoyenebisa; amocanis pirobis kargad gaazrebisa; sivrciT mimarTebaTa
garkvevisa... mravali specialuri unarCvevacaa: zepiri Tu weriTi gamoTvlebisa; zomvisa Tu xazvisa da
sxva. zogadi Cvevebia: mecadineobisa da Sromisa, saqmis bolomde miyvanisa da sxva mravali.
maTematika da mSobliuri ena imitomaa sayovelTaod aRiarebuli umTavres saskolo sagnebad, rom
maTma swavlebam adamianis umniSvnelovanesi unarCvevebi unda Camoayalibos da ganaviTaros. es ki igivea,
rac pirovnebis namdvili aRzrda-ganviTareba. swored esaa mTavari _ da ara sakuTriv maTematikis codna!
zogadad es albaT yvelas moewoneba. magram saqme isaa, rom Tuki am mcnebis namdvili ganxorcieleba
gvsurs, unda SeveguoT imas, rom moswavles sakmao mecadineoba mouwevs. unarCvevis ganviTarebis
erTaderTi gza aris bevri damoukidebeli muSaoba da didi gamocdilebis dagroveba. amas
veraviTari meTodika Tu maswavleblis ostatoba ver Secvlis. oRond, cxadia, moswavlis es muSaoba
- 28 -
saTanado Sinaarsisa da mimarTulebisa unda iyos, asakobrivad Sesaferisi da mzaobisa da interes-
midrekilebis Sesabamisad morgebuli _ anu diferencirebuli _ ganmaviTarebeli SefasebiTa da Sinaganimotivaciis waxalisebiT. moswavles unda Seuyvardes maTematika, risTvisac maRal gonebriv siamovnebas
unda iRebdes winaaRmdegobis gadalaxviT, mixvedra-aRmoCeniT, axali codnis agebiT, Sinagani
ganviTarebiT. Cveni xangrZlivi praqtika gvidasturebs, rom es yovelive savsebiT SesaZlebelia.
amitomacaa Cveneul saxelmZRvaneloebSi Zalian mravlad sxvadasxvagvari amocanebi. Tanac, raime erTi
gvaris amocanebi mizandasaxulad meordeba, TandaTanobiTi garTulebiT, Tanac, wlebis ganmavlobaSi.
amocanaTa TiToeuli es Tanwyoba erT an ramdenime unarCvevas aviTarebs.
mravladaa agreTve grZelpirobiani kompleqsuri amocanebi _ romelTa amosaxsnelad ramdenime
sul sxvadasxva moqmedebis Catarebaa saWiro. magaliTad: daTvaleT, gazomeT da SeavseT cxrili;
daxazeT amaTuim saxis mravalkuTxedi, miniSneT misi umoklesi gverdi da masSi CaxazeT raime; daxazeT
cxrili da daajgufeT asoebi; aRwereT sityvierad; Tuki aqvs, CawereT + niSani, Tuki ar aqvs _
CawereT _ niSani da ase Semdeg. TiToeuli es davaleba Zalian advilia, Tumca, mTlianobaSi, amocana
sakmao Tanmimdevrulobas, yuradRebis mokrebasa da Zalisxmevas moiTxovs. magram saqme isaa, rom es
kompleqsuroba Tanmimdevrulia, anu Sedgeba ramdenime nabijisagan, romlebic cal-calke sruldeba.
moswavlem jer mxolod pirvel nabijs unda miaqcios yuradReba, Seasrulos igi, Semdeg daiviwyos da
momdevnoze gadavides, da ase Semdeg, ese igi, mas ar mouwevs erTdroulad ramdenime ramis keTeba (rac
Zalian Zneli iqneboda).
arsebiTad, esaa amocanebi algoriTmis (instruqciis) Sesrulebaze. moswavles maTze sakmao droisa da
Zalebis daxarjva mouwevs, Tanac, amiT maTematikis codnasac TiTqos bevri araferi emateba. samagierod,
amgvari amocanebi saukeTesod aviTarebs unarCvevebs. amgvari amocanebi Zalian mniSvnelovania, radgan xels
uwyobs moswavlis azrovnebis mowesrigebas da saSemsruleblo unarCvevaTa ganviTarebas. miT umetes, rom
amgvari amocanebis instruqciaSi (algoriTmis aRweraSi) CarTulia logikuri kavSirebi da kvantorebi:
Tuki, an, romelime, erT-erTi, erTaderTi, yoveli...
mTavaria, moswavlem gaigos, rom araa saWiro yvelaferze erTad fiqri: Seasrule jer erTi, Semdeg es
daiviwye da gadadi meoreze, Semdeg esec daiviwye da gadadi mesameze... ... Tanac, rogorc yvela sxva saxis
amocanebis jaWvedi, esec iwyeba jer Zalian advili, sul orbijiani algoriTmebiT.
meore mxriv, mravlad gvaqvs SemoqmedebiTi amocanebic.
$ 6. SemoqmedebiTi swavleba
`nu Semova aq nuravin, vinc ar icis maTematika!~
[warwera udidesi moazrovnisa da poetis _ platonis akademiis karibWis Tavze]
sazogadod, cudi swavlebis gamo xalxSi damkvidrebulia arsebiTad mcdari warmodgena maTematikaze _
TiTqos esaa raRac usaSvelod rTuli, usaSvelod mZime da usaSvelod mosawyeni, didi ricxvebi da
gauTavebeli gamoTvlebi, mkvdari formulebi da wesebi... sinamdvileSi ki yovelive didi da meqanikuri _ ara
adamianis SemoqmedebiTi gonebis, aramed kompiuterebis saqmea! adamianisTvis da gansakuTrebiT ki
ymawvilisaTvis maTematikaSi mTavari swored isaa, rom imoqmedos ara meqanikurad, aramed piriqiT _
gaazrebulad, SemoqmedebiTad, gabedulad _ rogorc moazrovne adamians ekadreba. ymawvili unda xedavdes
maTematikis Sinagan simwyobresa da silamazes _ rac mxolod daxvewili gonebis TvaliT dainaxeba.
rasakvirvelia, es yovelive ar gamoricxavs gamoTvlebisa da `Savi Sromis~ aucileblobas. iseve rogorc
adamianis sulis erT-erTi umSvenieresi Semoqmedeba _ musikac ki mxolod `Sav Sromaze~ damyarebiT
ifurCqneba.
Cveneuli meTodikis mixedviT maTematikis swavla miaxloebulia mecnierul SemoqmedebasTan, sakiTxebi
isea damuSavebuli, rom axali sakiTxis arss moswavle TiTqos TviTon ikvlevs da TviTonve aRmoaCens
Tu aagebs. mTeli Cveneuli kursi _ esaa amgvar ZiebaTa da aRmoCenaTa erTiani jaWvedi.
saamisod mTeli kursi daqucmacebulia mcire-mcire safexurebad, romelTa damoukideblad gavla
advilad SeuZlia saSualo mzaobis moswavles _ cxadia, Tuki mas gavlili aqvs wina gakveTilebi.
TiToeuli am safexuris gavlas moswavle Sesabamisi patara sakiTxis arsis aRmoCenamde da axali codnis
agebamde mihyavs da ase grZeldeba bolomde. amitom saxelmZRvaneloebis ZiriTadi nawilebi sakmaod
advilebia, gaTvlilia namdvil saSualo mzaobis moswavleze. magram saqme isaa, rom maRali mzaobis
moswavlisaTvisac ki am mcire-mcire kvleviTi safexurebis gavlas udidesi mniSvneloba aqvs _ Rrma
- 29 -
swavlisaTvis. misTvis agreTve SemoqmedebiTi da arastandartuli amocanebia mravlad.
yovelive zemoreTqmulidan cxadia, rom Cven gamovricxavT tradiciuli saskolo maTematikisTvis
damaxasiaTebel mankierebas _ moswavleTa mier sityvieri debulebebis (wesebis, gansazRvrebebisa Tu Teo-
remebis) gazuTxvas da Sesabamis moqmedebebSi meqanikur gawafvas. ufro xSirad umjobesia, moswavlem
sul ar icodes raime sakiTxi, vidre amgvarad icodes. mxolod namdvilad gaazrebul, kargad gagebul
codnas aqvs Rirebuleba. moswavles naTlad unda esmodes is, Tu ras ambobs da ra moqmedebas atarebs,
ratom ambobs ase da ratom moqmedebs ase. es kargad mowmdeba advili arastandartuli amocanebis
amoxsnisas. es amocanebi ar moicavs arcerT ucnob cnebasa Tu moqmedebas, arc Znelebia, magram amgvari
amocana moswavles jer ar amouxsnia. amitom didi mniSvneloba aqvs Tematikuri krebulebis amocanaTa
did mravalferovnebas.
`saymawvilo maTematika~ Sedgenilia sruliad axlebur safuZvlebze _ ise, rogorc bavSvis azrov-
nebisTvisaa ukeTesi. magram ufrosebisaTvis es xSirad uCveulo Cans. amitom mSobeli unda moeridos
saswavlo meTodikaSi Carevas maswavlebTan konsultaciis gareSe. mSoblebs gansakuTrebiT logikuri da
SemoqmedebiTi amocanebi examuSebaT.
Tumca Zalian kargia mSoblis saubari bavSvTan, rveulis daTvaliereba interesiT, SekiTxvebis dasma
da sxva. oRond es yovelive unda keTdebodes ara kritikiT, gajavrebiTa da ukmayofilo
gamometyvelebiT, aramed guliTadad da ganuxreli keTilganwyobiT. `aba Seni rveuli momitane!~ _ amas
unda ukavSirdebodes interesi, bavSvis yvela miRwevisa da kargi mxareebis gamokveTa, gaumjobesebis
gzebis erToblivad dasaxvasTan erTad.
bavSvma saSinao davalebaze damoukideblad unda imuSaos. sazogadod, `repetitoroba~ uaryofiTad
moqmedebs moswavlis azrovnebisa da Sromisunaris ganviTarebaze. mSoblis daxmareba saWiroa amgvari:
1) dasvas bavSvi samecadinod saTanado pirobebSi da yuradReba miaqcios, gulisyuriT mecadineobs Tu ara;
2) saWiroebisas bavSvs ganumartos ucnobi sityva;
3) mxolod aucileblobis SemTxvevaSi (Tuki bavSvi mizezTa gamo CamorCenilia saswavlo programas,
avadaa an gadaRlilia) daexmaros amocanis pirobis wakiTxvasa da gaazrebaSi.
4) ukidures SemTxvevaSi daexmaros moswavles amocanis amoxsnaSi, isic mxolod `saswavlo xaraCoebiT~.
mravali amocana sxvadasxva gzebiT amoixsneba, metic, marTebuli pasuxic ki SeiZleba ori an meti
hqondes. mSobelma Tu maswavlebelma araviTar SemTxvevaSi ar unda aRkveTos moswavleTa uCveulo,
gansxvavebuli pasuxebi _ aramarto logikur amocanebSi, aramed sazogadodac! maswavlebelma unda moi-
Txovos dasabuTeba: _ ratom? ratom fiqrob ase? _ da Tuki moswavle logikurad daasabuTebs Tavis
moulodnel pasuxs, maSin is Seqebisa da waxalisebis Rirsi iqneba! aseve, yovelnairad unda waxalisdes
amocanebis amoxsna gansxvavebuli gzebiT. xolo Tuki Semajamebeli werisas an testirebisas moswavlem
warmoaCina TavisTavadi (originaluri) azrovneba, oRond dasabuTebuli, da ara uniadago, Tuki miagno
raime moulodnel gzas _ mas amisTvis qula unda miematos (Tundac imave amocanaSi Secdoma hqondes)!
gansakuTrebiT unda waxalisdes moswavleTa SekiTxvebi (saswavlo programasTan dakavSirebuli), maT
Soris _ uCveulo, moulodneli SekiTxvebi.
maswavlebelma unda: acalos moswavleebs damoukidebeli fiqri (adrovos saSualod 5-8
wamamde), acalos msjeloba da muSaoba; Seikavos gamzadebuli pasuxebi da mxolod saswavlo
xaraCoebiT daexmaros moswavleebs; yovel sakiTxs miudges SemoqmedebiTad da aseve moiTxovos
moswavleebisaganac; waaxalisos moswavleTa SekiTxvebi, uazro da mcdari SekiTxvac ki ar
unda gakicxos; SekiTvis arc Cafarcxva-CaCumaTeba SeiZleba!
SeiZleba, zogjer moswavlem sakmaod moulodneli SekiTxva dasvas. magaliTad, erT gonier
pirvelklasels ukiTxavs, Tu ratom araa xuTkuTxedi iseTi mravalkuTxedi, romlis sami wvero erT
monakveTzea (cxadia, SekiTxva ase zogadad ki ar dausvams, aramed erTi konkretuli daxazuli
oTxkuTxedis Sesaxeb ikiTxa). aseTi SekiTxva, upirvelesad, maswavlebelma gansakuTrebiT unda Seaqos,
imis miuxedavad, rom TviTon ara aqvs gonivruli pasuxi. Semdeg, naCqarevad naTqvam cud pasuxs meore
dRes gacemuli gonivruli pasuxi sjobs. magaliTad: _ ase xom SeiZleboda, kidev erTi wveroc dagvesva(uCvenebs oTxkuTxedis naxazze, dafaze) da maSin veRar gavarkvevT, es nakvTi oTxkuTxedia, xuTkuTxedia,eqvskuTxedia Tu ramdenkuTxedia?! amitom aseTi wertilebi wveroebad ar iTvleba! wvero gverdis boloSiunda iyos, es ki sadaa? {gverdis SuaSi}. diax, wvero ar unda iyos gverdis SuaSi, unda iyos mxolod boloSi!
$ 6.1. saganTaSorisi kavSirebi
- 30 -
did yuradRebas vaqcevT maTematikis sxvadasxva dargis SekavSirebas: ariTmetika, algebra, planimetria,
stereometria, mxazvelobiTi geometria, topologia, grafTa Teoria, kombinatorika, simravleTa Teoria,
miaxloebiTi Sefasebani, statistika, modelireba... uaRresad mniSvnelovania statistika. didi xania,
mTelma ganviTarebulma msofliom gaacnobiera, rom saSualo aramaTematikosisTvis maTematikidan yvelaze
saWiroa swored statistika (cxadia, ubralo ariTmetikis Semdeg). statistikis mraval sakiTxs Seicavs
zogadi unarebis yvela testi da TiTqmis yoveldRiurad gazeTebSic ki qveyndeba statistikuri
monacemebi. statistikis sawyisebis codnis gareSe adamiani ver iqneba demokratiuli saxelmwifos
srulfasovani moqalaqe, radgan ver gaiazrebs arCevnebis procedurasa da Sedegebs. didi mniSvneloba
aqvs albaTur-statistikur codnas sazogadoebrivi movlenebis marTebulad Sesafaseblad, marTebuli
daskvnebis gamosatanad. adamiani, rogorc wesi, mcdarad, egocentrulad afasebs sazogadoebriv movlenasa
Tu xalxis ganwyobas, radganac, misdauneburad, mxolod sakuTari garemocva aqvs mxedvelobaSi. mag., esa
Tu is politikuri partia darwmunebulia, rom arCevnebSi 5%-ian zRurbls gadalaxavs da varaudobs
xmebis 10%-is mogrovebas, Tumca, sinamdvileSi, xmebis 0,5%-sac ki ver agrovebs. statistikuri
azrovnebis gareSe SeuZlebelia marTebuli daskvnis gamotana quCaSi miRebuli raime STabeWdilebidan,
eqstrasensuli movlenebis garCevidan da sxva. Cveulebriv Jurnalistsac ki sakmaod sWirdeba
statistikis sawyisebi.
maTematika _ garesamyaros Semecnebis (ufro zustad ki _ modelirebis) mZlavri saSualebaa.
maTematika saWiroa saskolo sabunebismetyvelo Tu humanitaruli sagnebis Tanamedrove doneze
Sesaswavlad; samyaros mecnieruli xedvis Camosayalibeblad.
cxadia, rom Tanamedrove informaciul xanaSi zogadsaganmanaTleblo skolis moswavleTa didi
umravlesobisaTvis informaciis daxarisxebisa da damuSavebis unarCvevebis kargi ganviTareba gacilebiT
ufro mniSvnelovania, vidre mTeli algebris, trigonometriisa da maTematikuri analizis codna _ anu
imisa, rac tradiciuli saskolo maTematikis albaT 80%-s Seadgens. es ukve TiTqmis mTelma msofliom
gaiazra da ganaxorciela kidec. magaliTad, j. bruners miaCnia, rom ganzogadebuli maTematikuri cnebebi-
dan skolaSi saswavleblad yvelaze mniSvnelovania sami _ ricxvi, zoma da albaToba.
meore aranakleb saWiro dargia logika. mas VI-VII klasamde TiTqmis ar sWirdeba specialuri
terminebi da Teoria. Tumca II klasidanve unda daiwyos Zlieri mizanmimarTuli muSaoba marTebuli
logikuri daskvnebis gamotanis unarTa gansaviTareblad.
ZiriTadi logikuri cnebebi yvelgan Tan sdevs maTematikas. amitom sakmaod gavrcelebulia azri, rom
logikis sagangebo swavleba araa saWiro, radganac igi TavisTavadac iswavleba maTematikis swavlebasTan
erTad. magram es azri Zalian mcdaria. rogorc gviCvenebs sagangebo gamokvlevebi, sazogadod maTematikis
Seswavla araa sakmarisi Tundac imisaTvis, rom axalgazrdas SeeZlos umartives geometriul Tu
ariTmetikul cnebaTa Soris zogadkerZoobis mimarTebaTa garkveva. ufro rTul logikur msjelobaze
xom laparakic zedmetia. logikis sakiTxebs sworedac rom sagangebo swavleba sWirdeba, riTac
arsebiTad amaRldeba moswavlis maTematikuri codnac da ufro metad ki _ misi zogadi azrovnebis done.
yvelaze mniSvnelovania maTematikisa da logikis integracia. amitom zogi sakiTxi sakuTriv
maTematikuri TvalsazrisiT SeiZleba ucnauri Candes!
mesame dargia kombinatorika (formulebis gareSe, praqtikulad, simravleTa TeoriasTan kavSirSi).
misi sawyisebis gareSe SeuZleblia mravali sayofacxovrebo da saxaliso amocanis amoxsna, SeuZleblia
ufros klasebSi albaTobis Teoriisa da maTematikuri statistikis sawyisebis swavla.
simravleTa Teoria kargad asuraTebs da aTvalsaCinoebs logikas, meores mxriv moswavlis mier maTi
SeTviseba myari safuZvelia sazogadod klasifikaciuri azrovnebis ganviTarebisaTvis, rac yovelgvari
mecnierebis umTavresi xerxemalia (Sedarebebi, xilul siWrelesa da mravalferovnebaSi movlenaTa Tu
saganTa ganTavseba jgufebSi, TiToeulisaTvis damaxasiaTebel TvisebaTa ganzogadoeba, arsebiTis
gamokveTa, zogadisa da kerZos dialeqtika, da sxva). logikisaTvis kargi sarbieli da sasuraTebulia
agreTve geometriac.
sxvadasxva mecnierebis dargebis swavlebac SekavSirebuli unda iyos erTmaneTTan. Cven mravlad gvaqvs
praqtikul-gamoyenebiTi da sxva dargebTan maTematikis damakavSirebeli amocanebi: bunebismcodneoba-
biologiasa Tu geografiasTan, fizikasa Tu astronomiasTan, qimiasa Tu teqnikasTan, ekonomikasa Tu
sociologiasTan, istoriasa Tu eTnografiasTan, kulturologiasa Tu xelovnebaTmcodneobasTan.
`saymawvilo maTematikaSi~ safuZvlianadaa damuSavebuli is gamoyenebiTi sakiTxebi, romlebic saskolo
- 31 -
sagnebSia Zalian mniSvnelovani: proporcia, masStabi, geografiuli koordinatebi, welTaRricxva, ritmi,
elifsi da sxva. elifsis cneba tradiciul saskolo maTematikaSi ugulebelyofilia, imis miuxedavad,
rom Zalian lamazi sakiTxia da mis gareSe mzis sistemis agebuleba ar gvecodineba. gvaqvs mcireodeni
sakiTxebi maTematikis istoridanac, cxadia, ara dasamaxsovreblad . Sesabamisi gakveTilebi
Zalian kargia teqstis gaazrebis unarCvevaTa gansaviTareblad [$ 6.2].
`saymawvilo maTematika~, miuxedavad esoden didi Sinaarseuli nairgvarobisa, mainc Sinaganad erTiania.
es siRrmiseuli erTianoba saerTo maTematikuri safuZvliTaa ganpirobebuli _ esaa logika da
simravleTa Teoria. garda amisa, sxvadasxva dargebi erTmaneTTan kavSirdeba damuSavebisa da gadmocemis
erTnairi xerxebiT, erTiani zogadi suliskveTebiTa da agreTve mravali dargTaSorisi sakiTxiT: rogorc
TeoriulebiT, aseve amocanebiT.
amgvarad agebul kurss kidev erTi didi upiratesoba aqvs: masSi gacilebiT naklebadaa specialur-
teqnikuri da sqolastikuri sakiTxebi, is gamoyenebiTi amocanebiTaa gajerebuli. amitom moswavles
naklebad uCndeba bunebrivi ukuqmedeba: _ raSi mWirdeba es yovelive, ratom unda vicode es?
Zalian kargia weliwadSi ramdenimejer proeqtis tipis aqtivobis Catareba.es yovelive kvalavs gzas SemoqmedebiTi azrovnebisaken, Rrma, cocxali, aqtiuri codnisaken. xolo
maTematikis, logikisa da wignierebis mWidrod SekavSirebuli swavleba Cveneuli kursis mTavari
Taviseburebaa [$ 6.2]. amis garda, yoveli klasisTvis Sedgenili gvaqvs maTematikisa da wignierebis
gaerTianebuli (integrirebuli) gakveTilebis dawvrilebiTi gegmebi [Tavi III].
$ 6.2. wakiTxulis gaazrebis unari
da `saymawvilo maTematikis~ mTavari siZnele
`saymawvilo maTematika~ araviTar SemTxvevaSi araa mxolod Zlieri moswavleebisaTvis. piriqiT,
Cveneul saxelmZRvaneloTa erT-erT umTavares Rirsebad is migvaCnia, rom ufros klasebSic ki
moswavleTa saSualod 60-70 % namdvilad Zlevs maTematikis saprogramo minimums, ganviTarebuli aqvs
zogadi gonebrivi unarebi da patiosani damoukidebeli muSaobis unarCvevebi, ar ejavreba maTematika
(tradiciuli meTodikiT momuSave klasebSi amgvar ufrosklaselTa wili 5-15 %-s Tu aRwevs _ nacvlad
Cveni 60-70 %-isa).
`saymawvilo maTematika~ savsebiT gasagebia da misawvdomia Cveulebrivi saSualo moswavlisaTvis.
moswavle mas damoukideblad kiTxulobs da esmis teqstis Sinaarsi.
amqveynad unaklo araferia. cxadia, `saymawvilo maTematikasac~ aqvs nakli. esaa is, rom swavleba
arsebiTadaa damyarebuli wignierebaze, gansakuTrebiT _ teqstis wakiTxvisa da gaazrebis unarze. erTimxriv, es kargia _ Cveni meTodikiT momuSave moswavleebs saukeTesod uviTardebaT es umniSvnelovanesi
unari (romelic, sxvaTa Soris, erT-erTi umTavresia zogad unarTa yvela saxis testSi). magram, meore
mxriv, did siZneleebs gviqmnis im bavSvebTan, romlebsac ar SeuZliaT kargad kiTxva. saqme isaa, rom
kiTxvis unaris Sinaganad ganpirobebuli daqveiTeba SeiZleba aRmoaCndes bavSvebis daaxloebiT 10-15
%-s. maTgan zogierTi gonebrivadac CamorCenilia, magram zogi gonebrivad saSualo an saSualoze maRali
ganviTarebisac kia. kiTxva ki mainc Zalian uWirT. mecnierebaSi Seswavlilia, rom wakiTxvis unaris
Sinagani CamorCena kanonzomierad araa dakavSirebuli saerTo gonebriv CamorCenilobasTan;
magram xSirad sakmaod dakavSirebulia nebelobiT unarTa ganviTarebis CamorCenasTan (sazogadod,
nebelobiTi monacemebi ufro mniSvnelovania, vidre gonebrivi; Zlieri moswavle iqneba is, romelic orive
am mxrivaa Zlieri; mxolod gonebis gamWriaxoba, mixvedriloba da kargi amTvisebloba araa
sakmarisi!). garda amisa, mravalia iseTi moswavle, romelsac kiTxva uWirs ara Sinagan mizezTa gamo,
aramed kiTxvis cudad swavlebis gamo. da kidev: ukanasknel xanebSi CvenSic gavrcelda wignierebisa da,
sazogadod, enobriv-gonebriv unarTa dauZinebeli mteri _ ekranze mijaWvuloba [$ 10.1]. yovelive amis
gamo mravladaa iseTi klasi, romelSic moswavleTa 30-40 % ver kiTxulobs wesierad. wakiTxulis
gaazrebaze xom laparakic zedmetia.
maSasadame, imisaTvis, raTa moswavlem SeZlos `saymawvilo maTematikiT~ swavla, mas normalurad unda
hqondes ganviTarebuli wera-kiTxvisa da wakiTxuli teqstis gaazrebis unarebi. roca gonebrivad
normalur moswavles uWirs `saymawvilo maTematikiT~ swavla, ver igebs mas da ver xsnis amocanebs _
amis mizezi, rogorc wesi, erTia: am moswavles Sida an gare mizezTa gamo daqveiTebuli aqvs wignierebis
unarebi. amgvari SemTxvevebi gacilebiT xSiria im klasebSi, romlebsac wina wlebSi Cveneuli saxelmZRva-
neloebiT ar uswavliaT da axla iwyeben pirvelad.
- 32 -
ra vqnaT? jobia gvian, vidre arasdroso. V klasi iqneba Tu IX, maswavlebelma pirvel rigSi unda
Seamowmos moswavleTa kiTxvis unari: gadaaSlevinos maT saxelmZRvanelo romelime axal gakveTilze da
daavalos teqstis xmamaRla wakiTxva. uceb gamoCndeba, romel moswavleebs uWirT kiTxva.
2) sityvis amokiTxvis sizusteze muSaoba _ yvela aso zustad da mkafiod unda warmoiTqvas.
moswavleTa (da zrdasrulTa) umravlesobas erTmaneTSi eSleba msgavsi bgeriTi Semadgenlobis mqone
sityvebi, mag.: erT-erTi \ erTaderTi, marTebuli \ marTobuli, miuwvevia \ miuRwevia,gamarTuli \ gamarTlebuli, gamkeTebeli \ gakeTebuli, ... xolo Tuki sityvebi
zustad araa amokiTxuli _ gaazrebaze, logikaze da maTematikazea saubari naadrevia.
3) gabmulad wakiTxva, ris gareSec azris gamotana SeuZlebelia.
4) sasveni niSnebis amokiTxva da saTanado intonaciiT wakiTxva. maT TiTqmis sul ugulebelyofen
rogorc kiTxvis, ise weris dros. gansakuTrebiT iCagreba mZime, orwertili da tire _ swored is
sasveni niSnebi, romlebic gadamwyvetia azris logikisaTvis. amitom moswavle unda mieCvios teqstis
wakiTxvisas sasveni niSnebis gacnobierebas, rac kiTxvisas mcire SeCerebebiT (azrobrivi pauzebiT) unda
gamovlindes. sasveni niSnebi teqstSi tyuilad ar weria, maT jerovani yuradRebis miqceva sWirdeba!
5) yvelaze mniSvnelovani _ wakiTxulis gaazreba. es teqstis wakiTxvisas marTebuli azrobrivi maxvi-
lebiT unda gamovilindes. arafrad varga Tundac zusti, magram meqanikur-monotonuri wakiTxva. mxatv-
ruli teqstebis wakiTxvisas ZiriTadad mxatvrul-grZnobiTi maxvilebia saWiro, samecniero teqstebis
wakiTxvisas ki _ logikur-azrobrivi maxvilebi. maxvili unda daesves im sityvas, romelic yvelaze
mniSvnelovani da arsebiTia logikuri Sinaarsis TvalsazrisiT, pauzebic azrianad unda gakeTdes.
amgvari savarjoSoebisTvis saukeTesoa gakveTilebi, romlebic maTematikis istoriis sakiTxebzea.
es xuTi safexuri unda damuSavdes ara mxolod teqstis wakiTxvisaTvis, aramed agreTve zepiri
metyvelebisa da werisTvis: sisrule, sizuste, intonacia da azri. maTematikis gakveTilebze es dafasTan
zepiri msjelobisas da Semajamebeli weris samsjelo amocanebis amoxsnis dros unda damuSavdes. araa
sakmarisi amocanis mxolod amoxsna anda Teoremis damtkiceba _ saWiroa kargad gamarTuli msjelobac.
amaze maswavlebelma sagangebod unda imuSaos _ ese igi, unda Seasworos, Caasworos, Seavsos, gamarTos,
daxvewos moswavlis zepiri Tu werilobiTi teqstebi. magram mxolod Sesworeba da Secdomis
gacnobiereba araa sakmarisi _ moswavlem aucilebelad Tavidan unda gaimeoros (zepirad Camoayalibos an
gadaweros) Sesworebul-daxvewili sruli teqsti.
swored amgvari muSaobiT viTardeba gonebrivi unarebi da azrovneba. swored esaa mTavari _ da ara
leqsisa Tu gramatikuli wesis gazepireba, formulis damaxsovreba, damtkicebis damaxsovreba da meore
dRes moyola da gamoTvla-gardaqmnebis sxapasxupiT keTeba. mTavaria ara programis gavla, aramed
moswavlis gonebis gamdidreba da ganviTareba, misi unarianobis, xelwifebis amaRleba.
amgvari savarjiSoebisaTvis araa sakmarisi mxolod qarTuli literaturis teqstebi, moswavle
abstraqtul-specialuri teqstebis wakiTxva-gaazrebasac da Seqmnasac unda mieCvios. amitom swored
maTematikis maswavlebelma swored maTematikis saxelmZRvanelo unda gamoiyenos. `saymawvilo
maTematikaSi~ mravladaa mozrdili teqstebi mkafio Sinagani logikuri ganviTarebiT (da Tan kargi qar-
TuliT dawerili), mravladaa amocanebi, romlebSic msjelobis gamarTva da maTematikuri teqstis Sevseba an
Seqmnaa saWiro, TviT axali amocanis mogonebisa da sityvieri Camoyalibebis CaTvliT.
amocana-davalebis yvela teqsti moswavleebma unda waikiTxon xmamaRla, oRond individualurad.
maswavlebelma unda daaxvewinos wakiTxvis sizuste, gamoTqmebi, intonacia, unda imuSaos wignierebis,
kerZod ki maTematikuri teqstebis wakiTxvis unarCvevaTa gansaviTareblad. erT dRes rom 2-3 moswavle
waikiTxavs, meore dRes sxva 2-3 waikiTxavs da ase Semdeg. Cveni wesia: arcerTi gakveTili xmamaRla
wakiTxvis gareSe! Tuki moswavles sazogadod teqstis wakiTxva uWirs, maswavlebelma wignierebis
aqtivobebi unda gamoiyenos: wyvilebSi wakiTxva, eqosebri wakiTxva da sxva [saTanado masala
ganTavsebulia proeqt `GPried~-is portalze www.kargiskola.ge].wignierebis aqtivobisTvis moswavlis saxelmZRvaneloSi mocemul yvela Teoriul teqsts viyenebT.
teqstis wakiTxva-gaazrebaSi gavarjiSebis garda, am aqtivobas meore mizanic aqvs _ zusti da bolomde
gamarTuli sityvieri Camoyalibebis, msjelobisa da dasabuTebis unarCvevaTa ganviTareba. zepirobisas
verc es unarCvevebi viTardeba da verc arsebiTi maTematikis Seswavla xdeba. esaa tradiciuli meTodikis
erT-erTi umTavresi mZime naklovaneba (sxva ramdenimes Soris).
`wesebis~ gazepirebaze sabolood unda vTqvaT uari! samagierod, ukve II klasSi moswavle
- 33 -
srulad unda axmovanebdes yovel moqmedebas: `aq mivuwere sxvaoba, meti yofila; amitom gavamravle... ~
maswavlebelma unda Caataros agreTve amocanis pirobis gaazrebis savarjiSoebi (romlebic Cveni
programiT II-III klasebSia). moswavlem waikiTxos romelime didteqstiani axali amocana (romlis amoxsna
sul ar gvainteresebs!) da Semdeg Camoayalibos cal-calke: ra aris mocemuli am amocanis pirobiT da
ras gvekiTxeba an ras gvavalebs amocana. imisaTvis, raTa moswavle pasuxze ar fiqrobdes, iseTi
amocana wavakiTxoT, romlis amosaxsnelad saWiro codna jer arc aqvs.
momdevno safexurze ki es ukve werilobiT unda Camoyalibdes _ pirobis sqematuri Canaweri.
wakiTxvisa da gaazrebis savarjiSoebs, rogorc wesi, gakveTilis II fazaSi vatarebT [$ 9.2].
maTematikis programaSi winsvla, cxadia, Seneldeba. magram maTematikaze gacilebiT ufro mniSvnelo-
vania wakiTxvisa da gaazrebis, wignierebis unarCvevaTa ganviTareba, rac mTeli ganaTlebis safuZvelia da
ris gareSec moswavle ver Caabarebs, kerZod, zogad unarTa tests. saTanado saklaso savarjiSoebi Tavi-
dan yoveldRiurad unda Catardes. Zalian sasurvelia, rom qarTulis maswavlebelmac mohkidos am saqmes
xeli. Semdeg ki maswavlebeli Tavad Seafasebs, Tu ramdenad SeiZleba am samuSaoTa gaiSviaTeba.
zog moswavles TiTqmis ar Seetyoba gaumjobeseba. maT albaT Sida mizezTa gamo uWirT kiTxva. riT
SeiZleba misi Svela _ jerjerobiT msoflio mecnierebaSic ki gadauWreli SesaWiria. maswavlebelma
es unda icodes da aseT moswavlesTan sxvagvari, individualuri midgoma moZebnos.
xolo danarCen moswavleebs met-naklebi tempiT da met-naklebi xarisxiT mainc ganuviTardebaT
wignierebis unarCvevebi. amis Semdeg ki `saymawvilo maTematika~ TviTon iqneba saukeTeso saSualeba am
unarCvevaTa Semdgomi Seunelebeli ganviTarebisaTvis!
$ 7. orientireba moswavlis cnobierebaze da istorizmis principi
am principis pirveli Semadgenelia bavSvis azrovnebis asakobrivi ganviTarebis kanonzomierebaTamkacri midevneba. es kanonzomierebebi pedagogikur fsiqologiaSia dadgenili (upirvelesad, J. piaJes
mier). im sakiTxebs (miuxedavad maTi sirTule-simartivisa), romlebic efuZneba Zlier abstraqtul
cnebebs, V klasis moswavle azrianad ver daeufleba. aseTi sakiTxebia, magaliTad: wrfe _ gansxvavebiT
monakveTisagan; kuTxe (maxvili, marTi, blagvi); masa (TiTqos moswavles esmodes gansxvaveba masasa da
wonas Soris!).
yovelive amas sulac ar ewinaaRmdegeba is, rom Cven pirvelive klasidan programa Sevsebuli gvaqvs
Tanamedrove maTematikis sxvadasxva dargebis saymawvilo SesavlebiT, romlebsac araviTari Teoria da
terminologia ar sWirdeba, moswavleebi maT praqtikul doneze daeuflebian _ saxaliso amocanebis
sagangebo TanwyobaTa meSveobiT.
amitomaa, rom Cveneuli saxelmZRvaneloebi Zalian mravalferovan amocanebs moicavs. Cven Zalian did
Secdomad miviCnevT dawyebiTi klasebis maTematikis dayvanas ariTmetikaze da angariSze da ufrosi
klasebisa _ algebraze. TviTon angariSSi Cven gacilebiT ufro did mniSvnelobas vaniWebT zepiri da
agreTve miaxloebiTi angariSis unarCvevaTa ganviTarebas, vidre weriTi angariSis wesebSi gawafvas. es
imitom, rom zepiri angariSi emyareba mainc ufro azrovnebas, xolo weriTi angariSi ki _ gazepirebul
meqanikur wesebs. zepiri angariSi Zlierad aviTarebs moswavlis maTematikur unarCvevs, Tanac
praqtikaSic ufro gamosadegia.
maTematika unda iyos cocxali, Sinaarsiani da mwyobri gonebiTi nageboba, romelic axalgazrdas
aRzrdis, erTi mxriv, Rrmad da zustad moazrovne adamianad, meore mxriv ki SeaiaraRebs mas
praqtikuli, teqnikuri Tu humanitaruli amocanebis gadaWrisaTvis saWiro aqtiuri codniT, saqmiani Tu
SemoqmedebiTi unarCvevebiT.
moswavleebs Tavidanve ar unda movTxovoT moqmedebaTa Sesrulebis wesebis an geometriul
gansazRvrebaTa sityvierad Camoyalibeba _ Tundac ara zepirad, aramed sakuTari sityvebiTac ki
(`imisaTvis, raTa ... saWiroa rom...~, anda ~... ewodeba iseT ...~). maT unda moeTxovebodeT mxolod Sesabamis
moqmedebaTa kargad floba da nakvTebis cnoba. xolo sityvieri msjeloba TandaTan unda ganviTardes. is
unda efuZnebodes moswavlis damoukidebel azrovnebas _ da araviTar SemTxvevaSi gazepirebulis
gaxsenebas. moswavle sakuTar azrs unda ayalibebdes. amis miRwevas ki mravalwliani Tanmimdevruli
muSaoba sWirdeba.
cnebebis gansazRvrebaTa, msjelobaTa Tu TeoremaTa sityvierad Camoyalibeba moswavleebs unda
moeTxovebodeT mxolod mas Semdeg, rac sagangebo amocanebis daxmarebiT iswavlian amas da gaiwafebian.
Tanac, yovelgvari sityvieri Camoyalibeba unda iyos ara gazepirebaze damyarebuli, aramed aucileblad
- 34 -
sakuTari sityvebiT, azrianad. Tuki raime arsebiTad ar iqneba swori an daakldeba _ es Seswordeba.
bunebrivia, rom bavSvi raimes daaklebs an arazustad ityvis _ magram mTavaria, rom is sakuTar azrs
ayalibebdes, da ara gazepirebuls.
zrdasrul adamiansac ki gacilebiT ufro eadvileba cnebisa Tu moqmedebis aqtiuri daufleba, vidre
saTanado sityvieri msjelobisa Tu gansazRvrebis Camoyalibeba. miT umetes asea bavSvisaTvis!
zusti sityvieri Camoyalibeba _ Zalian saWiro da namdvilad gansaviTarebeli unaria. magram es unari
TviTonaa mizani, TviTon saWiroebs aRmocenebasa da ganviTarebas [$ 6.2] _ da amitom dawyebiT klasebSi
is verafriT ver gamodgeba sxva ramis (maTematikis swavlis) sayrdenad!
`wesebis~ gazepirebaze sabolood unda vTqvaT uari!
humanisturi swavleba moiTxovs, rom didi yuradReba mieqces moswavlis Sinagan samyaros. es moicavs
rogorc moswavlis kerZo pirovnul Taviseburebebs, ise zogad asakobriv kanonzomierebebs. Sinagan
samyaros kidev erTi ganzomileba aqvs. esaa erovnuli Tavisebureba. eTnokulturul TaviseburebaTa
gaTvaliswinebas sul ufro da ufro didi mniSvneloba eniWeba pedagogikaSi.
TavisTavad cxadia, rom maTematikisaTvis saWiro sayofacxovrebo Tu sxva magaliTebi moswavlis
erovnuli kulturidan unda iyos SerCeuli.
moswavlis cnobierebaze orientirebasTan mWidrodaa dakavSirebuli istorizmis principi. mTavariais, Tu swavlis romeli gzaa bavSvis cnobierebisaTvis yvelaze bunebrivi. samwuxarod, xSirad es gza ar
emTxveva im gzas, romelic bunebrivi Cans Sesaswavli sagnis TvalsazrisiT. magaliTad, mecnieruli
geometriis TvalsazrisiT jer unda iswavlebodes kuTxe, Semdeg _ marTi kuTxe da Semdeg _
marTkuTxedi. magram fsiqologiurad es gza yovlad gaumarTlebelia.
ufro xSirad bavSvis (da sazogadod, adamianis) cnobierebisaTvis raime cnebis Seswavlis bunebrivi
gzaa is gza, romliTac istoriulad Seimecna kacobriobam es cneba (cxadia, moswavle Zalian
SemWidrovebulad da daCqarebulad gaivlis am gzas).
$ 8. fasilitatori maswavleblis muSaoba da interaqcia
maswavlebeli unda hgavdes ara solists, Tundac brwyinvales, romelsac moswavleTa gundi
aZlevs bans; da arc _ kompozitors, romelic nawarmoebs qmnis; unda hgavdes diriJors _
romelic ostaturad warmarTavs musikosTa aqtivobas, Tumca TviTon ar Cans.
fasilitatori _ warmmarTveli, damxmare, gamadvilebeli.
Cveni zogadi meTodikis mixedviT, gakveTilze mTavaria kargad dasmul SekiTxva-davalebaTa
Tanwyoba da, moswavlis Seferxebisas, saswavlo xaraCoebi. mxolod amgvarad, aqtiurad, Seiswavleba
sakiTxi. amitom gegma-konspeqtebSi swored saWiro SekiTxva-davalebaTa nimuSebia mocemuli.
Cven maswavlebels Zalian vuadvilebT muSaobas imiT, rom vawvdiT dawvrilebiT koncefcias, zogad
principebs, maTematikuri sakiTxebis ganmartebebs da, rac mTavaria, gakveTilebis gegma-konspeqtebs.
yvelaferi gasagebadaa dawerili. magram gegma-konspeqti mainc moklea da mSrali, Tan sqematuri _
raRacnairad gasaSualoebuli moswavlis Targze moWrili. amitom saWiroa misi morgeba yoveli kerZo
klasis yoveli kerZo gakveTilis cvalebadi viTarebisadmi, moswavleTa Taviseburebebisadmi _ sasurvelia
SeZlebisamebr meti diferencireba [$ 4]. garda amisa, rac mTavaria, saWiroa misi Sevseba da gacocxleba,
SekiTxvebis gamravalferovneba da sxvadasxva moswavlisaTvis maTi dasma. es yovelive ki erTpirovnulad
maswavleblis saqmea, romelSic saxelmZRvanelos avtori mxolod treningiT Tu daexmareba.
Cven maswavlebels mTlianad vaTavisuflebT meTodistis samuSaoebisagan da meTodikuri
Semoqmedebisagan; samagierod, metad vTxovT mas SemoqmedebiT midgomas TiToeuli moswavlisadmi, indi-
vidualurad. maswavlebeli karg diriJors unda hgavdes _ da ara dramaturgs. diriJors piesa
gamzadebuli eZleva, misi xelovneba da Semoqmedeba piesis Seqmna ki ar aris, aramed misi gacocxleba,
SemsrulebelTa fasilitacia da TiToeuli mayureblis gulamde SeRweva.
maswavleblis mTavari Semoqmedeba _ esaa diferencireba da ganmaviTarebeli Sefaseba.
ganvixiloT ramdenime magaliTi. vTqvaT, gegma-konspeqtSi mocemulia maswavleblis mier dasasmeli
SekiTxva da figurul frCxilebSi {} _ mosalodneli pasuxic: _ wiTlebis wilia meti Tu TeTrebisa?ratom? {metia TeTrebis wiTlebis wili, radgan 3/4 naxevarze metia, 2/5 ki _ naklebi}.
es mokle Canaweri moiTxovs gacocxlebasa da Sevsebas.
1. maswavlebelma SekiTxvis dasmisas xeliT unda miuTiTos anu TiTi unda daados TeTrebisa da
wiTlebis grovebs (anda am grovis Semcvlel naxazs, sqematur Canawersa da sxva) _ roca ityvis
- 35 -
`wiTlebis wili~ da `TeTrebisa~. sazogadod, maswavleblis xelebis moZraobas udidesi mniSvneloba aqvs
_ cocxali TvalsaCinoebisaTvis. maswavlebeli saubrisas ganuwyvetliv unda amoZravebdes xelebs
(cxadia, azrianad). man xelebis moZraobiT unda gaaTvalsaCinoos sxvadasxva sityvebi, magaliTad: `xazi~,`Zalian bevri~, `Semcirda~, `SevkriboT, SevaerToT~ da sxva. es yovelive Zalian mniSvnelovania.
2. akrZaluli unda iyos rogorc pasuxis wamoZaxeba, ise jgufuri, gunduri pasuxebic. vinc
wamoiZaxebs an Zalian xmaurobs, mas maswavlebelma ar unda aTqmevinos, misi pasuxi, Tundac marTebuli,
ugulebelyos. maswavleblis mier dasmul SekiTxvaze moswavleebma xeli unda awion. pasuxi ki mxolod
erTma unda gasces, mere, SesaZloa, meorem, mere _ mesamemac. magram rigrigobiT _ da ara erTad. gundur
pasuxebs azri ara aqvs!
3. davuSvaT, ramdenime moswavlem awia xeli. maswavlebelma erT-erTs unda aTqmevinos. romels? aq
gasaTvaliswinebelia ori ram: erTi is, rom SekiTxvebze pasuxebi daaxloebiT Tanabrad iyos xolme
moswavleebze ganawilebuli, ar unda moxdes ise, rom mxolod aqtiuri moswavleebi pasuxobdnen. meorec,
gasaTvaliswinebelia SekiTxvis siZnele. Tuki sakiTxi axalia, Tuki SekiTxva evristikul Ziebas
emsaxureba, maSin upiratesoba ufro maRali mzaobis moswavleebs unda mivakuTvnoT. pasiurebi albaT
isedac ar aweven xels. magram am Zneli sakiTxis garkvevis Semdeg maswavlebelma aucileblad kidev
erTxel unda hkiTxos swored dabali mzaobis an pasiur moswavles. maswavlebeli ar unda dakmayofil-
des erTi Zlieri moswavlis pasuxiT. odnav Secvlili saxiT igive SekiTxva unda uSualod dausvas
pasiur Tu dabali mzaobis moswavles: _ rati, aba axla Sen miTxari, ratomaa wiTlebis wili meti, vidreTeTrebisa? ara, Tqven ar gekiTxebiT, me ratis vkiTxe! acaleT, ratim icis da axla gvetyvis. aba, rati, rogoragvixsna zurikom? ...
xolo Tuki sakiTxi advilia, anda mravaljer Tqmulis morigi gameorebaa, maSin pasuxi, piriqiT,
dabali mzaobis anda pasiur moswavleebs unda vaTqmevinoT.
4. axla, vTqvaT, moswavlem gvipasuxa. maswavlebelma moiTxova dasabuTeba: `saidan ici?~, anda
`ratom?~ moswavlem axsna, magram SeeSala. an kidev: xSirad xdeba, rom moswavlis pasuxi sanaxevrod an
TiTqmis marTebuli kia, magram mainc raRac aklia. am SemTxvevaSic unda vaTqmevinoT sxvas, oRond Semdeg
marTebuli pasuxi aucileblad unda gavameorebinoT mas, visac SeeSala. Semdeg unda vkiTxoT kidev erTs
(magaliTad, SedarebiT pasiur moswavles), oRond cota sxvagvarad, magaliTad, ase: _ manana, axla Senmipasuxe, amaTgan romlis wilia meti? ratom? romeli wiladia meti? ratom? aba, daxaze wriuli diagrama daTvalsaCinod gviCvene!
Tanaklaselma axsnas _ da ara maswavlebelma!
Cven arsad ar vwerT, magram yvelgan vgulisxmobT, rom roca moswavles raimes pasuxi SeeSleba an
dafasTan gamosuli moswavle mTlad kargad ver Seasrulebs daxazvisa Tu grovebis dawyobis davalebas,
maswavlebeli ikiTxavs: _ aba daukvirdiT, rame xom ar SeSlia irines? rogor unda eTqva? (rogor undadaexaza?) xolo Sesworebisa Tu Sevsebis Semdeg Tavad irinemac unda gaimeoros marTebulad!
5. Cven arsad ar vwerT, magram yvelgan vgulisxmobT, rom moswavlis Seferxebisas saWiroa saswavlo
xaraCoebiT daxmareba: `dasawyisi kargia, magram mere ufro yuradRebiT!~; `Sen TviTon Seaswore, Sen amasSeZleb!~; `aba amas daukvirdi!~, `aq ase ratom giweria?~; `amis gasaadvileblad rogori naxazi ajobebs?~; `abaes sqema gamoiyene da naxe, ras miiReb!~; `es rom ase yofiliyo, maSin xom ... ~; an sxvagvari misaxvedrebeli
SekiTxva-miTiTeba, magaliTad: _ am aTwiladSi ra gavakeTeT Cven? {mZimis wanacvleba} hoda, ai, SexedeT, aq ramiviReT? {mTeli ricxvi} ese igi, Tavdapirveli aTwiladi rogor Secvlila? _ am aTwiladebis jami ristolia? wriuli diagramisTvis ki ... vin ityvis?
6. Tuki sakiTxi wina msjelobis saboloo daskvnas exeba, maSin moswavlem TviTon xmamaRla unda
waikiTxos Sesabamisi Teoriuli teqsti saxelmZRvanelodan. maswavlebeli zrunavs imaze, rom wakiTxva
iyos zusti. gabmuli, saTanado intonaciiT, sasveni niSnebis gaTvaliswinebiT da gaazrebiT. mere ki erTi-
or SekiTxvas dasvams teqstis gasaazreblad [$ 6.2]. Tuki daskvna wignSi ar weria, maSin maswavleblis
daxmarebiT ganviTarebul enobriv unarTa mqone moswavle Camoayalibebs: _ maSasadame, aTwiladebis Sedarebaufro advilia, vidre wiladebisa, magram es _ im SemTxvevaSi, Tuki wiladebi aTwiladebis saxiTaa Cawerili.aTwiladebis Sedareba mTeli ricxvebis Sedarebas hgavs. wriul diagramaze ki sidideebi TvalsaCinod Cans.
es yvelaferi unda gaakeTos maswavlebelma: SekiTxva-davalebis ganvrcoba, saTanado gamoTqmis SerCeva,
SekiTxva-davalebaTa kargad ganawileba, SekiTxvis formis Secvla da klasSi misi `datrialeba~,
pirisaxis gamometyvelebis Secvla Tu xelebis moZraoba, saswavlo xaraCoebi da ganzogadeba-Sejameba.
- 36 -
gegma-konspeqtebSi ki mSralad mocemulia mxolod erTi SekiTxva, viTarc ZiriTadi nimuSi: _ saidanviciT, rom es raodenoba ufro metia, vidre es? saxelmZRvaneloSi ufro metis dawera xom SeuZlebelia.
maswavlebels araviTar SemTxvevaSi ar unda daaviwydes, rom saWiroa SekiTxvis amgvarad
`datrialeba~. mxolod erTi SekiTxva da erTi pasuxi araa sakmarisi! gansakuTrebiT didxans unda
`itrialos~ axal an Znel sakiTxTan dakavSirebulma SekiTxvam.
SedarebiT wvrilman sakiTxebs ki arc `datrialeba~ sWirdeba da arc Sejameba. pirdapir gadavdivarT
gegma-konspeqtis momdevno SekiTxvaze. sazogadod, gegma-konspeqtze erTi Tvalis gadavlebiTac Cans, Tu
ramdenad yovlismomcveli da Tanmimdevrulia aqtiuri mzaobis meTodikis ganxorcieleba. rom maswavleb-
lis mier warmosaTqmel winadadebaTa umravlesoba _ kiTxviTi winadadebebia, romlebic klass SekiTxvas
usvams da gaazrebisken mouwodebs; danarCenTa umravlesoba _ brZanebiTi winadadebebebia, romlebic
klass raimes avalebs da moqmedebisaken mouwodebs (magaliTad: gadaSaleT rveuli, gamodi dafasTan,
SeavseT cxrili, pasuxi daasabuTeT, gamoTvlis TiToeuli nabiji axseniT da sxva); da mxolod Zalian
mcire nawilia TxrobiTi winadadebebi, romlebic klass pasiuri mosmenisa da damaxsovrebisken mouwo-
debs. rasakvirvelia, esec aucilebelia, magram Zalian mcire zomiT. isinic TiTqmis yovelTvis mas Semdeg
warmoiTqmis, rac Tavad moswavleebi ityvian. SesaZloa, arazustad, arasrulad, mouxeSavad _ magram
mainc ityvian ise, rom cxadi iqneba _ maT gaiges. maswavlebeli mxolod amis Semdeg ityvis TxrobiT wi-
nadadebas, romelic, arsebiTad, mxolod gaimeorebs, daadasturebs da daxvews moswavleTa mier naTqvams.
da esec _ Zalian xanmoklea, sul erTi-ori mokle winadadeba. maswavleblis Tundac erTwuTiani
monologi, sakiTxis `axsna~ Tu `ganvrcoba~ _ TiTqmis arsad araa.
saklaso dialogisa da interaqciis wesebi
1. rac SeiZleba cota mzamzareuli codna _ sasurvelia codnis umetesi nawili ZiriTadad moswavleTa
mier, kvleva-ZiebiT aigos; ufro zustad, maswavlebelma unda aagebinos moswavleebs saTanado
SekiTxvebis TanwyobiT.
2. dafiqrebuli. gaazrebuli pasuxebi _ SekiTxvis dasmis Semdeg moswavles sakmaod unda vadrovoT
(bunebiT nel moswavles 7-8 wamic ki sWirdeba xolme); ukeTesia dafiqrebis mere Tundac mcdari
pasuxi, vidre zereled wamosrolili marTebuli pasuxi.
3. viwyebT jer uadvilesi SekiTxvebiT da maT vusvamT yvelaze pasiur moswavleebs; aqtiurebma unda
icodnen, rom maTi jeric mova (Tuki ar wamoiZaxeben).
4. Tuki pasiur moswavles gauWirdeba, mas saswavlo xaraCos mivaSvelebT.
5. Tuki verc saswavlo xaraCo uSvelis, imave SekiTxvaze pasuxs vTxovT sxva moswavles (magram ara
yvelaze aqtiurebs).
6. marTebul pasuxs, saWiroebisamebr, maswavlebeli Seavsebs da daxvews da am saxiT gaameorebinebs
pirvel, pasiur moswavles.
7. msgavs advil SekiTxvas davusvamT sxva pasiur moswavles.
8. TandaTan gadavdivarT ufro Znel SekiTxvebze. saWiroebisamebr viyenebT saswavlo xaraCoebs.
9. Tuki SekiTxva iseTi aRmoCnda, rom masze pasuxi verc yvelaze maRali mzaobis moswavleebma SeZles,
verc saswavlo xaraCoebis daxmarebiT, ese igi, es maswavleblis anda saxelmZRvanelos Secdomaa: es
sakiTxi klasisTvis naadrevi yofila. am sakiTxis axsna ki ar unda daviwyoT, aramed unda gadavdoT
momdevno gakveTilisTvis. manamde ki klasi unda SevamzadoT: unda gavarkvioT, saWiro wina codnis
romeli ubnebi yofila gansamtkicebeli da swored maT ganmtkicebaze unda vimuSaoT. uamisod
saswavlo programaSi winsvla klasis moswavleTa umravlesobisTvis unayofo iqneba [$ 2].
sxvaTa Soris, maTematikis swavlisaTvisac saWiroa da Zalian didi ganmaviTarebel-aRmzdelobiTi
daniSnulebac aqvs imas, rom maswavlebelma aswavlos bavSvebs erTmaneTis mosmena. patarebs es uWirT,
magram TandaTan unda mivaCvioT.
maSasadame, yovel saswavlo sakiTxTan dakavSirebiT mocemuli gvaqvs SekiTxva-davalebaTa (mSrali da
mokle) nimuSebis mTliani Tanwyoba. ese igi, maswavlebelma ar unda gamotovos arcerTi am SekiTxva-
davalebaTagani _ mas romc miaCndes, rom romelime zedmetia. arc arsebiTi Secvlaa sasurveli. sazoga-
dod, rogorc iTqva zemore, maswavlebeli unda moeridos meTodikur xazebSi TviTnebur cvlilebaTa
Setanas. garda amisa, ar mivuTiTebT kidev erT rames. roca erToblivad ganixileba saSinao
davaleba, an klass miecema saweri, dasaxazi, dasaxati, dasaTvleli Tu sxva saklaso samuSao,
maswavlebelma sul merxebs Soris unda iaros da Tvalyuri adevnos muSaobas: ramdenad kargad
- 37 -
asruleben davalebas, rogor ukaviaT kalmistari Tu rogor xazaven, vinmes rame xom ar eSleba,
welSi xom ar ixrebian da sxva.
sazogadod, namdvili interaqcia, individualuri midgoma da ganmaviTarebeli Seafaseba ver ganxorci-
eldeba, Tuki maswavlebeli ar gadaeCveva gakveTilis centrSi anu dafasTan yofnas. pirvel rigSi man
Tavisi magida unda gawios sul gverdiT (Tuki centrSi udgas). gakveTili maswavlebelze
centrirebuli ar unda iyos. interaqciul gakveTilze maswavlebels dafasTan daaxloebiT
imdenive dro eZleva, ramdenic _ saSualod TiTo moswavles, anu ramdenime wuTi.
fasilitatorma maswavlebelma ase unda moaxerxos gakveTilis Catareba. dafasTan moswavleebi
unda amuSaos, misces ra maT mokle-mokle miTiTebebi da ukukavSirebi, TviTon ki am dros
merxebs Soris unda iyos da individualuri ukukavSirebi miawodos rigrigobiT TiToeul
moswavles. klasSi 40 moswavlec rom iyos, TiToeuls 1 wuTi mainc ergeba, raTa individualuri
ukukavSiri miiRos maswavleblisgan. maswavleblis samuSao adgili _ merxTanaa.
erTi, ori an sami moswavle dafaze wers, sxvebi maT nawers amowmeben da xelis aweviT (an,
ukeTesia _ `wiTel-mwvane SuqniSnebiT~) aniSneben, Tuki rames ar eTanxmebian, an sxva azris
gamoTqma surT; erTmaneTSi msjeloben, kamaToben, maswavlebeli mokle SekiTxva-miniSnebebiT
marTavs am dialogs, Tan erT-erTi moswavlis gverdiTaa da mas individualurad, Cumad awvdis
konkretul saqmian ukukavSirs.
maswavlebeli unda gadaeCvios agreTve upirovno, jgufur mimarTvebs: `bavSvebo, nu
xmaurobT~, `xom kargad gaigeT es sakiTxi?~ da misTana. es drois fuWi xarjvaa da zedmeti
xmauria klasSi. maswavlebelma yovel jerze konkretul moswavles unda mimarTos.
aseve gaumarTlebelia moswavleTa gunduri pasuxebi (garda, SesaZloa, TamaSis dros). SekiTxva
yovelTvis individualurad unda davusvaT moswavles (misi saxelis _ da ara gvaris _ dasaxelebiT!).
xolo roca SekiTxva daesmis mTel klass, maSin moswavleebma unda awion xeli da pasuxs ityvis
mxolod is, visac maswavlebeli miscems sityvas. wamoZaxebuli pasuxi, Tundac marTebuli,
ugulebelyofili iqneba. garda amisa, ufro xSirad moswavle pasuxobs adgilidan, fexze audgomlad.
saqme isaa, rom, ufro xSirad, dasmul SekiTxvaze mosalodneli pasuxebi moklea. am dros umjobesia,
rom moswavlem upasuxos adgilidan, swrafad, fexze audgomlad. miT umetes, roca pasuxoben sakuTari
rveulis an saxelmZRvanelos mixedviT da mas Tvali ar unda moswyviton. adgoma-dajdomas didi dro
miaqvs da xmaurs iwvevs, es Zalian arRvevs gakveTilis ritms, pasuxisas moswavle fexze unda adgas
mxolod maSin, roca grZeli msjeloba aqvs warmosaTqmeli _ rac Zalian iSviaTad xdeba.
rac ufro metad daemsgavseba gakveTili saqmian, samuSao saubars, miT ukeTesia!
amgvarad, maswavlebeli umetesad merxebs Soris dadis da Tan muSaobs, dafasTan ki iSviaTad
imyofeba. maswavlebeli unda moeridos leqtorisa da mentor-mqadageblis qcevebs. es Zalian iSviaTad
unda xdebodes, magaliTad, raime gansakuTrebul SemTxvevasTan dakavSirebiT (Tuki amgvari qceva
gaxSirdeba, igi gaufasurdeba).
meTodika isea agebuli, rom, Tuki maswavlebeli saguldagulod Seasrulebs gegma-konspeqtebis
miTiTebebs, kerZod, zemore aRwerili wesiT daamuSavebs yvela im SekiTxva-davalebas, romlebic gegma-
konspeqtebis udides nawils Seadgens, moswavle TavisTavad iswavlis, TviTon aagebs an aRmoaCens ra
axal codnas. Tanac, iswavlis namdvilad, anu gaRrmavebulad, aqtiuri codnis gaSinaganebiT.
swavlis saboloo nayofi unarCvevis ganviTarebaa. mis misaRwevad ki mTavaria meore rgoli, romelsac
Cveulebrivi, tradiciuli swavlebisas gaxseneba Caenacvleba.
rogorc vxedavT, Cveneuli meTodikiT erT sakiTxs sakmao ganxilva da msjeloba SeiZleba dasWirdes.
maswavleblis mier sakiTxis mokled axsna Cven gadatanili gvaqvs sul boloSi. arsebiTad, es arcaa
axsna. esaa moswavleTa mier aqtiurad garkveuli sakiTxis mxolod Sejameba da gamarTulad Camoyalibeba
_ raTa sakiTxis arsi ar Caikargos saerTo msjelobaSi. xolo winaswar maswavlebeli arafers ar xsnis.
Cveneuli meTodika gamoricxavs `gakveTilis axsnas~. maswavlebelma aqtiurad unda amuSaos klasi da Ta-
Tanaklaselisa da agreTve maswavlebelis mosmena dafiqreba, azrovneba, Zieba azris gaCena
azris sityvierad Camoyalibeba naTqvamis daxvewa, Sesworeba, Sevseba, azrobrivad da enobrivad
gamarTva sabolood ki _ unarCvevis ganviTareba, mcired _ damaxsovrebac.
- 38 -
vad moswavleebs aRmoaCeninos sakiTxis arsi. amisaTvis sakmarisia, rom man kargad Seasrulos da mxolod
gaacocxlos Cveneuli zogadi principebi da gegma-konspeqtebis konkretuli miTiTebebi.
xSirad moswavleebs sakiTxis arss aRmovaCeninebT ara gakveTilze, aramed saSinao davalebidan
sagangebo Semamzadebeli amocanebis amoxsnisas. oRond momdevno gakveTilze es amocanebi, cxadia,
erToblivad da interaqciulad gairCeva [$ 9.2].
amgvar muSaobas bevri dro da gaRrmavebuli swavleba sWirdeba [$ 5]. amitom maswavlebeli Zalian
unda gaufrTxildes sagakveTilo dros da ar daxarjos igi zedmet rameebze! kidev erTxel:
maswavlebels evaleba, rom gaacocxlos da `xorci Seasxas~ imas, rac mokled da mSraladaa mocemuli
gegma-konspeqtSi. xolo sakuTar monologebze (`gakveTilis axsnaze~ da sxva) drois daxarjva fuWia. ara
mxolod bavSvisaTvis, aramed, sazogadod, adamianisaTvis, bavSvisaTvis ki miT umetes _ gacilebiT ufro
nayofieria sakuTari azrovnebisa Tu grZnobis Sedegad warmoTqmuli ori sityva, vidre sxvisi
oci sityvis mosmena.
xSirad xdeba, rom maswavlebeli klass TiTqos kargad amuSavebs, moswavleebi aqtiuroben, pasuxoben
da sxva. magram es moCvenebiTi, zerele aqtiurobaa xolme. saqme isaa, rom xSirad moswavle ambobs,
arsebiTad, sxvis nafiqrsa Tu nagrZnobs. moswavle mxolod ixsenebs da imeorebs imas, rac sxvisgan
(kerZod, maswavleblisgan, ufrosebisgan, televizoridan) mousmenia. es ki sul sxvaa. nayofieria ara
ubralod sakuTari `ori sityva~, aramed, rac mTavaria, sakuTari azrovnebisa Tu grZnobis Sedegad
warmoTqmuli `ori sityva~! sxvisi (umjobesia, Tanaklaselis) naazrev-nagrZnobis gameorebas ki mxolod
maSin unda mivmarToT, roca Tavad moswavle ver gaumklavdeba sakiTxs _ ifiqrebs, Seecdeba, magram ver
SeZlebs. am dros is qvecnobierad mainc Semzadebulia sxvisi naTqvamis gasaTaviseblad _ swored imis
wyalobiT, rom winaswar ukve Tavad aqvs nafiqri. swored nafiqri _ da ara ganaxsenebi.
moswavleTa namdvili aqtiuroba _ esaa maTi damoukidebeli azrovneba, msjeloba, Zieba, kvleva,
mixvedra, Semoqmedeba, warmosaxva Tu grZnoba. maTi sakuTari, maTi nebelobisa da Zalisxmevis nayofi.
fasilitatori maswavlebeli mxolod krebis kargi TavmjdomaresaviTaa _ kargad da ostaturad
anawilebs SekiTxvebs da bolos gamarTulad da srulad Seajamebs daskvnas. xolo gakveTilis ZiriTadi
dro eTmoba Tavad moswavleTa msjelobas, moqmedebas, muSaobasa da sxva. oRond mxolod `krebis Tavm-
jdomareoba~ araa sakmarisi. maswavlebeli cotaTi mainc `fsiqologi~ unda iyos, raTa SeZlebisamebr
(ramdenadac saSualebas aZlevs klasSi moswavleTa raodenoba) ganaxorcielos individualuri midgoma,
diferencireba da ganmaviTarebeli Sefaseba. sul mcire, rac mas moieTxoveba am mxriv _ esaa
moswavleebis mzaobis donis mudmivi gaTvaliswineba da individualuri ukukavSirebi. da kidev _
maswavlebeli cotaTi mainc `msaxiobi~ unda iyos: qmediTad unda iyenebdes xelebis gamaTvalsaCinoebel
moZraobas, pirisaxis gamometyvelebasa da xmis mimoxras.
saswavli sagnis kargi maswavlebeli (aq ganvixilavT swored sagnis maswavleblobas _ da ara
aRmzrdel-damrigeblobas) _ esaa ZiriTadad `krebis kargi Tavmjdomare~, romelic, amasTan, cotaTi
`fsiqologia~ da cotaTi _ `msaxiobi~. swored esaa misi SemoqmedebiTi sarbieli. xolo sxva mxriv is
saukeTeso Semsrulebeli unda iyos _ zedmiwevniT da gulmodgined asrulebdes yvela meTodikur
miTiTebas. TviT sametyvelo sityva-terminebiTac ki ar unda gascdes gegma-konspeqtebs, ar unda ixmaros
is sityvebi, romlebic arabunebrivia bavSvisaTvis da namdvili qarTulisaTvis (magaliTad: konfliqturi,
funqcionirebs, problema ar maqvs, stabiluri, winaaRmdegobaSi moxvedi, pozicia, pozitiuri, situacia
da sxva mravali `sarevela~).
maswavlebelma SeZlebisamebr zusti terminebiT unda imetyvelos. moswavle, magaliTad, kubis karkass
uwodebs `kubs~, maswavlebeli ar Seusworebs, magram TviTon ityvis `kubis karkasi~. xolo saTamaSo
kubs SeiZleba `kubiki~ vuwodoT. maswavlebelma zustad unda ixmaros terminebi `Tanrigi~, `saTanrigo
Sesakrebi~, `gamosaxulebis mniSvneloba~ da sxva mravali [yvela dazustebulia II TavSi].
maswavlebels gauWirdeba uceb, sakuTari metyvelebis kvaldakval, gaarkvios, sityva Tu gamoTqma
ramdenad zustia maTematikurad da ramdenad kargia da bunebrivi mocemuli wlovanebis bavSvisaTvis.
amitom Cven mas advil gzas vTavazobT: ganuxrelad ganaxorcielos gegma-konspeqtebSi mocemuli ConCxi.
rogorc iTqva zemore, swored rom ganaxorcielos, anu `xorci Seasxas~, `gaacocxlos~.
axla CamovayaliboT isic, Tu ra ar unda iyos fasilitatori maswavlebeli. pirvel yovlisa, esaa
`mecnier-leqtori~: grZeli monologebiT, `mecnieruli~ terminebiT, maRalfardovanebiT. da agreTve _
`novator-meTodisti~. Cven yvelanairad mxars vuWerT maswavleblis novatorul meTodistur Ziebebsa da
- 39 -
Semoqmedebas, magram es unda xdebodes ara maswavleblobisas, aramed calke, skolidan Sin dabrunebisas _
Tuki eqneba amis dro, Zal-Rone da SesaZlebloba, Tanac, ara momdevno gakveTilisaTvis saWiro
Cveulebrivi momzadebis xarjze da arc Semajamebeli nawerebis saguldagulo gasworebis xarjze! maSin
es iqneba maswavleblis meore saqmianoba, `SeTavsebiT meore profesia~ _ mkvlevar-meTodistisa. amgvarma
maswavlebelma Tavisi namuSevari Cven unda mogvawodos. Cven amas yovelTvis madlierebiTa da
gulisyuriT vxvdebiT, erTad ganvixilavT, avwon-davwoniT da davsaxavT samoqmedo gegmasac. zogi
maswavlebeli ase Cveneuli saxelmZRvanelos saredaqcio sabWos wevric gamxdara (rac wignis ydazecaa
aRniSnuli). magram uamisod, naCqarevi, zerele da TviTneburi `novator-meTodistoba~ Zalian sarisko
ramea da ufro xSirad bavSvebisaTvis savalalod mTavrdeba.
xSirad Segvxvedria maswavlebeli, romelic `novatorobs~ da garegnulad gakveTilebs fuWi
zizilpipiloebiT amSvenebs. sinamdvileSi ki gaurbis an zereled asrulebs mis mTavar movaleobas _
yoveldRiur `Sav samuSaos~: saguldagulod moemzados gakveTilisaTvis, mowesrigebuli da momzadebuli
hqondes miznobrivi TvalsaCinoeba (da ara kedlebze samSvenisebad dakidebuli posterebi Tu suraTebi),
kargad gaasworos Semajamebeli namuSevrebi da moswavleebsac safuZvlianad gaasworebinos Secdomebi,
izrunos yoveli moswavlis codnasa Tu unarCvevebSi arsebul xarvezTa gamosasworeblad da sxva. erTi
sityviT, ruduneba icvleba zerele garegnuli zizilpipiloebiT, da Sedegic saTanadoa: moswavleTa
codna da unarCvevebic zerelea da zizilpipiloebiviT umaqnisi.
Cveneuli mrwamsiT, maswavleblis ostatobis umTavresi maCveneblebia:
1) `krebis Tavmjdomare~ _ ramdenad aaqtiurebs, aazrovnebs, damoukideblad amuSavebs moswavleebs,
ramdenad metad Canan moswavleebi da naklebad _ TviTon; ramdenad Tanabrad aZlevs sityvas sxvadasxva
moswavleebs. _ Tanac, ara mxolod erTi gakveTilis farglebSi. ese igi, maswavlebels isic unda
axsovdes, Tu romel moswavleebs alaparakebda Tu amuSavebda wina gakveTilze _ raTa axla sxvebs
dauTmos sarbieli. garda amisa, SekiTxvebis ganawilebisas unda gaiTvaliswinos TiToeuli moswavlis
Taviseburebani.
2) `Semsrulebeli~ _ ramdenad srulad da zustad asrulebs meTodikur saxelmZRvaneloTa
miTiTebebsa da gegmas; `ConCxs~ ramdenad kargad `asxmas xorcs~; ramdenad bolomde CaeZieba xarvezsa Tu
naklovanebas da ar miafuCeCebs mas.
3) `krebis Tavmjdomare~ _ ramdenad kargad iyenebs sagakveTilo dros, magaliTad: winaswar aqvs
Tu ara momzadebuli dafaze warwerebi da miznobrivi TvalsaCinoeba; roca erTi moswavle dafasTan ra-
imes akeTebs, sxvebi uqmad xom ar hyavs mocdenili da sxva; ramdenad inarCunebs saWiro ritms.
4) `fsiqologi~ _ ramdenad axerxebs individualuri midgomis ganxrocielebas, ramdenad axerxebs
imas, rom hqondes urTierToba calkeul moswavlesTan, romlis pirovnebasac udidesi pativiscemiTa da
siyvaruliT emsWvalvis, romlis Taviseburebebsac iTvaliswinebs da romelsac ar Cakargavs saerTo
usaxur `klasSi~.
5) `fsiqologi~ _ ramdenad axerxebs bavSvis cnobierebisaTvis bunebrivi samyaros Seqmnas da
ramdenad naklebad arRvevs mas mxolod zrdasruli adamianisaTvis naSandoblivi sxvadasxva sityviT,
azriT, qceviTa da sxva; ramdenad qmnis imis pirobebs, rom bavSvis cnobiereba gaRrmavdes, gamdidrdes;
Sinaganad, bunebrivad ganviTardes da gaifurCqnos, rogorc lamazi yvavilis kokori, sakuTari bunebrivi
niadagidan rom ikvebeba da izrdeba da jansaR nayofs gamoiRebs (romelic rogors SeZlebs!) _ da ara
ufrosTagan mosmenilis dagrovebiT gaberili da damZimebuli, rogorc xelovnuri sasuqebiT uxvad
napativebi da gafuyuli fuWyvavila, romlis nayofi garegnulad viTom lamazia, magram sinamdvileSi
futuro da ugemuria.
6) `msaxiobi-qarTveli~ _ rogoria misi metyveleba, gamoTqma, ramdenad gamarTuli, mdidari da
wminda qarTuliT metyvelebs.
7) `msaxiobi~ _ ramdenad kargad iyenebs xelebis gamomxatvel moZraobas, miTiTebebs, pirisaxis
gamometyvelebas, xmis mimoxrasa da sxva.
8) `Semsrulebeli~ _ ramdenad saguldagulod da xarisxianad asworebs da afasebs Semajamebel
namuSevrebs;
9) `mecnier-moazrovne~ _ ramdenad kargad esmis saswavli sagnis mecnieruli, logikuri da
SemoqmedebiTi mxareebi.
SeiZleba vinmes moeCvenos, rom Cven Zalian maRal moTxovnebs vuyenebT maswavlebels. es ase araa.
- 40 -
erTaderTi arsebiTi siZnele _ esaa zogi tradiciuli Cvevisgan gaTavisufleba da fasilitatoris
CvevaTa gamomuSaveba da ganmtkiceba. Cveneul moTxovnaTa `sanacvlod~ Cven maswavlebels vaTavisuflebT
sxva, gacilebiT ufro sapasuxismgeblo an rTuli movaleobebisgan: meTodikuri Ziebani da sakiTxis
damuSavebis formaTa da saSualebaTa mogoneba; damatebiTi amocanebis, TamaSebis, literaturisa Tu
TvalsaCinoebis moZieba; gakveTilis winaswari gegma-konspeqtis Sedgena da sxva. ukanasknel sakiTxTan
dakavSirebiT: Cven ar miviCnevT maswavleblis naklad, Tuki is gakveTilis ganmavlobaSi meTodikur
saxelmZRvanelos, gegma-konspeqtebs gamoiyenebs xolme. mravali wvrilmanis zepirad damaxsovreba Znelia
da araa saWiro.
maswavlebels magidaze edos an xelSi ekavos gadaSlili meTodikuri saxelmZRvanelo da
Caixedos xolme masSi, raTa araferi gamorCes. zogierTi saklaso TamaSis dros, anda dafasTan
magaliTisa Tu naxazis garCevisas, maswavlebelma pirdapir am wignidan waikiTxos saWiro magaliTebi Tu
debulebebi. xSirad ki moswavlis wignSi gadaikiTxos saWiro nawyveti.
sazogadod, maswavleblis muSaobaSi (iseve rogorc mecnierebaSi) cxra wilia ruduneba da Savi Sroma
da mxolod erTi wilia Semoqmedeba-STagoneba, sixaruli da xelovneba _ rac, Tanac, im cxra wilis
gareSe unayofo iqneba. magram, cxadia, es erTi wili aranakleb Zvirfasia, vidre danarCeni cxra wili!
sxvaTa Soris, amasve ukavSirdeba erTi Zalian mniSvnelovani zogadpedagogikuri sakiTxi.
saqarTveloSi metismetad mravladaa `Zalian niWieri, magram zarmaci~ adamianebi. winaT ase ar yofila,
qarTveli kaci, piriqiT, gamorCeulad Sromismoyvare iyo (amas ueWvelad amtkicebs Tundac qvaSi nakveTi
CuqurTmebi, aTasobiT xelnaweri da umaRles doneze ganviTarebuli meRvineoba). Cveni erovnuli
ubedureba isaa, rom, maxinjur garemoebaTa gamo, davSordiT Cvens namdvil znes (sxva mxrivac, da ara
mxolod Sromismoyvareobis mxriv). Cveneuli meTodika isea agebuli, rom `Zalian niWieri, magram
zarmaci~ moswavle karg Sedegebs verasdros miaRwevs. ramdeni mniSvnelobac aqvs gonebriv monacemebs,
imdenive mniSvneloba aqvs sibejiTesac. rogorc adamianis marjvena da marcxena xelebia. `Zalian niWieri,
magram zarmaci~ calxela adamians hgavs.
maswavlebelma Sefaseba unda daweros mxolod Sedegis anu naSromis mixedviT _ da ara imis
mixedviT, Tu ra `SeuZlia~ moswavles! zarmacs ufro metad `ar SeuZlia~, vidre saSualo gonebriv
monacemTa mqones! swored ufro sizarmace, vidre gonebriv monacemTa nakleboba, iwvevs siZneleebs
swavlaSi, saqmeSi da ufro metic, cxovrebaSi (da xSirad am siZneleTa gamo adamianis zneobac ki
fuWdeba, is Suriani da RvarZliani xdeba).
kidev erTxel: maswavlebeli afasebs moswavlis naSroms _ da ara mis pirovnebasa Tu
SesaZleblobebs. garda amisa, yovelad dauSvebelia qulebisa Tu komentarebis mikerZoebiT wera. yvelas
unda eweros is Sefaseba, romelsac imsaxurebs, yovelgvari siyalbis gareSe! uazro da fuWi
lmobierebiT bavSvs daTvur samsaxurs gavuwevT! yvela naSromSi unda aRmovaCinoT raime kargi da jer is
gamovkveToT. xolo zogadi rCeva tradiciulia: `SemdgomSi mets moindomeb da ukeTesi naSromi geqneba!~maswavlebels yovelTvis unda axsovdes, rom is _ moswavlis aRmzrdelicaa. xolo yoveli nayalbevi
Sefaseba _ sawamlavis TiTo wveTia, romelic ryvnis moswavlis suls. axalgazrda unda mieCvios
sakuTari gonebiT, sibejiTiTa da patiosani SromiT warmatebis mopovebas, sakuTari Zalebis rwmena unda
gamoumuSavdes da gergilianoba, Taosnoba ganuviTardes. es yovelive gacilebiT ufro mniSvnelovania,
vidre maTematikis codna.fasilitaciis tipuri Secdomebi
saerTosaklaso dialogis dros romeli moswavlec dafasTan msjelobs, maswavlebeli masTan midis
axlos; anda sulac dafasTan erTad dganan da amocanas ukirkiteben; am dros klasi sanaxevrod
mocdenilia, irRveva gakveTilis ritmi da iwyeba uwesrigoba.
amocana-davalebis teqsts maswavlebeli kiTxulobs xmamaRla [$ 6.2].
moswavlis Secdomaze ukmayofilebis gamoxatva (uxeS sityvebze xom laparakic zedmetia) _ moswavles
ar unda eSinodes Secdomisa [$ 4.7].
moswavlis Secdomis dauyovnebeli Sesworeba maswavleblis mier _ da ara sxva moswavlis mier,
msjelobiT.
azrovnebis gareSe moqmedebis mowoneba (magaliTad, sxapasxupiT pasuxisa da namuSevris warmoCenis
gareSe Cawikwikebuli rveulis mowoneba).
advili SekiTxvis micema Tu advili amocanis garCevis davaleba aqtiuri moswavlisaTvis.
pasiuri moswavlisTvis yuradRebis dakleba, bolomde argarkveva imisa, pasiurma moswavlem gaigo Tu
- 41 -
vera programuli (ara damatebiTi Zneli) sakiTxi.
teqstebis zepirad swavleba, anda, imis ugulebelyofa, rom moswavles sakiTxi zepirad aqvs naswavli
da kargad ar esmis.
roca msjelobisas moswavle winadadebas kargad ver gamarTavs, Semofargvla mxolod SesworebiT:
moswavlem SeiZleba kargad gaigo Tavisi xarvezi, Sesworebac gaigo, magram es araa sakmarisi _
moswavlem sakuTari piriT unda gaimeoros (anda, sakontrolo naweris gasworebisas _ sakuTari
xeliT unda gadaweros) Sesworebul-Sevsebuli winadadeba.
$ 9. gakveTilis msvleloba
Cveneuli meTodikiT, gakveTilze ar xdeba arc moswavlis mier gakveTilis moyola, arc
maswavlebelis mier axali masalis axsna da, Cveulebriv, arc saSinao davalebis micema (Tumca, wesia:
arcerTi dRe saSinao davalebis gareSe) [$ 9.2].
dawyebuli V klasidan, gakveTilis agebuleba icvleba, martivdeba. es cvlileba imiTaa gamowveuli,
rom V klasidan ZiriTadi saprogramo xazis gavla emyareba ara maswavlebelis mier warmarTul
sagangebo saklaso samuSaoebs (rogorc iyo I-IV klasebSi), aramed moswavlis saxelmZRvanelos. V
klasamde moswavlisaTvis misi saxelmZRvanelo iyo, arsebiTad, mxolod amocanebis krebuli
(gakveTilebad da paragrafebad dalagebuli), xolo swavleba emyareboda maswavlebelis meTodikur
saxelmZRvaneloSi aRweril saklaso samuSaoebs. V klasidan moswavle ukve sakmaod momwifebulia (unda
iyos sakmaod momwifebuli) saimisod, rom damoukideblad SeZlos advili Teoriuli teqstebis wakiTxva
da am teqstebiT swavla (cxadia, winsvlis Zalian neli tempiT, anu Zalian mcire-mcire nabijebiT).
yovelive amis gamo V klasidan maswavlebelis muSaoba SedarebiT gaadvilebulia. es
gansxvaveba imiTaa gamowveuli, rom Cveneuli meTodika bolomde interaqciulia da moswavle sakuTari
aqtiurobiT swavlobs; dawyebiT klasebSi saSualo moswavlis unari teqstis wakiTxvisa da gaazrebisa
araa imdenad ganviTarebuli, rom SemecnebiTi aqtiuroba mas daemyaros. amitom mTavaria saklaso
aqtivobebi, romlebsac moswavlis saxelmZRvanelo mxolod nawilobriv exmareba, ZiriTadad ki
maswavlebelis kiserzea (Tumca dawvrilebiTaa aRwerili meTodikur saxelmZRvaneloSi). yvelaze metad
es pirvel klasSia, mere da mere ki TandaTan moswavlis saxelmZRvaneloze meti datvirTva gadadis.
xolo V klasidan ukve TiTqmis mTel datvirTvas moswavlis saxelmZRvanelo iRebs Tavis Tavze
(vgulisxmobT, rom moswavles ukve xelewifeba teqstis damoukideblad wakiTxva da gaazreba [$ 6.2]).
$ 9.1. gakveTilis pirveli faza; amocanebis erToblivi garCeva
gakveTilis I faza yvelaze xangrZlivia _ 20-30 wuTi (gaaCnia amocanebs). is saSinao davalebis
garCevas eTmoba. swored am dros swavlobs moswavle sakiTxs _ ara maswavlebelis mier axsniT, aramed
aqtiurad. TviTon saxelmZRvaneloa ise agebuli da iseTi meTodikiT gamarTuli (rac avtoris saqmea),
rom misi gaazrebuli damuSaveba sruliad sakmarisia saswavlo programis aqtiurad, cocxlad,
Sinaarsianad da Rrmad SesaTviseblad. maSasadame, maswavlebelis amocanaa, rom moswavleebs
daamuSavebinos da gaaazrebinos saxelmZRvanelo, misi Teoriuli teqstebiTa da ZiriTadi amocanebiT
(rogorc yvela Cveneul saxelmZRvaneloSi, yvela amocanis amoxsna Tu gaazreba yvela moswavles ar
moeTxoveba [$ 4]). gakveTilis es pirveli sagakveTilo monakveTi, rogorc wesi, saSinao davalebis
dawvrilebiT erTobliv garCevas eTmoba. moswavleTa umravlesoba, bunebrivia, cdilobs, rom Tavisi azri
gamoTqvas, Tundac sul cotaTi gansxvavebuli ram eweros, mainc. Cveneuli meTodika Zalze aaqtiurebs
moswavleebs da es Zalian kargia. amitom maswavlebeli yuradRebiT unda iyos, raTa erTobliv
msjelobaSi metismetad bevri dro ar gaeparos. maSin saklaso samuSaoebi an TamaSi veRar moeswreba.
Zneli amocanebis dawvrilebiT garCevas im donemde, rom dabali mzaobis moswavlemac gaiazros isini,
azri ara aqvs. dabali mzaobis moswavlem kargad unda gaiazros gakveTilis ZiriTadi sakiTxebi da amoca-
nebis naxevari mainc. saamisod zogjer saWiroa xolme saSinao davalebis romelime amocanis saxesxvaobis,
paraleluri amocanis damatebiT amoxsna. es saxesxvaoba maswavlebelma Tematikuri krebulidan
SeiZleba aarCios, anda TviTonac Seadginos paraleluri amocana (garCeuli amocanis pirobaSi ricxvebisa
da araarsebiTi monacemebis SecvliT). xolo sxva SemTxvevaSi Tuki moswavles ara aqvs Sesrulebuli
saSinao davalebis amocana, is klasSi unda daweros _ am amocanis erToblivi garCevisas.
saSinao davalebis garCevisas yvela moswavles kalmistari unda ekavos xelSi da iqve avsebdes Tu
asworebdes namuSevars, an sul axali striqonidan Tavidan werdes rames (nawerSive rom ar CaaWuWynos).
- 42 -
xolo maswavlebelma merxebs Soris unda iaros da namuSevrebs gadaxedos. magram amisaTvis calke drois
daxarjva araa saWiro! Tan unda daiwyos davalebaTa ganxilva, ori moswavle dafasTan wers # 1
amocanis Sesabamisad I da II qveamocanas, maswavlebelic saWiroebisamebr CaerTveba xolme msjelobaSi _
mokle SekiTxva-miniSnebebiT; Tan merxebs Soris ivlis da moswavleTa namuSevrebs daaTvalierebs.
yovel gakveTilze maswavlebeli unda mivides TiToeul moswavlesTan, erTierTze, cota xniT mainc
gaesaubros mas piradad _ miawodos ukukavSiri [$ 3.1] konkretulad Seuqos an muTiTos xarvezze.
vTqvaT, TiToeul moswavlesTan saSualod naxevari wuTiT SeCerdeba. cxadia, saSinao davalebis yvela
amocanis Semowmeba SeuZlebelia, magram maswavlebelma mainc unda gadaxedos namuSevars da raime Tqvas,
Seaqos moswavle ara zogadad, aramed konkretulad aRniSnos is, rac mosawonia; moswavlis
rveulSive zustad saWiro adgilas wiTlad dasvas + niSani, an mzisa Tu varskvlavis niSani. ese igi
moswavlem zustad unda icodes, Tu konkretulad ra mouwona maswavlebelma. am dros arc arafris
Tqmaa aucilebeli _ rveulSi saTanado adgilas dasmuli wiTeli niSani bavSvisTvis ufro
mravlismTqmelia. diferencirebuli swavlebis Sesabamisad, dabali mzaobis moswavles SeiZleba
marTebulad Sesrulebuli standartuli gamoTvla, Sevsebuli cxrili an naxazi movuwonoT; xolo
maRali mzaobis moswavles ufro SemoqmedebiT mignebas movuwonebT. nawerSi moswavlis mier gaxsenebuli
erTi sxartad naxmari sityvac ki SeiZleba wiTlad SemovxazoT da sxvebis gasagonad xmamaRlac
gavimeoroT saTanado fraza. anda moswavlis rveuli avwioT da mTel klass vaCvenoT: `ai, ra lamazinaxazi aqvs!~ zogjer vityviT: `mzias es amocana raRac ucnaurad, sainteresod amouxsnia, aba vnaxoT, ragaakeTa!~ _ mzia dafasTan gava da Tavis amoxsnas dawers, an Tavis saintereso naxazs daxazavs. aseTiwaxaliseba gansakuTrebiT dabali mzaobis moswavleebs sWirdebaT.
maswavlebliseuli wiTeli naweri mxolod SecdomasTan ar unda iyos asocirebuli, wiTeli
feri jer mowonebis feri unda gaxdes. zogadad ki is konkretuli ukukavSiris aRmniSvneli unda
iyos. wiTlad aWrelebuli Semajamebeli naweri maswavleblis did yuradRebas gamoxatavs _ da
ara sayvedurebisa da Secdomebis simravles.
amis Semdeg maswavlebelma TvalSi moxvedrili xarvezi Seasworos moswavlis rveulSi. Tan moswavles
Tavze xeli gadausvas, mxrebSi gamarTos an ubralod moeferos. am yovelivesTvis naxevari wuTi savsebiT
sakmarisia: erTi kargi da erTi SeniSvna, meti araa saWiro. Tavidan SeiZleba ver moeswros xolme,
magram mas Semdeg, rac moswavleebi rutinas mieCvevian [$ 4.4], xolo maswavlebeli interaqciuli
muSaobis Cvevebs ganimtkicebs, dafas moscildeba, centrs moswavleebs dauTmobs, TviTon ki Tavis
samuSao adgils daikavebs merxebTan, maSin I fazis 20 wuTic ki sakmarisi iqneba, raTa yovelma
moswavlem maswavleblisgan individualuri ukukavSiri miiRos. meore ukukavSirs miiRebs dafasTan
muSaobisas, anda adgilidan msjelobisas, an jgufuri muSaobis dros. ase Sesruldeba ganmaviTarebeli
Sefasebis erT-erTi wesi: yovel gakveTilze TiToeulma moswavlem maswavleblisgan sul mcire 2
individualuri ukukavSiri unda miiRos [$ 3.1].
am dros amocanebs rigrigobiT dafasTan gasuli moswavleebi arCeven, adareben namuSevrebs, msjeloben,
gamoTqvamen azrebs. erTi an ori moswavle dafasTanaa da wers, sxvebi aRniSnaven, Tuki raime sxvagvarad
aqvT. yvela cdilobs sakuTaris dasabuTebas da irkveva marTebuli pasuxi. maswavlebeli mxolod maSin
Caereva, Tuki vercerTi moswavle (maT Soris aqtiurebic) Tavs ver gaarTmeven sakiTxs. magram es Carevac
mxolod saswavlo xaraCos formisa unda iyos (misaxvedrebeli SekiTxva, mimniSnebeli mokle SeniSvna,
sanaxevrod Tqmuli fraza).
dafasTan momuSave moswavle Cumad ar unda muSaobdes _ TiToeul Sesrulebul moqmedebas is
xmamaRal sityvier ganmartebebs unda urTavdes, raTa sxvebs auxsnas sakiTxi (mag.: am wiladis mricxvelSigavxsnaT frCxilebi, miviRebT amas, axla SevkvecoT... axla gavavloT am wrexazis sxva radiusi, ai es. is argadakveTs am rkals...). maswavlebelic saWiroebisamebr CaerTveba xolme msjelobaSi, magram mxolod
mokle-mokle CanamatebiT. am dros dafasTan ukve sxva ori moswavle SeiZleba muSaobdes _ visac
daevaleba. maswavlebeli ki ganagrZobs merxebis Camovlas, rveulebis Tvalierebasa da TiToeul
moswavlesTan piradad urTierTobas _ saamisod mas sakmao dro aqvs.
Tuki adamians ar SeuZlia ori ramis erTad keTeba, mas maswavlebloba gauWirdeba. magram ori ramis
erTad keTebis unari gavarjiSebadia, amitom, Tuki maswavlebels es uWirs, sagangebod unda cdilobdes,
rom gaivarjiSos da ganiviTaros es unari.
cxadia, gamosaTvlel an standartuli pasuxis mqone amocanebis garCevas SedarebiT ufro naklebi
- 43 -
dro unda daeTmos. umjobesia, maswavlebelma TviTon daawerinos romelime moswavles dafaze axali
amgvari amocana (Secvlili ricxvebiT) da yvelas mosTxovos misi Sesruleba (mcire saklaso wera).
pirveli amocana xSirad gamosaTvlelia, amasTan, is ramdenime qveamocanisgan Sedgeba (es qveamocanebi
zogjer gadanomrilia romauli cifrebiT, zogjer _ ara). maswavlebeli erT moswavles adgilidanve
aTqmevinebs pirveli qveamocanis (gamosaTvleli magaliTis) pasuxs, sxva moswavles _ meore qveamocanis
pasuxs da ase Semdeg. TiToeul SemTxvevaSi gairkveva, vinmes sxvagvari pasuxi xom ara aqvs. visac
Secdoma aRmouCndeba, iqve Tavidan Seasrulebs gamoTvlas. am dros yvela moswavle zis da ise muSaobs
Tu pasuxobs. sazogadod, yovelTvis, roca amocana ramdenime qveamocanisagan Sedgeba, maswavlebeli maT
amoxsnebs sxvadasxva moswavleebs Camoayalibebinebs. cxadia, TiToeul SemTxvevaSi imarTeba erToblivi
msjeloba (amocanis Sesabamisi xangrZliobisa).
SemoqmedebiTi amocanis garCevisas sasurvelia, mravalma moswavlem warmoadginos sxvadasxva amoxsna da
urTierTSedardes gansxvavebuli amoxsnebi. sazogadod, samsjelo amocanis amoxsnisas erTi moswavle
dafasTan muSaobs (xazavs geometriul nakvTsa Tu logikur sqemas, wers gamosaxulebas da sxva), an adgili-
dan msjelobs, Tavis pasuxs asabuTebs, Semdeg sxvebic erTvebian msjelobaSi.
Cveneuli meTodikis mkacri moTxovnaa: Tuki amocana samsjeloa, maSin mTavaria ara amocanis
marTebuli pasuxis migneba da Tqma, aramed swored msjeloba. bavSvs msjeloba ezareba, msjelobas sakmao
Zalisxmeva sWirdeba, miT umetes, rom man pasuxi ukve icis. miuxedavad amisa, maswavlebels evaleba, rom
srulfasovnad amsjelos moswavleebi. mxolod am gziT miiRweva Rrma da kargad gaazrebuli codna da
azrovnebis ganviTareba. im msjelobas, romelsac maswavlebeli moswavles klasSi xmamaRla
warmoaTqmevinebs, SemdgomSi moswavle ukve gonebaSi Caatarebs (anda, Caatarebs Cumi burtyunis
TanxlebiT) _ da swored amgvarad yalibdeba namdvili azrovneba, romelic ganuyofelia sityvierebisagan
(es exeba sakuTriv azrovnebas; aranaklebi mniSvneloba aqvs gumans anu intuicias, romelic ar aris
sityvieri da ar aris metyvelebaze damokidebuli _ mis gansaviTareblad ki sul sxvagvari, faruli mu-
Saoba gvaqvs Caqsovili Cveneul programaSi, amocanaTa Tanwyobis meSveobiT [$ 20]).
$ 9.2. gakveTilis meore faza _ axali codnis ageba-aRmoCena da gaazreba;
da mesame faza _ ganmtkiceba da gamoyeneba
Cveneul gakveTilze I fazaSi ukve sanaxevrod sruldeba II faza. axali codna arsebiTad ukve
agebulia (aRmoCenilia). darCenilia mxolod saTanado terminebis darqmeva da Teoriuli Sejameba. amitom
sakuTriv II faza, rogorc wesi, xanmoklea _ 2-8 wuTi. tardeba wignierebis mcire aqtivoba [$ 6.2]. Tuki
mimdinare gakveTils Teoriuli teqsti axlavs, swored misi xmamaRla wakiTxviT xdeba imis mowesrigeba,
Sejameba da saboloo gaazreba, rac moswavleebma ukve aages Tu aRmoaCines. Tuki Teoriuli teqsti araa,
II fazisTvis 2-4 wuTi kmara _ maswavlebeli ramdenime Semajamebel SekiTxvas dasvams da erTi-or
moswavles amsjelebs. morCenili 5 wuTi III fazas daemateba. es dro eTmoba 3-4-wuTian maTematikur
TamaSs [$ 10.2]. Tuki gakveTilze jgufuri muSaobaa dagegmili, TamaSi veRar moeswreba.
moswavlis saxelmZRvaneloSi mocemuli yvela Teoriuli teqsti moswavleebma xmamaRla unda
waikiTxon. am teqstebis umravlesoba sakmaod didi moculobisaa da amitom moswavleebi erTmaneTis
gagrZelebebiT waikiTxaven mcire nawyvetebs. amis Semdeg saWiroa teqstis gaazrebis mcire aqtivoba:
moswavleebi erTmaneTs dausvamen sul 2-3 SekiTxvas gaazrebis Sesamowmeblad. sanam moswavleebi amas
mieCvevian, manam SekiTxvebs maswavlebeli dasvams. maswavlebeli ekiTxeba moswavleebs gakveTilis
wakiTxuli Teoriuli teqstis Sesaxeb, Tu ra azri gamoitanes maT am teqstis pirveli abzacidan, meore
abzacidan, da ase Semdeg. moswavles Tvalwin hqondes saxelmZRvanelos teqsti, maswavlebelma ki dausvas
SekiTxvebi am teqstidan, raTa gairkves, ramdenad gaigo moswavlem wakiTxulis Sinaarsi. SekiTxvebi unda
daisves ara mxolod pirdapir, aramed arapirdapirac (nimuSebi ix. III TavSi, gakveTili # 2).
moswavleebi pasuxoben adgilidan, mjdomareni, maT gadaSlili aqvT TavianTi saxelmZRvanelo da
gadaxedaven saTanado abzacs (aqtivobis mizania ara gazepireba, aramed wignierebis unarCvevaTa, agreTve
zusti da bolomde gamarTuli sityvieri Camoyalibebis, msjelobisa da dasabuTebis unarCvevaTa
ganviTareba). maswavlebeli iTxovs winadadebis srulad da zustad Camoyalibebas, ameorebinebs am
winadadebas, sanam moswavle kargad ar gamarTavs mas. Tuki moswavlem daaklo raime sityva, am xarvezs
sxva moswavleebs gamoavleninebs. mag., moswavlem daaklo sityva `yoveli~, an `mxolod~ an `erTaderTi~
_ maswavlebeli sxva moswavleebs daavalebs, rom moigonon iseTi magaliTi, romelic daamtkicebs, rom am
sityvebis dakleba ar SeiZleboda, radgan am sityvebis gareSe winadadeba mcdari xdeba, da misTana.
- 44 -
amgvari aqtivobaa agreTve ganvilili gakveTilis raime sakiTxis dasabuTeba an damtkiceba:moswavle gadis dafasTan, wers da msjelobs, maswavlebeli iTxovs unaklod gamarTul winadadebebs.
III fazaSi amoixsneba agreTve damatebiTi ramdenime amocana Tematikuri krebulidan _ isini maswavle-
bels winaswar unda hqondes SerCeuli gakveTilis momzadebisas. unda SearCios iseTebi, romlebic Seexe-
ba SedarebiT Znel sakiTxs ganvlili gakveTilebidan. amitom maswavlebels, cxadia, yovelTvis CaniSnuli
unda hqondes, Tu ra sakiTxi gauWirdaT moswavleebs wina gakveTilebze da am sakiTxze
damatebiTi muSaoba unda dagegmos momdevno gakveTilebze. sazogadod, Tuki moswavleTa codnaSi raime
xarvezi aRmoCndeba, maswavlebeli atarebs ramdenimewuTian saklaso weras saTanado Temaze. garda amisa,
maswavlebels CaniSnuli unda hqondes is amocanebic, romelTa garCeva mizezTa gamo ver moeswro wina
gakveTilebze. isinic morCenil droSi unda gairCes.
aqtiuri mzaobis meTodikis mixedviT, sakiTxis swavlebis mxolod II fazaa iseTi, romelic swored
gakveTilis II fazas unda daemTxves. xolo I faza ufro farToa: moicavs Sesabamisi gakveTilis I fazas
[$ 9.1] da agreTve _ moswavlis winaswar damoukidebel mecadineobas winare gakveTilze micemuli
saSinao davalebis ramdenime, Semamzadebel amocanaze [$ 2.1]. III faza yvelaze xangrZlivia _ sasurvelia,
is Sesabamisi gakveTilis III fazaSi daiwyos, 5-10 wuTi mainc mogvrCes misTvis; Semdeg ki is
gagrZeldeba momdevno saSinao davalebidan ganmamtkicebeli amocanebiT _ jer moswavlis mier Sin
damoukidebeli mecadineobiT, mere ki momdevno gakveTilis I fazaSi gagrZeldeba _ amave amocanebis
erToblivi garCeviT; III faza Semdgomi dReebis, Tveebisa da wlebis ganmavlobaSic grZeldeba [$ 2.1].
yvela Cveneuli saxelmZRvanelo gakveTilebadaa dayofili. amitom klasSi gakveTilis bolos araa sa-
Wiro saSinao davalebis micema. moswavleebma unda icodnen, rom TavisTavad momdevno gakveTili eZlevaT
saSinao davalebad: savarjiSoebis Sesruleba, amocanebis amoxsna da _ sadac Teoriuli teqstia _ am
teqstis yuradRebiT wakiTxva. Cveni wesia: arcerTi dRe saSinao davalebis gareSe. es mSoblebmac unda
icodnen. moswavleebisTvis amis Sexseneba mxolod Tavdapirvelad iqneba xolme saWiro. saSinao davalebis
sagangebod micema saWiro iqneba mxolod gamonaklis SemTxvevebSi _ Tuki maswavlebeli miiCnevs, rom
erTi dRiT SeaCeros programaSi winsvla da klass mxolod gansamtkicebeli saSinao davaleba misces
(amocanaTa Tematikuri krebulidan). maSin maswavlebeli dafaze Camowers saTanado nomrebs.
moswavleebi Sin damoukideblad Seiswavlian axal gakveTils, amoxsnian mis amocanebs. rasac ver
gaakeTeben an ar gaakeTeben, meore dRes klasSi gaigeben _ erToblivi ganxilvis dros.
gakveTilis bolo 2-5 wuTi Sejamebas unda daeTmos. jer _ moswavleTa mier: ra viswavleT am
gakveTilze (moswavles SeuZlia Tavisi saxelmZRvanelos teqstic gamoiyenos); ra momewona, ra
gamiZnelda, ras visurvebdi... mere Jurnalidan siis amokiTxva da Tan `arebis~ Camowera (es SeiZleba
zaris darekvis Semdegac gagrZeldes), Tan ki amokiTxuli moswavleebisgan calkeulTa miRwevebis
mokled Sejameba, SesaZloa, SeniSvnasTan erTad _ dRis bolo ukukavSiri; aseve, Tuki Catarebuli iyo
jgufuri muSaoba _ jgufebis muSaobis mokle ganmaviTarebeli Sefaseba. iSviaTad ki amis nacvlad iqneba
saSinao davalebis nomrebis dafaze dawera da rveulebSi gadawera _ roca saSinao davaleba klass
Tematikuri krebulidan eZleva (da ara, rogorc Cveulebriv, momdevno gakveTili). aseve, SesaZloa zaris
darekvis Semdegac, maRali mzaobis aqtiur moswavleebs da agreTve yvela msurvels mivceT damatebiTi
davaleba uqme dReebisTvis; xolo saardadegebo davaleba mTel klass eZleva. saamisod Tematikuri
krebulis amocanebis viyenebT.
$ 10. saklaso garemo
saklaso garemos mowyobaSi TviTon bavSvebi unda davixmaroT, romlebic Tavad moiwyoben TavianTi
asakisa da interesis Sesaferis samyaros _ asakobriv garemos [d. uznaZe].moswavleebs Tavisuflad unda SeeZloT moZraoba davalebis arCevisas, davalebisaTvis saWiro
masalebis SesarCevad, jgufuri aqtivobisTvis da sxva. advili unda iyos avejisa da sxva nivTebis
swrafi gadawyoba, saswavlo miznebidan gamomdinare. damxmare avejis erTaderTi daniSnulebaa, rom
mowesrigebulad da misawvdomad iyos ganlagebuli mravalferovani samuSao masalebi sxvadasxva
sirTulisa da mimarTulebis davalebaTa Sesasruleblad.
Tavisufal sivrces didi mniSvneloba aqvs fsiqologiuradac _ siviwrove adamianebs (da cxovelebsac
ki) Zabavs da agresiulobas aRagznebs. amitom saklaso oTaxSi ar unda idges araviTari zedmeti aveji.
maTematikuri garemos Sesaqmnelad mTavaria kedlebze dakidebuli saTanado TvalsaCinoeba (plakatebi).
agreTve: stereometriuli modelebi, saklaso saxazavebi, fargali, transportiri... saukeTesoa TviT
- 45 -
moswavleTa mier damzadebuli modelebi, sqemebi, saswavlo plakatebi da sxva.
sazogadod, swavlebis procesi ise avagoT, rom moswavles rogorc Cveulebriv gakveTilze, ise
Semajamebeli weris drosac ki hqondes ufleba, rom SeuzRudavad gamoiyenos yvelanairi saklaso
TvalsaCinoeba, saxelmZRvanelo Tu cnobari. araa saWiro gamravlebis cxrilisa Tu formulebis ZaliT
gazepireba. TvalsaCinoebis gamoyenebiT upasuxos moswavlem (oRond ara kalkulatoriT), erTi-ori wlis
ganmavlobaSi mravali gamoyenebis Sedegad mas TandaTan TavisTavad daamaxsovrdeba saWiro informacia
(arapirdapiri daswavla). es xom bunebrivia: sanam wvril-wvrili informacia praqtikulad gvWirdeba,
is gvaxsovs, magram Tuki aRar viyenebT, TandaTan gvaviwydeba (sityvebic ki!).
xolo kalkulatoris xmarebas sakmaod vzRudavT [$ 14.1].
merxebis ganlagebac yuradRebamisaqcevia. jer erTi, maswavleblis merxi
centrSi ar unda idges [$ 8]. meorec, moswavleebis merxebi ise unda idges, rom:
I. moswavles Tavis mcire mibrunebiT SeeZlos yoveli Tanaklaselis danaxva,
masTan saubari; II. moswavles advilad, swrafad da uxmaurod SeeZlos adgoma,
dafasTan gasvla, ukan dabruneba da dajdoma; III. maswavlebelsac aseve
advilad, swrafad da uxmaurod SeeZlos yovel moswavleTan axlos misvla da
gverdiT dadgoma. aseTi ganlagebis erT-erTi nimuSia aqvea.
$ 10.1. TvalsaCinoeba
`mokle manZilebidan da realuri gzebidan Tavdaxsna mxolod azrovnebas SeuZlia, Tavisi im
miswrafebiT, rom mTeli garemomcveli samyaro moicvas, TviT uxilavis CaTvliT, zogjer imis
CaTvliTac ki, risi warmodgenac SeuZlebelia. swored subieqtsa da obieqts Soris arsebuli
manZilis es usasrulo mateba aris mTavari siaxle, warmomqneli cnebiTi inteleqtisa da im
Zalmosilebisa, romelic inteleqts operaciebis warmoSobas SeaZlebinebs~ [J. piaJe].
maswavlebeli mravalferovan TvalsaCinoebebs da aqtivobebs unda iyenebdes. es maTematikis
mimarTulebiT ganawyobs moswavleTa gonebas, amaRlebs motivacias, swavla ufro saxaliso xdeba da
xels uwyobs arapirdapir daswavlasac _ anu moswavleebs TavisTavad ganumtkicdebaT mravali sakiTxis
codna. Sesaferis saswavlo garemos udidesi mniSvneloba gansakuTrebiT dawyebiT klasebSi aqvs _
rodesac bavSvis azrovneba xatobrivia: mas ar ZaluZs cnebebiTa da abstraqtuli gamosaxulebebiT
azrovneba da konkretul-TvalsaCino sayrdeni aucileblad sWirdeba.
Tanac rac ufro mravalferovania TvalsaCinoeba (nivTieri, suraTovani, enobrivi Tu sqematuri) da
TamaSebi, miT ufro met sxvadasxva monacemebis mqone moswavles eqneba Tavis gamoCenisa da maTematikasTan
daaxloebis saSualeba.
dawyebiTi klasebis mraval specialists miaCnia: raki moswavle xatobrivi azrovnebis donezea, mas
yvela Zneli sakiTxi unda gauTvalsaCinovoT saTanado sagnebis an maTi suraTebis CvenebiT. TvalsaCinoeba
ufros klasebSic ki namdvilad aucilebelia, magram mxolod gamiznuli da zomieri. gaTvalsaCinoebis
gareSe bavSvi ver gaiazrebs, magaliTad, Semdeg sakiTxebs: sivrciTi geometriuli sxeulebi; brtyeli
geometriuli nakvTebi; gazomva TiTebiTa da mtkavelebiT, sazogadod gazomva (maTematikis oTaxi metriani
saxazavis gareSe arasrulfasovania); naSTi; mTelis nawilebi; simetria da simetriuloba; farTobi da
moculoba da sxva mravali. es yovelive ueWvelia, magram aqac zomierebis dacvaa saWiro. Tuki bavSvis
azrovneba zedmetad miejaWveba konkretul-TvalsaCinobas (Warbi TvalsaCinoebis anda ekranze
mijaWvulobis gamo), maSin es logikuri azrovnebis ganviTarebas Seaferxebs. uamisod ki arc maTematikis
swavlaa SesaZlebeli da arc XXI saukunis moqalaqis aRzrda.
TvalsaCinoebis principi klasikuri humanisturi pedagogikis ZiriTadi mcnebaa. cneba ver
ganzogaddeba, ver gaiazreba da mxolod yalb, futuro, uazrod gazepirebul sityvier garsad darCeba,
Tuki mas TvalsaCino sayrdeni ar eqna. TvalsaCinoebis mniSvneloba gansakuTrebiT didia aqtiuri
swavlebis pirobebSi.
es yvelaferi asea, magram TvalsaCinoebis gamoyenebis farglebi, zoma da safexurebi saguldagulod
unda iyos damuSavebuli, raTa igi azrovnebisTvis _ nacvlad sayrdenisa _ Semaferxeblad ar iqces. j.
bruneri sagangebod aRniSnavs, rom TvalsaCinoeba mxolod zomierebis farglebSia kargi. d. uznaZec aR-
niSnavs, rom Warbi TvalsaCinoeba Semaferxebelia cnebiTi azrovnebis ganviTarebisaTvis, romlis gareSec
adamiani Tavs ver daaRwevda cxovelur dones: imwamierad mocemul, SemTxveviT, erTeul STabeWdilebaTa
da aqtualuri aRqmis tyveobas, qcevis impulsur dones. adamiani cnebaTa sistemaSi sinamdvilis mTli-
- 46 -
anobas swvdeba da amis Sedegad eZleva mis qcevas cnobieri, nebelobiTi da mizandasaxuli xasiaTi. d.
uznaZis azriT, saskolo swavleba, arsebiTad, cnebiTi azrovnebis ganviTarebas emsaxureba.
aRmqmeli adamianis cnobiereba SezRudulia, mas axasiaTebs `situaciuroba~, ese igi, `aq da axla~
mocemuliT SezRuduloba, konkretul-materialuroba.
ekonomikur-teqnologiurad ganviTarebul qveynebSi mimdinare procesebi gviCvenebs, rom Tanamedrove
cxovrebis wesi xels uwyobs ekranul saSualebaTa sayovelTao moZalebas, rogoricaa: televizia,
kompiuteri, planSeti, mobiluri, video, kalkulatori, kino, Sou, sareklamo dafebi, moda, podiumi,
mdidrulad dasuraTebuli bukletebi da Jurnalebi. Sesabamisad, kiTxvisa da weris mniSvneloba knindeba.
sityva-cnebas mxedvelobiTi xatebi aZevebs, mkiTxvels _ mayurebeli, sityvier-wignier adamians _ mxedve-
lobiT-ekranieri adamiani, mwignobrul kulturas _ komfort-materializmi, adamianur urTierTobaTa
siTbos _ virtualuri zerele komunikacia socialur qselebSi. es seriozul uaryofiT Sedegebs iwvevs,
rogorc sulieri, pirovnul-fsiqologiuri mxriv, ise kulturul-inteleqtualuri da socialuri
mxriv. ekranuli civilizacia Zlier amuxruWebs agreTve adamianis nebelobis ganviTarebas, mis mier
infantiluri egocentrizmis daZlevas, pasuxismgeblobisa da zneobrivi Segnebis ganviTarebas, pirovnebis
Camoyalibebas. televizoris an kompiuteris ekrani mxolod mexsierebas avsebs nawilobriv, Tanac
wuTieri, mouwesrigebeli da daqsaqsuli informaciis groviT, romelic momdevno wuTebSi axali zerele
informaciis niaRvriT gadairecxeba. Sedegebic kanonzomieria. specialuri gamokvlevebi gviCvenebs da-
savleTis qveynebSi maTematikuri codnis mkveTr daqveiTebas, agreTve zogadi wignierebis, saerTo codnis
dakninebas, enobriv unarTa dasustebas, zepiri da weriTi metyvelebis ukiduresad gaRaribebas,
gramatikuli struqturebis gamartivebas, enis metaforul SreTa standartizacias (Jargonad
gadagvarebas), leqsikis uaRres simwires da xangrZlivi mexsierebis daqveiTebas. maSin, roca yvela es
Tviseba pirovnuli cnobierebis simdidrea da pirovnebis ganviTarebas ganapirobebs.
ekrani gansakuTrebiT damaClungeblad dawyebiTi klasebis asakis bavSvze moqmedebs. ekranze
mijaWvuloba bavSvis mravalmxrivi CamorCenis gamomwvevia: gonebrivisa, nebelobiTisa da pirovnul-
socialurisa.
Tumca cxadia, rom kompiuteri Seucvlelia rogorc samuSao instrumenti. konkretulad klasSi
(sadac amis saSualebaa) is SeiZleba interaqciuli TvalsaCinoebis amouwurav wyarod gamoviyenoT.
gonebaWvretiTi wignierebis burjia ori mTavari saskolo sagani: mSobliuri ena-literatura da
maTematika _ xatobriv-nivTieri konkretulobis sapirispirod. am sagnebis swavlebisas gansakuTrebiT
saWiroa TvalsaCinoebisa da suraTovnebis mozRudva rogorc saxelmZRvaneloTa gaformebis, ise arsebiTi
mxriv. maTematikisTvis suraTi araa kargi TvalsaCinoeba dawyebiT klasebSic ki. ukve I klasSi Cven
nivTieri TvalsaCinoebis paralelurad Semogvaqvs sqematuri TvalsaCinoeba. TandaTan nivTieri
TvalsaCinoebis wili mcirdeba, sqematurisa _ imatebs, II klasidan ki nivTier TvalsaCinoebas mxolod
dabali mzaobis moswavleebTan viyenebT (garda stereometriuli modelebisa). yvela klasisaTvis maTema-
tikis ZiriTadi TvalsaCinoeba _ esaa sxvadasxvagvari sqemebi da naxazebi.
maswavlebels vurCevT, rom, Tuki skolas amis saSualeba aqvs, xandaxan mainc gamoiyenos saswavlo
diskebi an internetsaitebi, magaliTad: www.kargiskola.ge; edulive.ge; book.ge;
oRond gamoiyenos ara gakveTilis ubralod asaWreleblad, aramed mkacrad miznobrivad,
konkretuli aqtivobis Casatareblad. magaliTad, sivrciTi sxeulebis, maTi moZraobisa, xedebisa da
kveTebis danaxva, maTi moculobis gamoTvla, Tu cxrilis, wriuli an svetovani diagramebis ageba
dafaze an rveulSi gacilebiT ufro nakleb saxalisoa da gacilebiT ufro met dros STanTqavs,
vidre kompiuteris ekranze Catareba imave moqmedebisa. Tanac amas TiTqmis araviTari specialuri
codna ar sWirdeba, advilad keTdeba. magaliTad, excel-is programaSi: cxrilebi da diagramebi,
ricxvebis dalageba matebis an klebis mixedviT, wiladebis modelebi (wriuli diagramebi),
aTwiladebis Sekreba-gamokleba da damrgvaleba, procentebi da sxva mravali (es yovelive
praqtikulad uaRresad saWiro unarCvevebsac ayalibebs); word-is programaSi: moqmedebebi brtyel
nakvTebze, maTi xazva da erTmaneTze midgma, farTobis gamoTvla; mravalgvari moqmedebebi ricxvebis
modelebze da Tanrigebze (koWebiani saangariSo, tablo da sxva); suraTebis dajgufeba sxvadasxva
niSanTvisebis mixedviT, kanonzomieri rigis gagrZeleba an Sevseba da sxva mravali.
- 47 -
sayovelTaod gavrcelebulia azri, rom TvalsaCinoeba swavlis motivaciis gamaZlierebeli uebari
saSualebaa. sinamdvileSi ki bavSvisTvis mimzidveli Wreli suraTebiTa da ekranze acicmcimebuli
saxeebiT swavlisa da azrovnebis motivacia ki ar Zlierdeba, aramed mxolod _ Tvalierebisa da zerele
gadakiTxvis, garTobis motivacia. TvalsaCinoeba mxolod im formiTa da im zomiT unda gamoiyenebodes,
rac uSualodaa saWiro ama Tu im saswavli sakiTxis gaazrebulad, Rrmad da aqtiurad saswavleblad.
amas ar iTvaliswinebs ara mxolod saqarTveloSi, aramed msoflioSi popularuli interaqciuli
meTodikebi da Tanamedrove, brWyviala stilis saxelmZRvaneloebi; arc kompiuteris umisamarTo da
TviTmiznuri gamoyenebis moda. zedmeti da araarsebiTi (sakiTxTan mxolod zereled dakavSirebuli) su-
raTovneba xels uSlis maTematikas.
namdvili swavlisa da azrovnebis motivaciis gamaZlierebeli mTavari saSualeba unda iyos ara
xelovnurad gazviadebuli Wrel-Wreli suraTebi, aramed kvleviT-ZiebiTi swavleba, evristikuli meTodi,
romelic swavlis Sinagan motivaciasac aZlierebs da, rac mTavaria, Rrma da aqtiuri codnis miRebis
mTavari saSualebaa.
amasTan, daufaravad unda iTqvas simarTle: namdvili swavla verasdros gaxdeba mTlianad saxaliso _
swavlis aucilebeli Tanmxlebi mainc nebelobis daZabvaa (cxadia, asakis Sesabamisad!). uamisod mxolod
zerele codna Tu SeiZineba. vinc swavlis Ziris simwares gaeqceva, is ver igemebs kenweros gatkbilebas.
pedagogikis mizania, SeZlebisamebr Seamciros `Ziris simware~ da gaaZlieros `kenweros gatkbileba~.
meTodikaSi ori urTierTsapirispiro ukiduresi mimarTulebaa:
I. sqolastikuri (aseTi iyo, kerZod, sabWoTa meTodika), romelic mTlianad an TiTqmis mTlianad
ugulebelyofs saxaliso-sayofacxovrebo sakiTxebs, maTematikuri codnis praqtikul mxareebs; swavleba
mZimea da mTlianad maTematikazea centrirebuli, moswavlis pirovnebis, misi asakobrivi fsiqologiis
ugulebelyofiT;
II. pedocentruli (moswavleze calmxrivad orientirebuli [$ 4.7]), romelic ugulebelyofs
maTematikur safuZvlianobasa da siRrmes (aseTia, kerZod, amerikuli stilis meTodika). gadaWarbebuli
mniSvneloba eniWeba saxalisobas, praqtikul sakiTxebsa da gazviadebul TvalsaCinoebas. kmayofildeba
zerele swavlebiT. maTematikis saxelmZRvanelo moswavles unda uqmnides ara zerele, sanaxaobiT,
komiqsur-multfilmur-kompiuterul, anu saekrano ganwyobas, aramed piriqiT: azrovnebis, gonebaWvretis,
dinji CaRrmavebis, kvlevis, maTematikis Sinagani simwyobrisa da silamazis ganWvretis ganwyobas _ im
silamazisa, romelic mxolod daxvewili gonebis TvaliT dainaxeba. rogorc Zvel berZnul, aseve indur
Tu Cinur kulturaSi maTematika `samyaros musikas~ aRwers, im musikas, romelsac zecaze mnaTobTa
harmoniuli moZraoba warmoqmnis da romelic mxolod maRalganviTarebuli gonebis `yuriT moismineba~.
ganvixiloT erTi konkretuli magaliTi. vTqvaT, mag., moswavleebma iswavles cilindri (gakveTilis
nimuSi aRwerilia qvemore [Tavi III]). rogor damuSavdes es sakiTxi?
sqolastikuri meTodika TiTqmis mTlianad geometriuli TeoriiTa da mkacri formaluri
gansazRvrebebiTaa SezRuduli, praqtikul TvalsaCinoebas wvrilmanad miiCnevs.
pedocentruli meTodika, piriqiT, upirveles mniSvnelobas aniWebs cilindris codnis praqtikul
gamoyenebasa da mis dakavSirebas yofacxovrebasTan (aq ganvixilavT cilindris swored rom cnebas _ da
ara zedapiris farTobisa Tu moculobis gamoTvlas, rac calke sakiTxebia!). am mizniT SeiZleba
gamoviyenoT 4 donis TvalsaCinoeba:
1) nivTieri. mag., maswavlebels klasSi Seaqvs nair-nairi feradi fanqrebis 3 sxvadasxva kolofi
(maTgan zogi mrgvalia, zogi _ waxnagovani, zogi wverwaTlilia, zogi _ ara). interaqciuli meTodikis
mixedviT, klass dayofs 3 jgufad, TiTos miscems TiTo kolofs da daavalebs: amoarCieT cilindrisformis fanqrebi. Semdeg, roca jgufebi warmoadgenen TavianT namuSevars, kargi maswavlebeli
msjelobasac wamoiwyebs: ratom ara aqvs cilindris forma am wiTel fanqars? {zedapiri aqvs waxnagovani dafuZeSi eqvskuTxedia} am Sav fanqars? {waTlilia da amitom am fuZeSi wre ara aqvs}. da ase saTiTaodganixileba yvela tipis SemTxveva.
amgvari midgoma kargia, saxalisoa, nayofieria, magram erTi arsebiTi nakli aqvs: Zalian bevr dros
STanTqams. Tuki maswavlebelma amgvari gakveTili xSirad Caatara, mas saswavlo programa gverdiT
darCeba. xolo Tuki zerele msjelobiT dasrulda, aqtivoba muSaoba maTematikisTvis TiTqmis fuWicaa.
2) suraTovani. mag., saxelmZRvaneloSi mTeli gverdi ukavia did ferad suraTebs: nair-nairi feradi
fanqrebi, konservis qilebi da sxva. iqvea foto: industriuli qarxana didi cilindruli avziT.
- 48 -
3) sqematuri. mag., sxvadasxvagvari cilindrebis geometriuli naxazebi (uxilavi xazebi rom
wyvetiladaa). maTematikisTvis da logikisTvis sqemebi (diagramebi) Seucvlelia.
gavrcelebuli Secdomaa, rom TiTqos saswavlo TvalsaCinoeba am 3 tipiT (doniT) amoiwureba.
sinamdvileSi ki klasikurma pedagogikamac ki icoda, rom arsebobs me-4 donis TvalsaConoebac:
4) warmodgeniTi. bavSvs ganviTarebuli unda hqondes naswavlis TvalsaCino xatis warmodgenis
unarCveva. mag., warmoidginos, Tu yofacxovrebaSi sad unaxavs cilindris magvari formebi.
cxadia, rom oTxive donis TvalsaCinoebaa saWiro, Tav-Tavis adgilas, Tav-Tavis dros da, rac
mTavaria, mozomilad da miznobrivad. Cveneuli meTodika swored amgvar TvalsaCinoebas emyareba.
ucnaurad JRers, magram ueWvelia: Cveneul saxelmZRvaneloebSi, romlebic Zalian cota suraTs Seicavs,
TvalsaCinoeba metia, vidre sxvebSi. oRond esaa ara suraTovani, aramed warmodgeniTi da agreTve
sqematuri TvalsaCinoeba, Tanac romelic uSualod ukavSirdeba maTematikur amocanebs.
xolo yvelafris gaTvalsaCinoebisken miswrafeba mcdaria. magaliTad, vixilavT teqstian amocanas
vaSlebis 5-iT klebaze an avtomobilis moZraobas. aseT dros vaSlebisa Tu avtomobilis suraTebi
araTu zedmetia, aramed maTematikis swavlis Semaferxebelic kia _ sulerTia, am suraTebs bavSvi wignSi
naxavs Tu ekranze. bavSvs saukeTeso, zrdasrulze ukeTesi warmodgenis unari aqvs. warmodgeniTi gaT-
valsaCinoeba ki srulfasovnad Caenacvleba uSualo Cvenebas. Tanac ukeTesicaa im mxriv, rom xels
uwyobs ganyenebis, abstraqciis unaris ganviTarebas. teqstiani amocanebis TemaSi Cven maswavlebels
vurCevT: ukve pirvel klasSive miaCvios bavSvebi pirobiTobasa da mcire abstraqcias. magaliTad, Tuki
amocana vaSlebs exeba, maSin vaSlebiT ki ar gaaTvalsaCinoos, aramed CxirebiT an daxatuli rgolebiT _
`viTom es vaSlia~ [$ 16]. `viTomobanas~ TamaSi ukve skolamdel asakSi bavSvis gonebrivi,
pirovnul-socialuri da SemoqmedebiTi ganviTarebis erT-erTi mTavari saSualebaa.
V-VI klasebis TvalsaCinoebas TviTon moswavlis saxelmZRvanelo Seicavs. aucilebelia
damatebiTi stereometriuli saklaso TvalsaCinoeba: stereometriuli sxeulebis modelebi (umjo-
besia, mTliani xisa an plastmasisa, anda maTi muyaos modelebi); saklaso metriani saxazavi da didi
fargali. moswavleebi sakuTari xeliT unda zomavdnen stereometriuli sxeulebis saTanado ganzomi-
lebebs. Zalian kargia Slilis daxazva, gamoWra da modelad Sewebeba (saxelmZRvaneloSi sakmaodaa
amgvari davalebebi). amrigad, maTematikis gakveTilebze moswavleebs individualuradac dasWirdebaT fan-
qari, saxazavi da zogjer _ fargali.
sazogadod CvenTvis mTavari da namdvili TvalsaCinoeba _ esaa xazva, anu moswavleebis mier sakuTari
xeliT daxazuli cxrilebi, diagramebi, naxazebi da sqemebi, geometriulebic, logikurebic, ariTmetiku-
lebic da agreTve yvela sxva saxisa. amitom `saymawvilo maTematikaSi~ Zalian mravladaa amocanebi
xazvaze, zomvaze, cxrilebze, diagramebze, sqemebze, mravalgvar praqtikul samuSaoze da sxva. sxvaTa
Soris, swored amgvari amocanebi aerTianebs organulad maTematikis sxvadasxva dargebs erTmaneTTanac da
gamoyenebiT mimarTulebebTanac; swored amgvari amocanebi aviTarebs yvelaze kargad zogad gonebriv
unarebs. maTi Sesruleba furcelzec SeiZleba da leptopis ekranzec, es araa arsebiTi. xSirad ekranzea
ufro mosaxerxebeli. iseve rogorc araa arsebiTi is, moTxrobis teqsts wignidan wavikiTxavT Tu
gacilebiT ufro mosaxerxebeli `kindlis~ ekranidan. da aseve araa arsebiTi, vaSlebisa Tu avtomobilis
Wrel-Wreli suraTebi wignidan SeuSlis xels maTematikas Tu ekranidan. arsebiTia suraTisa da teqstis
mimarTeba da dapirispireba; arsebiTi isaa, Tu sad, rodis, ra da rogor unda gaTvalsaCinovdes, ra
zomiTa da TvalsaCinoebis romel doneze.
$ 10.2. ZiriTadi maTematikuri TamaSebi
TamaSebis Catareba iseve aucilebelia, rogorc danarCen samuSaoTa. maswavlebels ar unda egonos,
rom TamaSebi `araseriozulia~ da naklebmniSvnelovania!
TamaSis erTi zogadi wyoba Tu forma aseTia. moswavleebi wreSi dgebian, anda, sadac amis saSualeba
araa, Camwkrivdebian saklaso oTaxis gverdiTa kedelTan an, sadac arc amis saSualebaa, ubralod dgebian
fexze. magram yvela SemTxvevaSi TamaSi wriulia: iwyebs romelime erTi moswavle, Semdeg rigi mis
mezobelze gadadis da ase Semdeg; mas Semdeg, rac rigi mTel klass moivlis, ubrundeba kvlav pirvel
moswavles da midis meore wreze, Semdeg mesame wreze da ase Semdeg. visac rame SeeSleba, maSinve
gamoeTiSeba TamaSs. patieba gamoricxuli unda iyos, Torem, Tuki erTxel mainc vinmes vapatiebT,
mere patiebis Txovna gauTavebeli iqneba da TamaSi CaiSleba. garda amisa, TamaSs eTiSeba is
moswavlec, romelic uxeSad daarRvevs TamaSis wesebs: ukarnaxebs sxvas, ixmaurebs da sxva. kidev eTiSeba
- 49 -
is moswavle, romelic daTqmul droze metad Seyovndeba. TamaSi swraf tempSi unda midiodes, ise mas
azri ara aqvs. yovel moswavles, visac rigi mouwevs, eZleva dro _ taSis xuTi Semokvra maswavleblis
mier, anu xuT Tvlaze _ magram Tvla araa kargi, radganac ricxvebis mosmena moswavles xels
SeuSlis, gonebas aurevs _ amitomaa Tvlis nacvlad taSebi! Tavidan tempi SedarebiT nelia, meore
wreze Cqardeba, mesameze kidev Cqardeba. diferencirebuli swavlebis Sesabamisad, maswavlebelma cota
nela unda daukras taSi im moswavlesTan, romelic bunebrivad nelia da isedac odnav meti unda
adrovos mas (cxadia, sxvebisaTvis SeumCnevlad).
moswavleebi TandaTan eTiSebian TamaSs, vidre ar gamovlindebian gamarjvebulebi. gamarjvebuls yvela
SemTxvevaSi moeTxoveba ukanasknelad kargi pasuxi _ mxolod imis gamo, rom sxva yvela ukve gamoeTiSa,
moswavle gamarjvebulad ar CaiTvleba. Tuki verc is upasuxebs, arcerTi gamarjvebuli ar iqneba.
gamarjvebuli SeiZleba iyos erTi an ramdenime moswavle. erTi im SemTxvevaSi, Tuki yvela danarCeni
gamoeTiSa pirvel-mesame wreebze. magram Tuki ramdenime moswavle kargad pasuxobs ramdenime wris
ganmavlobaSi, isini yvelani gamarjvebulebad CaiTvlebian. maswavlebeli TandaTan advilad mixvdeba
xolme, rodis SeiZleba darCenil moswavleTa gamarjvebulebad gamocxadeba (da TamaSis dasruleba).
sasurvelia, yvela gamarjvebuls wamaxalisebeli niSnaki daeweros.
axla gavarkvioT, risi Tqma moeTxoveba im moswavles, visi rigicaa. es gaaCnia TamaSis Sinaarss,
formisagan damoukidebelia.
1. `swrafi pasuxebi~. maswavlebeli TiToeul moswavles rigrigobiT ekiTxeba rames naswavl
sakiTxTagan, magaliTad: `tyuilia Tu marTali~. debulebebi gegma-konspeqtebSia mocemuli.
sxvagvari Sinaarsis TamaSisas maswavlebeli gamoacxadebs: `oTxnaxevriT meti!~ es niSnavs, rom
maswavlebeli moswavleebs rig-rigobiT usaxelebs raime ricxvs (nulis CaTvliT!) da moswavlem unda
daasaxelos am ricxvze 4,5-iT meti (4/5-iT meti, 4/3-jer meti, 2,5-jer meti...) ricxvi. erTi wris
damTavrebis Semdeg maswavlebeli gamoacxadebs: `oTxnaxevriT naklebi!~ da moswavleebic 4,5-iT nakleb
ricxvs asaxeleben; mesame wreze maswavlebeli gamoacxadebs: `xuTnaxevriT meti!~, meoTxe wreze _
`eqvsnaxevriT naklebi!~ da ase Semdeg.xSirad tardeba TamaSi `swrafi pasuxebi _ angariSi~. SekiTxvebi moicavs zepir angariSs naswavl
farglebSi: yovelgvar erTmoqmedebian Sekreba-gamoklebas Tu gamravleba-gayofas (pirvel wreze _
SedarebiT advilebi, Semdeg _ ufro Znelebi).
yvela am TamaSis wyoba erTidaigivea. icvleba mxolod Sinaarsi. amgvari TamaSebis aRwerisas vuTiTebT:
`swrafi pasuxebi~ da Semdeg CamovTvliT mxolod SekiTxvaTa nimuSebs. TamaSs, cxadia, aRar aRvwerT.
2. `jaWvurad -iT meti /-iT naklebi~. sawyis ricxvs asaxelebs maswavlebeli, magaliTad: 0, 0,5 an
2, sulerTia {vTqvaT, 0}. pirvelma moswavlem unda daasaxelos am ricxvze 3,5-iT meti ricxvi {3,5},
meore moswavlem _ ukve 3,5-ze 3,5-iT meti ricxvi {7}, mesamem _ 7-ze 3,5-iT meti {10,5} da ase Semdeg,
sanam maswavlebeli taSs ar Semokravs da ar daiZaxebs: _ axla 3,5-iT naklebi!
es ramdenime TvalsazrisiT saukeTeso TamaSia, igi yvelaze xSirad Catardeba.
mravali sxva TamaSicaa (`gudaSi Cayrili nakvTebi (sxeulebi)~ da sxva). mravali TamaSia aRwerili
proeqt `GPried~-is portalze www.kargiskola.ge. iqvea ekranze Casatarebeli virtualuri TamaSebic.
mravalferovani TamaSebis Catareba kidev erTi TvalsazrisiTaa aucilebeli. saqme isaa, rom rac ufro
mravalferovania TamaSebi, miT ufro met sxvadasxva monacemebis mqone moswavleebs vaZlevT gamarjvebis
SesaZleblobas. SeiZleba moswavle sakuTriv maTematikaSi saSualo mzaobisaa, magram zogierTi saxis
TamaSSi imarjvebs xolme. es Zalze mniSvnelovanoa humanisturi swavlebis TvalsazrisiT.
am mxriv cxadia, rom yvela TamaSi siswrafeze ar unda iyos damokidebuli; arc _ mxolod
gamoTvlebis unarCvevebze. saWiroa iseTi TamaSebic, romlebSic gadamwyvetia xatvisa Tu xazvis
unarCvevebi, an enobrivi unarCvevebi da sxva.
Tavi II. maTematikuri sakiTxebis ganmarteba
da maTi swavlebis konkretuli meTodikebi
$ 11. naturaluri da wiladuri ricxvis raoba;
naturaluri da wiladuri ricxvis cnebaTa swavlebis meTodika
warmovidginoT, rom vcxovrobT qvis xanaSi da jer ar viciT ricxvebi. Cven gvxvdeba mravali
- 50 -
sxvadasxva konkretuli wyvili: xelebis wyvili, fexebis wyvili, Tvalebis wyvili, yurebis wyvili,
adamianebis wyvili, xilis nayofTa wyvili, Citebis wyvili da sxva mravali. yvela am wyvils raRac
saerTo Tviseba aqvs. es saerTo Tvisebaa mxolod erTi _ raodenoba. sul sxvaa adamianTa wyvili da
sul sxvaa blis wyvili. magram maT saerTo aqvs _ raodenoba ori. ricxvi ori _ esaa is saerTo, rac
aqvs yvela SesaZlo wyvils.
aseve, ricxvi oTxi _ esaa is saerTo, rac aqvs yovelgvar saganTa yvela SesaZlo oTxeuls
(amasTan, es oTxeuli SeiZleba iyos gafantuli an SemWidroebuli, mrgvalad an mwkrivad ganlagebuli
da sxva). aseve ricxvi cxra _ esaa is saerTo, rac aqvs yovelgvar saganTa yvela SesaZlo
cxraeuls. da ase Semdeg. zogadad, naturaluri ricxvi (1, 2, 3, 4, ... ) _ esaa is saerTo, rac aqvs
yovelgvar saganTa yvela SesaZlo erTnairi raodenobis mqone erTobliobas. es erToblioba SeiZleba
iyos wyvili, oTxeuli, cxraeuli, oceuli, aseuli, milion samas ocdaeqvseuli da ase Semdeg. amasTan,
ori sxvadasxva erTobliobis wevrTa raodenobis tolobis garkvevas ar sWirdeba ricxvebis codna: sakma-
risia, am erTobliobaTa wevrebi davawyviloT. Tuki dawyvilebis Sedegad arcerTi wevri ar mogvrCeba,
maSin raodenobani toli yofila. Tuki erT-erTi erTobliobidan mogvrCeba wevrebi, maSin am
erTobliobis wevrTa raodenoba yofila meti (es ukanaskneli winadadeba marTebulia mxolod sasrul
erTobliobaTa SemTxvevaSi, magram yoveli naturaluri ricxvi xom sasrulia!).
toli raodenobis wevrTa mqone or an met erTobliobas maTematikaSi ewodeba `tolsimZlavriani~
erTobliobani.
gramatikulad Svideuli, oTxeuli da sxva _ arsebiTi saxelebia, pasuxobs SekiTxvas `ra?~. xolo
oTxi _ esaa raodenoba, ricxvi, romelic pasuxobs SekiTxvas `ramdeni?~. oTxi _ ricxviTi saxelia.
cxadia, oTxeuli ufro konkretuli, nivTieri da TvalsaCinoa, xolo oTxi _ ufro ganyenebulia.
oTxeuli yovelTvis raRacis oTxeulia, xolo oTxi arsebobs TavisTavadac, sagnebisagan ganyenebiT.
maSasadame, istoriuli da fsiqologiuri TvalsazrisebiT, ricxvis cnebis ganviTarebis sqema amgvaria:
amgvarad, pirveladia konkretuli oTxeulebi, xolo ricxvi `oTxi~ _ yvela SesaZlo amgvari
oTxeulis gamaerTianebeli anu ganmazogadebeli cnebaa. SemdgomSi ki xdeba am cnebis Cawera:
saWiroa, rom erTmaneTSi ar airios ricxvi da cifri. am terminebs xSirad mcdarad xmaroben:
gazeTebSi, zepir gamosvlebSi, skolebSic. magaliTad, amboben `didi cifrebi~, Tumca unda iTqvas `didi
ricxvebi~. ricxvi _ esaa raodenoba, xolo cifri _ pirobiTi Canaweri, Tanac ara yovelgvari
ricxvebisa, aramed mxolod erTniSna ricxvebisa. ese igi, cifri sul 10 calia: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9. ricxvebi ki usasrulod mravalia! ricxvi araa damokidebuli mis Canawerze. magaliTad, ricxvi
`oTxi~ odnavadac ar Seicvleba, Tuki mas CavwerT ara ase _ 4, aramed sul sxvagvarad, magaliTad: IV,
anda sulac ase: *. amitom `didi cifri~ _ esaa didi Canaweri, anu didi SriftiT Cawerili, magaliTad,
4. xolo miliardi _ es didi cifri ki araa, aramed didi ricxvia.
cifri mxolod da mxolod Canaweria, pirobiTi niSania. misi warmoTqmac ki ar SeiZleba, igi
mxolod iwereba!
maSasadame, gramatikulad `Svidiani~, `oTxiani~ da sxva _ arsebiTi saxelebia, pasuxobs SekiTxvas
`ra?~. magram `oTxiani~ arsebiTad gansxvavdeba massaviT arsebiTi saxelisagan `oTxeuli~. saqme isaa,
rom `oTxiani~ _ esaa cifri 4, anu Canaweria, niSania (kerZod, saskolo Sefasebacaa!), xolo
4. am ricxvis Cawera ideografiul-sqematurad _ oTxi wertilis an sxva amgvari saxiT:
5. am ricxvis aRniSvna pirobiTi niSniT _ cifriT da ase Cawera. magaliTad, cifri 4 anu `oTxiani~.
1. konkretuli erTobliobani anu yovelgvar SesaZlo saganTa grovebi
2. tolsimZlavriani anu toli raodenobis wevrTa mqone erTobliobani (dawyvilebiT) _ magaliTad,
nivTieri, TvalsaCino oTxeulebi
3. tolsimZlavrian erTobliobaTa saerTo Tviseba _ ricxvi; magaliTad, ricxvi da sityva `oTxi~
. .. .
- 51 -
`oTxeuli~ _ raime saganTa oTxeulia!
jer gacnobierda `oTxeuli~, Semdeg _ `oTxi~, bolos _ `oTxiani~.
aRvweroT ricxvis cnebis erTi konkretuli, Tumca friad mniSvnelovani mxare. gaviazroT, ratomaa,
rom, magaliTad, xuTi metia, vidre sami. Cveulebriv, hgoniaT, rom xuTi imitomaa samze meti, rom
naturalur ricxvTa rigSi sami uswrebs xuTs. es arsebiTad mcdari azria. igi gulubryvilod
gulisxmobs imas, rom TiTqos ricxvTa rigi imTaviTve gamzadebulad iyo mocemuli adamianis gonebaSi.
davfiqrdeT: TviT ricxvTa rigSi ricxvebis dalageba saidanRa warmoiSva?
sinamdvileSi viTareba piriqiTaa. sami imitom uswrebs ricxvTa rigSi xuTs, rom sami naklebia xuTze.
xolo sami ki imitomaa xuTze naklebi, rom sameulisa da xuTeulis dawyvilebis Sedegad xuTeuls
morCeba ori wevri.
maSasadame, xuTi imitom ki araa samze meti, rom ricxvTa rigSi mis Semdegaa, aramed piriqiT:
xuTi imitomaa ricxvTa rigSi samis Semdeg, rom masze metia. metoba ki Sesabamis erTobliobaTa
dawyvilebis Sedegad dgindeba.
asevea wiladebis SemTxvevaSic. wiladi 1/2 _ esaa is saerTo, rac aqvs yovelgvari sagnis
yvela SesaZlo naxevars; wiladi 2/3 _ esaa is saerTo, rac aqvs yovelgvari sagnis yvela
SesaZlo or mesamed nawils... da ase Semdeg. wiladi 2/3-s cneba iseve miemarTeba 2/3 nawilis
cnebas, rogorc ricxv 4-is cneba miemarTeba oTxeulis cnebas. wiladi 2/3, iseve rogorc mTeli
ricxvi 4 _ abstraqtuli racionaluri ricxvebia, maT ricxvTa wrfeze wertilebi Seesabameba.
xolo 2/3 nawili konkretul mTelzea mibmuli da mis gareSe ar arsebobs, iseve rogorc ar
arsebobs oTxeuli oTxi mTeli sagnis gareSe. TvalsaCino magaliTia tipuri Secdoma am amocanaSi:
mocemulia ricxvTa sxivis monakveTi:
moniSne masze naxevris (erTi meoredis) Sesabamisi wertili.
da moswavle moniSnavs 5-is danayofs _ anu mTelis erT meored nawils. kidev ufro gavrcelebuli
Secdomaa sxvadasxva mTelis nawilebis Sekreba-gamokleba, magaliTad: Tuki klasis gogonebis 2/5 nawili da
vaJebis 1/5 nawili dadis cekvaze, maSin cekvaze dadis klasis moswavleTa 3/5 nawili. aseve: Tuki sagani
gaZvirda jer 10 %-iT da mere kidev 10 %-iT, maSin is 20 %-iT gaZvirebula...
maSasadame, mTavaria wiladis cnebis gamijvna nawilis cnebisgan. tradiciuli swavlebisas ki
piriqiTaa: wiladi ganimarteba, viTarc mTelis nawili, anu es ori cneba Tavidanve gaigivdeba. amis Semdeg
wiladis cnebis gaazreba TiTqmis SeuZlebeli xdeba. marTlac, Tuki moswavlem daiswavla, rom wiladi
igive nawilia, aseve daiswavla 2/5-isa da 1/5-is Sekreba, maSin ratom ar unda Sekribos 2/5 nawili da
1/5 nawili?! wilad 2/5-s xom yovelTvis SegviZlia mivumatoT wiladi 1/5 da jamis mniSvneloba xom
yovelTvis 3/5 iqneba!
kidev erTi siZnele imis dasabuTeba da gaazrebaa, Tu 2 cali mexuTedi anu 2/5 ratomaa igive, rac 2
gayofili 5-ze.
wiladis cnebis swavlebis Cveneuli konkretuli meTodika sruladaa V klasis moswavlis
saxelmZRvanelos VIII TavSi.
$ 12. Tvla da misi poziciuri sistema;
Tvlis fuZeebi; ricxvTa Caweris swavlebis meTodikis sakiTxebi
Cven viciT ricxvTa Caweris romauli sistema. masSi yovel niSans erTaderTi raodenoba Seesabameba.
magaliTad, I yvelagan aRniSnavs erTs, V _ xuTs da sxva. sulerTia, romel adgilas, anu romel
poziciaSi weria es niSnebi.
aseTivea ricxvTa Caweris Zveli qarTuli sistemac. aso a yvela poziciaSi aRniSnavs erTs, aso C _aTass, aso y _ rvaass da sxva. Canawerebi Cya, yCa, aCy da ase Semdeg _ yvela aRniSnavs ricxvs
1801 (Tumca miRebulia, rom daiweros jer udidesi ricxvis aRmniSvneli aso, magram es arsebiTad
arafers cvlis).
gansxvavebiT am ori sistemisagan, ricxvTa Caweris Cveulebrivi, indur-arabuli sistema aris
poziciuri. es imas niSnavs, rom cifruli niSnis mniSvneloba damokidebulia mis adgilze, anu
poziciaze. magaliTad, CanawerSi 333 samive cifri erTidaigivea, magram pirveli maTgani aRniSnavs samass,
- 52 -
meore _ ocdaaTs, xolo mesame _ sams. es imitom, rom maTi Tanrigebi anu poziciebia gansxvavebuli.
xolo erTsadaimave poziciaSi cifrs yovelTvis erTidaigive mniSvneloba aqvs. magaliTad, cifri 3,
dawerili boloswina poziciaSi (TanrigSi), yovelTvis aRniSnavs ocdaaTs.
Tanrigi _ esaa ricxvis poziciur cifrul CanawerSi carieli adgili. magaliTad, samniSna ricxvis
aseulebis TanrigSi Cawerili cifri gviCvenebs, Tu ramdeni aseulia am ricxvSi, xolo aTeulebis
TanrigSi Cawerili ricxvi _ am aseulTa garda kidev ramdeni aTeulia.
termini `Tanrigi~ maswavlebelma swored am azriT unda ixmaros da moswavleebic ase miaCvios (IV
klasSi). Tanrigis kargi gaTvalsaCinoeba _ esaa tablo,
magaliTad, eleqtruli saaTisa an kalkulatorisa.
TiToeuli carieli kvadrati _ TiTo Tanrigs Seesabameba. masSi SeiZleba eweros cifri, SeiZleba arc
eweros, Tanrigi mainc Tanrigad rCeba.
ricxvSi erTeulTa, aTeulTa, aseulTa... raodenoba
ganvixiloT Zalian gavrcelebuli Secdomebi, romlebic aramarto maswavleblebs, aramed mwvrTnelebsa
da meTodistebsac ki mosdiT.
1) vTqvaT, davsviT SekiTxva: _ ramdeni aTeulia ricxvSi 318? ramdeni erTeulia? pasuxi xSirad
amgvaria: _ `318-Si aris 1 aTeuli da 8 erTeuli .~ es uxeSi Secdomaa. 318-Si aris ara 1, aramed
31 aTeuli! da aris ara 8, aramed 318 erTeuli! amasTan, 318-Si aris 3 aseuli da kidev (ese igi,
aseulTa garda) 1 aTeuli da kidev (ese igi, aTeulTa garda) 8 erTeuli.
aseve, 15-Si aris ara 5, aramed 15 erTeuli. amasTan, 15-Si aris 1 aTeuli da kidev (ese igi,
aTeulTa garda) 5 erTeuli. xolo 72049-Si aris 720 aseuli (da ara 0 aseuli) da kidev 4 aTeuli
da kidev 9 erTeuli; an: 72049-Si aris 7204 aTeuli...
zusti gamoTqmebi unda vixmaroT. sazogadod, maTematika sizustes moiTxovs.
vTqvaT, mocemulia raime mravalniSna ricxvi, mag. 201865. gamovyoT masSi saTanrigo sameulebi:
201'865. ukve gamoCnda yvela Tanrigi. pirveli cifri 2 pirdapir gviCvenebs am ricxvSi asiaTaseulTa
raodenobas.
axla cifruli Canaweri `gavkveToT~ nebismier adgilas, mag.: 20|1'865. ras gviCvenebs 20? _
gviCvenebs mocemul ricxvSi aTiaTaseulTa raodenobas, radgan 0 aTiaTaseulTa TanrigSi zis. ras
gviCvenebs 0? _ gviCvenebs mocemul ricxvSi asiaTaseulTa garda morCenil aTiaTaseulTa raodenobas
(arcerTi ar rCeba). ras gviCvenebs 1? _ gviCvenebs mocemul ricxvSi aTiaTaseulTa garda morCenil
aTaseulTa raodenobas.
aseve, 201 gviCvenebs mocemul ricxvSi aTaseulTa raodenobas, xolo 8 _ aTaseulTa garda
morCenil aseulTa raodenobas; 2018 gviCvenebs mocemul ricxvSi aseulTa raodenobas, 6 _ aseulTa
garda morCenil aTeulTa raodenobas, 65 _ aseulTa garda morCenil erTeulTa raodenobas, xolo 5
_ aTeulTa garda morCenil erTeulTa raodenobas, da ase Semdeg.
2) am SesaWiris mogvarebas zogi imiT cdilobs, rom Semoaqvs termini `sruli aTeuli~. Semdeg ki
amboben, rom 318-Si aris 1 aTeuli, Tumca 31 sruli aTeuli. magram es uaresi uazrobaa. jer erTi, Tuki
arsebobs `sruli aTeuli~, maSin unda arsebobdes `arasruli aTeulic~. aseTi ram ki maTematikaSi ar
arsebobs. meorec, absurdulia is azri, rom erTsadaimave ricxv 318-Si `sruli aTeuli~ gacilebiT
ufro metia, vidre aTeuli. gamodis, rom `sruli aTeuli~ gacilebiT mcirea, vidre `aTeuli~??
3) `324-Si 3 aRniSnavs aseuls, xolo 2 _ aTeuls .~ es Secdomaa. 3 aseuls ki ar aRniSnavs,
aramed 3 aseuls anu 300-s; xolo 2 _ 2 aseuls anu 20-s.
4) `nuli ar aris ricxvi, nuli cifria .~ esec Secdomaa. nuli iseTive ricxvia (mTeli
ricxvia), rogoricaa oTxi, cxra, minus erTi Tu minus rva. xolo ricxv nulis cifruli Canaweri anu
misi aRniSvnaa 0, romelic cifria; iseve rogorc cifrebia 4, 9, 1 Tu 8 [$ 11]. Tuki zustad vityviT,
Canaweri anu niSani 0 _ esaa ara `nuli~ (gramatikulad _ ricxviTi saxeli), aramed cifri nuliani(gramatikulad _ arsebiTi saxeli) [$ 11].
5) 318 = 3 as. + 1 aT. + 8 erT. an 318 = 3โข100 + 1โข10 + 8 tolobas uwodeben ricxvis daSlas
`saTanrigo erTeulebad~ an `saTanrigo erTeulTa jamad~. sinamdvileSi ki:
saTanrigo erTeulebi _ esaa 1, 10, 100, 1000, ... maTi jami _ esaa 1 + 10 + 10000 tipis jami,
- 53 -
romelic araferSi gvWirdeba. ganxiluli toleobebi gviCvenebs jams ara `saTanrigo erTeulTa~, aramed
saTanrigo SesakrebTa.6) `orniSna ricxvi ewodeba iseT ricxvs, romelic ori cifriT Caiwereba~.
sinamdvileSi ki 07 araa orniSna ricxvi (igive 7-ia, sxvagvarad Cawerili) xolo 0032 orniSnaa (igive
32-ia, sxvagvarad Cawerili). aseve: 0032 araa oTxniSna. es gansakuTrebiT mniSvnelovani gaxdeba
aTwiladebis swavlebisas, VI klasSi. Tumca mesameklaselsac Zalian dasWirdeba:
506 _ esaa 5 aseuli anu 500 da kidev 06 (romelic igive 6-ia, sxvagvarad Cawerili).
orniSna ewodeba ricxvs, Tuki mis cifrul (poziciur) CanawerSi: umaRlesi Tanrigi, romelSic
aranulovani cifria, aTeulTa Tanrigia. aseve: oTxniSna _ mis cifrul CanawerSi umaRlesi Tanrigi,
romelSic aranulovani cifria, aTaseulTa Tanrigia. da ase Semdeg.
Cveneuli meTodika kargad da advilad arkvevs amgvar sakiTxebs, moswavleebs albaT ar SeeSlebaT,
magram maswavlebels SeiZleba SeeSalos uneburad, Tuki gavrcelebul mcdar gamoTqmebsaa miCveuli.
maswavlebelma zusti gamoTqmebi unda ixmaros. sazogadod, maTematika sizustes moiTxovs.
garda amisa, maswavlebelma unda ixmaros mxolod is terminebi, romlebic gegma-konspeqtebSia
mocemuli, Tanac saTanado adgilas. magaliTad, mxolod IV klasSi Semogvaqvs terminebi: Tanrigi,saTanrigo sameuli, saTanrigo SesakrebTa jami da sxva. xolo sxva cnobili terminebi zedmetia da
ar unda ixmaros, magaliTad, saTanrigo erTeulebi da sxva.maswavlebelma unda gaiTvaliswinos kidev erTi safrTxe. IV klasSi TandaTan Semodis axal-axali
saTanrigo sameulebi: aTasebis, milionebis, miliardebisa... TiTqos, sakmarisia, ricxvTa dasaxeleba Tu
ariTmetikuli moqmedebani viswavloT aTasisa Tu aTiaTasis farglebSi _ da yovel sxva farglebSic
yvelaferi TavisTavad, ucvlelad unda gadavides. formalur-maTematikuri TvalsazrisiT marTlac asea.
magram bavSvisTvis es ase araa. aucilebelia yvelafris Tavidan gameoreba! Cveni programa swored asea
agebuli da maswavlebelma is ar unda aaCqaros.
koWebiani saangariSosgamoyeneba TvalsaCinoebad
IV klasamde araa gamarT-
lebuli. saangariSo Tumca
nivTieria da xelSesaxebi,
magram masze Zalian didi
pirobiTobaa _ ris migne-
basac kacobriobam mravali
saukune moandoma _ pozi-
ciuroba: erTidaigive koWi
aRniSnavs an caleuls,
an aTeuls, an aseuls _
mdebareobis mixedviT. IV klasSi ki saangariSo mTavari TvalsaCinoeba xdeba (oRond umjobesia sxvanairi
_ gaxsnili). rogorc gazomvisa da geometriis swavlebaa uniadago saklaso metriani saxazavis gareSe,
ise mravalniSna ricxvebis swavlebaa uniadago saangariSos gareSe, IV-V klasebSi. moswavlem sakuTari
xeliT saangariSoze mravaljer unda akrifos ricxvebi, Caataros Sekreba-gamokleba Tu Sedareba.
SeiZleba virtualuri saangariSos gamoyenebac kompiuteris ekranze, Tumca nivTieri ukeTesia.
$ 13. gamravlebisa da gayofis cnebebi; naSTiani gayofa
gamravleba _ tol SesakrebTa mravaljeradi Sekrebaa; namravli _ tol SesakrebTa jami.
tradiciulad, namravlis CanawerSi jer iwereboda Sesakrebi, xolo Semdeg _ misi raodenoba, magaliTad:
3+3+3+3+3+3+3 = 3 ยท 7. aseve, `samocdaTvrameti~ iSleboda ase:
78 = 10 ยท 7 + 8, anda 78 = 20 ยท 3 + 18.Tavdapirvelad Cvenc ase daviwyeT. magram aRmoCnda, rom bavSvebi Zalian ewinaaRmdegebodnen amgvar
Canawers da werdnen piriqiT: 78 = 3 ยท 20 + 18. Cven davukvirdiT sakiTxis arss da davadgineT, rom
bavSvebi marTlebi yofilan. marTlac, rogorc bunebriv enaSi, ise maTematikaSic jer iTqmis da iwereba
raodenoba, xolo Semdeg _ sagani, magaliTad: `sami vaSli~ an `sami cali vaSli~ (da ara `vaSli sami~
an `vaSli samjer~); `15 metri~ (da ara `metri 15~); `samoci~ da `xuTi aTasi~ (da ara `ocisami~ an
- 54 -
`aTasixuTi~); `oTxi y~ (da ara `y oTxi~) da sxva.
zogadad: X + X +... + X _ esaa k-jer X, da Caiwereba ase: k ยท X = kX, da ara Xk !aseve, bunebrivad lagdeba
sityvebis rigi namravlis wakiTxvisas:
amgvarad Cawerili ricxviTi
gamosaxuleba zedmiwevniT
misdevs ricxvis bunebriv saxelwodebas:
amrigad, tradiciul saskolo
ariTmetikaSi damkvidrebuli Cawera da
dasaxeleba namravlisa _ mcdaria. mcdaria erTdroulad maTematikuri da fsiqologiuri TvalsazrisebiT.
Cven pirvel klasSi Semogvaqvs cneba `naSTi~ _ gayofisagan damoukideblad, iseve rogorc iyo
zemore: 6 3 + 2 `eqvsi sameuli da naSTi ori~, anu `eqvsi sameuli da kidev ori~. `naSTi~, arsebiTad, igivea,rac `kidev~. vixilavT xan unaSTo, xan ki naSTian jufTebs (termini `jufTi~ moswavles ar sWirdeba,
masTan vambobT mxolod konkretulad: sameuli, oceuli da sxva). maswavlebelma winaswar unda SearCios
saTanado raodenoba, raTa misi jufTebad daSlis Sedegad miiRos an unaSTo an naSTiani jufTebi.
amisaTvis sakmarisia martivi wesis damaxsovreba (es wesi mxolod maswavleblisTvisaa, moswavleebi
mxolod V klasSi iswavlian): raime raodenoba mxolod maSin daiSleba unaSTo sameulebad, anu iyofa
samze, roca igi samis jeradia (36 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...), aseve, raime raodenoba mxolod maSin
daiSleba oceulebad, anu iyofa unaSTod ocze, roca igi ocis jeradia (20, 40, 60, 80, 1000, 120, 140,
...). sxva SemTxvevaSi ricxvis ocze gayofisas mogvrCeba naSTi. magram saqme isaa, rom naSTi aucileblad
gamyofze naklebi unda iyos. magaliTad, ricxvis 20-ze gayofisas an, rac igivea, raodenobis oceulebad
daSlis Sedegad naSTi ar SeiZleba iyos 21 an 20. es imitom, rom maSin naSTidan kidev erTi oceuli
gamoiyofoda. amitom 21-is SemTxvevaSi, sinamdvileSi, naSTi iqneboda 1, xolo 20-is SemTxvevaSi naSTi
iqneboda 0 _ rac imas niSnavs, rom ricxvi 20-is jeradia.
maSasadame, gamosaxulebani 3 20 + 21 an 7 20 + 20 ar gamosaxavs ricxvis oceulebad daSlas. unda
yofiliyo ase: 4 20 + 1 an 8 20. xolo Tuki ricxvi ocze naklebia, maSin naSTi TviT am ricxvis toli
iqneba, magaliTad: 9 = 0 20 + 9
jufTebad Tvlas emyareba mTeli Cveneuli ariTmetika. amaze damyarebiT III klasSi sul advilad
Semogvaqvs gamravlebis moqmedeba. is, rom 6 3 aris tol SesakrebTa jami, moswavleebma am droisaTvis
isedac kargad ician. erTaderTi, rCeba imis gaazreba, rom 63 raodenobiT igivea, rac 36. namravli imiT
gamoirCeva jufTebisagan, rom jufTebi yovelTvis raRac sagnebis jufTebia, xolo namravli _ zogadi
da ganyenebulia, `carieli~ ricxvebiTaa. aseve, sul advilad Semogvaqvs gayofis moqmedeba da gayofisas
morCenili naSTi (rac, sxvaTa Soris, sxva meTodikiT swavlebisas sakmaod Znelia). ra aris, magaliTad,
17-is 3-ze gayofa? sul advilia: Cvidmetis daSla sameulebad (rasac TvalsaCino moqmedebaTa donezea, I
klasSive kargad eufleba saSualoze dabali mzaobis moswavlec ki). 17-is sameulebad daSliT miviRebT:
5 3 + 2, ese igi, ganayofia 5, xolo 2 naSTia, xolo roca naSTi ar mogvrCeba, anu roca naSTi nulis
tolia, maSin ricxvi gamyofis jeradia, anu es ricxvi unaSTod iyofa 3-ze.
rogor unda SevasruloT gayofa, magaliTad, 94:11? es Zalian advilia: unda gavarkvioT, ramdeni
TerTmeteuli moTavsdeba 94-Si: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, maSasadame, moTavsdeba 8 cali 11 da
naSTad dagvrCeba 6. ese igi, ganayofia 8 da naSTi 6.
amrigad: 94 = 811 + 6. ese igi 94-is 11-ze gayofiT: ganayofia 8 da naSTi 6. aseve:
17 = 53 = 2 _ 17-is 3-ze gayofiT viRebT: 5 da naSTi 2.
18 = 63 + 0 _ 18-is 3-ze gayofiT: ganayofi 6 da naSTi 0.
81 = 420 + 1 _ 81:20 = 4 (naSTi 1)
160 = 820 + 0 _ 160 : 20 = 8 (naSTi 0)
179 = 820 + 19 _ 179 : 20 = 8 (naSTi 19)
15 = 029 + 15 _ 15 : 20 = 0 (naSTi 15)
35 = 120 + 15 _ 35 : 20 = 1 (naSTi 15)
35 = 310 + 5 _ 35 : 10 = 3 (naSTi 5)
18 = 181 + 0 _ 18 : 1 = 18 (naSTi 0)
1 = 03 + 1 _ 1-is 3-ze gayofiT: ganayofi 0 da naSTi 1
3 ยท 20 78 = 3 ยท 20 + 18
sam jer oci sam oc da Tvrameti
3 ยท 20 = 20 + 20 + 20 = `samjer oci~ = `sami cali oci~ =
= `oci gamravlebuli samze~ (termini `aRebuli~ _ ar varga)
- 55 -
0 = 03 + 0 _ 0-is 3-ze gayofiT: ganayofi 0 da naSTi 0.
esaa `SemcvelobiTi gayofa~. xolo tradiciuli midgoma, `Tanabari dayofa~, mcdaria. sakiTxi aseki ar unda davsvaT: `rogor gavunawiloT 88 lari Tanabrad 11 muSas?~, aramed _ `ramdeni 11-larianiTojinis yidva SeiZleba 88 lariT?~ gamravleba tol SesakrebTa mravaljeradi Sekrebaa, xolo gayofa
misi Sebrunebuli moqmedebaa _ anu ricxvis daSla tol Sesakrebebad.
wiladebis swavleba IV klasSi gaumarTebelia meTodikuri TvalsazrisiT (vaswavliT mxolod
nawilebs, isic mricxvel-mniSvnelis cnebaTa gareSe). saqme isaa, rom skolis pirvel oTx weliwadSi
bavSvi Zlivs aswrebs mTel ricxvTa ariTmetikis ZiriTadad gaazrebas da dauflebas da am dros
wiladis Semotana mas gonebas aurevs _ verc wilads gaigebs wesierad da verc naSTian gayofas. gayofa
mTel ricxvTa farglebSi (ese igi, naSTiani anu SemcvelobiTi gayofa) arsebiTad gansxvadeba gayofisagan
wiladTa farglebSi, romelic swored rom Tanabari dayofaa:
15:20 = 0 (naSTi 15) magram 15:20 = 15/30 = 3/4
mTel ricxvTa farglebSi wiladebis farglebSi
sanam pirveli bolomde wesierad ar momTavrebula, meoris dawyeba dauSvebelia. wiladebs sWirdeba
naSTiani gayofa, da ara piriqiT _ naSTian gayofas ar sWirdeba wiladebi, piriqiT, xels uSlis.
wiladebisTvis ki naSTiani gayofa aucilebelia, magaliTad:
179:20 = 8 (naSTi 19) da amitom = 8
ese igi wiladuri gayofa iwyeba naSTiani gayofiT, magram naSTze ar Cerdeba da miRebul naSTsac
anawilebs Tanabrad.
ariTmetikis mTavari sayrdenis, jufTebad Tvlis wyalobiT, moswavleebi gamravleba-gayofas sakmaod
advilad igeben, maT Soris naSTian gayofasac _ rac sxvagvari meTodikisaTvis Zneli sakiTxia. arsebiTad,
moswavlem ukve `icis~ gamravlebac da gayofac. saWiroa mxolod ramdenime advili nabijis gadadgma.
gayofas daviwyebT mas Semdeg, roca ZiriTadad movamTavrebT gamravlebas. jufTebad Tvlis safuZvelze
gayofis Semotanisas bunebrivia, rom jer SemovitanoT naSTiani gayofa, xolo Semdeg _ viTarca amis
kerZo SemTxveva _ unaSTo anu Cveulebrivi gayofa.
am Temis pirvel oTx, Semamzadebel safexurs (ricxvis daSla tol SesakrebTa sxvadasxvagvar
jamebad) didi mniSvneloba aqvs. isini algebris Temas aviTarebs, garda amisa, Zalian sasargebloa
rogorc gamravleba-gayofis TemisaTvis, ise sazogadod _ viTarc ariTmetikisa da kombinatorikis
damakavSirebeli gansakuTrebuli amocanebi. maTi meSveobiT moswavles kidev ufro metad uviTardeba
raodenobis gumani [$ 20].
Cveneuli midgomiT, gamravlebaca da gayofac rac SeiZleba ufro metad unda daemyaros mTavar
ariTmetikul moqmedebas _ Sekrebas; xolo Sekreba _ ubralo daTvlas. amiT dazRveuli viqnebiT
gamravleba-gayofis meqanikuri, gauazrebeli daswavlisagan. amitom gamravlebis cneba Semzadebulia
Sekrebis (tol SesakrebTa jamis gamoTvlis) amocanebiT. mtkiced unda davicvaT araTmetikuli
moqmedebaTa swavlebis ZiriTadi gegma:
daTvla Sekreba gamokleba
gamravleba naSTiani gayofa unaSTo gayofa wiladuri gayofa aTwiladebi
I klasSi Cven gamokleba marTlac Sekrebaze davafuZneT, ufro metic, II-III klasebSic zogjer zepiri
gamoklebis xerxebic zepiri Sekrebis xerxebze dagvyvavda. xolo TviT Sekreba I klasSi Tanmimdevrulad
davamyareT nivTebis Tvlaze. am gegmis darRveva ariTmetikul moqmedebaTa codnas Sinaarseulobas
daukargavs. aseve, gayofas gamravlebaze dayrdnobiT vasrulebT [$ 13].
Cveni dakvirvebisa da mravalwliani praqtikuli pedagogiuri muSaobis safuZvelze aSkarad Cans:
gamravleba-gayofis swavlebisaTvis araa Sedegiani tradiciuli `gamravlebis tabula~ (anu `piTagoras
cxrili~). gamravleba-gayofis arsis gaazrebisaTvisac, aucilebel namravlTa da ganayofTa
damaxsovrebisaTvisac da zepiri angariSis unarCvevaTa ganviTarebisaTvisac gacilebiT ufro Sedegiania
Cveneuli TvalsaCinoeba _ `gamravleba-gayofa ricxvTa xazze~. masze gamravleba-gayofa gacilebiT
ufro TvalsaCinod Cans, Cans agreTve isic, Tu ra sididisaa namravlebi, romeli romelze metia Tu
naklebi; da, rac mTavaria, SesaZlebelia naSTiani gayofis gaTvalsaCinoeba _ rac SeuZlebelia
tradiciuli `gamravlebis tabuliT~.
20
19
20
179
- 56 -
naSTiani gayofa ricxvTa sxivze
SevasruloT gayofa 95 : 11 . ricxvTa sxivze movZebnoT gasayofi 95 da mis marcxniv movZebnoT
pirvelive iseTi ricxvi, romelsac qveS Tanamamravlad uweria gamyofa 11.
aseTi ricxvia 88 = 8 11 . davTvaloT, ramdeni aklia am 88-s 95-mde: aklia 7.
ese igi 95-Si 11 moTavsdeba 8-jer da naSTad gvrCeba 7. anu:
95 = 8 11 + 7 . amitom 95 : 11 = 8 (n. 7) .
gayofa SekrebiT. vkriboT 11-eulebi manam, sanam ar mivaRwevT 95-s:
11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 88. kidev erTi 11-euli rom migvematebina,
miviRebdiT 99-s, anu gadavaWarbebdiT 95-s, es ki ar SeiZleba. amitom ganayofia 8.
xolo naSTad gvrCeba 7. anu: 95 : 11 = 8 (n. 7) .
gayofa gamoklebiT: 95-s vakloT 11-eulebi manam, sanam akldeba:
95 _ 11 _ 11 _ 11 _ 11 _ 11 _ 11 _ 11 _ 11 = 7 . meti aRar akldeba. ese igi 95-Si moTavsda 8
cali 11-euli da naSTad dagvrCa 7. amitom 95 : 11 = 8 (n. 7) .
kargi saklaso aqtivobaa _ moswavleebma imsjelon, Tu romeli xerxi moswonT da ratom.
naSTiani gayofis sami gamoyeneba.
klasis 26-ma moswavlem karuselze unda ikatavos. karuselis TiTo navSi 3 bavSvi eteva.
1) gvWirdeba ganayofi: ramden navs Seavseben bavSvebi? anu: ramdeni sameuli moTavsdeba 26-Si?
26 : 3 = 8 (n. 2). ese igi moTavsdeba 8 sameuli, amitom bavSvebi Seavseben 8 navs.2) gvWirdeba naSTi:
ramdeni bavSvi darCeba (bolo navSi)? 26 : 3 = 8 (n. 2). bolo navSi 2 bavSvi rCeba.
3) gvWirdeba ganayofze erTiT meti ricxvi: sul ramdeni navi dasWirdebaT bavSvebs?
26 : 3 = 8 (n. 2). ese igi bavSvebs dasWirdebaT 8 + 1 = 9 navi.naSTiani gayofa _ esaa oTxive ariTmetikuli moqmedebis gamaerTianebeli `gvirgvini~, erT-erTi
yvelaze ufro mniSvnelovani da saWiro sakiTxi dawyebiTi klasebis maTematikis programidan, romelic,
rogorc gamoCnda ganaTlebis saministros Sefasebis centris mier Catarebuli sagangebo testirebebiT,
ar icis ara mxolod IV-V klaselTa, aramed agreTve skoladamTavrebulTa udidesma nawilmac ki (maSin
rodesac naSTiani gayofis gareSe SeuZlebelia mTeli danarCeni ariTmetikis, maT Soris wiladebisa Tu
procentebis gaazrebulad swavla _ ese igi, saskolo maTematikis yvelaze mTavar da mniSvnelovan
sakiTxebs saZirkveli ecleba). Cveneuli TvalsaCinoebani _ rogorc I klasis `dominoseburi~, ise III-IV
klasebis `gamravleba-gayofa ricxvTa xazze~ _ saukeTeso safuZvelia, kerZod, naSTiani gayofis Rrmad,
aqtiurad, bolomde gaazrebulad saswavleblad. am meTodikiT naswavlma moswavleebma gaazrebulad da
mtkiced ician, kerZod, naSTiani gayofa. es imasac niSnavs, rom maT aseve xarisxianad ician mTeli oTxi
klasis ariTmetika, radgan uamisod naSTiani gayofis gaazrebulad da mtkiced daufleba SeuZlebelia.
$ 14. ariTmetikis swavlebis ZiriTadi safexurebi
dawyebiT klasebSi swored sityvieri donis ganviTareba da ganmtkicebaa mTavari. swored esaa gza
namdvili azrovnebisaken, radganac azri ganuyofelia sityvisagan da sityva _ azrisagan. adamianuri
cnobierebis dvrita da misi mayalibebeli _ esaa ena. sityvieri anu gonebismieri donis ganviTarebas
ki xels uSlis weriT moqmedebaTa naadrevi SemoReba, radgan bavSvis mTeli yuradReba sakiTxis namdvil
arss scildeba da daweril niSnakebs utrialebs. saqme isaa, rom dawerili niSnakebi TvalsaCinoa da
amitom ufro izidavs bavSvis gonebas. bavSvs niSnakebze moqmedebebi ufro eadvileba, vidre gonebaSi
warmodgenil sityvebze da azrebze. magram, samwuxarod, niSnaki cudi da Semacdeneli `TvalsaCinoebaa~ _
- 57 -
is ar miemarTeba sakiTxis namdvili arsisaken, piriqiT, bavSvis cnobiereba mcdari da yalbi
mimarTulebiT mihyavs. kargi TvalsaCinoeba ki aris jer saTvleli nivTebi da Semdeg _ maTi Semcvleli
sqemebi da naxazebi (da ara ferad-feradi naxatebi _ romlebsac agreTve mcdari da yalbi mimarTulebiT
mihyavs bavSvis cnobiereba). ufro metic, maSin rodesac sawyis safexurebze nivTieri TvalsaCinoeba
yovlad aucilebelia, momdevno safexurebze isic Semaferxebeli xdeba. am dros bavSvis goneba masac
unda moswydes _ raTa sakiTxis azrismier donemde amaRldes. amitom nivTier TvalsaCinoebaze metismetad
SeCerebac fuWia da xelisSemSleli. xolo ricxviT CanawerTagan gacilebiT ukeTesi TvalsaCinoebaa
jufTebis Sesabamisi gamosaxuleba, vidre cifruli Canaweri. magaliTad, gamosaxuleba
3 ยท 100 + 8 ยท 10 + 4 uSualod, pirdapir da srulad gviCvenebs Sesabamisi raodenobis Semadgenlobasa da
agebulebas, xolo cifrul CanawerSi 384 am yvelafris danaxva mxolod xangrZlivi varjiSisa da didi
gamocdilebis Semdegaa SesaZlebeli. amitom raodenobis Rrmad sawvdomad da ricxvis gumanis
gansaviTareblad swored gamosaxulebaTa weraa upriani.
III-IV klasebSi TandaTan rTuldeba gamoTvlaTa wesebi. maswavlebeli yovelnairad unda ecados, rom
moswavleebs gaaazrebinos gamoTvlebis wesebi _ ratomaa saWiro swored amgvari moqmedebebi. Cveni
programa aqeTkenaa mogezili. Tumca, rasakvirvelia, dabali mzaobis moswavleebisaTvis es gaazreba
miuwvdomeli iqneba; saSualo moswavleebi gaiazreben nawilobriv, mxolod maRali mzaobis moswavleebi
gaiazreben mTlianad da Tanmimdevrulad.
Semajamebli sqema:
sqemaze TvalsaCinoa moqmedebaTa ierarqia: romelia maRali rigis moqmedeba da romeli _ dabalisa.
magram saqme isaa, rom yoveli moqmedeba mWidrod unda daemyaros mis winare, ufro dabali rigis
moqmedebas, raTa safuZveli ar gamoecalos.
sqemaze sxva ramec TvalsaCinoa: zepiri (gonebaSi) momqedebis upiratesoba weriTTan SedarebiT. weriTi
moqmedeba winaswar kargad ganmtkicebul imave zepir moqmedebas unda daemyaros, Tanac wamyvani mainc
zepiri moqmedeba unda darCes. mag., gaumarTlebelia qveSmiweriT Sekreba-gamokleba manam, sanam moswavle
ar gaiazrebs aramarto Sekreba-gamoklebis cnebebs, aramed agreTve zepiri Sekreba-gamoklebis xerxebsac.
amas ki I-II klasebi sWirdeba. ese igi qveSmiweriT Sekreba-gamokleba III klasamde araa saWiro.
Sesabamisad, qveSmiweriT gamravleba-gayofis dawyeba umjobesia IV klasidan, radgan III klasSi moswavlem
jer qveSmiweriT Sekreba-gamokleba unda gaiTavisos.
am gegmis darRveva, romelime isris anu mWidro kavSiris gawyveta ariTmetikul moqmedebaTa codnas
Sinaarseulobas daukargavs da sqolastikur manipulaciebSi gadaiyvans maT. xolo am gegmis dacva
moswavlis mier qveSmiweris wesebis gaazrebul dauflebas ganapirobebs (es ki udidesi maTematikuri
miRwevaa); migvaRwevinebs saskolo maTematikis erT-erT umTavres zogad miznamde _ ricxvis gumanisganviTarebamde [$ 20].
dawyebiTi klasebis ariTmetikis mTavari miznebia:
1) moswavles Tavisuflad SeeZlos mravalniSna ricxvTa wakiTxva da Cawera;
2) esmodes ricxvSi aTeulTa, oceulTa, aseulTa, aTaseulTa da sxvaTa raodenobis gamoTvlis
saSualebani;
3) myarad da aqtiurad flobdes zepiri angariSis unarCvevebs;
10-is xarisxebi aTwiladis cnebaweriTi gamoTvlis wesebi
axarisxeba wiladis cneba
Tanabari dayofaqveSmiweriT angariSi
zepiri gamravleba zepiri naSTiani gayofa zepiri unaSTo gayofa
qveSmiweriT angariSi
zepiri Sekreba zepiri gamokleba
Sedareba
Tvla
Tvla: ricxvebis saxelwodeba Tanrigobrivi agebuleba cifruli Canawerebi
advili zepiri
Sekreba-gamoklebis xerxebi
advili zepiri
gamravleba-gayofis xerxebi
advil zepir
moqmedebaTa xerxebi
proporciuli dayofa
- 58 -
4) myarad da aqtiurad flobdes weriTi angariSis gaadvilebis unarCvevebs, SeeZlos gamoTvlebis
uadvilesi gzebis povna;
5) icodes weriTi gamoTvlebis standartuli algoriTmebi.
amasTan, mexuTe mizani _ pirvel oTxTan SedarebiT naklebmniSvnelovania. amitom araTu maTematikis,
aramed sakuTriv ariTmetikis swavlebis dayvanac ki ar SeiZleba am mexuTe mizanze (samwuxarod, es Za-lian xSirad xdeba). unda gvaxsovdes, rom mexuTe mizans Crdilavs da aufasurebs erTi ubralo ram _
adre Tu gvian moswavleebi daiwyeben kalkulatoris gamoyenebas (Cveni programiT es gaTvaliswinebulia
VI-VII klasebidan [$ 14.1]). xolo pirvel oTx mizans kalkulatori odnavadac ar amcirebs: sayofac-
xovrebo viTarebebSi xSirad gvxdeba imgvari gamoTvlebi, romlebic gacilebiT ufro advilad da sai-
medod SeiZleba SevasruloT zepirad, vidre kalkulatoriT.
amasTan, zedmetia da fuWia wesebis swavleba: `imisaTvis raTa samniSna ricxvs gamovakloT mrgvaliricxvi, saWiroa aseulebis ricxvebi...~ am wesebis gaazrebac da damaxsovrebac Zalian Znelia, kidev ufro
Znelia yovel kerZo SemTxvevaSi swored saWiro wesebis gaxseneba da misadageba. kidev erTxel, mTavaria
meTodikis guldasmiT Sesruleba da moswavleTa bevri varjiSi.
bolos, dasazustebelia termini komponenti (Semadgeneli nawili). sxvaa ricxviTi gamosaxulebis
komponenti da sxvaa _ tolobisa. gansxvavebulia, kerZod, Sedegis (mniSvnelobis) sakiTxi. is ar aris
ricxviTi gamosaxulebis komponenti, magram aris tolobis komponenti. mag.: 183 _ 11 = 172. aq 183 da
11 orive azriT aris komponenti, magram 172 aris mxolod tolobis komponenti _ magram ara ricxviTi
gamosaxulebisa (gamoklebisa). asevea Sekrebis, gamravlebis, gayofisa da sxva ricxviTi gamosaxulebis
SemTxvevaSic _ Sedegis mniSvneloba ar aris misi komponenti, magram aris tolobis komponenti.
$ 14.1. kalkulatoris xmareba
es daSvebuli unda iyos mxolod rTuli gamoTvlebis Casatareblad, magaliTad, statistikuri
Sinaarsis amocanebSi. xolo Cveulebriv amocanebSi amgvarma gamoTvlebma, sasurvelia, moswavles arc
mouwios da ese igi, mas kalkulatori arc dasWirdes. kalkulatoris xmareba VI-VII klasebamde
daangrevs ariTmetikis codnas _ bavSvi ver SeZlebs zepirad Seasrulos amgvari gamoTvlebi:
magaliTad: 113 ยท 3; 545 : 5; milions gamoklebuli 10, an 3, an 1000, an 250 aTasi;
5362 + 3000; 67093 โ 24000; 195 + 674; 1000 โ 715; 890 โ 298; 2300 ยท 3; 4 320;
16800 : 4; 56000 : 8; 30 ยท 40; 126 : 3; 450000 : 90;
Tvrameti milioni gayofili an gamravlebuli 3-ze; 8 aTass gamoklebuli 11;
1 m 40 sm : 5; 1 kg _ 360 g; 2 t : 6; 105/45 = 2 1/3 ;
400 aTasi laris 15 % 3,5 miliardis naxevari; 1 sT 45 wT + 2 sT 35 wT;
da, rac mTavaria, naSTiani gayofa (romelic dawyebiTi klasebis mTeli ariTmetikis gvirgvinia):
90 : 21; 1 mln : 150 aTasi.
amgvari gamoTvlebi, jer erTi, gacilebiT advilad, uSecdomod da Tan swrafad sruldeba zepirad,
gonebaSi, vidre kalkulatoriT; meorec, aviTarebs azrovnebasa da ganamtkicebs maTematikis codnas;
mesamec, aucilebelia praqtikulad, radgan yvelgan kalkulators ver ixmar. amasTan, uaRresad
mniSvnelovania ricxvis gumanis ganviTareba [$ 20] _ miaxloebiTi angariSisa da miaxloebiTi
Sefasebis unarCvevebi, romlebic ver ganviTardeba gonebaSi mravalwliani angariSis gareSe.
$ 15. geometriuli da umartivesi topologiuri cnebebi
Cveneul gaerTianebul kursSi geometriis wili tradiciulze metia. Tanac es iwyeba pirvelive
klasidan, romlis programis ramdenime siaxleTagan erT-erTi swored geometriis mkveTri gaZlierebaa
(logikasTan erTad).
saxelganTqmuli maTematikosi, akademikosi v. arnoldi abstraqtul-formalistur midgomas saskolo
geometriisadmi moixseniebs `sqolastikuri tvinisWyletis~ saxeliT, romelic namdvili `kiseliovuri~
maTematikuri codnis mospobas cdilobs!
Cveneuli geometria topologiaze, logikasa da simravleTa Teoriazea dafuZnebuli. geometriis swav-
lebaSi ramdenime safexuri gamoikvTeba:
I-IV klasebSi vaswavliT mraval geometriul cnebas: kubi, kvadrati, marTkuTxedi, wre, wertili,
monakveTi, texili, mrudi, samkuTxedi, oTxkuTxedi, xuTkuTxedi, ... , mravalkuTxedi, misi gverdi,
waxnagi, wibo, wvero da sxva. magram TiTqmis yovelTvis gansazRvrebaTa gareSe vaswavliT. ganisazRvreba
- 59 -
mxolod is cnebebi, romlebic eqvemdebareba advil, da rac mTavaria, TvalsaCino gansazRvrebas (mag.,texili). swavlebis sayrdenia uSualo TvalsaCino Cveneba, xatovani warmodgena da moswavlis mier
mravali geometriuli amocanis amoxsna. maT Soris mTavaria mravalferovani amocanebi xazvaze, romelTa
Sesrulebisas moswavle sakuTari xeliT xazavs nakvTebs.
V-VI klasebSi iwyeba mcire Teoria, ganisazRvreba ramdenime mniSvnelovani geometriuli cneba (mag.,wre da wrexazi). safuZvlianad iswavleba farTobisa da moculobis cnebebi da gazomva, simetria.
planimetriis paralelurad stereometriac muSavdeba: sfero, birTvi, cilindri, kubi, aguredi
(marTkuTxa paralelepipedi)... es xazi dagvirgvindeba eileris ulamazesi TeoremiT mraval-
waxnagebisaTvis.
sazogadod, stereometriis swavleba planimetriis paralelurad _ Cveneuli meTodikis erT-erTi
Taviseburebaa. V klasSi erTad iswavleba birTvi, sfero, wre da wrexazi; Semdeg, kvlav wresTan
dakavSirebulad _ cilindric. aseve, VI klasSi erTad iswavleba marTkuTxedi da aguredi (marTkuTxaparalelepipedi), kubi da kvardati; xolo momdevno klasebSi _ samkuTxedi da samkuTxa prizma,
samkuTxedi da piramida da sxva.
VII klasSi pirvelad Semogvaqvs SemousazRvreli nakvTebi (sxivi, wrfe, kuTxe). viwyebT damtkicebebs.viTardeba stereometriis Temebic (Slilebi da sxva).
VIII-IX klasebSi logikur da istoriul konteqstSi vaswavliT, ra aris gansazRvreba, aqsioma da
Teorema. mxedvelobiT iluziebze da logikis xaziT naswavl kerZo/zogadis mimarTebaze damyarebiT
vasabuTebT zogadi da zusti damtkicebis saWiroebas. aRvwerT aqsiomaTa nimuSebs da maTgan ramdenime
Teoremis gamoyvanas. mkacrad ganvsazRvravT wina wlebSi TvalsaCino doneze naswavl geometriul
cnebebs, da zogierT axalsac. vaswavliT umTavres planimetriul Teoremebs damtkicebebiT (gavdivarTdaaxloebiT piTagorasa da Talesis Teoremebamde), oRond ara formalur-aqsiomatikuri midgomiT.
danarCeni sakiTxebi maRal skolaSi, X-XII klasebSia. vaswavliT mxazvelobiTi geometriis sawyisebsac
_ sxeulTa xedebsa da izometrias.
yvelaze mTavaria geometriis gaerTianeba ariTmetika-algebrasTan. amas I klasis pirvelive kviridan
viwyebT. V klasSi paralelurad da urTierTSerwymulad iswavleba: erTi mxriv, naxevari, meore mxriv,
wre da wrexazi, diametri da radiusi, birTvi, sfero, naxevarbirTvi da naxevarsfero; aseve, erTi mxriv,
mTelis nawilebi (martivi wiladebi), xolo meore mxriv _ rkali da seqtori, wris dayofa tol
nawilebad (mxazvelobiTi amocana), wriuli diagrama... VI klasSi: erTi mxriv, wiladebisa da aTwila-
debis gamravleba-gayofa, xolo meore mxriv _ marTkuTxedis farTobi da aguredis moculoba; erTi
mxriv, ricxvis kvadrati da kubi, meore mxriv, kvadratis farTobi da kubis moculoba...
sakuTriv geometriis (kerZod, planimetriis) programaSi mTavari sakiTxia geometriuli nakvTebis
dajgufeba maTi raobis mixedviT. amgvar dajgufebaTa saboloo Semajamebeli sqema-suraTi warmodgenilia
moswavlis saxelmZRvaneloTa boloSi an ydis Siga mxares. sqemidan TvalsaCinod Cans, rom, magaliTad:
xazebi iyofa monakveTebad, texilebad da mrudebad; Tavis mxriv texilebi iyofa gaxsnil, Sekrul da
sxva texilebad; aseve mrudebic iyofa gaxsnil, Sekrul da sxva mrudebad. es `sxva~ texilebi da
mrudebi _ iseTebia, romlebic TavisTavs kveTs. cxadia, amgvar xazebs Tavidanve ar vaswavliT,
vifarglebiT mxolod martivi xazebiT _ romlebic TavisTavs ar kveTs.
nakvTebis dajgufeba TavisTavadac Zalian saWiroa maTematikisaTvis, magram kidev ufro mniSvnelovani
isaa, rom esaa saukeTeso savarjiSo sazogadod logikuri dajgufebisa da daxarisxebis sawyisebis
asaTviseblad. geometria da kerZod ki nakvTebis dajgufeba saukeTesod aviTarebs logikur azrovnebas.
nakvTebis dajgufebani araa Zneli gasaazrebeli konkretul-TvalsaCino doneze. miT umetes, roca
Tvalwin saTanado TvalsaCinoebaa (moswavleebs misi gamoyenebis ufleba aqvT Semajamebel werebzec ki).
maswavlebelma ki cota dawvrilebiT da ufro zustad unda icodes.
nakvTi _ sibrtyis iseTi nawilia, romelic araa gawyvetili. ese igi nakvTi mTliania, is SeiZleba
iyos gaxvretili, magram nawilebad dawyvetili ki ar SeiZleba iyos. xolo sxeuli araa arcerTi
sibrtyis nawili, gawyvetili arc is ar SeiZleba iyos, gaxvretili ki sxeulic SeiZleba iyos.
amgvarad, nakvTi _ esaa yovelgvari brtyeli `figura~. wertilebi, xazebi, mravalkuTxedebi, wreebi,
rgolebi Tu yovelgvari `uswormasworo laqebi~ _ yvela nakvTebia. nakvTs SeiZleba hqondes naxvretic
(magaliTad, rgols aqvs), magram gawyvetili ki ar SeiZleba iyos.
sivrciTi `figura~ _ sxeulia. magaliTad, kubi, piramida, prizma da sxva _ sxeulebia. maTi waxnagi
- 60 -
_ brtyelia, mravalkuTxedia. ori mezobeli waxnagis saerTo monakveTi _ wiboa. ori mezobeli wibos
saerTo wertili ki _ wveroa.
kubi oTxkuTxa piramida samkuTxa prizma
monakveTi _ ori wertilis SemaerTebeli swori xazia. am wertilebs ewodeba monakveTis boloebi.monakveTi _ SemosazRvruli swori xazia. xolo wrfe _ orive mxridan SemousazRvreli swori xazia.
SemousazRvrelobis gamo wrfis daxazva SeuZlebelia. misi naxazi pirobiTia, ufro aRniSvnaa, vidre
naxazi. wrfes mxolod gonebiT Tu warmovidgenT, isic pirobiTad. swored amitomaa is Zneli cneba.
sazogadod, SemousazRvreloba da usasruloba _ uZnelesi cnebebia, maTi sakiTxi dRemde araa sabolood
garkveuli mecnierebaSic ki. yovelive amasTan erTad, dawyebiTi klasebis moswavles ubralod araferSi
ar sWirdeba wrfe (arc saganmanaTleblo standartSia), dawyebiTi klasebis geometriis sakiTxebisaTvis
savsebiT sakmarisia monakveTi _ es ki Zalian TvalsaCino, adviladmisawvdomi cnebaa. bavSvi mainc ver
ganarCevs erTmaneTisagan grZel monakveTsa da wrfes, mas wrfe mainc Zalian grZeli monakveTi egoneba.
yovelive amis gamo wrfe Cven VII klasamde ar Semogvaqvs. amitom arc maswavlebelma unda axsenos. miT
umetes, rom farTodaa gavrcelebuli mcdari warmodgenebi wrfisa da monakveTis Sesaxeb. hgoniaT, rom
monakveTs gamsxvilebuli an Strixebiani boloebi aqvs. naxazze monakveTis boloebs zogjer ki
amsxvileben, magram es mxolod maT gamosakveTad, ukeT dasanaxad keTdeba. sinamdvileSi monakveTis
boloebi iseTive wertilebia, rogoric danarCenebi, gansxvavebulia mxolod maTi mdebareoba.
geometriuli wertilis sigrZec, siganec da sisqec nulis tolia. monakveTis bolo wertili iseTive
wertilia, rogorc Sua wertili. aseve gavrcelebuli Secdomaa, roca monakveTis naxazi
(gaumsxvilebeli boloebiT) wrfis naxazad miaCniaT.
texili xazi ewodeba iseT xazs, romelic ori an meti monakveTisagan Sedgeba. yvela sxvagvari xazi
_ mrudi xazebia. texili mxolod monakveTebisagan Sedgeba. mezobeli monakveTebis saerTo wertils an
gaxsnili texilis bolo wertils texilis wvero ewodeba.
mrudi SeiZleba ar moicavdes monakveTebs, SeiZleba kidevac moicavdes. magram is gamrudebul xazsac
moicavs. Tuki xazi erTgan maincaa gamrudebuli, is mrudi xazia.
ganvixiloT axla ramdenime topologiuri sakiTxi. vTqvaT, moce-
mulia raime xazi (monakveTi, texili an mrudi, sul erTia _ ix. nax.4).
riT gamoirCeva xazis bolo wertili (magaliTad, E) sxva, xazis Sigawertilebisagan? bolo E wertils uerTdeba xazis erTaderTi Sto anu nawili; yovel Siga wertils ki
uerTdeba xazis ori an meti Sto, magaliTad:MM wertils marjvnidanac da marcxnidanac uerTdeba TiTo
Sto, sul _ 2 Sto; B wertils uerTdeba 3 Sto, xolo C wertils _ 5 Sto.
Tuki Siga wertili iseTia, rom mas uerTdeba xazis orze meti Sto,
maSin es wertili _ xazis TavisTavTan gadakveTis wertilia. aseTebia,
magaliTad, nax.4-is B da C wertilebi da nax.5-is K, A da T wertilebi.
es xazebi ki _ TavisTavis gadamkveTi xazebia.
iseT xazs, romelic ar kveTs TavisTavs,
ewodeba martivi xazi:ese igi xazi an martivia, an TavisTa-
gaxsnili texilebi gaxsnili mrudebi
Sekruli texilebi SEekruli mrudebi
s x v e b i _ arc
Sekruli da arc gaxsnili
- 61 -
vis gadamkveTia. martivi xazis arcerT wertils ar uerTdeba sami an meti Sto.
martivi xazi SeiZleba iyos an gaxsnili an Sekruli. Sekrul xazs bolo wertilebi ara aqvs.
magaliTad, nax. 6-ze I, II, III da VI xazebi _ gaxsnilebia, xolo IV, V da VII xazebi _ Sekrulebi.
gaxsnili xazi imiTac gansxvavdeba Sekruli xazisagan,
rom gaxsnili xazi ar SemosazRvravs arcerT Siga ares,
Sekruli xazi ki _ SemosazRvravs (nax.7).
TavisTavis gadamkveTi xazic SeiZleba iyos Sekruli
an gaxsnili, magram SeiZleba arc erTi iyos da arc meore.
Sekruli xazi ewodeba iseT xazs, romelsac ara aqvs arc erTi bolo wertili;
gaxsnili xazi ewodeba iseT xazs, romelic ar SemosazRvravs arcerT Siga ares.
magaliTad, nax. 8-ze mocemuli xazebidan:
I-s, II-s da III-s ar aqvs arcerTi bolo, amitom isini _ Sekruli xazebia;
IV da V xazebi _ gaxsnilebia, radganac isini ar SemosazRvravs arcerT Siga ares;
VI da VII xazebi _ arc Sekrulebia da arc gaxsnilebi: araa Sekrulebi imitom, rom orives aqvs
boloebi; araa gaxsnilebi imitom, rom orive SemosazRvravs Siga ares. rogorc iTqva, martivi xazis
SemTxvevaSi es ar SeiZleba moxdes _ igi an Sekruli iqneba an gaxsnili.
mravalkuTxedi ewodeba iseT nakvTs, romelic SemosazRvrulia erTi martivi Sekruli texili
xaziT. mravalkuTxedi Sedgeba erTi Siga aresagan da sazRvrisagan. mravalkuTxedis sazRvari _ martivi
Sekruli texilia:
yovel mravalkuTxeds imdenive
wvero aqvs, ramdenic _ gverdi.
mravalkuTxedebi jgufdeba
gverdebis (an wveroebis _ sulerTia!)
raodenobis mixedviT: samkuTxedebi, oTxkuTxedebi, xuTkuTxedebi da ase Semdeg.
SedarebiT Zneli gasaazrebelia rTuli dajgufebani, roca erTi jgufi ramdenime TanaukveT jgufad
ki ar iyofa, aramed moicavs sxva jgufs, viTarc nawils. magaliTad: oTxkuTxedebi moicavs
marTkuTxedebs, marTkuTxedebi ki moicavs kvadratebs [ix. geometriis sqema-TvalsaCinoeba moswavlis
saxelmZRvaneloTa ydaze]. xSirad es sami cneba erTmaneTSi aRreuli aqvT da terminebsac arazustad
xmaroben xolme. zustad ki asea:
oTxkuTxedi aris iseTi mravalkuTxedi, romelsac oTxi gverdi (da, ese igi, oTxi wvero) aqvs. sxva
mxriv oTxkuTxedi araa SezRuduli, igi SeiZleba nebismieri iyos _ maT Soris rombi, trapecia,
`kuTxiseburi~ da sxva (ix. igive sqema).
marTkuTxedi _ iseTi oTxkuTxedia, romelsac oTxive kuTxe marTi aqvs. yoveli marTkuTxedi aris
oTxkuTxedi, magram piriqiT ara: yoveli oTxkuTxedi ar aris marTkuTxedi, mxolod zogierTi
oTxkuTxedi aris marTkuTxedi. aseve, yoveli kvadrati aris marTkuTxedi, magram piriqiT ara: yoveli
marTkuTxedi ar aris kvadrati. mxolod zogierTi marTkuTxedi aris kvadrati _ kerZod ki iseTi,
romelsac oTxive gverdi toli aqvs.
Cvens saxelmZRvaneloSi xSiria amocanebi nakvTebis daTvlaze an amocnobasa da kanonzomierebis
aRmoCenaze. amgvar amocanebSi gansakuTrebiT aucilebelia sizuste: kvadratica
da marTkuTxedic unda CaiTvalos oTxkuTxedad, aseve kvadrati unda
CaiTvalos marTkuTxedad, magram piriqiT _ ara!
vTqvaT, axla mocemulia sibrtyeze erTmaneTis gadamkveTi xazebi:
es xazebi sibrtyes areebad yofs. warmovidginoT, rom mTeli sibrtye daWrilia, daserilia am xazebze.
ramden naWers miviRebT? xuTs: erTi yvelaze didia _ gare are, danarCeni oTxi ki _ Siga are. ar unda
SegveSalos: es xazebi qmnis mxolod 4 Siga ares, marTkuTxedebis sazRvrebs ki _ mets. am naxazze 9
marTkuTxedis danaxvaa SesaZlebeli, Siga aresi ki _ mxolod 4-isa (Tu ratomaa es ase _ ix. qvemore).
ori mravalkuTxedi ar iTvleba mosazRvred, Tuki maT mxolod wvero aqvs saerTo. maTi gaerTianebiT
mravalkuTxedi ar miiReba! mosazRvre mravalkuTxedebs erTi mokle monakveTi mainc unda hqondes
- 62 -
saerTo. maSin isini erTmaneTs esazRvreba da maTi gaerTianebiT axali mravalkuTxedi miiReba:
aseve, ori are maSin esazRvreba erTmaneTs, Tuki maT sazRvrebs aqvs
saerTo xazi, Tundac patara. Tuki sazRvrebs saerTo aqvs mxolod
wertilebi, maSin aseTi areebi erTmaneTs ar esazRvreba.
maSasadame, erTmaneTis mosazRvred ar miviCnevT nakvTebsa Tu areebs, Tuki:
1) maT saerTo aqvT mxolod calkeuli wertilebi; anda:
2) saerTo aqvT are, romelic SeiZleba moicavdes erT mainc,
Tundac umcires wres.
axla gavarkvioT, Tu ratomaa, rom mosazRvre nakvTebis gaerTianebiT axali
nakvTi miiReba, xolo mosazRvre areTa gaerTianebiT ki are ar miiReba.
am gansxvavebas logikuri mizezi aqvs. saqme isaa, rom are arsebiTad gansxvavdeba nakvTisagan: nakvTi
moicavs Tavissave sazRvars, xolo are _ ar moicavs. cxadia, sazRvari aresac aqvs, magram masSi ar
Sedis. maTematikurad: nakvTi _ sibrtyis wertilTa Caketili simravlea, xolo are _ Ria. Tuki ares
gavaerTianebT Tavissave sazRvarTan, miviRebT nakvTs. aseve piriqiTac, Tuki nakvTs movacilebT Tavissave
sazRvars, miviRebT ares. da raki are ar moicavs Tavis sazRvars, amitom ori mosazRvre ares
gaerTianebis Sedegad maT Soris rCeba `sicariele~ (sazRvris is xazi, romelzec Tavidanve TiTqos
`daserili~ iyo sibrtye), amitom miRebuli simravle gawyvetiliviTaa _ are ki ar SeiZleba, rom iyos
gawyvetili. amitom mosazRvre areTa gaerTianebiT ares ver miviRebT. xolo mosazRvre nakvTebis
gaerTianebiT ki isev nakvTs miviRebT, radgan maT Soris `sicariele~ ar darCeba.
yovelTvis erTmaneTisagan unda iyos garCeuli ares Semcveli nakvTi da am nakvTis sazRvari.ganvixiloT, magaliTad, wre. igi moicavs Siga aresac da sazRvarsac. wris sazRvari _ wrexazia (anu
wrewiri). aseve, kvadratic moicavs Siga aresac da sazRvarsac. kvadratis sazRvari Sedgeba oTxi toli
gverdisagan. asevea kubic. kubi mTliania, Signidan `savsea~, misi sazRvari ki eqvsi toli waxnagisagan
Sedgeba. xolo birTvis sazRvari aris sfero.
sazogadod, nakvTis sazRvari _ Sekruli xazia. kerZod, mravalkuTxedis sazRvari _ Sekruli
texilia; danarCeni nakvTebis sazRvari _ Sekruli mrudia. yvela SemTxvevaSi sazRvari, xazi _ Signidan
carieliviTaa. xolo mis mier SemosazRvruli nakvTi _ Signidan savsea, moicavs Siga aresac. amitom
wreebis, rgolebisa Tu mravalkuTxedebis naxazebi moswavlem yovelTvis unda gaaferados. xolo xazis
Signidan gaferadeba araa saWiro. zogjer moswavles evaleba xazis mxolod Seferadeba, anu maszeferadi fanqris gadatareba. Seferadeba ar aris gaferadeba! gaferadeba farTobis, ares gaferadebasniSnavs. igi metia, vidre Seferadeba.
rgoli imiTaa gamorCeuli, rom misi Siga are naxvretiania, xolo sazRvari ori xazisagan Sedgeba:
didi da mcire wrexazisagan (ix. igive sqema).
am sakiTxebis gaazrebisa da, kerZod, naxazebis gaferadebis gareSe Cven erTmaneTisagan ver
gavarCevdiT, magaliTad, sam sxvadasxva nakvTs: wres, rgolsa da wrexazs.
sazogadod, yovelTvis unda iyos zustad garkveuli, Tu romel wertilebs, romel ares
moicavs esa Tu is nakvTi. mxolod gare moxazuloba araa sakmarisi nakvTis gansasazRvravad!
es yovelive gansakuTrebiT sayuradReboa imitom, rom TiTqmis yvela saxelmZRvaneloSi es sakiTxebi
aRreulia. gaugebaria, ras uwodeben, magaliTad, samkuTxeds: sami monakveTisagan Semdgar Sekrul
texils? maSin rogor gavarCioT texilisagan? anda maSin samkuTxedis farTobi xom nulis toli iqneba!
erTi kerZo meTodikuri sakiTxic. nakvTebis ganxilvisas xSiradaa saWiro saTanado nakvTis
magaliTebis daxazva. maswavlebelma yuradReba unda miaqcios imas, rom (rogorc esaa Cveneul saxelmZR-
vaneloebSi) magaliTebi mravalferovani iyos: rogorc simetriuli, ise arasimetriuli nakvTebic,
rogorc amozneqili, ise Cazneqili (araamozneqili) nakvTebi, rogorc `saSualo da tipuri~, ise Zalze
viwro da wagrZelebuli nakvTebic, cerad daxazuli nakvTebic da sxva [ix. kvlav mTavari geometruli
- 63 -
sqema-TvalsaCinoeba]. amas didi mniSvneloba aqvs Sesabamisi geometriuli cnebis ganzogadebisTvis. mos-
wavles (amis sagangebo axsnis gareSe) unda daumkvidrdes marTebuli warmodgena _ man unda icodes, Tu
rogor sxvadasxvagvar magaliTebs moicavs esa Tu is cneba, rogori sxvadasxvagvari kerZo saxe SeiZleba
miiRos ama Tu im geometrulma formam.
amrigad, maswavlebeli saklaso muSaobisas ar unda Semoifarglos mxolod simetriuli da `tipuri~
nakvTebiT (nimuSisaTvis mas mTavari geometruli sqemis gadaxedva SeuZlia).
$ 16. sayofacxovrebo amocanebi da saTanado TvalsaCinoeba;
algebrisa da maTematikuri modelirebis sawyisebi
ariTmetika _ pirveli donis ganzogadeba-ganyenebaa: konkretuli nivTebis grovebidan ricxvebamde.
xolo algebra _ meore, ufro maRali donis ganzogadeba-ganyenebaa: konkretuli ricxvebidan zogad,
cvlad, nebismier ricxvebamde (romlebic ufro xSirad laTinuri asoebiT aRiniSneba).
dawyebiT klasebSi algebris Tema ifargleba Semdegi ZiriTadi sakiTxebiT: 1) ariTmetikul
moqmedebaTa ucnobi komponentis moZebna. es advili sakiTxebia, iwyeba I klasidanve. Tumca Tavidan es
Tema viTardeba `iqsebis~ gareSe. ucnobis aRmniSvneli laTinuri asoebi Semogvaqvs mxolod III-IV
klasebSi, isic Zalian mozomilad. 2) ariTmetikul moqmedebaTa umartivesi Tvisebani da maTi
gamoyenebani _ zepiri angariSis advili xerxebi. es sakmaod Zneli, Tumca Zalian mniSvnelovani
sakiTxebia, rogorc praqtikuli, ise azrovnebis ganviTarebis TvalsazrisiT. iswavleba ZiriTadad IV
klasSi, magram mcire zomiT iwyeba II klasidan.
amgvarad, algebris Tema SeZlebisamebr gaSinaarsianebulia, yovelnairad veridebiT naadrev
formalizacias. kerZod, VI klasamde ar viwyebT sayofacxovrebo amocanebis modelirebas gantolebaTa
saSualebiT. xolo VI klasSi moswavlem ukve kargad icis ZiriTadi 3-4-SekiTxviani sayofacxovrebo
amocanebis azriani amoxsna. mxolod amis Semdeg swavlobs is am amoxsnis gaadvilebis saSualebas _
amoxsnas gantolebis saSualebiT.
sayofacxovrebo amocanis amoxsna gantolebiT gacilebiT ufro meqanikuria, vidre SekiTxvebiTa da
msjelobiT _ rasac umarTebulod amoxsnis `ariTmetikul~ gzas uwodeben. algebraizacia msjelobas
spobs. asevea ufros klasebSic. algebruli damtkicebebi Tumca zogadia da Tan maTematikurad mkacria,
magram, samagierod, did safrTxesac Seicavs: bavSvs SeiZleba ar esmodes an bolomde ar esmodes
damtkicebis logikuri arsi, algebruli gardaqmnebiT ki formalurad viTom amtkicebdes.
sayofacxovrebo amocanis `ariTmetikuli~ amoxsna uvargisi terminia, radganac mcdar Sexedulebas
amkvidrebs (magaliTad, `gonebriv moqmedebaTa etapobrivi formirebis~ Teoriis mimdevar rus fsiqolog-
meTodistebs miaCniaT, rom sayofacxovrebo amocanis `ariTmetikuli~ amoxsna emyareba gamoTvlebs da win
wamowevs gamoTvlebs). sinamdvileSi ki SekiTxvebis dasmiTa da msjelobiT amoxsna _ esaa ara
`ariTmetikuli~, aramed swored logikuri amoxsna. yvela gamocdilma maswavlebelma icis, rom bavSvebs
amocanebis amoxsna uWirT swored logikuri nabijebis siZnelis gamo, da ara ariTmetikuli gamoTvlebis
siZnelis gamo.
maSasadame, algebruli `iqsebiT~ amoxsna upirispirdeba da gamoricxavs ara `ariTmetikul~, aramed
Sinaarsian-logikur amoxsnas.
sazogadod, saskolo maTematikam pirvelive klasidan bavSvebi unda miaCvios ara formalur
manipulaciebs, aramed azrovnebas. ufros klasebSic saskolo maTematikis ZiriTadi Sinaarsi
manipulaciebi ar unda iyos.
rogorc iTqva zemore, ucnobis aRmniSvneli laTinuri asoebi Cven gvian, III-IV klasebSi Semogvaqvs.
Tanac III klasSi x aso ubralod cvlis cariel ujreds, ? niSansa Tu * niSans, yovelgvari sxva
datvirTvis gareSe. magaliTad: 15 + * = 87 Caiwereba asec: 15 + x = 87, anda 15 + ? = 87.
mxolod IV klasSi gairkveva am niSnebs Soris gansxvaveba. saqme isaa, rom * niSani (anda, misi
Semcvleli ? niSani an carieli ujredi) erTsadaimave tolobaSi SeiZleba aRniSnavdes sxvadasxva
cifrebs, magaliTad: tolobaSi 15 + * + * = 20 am niSnis nacvlad SeiZleba Caisves 2 da 3:
15 + 2 + 3 = 20. an: 15 + 1 + 4 = 20; an: 15 + 2,5 + 2,5 = 20. da ase Semdeg.
xolo laTinuri asos SemTxvevaSi es ar SeiZleba! magaliTad: tolobaSi 15 + x + x = 20 orive
asos nacvlad unda Caisves mxolod erTidaigive ricxvi: 15 + 2,5 + 2,5 = 20.
amrigad, sinamdvileSi x, y, z-ebi arsebiTad gansxvavebuli yofila * niSnebisa Tu Sesavsebi carieli
- 64 -
ujredebisgan.
kidev erTi gasarkvevi sakiTxi naklebadmniSvnelovan terminebs Seexeba. sayovelTaod gavrcelebulia
maTematikur davalebaTa dayofa or nawilad, esenia egreTwodebuli `magaliTebi~ da `amocanebi~.magram sakmarisia, kacma guldasmiT waikiTxos Cveneuli amocanebi, rom darwmundes: axlebur maTematikur
amocanaTa udidesi nawilisTvis es dayofa yovlad gamousadegaria. ras mivakuTvnoT, magaliTad, is
amocanebi, romlebic moiTxovs angariSs (egreTwodebuli `magaliTis~ Tema) da amis mixedviT utolobis
daweras, cxrilis Sedgenas an kanonzomierad gagrZelebas? romlebic moiTxovs raimes daxazvas?
sxvadasxva SesaZleblobaTa raodenobis daTvlas? qarTul enaSi sityva `magaliTi~ sul sxva rames
niSnavs: `samagaliTo saqcieli~; `ganvixiloT, magaliTad, quTaisi~; `geometriuli sxeulis magaliTia
piramida~; `orniSna luwi ricxvis magaliTia 42~, aseve, ocis farglebSi Sekrebis magaliTia 14+4=18 da
sxva. xolo (14+4)-is gamoTvla an 2dm-isa da 16sm-is Sedareba _ esaa ara `magaliTebi~, aramed
saangariSo amocanebi, anda ariTmetikuli savarjiSoebi. sityva `amocana~ zogadia, yvelanair amocanas
moicavs, maT Soris Cveulebriv ariTmetikul saangariSo amocanebsac. `savarjiSo~ ki ufro kerZoa, esaa
iseTi amocana, romelic raimeSi gasawafavadaa saWiro. maswavlebeli unda gadaeCvios `amocana~ an
`savarjiSo~ sityvebis nacvlad sityvis `magaliTi~ xmarebas.
$ 17. kombinatorikis sawyisebi
kombinatorika _ esaa maTematikis is dargi, romelic aRricxavs sxvadasxva SesaZlo kombinaciebsa
da maT raodenobas (klasSi termini `kombinacia~ ar dagvWirdeba, mas nu vaxsenebT). kombinaciebi SeiZleba
iyos yvelanairi: adamianTa jgufis sxvadasxva SesaZlo ganlageba sufrasTan, mocemuli asoebisagan yvela
SesaZlo azriani sityvis Sedgena (an: uazro marcvlebis CaTvliTac), mocemuli cifrebisagan yvela
SesaZlo xuTniSna an aTniSna ricxvebis Sedgena, mocemuli mravalkuTxedis yvela SesaZlo dayofa
raRacnair mravalkuTxedebad, nakvTis nawilebis yvela SesaZlo gaferadeba mocemuli wesiT, mocemuli
erTobliobis wevrTagan yvela SesaZlo dalagebuli an daulagebeli jgufis Sedgena da sxva.
kombinaciebis ori ZiriTadi saxea: wevrTa gameorebiT (roca daSvebulia wevris gameoreba) an
gameorebis gareSe.kombinatorika iswavleba yovelgvari Teoriis gareSe, mxolod calkeuli amocanebi amoixsneba.
amocanis amoxsnisas viwyebT ganlagebis erTi romelime SesaZleblobiT _ sulerTia, romliT. Semdeg ki
viwyebT mis Secvlas sxva ganlagebebiT. oRond am dros ar SeiZleba areul-dareulad cvla, radganac
maSin gaZneldeba yvela SesaZleblobis amowurva. maswavlebeli yuradRebas unda aqcevdes, rom ganlagebis
yoveli cvlisas icvlebodes misi mxolod erTi Semadgeneli nawili. erTdroulad or nawils nu
SevcvliT! amasTan, am Secvlis Tanmimdevrobac kanonzomieri unda iyos.
rodesac saWiroa ubralod mravali sagnis an niSnis daTvla, mTavaria, rom arcerTi maTgani ar
gamogvrCes da arc orjer davTvaloT. amisaTvis saWiroa, rom avirCioT saganTa daTvlis raime wesi da
am wesis mixedviT viTvaloT. magaliTad, SeiZleba viTvaloT ase: marcxnidan marjvniv da zemodan
qvemoT; anda, patar-patara jgufebis mixedviT da sxva.
aseve, rodesac vxsniT amocanas SesaZleblobebze, mTavaria, rom yvela SesaZlebloba davTvaloT da
arcerTi maTgani ar gamogvrCes. amisaTvis saWiroa, rom avirCioT SesaZleblobaTa daTvlis raime wesi da
bolomde am wess mivdioT. yvelaze mosaxerxebelia, rom cvlad rameebs Soris gavaCeroT yvela, garda
erTisa, da mxolod is erTi vcvaloT, Tanac, rigrigobiT. magaliTad:
I. cifrebisagan 5 da 0 SevadginoT yvela SesaZlo xuTniSna ricxvi. davweroT: ยท ยท ยท ยท ยท . aqcvladia yvela cifri, TiToeuli maTgani SeiZleba iyos an 5 an 0; magram pirveli cifri ar SeiZleba
iyos 0 (radganac maSin oTxniSna ricxvs miviRebdiT!). ese igi: 5 ยท ยท ยท ยท . jer gavaCeroT yvela cifri,
garda meorisa, vcvaloT mxolod meore, miviRebT: 55 ยท ยท ยท da 50 ยท ยท ยท .axla TiToeul am ricxvSi vcvaloT mxolod mesame cifri:
555 ยท ยท , 550 ยท ยท , 505 ยท ยท , 500 ยท ยท .axla TiToeul am ricxvSi vcvaloT meoTxe cifri:
5555 ยท , 5550 ยท , 5505 ยท , 5500 ยท , 5055 ยท , 5050 ยท , 5005 ยท , 5000 ยท .axla TiToeul am ricxvSi vcvaloT ukve mexuTe cifri:
55555, 55550, 55505, 55500, 55055, 55050, 55005, 55000, 50555, 50550, 50505, 50500, 50055,50050, 50005, 50000.
SeiZleboda, SesaZleblobaTa
- 65 -
daTvlis sxva wesi agverCia, mTavaria, rom ar unda gadavuxvioT Tavidan arCeul wess.
II. SevadginoT yvela SesaZlo dalagebuli sameuli i, z, f da o asoebisgan ise, rom arcerTi aso ar
ganmeordes. davweroT: --- . vcvaloT jer mxolod pirveli aso: i --, z --, f --, o --.
axla TiToeul am oTxeulSi vcvaloT meore aso, oRond gaviTvaliswinoT, rom arcerTi aso ar unda
gameordes: iz -, if -, io -, zi -, zf -, zo -, fi -, fz -, fo -, oi -, oz -, of -.
axla vcvaloT mesame aso: izf, izo, ifz, ifo, ioz, iof, zif, zio, zfi, zfo, zoi, zof,
fiz, fio, fzi, fzo, foi, foz, oiz, oif, ozi, ozf, ofi, ofz.amrigad, sul 24 SesaZleblobaa.
cxadia, Tavidanve, I klasSi aseTi rTuli amocanebi ar Segvxvdeba. jer daviwyebT 4-6 SesaZleblobiT.
zogi kombinatoruli amocana TvalsaCinod amoixsneba sqemis saSualebiT. magaliTad:
unda gavarkvioT, sul ramdeni samcifra ricxvi SeiZleba SevadginoT cifrebiT 1, 3 da 8 ,
cifrebis gameoreba SeiZleba. gamoviyenoT sqema (xisebri diagrama). jer, vTqvaT,samcifra ricxvi iwyeba 1-ianiT. Cveni diagramac 1-ianiT daiwyeba da misgan sami Sto
gamova, radgan meore cifri SeiZleba iyos sami: an 1, an 3 an 8. TiToeuli
am cifridan kidev sam-sami Sto gamova. axla ki pirdapir SegviZlia, wavikiTxoT
da amovweroT yvela miRebuli samcifra ricxvi _ mivyveT zemodan qvemoT:
111, 113, 118, 131, 133, 138, 181, 183, 188.
miviReT 9 cali ricxvi. es maSin, Tuki samcifra ricxvi 1-ianiT iwyeba. magram es
ricxvi SeiZleba iwyebodes 3-ianiT an 8-ianiT, TiToeul am SemTxvevaSi aseve miviRebT
cxra-cxra cal ricxvs. ese igi sul miviRebT 3โข9 = 18 cal ricxvs.
$ 18. simravleTa Teoriisa da logikis sawyisebi
logikis sawyisebiT gamsWvalulia Cveneuli saswavlo programis yvela Tema da sakiTxi. maTematikis,
logikisa da wignierebis mWidrod SekavSirebuli swavleba Cveneuli kursis mTavari Taviseburebaa.
dawyebuli V klasidan, erT-erTi yvelaze tipuri aqtivoba _ teqstis gaazrebaa. sakuTriv logikuri
amocanebic Zalian mravladaa. erTi mxriv, esaa amocanebi msjelobasa da logikuri daskvnis gamotanaze
(winadadebaTa marTebuloba-simcdaris garkveva, uadvilesi ganzogadebani da sxva). amgvari amocanebi unda
amoixsnes gaazrebuli msjelobiT. meore mxriv, mravladaa amocanebi kanonzomierebis aRmoCenasa da mis
gagrZelebaze an kanonzomierebis darRvevis aRmoCenaze. termini `kanonzomiereba~ amggvar amocanebSigulisxmobs imas, rom mocemulia raRac kanonzomierebiT dakavSirebuli wevrebi (an erT rigSi, an
ramdenime rigSi Tu svetSi, an cxrilis ujredebSi da sxva). saWiroa am kanonzomierebis aRmoCena, Semdeg
ki mis mixedviT gagrZeleba, ? niSnisa Tu carieli adgilis Sevseba.
Znel abstraqtul termins `kanonzomiereba~ ver gaveqceviT, maswavlebeli Tavidan ixmars yovelgvari
axsna-ganmartebaTa gareSe (rac sruliad fuWi iqneboda), saWiroebis mixedviT, magram yovelTvis _
mxolod konkretul da TvalsaCino viTarebaSi. moswavleebi sakmaod male aiTviseben imas, rom mixvdnen
xolme, Tu ra moeTxovebaT, roca amocanis pirobaSi SexvdebaT sityva `kanonzomiereba~. meti arcaa
saWiro. ramdenime wlis Semdeg ki TandaTanobiT, TavisTavad Caswvdebian am sityvis mniSvnelobas _ rac
Zlier gaamdidrebs maT codnas da ganaviTarebs cnobierebas.
amdagvarive viTarebaa agreTve terminebTan `SesaZlebloba~ [ยง 16], `Sesabamisi~ da kidev ramdenimesxva (ara mravali). maT Sesaxeb miTiTebulia gegma-konspeqtebSi, saTanado adgilas. garda amisa, gegma-
konspeqtebSi mocemulia yvela arastandartuli samsjelo amocanis amoxsna, xSirad _ garCeviT.
Cven xSirad gvaqvs amocanebi logikur dajgufebaze. logikuri dajgufeba _ esaa mocemul areul
saganTa ganawileba mocemul cnebebSi (magaliTad, geometriuli nakvTebis logikuri dajgufebis saerTo
suraTi ix. mTavar geometriul sqema-TvalsaCinoebaze).
dajufebasTan dakavSirebiT maswavlebelma unda icodes erTi sakiTxi zoologiidan. saqme isaa, rom
yoveli frinveli _ cxovelia. ar SeiZleba erTmaneTs daupirispirdes `frinveli~ da `cxoveli~.
mcdaria, magaliTad, SekiTxva: es cxovelia Tu frinveli? cneba `cxoveli~ aerTianebs ara mxolod
ZuZumwovrebs, oTxfexa pirutyvebs da nadirebs (anu, Sinaurebs da gareulebs), aramed, agreTve, yvela
sxva suldgmulebsac, adamianebis garda: Tevzebs, qvewarmavlebs, mwerebs, Wiebs, erTujredianebs, agreTve
frinvelebs. amgvarad `cxoveli~ moicavs `frinvelebs~.
xSiria agreTve `danarCenTagan gamorCeulis moZebnis~ amocanebi. amgvar amocanebSi mocemuli yvela
1138
138
138
138
- 66 -
wevri raRaciT erTmaneTs hgavs, raRac saerTo aqvT, _ garda erTi wevrisa (an ori Tu sami wevrisa _
rogorc miTiTebulia amocanis pirobaSi). swored es erTia gamonaklisi, anu `zedmeti~, anu danarCenTagan
gamorCeuli da saWiroa misi moZebna. xolo yvela danarCeni wevri raimeTi unda erTiandebodes, unda
ukavSirdebodes erTmaneTs! ganvixiloT, magaliTad, amocana (IV klasidan):
moisazreT, romelia is wesi, romlis mixedviTac danarCenTagan gamorCeulia mxolod:
I. meore sityva; II. meeqvse sityva. ru, arxi, Rele, wyaro, mdinare, gube.
miTiTeba: unda daakvirdeT sityvebis azrsac (mniSvnelobasac) da maT asoebsac.
ganvixiloT jer asoebis mixedviT. aSkarad mcdari pasuxia, mag.: `ru _ radgan mxolod am sityvaSiaori aso~. es ki marTalia, magram maSin yvela danarCeni sityva riT ukavSirdeba erTmaneTs? (yvela
danarCen sityvaSi rom yofiliyo, magaliTad, oTx-oTxi aso, maSin ki marTali iqneboda pasuxi). asoebis
mxriv gamorCeulia arxi _ radgan mxolod igi iwyeba xmovniT, xolo yvela danarCeni iwyeba
TanxmovnebiT.
$ 6-Si iTqva: maswavlebelma unda waaxalisos moswavleTa uCveulo pasuxebi _ Tuki isini
dasabuTebulia. magaliTad, Cvens amocanaSi moswavles SeiZleboda aseTi pasuxi aRmoeCina:
_ gamorCeulia wyaro, radgan mxolod am sityvaSia xmovani `o~.
maswavlebeli xmamaRla gaiazrebs: _ modi, SevamowmoT, danarCeni xmovnebi rogoraa? (da SeekiTxeba
sxvadasxva moswavleebs). _ sul ramdeni xmovania qarTul enaSi? {xuTi} a xmovani ramden sityvaSia? {samSi};i xmovani? {or sityvaSi}; e xmovani? {or sityvaSi}; u xmovani? {esec orSi}; romeli xmovani dagvrCa? {o} eso ki marTlac erTaderT sityvaSia, es sityva marTlac gamorCeuli yofila! ese igi zurikos pasuxicmarTebuli yofila. yoCaR, zuriko, Zalian kargia!
zojer kanonomiereba an gamorCeuloba ori an ramdenimec ki SeiZleba iyos!
magram moswavles rom eTqva, danarCenTagan gamorCeuliao ru, radgan mxolod am sityvaSia xmovani u
_ es mcdari iqneboda, radgan xmovani u aris sityvaSi gube! aseve, moswavles rom eTqva, gamorCeuliao
wyaro, radgan am sityvaSia Tanxmovani w _ esec mcdari iqneboda, radagn gaugebari darCeboda
danarCenTa gamaerTianebeli wesi; maSin Tanxmovani x aris mxolod meore sityvaSi; d da n _ mxolod
mexuTe sityvaSi da ase Semdeg. maSin, romelia gamorCeuli? araa bunebrivi, amitom pasuxi naZaladevia,
ar varga. sxva yvela Tanxmovani rom marTlac or an ramdenime sityvaSi yofiliyo (rogoricaa xmovnebis
SemTxvevaSi), maSin ki marTebuli iqneboda es pasuxi!
axla aRmovaCinoT wesi da gamorCeuloba sityvebis azris, mniSvnelobis mixedviT. yvela sityvis
mniSvneloba ukavSirdeba wyals. magram rogor wyals? romelia yvela danarCenisagan gamorCeuli? iqneb,
arxi _ imiT, rom is xelovnuria? ara _ ruc xelovnuria (mas saxeldaxelod Txrian sarwyavad, ru
aris mcire droebiTi arxi). iqneb wyaro _ radgan igi daileva? ara, zogjer Relis wyalsac svamen,
zogjer arxisac. sabolood, gamorCeulia gube, radgan mxolod igia erTaderTi damdgari wyali, yvela
danarCeni ki moZravi wyalia.
sakuTriv logikis sakiTxebs umcires Teoriul donezec ki viwyebT mxolod VI-VII klasebidan.
manamde mxolod mravalferovani amocanebiT vifarglebiT. Tumca ufros klasebSic mTavari kvlav
amocanebi iqneba.
maswavlebeli SeiZleba ar iyos miCveuli amgvar amocanebs. amitom Cven maT saTiTaod varCevT gegma-
konspeqtebSi, saTanado adgilas. winaswari ganmarteba sWirdeba mxolod ramdenime sakiTxs.
Cven qarTul enaze vmetyvelebT, magram arsebobs ramdenime sxvadasxvagvari qarTuli ena. erTia
sayofacxovrebo qarTuli ena, romelsac viyenebT yoveldRiur metyvelebaSi. meorea, magaliTad,
samwerlo qarTuli ena, romelzec iwereba leqsebi, moTxrobebi da sxva mxatvruli nawarmoebebi.
arsebobs kidev, magaliTad, qarTuli radio-televiziisa da gazeTebis ena da sxva. mecnierebasac Tavisi
ena aqvs. Cven am saxelmZRvaneloSi vxmarobT cota sayofacxovrebo qarTuls, cota samwerlo qarTuls
da ufro metad ki _ maTematikur qarTul enas.
CamoTvlilTagan TiToeuli ena Taviseburia, sxvebisagan cota gansxvavebulia. magram yovel maTgans,
rasakvirvelia, saerTo gacilebiT meti aqvs.
maTematikuri ena imiT gamoirCeva, rom isaa yvelaze zusti ena.
maTematikaSi rasac vityviT an davwerT, bolomde dazustebuli unda iyos. ganvixiloT, magaliTad,
Cveulebrivi winadadeba: `guSin tyidan movitaneT ori kalaTa, pantiTa da maJaloTi savse~. maTematikisaTvis
(magaliTad, amocanis pirobaSi) amgvari winadadeba ar varga, radganac zustad araa garkveuli, Tu
- 67 -
ramdeni kalaTa riT iyo savse. dazustebis Semdeg gamoikveTeba ramdenime sxvadasxva SesaZlebloba:
(1) orive kalaTidan TiToeulSi pantac iyo da maJaloc;
(2) erT kalaTaSi mxolod panta iyo, meoreSi _ pantac da maJaloc;
(3) erT kalaTaSi mxolod panta iyo, meoreSi _ mxolod maJalo;
(4) erT kalaTaSi mxolod maJalo iyo, meoreSi _ pantac da maJaloc.
xolo Tuki sulerTia, am SesaZleblobaTagan romeli unda iqnes arCeuli, maSin winadadebas
maTematikaSi ase CamovayalibebT:
(5) guSin tyidan movitaneT pantiT anda (an) maJaloTi savse ori kalaTa.
es winadadeba oTxive SesaZleblobas aerTianebs. Tanac, ar rCeba gaurkvevloba.
sayofacxovrebo enas zogjer maTematikaSic xmaroben. gansakuTrebiT xSirad _ saskolo maTematikaSi,
romelic bavSvebma unda iswavlon. es gaadvilebisaTvis xdeba xolme. magram yvelaferi ise unda
Camoyalibdes, rom gageba mxolod erTi azriT iyos SesaZlebeli. orazrovneba da bundovaneba
mecnierebaSi dauSvebelia.
aramaTematikur enaSi sityva `da~ ramdenime sxvadasxva azriT, sxvadasxva mniSvnelobiT da
daniSnulebiT ixmareba.
ganvixiloT, magaliTad, winadadeba: `moswavlem Sin dabrunebis mere waixemsa da imecadina~. am
winadadebaSi sityva `da~ niSnavs imas, rom moswavlem jer waixemsa, Semdeg ki imecadina. es winadadeba
sxvanairad ase gamoiTqmis: `moswavlem Sin dabrunebis mere waixemsa, Semdeg imecadina~.axla ganvixiloT winadadeba: `guSin mama mTel dRes muSaobda da daiRala~. am windadebaSi sityva `da~
niSnavs imas, rom mama muSaobda da muSaobis gamo daiRala. es winadadeba sxvanairad ase gamoiTqmis:
`guSin mama mTel dRes muSaobda, ris gamoc daiRala~, an: `guSin mama mTel dRes muSaobda, amitom daiRala~.ese igi, am winadadebebSi `da~ sityvis mniSvnelobaa `ris gamoc, amitom~.
`da~ sityvis mTavari da yvelaze xSiri mniSvneloba is mniSvnelobaa, romliTac is naxmaria,
magaliTad, am winadadebaSi: `Cveni klasis yvela moswavle swavlobs qarTul enas, inglisur enas, rusul enasda maTematikas~. es winadadeba meorenairad ase gamoiTqmis: `Cveni klasis yvela moswavle swavlobs qarTulenas da inglisur enas da rusul enas da maTematikas~. am winadadebebSi `da~ sityviT dakavSirebulia
(SeerTebulia) oTxi sagani: `qarTuli ena~, `inglisuri ena~, `rusuli ena~ da `maTematika~. `da~ kavSiriT
maTi SeerTeba niSnavs, rom klasis yvela moswavle swavlobs oTxive sagans erTad, anu swavlobs:
qarTulsac, inglisursac, rusulsac da maTematikasac. sityva `da~ maTematikaSi yovelTvis amgvari
azriT, mxolod amgvari mniSvnelobiT ixmareba. rogorc viciT, maTematikaSi orazrovneba dauSvebelia.
amitom `da~ sityvasac mxolod erTi mniSvneloba aqvs datovebuli.
ganvixiloT, magaliTad, winadadeba: `k ricxvi iyofa 2-ze, 5-ze da 9-ze.~ es niSnavs imas, rom k ricxviiyofa samiveze: 2-zec, 5-zec da 9-zec. aseve ganvixiloT winadadeba: `am ariTmetikuli gamosaxulebisgasamartiveblad saWiroa frCxilebis gaxsna da wiladebis Sekreba~. es niSnavs, rom saWiroa orive:
frCxilebis gaxsnac da wiladebis Sekrebac. Tuki sulerTi araa am moqmedebaTa Tanamimdevroba, maSin
unda dazustdes: `saWiroa jer frCxilebis gaxsna da Semdeg wiladebis Sekreba~ (an piriqiT).
sazogadod, roca maTematikaSi iTqmis `X, Y da Z ~, es igivea, rac `X da Y da Z ~ da igulisxmeba
X-ic, Tan Y-ic da Tan Z-ic, samive erTdroulad.
amrigad, `da~ gulisxmobs ramdenime ramis erTad, erTdroulad moxdenas. magaliTad, II klasidanve
xSirad gvaqvs amgvari amocanebi: ramdeni rgolia am marTkuTxedSic da Tan amaSic (daxazulia ori
marTkuTxedi, romlebsac aqvs TanakveTa). Cven vumatebiT sityvas `Tan~, raTa gavaZlieroT is azri, rom
gvainteresebs ori marTkuTxedis saerTo nawili, anu maTi TanakveTa.
magaliTad, am naxazze calke erT marTkuTxedSia
6 rgoli, calke meoreSi _ 7. xolo erT
marTkuTxedSi da Tan meoreSic aris 4 rgoli.
maSasadame `da~ kavSiri Seesabameba ori erTobliobis TanakveTas.
aramaTematikur enaSi `an~ sityvac ramdenime sxvadasxva mniSvnelobiT ixmareba. 1) `sadilad kvercxsSegiwvavT an ajafsandals gagikeTebT~. igulisxmeba, rom kvercxis Sewva da ajafsandlis gakeTeba
erTmaneTs gamoricxavs: ar SeiZleba, rom kvercxic Seiwvas da ajafsandalic gakeTdes. 2) `Cveni klasisyvela moswavle swavlobs qarTul enas, maTematikas, rusul enas da inglisur an germanul enas~. rogor
gavigoT am winadadebis Sinaarsi? klasis yvela moswavle swavlobs qarTuls, maTematikas, rusuls da
- 68 -
kidev erT Tu or ucxo enas? an inglisurs an germanuls, Tu inglisursac da germanulsac? am
winadadebaSi sityviT `an~ SeerTebulia `inglisuri~ da `germanuli~. gaugebaria, isini erTmaneTs
gamoricxavs Tu ara: SeiZleba Tu ara, rom moswavle swavlobdes orive am enas?! ufro mosalodnelia,
rom ar gamoricxavdes _ albaT, ar unda iyos gamoricxuli, rom moswavle swavlobdes inglisursac da
germanulsac. maSasadame, sayofacxovrebo enaSi `an~ sityviT dakavSirebuli sagnebi zogjer gamoricxavs
erTmaneTs, zogjer ki _ ar gamoricxavs. ufro xSirad ki mainc gamoricxavs xolme.
maTematikur enaSi `an~ kavSiri ixmareba mxolod meore mniSvnelobiT, aragamomricxavi azriT
(romliTac sayofacxovrebo enaSi igi ufro iSviaTad ixmareba!). amitom `an~ kavSiris mniSvneloba maTe-
matikaSi arsebiTad gansxvavdeba misi mniSvnelobisagan sayofacxovrebo Tu samwerlo enaSi. rogorc
viciT, maTematikaSi orazrovneba dauSvebelia. amitom `an~ sityvasac mxolod erTi mniSvneloba aqvs
datovebuli _ aragamomricxavi dakavSirebisa. magaliTad: `ganvixiloT 2-is an (anda) 5-is jerad ricxvTaerToblioba E ~. es imas niSnavs, rom E erToblioba Sedgeba im naturaluri ricxvebisagan, romlebic 2-is jeradia an 5-is jeradia an erTdroulad aris 2-isa da 5-is jeradi. `an~ kavSiriT dakavSirebuli
maTematikuri sagnebi erTmaneTs ar gamoricxavs. 2-is jeradoba ar gamoricxavs 5-is jeradobas. maSasadameE {2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, ...}.
imisaTvis, raTa gamovricxoT gaugebroba, umjobesia, rom aragamomricxavi dakavSirebisTvis vixmaroT
ara `an~ kavSiri, aramed `anda~. `anda~ kavSiri sayofacxovrebo enaSic aragamomricxavia da misi
mniSvneloba maTematikaSic aseTia. magaliTad: `sadilad kvercxs SegiwvavT anda ajafsandals gagikeTebT~.
igulisxmeba, rom kvercxis Sewva da ajafsandlis gakeTeba erTmaneTs ar gamoricxavs: SeiZleba, rom
kvercxic Seiwvas da ajafsandalic gakeTdes.
axla ganvixiloT winadadeba: `es nakvTi SeiZleba iyos samkuTxedi an oTxkuTxedi~. samkuTxedoba da
oTxkuTxedoba erTmaneTs namdvilad gamoricxavs: ar SeiZleba moxdes, rom nakvTi Tan samkuTxedi iyos
da Tan _ oTxkuTxedic. magram es cnebebi TavisTavad gamoricxavs erTmaneTs, isedac
urTierTgamomricxavi cnebebia. `an~ kavSiri aq arafer SuaSia! ganxilul winadadebaSi `an~ kavSiri mainc
aragamomricxav dakavSirebas gulisxmobs; magram ise moxda, rom TviT cnebebi aRmoCnda erTmaneTis
gamomricxavi, `an~ kavSirisagan damoukideblad!
zogadad, roca iTqmis X anda Y anda Z, igulisxmeba samive cal-calkec da erTadac. ese igi: SeiZleba
iyos mxolod X; SeiZleba iyos mxolod Y; SeiZleba iyos mxolod Z; SeiZleba iyos X da Tan Y;SeiZleba iyos X da Tan Z; SeiZleba iyos Y da Tan Z; da SeiZleba iyos X da Tan Z da Tan Y _ samiveerTadac. yvela es SesaZlebloba daSvebulia, arcerTi araa gamoricxuli. swored amitom vambobT, rom
`anda~ _ aragamomricxavi kavSiria.am mniSvnelobiT, ucxouri enebis gavleniT, boloxans moxSirda da/an xelovnuri kavSiris xmareba.
qarTul enas is ar sWirdeba. saamisod Cven gvaqvs mSvenieri kavSiri: anda. is pirdapir zedgamoWrilia
aragamomricxavi dakavSirebisaTvis _ roca gvsurs imis xazgasma, rom `an~ ar gamoricxavs `da~-sac.magaliTad: viyidoT vaSli, anda msxali (SeiZleba viyidoT orive!). sxvaTa Soris, mdidar qarTul enaSi
gvaqvs kidev erTi aseTi aragamomricxavi kavSiri: Tu. magaliTad: sulerTia, sad waxval: baTumSi, quTaisSi,zugdidsa Tu ozurgeTSi.
amrigad, aragamomricxavi dakavSirebisaTvis maTematikaSi ixmareba an kavSiri. magram sayofacxovrebo
enaSi misma xmarebam SeiZleba gaugebroba gamoiwvios, radgan gamomricxavad iqnes gagebuli. amitom
umjobesia kavSiri anda, radgan masSi ufro mkveTradaa gasityvebuli aragamomricxaoba.
maTematikaSi `an~ / `anda~ gulisxmobs ramdenime ramis, ori erTobliobis gaerTianebas. ganvixiloT,
magaliTad, nax. 1-ze mocemuli marTkuTxedebi. ramdeni rgolia erT marTkuTxedSi anda meoreSi? unda
CavTvaloT maTi TanakveTac da miviRebT 2 + 4 + 3 = 9 rgols! erTSi anda meoreSi _ ese igi, an erTSi,
an meoreSi, an oriveSi erTdroulad.
utoloba x 1 SeiZleba wavikiTxoT ase: `x metia an tolia 1-ze~. magram SeiZleba misi meoregvari
wakiTxvac: `x araa naklebi, vidre 1~. marTlac, `araa naklebi~ niSnavs, rom SeiZleba iyos an meti an
toli. amasve niSnavs gamoTqmac `aranakleb~.aseve, utoloba x 3 SeiZleba wavikiTxoT ase: `x naklebia an tolia 3-ze~. magram SeiZleba misi
meoregvari wakiTxvac: `x araa meti, vidre 3~. marTlac, `araa meti~ niSnavs, rom SeiZleba iyos an naklebi
an toli. amasve niSnavs gamoTqmac `araumetes~.`ar aRemateba~ niSnavs imaves, rasac `araa meti~.
- 69 -
xSirad ixmareba sxva amdagvari sityvebic: `araugvianes~, `arauadres~, `arauaxloes~, `arauSores~,`araumZimes~ da sxva. arcerTi es sityva ar gamoricxavs zust damTxvevas!
zogjer saWiroa xolme cnebaTa gamomricxavi dakavSireba. magaliTad, gvWirdeba, ganvixiloT iseT
ricxvTa erToblioba F, romlebic 2-is jeradia an 5-is jeradia, magram araa erTdroulad 2-isa da 5-isjeradi: F {2, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, ...} (gamotovebulia 2-isa da 5-is saerTo jeradebi: 10, 20,30, ...). am SemTxvevaSi maTematikur da sayofacxovrebo enaSic ixmareba ormagi kavSiri, mapirispirebeli
`an-an~. magaliTad: F aris iseT ricxvTa erToblioba, romlebic an 2-is jeradia an 5-isa.sazogadod, roca iTqmis an X, an Y an Z, igulisxmeba mxolod sami SesaZlebloba: SeiZleba iyos
mxolod X; SeiZleba iyos mxolod Y; SeiZleba iyos mxolod Z. xolo danarCeni SesaZleblobani
gamoricxulia: X da Tan Y; X da Tan Z; Y da Tan Z; X da Tan Z da Tan Y _ gamoricxulia.
amrigad, roca saWiroa gamomricxavi gaerTianeba, unda vixmaroT `an-an~ kavSirebi. magaliTad,
rgolebis SemTxvevaSi SekiTxvas Cven ase CamovayalibebT: _ ramdeni rgolia an erT marTkuTxedSi anmeoreSi, _ da Tan, dasazusteblad, vumatebT: _ oRond ara oriveSi erTdroulad? pasuxia 2 + 3 = 5.
amrigad, nax. 1-ze: mxolod erT marTkuTxedSi _ 6 rgolia;
mxolod meore marTkuTxedSi _ 7 rgolia;
erT marTkuTxedSic da Tan meoreSic _ 4 rgolia;
erT marTkuTxedSi anda (an) meoreSi _ 9 rgolia;
an erT marTkuTxedSi an meoreSi (oRond ara oriveSi erTdroulad) _ 5 rgolia.
amgvari amocanebi aris ara mxolod logikis, aramed simravleTa Teoriis sawyisebis momcvelic.
magaliTad, ganxiluli advili amocana farulad moicavs simravleTa TanakveTisa da gaerTianebis cnebebs.
xolo Teoriul doneze, Tundac umartivesad, simravleTa Teoriis sawyisebs Cven V klasidan viwyebT.
yuradReba unda mivaqcioT erT sakiTxs. sayofacxovrebo amocanebi, bunebrivia, sayofacxovrebo eniTaa
Camoyalibebuli. amitom maTSi logikur kavSirTa mniSvneloba araa xolme dazustebuli. magram
orazrovneba, rogorc wesi, ar Cndeba, radgan ufro xSirad TavisTavad igulisxmeba, rom mocemul or
sagans ara aqvs TanakveTa. magaliTad, amocanis SekiTxvaa: ramdeni vaSli aqvT dasa da Zmas erTad?
igulisxmeba, rom dasa da Zmas ara aqvT saerTo vaSlebi (Torem ise orazrovneba warmoiqmneboda!).
amitom dis vaSlebis raodenobas pirdapir unda mivumatoT Zmis vaSlebis raodenoba da amiT araferi
dairRveva. marTkuTxedebis SemTxvevaSi aseTi viTareba iqneboda:
esaa TanaukveTi marTkuTxedebi. cxadia, am SemTxvevaSi erTaderTi SesaZleblobaa: 6 + 7 = 13.
sirTule Cndeba maSin, roca mocemul sagnebs SeiZleba hqondes saerTo nawili (anu TanakveTa). am
SemTxvevaSi aucilebelia mkafiod gairkves, Tu ras vgulisxmobT da yvelaferi zustad CamovayaliboT.
gavrcelebulia, magaliTad, amgvari amocanebi:
klasSi 6-ma moswavlem icis rusuli ena, 7-ma moswavlem _ inglisuri. ramdenma icis rusuli an inglisuri
ena? pasuxi SeiZleba iyos 7, 8, 9, ... , 13 _ imisdamixedviT, Tu ramdenma moswavlem icis orive es ena,
anu ramdeni wevria TanakveTaSi. magaliTad, roca TanakveTaSia 3 wevri, maSin pasuxia 10:
TanaukveT SemTxvevaSi pasuxia 13, radgan 6 da 7 pirdapir rusuli
ikribeba. xolo Tuki inglisuris mcodneTa jgufi moicavs inglisuri
rusulis mcodneTa jgufs (anu yvelam, vinc icis rusuli,
icis inglisuric), maSin pasuxia 7.
aseTi mimarTebebi TvalsaCinoa venis diagramebze.venis diagramaze areebis formas mniSvneloba ara aqvs, SeiZleboda
wriuli, elifsuri an uswormasworo yofiliyo. mTavari areebis urTierTmdebareobaa.
zogjer ganzrax Sedgenilia iseTi sayofacxovrebo amocanebi (naxevrad saxumaro, naxevrad Tavsatexi),
romelTa mTeli siZnele isaa, rom mocemul sagnebs aqvs saerTo nawili anu TanakveTa. magaliTad: rogor
SeiZleba moxdes, rom erT kalaTaSi idos 6 vaSli, meoreSi _ 7,
oriveSi erTad ki _ 7? pasuxia: erT kalaTaSia 6 vaSli,
is devs meore kalaTaSi, romelSic kidev 1 vaSlia.
marTkuTxedebis SemTxvevaSi venis diagrama aseTi iqneboda:
- 70 -
simravleTa Teoriis cnebebiT amas ewodeba qvesimravle. kerZod, nax. 3-ze erTi marTkuTxedi
meoris qvesimravlea, anu masSi Sedis, anu meore marTkuTxedi moicavs pirvels. sayofacxovrebo nawilisa
da mTelis mimarTebas maTematikaSi Seesasabameba simravlisa da qvesimravlis mimarTeba; logikis maRal
doneze ki mas Seesabameba logikuri zogadisa da kerZos mimarTeba. es Zalian mniSvnelovani mimarTebaa da
Cven, I klasidanve, mravali sxvadasxvagvari amocana gvaqvs am mimarTebaze: geometriuli nakvTebis
mimarTebaTa Sesaxeb [ix. $ 15], logikuri ganStoebuli sqemebis Sesaxeb da sxva. amave mimarTebas Seexeba
mravali advili amocanac: vaSlebia meti Tu xili, marTkuTxedebia meti Tu kvadratebi, SaSvebia meti Tu
frinvelebi da misTanani. yovel amgvar amocanaSi arsebiTia Semdegi: yoveli x aris y, magram mxolod
zogierTi y aris x.es mimarTeba SeiZleba xuTi sxvadasxva winadadebiT aRiweros; xuTives
Sinaarsi erTmaneTis magvaria:
I. x-ebis erToblioba y-ebis erTobliobis qvesimravlea da masze viwroa;
II. x-ebis erToblioba Sedis y-ebis erTobliobaSi da masze viwroa;
III. y-ebis erToblioba moicavs x-ebis erTobliobas da masze farToa;
IV. yoveli x aris y, magram yoveli y ar aris x;V. Tuki raime sagani aris x, maSin igi aris y-c, magram ara piriqiT: zogi sagani SeiZleba iyos y,
magram ar iyos x.magaliTad: x-ebis nacvlad SeiZleba iyos vaSlebi, y-ebis nacvlad _ xili;
x-ebi _ bavSvebi, y-ebi _ adamianebi;x-ebi _ a, z Tu i, xolo y-ebi _ asoebi;x-ebi _ 5, 0 Tu 9, xolo y-ebi _ cifrebi;x-ebi _ kvadratebi, y-ebi _ marTkuTxedebi;x-ebi _ marTkuTxedebi, y-ebi _ oTxkuTxedebi;x-ebi _ marTkuTxedebi, y-ebi _ mravalkuTxedebi;
x-ebi _ oTxkuTxedebi, y-ebi _ nakvTebi;
x-ebi _ texilebi, y-ebi _ xazebi;
x-ebi _ skamebi, y-ebi _ aveji...
zogjer x-ebi SeiZleba raodenobiT cota iyos, sulac erTaderTi cali, magaliTad: x-ebi iyos
mxolod erTaderTi ricxvi 9, xolo y-ebi _ naturaluri ricxvebi; anda, x-ebi iyos mxolod
erTaderTi adamiani isaak niutoni, xolo y-ebi _ ingliseli mecnierebi da sxva.
yvela im SemTxvevaSi, roca x-ebi y-ebis qvesimravlea, vambobT, rom y ufro zogadi cnebaa, vidre x;
xolo x ufro kerZo cnebaa, vidre y. magaliTad, `marTkuTxedi~ ufro zogadi cnebaa, vidre `kvadrati~;
`frinveli~ ufro kerZo cnebaa, vidre `sulieri~.
zogadi da kerZo iTqmis mTel winadadebaTa Sesaxebac, magaliTad:
ufro zogadi ufro kerZo
yvela suliers aqvs SegrZneba.
yvela adamians aqvs saxeli.
yoveli aguredis mopirdapire waxnagebi tolia.
me miyvars saqarTvelos yvela mxare.
yoveli tolferda samkuTxedi simetriulia.
wesi: ori ricxvis namravlis mniSvneloba ar
icvleba TanamamravlTa gadanacvlebiT.
yoveli naturaluri ricxvis naxevari naklebia
TviTon am ricxvze.
(a + b) : c = a : c + b : c , yoveli a, b, c ricxvebisaTvis, Tuki c 0.
aguredis (marTkuTxa paralelepipedis) moculoba
gamoiTvleba formuliT: V = a ยท b ยท h, sadaca _ siganea, b _ sigrZe, xolo h _ simaRle.
frinvelebs frTebi aqvT.
yvela frinvels aqvs SegrZneba.
skolis yovel moswavles aqvs saxeli.
yoveli kubis mopirdapire waxnagebi tolia.
me miyvars imereTi.
yoveli tolgverda samkuTxedi simetriulia.
3 ยท 6,7 namravlis mniSvneloba tolia 6,7 ยท 3 namravlis mniSvnelobisa.
(0,6 + 3) : 2 = 0,6:3 + 3:2kubis moculoba gamoiTvleba formuliT:
V = a3, sadac a _ kubis wibos sigrZea.
.152
15
- 71 -
Tuki frinveli izrdeba, maSin is cocxalia. qaTmebs frTebi aqvT.
Tuki qaTami izrdeba, maSin is cocxalia.
mivaqcioT yuradReba, rom or-or ukanasknel winadadebaSi araa naxsenebi sityva `yvela~ an
`yoveli~, magram isini igulisxmeba. amitom es winadadebebi exeba yvela frinvelsa Tu yvela qaTams.
roca surT imis aRniSvna, rom ufro zogad rames amboben, maSin winadadebaSi Caumateben xolme
sityvas `sazogadod~. piriqiT, ufro kerZo ramis Tqmisas Caumateben sityvas `kerZod~. magaliTad:
`yvela tolferda samkuTxedi simetriulia, kerZod, tolgverda samkuTxedic simetriulia~; `bevri
gonebrivi muSaoba sWirdeba ara mxolod maTematikoss, aramed, sazogadod, yvela mecniers~.
zogadkerZooba SefardebiTia. rogorc viciT, erTi ricxvi SeiZleba ufro meti iyos, vidre meore
ricxvi, magram ufro naklebi, vidre mesame ricxvi. aseve, SesaZlebelia, rom erTi cneba ufro zogadi
iyos, vidre meore, magram ufro kerZo, vidre mesame. magaliTad, cneba `marTkuTxedi~ ufro zogadia,
vidre cneba `kvadrati~, magram ufro kerZoa, vidre cneba `oTxkuTxedi~.
dabolos, erTi wvrilmani sakiTxic. logikuri zogadi erTia da aerTianebs mraval kerZos. magaliTad,
`gareuli cxoveli~ aerTianebs daTvs, jixvs, kiborCxalas, siraqlemas, Tevzs, xoWos, bus..., xolo
`xazi~ aerTianebs monakveTs, wrfes, sxivs, texils, mruds. amiT zogadi hgavs jams, romelic TiTqos
`Sesakrebebs~ (kerZoebs) aerTianebs. amitom logikur sqemebSi zogadis Sesatyvis sityvas vwerT elifsSi
_ iseve rogorc ariTmetikis TemaSi elifsSi vwerT jams (es Semogvaqvs I klasSi imis gamo, rom
WurWel jams marTlac elifsis magvari Semoweriloba aqvs xolme!). maswavlebelic `jamad~ moixseniebs
am elifss, xolo kerZoebis Sesabamis marTkuTxa CarCoebs _ `ujredebad~.
TviTon terminebi `kerZo~ da `zogadi~ Cven mxolod VI klasSi Semogvaqvs.
$ 19. sivrciT-droiTi da sxva mimarTebani; egocentrizmi
namdvili azrovneba imiT gansxvavdeba ubralo aRqmisagan da dabali donis azrovnebisagan, rom
Seimecnebs ara mxolod sagnebs, aramed agreTve maT Soris mimarTebebs. azrovnebisTvis araa sakmarisi
TviT sagnebi _ saWiroa imis gaazrebac, Tu ra mimarTebaa am sagnebs Soris.
ZiriTadi sivrciTi mimarTebebia: win \ ukan; zeviT \ qveviT; SigniT \ gareT; marjvniv \ marcxniv;
axlos \ Sors; didi \ mcire, grZeli \ mokle, maRali \ dabali, farTo \ viwro, sqeli \ Txeli,
msxvili \ wvrili; nawili \ mTliani; iq, sadac. droiTi mimarTebebia: adre \ gvian; xangrZlivi \
xanmokle; maSin, rodesac... raodenobrivi mimarTebebia: mravali \ cota; meti \ naklebi \ toli.
logikur-mizezSedegobrivi mimarTebebia: mizezi \ Sedegi, Tuki _ maSin anu wanamZRvari \ danaskvi, zogadi
\ kerZo da sxva.
droiTi mimarTebani gacilebiT ufro Zneli gasaazrebelia, vidre sivrciTebi. amis mizezia drois
araTvalsaCinoba. istoriuladac, enobrivadac da fsiqologiuradac pirveladia sivrciTi mimarTebani,viTarc ufro TvalsaCinoni, xolo droiTi (da gacilebiT ufro gvian _ mizezSedegobrivi da
logikuri) mimarTebani maTganaa ganviTarebuli. es kargad Cans enebSic. magaliTad: `ori wlis win~ _
aq sivrciTi mimarTeba `win~ gadatanilia drois xazze; xolo logikur mimarTebaSi `Tuki ... , maSin ... ~
gadmotanilia droiTi mimarTeba `maSin~.
davukvirdeT axla gamoTqmas `ori wlis Semdeg~. aq gamoyenebulia mimarTeba `Semdegi~. igi Tavda-
pirvelad mxolod sivrciTi iyo _ Semdegi sivrciT rigSi. mogvianebiT SeiZina man ricxviTi mniSvneloba
_ Semdegi raodenobiT, ricxviT rigSi. aseve SeiZina droiTi mniSvnelobac _ Semdegi droiT rigSi.
momdevno safexurze man SeiZina mizezSedegobrivi mniSvneloba `Sedegi~: Sedegi _ esaa mizezis Semdegi.
da ukanaskneli safexuria wmindad logikuri mniSvneloba: Teoremis, msjelobisa an wanamZRvris Sedegi.
mizezi-Sedegi anda msjeloba-Sedegi _ esaa ukve logikur-mizezSedegobrivi rigi. am ganyenebul da rTul
mimarTebaTa pirvelsaxe ki sul ubraloa: nivTier sivrceSi TvalsaCinod Camwkrivebul saganTa rigi.
amave pirvelsaxis ganviTareba sxva mimarTulebiT _ esaa naturalur ricxvTa Tu rigobiT ricxvTa
rigi, zogadad _ raodenobrivi mimarTebani.
es yovelive gviCvenebs, rom sivrciTi mimarTebani safuZvelia rogorc droiT da logikur mimar-
Semdegi sivrceSi Semdegi droSi mizezis Sedegi
Semdegi ricxviT rigSi msjelobis logikuri Sedegi (daskvna)
- 72 -
TebaTa, ise rigobiT ricxvTa. yvela es mimarTeba Sinaganad dakavSirebulia erTmaneTTan da Cvenc erT
saswavlo xazSi vamuSavebT maT, bunebrivi fsiqologiuri TanmimdevrobiT. ganviTarebis zogadi sqemaa:
droiT da logikur
mimarTebaTa siZnelis gamo
I klasSi vaswavliT mxolod
maT umartives saxeebs. maSin
rodesac sivrciTi mimarTebani
ZiriTadad mTlianad gvaqvs amowuruli (sxvaTa Soris, ukanasknel winadadebaSi davukvirdeT gamoTqmas
`maSin rodesac~ _ is aSkarad droiT mimarTebas aRniSnavs, Tumca SeZenili aqvs logikuri
dapirispirebis mniSvnelobac!). sazogadod mimarTebani da pirvel rigSi, maTi TvalsaCino pirvelsaxe _
sivrciTi mimarTebani moswavlem kargad unda gaiazros. saqme isaa, rom mimarTebaTa gaazreba _ ligikuri
azrovnebis mTavari Taviseburebaa, romelic ganasxvavebs mas azrovnebis dabali doneebisagan da
aRqmisagan. mimarTebaTa gasaazreblad ki gansakuTrebiT kargia sqemebi.
aRwerili kanonzomiereba gramatikaSic iCens Tavs. rTul qvewyobil winadadebaTagan bavSvi yvelaze
advilad iazrebs iseTebs, romlebSic damakavSirebelia adgilis garemoeba; Semdeg _ romlebSic
damakavSirebelia drois garemoeba; Semdeg _ mizezSedegobrivi da bolos _ logikuri.
erTi enobrivi sakiTxic. zogjer amboben xolme mcdarad: `xuTi wlis ukan~. es rusulis
gadmonaRebia, qarTulSi warsul movlenaze iTqmis ara `ukan~, aramed _ `win~. unda iTqvas:
xuTi wlis win, ori dRis win, erTi kviris win... (da ara `ukan~).
mimarTebaTa kidev erTi saintereso SemTxvevaa naTesauri mimarTebani. Cven mravlad gvaqvs saTanado
amocanebi, xolo ufros klasebSi am Temas vaviTarebT saxaliso amocanebis TanwyobiT, xisebr
diagramebTan da grafsqemebTan dakavSirebiT.
mimarTebebTan dakavSirebiT Zalian TvalsaCinod iCens Tavs adamianis bunebrivi TavkerZoba(egocentrizmi). magaliTad, Tamila mamukasaTvis aris da, magram maTi mamisaTvis aris Svili. patara
mamukas ki Zalian uWirs imis gaazreba, rom Tamila SeiZleba iyos Svili. misTvis miT umetes Zneli
warmosadgenia, rom Tamila momavalSi viRacisaTvis SeiZleba dedac iyos. mamukasaTvis Tamila aris
mxolod da _ radgan mamuka mimarTebas mxolod sakuTari Tavis mimarT iazrebs. asevea umartivesi
sivrciTi mimarTebac `win \ ukan~. vTqvaT, skami magidis winaa, magram mamukas ukanaa. mamukas uWirs imis
aRqma, rom es skami SeiZleba iyos win. kidev ufro Zneldeba amgvari ram `marjvniv \ marcxniv~
mimarTebisTvis.
adamiani izrdeba da TandaTan eCveva mimarTebaTa gaazrebisas TavkerZobis daZlevas. rac ufro
pirveladia mimarTeba, miT ufro adreul asakSi daiZleva mis aRqmisas TavkerZoba. magaliTad, sivrciT
mimarTebaTa aRqmisas I klasSive viwyebT TavkerZobis daZlevas. xolo logikur da, gansakuTrebiT,
zneobriv mimarTebaTa gaazrebisas TavkerZobis daZleva zrdasrulTa umravlesobasac ki Zalian uWirs,
xSirad sul ar ZaluZT. magaliTad, gazrdili mamukas TvalsazrisiT ise Cans, rom mzia Zalian cudad
moiqca, radgan mis saqciels mamukasaTvis Zalian cudi Sedegebi moaqvs. magram mzias TvalsazrisiT is
Zalianac kargad moiqca, mis saqciels Zalian kargi Sedegebic moaqvs _ mziasTvis... bunebrivad adamianis
TavkerZoba ukideganoa, sakuTar TvalSi diris verdamnaxavi da sxvis TvalSi ki bewvis damnaxavi _
saxarebiseuli aforizmis mixedviT.
sxva adamianis cnobierebis Tvalsazrisze dadgomis unari _ esaa zrdilobis, Segnebisa da zneobis
qvakuTxedi. am unaris ganviTareba pirovnebis aRzrdis erT-erTi mTavari sazrisia. gamwvavebuli Sexla-
Semoxla da didi Cxubebic ki xSirad erTaderTi ramiT SeiZleba mogvardes: orive mxares rom
xelewifebodes viTarebis danaxva sapirispiro mxaris TvalTaxedviT.
mxolod danaxva _ da ara daTanxmeba!..
uSualod meTodikaSi mwvaved iCens Tavs TavkerZobis ori gamovlineba: zrdasrulTa egocentrizmi
da viwro dargobrivi egocentrizmi. pirveli imaSi vlindeba, rom mraval zrdasruls ar ZaluZs
bavSvisaTvis bunebriv samyaroSi cxovreba, bavSvisaTvis bunebrivi metyveleba, aRqma, azrovneba.
`progresuli reformebis~, `finansuri problemebis~, `samoqalaqo kulturis~, `kritikuli reagirebisa~
da `subieqturi konfliqtebis obieqturi stabilizaciis~ samyaro bavSvisaTvis yovlad ucxoa (vgulis-
xmobT ara mxolod sityvebs, aramed mTel amgvar samyaros). da Tuki bavSvs mainc moaxvedreben am
samyroSi, maSin igi iZulebuli gaxdeba, rom mieCvios zerelobasa da siyalbes, yurmokruli uazro sity-
mimarTebani
sivrciTi droiTi mizezSedegobrivi logikuri
rigobiT-ricxviTi, raodenobrivi
- 73 -
vebis futuro garsebis trials; agreTve guliT vernagrZnob yalb grZnobaTa gancdas.
viwro dargobrivi egocentrizmi vlindeba imaSi, rom mraval mecniers, meTodistsa Tu maswavlebels
ar ZaluZs, saswavlo sakiTxebs Sexedos farTo TvalTaxedviT _ zogadad ganaTlebuli da ganviTarebuli
adamianis aRzrdis TvalsazrisiT; agreTve _ bavSvis Sinagani samyaros, mis bunebriv interesTa da
miswrafebaTa TvalsazrisiT; yvelaze mTavari xdeba sakuTari dargis (magaliTad, maTematikisa Tu
gramatikis) viwro, Taviseburi da daxSuli samyaro, romlis Targzec unda moiWras mTeli swavleba. am
dros ar xedaven, rom bavSvi ver swavlobs, ver igebs, itanjeba, maxinjdeba, xolo saukeTeso
SemTxvevaSi, mxolod izepirebs. esaa `saganze centrirebuli~ swavleba, romlis sapirispirocaa
`moswavleze orientirebuli~ anu humanisturi swavleba [Tavi I].
ganvixiloT erTi TvalsaCino SemTxveva saskolo cxovrebidan. istoriis sagamocdo weraze erTma
mexuTeklaselma dawera: `daviT aRmaSeneblis xanaSi saqarTvelos kulturac Zlier dawinaurda:
SeakeTes Zveli taZrebi, aages mravali axali taZari, saavadmyofo, saxelosno, kino da Teatri.~
bavSvis am gulubryvilo Secdomam samaswavlebloSi gakvirveba da sicili gamoiwvia. magram, Tuki sakiTxs
bavSvis cnobierebis TvalsazrisiT SevxedavT, davrwmundebiT, rom araviTari gansakuTrebuli Secdoma da
`kuriozi~ ar momxdara, bavSvs, arsebiTad, kargi Sinaarsis winadadeba dauweria. marTlac:
mexuTeklasels ar uswavlia da man arc SeiZleba icodes teqnikis istoria. man ar icis, Tu rodis
gamoigones kinematografi. bavSvs gamzadebuli xvdeba rogorc taZrebi Tu saavadmyofoebi, ise televizia
da kinoTeatrebi. wina Taobas albaT SemorCenili aqvs is bundovani gancda, rom, magaliTad, televizia
axali gamonagonia _ radgan moswrebia im dros, roca xalxs televizorebi ar hqonda (rogorc amJamad
yvelas ara aqvs kompiuteri). magram XX saukunis bolos dabadebuli bavSvi verafriT ver igrZnobs
arsebiT gansxvavebas (siZvelis mxriv) kinosa da saavadmyofos Soris. Tuki saavadmyofo SeiZleboda
arsebuliyo daviTis xanaSi _ ratom ar SeiZleboda arsebuliyo kino? vimeorebT, rom bavSvs warmo-
dgenac ara aqvs teqnikis istoriaze da mas amis codna jer arc unda moeTxovebodes. mexuTeklaselma
kargad gamoxata kulturis aRmavloba, sakuTari azric CarTo da miamata kino-Teatri _ Zalian kargia!
Tumca, cxadia, maswavlebeli Secdomas Seusworebs da auxsnis, magram es sul sxva ganwyobilebiT
moxdeba... moswavlis mier raRacis damoukideblad damateba da iniciativa unda waxalisdes!
saWiroa gageba _ da ara aucileblad daTanxmeba!
sazogadod, maswavlebels unda axsovdes: nu daemyareba im yurmokrul codnas, romelic bavSvs
savaraudod SeZenili aqvs ufrosebisgan Tu ekranidan. es codna an imdenad zerele da futuroa,
rom masze veraferi ver daeyrdnoba, an, ubralod, ar arsebobs. maswavlebeli unda daeyrdnos mxolod im
codnas, romelic skolam SesZina bavSvs! samwuxarod, amas ar iTvaliswinebs saxelmZRvaneloTa umravle-
soba (dawyebuli V klasidan) da TavisTavad cxadad miiCnevs mraval rames, rac bavSvisaTvis sulac araa
cxadi! aseve, saxelmZRvaneloTa teqstebSi ixmareba mravali iseTi termini, romlebic bavSvs wesierad ar
esmis an sul ar esmis. gauazrebel, zerele crucodnaze ki mxolod arcodna Tu daSendeba...
asea: sakmarisia, davZlioT TavkerZoba da vaiZuloT Tavi, rom sxva adamianis TvalTaxedviT SevxedoT
sakiTxs, rom es sakiTxi sul sxvagvarad warmogviCndeba. Cven SeiZleba ar daveTanxmoT sxvas (rogorc
ver daveTanxmebiT im mexuTeklaselis Secdomas) _ magram gavugebT mas. es ki ukve sanaxevrod mainc,
Tuki metad ara, gadaWris adamianTa Soris wamoWril sirTuleebs, mTel sazogadoebaSi dagrovil sir-
Tuleebs, _ da ganmuxtavs TavisTavSi Caxveul Zvinvas (agresias) da sxva uaryofiT grZnobebs...
$ 20. aramaTematikurad, gumaniT amosaxsneli amocanebi
gumans (intuicias) udidesi mniSvneloba aqvs aramarto cxovrebasa da xelovnebaSi, aramed agreTve
yovelgvar saqmianobaSi, mkacr mecnierebaSic ki (yoveli aRmoCena da SemoqmedebiTi wvdoma swored
gumaniT xdeba). cxadia, sul sxvaa eqimis gumani da sul sxva _ xelosnisa; sul sxvaa istorikosis
gumani da sul sxva _ maTematikosisa; ufro metic, gumani geometriaSi gansxvavdeba gumanisgan
ariTmetikaSi. gumanis TiToeul am ganStoebas sakuTrivi ganviTareba sWirdeba.
saskolo maTematikaSi sayovelTaodaa cnobili, rom moswavle mraval cnebasa Tu moqmedebas gumaniT
Seimecnebs _ da ara mkacri logikiT. gansakuTrebiT xSirad es dawyebiT klasebSi xdeba. magaliTad,
meoreklaseli mxolod gumaniT swvdeba cnebebs `marTkuTxedi~ Tu `Sekreba~. xolo cnebebi `wrfe~,`sibrtye~ `raodenoba~ da sxva _ ufros klasebSic ki mxolod gumanis amaraa.
magram es yovelive _ gumanis udabalesi donea, roca gumani, arsebiTad, mxolod xatovan
warmodgenebsa da calkeul kerZo magaliTebs emyareba. am donis gumans ganviTarebac ki TiTqmis ar
- 74 -
sWirdeba _ igi normalur gonebas bunebrivad aqvs.
maTematikosis gumanis maRali done _ esaa Zneli, misaxvedri (mosasazrebeli) amocanis amoxsnis gzis
mixvedris unari. amgvari amocanebi gvxvdeba rogorc saskolo maTematikaSi (gansakuTrebiT, olimpiadebsa
da konkursebSi), ise namdvil mecnierul kvlevebSi. maT winaSe logikuri msjeloba umweoa, mxolod
gumani Tu gaikvlevs gzas.
magram es maRali donis gumani mxolod gamorCeuli maTematikuri niWis mqone adamians SeiZleba
ganuviTardes. amitom misi ganviTareba mxolod calkeul moswavleebs exeba.
gumanis yvelaze mniSvnelovani donea saSualo, romelic Cveulebriv moswavles unda ganuviTardes.
ganvixiloT ramdenime magaliTi.
wmindad gumaniT amoixsneba amocanebi miaxloebiT Sefasebaze. isini testuri formisaa, mxolod
erTi pasuxia marTebuli. gamoTvlebis gareSe, mixvedriT unda gamoiricxos yvela pasuxi, garda erTisa _
da maS swored es erTi iqneba marTebuli pasuxi.
II-III kl. upasuxeT dauTvlelad, swrafad:
ramdeni varskvlavia aq dasmuli?
a) 25; b) 67; g) 908; d) 16; e) 350.
aRqma mxolod winaswari aucilebeli safexuria,
magram TviT amocanis amoxsnas veRarafriT exmareba;
xolo logikuri azrovneba iwyeba mxolod mas Semdeg, roca amocana, arsebiTad, ukve amoxsnilia.
marTlac, azrovnebaa mxolod es: `vinaidan 16 da 25 _ Zalian mcirea da ar gamodgeba, 350 da 908 _
Zalian didia da arc eseni gamodgeba; amitom, raki erT-erTi pasuxi namdvilad marTebulia, pasuxi
yofila 67, radgan danarCeni oTxi _ gamoricxulia.~ magram am msjelobisaTvis mTavaria is wanamZRvari,
romelic aRqmisTvisac, mexsierebisTvisac da logikuri azrovnebisTvisac ki miuwvdomelia! marTlac,
saidan icis adamianma, rom raodenoba verafriT ver iqneba 25 an 350? mTavari esaa. cxadia, man es
intuiciurad `icis~, `xvdeba~ Tu `cnobs~, `xedavs~; ufro zustad ki _ amas intuiciurad swvdeba.
III-IV kl. ris tolia saSualo cxrasarTuliani saxlis simaRle?
a) 8 m; b) 244 m; g) 20 dm; d) 110 m; e) 30 m; v) 1 km.
moswavle am droisaTvis ukve sakmaod gawafulia gazomvasa da sigrZis erTeulebSi. es Cveni zogadi
wesia: amocana raimes miaxloebiT Sefasebaze Semodis mxolod mas Semdeg, rac saTanado sakiTxi ukve
karga xnis ganmavlobaSi muSavdeboda da moswavles sakmao gamocdileba unda hqondes dagrovebuli.
amitom moswavle gumaniT unda mixvdes, rom cxrasarTuliani saxlis simaRle ver iqneba 8 m Tu 20 dm
(Zalian mcirea!) da verc 244 m, 110 m Tu 1 km (Zalian didia!). maS, rCeba erTi SesaZlebloba _ 30 m
(raki viciT, rom erTi pasuxi namdvilad marTebulia!).
VI-VII kl. mocemulia marTkuTxedi:
SemdegTagan aarCieT is marTkuTxedi,
romlis gverdebis sigrZeebic am marTkuT-
xedis gverdebis sigrZeTa proporciulia:
(ufros klasebSi iqneboda: `romelic am marTkuTxedis msgavsia~).
moswavleebs am droisaTvis ukve naswavli aqvT proporcia da misi sami Tviseba. am amocanis amoxsna
SeiZleboda gazomvebiTa da gamoTvlebiT, magram amas Zalian didi dro dasWirdeboda. vinc aqtiurad
icis proporciuloba (Tundac cnebaTa gareSe _ mxolod praqtikulad _ magaliTad xelovnebaTmcodnem),
is pirdapir, gumaniT mixvdeba Tu `dainaxavs~, rom marTebuli pasuxia (g).
gumani saTanado mimarTulebiT dagrovebul gamocdilebas emyareba. magaliTad, zemore amocanaSi
marTebul pasuxs pirdapir ver `dainaxavs~ is adamiani, romelsac proprociuloba axali naswavli aqvs
da jer kidev Rrmad ver `grZnobs~ mas _ Tundac rom proporciulobis Teoriul-cnebiTi codna
sruliad unaklo hqondes!
gumanis dabali done ufro `dablaa~, vidre Teoriul-cnebiTi codnis done, jer kidev araa
amaRlebuli am gaazrebuli cnebis donemde. magaliTad, proporciulobis SemTxvevaSi es iqneboda is
codna, romelic eqneboda mesameklasels, romelsac TvalsaCino magaliTebiT auxsnidnen, Tu ra aris
proporciuloba. saSualo mesameklaselisTvis proporciulobis cnebiTi gaazreba ubralod mi-
a) b) g) d) e)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
- 75 -
uwvdomelia. xolo gumanis saSualo done, piriqiT, ufro `maRlaa~, vidre Teoriul-cnebiTi codnis
done, radgan misi momdevno donea, mas moicavs da damatebiT aqtiur gamocdilebasac moicavs!
gumanis umaRlesi done _ esaa SemoqmedebiTi gumani, romelic mxolod saTanado niWierebis
SemTxvevaSi Tu ganviTardeba.
Tavi III . gakveTilebis nimuSebi
แแแแแแแแแ 1. แแแแกแ: IV-V _ แฅแแ แแฃแแ แแแแก, แแแแแแแขแแแแกแ แแ แแฃแแแแแกแแชแแแแแแแแก
แแแขแแแ แแ แแแฃแแ แแแแแแแแแแแ _ แกแแกแฌแแแแ แแ แแคแแแแกแ แแ แแแขแแ แแกแแแแก แแแฎแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแแ
แจแแแแจแแแ. แแก แแแแแแแแแ แแ แแ แแแแแฃแแ แแแแแ แแขแฃแ แกแแแแแฎแแ; แแแแขแแ แแแกแฌแแแแแแแแแ, แแแแแกแ แแแแกแแก แแแแแแแแแแแแแก แแแแแก แแแแแแแแกแฌแแแแแแ, แแแแแฌแงแแแขแแก _ แแก แแแแแแแแแ แจแแแซแแแแ แฉแแขแแ แแแก แแ-4 แแแแกแจแ แแ แแ-5แแแแกแจแ. แแฃแแ แแแแกแจแ แแกแแแแกแ แแแแแแแแแ แฏแแ แแ แฉแแขแแ แแแฃแแ, แกแแกแฃแ แแแแแ, แฉแแขแแ แแแก แแ-5 แแแแกแจแ.
แแแแ: แแแแชแแแแจแ แแฆแฌแแ แแแ แแ แ แแแแฃแ แ แแแแแ แแแแก แแแแแแแ แแแ แ แแชแฎแแแแ แแแแแกแแฎแฃแแแแแแแก แกแแจแฃแแแแแแ.แแ แ: แกแแแแแกแ แแฃแจแแแแ _ 4 แแแแแแแแแ (180 แฌแ); (แแ แแกแแแแแแแแแแ แแ แ: แฌแแแแ แ, แจแฃแแแแแฃแ แแ แแแแแแแแแกแแจแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแแฃแแแแแแแแ แแแชแแแแแแแแ _ 35 แฌแ + 35 แฌแ + 35 แฌแ).แแแแแแแแแแก แแแแแแ/แจแแแแแแแ: แแแกแฌแแแแ แฌแแแแแแฎแแแก แแแแฎแแแแแแ 300-แกแแขแงแแแแ แกแแแแคแแ แแแชแแ แขแแฅแกแขแก แแแแแแแแ แแแก แแแก; แแแแแ แแขแฃแ แแแแแ แแแแจแ แแแแแแ แแแก แแ แแแแแแงแแแแแก แแแคแแกแแแ แกแแแแแแแแก (แแแแแแแแแก); แกแฎแแแแ-แกแฎแแ แแแจแแแแแแกแแแแแ แแแฎแแแแแ แจแแแแแ แแแก แกแแแแแแก; แขแแฅแกแขแจแ แแแชแแแฃแแ แแแแฎแแแแแแ 60 แ แแแแแแแแ แแแ แแ แแแ-แกแแแ แแแ แแแแแชแแแแแแ แแแแแ แแแก แกแแญแแ แ แแแแแชแแแแแก แแ แแแแฏแแฃแคแแแก แแแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแจแแแแแแกแแแแแ แแแฎแแแแแ;แแแแแแแขแแแแก แกแแแแแฎแแแก แแแแแแแจแแ แแแก แฌแแแแแแ แแแแกแแแ, แแแแแแแขแแแแก แแแแแแงแแแแแก แแฃแแแแแกแแชแแแแแแแแจแ.แแแแแแแแแ แจแแแแแแแ: แแแกแฌแแแแ แแแแแแแ แแแก แแ แแแแแแงแแแแแก แแแฅแแแแแแแแก แกแแแ แซแแก, แฌแแแแกแ แแ แแ แแแกแแ แแแฃแแแแแ, แแแ แจแแ แแก แแแแแฎแแแ แแแแก; แแแฅแแแแแแแแก แแ แแแแแแแจแแ แ แแชแฎแแแแแ (แแแแแแแแแแก แฉแแแแแแ);แแแแแขแแ แแกแแแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแงแแแแแแ แงแแคแ-แชแฎแแแ แแแแจแ; แแแแแแแแแก แแแแจแแแแแแแแ แแแแแฏแก แจแแแแแแแจแแแแแแแแแแแก แกแฌแแแแแก แจแแกแแแแแแแแแแ; แแแกแฌแแแแแก แแแแฃแแขแแแชแแแแ แชแฎแ แแแแกแ แแ แกแแแขแแแแแ แแแแแ แแแแกแแแแแ แแแแก, แแแแแแกแ แแ แแแแแงแแแแแแก แฃแแแ แฉแแแแแแ; แแแแฃแแแแแ แแแแ แแแแแแแ แแแแแแฃแ แ แแแ แแแแแแแกแ แแ แแแกแแแแแกแแแแแขแแแแก, แแแ แซแแ แแ แแแคแแ แแแชแแแก แแแฌแแกแ แแแแแแกแ แแ แแแฎแแ แแกแฎแแแแก แฃแแแ แฉแแแแแแ; แแแ แแฃแแแก แแแแแแฅแแแกแ แแแแแกแ แแแแแแแฌแแแแแก แฃแแแ แฉแแแแแแ; แขแแฅแกแขแแก แฌแแแแแฎแแแกแ แแ แแแแแแ-แแแแแ แแแแก แฃแแแ แฉแแแแแแ; แแแขแแ แจแแฃแงแแแ แแแแแแฃแแแแ, แแแ แฌแแฃแแแแแ แชแฎแแแแแแ แแแชแแแก แกแแญแแ แแแแแจแ.แแกแ แกแขแแแแแ แขแ: แแแ.IV.4. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแแก แแแฌแแแแแแก (แแแฎแแแแ แ, แแแกแแแแแ, แแแแแฎแแแ) แแ แแแแแแแแกแแแแ
แแแแกแฎแแแแแแ, แแแกแแฎแแแแแ แแ แจแแแแ แแแ. แแแแแชแแแแก แแ แแกแแฎแแแแแก แแแแแแก แแแฎแแแแ /แแแกแแแแ/แแแแแฎแแ แแแฌแแแแแก แกแฎแแแแแกแฎแแ
แแแแแแแ (แแแแแแแแแแก, แแแ แแแฃแแฎแแแแก แแ แฌแ แแก แแแแแแแแแ, แแแแแแแแแ แแแแชแฎแแแ แ, แกแแแแ).
แแแ.IV.5. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแก แกแฎแแแแแกแฎแแ แแ แแแฃแแแแแก แแแแแงแแแแแ แแ แแ แแแแแแแแแ แแแแแแจแแ แแแ.
แแแแแกแแฎแแแก แกแแแ แซแแก/แฌแแแแก แ แแแแแแแ แแแ แแ แแแฃแแก (แแแ แแแแ แแแแ แแ แแแฃแแแก แแแฎแแแแ แก) แแชแแ แ แแ แแแฃแแแ. (แแแแแแแแแ,
2แ = 20แแ, 2แ = 200แกแ; 4แแ = 4000แ); แแงแแแแแก แแ แแแก แแ แแแฃแแแแก (แกแแแแแแ แแ แฌแฃแแแแ) แจแแ แแก แชแแแแแ แแแแแคแแ แแแแแก แแ
แแ แแแแแขแแแฃแแ แแแฅแแแแแแแแแก แแแแแงแแแแแแ แแแฃแแแแก แแ แแแก (แแ แ แกแแแแแแแ) แแแขแแ แแแแก. แแแ. IV.6. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ
แจแแกแแแแแแกแแแแก แแแแแ, แแแแแกแแฎแแ แแ แแแแแแแแแแ. แแแแแก แ แแแแฃแ แ แแแแแ แแแแก แแแแแแแขแฃแ แจแแกแแแแแแกแแแแก แแแแแฅแขแแ แแแชแแแฃแ แแ
แฏแแฃแคแก แจแแ แแก (แแแแแแแแแ, แแแกแฌแแแแแแแ แแ แแแ แฎแแแ แกแแแแแกแ แแแแฎแจแ) แแ แชแฎแ แแแแก แแ แกแฅแแแแก แกแแจแฃแแแแแแ แแแแแกแแฎแแแก แแแก.แแแ.IV.12.แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแชแแแฃแ แแแแแกแแแ แแ แแแแแกแแแแแแ แแแแแฅแขแแแ แแแแแแจแแ แแแแ แแแแกแแแ แแแ แแ แ แแแแแแแแ แแแ
แแแแแชแแแแแแก แจแแแ แแแแแ. แแแชแแแฃแ แแแแแกแแแ แแแแแแจแแ แแแแ แกแแแแก แ แแแแแแแแ แแแขแแ แแแขแแฃแแ แแ แฉแแแแแแก แแแแชแแแ แแแแฎแแแแก
แแ แแ แแแแฎแแแแแก แกแแจแฃแแแแแแ แแแแแแแแแก แกแแญแแ แ แแแแแชแแแแแก (แแแแแแแแแ, "แ แ แกแแฎแแก แแแงแแแก แแแแญแแ แฃแแแ แแขแแกแแแแก -แจแแแแแแแแก, แแแ แฌแงแแแก แแฃ แแแฆแแแแก?"); แแแแแ แแแก แกแแญแแ แ แแแแแชแแแแแก แแแฌแแกแ แแแแแฃแแ แแแแแชแแแแแแก แจแแกแแคแแ แแกแ
แแแขแแแแ แแแแแแแ; แแแ.IV.13. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แ แแแแแแแแ แแแ แแ แแแแกแแแ แแแ แแแแแชแแแแแแก แแแฌแแกแ แแแแแ.
แแฏแแฃแคแแแก แแแแแชแแแแแก แแ แแแแแแแ แแ แ แแแจแแแ แแ แฎแกแแแก แแแฏแแฃแคแแแแก แฌแแกแก;
แกแฌแแ แแ แแแกแแแก แชแฎแ แแแก, แกแฅแแแแก, แแแแฎแแแ แก/แแแแแขแแก (แแแแแแแแแ แจแแแฅแแก แแแแแชแแแแแ แแแ แชแฎแ แแแแก แจแแกแแแแแแก แฃแฏแ แแแจแ).
แแแ.IV.14. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแกแแแ แแ แแ แ แแแแแแแแ แแ แแแแแชแแแแ แแแขแแ แแ แแขแแชแแ แแ แแแแแแแขแแ แฃแแ แแแแแแแ.
แกแแแแก แกแแซแแแแ/แจแแแแฏแแแแแแ แแแแฎแแแแก แชแฎแ แแแแก แกแแฎแแ แฌแแ แแแแแแแแแ แแแแแชแแแแแแก แจแแกแแฎแแ;
แแฆแฌแแ แก/แแแแแแ แขแแแก แกแแแขแแแแแ แแแแแ แแแแก แกแแฎแแ แฌแแ แแแแแแแแ แแแแแชแแแแแก แกแแขแงแแแแ แแ แแ แฌแแ แแแแแแ;
แแแแ แแแก แแแแแชแแแแ แแ แแ แแแแแแแแแก แแ แแแฃแแแแก แแแแกแแแ แแ แแแแกแฎแแแแแแแก แแแ แจแแ แแก (แแแแกแแแ แแแแ แฃแแแแจแแ แแแแ
แแ แแแแแแแแแจแ แแแแแชแแแแ แแแแ แแแแก/แขแแแก, แแแแแชแแแแ แแแแแแแ แแแแแแแแก, แแแแแชแแแก แแ แแแแแแแแแแ แแแแก).
แฅแแ แ. IV. 5. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแกแแแแก แแแชแแแแ แแแแแแแก แจแแแชแแแแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แกแแฎแแก แแ แแแฎแแขแแ แฃแแ แขแแฅแกแขแแแแก แฌแแแแแฎแแ
แแ แแแแแแ. แแแแซแแแแก แขแแฅแกแขแจแ แแแแแ แแขแฃแ แแแคแแ แแแชแแแก; แแแแแงแแคแก แแ แแกแแฎแแแแแก แขแแฅแกแขแแก แแแแแแ แกแแแแแฎแแแก;
แแแแแจแแ แแแก แแ แแแแแแแแแ แแฅแกแแแแชแแขแฃแ แแ แแแชแแแฃแ แคแแฅแขแแแก, แแแแแแแแแก, แแแฅแแแแแแแแก แแ แแแแแแฅแแก แกแแแแแแแ แแแกแแแแแแ;
- 76 -
แแกแแแแแ แแแแ แจแแกแแคแแ แแก แขแแฅแกแขแจแ แกแฌแแแแแ แแแแแแชแแขแฃแ แแ แแแชแแแฃแ แแแ แแแก, แแแแฃแแแกแฎแแแ แแแกแแแแแแก, แแแแแจแแแแแแกแ แแฃ
แฅแแแขแแฅแกแขแแแก; แแแแกแแแฆแแ แแแก แขแแฅแกแขแแก แแ แ แแแแแแแแแจแ แแ แแแก แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแฌแแแจแ แแกแแฎแฃแ แแแแแแแแแกแ แแ แคแแฅแขแแแก แจแแ แแก
แแ แกแแแฃแ แแแแแแจแแแแแแแ แแ แแแแจแแ แแแก; แแแแแกแฎแแแแแแก แกแแแแแแ / แแแแแแแแแ แแแ แแแแฃแ แแ แจแแแแแ แกแแแ แแ แแแฎแแกแแแแแแแแแก;
แแฏแแฃแคแแแก แแแคแแ แแแชแแแก แแแแแ แแขแฃแแ แแแจแแแ (แแกแแแแกแแแ-แแแแกแฎแแแแแแแก, แแแแ แแ-แแแแแแแ แฎแแ แแกแฎแแกแ แแ แ.แจ. แแแฎแแแแแ).
แฅแแ แ. IV. 10. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แกแขแ แแขแแแแแก แแแแแงแแแแแ แแแคแแ แแแชแแแก แแแกแแซแแแแแแ แแ แแแแแ แแขแฃแแ แกแแแแแฎแแก
แแแกแแแฃแจแแแแแแแ. แชแแแแแแก, แแแแแชแแแก แฃแชแแแแ แกแแขแงแแแแแก / แแแแแแฅแแแแแก แแแแจแแแแแแแ แแแชแแแแ แแแแแแแขแแแแก
(แแแฃแกแขแ แแชแแแแแก, แแแชแแแแ แคแฃแซแแก, แแแแขแแฅแกแขแแกแ แแ แกแฎแ.) แแแฎแแแ แแแแ; แขแแฅแกแขแแก แฃแแแ แแแแแ แแแแก แแแแแแ แกแแแแก แแแแฎแแแแก
แฌแแแแแฎแฃแแแแ แแแแแแจแแ แแแแ; แแแฃแกแขแ แแชแแแแแ, แกแแแแฃแ แแ แแแงแ แแแแแแ แแแแแแฅแแแแก แแแ แแฃแแก แขแแฅแกแขแแก แจแแแแแ แกแแก แจแแกแแฎแแ;
แแกแแฎแแแแแก แขแแฅแกแขแแก แแแแแแแ แแ แแแแแแแแแแแแ แแแงแแคแแก แแแ แแแ แแ แกแแคแฃแซแแแแก; แแแแแ แแแแ แแแแฎแแแแแ แแแชแแแฃแ แแแกแฃแฎแแแก
แแ แแแแแ แฉแแแก, แ แแแแ แแแแ แแชแแแก แแแแแ แแ แแแแแฎแแแแแ แจแแแแแแ แกแแแแแแ: แ) แแแกแฃแฎแ แแแ แแแแแ แแงแ แขแแฅแกแขแจแ แแแชแแแฃแแ; แ)
แแแกแฃแฎแแก แแแกแแชแแแแ แกแแญแแ แ แแงแ แ แแแแแแแแ แกแแฎแแก แแแคแแ แแแชแแแก แแ แแแแแแแแแ แแแแแแจแแ แแแ; แ) แแแกแฃแฎแ แแ แแงแ แขแแฅแกแขแจแ;
แแแแแฎแแแแ แแแแงแ แแแ แขแแฅแกแขแจแ แแแชแแแฃแ แแแคแแ แแแชแแแก, แแแฃแแแแจแแ แ แแแ แกแแแฃแแแ แชแแแแแก แแ แแแแก แกแแคแฃแซแแแแแ
แแแแแแขแแแ แแแกแแแแ; แฃแแ แฃแแแแแ แขแแฅแกแขแแก แจแแกแแแแแแก/แกแแแแแแแ แแแแแแแแแก แแ แกแแแแแฎแแแแก แแแกแแแฃแกแขแแแแแ, แ แแจแแช แแ แแ แแก
แแแ แฌแแฃแแแแฃแแ; แฅแแ แ. IV. 11. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แกแแฎแแก แแชแแ แ แแแแแก แขแแฅแกแขแแก แจแแแฎแแแ. แจแแกแแคแแ แแกแ
แแแฅแกแแแแก แแแแแงแแแแแแ แแแแแแก แแแ แขแแ แแแ แแแแ แแ แขแแฅแกแขแแแก (แแแแแแขแฃแ แ แแแ แแแแแแก แแ แแแแแ แแคแแฃแแ แแแ แแแแก แแฆแฌแแ แแก,
แแแแแแแขแแแฃแ แแแแชแแแแก). แชแฎแแแ แแแแกแแฃแแ แจแแแแแญแแแแแแแแแก แกแแคแฃแซแแแแแ แฌแแ แก แแชแแ แ แแแแแก แขแแฅแกแขแก;
แกแแญแแ แ แฌแแแแ แ แชแแแแ แแ แฃแแแ แฉแแแแแแ: แแชแแก แ แแชแฎแแแแแก แแแกแแฎแแแแแ, แฌแแแแแฎแแ แแ แแแแแ แแแฅแแแแแแแแ 999 แแแแแแแแก แคแแ แแแแแจแ; แแงแแแแแก แแ แแขแแ แแแก แแแฅแแแแแแแแก (แแแ แจแแ แแก แแแแแฎแแแ แแแแก): แกแแแ แซแแก แแ แแแฃแแแแแ (แแ แแ แกแ), แฌแแแแก
แแ แแแฃแแแแแ (แ, แแ, แข) แแ แแ แแแก แแ แแแฃแแแแแ (แแแ, แฌแแแแฌแแแ). แจแแแแแแแก แฃแแแ แขแแแแก (แแแกแจแขแแแแก แแแ แแจแ) แกแแแขแแแแ แแแแแ แแแแก, แแแแแ แแแก แกแแญแแ แ แแแแแชแแแแแก; แจแแแแแแแก แแ แแแแแกแขแ แแฅแแแแแ / แแ แแแแแกแแแขแแแ แชแฎแ แแแแแก, แแกแแแ แชแฎแ แแแแแแแแ แแแแแ แแแก แกแแญแแ แ
แแแแแชแแแแแก; แแฏแแฃแคแแแก แกแแแแแแก แแ แ แแแจแแแแแแกแแแแก แแแฎแแแแแ; แแแแแ แแแก แ แแแแแแแแ แแแแแชแแแก แแ แแแแแ แแแแแแแแแชแแแแ แแแแแ แกแแแแแ; แแแแแชแแแแ แแ แแแแแแแแแก แงแแแแ แแแแแชแแแก แแแฃแฉแแแก แแแแแแก แ แแแแแแแแแแชแแแฃแ แฏแแฃแคแจแ;
แแ แแ แแแแกแแก แแแแแฅแขแแ แจแแกแแฎแแ แแแแแชแแแแแก แแแแแแแก/แแฏแแฃแคแแแก แ แแแแ แฌแแกแแ; แแแแแแ แขแแแกแแแแแแแแแก/แแแฏแแฃแคแแแแก แฌแแกแก.
แกแแขแงแแแแ แแ แแฎแแกแแแแแแก แแแแแชแแแแ แกแแแก แแแแแชแแแแ แกแแแ แแ แ แแแแแแแแแก, แแแแแแแ แแแแก, แแแแแชแแแก,แแแแแแแแแแ แแแแก แแแฎแแแแแ;
แแแแฎแฃแแแแก แแแแแ แขแแฅแกแขแก แแ แแแแแ แแแก แแแแแแแแฃแแ แแแแแฅแขแแก แจแแกแแฎแแ แขแแฅแกแขแจแ แแ แกแแแฃแ แแแแแชแแแแแก; แกแแแแก แแแแฎ/แแ แ แขแแแแก แจแแแแแฎแแแแก แแแแแชแแแแ แแแกแแแแแแแแแ แแแชแแแฃแ แแแแแกแแแ แแ แแแแแกแแแแแแ
แแแแแฅแขแแแ แแแแแแจแแ แแแแ แแ แแฆแ แแชแฎแแแก แแแกแฃแฎแก; แแฏแแฃแคแแแก แแแแแชแแแแแก แแ แแฃแแแขแแก แแ แ แแแจแแแ แแ แแกแแฎแแแแแก แแแจแแแแก, แ แแแแแแ แแแฎแแแแแแแช แแแแฎแแแแ
แแแฏแแฃแคแแแ; แแแแแแแก แ แแแแแแแแ แ แแแแแแแแ แแ แแแแแชแแแก แแ แแแแแแแ, แแแแแแแแแแ; แแฎแแกแแแแแแก แแแฏแแฃแคแแแฃแ แแแแกแแแ แแ แแแแแชแแแแ แแ แแแแแแแแแก แแแกแจแ แแแแแชแแแแ แกแแแ แแ แ แแแแแแแแแก,
แฅแแแฏแแฃแคแแแแก แ แแแแแแแแแก, แแแแแแฃแ แฅแแแฏแแฃแคแจแ แแแแแชแแแแ แ แแแแแแแแแก แแ แแ แแแแแแแแแจแ แแแแแชแแแแแแแแแแแ แแแแก, แแแแแชแแแก, แแแแแแแแแแ แแแแก แแแฎแแแแแ.
แกแแกแฌแแแแ แแแกแแแ แแ แ แแกแฃแ แกแแแ: แฌแแกแแแแแฎแ แขแแฅแกแขแแแ (IV แแแแกแแก แกแแฎแแแแซแฆแแแแแแแแแ) แแ แแแแชแแแ-แแแแแแแแแแ แขแแฅแกแขแแแ (แแแแแแญแแแแ), แแแคแ, แชแแ แชแ (แกแแกแฃแ แแแแแ, แคแแ แแแ แชแแ แชแแแ แแ แแแ แแแ แแแ), แ แแแฃแแแแ,แกแแฎแแแแแแแ, แแแแแฎแแก แกแแแฃแจแแ แคแฃแ แชแแแแ (แจแแแซแแแแ แชแแแ แแฎแ แแแแ แแแฎแแแ แ แคแฃแ แชแแแแแก แแแแแงแแแแแ).แแแกแฌแแแแแแแก แแแแแแแแฃแแแฃแ แแ _ แฌแแแแ-แแฌแแแแ โแจแฃแฅแแแจแแแแโ.
แแแแแแแแแแแแก แแขแแแแแ (แแแแแก แแแแฃแจแแแแแแก 13 แแขแแแ)1.1. แฌแแแแ แ แแชแแ แ แกแแแ แแแฅแขแ แแแแแแแแแแ แแฃแจแแแแ (แกแแแแ แแฃแแแ _ 1 แแแแ แ).1.2. แกแแแ แแแฅแขแ แกแแแฃแจแแแก แจแแแแแแแแก แแแแฎแแแแ แแ แแแแแแ (10-15 แฌแฃแแ).1.3. แแแแแแ แ แฌแแกแแแแแฎแ แขแแฅแกแขแแก I แคแแแ _ โแฌแแแแแฎแแแแแโ: แขแแฅแกแขแแก แจแแแแแ แกแแก แจแแแแแแแแ, แแแ แแฃแแแแ (45 แฌแฃแแ).1.4. แแแแแแ แ แฌแแกแแแแแฎแ แขแแฅแกแขแแก I แคแแแ _ โแฌแแแแแฎแแแแแโ: แฌแแแแ แ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแแ แแแชแแแแแแแแ _ แขแแฅแกแขแแก
แกแฌแแแแ แแแแฎแแแ แแ แ แแแแแแแแ แจแแแแแฎแแแแ แแแกแฃแฎแแก แแแฌแแ แ.2.1. โแฌแแแแกแฌแแ โ _ แแแแแแ แ แฌแแกแแแแแฎแ แขแแฅแกแขแแก I แคแแแแก แแแกแ แฃแแแแ: แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแ แแ แแแฆแ แแแแแแ _
แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแขแแ แแฅแชแแฃแแ แแฃแจแแแแ (25-30 แฌแฃแแ).2.2. แแแ แแแแ, แแชแแ แ แฏแแฃแคแฃแ แ แแฃแจแแแแ _ แจแแ แแฃแแ (แฐแแขแแ แแแแแฃแ แ) แฏแแฃแคแแแแ (10 แฌแฃแแ).
- 77 -
2.3. II แคแแแ: โแแแแแแแแแแแจแโ = โแฌแแแแแฎแแแกแแกโ: แขแแฅแกแขแแก แฌแแแแแฎแแ แแแแกแจแ (10-15 แฌแฃแแ).2.4. โแจแแแแแแโ = โแฌแแแแแฎแแแก แจแแแแแโ _ แขแแฅแกแขแแก แแแแแ แแแ: แแแแ แ แฏแแฃแคแฃแ แ แแฃแจแแแแ _ แกแแกแฌแแแแ แแ แแคแแแแกแ แแ
แแแขแแ แแกแแแแก แแแฎแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแแ; แฏแแฃแคแแแแก แแแแฃแจแแแ แแแแก แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแฎแแแแ (30-35 แฌแฃแแ).2.5. โแฌแแแแแฎแแแก แจแแแแแโ _ แแแแแชแแแแ แแแฏแแฃแคแแแ: แแแกแแแ แฏแแฃแคแฃแ แ แแฃแจแแแแ _ แกแแกแฌแแแแ แแ แแคแแแแกแ แแ
แแแขแแ แแกแแแแก แแแฎแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแแ; แฏแแฃแคแแแแก แแแแฃแจแแแ แแแแก แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแฎแแแแ (20-25 แฌแฃแแ)(แแฃแแ แฌแแกแแแ แ แแ แแแแแขแแชแแแแ แแแกแฃแ แก, แแแจแแ แแก 20-25 แฌแฃแแ แแ แแฅแแแแ แกแแแแแ แแกแ แแ แแแแแ แแแแแแแแแแแแฎแแแแ แกแแญแแ แ).
2.6. แ แแคแแแฅแกแแ; โแแแกแแกแแแแแ แแแ แแแแแแกโ แจแแแกแแแ แแแกแฌแแแแแแ แแแแ , แแแแ แแแแแจแแคแแกแแแ; แแแกแฌแแแแแแแแกแแฃแแแจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแแ แจแแคแแกแแแ (10 แฌแ). 2.7. แแแแชแแแแแ แแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแกแแแแก.
3.1. แขแแฅแกแขแแก แแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแ; แแแกแฌแแแแแแแแกแแฃแแ แฃแแฃแแแแจแแ แแแ โแแแกแแกแแแแ แแแ แแแแแแโ(20-30 แฌแฃแแ).
3.2. แแแแแขแแแแแ แแแแแแแแ แฅแแ แแฃแแแก แแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแแ แแแแแแแแแแแแ _ แแ แ แซแแแแแ แแแ แแแแแขแแแแแแแชแแฃแ แ แแฅแขแแแแแ.
3.3. แแแแแ แแ แแ แแแแแขแแแแแ แแแแแแแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแแ แแแแแแแแแแแแ _ แกแแแขแแแแแ แแแแแ แแแ.
แแแแแแแแแแแแก แแแฌแแ แแแแแแแ แแแแแ-แแแแกแแแฅแขแ, แกแแจแแแแ แแ แกแแแแแกแ แแแแแแแแแแ แแแแชแแแแแแแ แแ แแแแชแแแแแแก แแแ แฉแแแ
1. แฌแแแแกแฌแแ แ แแฅแขแแแแแแแ1.1. แฌแแแแ แ แแชแแ แ แกแแแ แแแฅแขแ แแแแแแแแแแ แแฃแจแแแแ (แกแแแแ แแฃแแแ _ 1 แแแแ แ)
แจแแแแแแแแ แแแฎแ แจแแแแแฎแแ แแ แแแแแแแแฎแแ แแฅแแแแ แแแชแแแแแแ, แ แแแ แแแแแแแแแแแแ: แฉแแแแก แฎแแแฎแกแกแแกแแ แแแแแ แแฃ แแแแแแแแ แชแฎแแแแแแแแ แแแแฉแแแแ แแแงแแงแ, แแแแแแจแ, แฎแแแแแ แแ แฏแแฏแ. แจแแแแแฎแแแแแ แแแกแฃแฎแแจแแแซแแแแ แแงแแก แกแแแแแแ แ: โแแโ; โแแ แโ; โแแ แแแชแ, แกแแจแฃแแแแ, แแกแ-แ แโ.
แแแแแแแแฎแแแก แจแแแแแแแ แแฆแ แแชแฎแแ แแ แแแแแแแแ แแ แฌแแกแแ:โแแโ = +1 แฅแฃแแ (แแแฃ แจแแกแแแแแแก แชแฎแแแแแก แแแแขแแแ 1 แฅแฃแแ);โแแ แโ = 1 แฅแฃแแ (แแแฃ แจแแกแแแแแแก แชแฎแแแแแก แแแแแแแ 1 แฅแฃแแ);โแแ แแแชแ, แกแแจแฃแแแแ, แแกแ-แ แโ = 0 แฅแฃแแ.
แงแแแแ แแแกแฌแแแแแก แแแแ แแแฆแแแฃแแ แฅแฃแแแแ แจแแแฏแแแแ, แจแแแ แแแแ. แฏแแแฃแ แ แจแแแแแแแ แฌแแ แแแแแแแแแ แแ แแ แชแฎแ แแแแ.
แแ แแแฅแขแแก แแแแแแแแแก แขแแฅแกแขแก, แแกแแแ แ แแแแ แช แกแแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แขแแฅแกแขแแแก, แแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแแแแแกแจแ แฌแแแแแแฎแแแแ แฎแแแแแฆแแ (แกแแกแฃแ แแแแแ, แแแแแช-แแแแแช แแแแ แซแแแแแแแแ). แแแกแฌแแแแแแแแ แจแแแแแฎแแแแแก แแแกแแแแแแแแแแแฌแแแแก, แแแแแแ แแก แแฃ แแแ แ แงแแแแแ แแแแแชแแก แจแแแแแ แกแ. แกแแญแแ แแแแแกแแก แแแแแชแ แฎแแแแแแ แแ แฌแแแแแแฎแแ แฃแคแ แแแแแแแ แแแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแก แแแแ แแฎแกแแ แแ แแ แกแแกแฃแ แแแแ.
แกแแกแฃแ แแแแแ, แแก แแฅแขแแแแแ แแฃแแแแแกแแชแแแแแแแแก แแแแแแแแแแ แฉแแขแแ แแแก; แแฃแแชแ, แแแกแฌแแแแแแแแกแจแแฎแแแฃแแแแแกแแแแแ , แจแแแซแแแแ แฉแแขแแ แแแก แฅแแ แแฃแแ แแแแก แแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแแแแ.
แแ แแแฅแขแแ แแฃแจแแแแแกแแก แแแกแฌแแแแแแแแ แงแฃแ แแแฆแแแแก แแแแฅแชแแแก, แแแกแฌแแแแแแแ แ แแแแก แแชแแแ แแ แฎแแ แแ แแแแแแแแ.
1.2. แกแแแ แแแฅแขแ แกแแแฃแจแแแก แจแแแแแแแแก แแแแฎแแแแ แแ แแแแแแ (10-15 แฌแฃแแ)แกแแกแฃแ แแแแแ, แแก แแฅแขแแแแแ แแฃแแแแแกแแชแแแแแแแแก แแแแแแแแแแ แฉแแขแแ แแแก; แแฃแแชแ, แแแกแฌแแแแแแแแก
แจแแฎแแแฃแแแแแกแแแแแ , แจแแแซแแแแ แฉแแขแแ แแแก แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแแแแ.แแแกแฌแแแแแแแ แแแคแแแ แแแแแ แแแแ แชแฎแ แแแก. แฃแแแแแกแ แแฅแแแแ, แแฃแแ แแ แแแฅแขแแ แแ แแฉแแแแแแแ แแแ แแแแ. แแกแฏแแแแแ
แฉแแขแแ แแแแ แแแแก แจแแกแแฎแแ, แแฃ แ แแก แแแจแแแแก แแแแแแฃแแ แกแขแ แแฅแแแแก แแแแแชแแแแแ _ แแแฃ แ แแแแ แ แแงแ แจแแกแแแแแแกแแแแกแฃแฎแแแ; แแแกแแฃแกแแ: แ แแขแแ แแ แแแกแฌแแแ แแแแแแแแแแก แแก แชแฎแแแแแแแ.
1.3. แแแแแแ แ แฌแแกแแแแแฎแ แขแแฅแกแขแแก แแแ แแแแ แคแแแ _ โแฌแแแแแฎแแแแแโ: แขแแฅแกแขแแก แจแแแแแ แกแแก แจแแแแแแแแ, แแแ แแฃแแแแ(แแฃแแแแแกแแชแแแแแแแแก แแแแแแแแแ _ 45 แฌแฃแแ)
แฉแแขแแ แแแแ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแแแแ: แแแ แกแแ แชแฎแแแ แแแก, แฅแแแแฅแแแ แแแแจแแแแแแแ แแแก แแฅแแก แกแแคแแแ, แแฃแแแแแแ แกแแคแแแจแ, แ แแก แแแแแแแแ, แแฃ แแแแแแ แแแแแแ แแแ, แแฃ แฃแแแแแแแแแ. แแแแแแก แแแ แแ แ แ แกแฃแแแแ แแแแฃแแแฎแแแ แแแแแแ แแจแ แแ แขแแแจแ {แญแแแแ, แแแแแ, แแแงแแงแ...}.
แแแแแแแแ แกแแแแแแก แแแขแแแแก แแแแแแแแแแ แแแแ: แแฆแแ, แแฃแแ, แแแแแแ, แขแแ, แขแแแ แ._ แ แแแแ แฃแแแแจแแ แแแแ แแ แกแแขแงแแแแก แแแกแขแ? แ แแแแแแ แแแกแขแแแแ แแแแแแ? แ แแแแ แแชแแแแ แแก แแ แ แแแแ แชแฎแแแแแก
แฃแงแแแ แก แแแแกแแแฃแแ แแแแ แแแกแขแแแแ แแแแแแ?_ แจแแแแกแแ แฌแแแแแแแแแ: แขแแแ แ แฃแคแ แ แแแแแ, แแแแ แ ---- , แแแแ แแ แฃแคแ แ ---- , แแแแ แ แขแแ._ แ แ แแ แแก แแแแแแแ? แแแก แกแญแแ แแแแ? แ แแแแ แแฆแแแแ แจแ แจแแแแฎแแแ? แแ แ แชแฎแแแแแก โแแแแแแแแแแโ แแฌแแแแแ. แแแ
แแแฎแแขแแแก แแแคแแแ แแ แชแฎแแแแแก?
- 78 -
แจแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแกแก แแฉแแแแแแก แขแแฅแกแขแก. แแแกแฌแแแแแแแ แกแแแแฃแ แแกแ แแ แกแฃแ แแแแแแก แแแฎแแแแแแแแแ แแฃแแแแแ, แแฃ แ แแก แแแจแแแแก แกแแขแงแแ โแแแซแแโ แแ แ แแแแแ แชแฎแแแแแแแ แแฅแแแแแแ โแแแงแแงแแก แแแซแแแแแโ.
_ แ แ แแชแแ แแแงแแงแแก แจแแกแแฎแแ? (แแแกแฌแแแแแแแ แแแคแแแ แฉแแแแฌแแ แแ _ โแชแแแแแก แ แฃแแโ).แฌแแแแกแฌแแ แแแชแแแฃแแแ แกแแขแงแแแแ: แแแแแแจแ, แแแงแแงแ, แแแคแกแแขแ, แแแแแแแแแแ, แขแแแ แ, แแแฆแ-แแฃแแแแ.
แงแแแแ แแ แกแแขแงแแแก แแแแแงแแแแแแ แจแแแแแแแแ แฌแแแแแแแแแแแแก แแ แแแขแแ แ แแแแแก แฌแแแแแฎแแ._ แแฎแแขแแ แฃแ แแแฌแแ แแแแแแแจแ แแฃ แจแแแแฎแแแแ แแ แแแงแแงแ แแ แแแแแแจแ? {โแแแแแแจแ แแ แฎแแ แโ, โแแฎแแ แแ แแงแแแ แโ,
แแฆแแแ แแแจแ แแแงแแงแ}._ แ แแแแแ แฎแแแฎแฃแ แ แฌแแกแฉแแแฃแแแแ แแ แฌแแ แแแแแแแแแ แแชแแ แแแงแแงแแก แจแแกแแฎแแ? {แแฃแแ แแแงแแงแก แจแแแฎแแแ, แแแญแแญแแแ
แแแแแแแ. แแฃแแ แแแงแแงแก แแแแแแ, แแแฌแแแแแแแ}._ แกแแ แแแแแฎแแแ แฎแแแแแ? แฏแแฏแ? แ แแแแ แแแแแแแแจแ แแแแแแ แแแแ? แ แ แแชแแ แแ แชแฎแแแแแแแแก แจแแกแแฎแแ?
{แแ แชแฎแแแแแแแแก แแแแแแ แ แกแแแแแ แแแแ แแแแกแแแแ: แแฃแแ แแแ แแฃแแแ แแแแญแแ แแ, แแฃแแ แฃแชแแ แแแกแซแแ แแแแ, แแฃแแกแแแแแแแกแฎแแแแก แจแแแขแแแแแแ แแ แแแ แแแแ; แแฃแแ แแ แชแแขแ แฎแแแก แแแแแ แแแแแแ แซแแแก แแแแแแแก, แ แแแ แแแแแแแกแฎแแแแแกแงแฃแ แแแฆแแแ แแแแฅแชแแแก; แแแฅแชแแฃแ แฎแแแแแก แแ แฏแแฏแแก แแ แแแ แ แฎแแแแฎแแ แแแแแแแ แแแแแ แแฎแแแ แแฃแแ.}
แชแฎแแแแแแ แฏแแฃแคแก แจแแฃแกแแแแแแ แชแฎแแแแแแก แแแฉแแแแก แแฃแแแแ แแแ แฌแแกแ:แซแฃแซแฃแแฌแแแแ แ แคแ แแแแแแ แฅแแแฌแแ แแแแแแ แแแแแแแแแ แชแฎแแแแ แแแแแฉแแแ แฅแแแ แแแแแแ แแแแแฉแแแ แชแแชแฎแแแ แจแแแ
แ แแแแแก แฐแแแแก แแแงแแงแ? แ แแขแแ?
1.6. แแแแแแ แ แฌแแกแแแแแฎแ แขแแฅแกแขแแก แแแ แแแแ แคแแแ _ โแฌแแแแแฎแแแแแโ:แฌแแแแ แ แกแแจแแแแ แแแแแแแแ _ แขแแฅแกแขแแก แกแฌแแแแ แแแแฎแแแ แแ แ แแแแแแแแ แจแแแแแฎแแแแ แแแกแฃแฎแแก แแแฌแแ แ.
แแแงแแงแ แแ แแแกแ แแแซแแแแแ
แแแงแแงแ แซแแแแแ แฃแชแแแฃแ แแ แฉแแแแแ แแ แแแ แแแแ. แแแแ แแแงแแงแ แขแแแ แจแ แแ แแฃแแแจแ แงแ แแก แฃแแแ แแ, 9000-แแแ แฅแแแ แแแก (แฌแแแแฌแแแจแ แแ แฏแแ ). แแแงแแงแแแ แแ แฅแแแ แแแแแแแแ แแฉแแแแแแแ. แแแแ แแ แแฎแแแแแแแฉแแแแแแแแงแแงแ แแแงแแงแก แแ แแ แฐแแแแก, แแ แแแแ แแแแแก แแแแแแแ แแแคแกแแขแแก. แแ แแแขแแ แ แแแงแแงแก โแแแแแแแแแแโแแฌแแแแแ. แกแแฅแแ แแแแแแจแ แแแกแ แกแแแ แซแแ แแแแฎแแแแแแ 8 แแ.
แจแแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแแแแแ แแแ แแแแ, แแแแแแแ แแแแ แฃแแแแ แแแแแแ แแ 2 แแแแจแ 5 แกแ แกแแแ แซแแกแแฎแแแแ. แแแแ แแ แแแแก แจแแแแแ แแก แซแแแแแ แแชแแแแแ: แแแก แฌแแแ แแแแแแ แแแแแแแ แแแแ, แแแ แ แแฃแแ แกแซแแ แแแ แแแแแงแแงแก แแแกแแแแกแแแ. แแแแ แแ แแ แแ แแก แแก แแ แแ แแแ แแแแ, แแ แแแแ, แแแ แแฅแแ, แแแขแแ แแแแแแ 12 แแ-แแแ! แแแ แ,แแ-4 แแแแแแ, แแก แแแฌแแ แแแงแแงแ แแกแแ แแแแแแแแแแแแ แแ แแแก แแฌแงแแแก.
แฃแชแแแฃแ แแ, แ แแ แแแงแแงแ แแแแฅแแแก แแแแแ แกแแชแแชแฎแแแก แแแแแแแแแแแจแ แแแ แแแแ. แแฆแแแ, แกแแแแ แแจแ,แชแฎแแแแ, แซแแแแแ แแแแ แแแ แแแแ. แกแแฅแแ แแแแแแจแ แขแแแก แกแแจแฃแแแ แแแงแแงแ แกแแแ แซแแจแ 12 แกแ-แแแแ, แงแแแแแแ แแแแแแ แแ 15 แกแ. แแกแแคแแแแจแ แงแแแแแแ แแแแ แแแงแแงแแแแแคแ แแแแจแแ, แแกแแแ 25 แกแ-แแแ แแแ แแแแแแ, แแแ แซแแแแแ แแกแฃแฅแแแแ แแ แแแ แแแแแฌแแแแ 3แแ-3แแ500 แ (แแแฃ: 3แแ-แแแ 3แแ500แ-แแแ).
แขแแแก แแแงแแงแแก แแแ แแ, แกแแฅแแ แแแแแแจแ แแแแแแ แแแก แฎแแก แแแงแแงแ, แแก แฃแคแ แ แแแขแแ แแ
10 แกแ-แแแ แแแ แแแแ. แฎแแก แแแงแแงแ แฎแแกแฎแแฎแ แแฌแแแแ แคแแ แแกแแ แฎแแก แคแแแแแแแกแแแ แซแแแแแแแแแแแ แฉแแแ. แ แแแแ แช แกแแฎแแแฌแแแแแ แแแแฉแแแแแแก, แฎแแก แแแงแแงแ แฃแแแขแแกแแ แฎแแแแแแแแแแแ แแแก, แขแแขแแแแ แแแชแแชแแแก, แฌแงแแแจแ แแจแแแแแแ แฉแแแแก. แขแแแก แแแงแแงแ แแ แฃแแแขแแกแแ แแก แฌแงแแแจแ แแขแแ แแแก, แฎแแแ แแแฌแแแ แแแฎแขแแก.
แแแงแแงแก แซแแแแแ แฐแแแแก แแแแแแจแ. แแก แฃแแแขแแกแแ แแแกแขแแแ แแแฌแแแแแแแแแ แแแก (แแแ แจแแ แแก แแแกแขแแแแกแ แแ แกแแ แแแคแแแจแ). แแแฌแแแแแแแแแจแ แแ แแ แแแฎแขแแก, แแ แแแแ แแแฎแแฎแแแก. แกแแแ แซแแ แแแกแแจแฃแแแ แแแแแแจแ แขแแแก แแแแ แแแงแแงแแก แแแฎแแแแ แแ.
แแแงแแงแ 10 แฌแแแแแ แชแแชแฎแแแแก, แฎแแแ แแแแแแจแ 20 แฌแแแแแ.แแคแ แแแแจแ แแ แกแฎแแแแแ แแแแ แแแงแแงแ แจแฎแแแแแแแ. แแกแแแ, แแแแ แฎแแแแแแช
- 79 -
แแ แฏแแฏแแช แจแฎแแแแแแแ. แฎแแแ แกแแฅแแ แแแแแแจแ แงแแแแแแแแ แ แแแงแแงแ,แแแแแแจแ, แฎแแแแแ แแ แฏแแฏแ แฃแแแแแแแ, แฃแฌแงแแแแ แ แชแฎแแแแแแ.แแแ แแฅแแ, แแแ แแแแแแแแแแแกแแแแก แแแแ แกแแ แแแแแแแ แแแแฅแแ แแกแแแแฃแแแ แแ แแแแแแแแ แแฌแแ แก, แแแฆแ-แแฃแแแแก แแแแแแฃแ แแแแ. แแ แแ แแแงแแงแแแ แ แแฆแแจแ แแแแฏแแ 800 แแแฆแแก แแญแแ แก แแ แกแแแกแแแแก. แแแงแแงแ แแ แแแกแแแแซแแแแแ แแฌแแ แก แแ แซแแแ แแแแก แแแแแกแ แแแแ แแญแแ แแ.
แแแงแแงแแก, แแแแแแจแแก, แฎแแแแแแก แแ แฏแแฏแแก แแแแแแ แซแแแแแ แชแฃแแ,แแฃแแฅแแ แกแแฅแชแแแแแ!
2.1. แฌแแแแกแฌแแ _ แแแแแแ แ แฌแแกแแแแแฎแ แขแแฅแกแขแแก แแแ แแแแ แคแแแแก แแแกแ แฃแแแแ(แแแแแแแขแแแแก + แฅแแ แแฃแแ แแแแก แแแแแแแแแ _ 20-25 แฌแฃแแ): แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแ
แแแฌแแ แแแแแแ แแแแ แฉแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแ. แฃแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแแ แจแแ แแแแแฃแแแแแแแแ แแแชแแแแแแแแแกแแกแแฌแงแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแ แแแแแแแก แแแฎแแแแแ. แแแแกแก แแ แแแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแ แฐแฅแแแแ. แแก แแแแแแแแ แกแแแแแแแแแแแ แแแชแฃแแแแแ แแ, แ แแช แแแแแแ แแ, แแ แแแแแคแแ แแแแแแ แ แแแแ แช แกแแ แแฃแแแก แแแแแ, แแกแ แแแกแขแ แแฅแขแฃแแแแแกแแแแแ แแ แแแ แแแแ แแแแแขแแแฃแ แแแแช (แแแแชแแแก แกแขแแแแแ แขแแก แ แแแแแแแแ แแแแแ แแฃแแแแแก แกแแแแแฎแแแก). แแแแ แแ แฌแแกแแ:แแแกแฌแแแแ แแแแแแแก แแแแแแก, แ แแแแแแกแแช แจแแซแแแแก แแแแแแ แ แแแซแแแแแ; แกแแแฃแแแ แ แกแฃแ แแแแแ แแ แฉแแแก แแแแชแแแแแก.แแแแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แงแแแแ แแแแชแแแ แแแแแช แแแฌแแ แแแแแแ แฃแแแ แแแแ แฉแแก, แแแกแฌแแแแแแแ แแ แแ แแกแแแแแแแ แ แแแฃแแแแจแ แแฃแจแแแแแ _ แแแกแแแแ, แฎแแแฌแแ แแแแฃแจแแแแ แก, แแแ แ แแแแก แแ แแแแแแแ แฌแแ แแ. แแแฌแงแแแแ แแแแกแแแจแแแแกแฌแแแแแแ แฃแแ แแแแแกแแแ แซแแแแแฃแขแแแแแแแ แแแแแแแก แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แงแแแแ แแ แแแแฅแแแก แงแแแแ แแแแชแแแแก,แชแแแแแแก แแแแแช แแแแก, แแแแ แแ แแก แแแแแงแแคแแแแแแแ (แจแแแซแแแแ, แแแแฏแแ แแแฎแแแแ แแช แแ แแ แแแแแแแแก). แฃแคแ แแกแกแแแ แแกแแฎแแแ แฃแแแแงแแคแแแแแแช แแ แแ แฃแแแ แจแแแขแงแแก แแแแก แแแแ, แ แแ แแแแจแแแ แ แแฆแแช แแแ แแแแแแแ แแ แแ แแแแแแแ. แกแแจแแแแแแแแแแแแแก แกแแแแแ แแ แแ แแแแแคแแ แแแแแแ แ แแ แแ แ, แแแกแฌแแแแแก แแ แแฅแแแแแแ แแแแแแแแ แแ แฉแแแแแ. แแแแกแแแ, แแ แแแกแแญแแ แ แจแแแแ แแแแ แซแแแแ แแแแชแแแแแแก แแแแแจแแแ * แแแจแแแ แแ แกแฎแแแแแแ แแ. แกแแฅแแ แแกแแ, แ แแ แแแแชแแแแก แกแแซแแแแแแแแจแแแก แฌแแแงแแแแ แฃแแแ แแแแแแแก แขแแแแ แแ แแแ แแแแ แชแแแแแแแ แกแแขแฃแแชแแฃแ แคแแฅแขแแ แแแแแ แแแแแแแแแแฃแแ.แแแแแแแแแ, แแฎแแแแแแแแแ-แกแแแ แแชแแแ แฃแแแ แแแแแแแก แขแแแแก แแแแจแแก แแแแขแแ แแกแแแก แแ แแ แช แฃแซแแแแแแแ แแฃแแแแชแ แแฃแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแแแชแแแ, แแฃแแชแ แ แแชแฎแแแแ แแ แแแแแแแก. แแกแแ แแฃ แแกแ, แแ แฉแแแแแแก แแแแแกแฃแคแแแแแแแคแแ แแแชแแ แแแฃแแ แกแฌแแแแแแแก แแแแจแแแแแแแแแ แคแแ แแแ.
แแแ แแแแ แคแแแ แแฌแงแแแ แแแแแ, 1-2-แฌแฃแแแแแ แจแแกแแแแแแ. แซแแ แแแแแ แแแฌแแแ แแ แกแแแ แแแฅแขแ แแแแฃแจแแแ แแก,แจแแแแแ แแ แฌแแแแ แ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแแแแฃแแ แแแแชแแแแกแ แแฃ แฅแแแแแแชแแแแก แแแฌแแ แแแแแแแ แแแ แฉแแแแ. แ แแแ แแแแแแแแแแแแก แแแ แแแแ แคแแแแก แซแแ แแแแแ แแแฌแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแฌแแ แแแแแแแ แแแ แฉแแแแ, แแแแขแแแแฃแแแแ แแแแ แแ แซแแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแ แแแแแแแก แแแฎแแแแแ _ แแแคแแกแแแ แแแกแแ แฉแแแ แแแแชแแแแแแก แแแแแฌแแแแแแแแกแฌแแแแแแแแก แแแแแแแก แแแแแก, แแแ แแแแ แกแแกแฌแแแแ แแ แแคแแแแกแ แแ แแแขแแ แแกแแแแก แจแแกแแแแแแกแแ (แแแแแแแแแ, แแแแกแแแแแแแแกแฌแแแแแ, แแฃ แแแก แ แ แจแแแแแ แกแแแ แฃแคแ แ แแแแขแแ แแกแแแก แแ แแแแ แฏแแแแ, แ แแชแฎแแแแ, แกแแขแงแแแแ แแฃ แขแแฅแกแขแแแ).
แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแฅแแแก แกแฃแ แแแ แฎแแแก แจแแ แแก แแแซแ แแแแก, แแแแแแฃแ แแแกแฌแแแแแกแแแ แแแแแก แ แแแ แแแแแแ, แแแแแกแแแแแแแแแแก แแแก แกแแจแแแแ แแแแฃแจแแแแ แก แแ แแฌแแแแก แแแแแ แแแแแแแแฃแแแฃแ แแแแกแขแ แฃแฅแชแแฃแ แฃแแฃแแแแจแแ แก. แแ แแ แแกแกแฎแแ แแ แ-แกแแแ แแแกแฌแแแแ แแแคแแกแแแ แแแ แแแแแฃแ แแ แแฃแจแแแแก _ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแแชแแแแกแแแแก (แแแฅแแแแแแชแแแแกแแแแก) แแแคแแแ แฉแฃแแแ แแแแแแแแแ แฉแแแแฌแแ แแแก แแ แแแฎแแขแแแก, แแแฎแแแแแก. แจแแแแแ แแแ แแแแแแแแแแ แฃแแแ,แ แแแ แแแแแแ แแแแ แฉแแแแ, แฎแแแแแฆแแแ แแกแฏแแแแแแก แแแแฎแแแแแ; แ แแชแ แแ แแ แแแแแแแ แแแ แฉแแแแก, แแกแฏแแแแแแก แแฌแงแแแก,แชแฎแแแแ, แแแแแ แฉแแแแแ แฉแฃแแแ แแ แแแ. แฎแแแ แกแฎแแแแ แแแแแแแแแ แแแแฌแแแแแ, แแแแ แแแแ แแแแแแแ แแแแฎแกแแแแก, แฌแแแแ-แแฌแแแแ โแจแฃแฅแแแจแแแแแโ แแแแแฎแแขแแแแ แแแแแแฎแแแแแก แแ แแ แแแแแแฎแแแแแก. แแแคแแกแแแ แแแงแแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแ แฎแจแแ -แฎแจแแ แแ แแชแแแแแแแ.1. แ แแแแ แแญแแ แก แแ แกแแแกแแแแก แแฌแแ แแแก แแแแแแจแ? แฎแแแแแ?
{แแแแแแแ _ แแแแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแ แแแกแฏแแแแแก แฎแแแแแฆแแ.}2. แแแแแแแแ แแ แฌแแแแแแแแแแจแ แฎแแแแแกแแฃแ แกแแขแงแแแก แจแแฃแ แฉแแแ แแแแจแแแแแแแแ แงแแแแแแ แแกแแแแกแ แกแแขแงแแ:
I. แกแแฅแแ แแแแแแจแ แงแแแแแแแแ แ แแแงแแงแ, แแแแแแจแ, แฎแแแแแ แแ แฏแแฏแ แฃแแแแแแแ แชแฎแแแแแแ.แ) แแแฃแแแแแแแแแ; แ) แฃแฌแงแแแแ แ; แ) แแจแแแแ; แ) แฃแแแ แแขแ.
II. แแแงแแงแแก แแ แแแแแแจแแก แแแแแแ แซแแแแแ แชแฃแแ, แแฃแแฅแแ แกแแฅแชแแแแแ.แ) แแแฃแแแแแแแ; แ) แแแแแแแแแ; แ) แแแ แแขแ; แ) แแฃแแแ แแแ.
{แแแแแแแ: (แ) แแ (แ) _ แแแแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแ แแแกแฏแแแแแก แฎแแแแแฆแแ.}แแแแแขแแแแแ แจแแแแแฎแแ แแแแกแจแ แแ แแแแชแแแแก แแแ แฉแแแแกแแก, แแแแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแแแแก:
_ แฃแแจแแแแ แแกแแ, แแแแช แแ แแแแจแแแแแแก; แฃแแแแแแแ แแ แแกแแ, แแแแช ... ... {แแแแช แแ แแแแแแแก}; แฃแฌแงแแแแ แ แแ แแกแแ, แแแแช ... ...
- 80 -
{แแแแช แแ แแแฌแงแแแแแแแก}.3. แแแแ แแแแแ, แจแแแแแแแแแแ แ แแแแแแ แฌแแแแแแแแแแ แแชแแแ แ:
แ) แแแงแแงแแก แแ แแ แแ แฐแแแแก แกแฎแแ แชแฎแแแแแแ แแ แแแก แแแแ, แ แแ แแ แ แฎแแแก แแ แแ แแแ แแแแ, แแ แแแแ แแแขแแ แแแแแแ.แ) แแแแแแจแ แแแชแแแแแแ แฃแคแ แ แแฆแแแ แซแแแแ (แแแข แฎแแแก แชแแชแฎแแแแก), แแแแ แ แแแงแแงแ.แ) แฎแแก แแแงแแงแก แแกแแแ แฎแแกแฎแแกแ แคแแ แ แแฅแแก, แ แแ แแแก แฎแแแก แฃแจแแแก แแขแแชแแแแแแแกแแแ แแแแแแแแจแ.แ) แแแงแแงแ แแ แแแก แแ แแก แแ แ แแแ แขแ แแแ แแแแ; แแแก แแแ แแแแ แซแแแแแ แแชแแแแแ แขแแแแก แคแแ แแ (แแกแแแ แ แแแแ แช
แแแแแแแก แฏแแ แแแขแแแก แคแแ แแ แแฅแแก, แฎแแแ แแแแแก แแแแแแ แแแ แแแแฅแแแแแ).แฌแแแแแแแแแแก แแแ แแแแฃแแแแ-แแชแแแ แแแ แแแกแฌแแแแแ แฃแแแ แแแแกแแแฃแแแก (แ แแแแ แช แงแแแแแแแแก, แแฎแแแแ แกแฌแแ แ
แแแกแฃแฎแแก แแฅแแ แแ แแ แกแแแแแ แแกแ). แขแแฅแกแขแแก แแแกแแแแ แแแแ แจแแแแแฎแแแแจแ แแแกแแแฃแแแแ _ แแกแแ แแฃแกแขแแ แกแแญแแ แ แแแฌแงแแแขแแกแฎแแแแแฆแแ แฌแแแแแฎแแ แขแแฅแกแขแแแแ แแ แแกแฏแแแแแ.
{(แ), (แ), (แ) แขแแฅแกแขแจแ แแแ แแแแแ แฌแแ แแ; แกแแญแแ แ แแแกแฃแฎแแ (แ) _ แ แแแแแแช แแชแแแ แแ.แกแแจแฃแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแ แแแกแฏแแแแแก แฎแแแแแฆแแ. แชแแแแ แแแกแแแแ แแแแแแ แแ
แแแแแกแแแแแแแ (แ) แแแกแฃแฎแแก แแแแ แ แแแฎแแแแ แ _ แแกแแแแกแแแ แแแแแแแกแแแ.}4. แ แ แกแแแ แซแแกแแ แกแแจแฃแแแ แแแแแแจแ? แ) 12 แกแ; แ) 15 แกแ; แ) 7 แกแ 5 แแ; แ) 6 แกแ 5 แแ; แ) 6 แกแ.{แแแแแแ แแ แกแแจแฃแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแ แแแกแฏแแแแแก แฎแแแแแฆแแ. แ แแแ แกแแจแฃแแแ แแแงแแงแแก แกแแแ แซแแ 12 แกแ, แกแแจแฃแแแแแแแแแจแแก แกแแแ แซแแ 6 แกแ. }แแแแแขแแแแแ แจแแแแแฎแแ แแแแกแจแ แแ แแแแชแแแแก แแแ แฉแแแแกแแก, แแแฆแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแแแแก:_ แแ แแแแชแแแแก แแแแฎแกแแแกแแก แ แ แจแแแซแแแแ แจแแแจแแแแก แแแกแฌแแแแแก แ แแแแแ แจแแแซแแแแ แแแแแแก แแแ แแแแฃแแ แแแกแฃแฎแ?แ แแแแ แแแแฎแแแแ แแแแแ, แ แแแแ แแฃแฎแกแแแแแ แแแก แแ แจแแชแแแแแก?
{แจแแแซแแแแ แแแแแแก, แ แแ แแแ แแแแฃแแแ (แ) แแแกแฃแฎแ, แ แแแแแ 7 แกแ 5 แแ 15-แแก แแแฎแแแแ แแ; แแแแ แแแแแแชแแแ แแแแแแแฎแแแ แแ แ แแแแ แแแแแแจแแก, แแ แแแแ แกแแจแฃแแแ แแแแแแจแแก แกแแแ แซแแก, แแแแขแแ แฃแแแ
แแแแแแแฎแแแ แแ แแ แ แแแแ แแแงแแงแแก, แแ แแแแ แกแแจแฃแแแ แแแงแแงแแก แกแแแ แซแ}._ แแกแ แแแ แกแแจแฃแแแ แแแแแแจแ แแแแฎแแแแแแ 6 แกแ แกแแแ แซแแกแแ, แแแแ แแ แแแแฎแแแแแแ แ แ แกแแแ แซแแกแ แแฅแแแแ แงแแแแแแ แแแแแแแแแแจแ? {แแแแ แแแงแแงแแก แกแแแ แซแแก, 15 แกแ-แแก แแแฎแแแแ แ, แแแฃ 7 แกแ 5 แแ}.5. แแฅแแแ แแแแแแ แแแแแแแแ แแ แฉแแฌแแ แแ แแฎแแแ แจแแแแแฎแแ แขแแฅแกแขแแก แ แแชแฎแแแแ แแแแแชแแแแแแก แจแแกแแฎแแ, แ แแแแแแแกแแแแกแฃแฎแแแแช แกแแญแแ แ แแฅแแแแ แจแแแ แแแ. แฃแแแกแฃแฎแแ แแ แจแแแแแฎแแแก.6. แชแฎแแแแแแ แจแแแแแแ แฉแแแแแแแแแแแแแ แแแแฌแแ แแ แฅแแแฌแแ แแแแแแแ แกแแฎแแแฌแแแแแแแ:
แแแงแแงแ, แแแแแแจแ, แฎแแแแแ, แฏแแฏแ, แแฆแแ แแ, แแฃ, แแฎแฃแแแแ, แแแแแแ,แแแแแแแ, แแแแแ, แแแแแฉแฎแแแ, แแแแแแแแ.
{แฅแแแฌแแ แแแแแแแแ: แฎแแแแแ, แฏแแฏแ, แแฃ, แแแแแแ, แแแแแ.}7. แขแแฅแกแขแแแแ แแแแฌแแ แแ แงแแแแ แ แแชแฎแแ. แแแแแแฃแ แ แแชแฎแแก แแแฃแฌแแ แแ แแแแแกแ, แจแแกแแแแแแกแ แกแแแแแ: แกแ, แแ แแ แกแฎแแ.แแก แ แแชแฎแแแแ (แกแแแแแแแแ) แแแแฏแแฃแคแแ 4 แฏแแฃแคแแ แ แแแแแแแช แแแแฉแแแแแแก:
I. แกแแแ แซแแก; II. แฌแแแแก; III. แ แแแแแแแแแก; IV. แแ แแก.{แแแคแแกแแแ แแแ แแแแแฃแ แแ แแแฃแจแแแแแก 4 แแแแแแ แแ แกแแจแฃแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแ _ แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแแแแแก แแแฌแแ แแ:
I. แกแแแ แซแ: 8 แแ, 5 แกแ, 12 แแ, 12 แกแ, 15 แกแ, 25 แกแ, 10 แกแ,II. แฌแแแ: 3แแ, 3แแ500แ,III. แ แแแแแแแแ: 9000, 800.IV. แแ แ: 2 แแแ, แแ-3 แแแ, 10 แฌแแแแฌแแแ, 20 แฌแแแแฌแแแ. }
8. แฅแแแแแ แฉแแแแแแแแแ แกแแขแงแแแแแแแ แแแซแแแแแ แแ แแ แกแแขแงแแ, แ แแแแแแช แแแแฎแแแแแแ แแแแแแก แแแจแแแแก, แ แแกแแชแกแแขแงแแ โแแแแแแแแแแแแโ; แจแแแแแ แแแซแแแแแ แกแฎแแ แกแแขแงแแ, แ แแแแแกแแช แกแแแแ แแกแแแ แ แแแแจแแแแแแแ แแฅแแก:
แฃแชแแแฃแ แแ แแแแแแแแแแแจแ แกแแจแฃแแแแ แแ แแแแจแแ แแแ-แแแแ แแแฎแแแ แแ{แฅแแ แแฃแแจแ แกแแจแฃแแแ แแ แแแฆแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแ แแแกแฏแแแแแก แฎแแแแแฆแแ.
แแแกแฃแฎแแแแ: แแแ-แแแแ; แแ แแแแจแแ.}2.2. แแแ แแแแ, แแชแแ แ แฏแแฃแคแฃแ แ แแฃแจแแแแ _ แจแแ แแฃแแ (แฐแแขแแ แแแแแฃแ แ) แฏแแฃแคแแแแ (10 แฌแฃแแ)
_ แแฎแแ แฃแแแ แจแแแแแกแแ แกแแแแขแแ แแกแ แชแฎแ แแแ._ แแฅแแแแ แกแฃแ แแแแแ แแแแแแแฌแแแแแ แแแฎ แฏแแฃแคแแ!แแแกแฌแแแแแแแแ แฏแแฃแคแแแก แแแฃแ แแแแแก แแแแ แแแแแฎแแก แคแฃแ แชแแแก, แ แแแแแแแช แกแแแ แซแแแแ แแแแฌแแ แแแ:
1. แแแงแแงแ แแแแแก แฐแแแแก แแแแ, แ แแ:
- 81 -
แฏแแฃแคแแแแก แแฃแจแแแแแกแแก, แ แแแแ แช แงแแแแแแแแก, แแแกแฌแแแแแแแแ แกแฃแ แแแ แฎแแแแแแแ แแ แกแแกแฌแแแแ แฎแแ แแฉแแแแแแแฎแแแ แแแ แแแกแฌแแแแแแแก. แแแแแแแแแ, แแ-4 แฏแแฃแคแก แจแแแซแแแแ แแแกแญแแ แแแก แแแแฎแแแ แ แจแแแแแฎแแ: _ แแแแฎแกแแแแ, แฎแแแแแกแฃแคแ แ แแแกแขแแแแ แแแแแแแแ แฃแงแแแ แก แแฃ แฃแคแ แ แแจแ แแแ แแแแแแแแ?
แจแแแแแ แแแแแแฃแแ แฏแแฃแคแแก แฌแแ แแแแแแแแแแแ แจแแแกแแแฃแ แคแฃแ แชแแแก แแแคแแแ แแแแแ แแแก. แแ แแแแแแแแแแแแแฎแแแแแแ แแแแฃแจแแแ แแแก. แจแแฏแแแแแแกแแก แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแฎแแแ แแแ แแแแก แแแแแแแแแแจแ, แ แแ แแแงแแงแ แ แแแแช แฐแแแแกแแแแแก, แแแแ แแแแกแฎแแแแแแแ แฎแแแแแแกแแแ; แแ แแแ แแฅแแแแช: แ แแแแช แฐแแแแก แฎแแแแแก, แแแแ แแแแกแฎแแแแแแแ แแแแแแกแแแ.
แกแแแ แแแกแแแแแกแ แกแแฃแแแ แ: _ แแแแแ แฌแงแแแก แชแฎแแแแแแ, แฎแแแแแ _ แฎแแแแแแแกแ. แฎแแแ แแแงแแงแ แฌแงแแแฎแแแแแแแชแฎแแแแแแ. แแแฃแแแแ แแแ แแ แกแแขแงแแแก: โแฌแงแแแฎแแแแแแโ. แฎแแขแแ, แแแคแแแ แแแฌแแ แ แแก แกแแขแงแแ แแแแ แแกแแแแแ. แ แแแแแแแแแแแจแแแแก แแก แกแแฎแแแฌแแแแแ?
2.3. แแแแแแแแแแแจแ _ โแฌแแแแแฎแแแกแแกโ(แแแแแแแขแแแแก + แฅแแ แแฃแแ แแแแก แแแแแแแแแ _ 10-15 แฌแฃแแ)
แแแกแฌแแแแแแแ แฎแแแแแฆแแ แแแแฎแฃแแแแแ แขแแฅแกแขแก แคแฃแ แชแแแแแแแ, แแแแ แซแแแแแแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแ แแฌแแแแกแฃแแฃแแแแจแแ แแแก แแ แฌแแแแแแฎแแแก แแแแ แแแแช, แ แแแ แแแ แแแ, แแแแแฃแแแ แแ แกแแแแแแแ แแแขแแแแชแแแ แฌแแแแแแฎแแ.
แแแคแแ แแแชแแ แแแ แแแแแแแก แแแฎแแแแแ : แแฃแแ แ แแแแแแแ แแแกแฌแแแแแก แแแแฎแแ แฃแญแแ แก, แแแ แฌแงแแแแจแ แฌแแแแแแฎแแก,แกแแจแฃแแแแ แแแแแฎแแแ แแแแจแแแแ แแ แแแ.
2.3. แจแแแแแแ _ โแฌแแแแแฎแแแก แจแแแแแโ _ แขแแฅแกแขแแก แแแแแ แแแ: แแแ แแแแ แฏแแฃแคแฃแ แ แแฃแจแแแแแกแแกแฌแแแแ แแ แแคแแแแกแ แแ แแแขแแ แแกแแแแก แแแฎแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแแ
(แแแแแแแขแแแแก + แฅแแ แแฃแแ แแแแก แแแแแแแแแ _ 30-35 แฌแฃแแ)_ แแแแจแแแแ, แแฎแแ แฉแแแแขแแ แแแ แฏแแฃแคแฃแ แแฃแจแแแแแก, แแฅแแแ แ แแ แแแงแแแ แ. แแแแงแแแแแ แแแฎแ แฏแแฃแคแ: แฌแแแแแแ แแแ (แแแฃแแแกแแช แแแแฎแแ แฃแงแแแ แก), แแแแแแแขแแแแกแแแ (แแแฃ แแแกแแช แแแแแแแขแแแ แฃแ แฉแแแแแ), แแฃแแแแแกแแชแแแแแแแ (แแแฃ แแแกแแช แแฃแแแแแแแแขแแ แแกแแแก) แแ แแฎแแขแแแ -แแฎแแแแแแแแ... แแแฃ แแแกแแช แฃแงแแแ แก... แ แ?_ แแฅแแแ แแแแแแ แแแ แฉแแแ, แ แแแแ แฏแแฃแคแจแ แแแ แฉแแแแแแ แแฃแจแแแแ! แแแแแแแฌแแแแแ!
แแฃแแ แ แแแแแแแ แฏแแฃแคแแก แแกแฃแ แแแแแแ แแ แแฆแแแฉแแแแแแแ แแ แซแแแแแ แชแแขแแแ แแฅแแแแแแ, แแแกแฌแแแแแแแแ แแแ แงแแแแแกแฌแแแแแแแก แกแแฎแแแก, แ แแ แแก แฏแแฃแคแ แแแ แฉแแแ. แแแแแขแแ แแกแแแแก แแแแแ แแ แแ แกแแจแฃแแแแแแ แแก, แ แแ แแแกแฌแแแแแแแแแแแแแแ แแแ แฉแแแก แแ แฏแแฃแคแก แแ แแแกแฌแแแแแแแก แแขแงแแแก:_ แแแ แแแก แแกแฃแ แ แฉแแแแแ แแ แแแ แฏแแฃแคแจแ แแฃแจแแแแ?
แแแกแฌแแแแแแแแ แฏแแฃแคแแแก แแแฃแแแฌแแแแแก แแแแแแแแแก แคแฃแ แชแแแแก.I แฏแแฃแคแ แแแแแแแขแแแแกแแแ
1.1. แขแแฅแกแขแแแแ แแแแฌแแ แแ แงแแแแ แแแแแแแขแแแฃแ แ แกแแขแงแแ.1.2. แขแแแจแ 4000 แแ แแแกแ แฃแแ แแแงแแงแ แแแแแแ แแแก. แแแแ แแฎแแแแ แแแฎแแแแ แแ แแแแ แแแงแแงแ. แ แแแแแ แฅแแแ แแแก แแแงแ แแกแงแแแแ แแก แแแแ แแแงแแงแ แแ แแแ แกแแชแแชแฎแแแก แแแแแแแแแแแจแ?
แแ แแแแชแแแแก แแแ แแแแแฎแกแแแ, แ แแแแแ แแ แแแแฅแแก แกแแแแแ แแกแ แแแแแชแแแแแ. แจแแแแแแแแแแ แ แแแแแ แแแแแขแแแแแแแแแแชแแแ แแแญแแ แแแแ?
แ) แแแแฎแแแแแแ แ แแแแแ แฌแแแแฌแแแก แชแแชแฎแแแแก แแแแ แแแงแแงแ;แ) แแแแแฉแแแแแ แแแแแแแแแแแแแแแ แแแแฎแแแแแแ แ แแแแแแ แแฆแฃแแแแ, แกแแแแ แแแแแ แแแแแแแก;แ) แฌแแแแฌแแแจแ แ แแแแแแฏแแ แงแ แแก แแแแ แแแงแแงแ แฅแแแ แแแก;แ) แกแแชแแชแฎแแแจแ แแแแฎแแแแแแ แ แแแแแแฏแแ แงแ แแก แฅแแแ แแแก แแแแ แแแงแแงแ.
1.3. แแแฅแแแ, แฌแแแแ แ แแแแชแแแแก แกแแญแแ แ แแแแแขแแแแแ แแแแแชแแแแ 15. แแ แแแ แแแแ แแแแฎแแแแแแ แ แแแแแ แฅแแแ แแแก
3. แแแงแแงแ แฎแแแแแก แฐแแแแก แแแแ, แ แแ:
4. แแแงแแงแ แฎแแแแแแกแแแ แแแแกแฎแแแแแแแ แแแแ, แ แแ:
2. แแแงแแงแ แแแแแแกแแแ แแแแกแฎแแแแแแแ แแแแ, แ แแ:
- 82 -
แแแงแ แแก แงแแแแ แแก แแแแ แแแงแแงแ แแ แแแ แกแแชแแชแฎแแแก แแแแแแแแแแแจแ?แ) 270 แแแแแแแ; แ) 540 แแแแแแแ; แ) 27 แแแแแแแ; แ) 5 แแแแแแ 400 แแแแกแ.
1.4. แแ-2 แแแแชแแแแก แแกแแ แฉแแแ แแแกแฃแฎแแแแแแ แแแซแแแแแ แแก, แ แแแแแแชI. แแ แแคแ แแกแแแแชแแ, แแกแแแแช แชแแแแแ แแแคแแ แแแชแแแก แแแแแฎแแแก;II. แแกแแ แแแคแแ แแแชแแแก แแแแแฎแแแก, แ แแแแแแช แแแแชแแแแก แแแแฎแกแแแก แแ แฃแแแแจแแ แแแแ.
1.6. แแฅแแแ แแแแแแ แจแแแแแแแแ แแ แฉแแฌแแ แแ แแฎแแแ แกแแแแแฅแแแแแแแแแ แแแแชแแแ แขแแฅแกแขแแก แ แแชแฎแแแแ แแแแแชแแแแแแกแแแแแงแแแแแแ แแ แ แแแแแก แแแแกแแฎแกแแแแแ แกแแญแแ แ แแฅแแแแ แแแงแแคแ. แแแแฎแกแแแแ แแก แแแแชแแแ.1.7. แขแแฅแกแขแจแ แแแซแแแแแ แกแแขแงแแ โแกแแฎแแแฌแแแแแโ. แแแ แแแแแแ แแแแแชแแก แแแ แแแแแแ แฌแแแแแแแแแแก แแแ แแแแแแ แกแแขแงแแแแแก? แกแฃแ แ แแแแแแ แฌแแแแแแแแแแ แแ แแแแแชแจแ?
II แฏแแฃแคแ แฌแแแแแแ แแแ2.1. แขแแฅแกแขแจแ แแแซแแแแแ แแแฎแ แแแแแชแ, แ แแแแแแแช แงแแแแแแ แแแแแแแแ แแฎแแแ แแแงแแงแแก แแ แแแกแ แแ แกแแชแแชแฎแแแก (แแแแจแแกแฃแ แกแฎแแ แ แแแแแแ แกแแฃแแแ แ, แกแฎแแ แแแคแแ แแแชแแแ). แแแ แแแแแแแ แแก แแแแแชแแแ?2.2. แขแแฅแกแขแแก แแแแแกแฌแแแ แแแแแชแจแ แแแซแแแแแ แแ แ แกแแขแงแแ, แ แแแแแแกแแช แแแแฎแแแแแแ แแ แแแแแ แ แแแแจแแแแแแแ แแฅแแกแแ แแ แแแแแแแแก แแแงแแแแแแแแ. แจแแแแแ แแแแแ แแแแแชแจแ แแแซแแแแแ แแก แกแแขแงแแ, แ แแแแแกแแช แกแแแแ แแกแแแ แ แแแแจแแแแแแแแแฅแแก. แแแ แแแแแแ แฌแแแแแแแแแแก แแแ แแแแแแ แกแแขแงแแแแแ แแก แแ แ?
แฃแฌแงแแแแ แ, แฃแแแแแแแ / แแแแแแแแแ2.4. แขแแฅแกแขแแแแ แแแแฌแแ แแ แงแแแแ แแ แแแแแ แ แแชแฎแแ. แแแแแแ แแ แแแแ แแกแแฃแแแแก แฅแแแจ แฎแแแ แแแฃแกแแแ, แแ แแแแแแแแแกแแฃแแแแ แแ แจแแแแฎแแแแ.2.5. แแฅแแแ แแแแแแ แแแแแแแแ แแ แฉแแฌแแ แแ แแฎแแแ แจแแแแแฎแแ แขแแฅแกแขแแก แ แแชแฎแแแแ แแแแแชแแแแแแก แจแแกแแฎแแ, แ แแแแแแแกแแแแกแฃแฎแแแแช แกแแญแแ แ แแฅแแแแ แแแแ แแแแแแ. แฃแแแกแฃแฎแแ แแ แจแแแแแฎแแแก.2.6. แแแแแแแแ แแแขแแ แ แแแแแแ แแ แแแแฎแ แแแ, แ แแแแแจแแช แแแแแแงแแแแแ แกแแขแงแแแแก:
แฎแแกแฎแแกแ แแแกแขแแแแ แแแฎแแฎแแแก แฏแแฏแ แแฃแแฅแแ2.7. แแ แ แกแแขแงแแแก แจแแแ แแแแแ แแแฆแแแฃแแ แกแแขแงแแแแแ, แแแแแแแแแ: แซแฃแซแฃ + แแฌแแแแ แ แซแฃแซแฃแแฌแแแแ แ;
แฅแแ + แฌแแ แแแแแแ แฅแแแฌแแ แแแแแแ; แฌแงแแแ + แฎแแแแแแ แฌแงแแแฎแแแแแแ.แขแแฅแกแขแแแแ แแแแฌแแ แแ แแฅแแกแ แแกแแแ แกแแขแงแแ.
III แฏแแฃแคแ แแฃแแแแแกแแชแแแแแแแ3.1. แฉแแแแแแแแแ, แ แ แฃแชแแแฃแ แแแแแ แแฎแแกแแแแแแก แแแงแแงแแก แแแฉแแแแกแ แแ แแ แแแก.3.2. แ แแขแแ แฎแแแแ, แ แแ แฃแแแ แแแ แฅแแแ แแแแก แแแงแ แแก แแแฃแฎแแแแแแ, แขแแแจแ แแแงแแงแแแแก แ แแแแแแแแ แแแแแช แแ แแแแขแแแกแแแฃแกแ แฃแแแแแแ?3.3. แแแ แขแแแ แจแ 1000 แแแแ แแคแ แแแฃแแ แแแงแแงแ แแแแแแ แแแก. แ แแแแแแ แขแแแแ แแแแ แกแแแ แแ แฌแแแ?3.4. แแฅแแแ แแแแแแ แแแแแแแแ แแ แฉแแฌแแ แแ แแฎแแแ แจแแแแแฎแแ แขแแฅแกแขแแก แ แแชแฎแแแแ แแแแแชแแแแแแก แจแแกแแฎแแ, แ แแแแแแแกแแแแกแฃแฎแแแแช แกแแญแแ แ แแฅแแแแ แกแแแขแแแแขแ แแแแกแแแแก แแแแแแแขแ แแแแก แแแแแแแแแ. แฃแแแกแฃแฎแแ แแ แจแแแแแฎแแแก.3.5. แแแแฎแกแแแแ แแกแแแ แชแฎแแแแแ, แ แแแแแแช แฐแแแแก แแแงแแงแก แแ แ แแแ แแแแแแแ, แแ แแแแ:
I. แแกแแแแแ แกแแ แแแแแแแ แ แแ แแแแฅแแก แแแแแแแแแกแแแแก, แ แแแแ แแช แแแงแแงแก;II. แแ แแแก แแ แแก แแ แ แแแ แขแ แ แแ แแแ แแแแ; แแแ แแแแ แซแแแแแ แ แแ แแชแแแแแ แขแแแแก แคแแ แแ.
3.7. แขแแฅแกแขแจแ แแแซแแแแแ แกแแขแงแแ โแแแกแขแแแแโ. แแแ แแแแแแ แแแแแชแแก แแแ แแแแแแ แฌแแแแแแแแแแก แแแ แแแแแแ แกแแขแงแแแ แแก?แกแฃแ แ แแแแแแ แฌแแแแแแแแแแ แแ แแแแแชแจแ?
IV แฏแแฃแคแ แแฎแแขแแ แแแ แแ แแฎแแแแแแแแ4.1. แ แแแแ แแแแจแ แแแขแแ แแแแแแ แแแแแแแแแแ? แ แแขแแ แแแขแแ แแแแแแ แแแแแแแแแแ แ แ แแแแ แแแแ แแแก แแ แแ แแก?แ แแแแก แแแกแแแแกแแแ แแก แแแงแแงแก?4.2. แ แแขแแ แแฌแแแแแ แแฎแแแแแแแฉแแแแ แแแงแแงแก โแแแแแแแแแแโ?4.3. แแแแ แแแแแ, แแแงแแงแแก แแแแแแแแแแ:
I. แ แแแแแแ แแแแแแแขแ แแ แแแ แแแแ แแแ แแแแ 2 แแแแก แแแแแแแแแแแจแ;II. แจแแแแแ แ แแแแแแ แแแแแแแขแ แแ แแแแแแแแ;III. แจแแแแแ แแ, แกแแชแแชแฎแแแก แแแแแแแ, แ แแแแแแ แแแแแแแขแ แแ แแแ แแแแ.
4.4. แแแแแฎแแแแ แแแงแแงแแก แแ แแแก แแก แกแฃแ แแแ, แ แแแแแแแช แขแแฅแกแขแจแแ แแแชแแแฃแแ. แชแฎแแแแแแก แแแฎแแขแแแแก แแแแแแแจแแแแแ แแ แแแแแ แชแฎแแแแแแก แแแแแแแ แแแแแแก. แกแฃแ แแแแ แแแแแแ แจแแแชแแ แแแฃแแแ, แแแแแแแแฃแแแ แแฃ แแแแฎแแแแแแแแกแแแแแแ, แ แแแแ แช แกแแแแแแแแแแจแแ?4.5. แแฅแแแ แแแแแแ แแแแแแแแ แแ แฉแแฌแแ แแ แแฎแแแ แจแแแแแฎแแ แขแแฅแกแขแแก แ แแชแฎแแแแ แแแแแชแแแแแแก แจแแกแแฎแแ, แ แแแแแแแกแแแแกแฃแฎแแแแช แกแแญแแ แ แแฅแแแแ แ แแชแฎแแแแแก แจแแแแ แแแ. แฃแแแกแฃแฎแแ แแ แจแแแแแฎแแแก.4.6. แแแซแแแแแ แขแแฅแกแขแแก แแ-3 แแแแแชแแก แแ-3 แฌแแแแแแแแแแก แแ-3 แกแแขแงแแแก แแ-3 แแแแฎแแแแแแ.
- 83 -
4.7. แแแฎแแขแแ แขแแฅแกแขแจแ แแแฎแกแแแแแ แ แแแแแแแ แชแฎแแแแแ แแ แฏแแ แแแแแแแแฃแแแ แแ แแ แฏแแ แจแแแชแแ แแแฃแแแ _ แแฅแแแแแแแแแฌแงแแแขแแแแแแ.
แแแกแฌแแแแแแแแ แกแฃแ แฏแแฃแคแแแแแแแ แแ แกแแญแแ แแแแแกแแแแแ แแฎแแแ แแแ แแแ. แแแแกแแช แชแแแแแแก, แ แแ แแแกแฌแแแแแแแกแแแแแแขแ แแ แ แแ แแแแฎแแ แฏแแ. แฏแแฃแคแแแแก แแฃแจแแแแแก แแแแแแแ แแแแก แจแแแแแ แแแคแแกแแแ แแแกแฃแแ แแแกแฌแแแแแแแแฌแแ แแแแแแแ แแแแฃแจแแแแ แก แแ แฉแแขแแ แแแแ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแฎแแแแ. แแแแ แแแแชแแแแก แแแแ แแแกแฌแแแแ แฌแแ แแแแแแก(แแ แช แแแแแ แแแ แแ แแ แช แแแแแแ แแ แแแแแขแแชแแ แแแฏแแ แแ แแ แแ แกแแญแแ แ). แชแฎแแแแ, แงแแแแ แแแแชแแแแก แขแแฅแกแขแ แแแแแแแแแกแฌแแแแแ แฃแแแ แฌแแแแแแฎแแก แฎแแแแแฆแแ.
2.5. โแฌแแแแแฎแแแก แจแแแแแโ _ แแแแแชแแแแ แแแฏแแฃแคแแแ: แแแแ แ แฏแแฃแคแฃแ แ แแฃแจแแแแแกแแกแฌแแแแ แแ แแคแแแแกแ แแ แแแขแแ แแกแแแแก แแแฎแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแแ
(แแแแแแแขแแแแก + แฅแแ แแฃแแ แแแแก แแแแแแแแแ _ 30-35 แฌแฃแแ)แแแแแ แฏแแฃแคแแแก แแซแแแแ แแฎแแแ แแแแแแแแ: I แฏแแฃแคแ แแแแแแแขแแแแกแแแ
1.8. แขแแฅแกแขแแแแ แแแแฌแแ แแ แงแแแแ แชแฎแแแแแแก (แแแ แจแแ แแก แชแฎแแแแแแ แกแแฎแแแแแกแ แแ แแฌแแ แแแแก) แกแแฎแแแแแ. แแ แชแแ แแแแ แแแแแแ แฉแแ! แจแแแแแ แแแแแแฃแแก แแแฃแฌแแ แแ แแแกแ แจแแกแแแแแแกแ แ แแแแแแแ แ แแชแฎแแแแ แแแแแชแแแ (แกแฃแแแ แแแ,แ แแแแแ) แแ, แแแแแแแแแ, แแกแ: แฌแงแแแก แแฃ, แกแแแ แซแ 25 แกแ. แแแแ แ แแชแฎแแแแ แแแแแชแแแ แแฅแแแ แแแแแแ แฃแแแแแแแกแแแ แแ, แ แแแแแ แขแแฅแกแขแจแ แแ แฌแแ แแ.
แชแฎแแแแแแแ แแแแฏแแฃแคแแ แแแฎ แฏแแฃแคแแ แแแแ แ แแชแฎแแแแ แแแแแชแแแแแแก แจแแกแแแแแแกแแ. แแแฏแแฃแคแแแแก แฌแแกแ แแฅแแแแแแแแแ แแแแแแแแ.
II แฏแแฃแคแ แฌแแแแแแ แแแ2.8. แขแแฅแกแขแแแแ แแแแฌแแ แแ แงแแแแ แชแฎแแแแแแก (แแแ แจแแ แแก แชแฎแแแแแแ แกแแฎแแแแแกแ แแ แแฌแแ แแแแก) แกแแฎแแแแแ. แจแแแแแ แแกแชแฎแแแแแแแ แแแแฏแแฃแคแแ แกแแ แฏแแฃแคแแ แแแแ แกแแฎแแแฌแแแแแแก (แกแแขแงแแแแแก) แแแฎแแแแแ. แแแฏแแฃแคแแแแก แฌแแกแ แแฅแแแแแแแแแ แแแแแแแแ.
III แฏแแฃแคแ แแฃแแแแแกแแชแแแแแแแ3.8. แขแแฅแกแขแแแแ แแแแฌแแ แแ แงแแแแ แชแฎแแแแแแก (แแแ แจแแ แแก แชแฎแแแแแแ แกแแฎแแแแแกแ แแ แแฌแแ แแแแก) แกแแฎแแแแแ. แแ แชแแ แแแแ แแแแแแ แฉแแ! แจแแแแแ แแก แชแฎแแแแแแแ แแแแฏแแฃแคแแ แแแฎ แฏแแฃแคแแ แแแแ แกแแกแแชแแชแฎแแ แแแ แแแแก แแแฎแแแแแ (แแแฃ _ แแฃแกแแ แแแแแแ แแแแ). แแแฏแแฃแคแแแแก แฌแแกแ แแฅแแแ แแแแแแ แแแแแแแแ.
IV แฏแแฃแคแ แแฎแแขแแ แแแ แแ แแฎแแแแแแแแ4.8. แขแแฅแกแขแแแแ แแแแฌแแ แแ แงแแแแ แชแฎแแแแแแก (แแแ แจแแ แแก แชแฎแแแแแแ แกแแฎแแแแแกแ แแ แแฌแแ แแแแก) แกแแฎแแแแแ. แจแแแแแ แแกแชแฎแแแแแแแ แแแแฏแแฃแคแแ แกแแ แฏแแฃแคแแ แแแแ แแแ แแแแแแแก แแแฎแแแแแ. แแแฏแแฃแคแแแแก แฌแแกแ แแฅแแแ แแแแแแ แแแแแแแแ.
แฏแแฃแคแแแแก แแฃแจแแแแแก แแแแแแแ แแแแก แจแแแแแ แแแคแแกแแแ แแแกแฃแแ แแแกแฌแแแแแแแ แฌแแ แแแแแแแ แแแแฃแจแแแแ แก แแแฉแแขแแ แแแแ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแฎแแแแ. แแแแ แแแแชแแแแก แแแแ แแแกแฌแแแแ แฌแแ แแแแแแก. แฎแแแ แแฃแแ แฌแแกแแแ แ แแ แแแแ-แขแแชแแแแ แแแกแฃแ แก, แแแจแแ แแก 30-35 แฌแฃแแ แแ แแฅแแแแ แกแแแแแ แแกแ แแ แแแแแแแแ แแแแแแแแแแก แแ แ แแแฎแแแแ แกแแญแแ แ.
2.6. แ แแคแแแฅแกแแ; โแแแกแแกแแแแแ แแแ แแแแแแกโ แจแแแกแแแ แแแกแฌแแแแแแ แแแแ , แแแแ แแแแแจแแคแแกแแแ;แแแกแฌแแแแแแแแกแแฃแแ แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแแ แจแแคแแกแแแ (10 แฌแ).
แฉแแขแแ แแแแ แแชแแ แ แ แแคแแแฅแกแแ: _ แแแ แแแ แแขแงแแแก, แแฆแแก แแฎแแแ แ แ แแแกแฌแแแแแ?แจแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแแแช แแแแแแขแแแก: _ แแแช แแแขแงแแ, แ แ แแงแ แฉแแแแแแก แงแแแแแแ แกแแแแขแแ แแกแ. แแฆแแก แฉแแแ แชแฎแแแแแแแแแแแแฏแแฃแคแแ. แแแกแฌแแแแแแ แงแแแแ แแฃแแแก แชแฎแแแแแแแแก แแ แแแแแแแแแ แกแแ แฐแฅแแแแ. แแแแ แแ แงแแแแ แแฃแแแแแกแฎแแแแแกแฎแแแแแแ แแ แแแแฏแแฃแคแ. แแ แชแฎแแแแแแแแก แกแฃแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แฏแแฃแคแแแ แแแแฆแ. แแแ, แแแแแแฃแแ แแฃแแแแแแแแแแ แแแกแฌแแแแแ แแแแแฎแ แแก, แแฃ แ แแก แแแฎแแแแแ แแแแฏแแฃแคแแก แชแฎแแแแแแแ!
แแแกแฌแแแแแแแ แฉแแแแแงแแแแแแแแ. แจแแแแแ แแแกแ แฃแแแแแ แ แแคแแแฅแกแแ:_ แ แแ แแแแแแแขแแ แแกแ แงแแแแแแ แแแขแแ? แ แ แแแแแแแ แงแแแแแแ แแแแแแแ? แ แ แแแแแญแแ แแ? แแแแงแแคแแแ แฎแแ แจแแแแแฃแจแแแแแ? แ แแ แแ แ แฎแแ แแแแงแแคแแแ?
แแแ แ แแแกแฌแแแแแแแ แจแแแแกแแแแ โแแแกแแกแแแแ แแแ แแแแแกโ:
1. แแแแฎแกแแแ แแแแ แแ แ แแแแแแแแแ. แ แ แแแแแฌแแแ แงแแแแแแ แแแขแแ? แ แแ แแแแแแแขแแ แแกแ?
2. แ แ แแแแแแแแ แงแแแแแแ แแแขแแ?
3. แ แ แแแแแซแแแแแ?
4. แแ แซแแแ แกแแแแแฎแจแ แ แ แจแแแซแแแแ แจแแแจแแแแก แแแแจแแก?
5. แ แแแแ แแฃแฎแกแแแแ แแแก แจแแชแแแแแก?
6. แแแแช แแแงแแงแกแ แแ แแแก แแแซแแแแแก แชแฃแแแ แแแแฎแกแแแแแแก, แ แแก แแขแงแแ แฎแแแแ?
- 84 -
แแ แแแ แแแแแแ แฃแแฃแแแแจแแ แก แแแกแฌแแแแแแแ แแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแฆแแแแ.แแแแแก แแแกแฌแแแแแแแแ แฉแแแขแแ แแแก แแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแ แจแแคแแกแแแแก แแแแ 3 แแแแแแแแแแก แแแฎแแแแแ _
แแแแแแแแแก, แแฃ แแแแแ แแขแฃแแแ แ แ แแแแแแแ แแแ แแแ แแแแแแฃแแแ แแแกแฌแแแแแ (แฌแงแแแแแ, แแฃแแแแ).2.7. แแแแแขแแแแแ แแแแชแแแแแ แแแแแแแก, แแแแช แแแ แ แแแแแแแแ แแแก แฏแแฃแคแฃแ แ แแแแแแแแแก แจแแกแ แฃแแแแแก;
แแฅแแแ แแแแชแแแแแ แแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแแแกแแแแก1. แ แแแแแแ แฌแแแแแแแแแแ แขแแฅแกแขแแก แแ-4 แแแแแชแจแ?2. แขแแฅแกแขแแก แแแ แแแแแแ แแแแแชแแก แแแ แแแแแแ แฌแแแแแแแแแแก แแแ แแแแแแ แกแแขแงแแแ โแฃแฌแงแแแแ แโ?3. แแแ แฉแแแ แแก แจแแแแแฎแแ, แ แแแแแแ แกแแแแกแฃแฎแแแแช แกแแแแแ แแกแแ แขแแฅแกแขแจแ แแแชแแแฃแแ แแแคแแ แแแชแแ แแ แฃแแแกแฃแฎแแ แแแก:
แ) แแคแ แแแแจแ แงแแแแ แกแแฎแแแแแก แแแงแแงแ, แฎแแแแแ แแ แฏแแฏแ แแ แแก แแฃ แแ แ แจแฎแแแแแแ?แ) แแแแฎแแแแแแ แ แ แกแแแ แซแแกแแ 7 แฌแแแก แกแแจแฃแแแ แแแงแแงแ?แ) แ แแแแ แแญแแ แแ แแฌแแ แก แฎแแแแแ แแ แฏแแฏแ?แ) แแคแ แแแแจแ แแแงแแงแก แแ แแแกแ แแแซแแแแแก แแแแแแแแแแแกแแแแก แกแแ แแแแแแแ แฃแคแ แ แแแขแ แแแแฅแแ แแฃ แแแแแ?
4. แฌแแแแ แ แแแแชแแแแก แแแแฎแกแแแกแแก แ แ แจแแแซแแแแ แจแแแจแแแแก แแแกแฌแแแแแก แ แแแแแ แจแแแซแแแแ แแแแแแก แแแ แแแแฃแแแแแกแฃแฎแ? แ แแแแ แแแแฎแแแแ แแแแแ, แ แแแแ แแฃแฎแกแแแแแ แแแก แแ แจแแชแแแแแก?
แจแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแก แแแแแแแแฅแแแแแแแ แแแ แแฃแแแแ (แ) แแ (แ) แจแแแแแฎแแแแแก แจแแกแแฎแแ. แงแแแแแ แแแ แแฃแแแแแฌแแแแแ แแ แแแแแช แฃแแแ แแงแแก แแแกแแแฃแแแแฃแแ.
{(แ): แกแแจแฃแแแ แแแงแแงแ 10 แฌแแแแแ แชแแชแฎแแแแก แแ 12 แกแ แกแแแ แซแแก แแฆแฌแแแก; แกแแแแ แแจแ แแแงแแงแ แซแแแแแ แแแแ แแแ แแแแ,แแแแขแแ 7 แฌแแแก แกแแจแฃแแแ แแแงแแงแ แแแแแ แแแแฎแแแแแแ 11 แกแ แกแแแ แซแแกแ แแฅแแแแ.
(แ): แแคแ แแแแจแแช แแแงแแงแ แแ แแแกแ แแแซแแแแแ แฃแแแ แแ แแแแแแแแ แแฌแแ แก แแแแแแฃแ แแแแ แแ แแแแ แแแแแแแแแกแแแแกแกแแ แแแแแแแ แแแแฅแแ; แแแแ แแ แจแฎแแแแแแแแ แแ แแแ แแ แจแแแซแแแแ แแแแแแแแ แแแฌแแแแแ; แแก แกแแแแแแแ; แแฃแแชแ แแฃแแ
แแแแแแแแ แคแ แแฎแแแแ แแฅแแแแ, แแแงแแงแกแ แแ แแแก แแแซแแแแแก แแ แจแแแฎแแแ, แแแจแแ แแกแแแ แแ แแฅแแแแแแ แกแแจแแจแ แแ แแแแแแแแแแกแแแ แกแแแกแแฎแฃแ แก แแแฃแฌแแแแ แแแแแแแแแ แแฌแแ แแแแก แแแแแแแฃแ แแแแ.}
แแแแแก แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแแแแแแก: _ แแก แแแ แแแ แฉแแแแ แแแ แแฃแแแแแ, แแ แแแชแแ, แกแแแแแแแแแแจแ แ แแแแ แแ,แขแแฅแกแขแแแแ แแ แฉแแแก; แฎแแแ แแแแแแแแแ แแก, แแฃ แ แแแแ แแญแแ แแ แฎแแแแแ แแ แฏแแฏแ แแฌแแ แแแก, แขแแฅแกแขแจแ แฌแแ แแ แแ
แแแแแแแแแ แแแชแแ. แแก แแ แแ แแแ แแฃแแ.5. แแแซแแแแแ แขแแฅแกแขแแก แแ-2 แแแแแชแแก แแ-4 แฌแแแแแแแแแแก แแแ แแแแ แแ แแ-11 แกแแขแงแแแแ.
แจแแแแแแแแ 9-แกแแขแงแแแแแ แฌแแแแแแแแแ แแ แกแแขแงแแแแแก แแแแแงแแแแแแ.6. แจแแแแแแแแแแ แ แแแแแก แขแแแ แจแแแซแแแแ แแงแแก 5 แแคแ แแแฃแแ แแแงแแงแแก แฌแแแ?
แ) 12 แแ; แ) 16 แแ; แ) 18 แแ; แ) 20 แแ.7. แฌแแแแ แ แแแแชแแแแก แแแแฎแกแแแกแแก แ แ แจแแแซแแแแ แจแแแจแแแแก แแแแจแแก?
แแแฌแแ แแ, แ แแแแ แแฃแฎแกแแแแแ แฌแแแ แแแแชแแแแก แแแแฎแกแแแก แแแแแแแ แก, แ แแแแแแแช แแแแฎแกแแ แแแ แจแแซแแ.8. แแแแ แแแแแ, แจแแแแแแแแแแ แ แแแแแ แแแแแกแแฎแฃแแแแ แแ แจแแแกแแแแแแแ แ แแแแ แแแ แแแแก แขแแฅแกแขแแก แแแฎแแแแแ:
แ) 15 10; แ) 30 โข 800; แ) 20 : 10; แ) 25 12; แ) 9000 + 800.แ แแก แจแแแกแแแแแแแ, แ แ แแแแฉแแแแแแก แแแแแ แฉแแแ แแแฎแ แแแแแกแแฎแฃแแแแ?
9. แแ แแ แแแงแแงแ แแ แ แแฆแ-แฆแแแแจแ แงแแแแแแแแก 800 แแแฆแ-แแฃแแก แแแ แแญแแ แก. แแแแฃแจแแแ, แ แแ แแก แงแแแแแแฆแแฃแ แแ แแแแกแแแฎแแแแ แก แกแแแกแแแแก. แแแ แแ แแแแกแ, แแแฎแแแแ แ แฌแแแแฌแแแแก แแแแแแแแแแแจแ แแแงแแงแก แกแซแแแแแก (แ แแแแกแแช แชแแแ). แแแแฎแแแแแแแ แแแแแ แแฌแแ แก แแแแแแแแฃแ แแแก แแ แแ แแแงแแงแ แแแแแ แกแแชแแชแฎแแแก แแแแแแแแแแแจแ?10. แฅแแแแแ แฉแแแแแแแแแ แกแแขแงแแแแแแแ แแแซแแแแแ แแ แแ แกแแขแงแแ, แ แแแแแแช แแแแฎแแแแแแ แแแแแแก แแแจแแแแก, แ แแกแแชแกแแขแงแแ โแแฃแแฅแแโ; แจแแแแแ แแแซแแแแแ แกแฎแแ แกแแขแงแแ, แ แแแแแกแแช แกแแแแ แแกแแแ แ แแแแจแแแแแแแ แแฅแแก:
แฃแฌแงแแแแ แ แฃแแแแแแแ แแแแแแแแแ แแแฃแแแแแแแ แจแฎแแแแแแ แฃแแแ แแแ แกแแกแแ แแแแแ แแฃแแแแแแ11. แแแงแแงแ แจแแแแแ แแ แแแแแแจแแก. แ แแ แฐแแแแแแ แแ แแแแแแแก? แ แแ แแแแกแฎแแแแแแแแแ? แแแกแฃแฎแแแแก แแแชแแแแกแแกแแแแแแแแแกแฌแแแแ แแ แชแฎแแแแแแแแก แแแแกแแแแแแช แแ แแแแ แ แแชแฎแแแแ แแแแแชแแแแแแช. แจแแแแกแแ แจแแแแ แแแแก แชแฎแ แแแ:
แ แ แ แ แ แจ แ
แ แ แง แ แง แ
- 85 -
12. แแฅ แแแชแแแฃแแแ แขแแฅแกแขแแก แแแแแ แแ แแฃแแแ. แแแแแแแแ แแแแ แแแ แแแ แแแแฃแแ แแแแแแแแแแ แแแแ. แจแแแแแแแแฃแแแขแแ แแแแแ แแ แแ, แแฎแแแ แแแแแ แ แแกแ, แ แแ แขแแฅแกแขแแก แจแแแแแ แกแ แฃแแแแแกแแ แแแแแแแชแแก.
(1) แขแแแก แแแงแแงแแก แแ แแ-แแแแแแแแ แแแ(2) แฎแแก แแแงแแงแ(3) แขแแแก แแแงแแงแแก แแแแแฉแแแ, แแแแแแแแแแ(4) แกแแ แแแแแแแ แแแงแแงแแกแ แแ แแแกแ แแแซแแ แชแฎแแแแแแแแกแแแ(5) แแแแแแจแ
13. แ แแ แฐแแแแก แแแงแแงแแก แแ แแ-แแแแแแแแ แแแ แแแแแแแก แแ แแ-แแแแแแแแ แแแแก?14. แแแซแ แแแแแก แแแแแแฎแแขแแแ แแแแแแฃแ แแ แกแแขแงแแแก แจแแฃแกแแแแแแ แชแฎแแแแแ แขแแฅแกแขแแแแ:
แแแชแฃแ แแแก แแแชแแชแแแก แแแฎแแฎแแแก แแแฎแขแแก แแแคแ แแแแแก แแแ แแแก15. แแแชแแแฃแแแ แกแแแ แกแแขแงแแ: แแแงแแงแ, แแแแแ, แฅแแแฌแแ แแแแแแ.
แแ แกแแขแงแแแแแก แแแ แแแแ แแกแแแแแ: แ, แ, แฅ. แแก แแกแแแแ แแแแแแแแ แงแแแแ แจแแกแแซแแ แแแแแแแแแแ แแแแ แแกแ, แ แแ แแกแแแ แแแแแแ แแแก: 1) แ, แ, แฅ. 2) แ, แฅ, แ. ... ...
แกแฃแ แ แแแแแแ แจแแกแแซแแแแแแแแ?แ แแแแแแ แแแ แแแ แแแแ (แแแ แแ) แงแแแแแแ แแแแแ แแฃแแ, แแแ แแแแฃแแ แแแแแแแแแแ แแแ? แแแแแแแแแกแฌแแแแ แแ แ
แ แแ: 1) แ แแแแ แแแแแแแ, แ แแแแแ แ แแแแแกแแแแแ แฌแแ แแแจแแแแแ (แแแฉแแแแแ)?2) แ แแแแแแ แแแแแ แฉแแ แแ แจแแ แแก แแแ แแแแแแแแ แ แแแแแแช แชแแข-แชแแขแแแ แแ แแแแก แฐแแแแก แแ แแแ แจแแ แแกแแ?
3.1. แขแแฅแกแขแแก แแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแ;แแแกแฌแแแแแแแแกแแฃแแ แฃแแฃแแแแจแแ แแแ โแแแกแแกแแแแ แแแ แแแแแแโ
แแฃแแแแแกแแชแแแแแแแแก, แแแแแแแขแแแแก แแ แฅแแ แแฃแแ แแแแก แแแแแแแแ แแแแแแแแแแแแ (20-30 แฌแฃแแ)โแแแกแแกแแแแ แแแ แแแแแแกโ แแแกแฃแฎแแแ แแแกแฌแแแแแแแแก แฌแแแแกแฌแแ แแแฎแแ แแกแฎแแแฃแแ แแ แจแแฏแแ แแแฃแแ แฃแแแ แฐแฅแแแแแก,
แฃแแฃแแแแจแแ แแแ แแแแฌแแแแก แแแ แแแแก แแแแแแฃแ แกแแแแแฎแแ แจแแฏแแ แแแฃแแแ (แแ แ แ แกแแแแแแ แงแแแแแ แแแ แแแแกแแแฎแแแแแ) แแ, แกแแญแแ แแแแแกแแก, แแแฃแ แแแก แแแแแ แแแแแแแแฃแแแฃแ แ แแแแแแขแแ แแแ.
3.2. แแแแแขแแแแแ แแแแแแแแ แฅแแ แแฃแแแก แแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแแ แแแแแแแแแแแแ _แแ แ แซแแแแแ แแแ แแ แแแขแแแแแแแชแแฃแ แ แแฅแขแแแแแ
แแก แแฃแกแขแแ แจแแแกแแแแแแแ แแ-4 แแแแกแแก แฅแแ แแฃแแ แแแแก แกแขแแแแแ แขแแก แแแแจแแแแแแแแ แแแแแแแขแแ แก:แฅแแ แ. IV.10. โแแแแแ แแแแ แแแแฎแแแแแ แแแชแแแฃแ แแแกแฃแฎแแแก แแ แแแแแ แฉแแแก, แ แแแแ แแแแ แแชแแแก แแแแแ แแ แแแแแฎแแแแแแจแแแแแแ แกแแแแแแ: แ) แแแกแฃแฎแ แแแ แแแแแ แแงแ แขแแฅแกแขแจแ แแแชแแแฃแแ; แ) แแแกแฃแฎแแก แแแกแแชแแแแ แกแแญแแ แ แแงแ แ แแแแแแแแแกแแฎแแก แแแคแแ แแแชแแแก แแ แแแแแแแแแ แแแแแแจแแ แแแ; แ) แแแกแฃแฎแ แแ แแงแ แขแแฅแกแขแจแ; แแแแแฎแแแแ แแแแงแ แแแ แขแแฅแกแขแจแแแแชแแแฃแ แแแคแแ แแแชแแแก, แแแฃแแแแจแแ แ แแแ แกแแแฃแแแ แชแแแแแก แแ แแแแก แกแแคแฃแซแแแแแ แแแแแแขแแแ แแแกแแแแ.โ
16. แแแฅแแแ, แแแกแฌแแแแแแแแ แแฅแแแก:แแแ แกแแฅแแ แแแแแแจแ แแแแแแแแ แ แญแ แแแ แฏแแฏแ แแ แแ แจแฎแแแแแแ.แชแแขแแ แแคแ แแแแจแ แแแแแแแแ แ แญแ แแแ แฏแแฏแ แแ แจแฎแแแแแแแ.แแฃแแ แฎแแก แแแงแแงแ แแฌแแ แก แแ แซแแแ แแแแก แแแแแกแ แแแแ แแญแแ แก.แแแแฃแแ แแคแ แแแแจแ แจแฎแแแแแ แแแงแแงแแแก แแ แแแ แแแซแแแแแก แแแแแแแแแแแกแแแแก แแแแแ
แฃแคแ แ แแแขแ แแแแฅแแ, แแแแ แ แกแแ แแแแแแแ.แแ แแแฎแ แฌแแแแแแแแแแแแ แแแแแแฃแแก แจแแฃแกแแแแแแ แกแแแ แจแแคแแกแแแแแแ แแ แแแ แแ:
I. แแแกแฌแแแแแ แฉแแแแ แขแแฅแกแขแแแแ แแแแแแขแแแ แแแ แแแแฃแแ แแแกแแแแ.II. แแแกแฌแแแแแ แกแแแฆแแช แกแฎแแแแแ แแแแซแแ แแแคแแ แแแชแแ.III. แแแกแฌแแแแแ แแแแแกแ แแแ แแฃแแ แแแแแแฅแแ.
{แแแ แแ แแฃแแ _ I; แแแแฃแแ _ III; แฎแแแ แชแแขแแ _ แแ II, แแ III }.17. แแแแแฎแกแแแแ แงแแแแ แแก แจแแแแแฎแแ, แ แแแแแแแช แฉแแแ แฃแแแ แจแแแแฎแแแ แขแแฅแกแขแแก แแแแแ แแแแก แแแแแแ:1) แ แแแแ แแญแแ แก แแ แกแแแกแแแแก แแฌแแ แแแก แแแแแแจแ? แฎแแแแแ?2) แแแแ แแแแแ, แจแแแแแแแแแแ แ แแแแแแ แฌแแแแแแแแแแ แแชแแแ แ:
แ) แแแงแแงแแก แแ แแ แแ แฐแแแแก แกแฎแแ แชแฎแแแแแแ แแ แแแก แแแแ, แ แแ แแ แ แฎแแแก แแ แแ แแแ แแแแ, แแ แแแแ แแแขแแ แแแแแแ.แ) แแแแแแจแ แแแชแแแแแแ แฃแคแ แ แแฆแแแ แซแแแแ (แแแข แฎแแแก แชแแชแฎแแแแก), แแแแ แ แแแงแแงแ.แ) แฎแแก แแแงแแงแก แแกแแแ แฎแแกแฎแแกแ แคแแ แ แแฅแแก, แ แแ แแแก แฎแแแก แฃแจแแแก แแขแแชแแแแแแแกแแแ แแแแแแแแจแ.แ) แแแงแแงแ แแ แแแก แแ แแก แแ แ แแแ แขแ แแแ แแแแ; แแแก แแแ แแแแ แซแแแแแ แแชแแแแแ แขแแแแก แคแแ แแ (แแกแแแ แ แแแแ แช
แแแแแแแก แฏแแ แแแขแแแก แคแแ แแ แแฅแแก, แฎแแแ แแแแแก แแแแแแ แแแ แแแแฅแแแแแ).3) แ แ แกแแแ แซแแกแแ แกแแจแฃแแแ แแแแแแจแ? แ) 12 แกแ; แ) 15 แกแ; แ) 7 แกแ 5 แแ; แ) 6 แกแ 5 แแ; แ) 6 แกแ.4) แชแฎแแแแแแ แจแแแแแแ แฉแแแแแแแแแแแแแ แแแแฌแแ แแ แฅแแแฌแแ แแแแแแแ แกแแฎแแแฌแแแแแแแ: แแแงแแงแ, แแแแแแจแ,
- 86 -
แฎแแแแแ, แฏแแฏแ, แแฆแแ แแ, แแฃ, แแฎแฃแแแแ, แแแแแแ, แแแแแแแ, แแแแแ, แแแแแฉแฎแแแ, แแแแแแแแ.5) แขแแฅแกแขแจแ แแแซแแแแแ แแแฎแ แแแแแชแ, แ แแแแแแแช แงแแแแแแ แแแแแแแแ แแฎแแแ แแแงแแงแแก แแ แแแกแ แแ แกแแชแแชแฎแแแก (แแแแจแแกแฃแ แกแฎแแ แ แแแแแแ แกแแฃแแแ แ, แกแฎแแ แแแคแแ แแแชแแแ). แแแ แแแแแแแ แแก แแแแแชแแแ?6) แฉแแแแแแแแแ, แ แ แฃแชแแแฃแ แแแแแ แแฎแแกแแแแแแก แแแงแแงแแก แแแฉแแแแกแ แแ แแ แแแก.7) แ แแขแแ แฎแแแแ, แ แแ แฃแแแ แแแ แฅแแแ แแแแก แแแงแ แแก แแแฃแฎแแแแแแ, แขแแแจแ แแแงแแงแแแแก แ แแแแแแแแ แแแแแช แแ แแแแขแแแกแแแฃแกแ แฃแแแแแแ?8) แแแแฎแกแแแแ แแกแแแ แชแฎแแแแแ, แ แแแแแแช แฐแแแแก แแแงแแงแก แแ แ แแแ แแแแแแแ, แแ แแแแ:
I. แแกแแแแแ แกแแ แแแแแแแ แ แแ แแแแฅแแก แแแแแแแแแกแแแแก, แ แแแแ แแช แแแงแแงแก;II. แแ แแแก แแ แแก แแ แ แแแ แขแ แ แแ แแแ แแแแ; แแแ แแแแ แซแแแแแ แ แแ แแชแแแแแ แขแแแแก แคแแ แแ.
9) แ แแแแ แแแแจแ แแแขแแ แแแแแแ แแแแแแแแแแ? แ แแขแแ แแแขแแ แแแแแแ แแแแแแแแแแ แ แ แแแแ แแแแ แแแก แแ แแ แแก?10) แ แแขแแ แแฌแแแแแ แแฎแแแแแแแฉแแแแ แแแงแแงแก โแแแแแแแแแแโ?11) แแแงแแงแ แจแแแแแ แแ แแแแแแจแแก. แ แแ แฐแแแแแแ แแ แแแแแแแก? แ แแ แแแแกแฎแแแแแแแแแ?12) แ แแ แฐแแแแก แแแงแแงแแก แแ แแ-แแแแแแแแ แแแ แแแแแแแก แแ แแ-แแแแแแแแ แแแแก?
แแ 12 แจแแแแแฎแแแก แแแแ แแแ แแแแฏแแฃแคแแ 4 แฏแแฃแคแแ:I. แจแแแแแฎแแแแ, แ แแแแแแ แแแกแฃแฎแ แแแ แแแแแ แแงแ แขแแฅแกแขแจแ แแแชแแแฃแแ; แกแแญแแ แ แแงแ แขแแฅแกแขแแก แแฎแแแแ แฌแแแแแฎแแแแแแแแ แแแแแ;II. แจแแแแแฎแแแแ, แ แแแแแแ แแแกแฃแฎแ แขแแฅแกแขแจแ แแแ แแแแแ แแ แแฌแแ แ แแ แแแกแฃแฎแแก แแแกแแชแแแแ แกแแญแแ แ แแงแ แขแแฅแกแขแแกแแแแแ แแแ, แแกแฏแแแแแ, แ แแแแแแแแ แแแคแแ แแแชแแแก แแ แแแแแแแแแ แแแแแแจแแ แแแ;III. แจแแแแแฎแแแแ, แ แแแแแแ แแแกแฃแฎแแก แแแกแแ แแแแแแ แขแแฅแกแขแจแ แแแชแแแฃแแ แแแคแแ แแแชแแ แแ แแแแแแแงแแแแ, แแแแ แแ แฉแแแแแซแแแแ แชแแแแแช แแงแ แแฃแชแแแแแแแ แแแ แขแ แขแแฅแกแขแ แแ แแแแงแแคแแแ.IV. แจแแแแแฎแแแแ, แ แแแแแแ แแแกแฃแฎแแก แแแกแแ แแแแแแ แขแแฅแกแขแ แกแฃแ แแ แแแญแแ แแแแ.
I.: 1, 9. II.: 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11. III. 8, 12. IV.: 4.3.3. แแแแแ แแ แแ แแแแแขแแแแแ แแแแแแแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแแ แแแแแแแแแแแแ
18. แแฅ แแแชแแแฃแแแ แแแขแแ แ แฏแแจแแก แฎแแแแแแก แแ แแแก แแแแแ แแแ (แกแแแขแแแแแ แแแแแ แแแ). แงแแแแแ แแแฌแ แ แแแ แแแฃแแฎแแแแแแแฉแแแแแแก, แแฃ แแแแฎแแแแแแ แ แ แกแแแ แซแแกแแ แจแแกแแแแแแกแ แแกแแแแก แฎแแแแแ:
1. แแแแแ แแแแแ แ แแขแแแแ แแแแแจแแฃแแ แแแแแชแแแแแแแแช แ แแชแฎแแแแ 24 แแ 36?2. แ แ แกแแแ แซแแกแ แแฉแแแแแ แแแขแแ แ แฏแแจแแก แฎแแแแแ? แ แ แกแแแ แซแแกแแ 4 แแแแก แฎแแแแแ? 1 แฌแแแกแ แแ 3 แแแแกแ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 18 24 36 แแแแแแ
- 87 -
2 แฌแแแกแ แแ 6 แแแแกแ? 2 แฌแแแกแ แแ 10 แแแแกแ? 40 แแแแกแ?3. แ แแแแ แแกแแแจแ แแฆแฌแแแก แฎแแแแแ 10 แกแ แกแแแ แซแแก? แ แแแแ แแกแแแจแ แฎแแแแ แแแแฎแแแแแแ แกแแแฏแแ แแ แซแแแ, แแแแ แแแแแแฉแแแแแกแแกแแ? แแแฏแแ แแ แซแแแ? แแชแฏแแ แแ แซแแแ?4. แ แแแแแแแ แแ แซแแแแ 3-แฌแแแแแ แฎแแแแแ, แแแแ แ 2-แฌแแแแแ?
แแแแฎแแแแแแ แ แแแแแแฏแแ แแ แซแแแแ 2-แฌแแแแแ แฎแแแแแ, แแแแ แ 5-แแแแแแ?5. แแแแ แแแแแ, แ แแแแก แฃแคแ แ แกแฌแ แแคแแ แแแ แแแแ แฎแแแแแ: 1 แฌแแแแแ, 1-แแแ 2 แฌแแแแแ แแฃ 2-แแแ 3 แฌแแแแแ.
แงแแแแแแ แแแแ แ แแแแก แแแ แแแแ?6. แแแแแแแแ แจแแแแแฎแแ แฎแแแแแแก แแ แแแก แจแแกแแฎแแ, แ แแแแแจแแช แแฅแแแแ แกแแขแงแแแแ โแแแฎแแแแ แ แฌแแแก แจแแแแแโ.
แฃแแแกแฃแฎแแ แแ แจแแแแแฎแแแก.7. แฎแแแแแแก แแ แแแก แแแแแ แแแแก แแกแแแแกแแ แแแฎแแแแ แขแแแก แแแงแแงแแก แแ แแแก แแแแแ แแแ.
แแแแแแงแแแแ แแแแแชแแแแแ แขแแฅแกแขแแแแ โแแแงแแงแ แแ แแแกแ แแแซแแแแแโ.แ แแแแแ แแแแแชแแแแแแช แขแแฅแกแขแจแ แแ แแ แแแชแแแฃแแ, แแฅแแแแ แแแ แแฃแแแ แจแแแแกแแ.
8. แแแงแแงแแก แแ แแแก แแแแแ แแแแกแแแแก แแแกแแแ แแแแฎแแแแแแ แแกแแแแแ แจแแแแแฎแแแแ, แ แแแแ แแแแชแแ แฎแแแแแแกแแ แแแก แจแแกแแฎแแ. แฃแแแกแฃแฎแแ แแแแแแฃแ แแ แจแแแแแฎแแแก. แจแแคแแกแแแแก แ แฃแแ แแแ:
gakveTilebis wyeba, # 2, klasi V, diferencireba mzaobis mixedviT
Tema: farTobi. แกแแญแแ แ แแ แ: sagakveTilo _ 95 wT.: 35 wT winare gakveTilze;
45 wT ZiriTad gakveTilze; 15 wT momdevno gakveTilze;
arasagakveTilo (damoukidebeli muSaoba) _ 30 wT + 30 wT + 10 wT.
แแแแแแแแแแก แซแแ แแแแแ แแแแแแ / แจแแแแแแแ _ แแแกแฌแแแแแก แแชแแแแแแแ: ra aris farTobi zogadad
(farTobis mxolod cneba), rom farTobs aqvs adiciurobis Tviseba (am terminis gareSe);
แแแกแฌแแแแ แจแแซแแแแก: miaxloebiT Seafasos nakvTis (maT Soris uswormasworo nakvTis) farTobi;
แแแแแแแแ แแแแแแแ: moswavles ganumtkicdes gazomvis unarCvevebi; ganumtkicdes wiladebis codna
da wiladebze moqmedebaTa unarCvevebi.
แแแกแแฆแฌแแแ แจแแแแแแแ แแกแ-แก แกแขแแแแแ แขแแแแ: maT. V.9. poulobs da adarebs brtyeli figurebis farTobebs
erTmaneTs; dafaravs figuras erTnairi aragadamfaravi figurebiT da asaxelebs dasafarad saWiro figurebis
mTlian raodenobas. adarebs an afasebs figurebis farTobebs urTierTSeTavsebiT. iyenebs farTobis
adiciurobas aragadamfaravi figurebis kombinaciiT miRebuli figuris farTobis mosaZebnad.
แกแแญแแ แ แฌแแแแ แ แชแแแแ แแ แฃแแแ แฉแแแแแแ: iyenebs sigrZis sxvadasxva erTeulebs manZilis gasazomad;
cnobs samkuTxeds, oTxkuTxeds, marTkuTxeds, kvardats, xuTkuTxeds... am mravalkuTxedebis daWriTa
da erTmaneTze midgmiT qmnis axal mravalkuTxedebs, miTiTebuli saxisa; icis marTkuTxedsa da
kvadrats Soris logikuri mimarTeba; nakvTis Siga are da sazRvari.
แแแกแฌแแแแแแ แแแฏแแฃแคแแแ: 1. winare, Semamz. saSinao davalebis garCevis I nawili _ mTeli klasi
(heterogenuri); 2. am saSinao davalebis garCevis II nawili _ mcire homogenuri jgufi + sxvebis
damoukideblad muSaoba; 3. ZiriTadi saSinao davalebis garCevis I nawili _ mTeli klasi
(heterogenuri); 4. am saSinao davalebis garCevis II nawili _ mcire homogenuri jgufi + sxvebis
damoukideblad muSaoba; 5. didaqtikuri TamaSi _ sami jgufi (homogenur-heterogenuri); 6. me-4
aqtivoba _ mTeli klasi (heterogenuri); 7. momdevno, ganmamtkicebeli saSinao davalebis garCevis
I nawili _ mTeli klasi (heterogenuri); 8. am saSinao davalebis garCevis II nawili _ mcire
แแแแแแแแแแก แแแกแแฆแฌแแแ แจแแแแแแแแก แแแแแแแขแแ แแแ แจแแกแ แฃแแแแแก แฎแแ แแกแฎแ แแแฆแฌแแแแก แแแแ
แฃแงแแงแแแแแ แแ แแแแฅแแแก แฃแจแแชแแแแแ แซแแแแแ แแแฆแแแ
แแชแแ แ แงแแงแแแแแ แแ แ แแแแแแแแ แจแแชแแแแแ,แแแแ: แแแแแงแแคแแแแแก แแฎแแแแ 4แแแแแแแขแแ แแก แแแแฎแแแแแแก
แแแฆแแแ
แงแแงแแแแแ แแ แแแแฏแแ แจแแชแแแแแแแ, แแแแ:แแแแแงแแคแแแแแก แแฎแแแแ 2 แแ 3แแแแแแแขแแ แแก แแแแฎแแแแแแก
แกแแจแฃแแแ
แขแแฅแกแขแแแแ แแแแแ แแแก, แแแแฌแแ แก แแแแแแแแฃแ แแแแแชแแแแแก;
แแแแแ แแแแ แแแแแชแแแแแก แแฏแแฃแคแแแก แแแแแแแแฃแแ
แฌแแกแแ;
แแแฏแแฃแคแแแแก แจแแแแแแแก แฌแแ แแแแแแแแก แชแฎแ แแแแก แกแแฎแแ;
แแแแแฃแแแ แแ แกแแแแแแแ แแแขแแแแชแแแ (แกแแกแแแแ แแแจแแแแแก
แจแแกแแแแแแกแ แแแฃแแแแแก แแแชแแแ) แแแแฎแฃแแแแก แซแแ แแแแ
แขแแฅแกแขแแแก แแ แแแแชแแแแแแก แขแแฅแกแขแแแก;
แแแกแฃแฎแแแก แขแแฅแกแขแแก แแแแแแ-แแแแแ แแแแก แจแแแแแฎแแแแก,
แแแแแแฅแแก แแแ แแแแฃแแ แแแกแแแแแแ, แแแกแฃแฎแแแก แแแแแแฃแ แแ
แแกแแแฃแแแแก (แขแแฅแกแขแแ แแแแงแแ แแแแ).
แแแญแแ แแแแแแ แแ แแ แแแแแ แจแแชแแแแแ, แแแแแแแแแงแแคแแแแแก แแฎแแแแ 1 แแแแแแแขแแ แแกแแแแฎแแแแแแก
แแแแแแ
- 88 -
homogenuri jgufi + sxvebis damoukideblad muSaoba.
แกแแญแแ แ แกแแกแฌแแแแ แ แแกแฃแ แกแแแ: moswavlis saxelmZRvanelo, rveulebi, kalmistrebi, dafa, carci,
patara saxazavebi, didi saklaso 1-metriani saxazavi; wiladebis magnituri modelebis nakrebi.
gakveTilebis (Temis swavlebis) gegma-konspeqti
1. mowesrigeba da winare saSinao davalebidan Semamzadebeli amocanebis erToblivi
garCeva (wina gakveTilis 35 wT) _ esaa Semzadeba, Tan masw.-i moswavleTa
mzaobis mimdinare diagnostikur Sefasebas axdens da exmareba zog moswavles.
raki farTobi gansakuTrebiT mniSvnelovani da rTuli cnebaa, amitom mis
Semzadebas didi dro sWirdeba _ wina gakveTili TiTqmis mTlianad (sxva
sakiTxebis Sesamzadeblad kmara xolme saSualod 10-15 wuTi, oRond esec wina
gakveTilze; xolo danarCeni dro gavlil sakiTxebs eTmoba).
1. daakvirdiT daxazuli nakvTebis wyvi-
lebs da gaarkvieT, TviTeul wyvilSi
romeli nakvTi ikavebs ufro met adgils
sibrtyeze: marjvena Tu marcxena.
miTiTeba: Sedarebisas yuradReba miaqcieT patara kvadratebis raodenobas.
2. gamoWeriT qaRaldisgan 12 cali erTnairi kvadrati 1 sm ร 1 sm. SeadgineT am kvadratebisagan
erTmaneTis aratoli marTkuTxedebi. rac ufro met marTkuTxeds miiRebT, miT ukeTesia. CaxazeT rveulSi
TviTeuli miRebuli marTkuTxedi.
3. marTkuTxa formis qaRaldis furclebidan erTis sigrZe 4-jer metia meoris sigrZeze, xolo sigane _
2-jer naklebia meore furclis siganeze. romeli furcelia ufro didi da ramdenjer?miTiTeba. moiSvelieT naxazi.
4. orma komlma Tanabrad unda gaiyos
miwis nakveTi, romelsac aseTi forma aqvs:
gadaixazeT es nakvTi da gayaviT wiTeli xaziT
or nawilad ise, rom TviTeul komls erTidaimave odenobis miwa Sexvdes.
5. oroTaxian binaSi erTnairi parketi daages. erT oTaxs dasWirda 612 cali parketi, meores ki 1836cali. Tqveni azriT, romeli oTaxia ufro didi? ramdenjer?6. daakvirdiT daxazuli nakvTebis wyvilebs da gaarkvieT, TviTeul wyvilSi romeli nakvTi ikavebs
ufro met
adgils
sibrtyeze:
marjvena
Tu marcxena.
7. daxazeT kvadrati 1 sm ร 1 sm. Semdeg daxazeT:
I. 1 sm siganis iseTi marTkuTxedi, romelic 3-jer met adgils ikavebs, vidre daxazuli kvadrati;
II. 2 sm siganis iseTi marTkuTxedi, romelic 6-jer met adgils ikavebs, vidre daxazuli kvadrati.
8. gaarkvieT, romeli nakvTi ikavebs ufro met adgils sibrtyeze _ marjvena Tu
marcxena. ratom?9. orma komlma Tanabrad unda gaiyos miwis nakveTi, romelsac aseTi forma aqvs:
gadaixazeT es nakvTi da gayaviT wiTeli xaziT or nawilad ise,
rom TviTeul komls erTidaimave odenobis miwa Sexvdes.
am amocanebSi moswavles uwevs martiv SemTxvevebSi imis Sedareba,
Tu daxazuli nakvTebidan romeli `ikavebs ufro met adgils~ sibrtyeze
(sityva `farTobi~ ar unda iqnes naxsenebi!); 1 sm ร 1 sm zomebis kvadratebisagan rom marTkuT-
xedebi SeiZleba SevadginoT; rom miwis nakveTi SeiZleba daiyos ise, rom TviTeul komls
erTidaigive odenobis miwa Sexvdes; rom oTaxebis sidide parketebis raodenobiT SeiZleba Sedar-
des da sxva. am dros, arsebiTad, moswavles nakvTebis daWra-SekowiwebiT paralelogramis farTob-
sac ki vazomvinebT ise, rom moswavles jer arc paralelogrami uswavlia da arc farTobi!
mxolod am safuZvliani Semzadebis Semdeg Semogvaqvs nakvTis farTobis cneba _ jer swored
cneba , da ara gazomva! ras vzomavT, roca TviTon farTobis raoba ar viciT?! umravles
- 89 -
saxelmZRvaneloSi es sakiTxi mifuCeCebulia da farTobis cneba dayvanilia marTkuTxedis
farTobis gamoTvlis meqanikur wesze (iseve rogorc wiladi Tu aTwiladia dayvanili meqanikur
moqmedebebze _ es sqolastikaa, da ara maTematika). pirvel gakveTilSi, cnebis garda, unda iyos
farTobis mTavari Tviseba _ adiciuroba (cxadia, am terminis gareSe).
amasTan, Tuki aRmoCndeba, rom ramdenime moswavles ar scodnia aucilebeli `wina codnis~
sakiTxebi an uWirs nakvTebis dayofa-Sekowiweba, maSin masw.-i maT calke dasvams da miexmareba. sxva
moswavleebi am dros saSinao davalebis SedarebiT Znel, bolo nomer amocanebze imsjeleben. masw.-
i maT romelime am amocanis ganviTarebas daavalebs. mag.:
7. amoxseniT igive amocana, oRond 3-jer da 6-jer metoba SecvaleT 2-jer da 4-jer metobiT.
8. moigoneT da daxazeT ori aseTive nakvTi, oRond romlebsac ara marTkuTxa, aramed naxevarwris
formis naWrebi eqneba Seweul-gamoweuli.
9. rogor moiqceodiT, Tuki es nakveTi sam komls unda davuyoT Tanabrad?
aseve, Tuki ramdenime moswavles gauWirdeba amocanebi wiladebze, maTTan masw.-i
wiladebze imuSavebs. saamisod saukeTesoa TvalsaCinoebis moSvelieba _ wiladebis
magnituri modelebis nakrebisa. sxvaTa Soris, amave nakrebis gamoyeneba upriania agreTve
im moswavleebTan, romlebsac marTkuTxedebis danawevreba-gaerTianeba gauWirdaT _
moswavle Tavisi xeliT miadgams erTmaneTs Sesabamis ferad magnitur figurebs.
ese igi, ganuwyvetliv mimdinareobs moswavlis codna-ganviTarebis diagnostika da
moswavlisTvis saWiro daxmarebis gaweva.
2. mowesrigeba da saSinao davalebis amocanebis erToblivi garCeva
(ZiriTadi gakveTilis 30 wT) _ esaa naswavlis gaazreba da Tan masw.-i
moswavleTa codnis mimdinare diagnostikur Sefasebas axdens
1. daakvirdiT daxazuli nakvTebis wyvilebs da gaarkvieT, yovel wyvilSi romeli nakvTis farTobia
ufro meti _ marjvenasi Tu marcxenasi:
2. daxazeT kvadrati 1/2 sm ร 1/2 sm. Semdeg daxazeT ori iseTi marTkuTxedi, rom pirvelis farTobi
iyos 2-jer meti kvadratis farTobze, xolo meorisa ki _ 4-jer meti. Semdeg daxazeT marTkuTxedisgangansxvavebuli iseTi nakvTi, romlis farTobi 5-jer metia kvadratis farTobze.3. daakvirdiT naxazebs da nakvTebis nomrebi daalageT
Sesabamisi nakvTis farTobis klebis mixedviT:
axla Tqven TviTon SeavseT da CawereT daskvna:
`Tuki erTi nakvTi .... ... , maSin misi
farTobi metia meore nakvTis farTobze~.
gaarkvieT, marTebulia Tu ara da ratom amis Sebrunebuli winadadeba: `Tuki erTi nakvTis
farTobi metia meoris farTobze, maSin meore nakvTi SeiZleba mTlianad movaTavsoT pirvelSi~.
4. daakvirdiT aq daxazul oTx nakvTs da daxazeT iseTi
marTkuTxedebi, rom pirvelis farTobi toli iyos
pirveli nakvTis farTobisa, meoris farTobi toli
iyos meore nakvTis farTobisa da ase Semdeg.
5. gamoTvaleT: 7153
10974ยท
65
821 :
. (wiladebis Temidan naswavli sakiTxis ganmtkiceba)
6. gaarkvieT, Semdegi winadadebebidan romlebia mcdari da ratom:
I. Tuki ori nakvTi tolia, maSin maTi farTobebic tolia;
II. Tuki ori nakvTis farTobebi tolia, maSin es nakvTebic tolia.
7. daxazeT wriuli rgoli, romlis Siga wrexazis diametris sigrZea 1 6/10 sm, xolo gare wrexazis
radiusisa _ 2 8/10 sm. rgolis marcxniv daxazeT erTi iseTi wre, romlis farTobi naklebia rgolis
farTobze, xolo rgolis marjvniv daxazeT erTi iseTi wre, romlis farTobi metia rgolis farTobze,
magram romlis radiusis sigrZe naklebia 2 9/10 sm-ze.
- 90 -
8. Zveli qarTuli amocana. irmebis jogSi naxevari _ nukrebia, mesamedi _ fur-irmebi, kidev erTi
axalgazrda da erTic beberi xar-iremia. sul ramdeni iremia jogSi?yovel gakveTilze maswavlebeli unda mivides TviTeul moswavlesTan, erTierTze, cota xniT
mainc gaesaubros mas piradad, Seaqos anda muTiTos xarvezze. cxadia, yvela moswavlis saSinao
davalebis yvela amocanis Semowmeba SeuZlebelia, magram maswavlebelma mainc unda gadaxedos
namuSevars da raime Tqvas, Seaqos moswavle ara zogadad , aramed konkretulad aRniSnos
is, rac mosawonia; Tan TvalSi moxvedrili Secdoma Seasworos, miuTiTos xarvezze, Tan daexmaros
im moswavles, romelsac es sWirdeba.
Tuki am dros aRmoCndeba, rom ramdenime moswavles ar scodnia aucilebeli `wina codnis~
sakiTxebi, maSin masw.-i maT calke dasvams da miexmareba. sxva moswavleebi am dros saSinao
davalebis SedarebiT Znel, bolo nomer amocanebze imsjeleben. masw.-i maT romelime am amocanis
ganviTarebas daavalebs. mag.:
4. daxaze marTkuTxedi, romlis farTobi orjer metia, vidre _ am samkuTxedisa:
(amocana ufro sivrciT-vizualur-kinesTetikuria)
5. SeadgineT sxva amgvari magaliTebi. (amocana ufro logikur-maTematikuria)
7. igive amocana, oRond wris nacvlad iyos naxevarwre. (amocana ufro sivrciT-vizualur-kinesTetikuria)
8. irmebis jogSi naxevari _ nukrebia, maTi mesamedi _ koplebianebia; danarCen irmebs Soris erTi
axalgazrda da erTic beberi xar-iremia. sul ramdeni iremia jogSi?romelia am amocanaSi zedmeti ricxviTi monacemebi? romeli monacemi SeiZleba daematos amocanis
pirobas, raTa misi amoxsna SeiZlebodes? (amocana ufro enobriv-logikuria)
moswavleebi TviTon airCeven, am oTxidan romeli amocana amoxsnan. zogma, SesaZloa, ori an
samic ki moaswros. moswavleebi wyvilebad imuSaveben.
masw.-i ki am dros arasakmarisi mzaobis mqone moswavleebTan gaarCevs amocana # 5-sa da # 8-
s (visac wiladebi gauWirda) anda # 1, # 2-sa da # 4-s (visac sivrciTi mimarTebebi gauWirda).
`gauWirda~ imas niSnavs, rom saSinao davalebis amocanebis erToblivi garCevis dros moswavles ar
eyo amocanis amoxsnis marTebuli gzis axsna Tanaklaselis mier da ufro met daxmarebas
saWiroebs.3. gazomvebi (TamaSi, 5 wT) grZeldeba Semzadeba
tardeba sami TamaSi, moswavle TviTon irCevs, romeli urCevnia. samive TamaSi moZravia.
masw.-i gamocxadebs: _ Cven momdevno gakveTilebze dagvWirdeba Cveni saklaso oTaxisa da kar-fanjris
zomebi. axla gavzomoT, Sedegebi am cxrilebSi CavweroT da SevinaxoT:
4. axali sakiTxis gaazreba interaqciul-konstruqcivistulad (10 wT)
moswavleebs Sin damoukideblad ukve aqvT wakiTxuli gakveTilis Teoriuli teqsti:
n a k vTi s farTobi
yvela nakvTi raRac adgils ikavebs sibrtyeze, zogi mets, zogi _ naklebs. magaliTad, nax. 1-ze moce-muli nakvTebidan sibrtyeze yvelaze met adgils ikavebs
meore nakvTi. mesame nakvTi formiT gansxvavdeba pirveli nakv-
Tisagan, magram isic imdenive adgils ikavebs sibrtyeze,
ramdensac pirveli nakvTi.
roca surT aRniSnon, rom erTi nakvTi meoresTan SedarebiT ufro met adgils ikavebs sibrtyeze,
maTematikaSi amboben, rom erTi nakvTis farTobi metia meore nakvTis farTobze. aseve, roca ori nakvTi
tol adgils ikavebs sibrtyeze, amboben, rom am ori nakvTis farTobebi tolia. magaliTad, amboben, rom
nax. 1-ze mocemuli nakvTebidan yvelaze meti farTobi aqvs meore nakvTs, pirvel da mesame nakvTebs ki
toli farTobebi aqvs.
cxadia, erTmaneTis toli nakvTebi tol adgilebs ikavebs sibrtyeze. amitom tol nakvTebs
farTobebic toli aqvs. magram aratol nakvTebsac SeiZleba toli farTobebi hqondes. magaliTad, nax. 1-ze pirveli nakvTi marTkuTxedia, mesame _ ara, magram maTi farTobebi mainc tolia.
yovel nakvTs aqvs farTobi. tol nakvTebs toli farTobebi aqvs. magram toli farTobebi SeiZleba
fanjara sigrZe sigane
dm-ebSi
mtkavelebSi
oTaxi sigrZe sigane
m-ebSi
terfebSi
kari sigrZe sigane
dm-ebSi
mtkavelebSi
- 91 -
hqondeT aratol nakvTebsac.
cxadia, Tuki raime nakvTs gavyofT or an met nawilad, maSin mocemuli nakvTis farTobi toli iqneba
miRebuli nawilebis farTobTa jamisa. magaliTad, nax.1-ze mesame nakvTis farTobi tolia ori kvadratis
farTobTa jamisa. aseve, Tuki erTmaneTze mivadgamT or nakvTs, maSin miRebuli didi nakvTis farTobi
toli iqneba patara nakvTebis farTobTa jamisa.
am Teoriuli teqstis momdevno amocanebi uvve dawvrilebiT gairCa mimdinare gakveTilis 1-l
sagakveTilo monakveTSi. amiT isic Semowmda, Tu ramdenad iswavles da gaiazres moswavleebma am
teqstis Sinaarsi. axla xdeba erTgvari Sejameba-ganazreba (`refleqsia~) imisa, rac, arsebiTad, ukve
naswavli gvaqvs. moswavleebs win udevT gadaSlili saxelmZRvanelo, masw.-i svams SekiTxvebs
teqstidan da moswavleebi pasuxoben, avseben ra erTmaneTis naTqvams. Tan zogi moswavle SeiZleba
dafasTan muSaobdes _ xazavdes rames. SekiTxvebis nimuSebi:
_ romeli nomeri amocanisTvis gvWirdeba naxazi # 1 ? {# 6-isTvis} gakveTilis teqstis
meramdene abzacSia es sakiTxi? {III-Si}. kidev? {IV-Si}.
_ gakveTilis teqstis bolo abzacSi Camoyalibebulia farTobis mTavari Tviseba. ra
yofila es Tviseba? nana da baCo (pasiuri moswavleebi) gamovidnen dafasTan da daxazon amis
magaliTebi (Tuki romelimes gauWirdeba, saSualo mzaobis moswavles mivaSvelebT).
5. momdevno dRisTvis misacemi saSinao davaleba
(momdevno gakveTilis 15 wT) _ (naswavlis ganmamtkicebelia amocanebi # 1, 2, 3, 8;
isini Tan momdevno sakiTxis Semamzadebelicaa; xolo sxva amocanebi mxolod
momdevno Temis Semamzadebelia, an sxva naswavli sakiTxebis ganmamtkicebelia)
1. gaarkvieT, am nakvTebidan romlis
farTobia ufro meti da ramdenjer:
I. pirvelis Tu meorisa;
II. pirvelis Tu mesamisa;
III. mesamis Tu meoTxisa.
3. daxazeT kvadrati 1 sm ร 1 sm. Semdeg daxazeT:I. marTkuTxedi, romlis farTobi 3-jer metia am kvadratis farTobze;II. marTkuTxedisgan gansxvavebuli erTi iseTi nakvTi, romlis farTobi 6-jer metia daxazuli
kvadratis farTobze; III. iseTi marTkuTxedi, romlis farTobi 2-jer naklebia kvadratis farTobze.
2. SeadareT erTmaneTs aq daxazuli marT-
kuTxedebis farTobebi. marTkuTxedebis
nomrebi CawereT rveulSi am marTkuTxedebis
farTobTa klebis mixedviT.
4. gadaixazeT da SeavseT cxrili. amisaTvis
gazomeT Tqvens binaSi romelime or mopirdapire
kedels Soris manZili (aarCieT SedarebiT daSorebuli kedlebi) da Tqveni magidis sigrZe cxrilSi
miTiTebuli erTeulebiT:
manZili m, sm biji da terfi mxari da mtkaveli Tqven mier mogonili
kedlebs Soris
magidis sigrZe
gazomvisas gamoiyeneT saxazavi da Tqveni sxeulis saTanado nawilebi. Tuki gazomvisas romelime
erTeulebi Zalian mouxerxebelia, maSin nu gazomavT da cxrilSi Sesabamis adgilas CawereT niSani ? .
5. amoxseniT gantoleba: I.3132
964 :x ; II.
149154ยท
735 y .
6. evropas ukavia mTeli xmeleTis 1/14 nawili, azias _ 11/42 nawiliT meti evropaze, afrikas _ 2/9nawili, xolo amerikas _ 7/90 nawiliT meti, vidre afrikas. xmeleTis ra nawili ukavia oTxives
erTad?7. baRSi xexilis 2/7 nawili _ vaSlebia, amdenive _ blebi, 1/7 naw. _ msxlebi, amdenive _ komSebi da
kidev baRSi 3 xurmis xea. sul ramdeni Ziri yofila baRSi xexili? maTgan blebi? vaSlebi?8. moigoneT, CawereT da amoxseniT amocana farTobze.
- 92 -
am amocanebiT, farTobis cnebis gaazrebis paralelurad viwyebT momdevno sakiTxis, farTobis
gazomvis Semzadebas _ jer kidev mxolod Semzadebas. kidev paralelurad grZeldeba wiladebis
Temis ganmtkiceba. mag., amocana # 7 aris wina gakveTilis amocana # 8-is ganviTareba.
Tan arsad vCqarobT, radgan naswavl sakiTxs, farTobis cnebas (da agreTve wiladebs) mainc
sWirdeba ganmtkiceba da axal sakiTxebze gadasvla isedac ar iqneboda kargi.
amis Semdeg moswavleebi Semzadebulni iqnebian farTobis gazomvisa da farTobis erTeulebis
gakveTilis damoukideblad Sesaswavlad (kvlav masw.-is mier axsnis gareSe!). farTobis gazomvis
pirvel gakveTilze vixilavT zogadad nakvTis farTobis gazomvis sakiTxs (da ara maincadamainc
marTkuTxedisa), mag.:
0. vTqvaT, farTobis gasazomad avirCieT marTkuTxedi 1/3 sm ร 1 sm. iqneba Tu ara es mosaxerxebeli? risitoli iqneba iseTi kvadratis farTobi, romlis Cveulebrivad gazomili farTobi 15 kv. sm-is tolia?
mxolod amis Semdeg viwyebT marTkuTxedis farTobis gamosaTvleli wesis agebas. es sakiTxi ki
wiladebis gamravlebis sakiTxis paraleluradaa kargi. Tuki marTkuTxedis sigrZe-sigane mTeli
ricxvebiT gamoisaxeba, maSin misi farTobi Zalian advili gamosaTvlelia (nax. 1). rTuli
wiladebis SemTxvevaa (nax. 2).
nax. 2-ze TvalsaCinoa, rom
gamuqebuli marTkuTxedis
farTobia 8-jer 1/15 anu
8/15. es ki igivea, rac 2/3-isa
da 4/5-is namravli.
sxvaTa Soris, ganxiluli
amocanebi imasac gviCvenebs, Tu rogor bunebrivadaa Serwymuli ariTmetika da geometria: moswavle
Tan farTobsa da mis gazomvas swavlobs siRrmiseulad da Tan wiladebis naswavli sakiTxebi
ganumtkicdeba.
farTobisa da misi gazomvis Tema viTardeba momdevno gakveTilebzec, da a.S.
swored amgvari muSaobis Sedegad uviTardeba bavSvs wignze damoukideblad muSaobisa da
aqtiuri gaazrebis unarCvevebi, rac, Cveni azriT, aranakleb mniSvnelovania, vidre konkretuli
sakiTxebis codna.
am Temis dasrulebis Semdeg Catardeba jgufuri muSaoba (Sereuli, heterogenuri jgufebi)
gavzomoT Cveni saklaso oTaxis farTobi
moswavleTa erTi jgufi dafaze xazavs cxrils:
ori jgufi zomavs cxrilSi miTiTebul sidideebs, erTi jgufi ki angariSobs namravlebs.
Sedegebs pirveli jgufi Cawers cxrilSi.
`Sesworeba~ _ esaa oTaxis im nawilis farTobi, romelic marTkuTxedisgan ganasxvavebs oTaxis
iataks: Sesasvlel karTan zoli, minaSeni da sxva. misi gaTvaliswineba aucilebelia.
sxva dros, Sesaferis darSi, Catardeba aseTive
jgufuri muSaoba: skolis ezoSi miwis romelime nakveTis farTobis gazomva:
kv. nabijebSi, kv. metrebSi, arebSi; heqtarebSi.
amocanebis wyeba # 3, Temis damuSavebis nimuSi, klasi V
Tema: cilindri, III faza _ naswavlis ganmtkiceba da mravalmxrivi gamoyeneba.
sigrZe sigane namravli Sesworeba farTobi misi erTeuli
dm-ebSi
terfebSi
- 93 -
Cveneuli meTodika, jer erTi, stereometrias planimetriis paralelurad amuSavebs [$ 6.1], mag.,
cilindri wris paraleluradaa. meorec, sakiTxis swavleba I fazaSi Semamzadebeli amocanebiT iwyeba [$
2.1]. kerZod, cilindrisaTvis, esaa amocanebi wris Tvisebebis Sesaxeb da sxva (brunviTi sxeulebi da sxe-
ulis miReba nakvTis brunviT mxolod IX klasSi Semogvaqvs).
saxelmZRvaneloSi cilindris mxolod sqematuri naxazia. samagierod, gakveTilis teqsts saSinao
davalebis iseTi amocanebi axlavs, romlebic gulisxmobs rogorc sqematur, ise warmodgeniT
gaTvalsaCinoebas [$ 10.1]. am amocanebis umravlesoba momdevno gakveTilebzea gadanawilebuli, ariTmetika-
algebris sakiTxebs Soris, maT gasaxaliseblad.
1. warmoidgineT 4 fanqari: mrgvali wverwaTlili, mrgvali uxmari (wverwauTleli), kuTxovani
wverwaTlili da kuTxovani uxmari. romel maTgans ar aqvs cilindris magvari forma? ratom?
maSasadame, TvalsaCinoebis 1-l doneze namdvili nivTieri fanqrebi iyo, me-2 doneze _ fanqrebis naxatebi
(V-VI klasel bavSvs sulac ar uWirs fanqris gonebaSi warmodgena!), xolo me-3 doneze _ fanqrebis
warmodgeniTi xatebi. asevea sxva SemTxvevebSic.
2. warmoidgineT nivTebi: gaberili sacurao rgoli, Sededebuli rZis qila, Cveulebrivi boTli,
manqanis borbali, swori mili, xis kasri, xurda fuli (moneta), sanTeli, muTaqa, vedro. romel
maTgans aqvs cilindris magvari forma? ratom?
3. warmoidgineT, rom birTvi gakveTes organ, erTmaneTis gaswvriv ise, romerTerTi miRebul sxeuls fuZeebad aqvs ori erTmaneTis toli wre:
gaarkvieT, iqneba Tu ara es sxeuli cilindri. ratom?
4. warmoidgineT dauWreli Zexvi. rodesac Zexvs yiduloben, gamyidveli mas cerad
CamoaWris xolme naWers da wonis. aqvs Tu ara aseTnairad CamoWril Zexvis naWers
cilindris magvari forma? ratom? SeiZleba Tu ara Zexvis ise CamoWra, rom da-
axloebiT cilindruli formis naWeri miiRebodes?
5. nagebobebisa da ezoebis dasamSveneblad xSirad iyeneben cilindrisa da birTvis for-
mebs. ra SeiZleba iTqvas naxazze gamosaxuli cilindris fuZis diametrisa da birTvis
diametris Sesaxeb? daxateT amis magvari ori iseTi naxati, rom erTze cilindris fuZis
diametri meti iyos birTvis diametrze, xolo meoreze _ piriqiT.
mocemulia ramdenime cnobili xuroTmoZRvruli Zeglis suraTi. amocanaa:
6. am nagebobebSi moZebneT Semdegi geometriuli formebi: naxevarsfero, cilindri,
naxevarcilindri. amowereT TviTeuli am formis saxelwodeba da yovel maTgans gverdiT miuwereT
is ricxvi, romelic gviCvenebs, Tu ramdenjer Segvxvdeba am saxelwodebis forma naxatze
gamosaxul nagebobebSi (yvelaSi erTad).
gvaqvs sxvagvari aqtivobis davalebebic, magram amaze dro klasSi ar ixarjeba _ klasSi mxolod
namuSevrebi ganixileba erToblivi msjelobiT:
7. moZebneT Sin nivTebi, romlebsac daaxloebiT cilindris magvari forma aqvs da CawereT maTi
saxelebi.
8. aiReT qaRaldis furceli da sworad dagragneT igi cilindris gverdiTi zedapiris formis
magvarad. ra aklia mas cilindruli zedapiris magvar formamde?
rogorc vxedavT, Cven udides mniSvnelobas vaniWebT sakiTxis intuiciur wvdomas. magram, zomierad,
gvaqvs amocanebi Zalian faqiz, wmindad maTematikur, Rrma sakiTxzec, mag.:
9. warmoidgineT, rom fuZeebis gaswvriv gakveTeT ara cilindri, aramed misi zedapiri. ra nakvTs
miiRebT gakveTis adgilas? {ara wres, aramed wrexazs!}garda amisa, mravlad gvaqvs cilindris cnebis sxva naswavl geometriul cnebebTan damakavSirebeli
amocanebic, mag.:
10. warmoidgineT, rom sfero mTlianadaa cilindrSi moTavsebuli da aris udidesi amgvari
sfero. SemdegTagan romeli daskvnis gamotana SeiZleba aqedan?
a) sfero exeba cilindris erTaderT fuZes;
b) sfero exeba cilindris orive fuZes;
g) sferosi da cilindris fuZis radiusebi tolia;
d) sferos radiusi cilindris simaRlis tolia;
e) sferos da cilindrs erTnairi moculoba aqvs.
- 94 -
dakavSireba ariTmetikasTan:
11. warmoidgineT, rom dabal cilindrs daadges meore, maRali cilindri, romelsac pirvelis
toli fuZe aqvs, xolo simaRle _ pirvelis simaRleze samjer meti. cilindrebis fuZeebi
erTmaneTs SeuTavses. ra sxeuls miiRebdnen? patara cilindris simaRle ra nawilia miRebuli
sxeulis simaRlisa? xolo didi cilindris simaRle ra nawilia miRebuli sxeulis simaRlisa?
es amocanebi araa miyolebiT. uSualod cilindris SemoRebis Semdeg, imave gakveTilis III fazaSi,
mxolod 2 maTgania, kidev 2 momdevno saSinao davalebaSia, xolo danarCenebi gadanawilebulia momdevno
gakveTilebSi, zogi _ Tveebis Semdegac.
yuradReba mivaqcioT, rom amdeni, 11 amocana cilindris mxolod cnebas eZRvneba! cilindris radiusi,
diametri da simaRle _ calke sakiTxia. am sakiTxsac mravali amocana eZRvneba, magaliTad:
12. saklaso TamaSisas _ `tyuilia Tu marTali~: 1) cilindris radiusi misive diametris naxevaria;
2) zogi cilindris mdebareoba iseTia, rom misi simaRle sigrZes hgavs;
3) arcerTi cilindris simaRle araa misi diamtris toli; ... da a.S.
Cveneuli meTodikisTvis kidev erTi sakiTxia Zalian mniSvnelovani _ magaliTebis saxeobani. pirveli,
Cveulebrivi saxea cnebis dadebiTi magaliTebi, cilindris SemTxvevaSi, mag.: mrgvali kasri, konservis
qila, morgvi da sxva. meore saxea uaryofiTi magaliTebi: burTi, borbali, konusi, 8-waxnaga gumbaTi
(rogoric aqvs, mag., mcxeTis jvarsa Tu atenis taZars). ese igi, saWiroa garkveva: eseni _ cilindrebia,eseni ki _ araa cilindrebi. magram arc esaa sakmarisi. saWiroa agreTve kidura, ukiduresi, anu ara-tipuri magaliTebis garCeva, raTa kargad moixazos cnebis sazRvari. cilindris SemTxvevaSi, mag.:
13. CamowereT, romel nivTebs aqvs badros magvari forma:rogorc vxedavT, badros simaRle gacilebiT naklebia, vidre misi diametri.
miaxloebiT gamoTvaleT, Tqvens mier dasaxelebul erTerT
nivTs ramdenjer naklebi aqvs simaRle, vidre diametri. axla
warmoidgineT amis sapirispiro Tvisebis mqone cilindri: romlis simaRle daaxloebiT
asjer metia, vidre diametri. romel nivTs aqvs daaxloebiT am cilindris magvari forma?
ese igi, kidura dadebiTi magaliTia iseTi cilindri, romelic ar hgavs cilindrs, romlis
cilindrad aRqma mraval adamians gauWirdeba. Tanac, raki cilindri fuZeze ar dgas, Zneli gasaaz-
rebelia, romelia cilindris simaRle da romeli _ diametri.
sapirispiro mxriv, kidura dadebiTi magaliTia iseTi cilindri, romlis simaRlea gacilebiT didi
diametrTan SedarebiT, mag., grZeli wvrili mrgvali Rero. aseve, kidura uaryofiTi magaliTia iseTi
sxeuli, romelic araa cilindri, magram hgavs cilindrs, mag., 12-14-16-waxnaga gumbaTebi (rogoric aqvs,
mag., nikorwmindas, gelaTs, metexsa Tu martvilis taZars). yvela aseTi magaliTi unda gairCes.
VII-VIII klasebSi es sakiTxebi bunebrivad erwymis algebras _ saTanado formulebis gamoyeneba.
kavSirdeba agreTve fizikasTan _ kargi amocanebia:
14. mocemulia navTis kuTri wona _ ... ... gamoTvaleT, ras iwonis is navTi, romelic Caeteva 2 m
simaRlisa da 70 sm radiusis sigrZis mqone cilindrul avzSi.
cotaTi rTuli, saazrovno, arastandartuli amocana:
15. gaarkvieT, rogor Seicvleboda wina amocanis pasuxi, avzs sqeli, 5-santimetriani fskeri, kedlebi dasarqveli rom hqonoda. sarqveli rom ar hqonoda (anu, avzi TavRia rom yofiliyo)?
dabolos, TvalsaCinoebis umaRlesi gamoyenebaa logikuri sqemebi. kerZod, Zalian kargia geometriuli
sxeulebis TvalsaCino saklasifikacio sqemebi (xisebri diagrama da agreTve venis diagramebi), romlebzec
TvalsaCinod gamoCndeba, ra adgili ukavia cilindris cnebas sxva stereometriuli sxeulebis cnebebs
Soris da ra logikuri mimarTebebia am cnebebs Soris (IX-X kl).
16. marTkuTxedi cilindri, samkuTxedi ? ,
? wakveTili konusi, ? ?
17. gaarkvieT, SemdegTagan romelia mcdari da ratom:a) wakveTili piramidebisa da prizmebis simravleebi TanaukveTia;
b) birTvebis simravle elifsoidebis simravlis qvesimravlea;
g) yoveli kubi aris wesieri prizma;
d) fuZeSi marTkuTxedis mqone marTi prizmebisa da fuZeSi rombis mqone marTi prizmebis
- 95 -
simravleTa TanakveTa _ fuZeSi kvadratis mqone marTi prizmebis simravlea;
e) cilindrebis, konusebis (maT Soris wakveTilebis), elifsoidebis, birTvebisa da sferoebis
simravleTa gaerTianeba _ brunviTi sxeulebis simravlea;
v) cilindrebis simravle da wakv. konusebis simravle TanaukveTia.
18. wesieri mravalkuTxedi wre, wesieri prizma ?, wesieri piramida ?
19. gaarkvieT, stereometriul cnebaTa SemdegTagan romelsameuls SeiZleba Seesabamebodes am sqemaze (venis diagramaze)
gamosaxuli K, T da E areebi _ Sesabamisad:
a) prizmebi; marTi prizmebi; kubebi;
b) cilindrebi; brunviTi sxeulebi; prizmebi;
g) mravalkuTxedis brunviT miRebuli sxeulebi; cilindrebi; konusebi;
d) mravalkuTxedis brunviT miRebuli sxeulebi; cilindrebi; birTvebi;
e) piramidebi; wakveTili piramidebi; tetraedrebi.
v) cilindrebi; brunviTi sxeulebi; sferoebi.
20. am saklasifikacio sqemaze(xisebr diagramaze) samjeraa
`sxvebi~. moifiqreT, SemdegTagan
romeli sameuli gamodgeba am
sami `sxvebis~ konkretul
magaliTebad. pasuxebSi _ niSani
aRniSnavs sityvas `dadgmuli~
(erTi sxeuli dgas meoreze):
a) kubze _ birTvi; kubze _ cilindri; cilindrze _ piramida.
b) kubze _ konusi; kubze _ piramida; cilindrze _ konusi.
g) cilindrze _ birTvi; cilindrze _ konusi; konusze _ birTvi.
d) cilindrze _ sfero; cilindrze _ konusi; konusze _ sfero.
e) kubze _ piramida; kubze _ eqvskuTxa prizma; wakv. prizmaze _ samkuTxa prizma.
v) kubze _ konusi; kubze _ piramida; wakv. konusze _ wakv. piramida.
amgvari amocanebi saukeTesod aviTarebs logikur azrovnebasac da sivricTi warmodgenis unarsac.
cilindris cnebis amgvari aqtiuri da mravalmxrivi damuSaveba kargad gviCvenebs imasac, Tu ras niSnavs:
gaRrmavebuli swavleba; III fazis gagrZeleba wlebis ganmavlobaSi [$ 2.1].
amrigad, aqtiuri mzaobis meTodikaSi, warmodgeniT TvalsaCinoebaze da Semamzadebel amocanebze
dayrdnobiT, moZebnilia is oqros Sualedi, romelic zomierad Seuwonis erTmaneTs pedagogikis or
sapirispiro mimarTulebas [$ 10.1]: TviTon is arc sqolastikuria (Tumca, inarCunebs mecnierul siRrmesa
da cnebiT azrovnebas) da arc calmxrivad pedocentrulia (Tumca aZlierebs humanistur midgomas,
praqtikulobasa da gamoyenebiT mxareebs).
gakveTilebis wyeba, # 4, klasi VI, maTametikisa da wignierebis gaerTianebuli
gakveTilebi saswavlo profilisa da interesebis mixedviT diferencirebiT
แแแแแแแแแแแ แแแแชแแแก แกแแแแคแแ แแแชแแ แขแแฅแกแขแแก แฌแแแแแฎแแแกแ แแ แแแแแแ-แแแแแ แแแแก แแฅแขแแแแแแแก; แแแ แแแแ แแฅแขแแแแแแแกแแแแแแแขแแแแก แกแขแแแแแ แขแแก แแแฎแแแ แแแแแ แแฃแแแแแแแ: แแ แแแแแขแแแ (แแแฅแแแแแแแแ แ แแชแฎแแแแแ), แแแแแแแแแแแ แแแแแแแ แแแแแแ แ; แแแแแแขแ แแ แแ แกแแแ แชแแก แแฆแฅแแ; แแแแแชแแแแแแก แแแแฃแจแแแแแ; แแแแชแแแก แแแ แแแแ แแแแแแแแขแแ แแแแกแ แแแแแแแแแก แแแแชแแแแแก, แแแ แแแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแงแแแแแแแก. แแแแก แแแแ แแแแแก แแแแฃแจแแแแแ แฎแแแแ แซแแแแแ _ แแ แแกแ แฃแแ4 แแแแแแแแแแก แแแแแแแแแแแจแ แแแแแ แแแแ.
แแแแ: แ แแแแฃแ แ แแแแแ แแแแก แแแแแแแ แแแ แแกแแแแ แแแแแกแแฎแฃแแแแแก แกแแจแฃแแแแแแ; แแ แแฅแขแแแฃแแ แแแแแแแแขแแ แแแ(แแแแชแแแแแ แแแ แแแแขแแแแก แแแแแแแแ); แกแแแแคแแ แแแชแแ แขแแฅแกแขแแก แฌแแแแแฎแแ แแ แแแแแแ-แแแแแ แแแ; แแแคแแ แแแชแแแกแแแแฃแจแแแแแ. แแ แ: แกแแแแแกแ แแฃแจแแแแ _ 3,5 แแแแแแแแแ (160 แฌแ) _ แแแแแแแขแแแแกแ แแ แฅแแ แแฃแแ แแแแก แแแแแแแแแแแ:
แแแ แแแแ (แฌแแแแ แ) แแแแแแแแแแก แแแแ 15 แฌแ; แแแแ แ แแฆแแก, แแแแ แ แแแแแแแแแแก 45 แฌแ; แแแแ แ แแฆแแกแแ, แแแกแแแ แแแแแแแแแแก 25 แฌแ; แแแกแแแ แแฆแแก, แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก 45 แฌแ;
K
E
T
stereometriuli sxeulebi
mravalwaxnagebi brunviTi sxeulebi sxvebi
prizmebi piramidebi cilindrebi konusebi wakv. konusebi
wakv. piramidebi sxvebi elifsoidebi sxvebi
birTvebi ____ sferoebi
- 96 -
แแแแแฎแ แแฆแแก, แแแฎแฃแแ แแแแแแแแแแก 30 แฌแ. (แแ แแกแแแแแแแแแแ แแ แ: แฌแแแแ แ, แจแฃแแแแแฃแ แ แแ แแแแแแแแแกแแจแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแแฃแแแแแแแแ แแแชแแแแแแแแ _ 35 แฌแ + 35 แฌแ + 35 แฌแ).
แแแแแแแแแแก แแแแแแ/แจแแแแแแแ: แแแกแฌแแแแ แฌแแแแแแฎแแแก แแแแฎแแแแแแ 600-แกแแขแงแแแแ แกแแแแคแแ แแแชแแ แขแแฅแกแขแก แแแแแแแแ แแแก แแแก; แแแกแฌแแแแ แแฆแแแแฉแแแก แ แแชแฎแแแ แแแแแแแแแแแ แแแแก, แ แแก แกแแคแฃแซแแแแแแช แแแแแแก แแแแแ แแขแฃแ แ แแชแฎแแแแกแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแก, แจแแแแแแแก แแ แแแแแขแแแชแแแก แจแแกแแแแแแก แคแแ แแฃแแแแก; แแแแแแงแแแแแก แแแ แแ แแแแแขแแแแจแ,แแแแแแขแ แแแจแ, แงแแคแ-แชแฎแแแ แแแแจแ. แแกแฌแแแแแก แฌแ แแฎแแแแก แแแงแแคแแก 3, 6, 8, 12, 16 แขแแ แ แแแแแ แคแแ แแแแกแ แแ แกแแฎแแแแแแกแแแแแงแแแแแแ. แแแแแขแแ แแกแแแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแงแแแแแแ แงแแคแ-แชแฎแแแ แแแแจแ; แแกแฌแแแแแก แกแแแ แขแฃแแ แขแฃแ แแแ แแกแชแฎแ แแแแก แจแแแแแแแก; แแแแแแ แแแก แคแแ แแฃแแแก แแแแแแแแแก แแ แแแ แฌแแฃแแแแแ แแแแแแแขแแแแก แฃแแแแแก แแแแแงแแแแแแแจแแกแแซแแแแแแแแจแ; แแแแแแแแแก แแแแจแแแแแแแแ แแแแแฏแก แจแแแแแแแจแ แแแแแแแแขแแ แแแแก แกแแแแแฎแแแแก แกแฌแแแแแกแจแแกแแแแแแแแแแ. แแแแแแแขแแแแก แกแแแแแฎแแแก แแแแแแแจแแ แแแก แฌแแแแแแ แแแแกแแแ.แแแแแแแแแ แจแแแแแแแ: แแแกแฌแแแแแก แแแแฃแแขแแแชแแแแ แแกแขแแ แแฃแแ แแแ แแฆแแแแก (แฌแแแแแก) แจแแกแแแแแแกแ แกแแฃแแฃแแแกแ แแแกแแฃแแฃแแแก แแแแแฎแแแแก แแแซแแแแแกแ แแ แแ แแแ แแฆแก แจแแ แแก แแแกแฃแแ แฌแแแแแก แแแแแแแแแก แฃแแแ แฉแแแแแแ; แแแแแแแขแแแฃแ แแแแแแแแ แแแแก แฃแแแ แฉแแแแแแ แแแแแแแ แแ แแแ แซแแ แแแแแแ แฃแแ แคแแ แแฃแแแก แแแแแงแแแแแแก แแฎแ แแ. แแแกแฌแแแแแแแแแแแ แแแก แฌแ แแฎแแแแกแ แแ แฅแแ แแแก แชแแแแแแก. แแแกแฌแแแแแก แแแแฃแแแแแ แแแแ แแแแแแแ แแแแแแฃแ แ แแแ แแแแแแแกแ แแแแแกแแแแแก แแแแแขแแแแก, แแแ แซแแ แแ แแแคแแ แแแชแแแก แแแแฃแจแแแแแแก แฃแแแ แฉแแแแแแ.
แแกแ แกแขแแแแแ แขแ: แแแ.VI.4. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แ แแแแแแแแแแแก, แแแ แแแแขแแแแก แแแแแแแก แแแแแแแ แแแแแแแก แแแแแงแแแแแแ. แกแฌแแ แแ แแงแแแแแก แขแแ แแแแแแก "แงแแแแ", "แงแแแแแ", "แแแแแแฃแแ", แแแแแแ แแ", "แแ แ-แแ แแ","แแ แชแแ แแ", "แแ แแแแแ แแ" แ แแชแฎแแแแแก แแแแกแแแแแแก แแ แ แแชแฎแแแ แแ แแแแแแแแแแก แจแแ แแก แแแแแ แแแแแแแก แแแแแแแแกแแก; แแงแแแแกแแแแแแ-แแแ แซแ แขแแแแก แแแแแ แแแแแแก แแ แแกแฏแแแแแก แ แแชแฎแแแแ แแแแกแแแแแแก/แ แแชแฎแแแแ แแแแแแแแแแแ แแแแก แจแแกแแฎแแ แแแชแแแฃแแแแแแแแแแฅแแแแแก แแแ แแแแฃแแแแแก แจแแกแแฎแแ; แแแ.VI.5. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แกแแแแแแแแก แจแแ แแก แแแแแแแแแแฃแแแแแก แแแแแกแแฎแแ,แแแแแ แชแแแ แแ แแฆแฌแแ แ. แแแแแแ แชแแแก แกแแแแแแแแก แจแแ แแก แแแแแแแแแแฃแแแแแก แแแแแแกแแฎแแแ แชแฎแ แแแก: แชแแแแแแก แแแแแแแแฃแแแแแแจแแแแแแแแแแกแแแแแก แแแฃแแแแก แแแแแแแแแแฃแแ แกแแแแแแก แแแแแขแแแแแฃแ แแแแจแแแแแแแแแก. แแแ. VI.6. แแ แแแแแแแกแแแแแญแ แแกแแก แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแแ แฃแแ แแแแแกแแฎแฃแแแแแก แจแแแแแแ, แแแแแ แขแแแแแ. แแแแแแก แ แแแแฃแ แ แแแแแ แแแแก แแ แแแกแแกแแขแงแแแแ แ แแฆแฌแแ แแก แจแแกแแแแแแก (แฌแ แคแแแ แแแแแกแแฎแฃแแแแแ แแแชแแแฃแ) แขแแแแแแก, แฃแขแแแแแแก แแ แแแแขแแแแแแก;แแแ. VI.12. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแกแแแ แแแ แแ แ แแแแแแแแ แแแ แแแแแชแแแแแแก แแแฌแแกแ แแแแแ แแ แแแแชแแแแก แแแแกแแฎแกแแแแแ
แฎแแแกแแงแ แแแ แคแแ แแแ แฌแแ แแแแแแแ. แแฎแแแแก แแแแกแแแ แแ แแ แ แแแแแแแแ แแ แแแแแชแแแแ แแแแกแแคแแแแชแแแก (แแแ แแ แแแกแแ แแขแฃแแ แแแแแแแแ แแ แแแแแชแแแแ แแแขแแ แแแแแแแ แแแฏแแฃแคแแแแกแ) แแ แแแแแแแแแก;
แแแ. VI.13. แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแกแแแ แแ แแ แ แแแแแแแแ แแ แแแแแชแแแแ แแแขแแ แแ แแขแแชแแ แแ แแแแแแแขแแ แฃแแ แแแแแแแ.แแแฃแแแแก แแแแแชแแแแ แแ แแแแแแแแแจแ แแ แกแแแฃแ แแแแแแแแแแแ แแแแแก แแ แแกแฏแแแแแก แแแแแ.
แกแแญแแ แ แฌแแแแ แ แชแแแแ แแ แฃแแแ แฉแแแแแแ: แแแแฎแฃแแแแก แแ แแแแแแ แแแก แแกแแแแแ แแแแ แจแแกแแคแแ แแกแ แแแฅแกแแแแกแ แแแจแแแแแ แกแแก แแฅแแแ แแแแฎแแแแแแ 500-แกแแขแงแแแแ แกแแแแคแแ แแแชแแ แขแแฅแกแขแก; แแฅแแก แแแแแแแแแชแแแแแ แแแฅแกแแแแแ แแฃแจแแแแแกแกแแฌแงแแกแ แฃแแแ แฉแแแแแแ. แแชแแก: แ แแชแฎแแแก แแแแแ แแขแแก แชแแแแ แแ แแแแแ แแขแแก แคแแ แแแแแก แแแแแแแแ; แแ แแแแแแฃแแฎแแแแก,แแแแแแแแแแก, แ แแแแแกแ แแ แฅแแ แแแก แชแแแแแแ; แแแ แขแแแ แ แแชแฎแแแก แชแแแแ; แคแแ แแแแกแ แแ แกแแฎแแแแแแก แแแแแงแแแแแแแฌแ แแฎแแแก แงแแคแก 2 แแ 4 แขแแ แ แแแแแ; แแชแแก แแฎแแแ แฌแแแแแฆแ แแชแฎแแแก แกแแฃแแฃแแแแแ แแ แแ แแแแแก, แแแ แแแแแแ แกแแฃแแฃแแแกแแแ แแแแแแ แแแแแฎแแแจแแ แแกแแแฃแแก แฌแแแ; แกแฌแแ แแ แแแแแแ แแแก แ แแแแก แแแแแแแแแแแ แ แแแแ แซแแแแแแก แแฆแแแแจแแแแแแแจแแแก _ แกแแแฌแแ แขแแแก ... ; แแชแแก แขแแ แแแแแแ: โแแ แแแแแขแแแโ, โแแแแแแขแ แแโ, โแคแแ แแฃแแโ; แแแแแแก แฃแแแ แขแแแแก แแกแแแแแแแแกแแฎแฃแแแแแก, แ แแแแแแช แ แแแแฃแ แแแแแ แแแแก แแฆแฌแแ แก; แแ แแฅแขแแแฃแแแ แแงแแแแแก แแแแ แแแแแแแแแแก แแแแกแแแแก แแแฃแจแแฃแซแแแ แคแ แฉแฎแแแแแแก แแแฎแกแแ (แแแ แจแแ แแก _ แแแ แขแแ แแกแแแ แแแแแกแแฎแฃแแแแแจแ); แฎแกแแแก แแแ แขแแ แแแแแแแแขแแ แฃแแแแแชแแแแแก _ แแแแแแแแแแแ แ แแแแแแแก แแแแแงแแแแแแ แแแแแแแแแก แงแแแแ แจแแกแแซแแ แแแ แแแแขแแก แ แแแแแแแแแก, แ แแแแกแแชแแก แ แแแแแแแแ แแ แแฆแแแแขแแแ 25-แก.
แแแแแแแแแแแแก แแขแแแแแ (แแแแแก แแแแฃแจแแแแแแก 11 แแขแแแ)
1) แแแ แแแแ (แฌแแแแ แ) แแแแแแแแแแก แแแแ 15 แฌแ แฌแแกแแแแแฎแ แขแแฅแกแขแแก แจแแแแแแแแ:I แคแแแ _ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแแแแ
แแแแ แ แแฆแแก, แแแแ แ แแแแแแแแแแก 45 แฌแ:2) แแแแ แ แแแแแแแแแแก I แคแแแ: แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแ (แแ แ 20 แฌแ) _ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแขแแ แแฅแชแแฃแแ แแฃแจแแแแ3) แแแแ แ แแแแแแแแแแก II แคแแแ: แแแแแแแแแแแจแ (แแ แ 7 แฌแ) _ แขแแฅแกแขแแก แฎแแแแแฆแแ แฌแแแแแฎแแ แแแแกแจแ4) แแแแ แ แแแแแแแแแแก III แคแแแ: (แแ แ 18 แฌแ) _ แขแแฅแกแขแแก แแแแแ แแแ แแ แแแแแชแแแแแแก แแแแฃแจแแแแแ:
แฏแแฃแคแฃแ แ แแฃแจแแแแ _ แแแคแแ แแแชแแ แแแฃแแ แแแแแแแแแแ แฌแแแงแแแแ แฃแแแ แแก แขแแแแแแก แแแฎแแแแแแแแแ แ แแฆแแกแแ, แแแกแแแ แแแแแแแแแแก 25 แฌแ:
5) แฏแแฃแคแแแแก แแแแฃแจแแแ แแแแก แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแฎแแแแ (แแฃแแ แฌแแกแแแ แ แแ แแแแแขแแชแแแแ แแแกแฃแ แก,แแแจแแ แแก 25 แฌแฃแแ แแ แแฅแแแแ แกแแแแแ แแกแ แแ แแแแแ แแแแแแแแแ แแแฎแแแแ แกแแญแแ แ).
แแแกแแแ แแฆแแก, แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก 45 แฌแ:6) III แคแแแแก แแแแ แ แแแฌแแแ = แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก I แคแแแ: แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแ
- 97 -
แแ แแแฆแ แแแแแแ (แแ แ _ 20 แฌแ) _ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแขแแ แแฅแชแแฃแแ แแฃแจแแแแ7) แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก II แคแแแ (แแ แ _ 15 แฌแ): แคแแ แแฃแแแแแก แจแแแแแแ, แแแแขแแแชแแแ แแ แแแแแ แแแ _ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแแแแ; แจแแแแฏแแแแแแแ แขแแฅแกแขแแก แฎแแแแแฆแแ แฌแแแแแฎแแ แแแกแฌแแแแแก แแแแ .8) แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก III แคแแแ: แแแกแฌแแแแ แคแแ แแฃแแแแแก แแแแแงแแแแแแก แแแฌแงแแแ (แแ แ _ 5 แฌแ):
แฌแงแแแแแแจแ แแฃแจแแแแ _ แแแกแฌแแแแแแ แแแขแแ แแกแแแแก แแแฎแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแฃแแ แแแแแแแแ.9) แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก III แคแแแ: โแแแกแแกแแแแแ แแแ แแแแแแกโ แจแแแกแแแ แแแกแฌแแแแแแ แแแแ , แแแแ
แแแแแจแแคแแกแแแ; แแแกแฌแแแแแแแแกแแฃแแ แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแแ แจแแคแแกแแแ (แแ แ _ 5 แฌแ).แแแแแฎแ แแฆแแก, แแแฎแฃแแ แแแแแแแแแแก 30 แฌแ
10) III แคแแแ: แแแกแฌแแแแ แคแแ แแฃแแแแแก แแแแแงแแแแแแก แแแกแ แฃแแแแ (แแ แ _ 15 แฌแ):แฌแงแแแแแแจแ แแฃแจแแแแ _ แแแกแฌแแแแแแ แแแขแแ แแกแแแแก แแแฎแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแฃแแ แแแแแแแแ.แแแแฃแจแแแ แแแแก แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแ แฉแแแ.
11) III แคแแแ: แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแ (แแ แ _ 15 แฌแ); แฃแแฃแแแแจแแ แแแ โแแแกแแกแแแแ แแแ แแแแแแโ.
แจแแคแแกแแแแก แ แฃแแ แแแ:
แแแแแแแแแแแแก แแแฌแแ แแแแแแแ แแแแแแแแแกแแแฅแขแ, แกแแจแแแแ แแ แกแแแแแกแ แแแแแแแแแแ แแแแชแแแแแแแ แแ แแแแชแแแแแแก แแแ แฉแแแ
1) แแแ แแแแ (แฌแแแแ แ) แแแแแแแแแแก แแแแ 15 แฌแ แฌแแกแแแแแฎแ แขแแฅแกแขแแก แจแแแแแแแแ:I แคแแแ _ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแแแแ
แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแฅแแแก แแ แแแแแก แแแคแแกแแแ. แแแคแแกแแแ แซแแ แแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแ แแฃแจแแแแแ, แแแกแฌแแแแแแแแแแฎแแแแ แแแแแแแแแแก แแซแแแแก, แแแแแแ แแ แแแ แฎแแแก แจแแ แแก แแแซแ แแแแก, แแแแแแแแฃแแแฃแแ แฃแแฃแแแแจแแ แแแก แแแกแแกแฌแแแแ แฎแแ แแฉแแแแก แแฌแแแแก แแแกแฌแแแแแแแก.1. แแฅแแแ แแฃ แแฆแแแแแฉแแแแแ แแแแกแแ แ แแแแ? แแแแแแกแแแแก แแฃ แแแแแแแแ แแฅแแแแ แแฆแแแฉแแแแก แจแแกแแฎแแ?2. แแฃ แแชแแ, แ แ แแ แแก แแแกแแ แแแขแแ แแ? แ แแก แแแแแ แแแแแแ แแแกแแ แแแขแแ แแแแแ? แ แแแแแ แแแชแแแแ แแแแแฃแจแแแแแ แแแกแแ แแแขแแ แแแจแ?
แแแแแ แแคแแแ? แแกแขแ แแแแแแแ? แแกแขแแ แแแแกแแแ? แคแแแแแแกแแแ?แแแแแ แแคแแ, แแกแขแ แแแแแแ, แแกแขแแ แแ, แคแแแแแ แแ แแแชแแแแ แแแแแแแแ แ แแแแแแแ แกแแแฃแแแแแกแแแขแงแแแแ?
แแแแแ แ แแแแแ แกแแแฃแแแแแกแแแขแงแแแแ แแแชแแแแ แแแ แแชแแ?แแแกแแ แแแขแแ แแแแแ แซแแแแ แ แขแแแแกแแแแแแแ แแแแแ แแแแแแ แแแแแแขแแแกแ แแ แแแ แกแแแแแแแแก. แแฃแจแแแแแแฃแแแขแแกแแ แแกแขแ แแแแแแแ. แแกแขแ แแแแแแ แแแชแแแแ แแแ, แ แแแแแแช แแแแแแขแแแกแ แแ แแแ แกแแแแแแแแกแจแแแกแฌแแแแแก. แกแแแฃแแแแแกแแแขแงแแแแ แแแชแแแแ แแแแ แแแแแ แแคแแ, แแกแขแ แแแแแแ, แคแแแแแ, แแแแแแแแ... แฎแแแแแแแแแแขแแแ แแ แแกแขแแ แแ _ แแ แ.
3. แจแแแแแแแแ แฌแแแแแแแแแ, แ แแแแแจแแช แแฅแแแแ แกแแขแงแแแแ โแแแฌแแแแฃแ แแแโ แแ โแแแแแฅแแแงแแแแโ.แ แแก แแแจแแแแก แกแแขแงแแ โแแแแแฃแฅแแแงแแแแแแโ?
4. แจแแแแแแ แกแแขแงแแแแแแแ แ แแแแแ แแ แแแ แแแแกแฎแแแแแแฃแแ แแ แแแแแ แฉแแฃแแ แแแแแ แฉแแแ แฎแฃแแแกแแขแงแแแกแแแแ? แแ แจแแแแแฎแแแก แแ แ แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแกแฃแฎแ แจแแแซแแแแ แฐแฅแแแแแก: แแแแฉแแแ, แ แ แแแแแกแแแ แแกแแแแแแแแฎแแแแแ แกแแขแงแแแแก. แแ แแแ แแแซแแแแแ:
แแแแแแ แแแแ แแแแแแแแ แแแแ แแกแฎแแแ แแแแชแแแ แแแแชแแแคแ แแแ แจแแชแแฃแแแแแแแแแ แกแแขแงแแแแแแแ แแแซแแแแแ แแก, แ แแแแแก แแแแจแแแแแแแแ:
แแแแแแแแแแก แแแกแแฆแฌแแแ แจแแแแแแแแก แแแแแแแขแแ แแแ แจแแกแ แฃแแแแแก แฎแแ แแกแฎแ แแแฆแฌแแแแก แแแแ
แฃแงแแงแแแแแ แแ แแแแฅแแแกแฃแจแแชแแแแแ
แแแฆแแแ
แงแแงแแแแแ แแ แแแแฏแแ แจแแชแแแแแแแ, แแแแ:แแแแแงแแคแแแแแก แแฎแแแแ 2แแ 3 แแแแแแแขแแ แแกแแแแฎแแแแแแก
แกแแจแฃแแแ
แแฆแแแแฉแแแก แแแแแแแแแแแ แแแแก, แแแแแแก แจแแกแแแแแแก แแกแแแแแแแแกแแฎแฃแแแแแก, แแกแแแฃแแแแก แแแก
แแงแแแแแก แจแแแแแแแ แคแแ แแฃแแแแก แแแ แแแแขแแแแกแแแแแแแก แแแแชแแแแแจแ
แแแแแฃแแแ แแ แกแแแแแแแ แแแขแแแแชแแแ (แกแแกแแแแแแแจแแแแแก แจแแกแแแแแแกแ แแแฃแแแแแก แแแชแแแ) แแแแฎแฃแแแแกแซแแ แแแแ แขแแฅแกแขแแแก แแ แแแแชแแแแแแก แขแแฅแกแขแแแก
แแแกแฃแฎแแแก แขแแฅแกแขแแก แแแแแแ-แแแแแ แแแแก แจแแแแแฎแแแแก,แแแแแแฅแแก แแแ แแแแฃแแ แแแกแแแแแแ, แแแกแฃแฎแแแกแแแแแแฃแ แแ แแกแแแฃแแแแก (แขแแฅแกแขแแ แแแแงแแ แแแแ)
แแแญแแ แแแแแแ แแ แแ แแแแแแจแแชแแแแแ, แแแแแแแแแงแแคแแแแแก แแฎแแแแ 1แแแแแแแขแแ แแกแแแแฎแแแแแแก
แแแแแแ
- 98 -
แแแแแแ แแแแ+แแแจแขแแ แแแ; แแแแแแ แแแแ+แแแแแแแ.1) แแ แแแแขแแแแก แแแแแกแแแ แแกแแ แแแแแ แฉแแฃแแแ แจแแชแแฃแแแแ, แ แแแแแ แจแ- แแแแกแแ แแ แแฅแแก, แฎแแแ แงแแแแ แแแแแ แฉแแแก
แแ- แแแแกแแ แแ.
2) แกแแขแงแแแก แแแแจแแแแแแแแก, แจแแแแแ แกแแก แแแแแกแแแ แแกแแ แแแแแ แฉแแฃแแแ แแแแ แแกแฎแแแ, แ แแแแแก แแแแจแแแแแแแแแฃแคแ แแกแแก แแ แแแ แฃแแชแ แแกแแ. แฎแแแ แงแแแแ แแแแแ แฉแแแแก แแแแจแแแแแแแ แแแแแแ แแแแแก แฃแแแแจแแ แแแแ: แแแแแแแแ _แแแแแแ แแแแ+แแแจแขแแ แแแ; แแแแชแแแ แแ แแแแชแแแคแ แแแ _ แซแแแแ แ แแแแแแ แแแแ; แจแแชแแฃแแแแ _ แแแแแแ แแแแ+แแแแแแแ.
แฌแแแแ แ แแแแแแแแแแ แแแชแแแฃแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแ
1. แฌแแแแ แ แแแแแแแแแแ แแแกแฌแแแแ แกแแแแแฎแแก แแแแแแแขแแแชแแแแแ.2. แแแฅแแแ, แแแกแฃแ แก แขแแแแแแ แแ แแ แแแแแแฃแแฎแแแแก แแแแแ แแแฃแแแฎแแแแ. แแแแกแแแแก แฌแ แแฎแแแ แฃแแแ แแแแงแแ แจแแกแแแแแแกแแ แแแแแแแแแก แขแแ แ แแแแแแแ. แแแแแแแแแ, แแ แแแฎแแแแแแ แฉแแแกแขแแแแแแ แแ แแฅแแกแแฃแแฎแแแ แแ แ แแแแฃแแฎแแแ:
แแแฅแแแ, แแแแฅแแก แคแแ แแแแ แแ แกแแฎแแแแแ. แฌแ แแฎแแแแก แแแงแแคแ แงแแแแแแแแแแแแแ 2, 4, 8 แขแแ แ แแแแแ. แ แแแแ แฃแแแ แแแแแแแแแ แแก? แแแฎแแแแ แขแแแแแแ แแ แ แแแแฃแแฎแแแ.
แแแแแแแ แแแ แแแแ 6 แขแแ แ แแแแแ แแแงแแคแ. แแแแกแแแแก แฌแ แแฎแแแแ แฃแแแ แแแแแแจแแแ 6 แฌแแ แขแแแ แแกแ,แ แแ แแแแแแแ แฌแแ แขแแแแแก แจแแ แแก แแแแซแแแ แ แแแแฃแกแแก แขแแแ แแงแแก (แแแฃ แคแแ แแแแ แ แแแแฃแกแแก แขแแแแแแแแแแแแ แฃแแแ แแแแจแแแแ). แจแแแแแ แแ 3 แขแแ แ แแแแแแแช แจแแแซแแแแ แแแงแแคแแก. แแแงแแคแแก แฌแแกแ แฉแแแก แแแแแฎแแแแแแ:
แแแฎแแแแ แขแแแแแแ แแ แแฅแแกแแฃแแฎแแแ แแ แกแแแแฃแแฎแแแ.แแแแแก, แจแแแแแแแแแแ แแแซแแแแแ แแก แ แแชแฎแแ, แ แแแแแก แขแแแแ แแแแแแแแแก แขแแ แ แแแแแแแ แแแงแแคแ แงแแแแแแ แซแแแแแ:
2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 17, 24, 32.แแแกแฃแฎแ แแแแกแแแฃแแแ. แจแแแแแ แฉแแแแฌแแ แแแ แ แแชแฎแแแแแแแ แแแแฌแแ แแ แงแแแแ แแแ แขแแแ แ แแชแฎแแ.
3. แฌแแแแแแฎแแ แแก แขแแฅแกแขแ แแ แฃแแแกแฃแฎแแ แแแก แแแแแแแแ แ แแแแแแแแ แจแแแแแฎแแแก.
แแแแแฉแแแแแ แแแชแแแแ แ แแแฃแกแแแแฐแแ แแแ แ แคแ แแแ แแฎ แแแฃแกแ แแ แแแ แแ แฃแแแแแกแ แแแแแแแขแแแแกแ,
แแกแขแ แแแแแ, แคแแแแแแกแ แแ แแแแแ แแคแ แแงแ. แแแแแก แกแแชแแชแฎแแแจแแแ แแแกโแแแแแแแขแแแแกแแ แแ แแแชแโ แฃแฌแแแแก แแ แฃแแแแแก แแแขแแแก แกแชแแแแแแ.
แแแแแแแ แแแ แแแแแแจแ, แแ แแฃแแจแแแแแจแ, 1777 แฌแแแก, แฆแแ แแ แแฏแแฎแจแ. แ แแแแกแแช แแ-3 แแแแกแจแ แแงแ, แแแกแฌแแแแแแแแแ แแแแกแก แแแแแแแ, แแแแแแแแแแแ แงแแแแแแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแก แฏแแแ 1-แแแ 20-แแแ. แแแกแฌแแแแแแแแ แแฃแแแกแฎแแแแแ, แ แแแแแแจแแแแ แฃแแ แแแแ แจแแแ แแแแแแ แแ แ แแชแฎแแแแก. แแแฃแกแแ แแ แแกแแแ แฎแแ แฎแ แแแแแแแ:
แแ แฎแแ แฎแแ แแแฃแกแแ 1 แฌแฃแแจแ แแแแแแแแแ แฏแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแ แแ แแแกแฌแแแแแแแ แแแแชแแแแ.แกแแแแแจแ แกแฌแแแแแกแแก แแแฃแกแแ แแแแแ แแ แแแแแฏแแ แแแแแแแ แแ แแแกแฌแแแแแแแแแ. แแแแกแแแฃแแ แแแฃแ แแแญแก
แแแแแแแขแแแแกแ แแ แแแแแจแ แแแแแแแ. แกแแแแแก แแแแแแแ แแแแก แจแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแแแกแแช แแ แแแแแแ แแแฃแกแกแแชแซแแแแแ แฃแแแแแแ, แ แแ แแฎแแแแแแ แแแก แกแฌแแแแ แฃแแแฆแแแก แกแแกแฌแแแแแแแแจแ แแแแแแ แซแ. แแแแ แแ แแแฃแกแแกแแฏแแฎแก แกแแแแแกแ แคแฃแแ แแ แฐแฅแแแแ. แแแแขแแ แแแกแฌแแแแแแแแแแ แแ แแฃแแจแแแแแแก แฐแแ แชแแแก (แแแแแแก) แกแแฎแแแแก,แ แแ แแแฃแกแแก แกแฌแแแแแกแ แแ แชแฎแแแ แแแแก แฎแแ แฏแแแ แแแแคแแ แ. แฐแแ แชแแแ แแแ แแแขแแแก แกแชแแแแ แแแชแแแแ แแแแก แแแแแฃแกแก แแ แแแแ แฌแแแก แแแแแแแแแแแจแ แแฎแแแ แแแแแ.
1792-1795 แฌแแแแจแ แแแฃแกแ แแ แแฃแแจแแแแแแก แแแแแฏแจแ แกแฌแแแแแแแ (แ แแแแแกแแช แแแแแแแ แขแแฅแแแแฃแ แ
1 2 3 4 ... ... 19 20
20 19 18 17 ... ... 2 1
21 21 21 21 ... ... 21 21 20โข21 = 210, 210:2 = 105.
- 99 -
แฃแแแแแ แกแแขแแขแ แแฌแแแแแ). แแ แฌแแแแจแ แกแขแฃแแแแขแแ แแแฃแกแแ แฎแแแแแแ แแ แแฆแแแแฉแแแ แแ แแแแแขแแแชแแแแแแแแขแแแแก แ แแแแแแแแ แแแแจแแแแแแแแแ แแแแ แแแ (แแแแแแ). 1795-1798 แฌแแแแจแ แแแฃแกแ แแแขแแแแแแแก แแแแฃแแแแแ แกแแขแแขแจแ แกแฌแแแแแแแ. แแ แฌแแแแจแ แฃแแแ แแฎแแแ แแแแ แแแแแ แแฆแแแแฉแแแ แแ แแแแแขแแแชแ. แแแแแแแแแ,แแแ แขแแ แ แแชแฎแแแ แแแแ แแแ แแแแฉแแแแแแก, แแฃ แ แแแแ แแ แแก แแแ แขแแแ แ แแชแฎแแแแ แแแแแฌแแแแแฃแแ แ แแชแฎแแแแกแฎแแแแ (แ แแชแฎแแแ แฆแแ แซแแ).
แฃแแแแแ แกแแขแแขแแก แแแแแแแ แแแแกแแแแแแ, 1799 แฌแแแก, แแแฃแกแ แแ แแฃแแจแแแแแแก แแแแแฏแจแ แแแแฌแแแแกแแแกแฌแแแแแแแแ. 1807 แฌแแแก แแแแฌแแแแฃแ แแก โ แแแขแแแแแแแก แฃแแแแแ แกแแขแแขแแก แแแแแแแขแแแแกแ แแ แแกแขแ แแแแแแแกแแแแแแ แแก แแแแแแ แแ แแกแขแ แแแแแแแก แแแกแแ แแแขแแ แแแก แแแ แแฅแขแแ แแ แแแแแจแแแก. แแ แแแแแแแแแแแแแแแฃแจแแแแแ แแก แกแแชแแชแฎแแแก แฃแแแแแกแแแแ แแฆแแแแ. 1833 แฌแแแก แแแ แแแแแแจแ แแแแ แแแ แแแแ แแแแฅแขแ แแแแ-แแแขแฃแ แ แขแแแแแ แแคแ (แฃแซแแแแแกแ แขแแแแคแแแแก แแกแแแแกแ แแแฌแงแแแแแแแ). 1835 แฌแแแก แแแแแ แกแ แแแ แแแแแแแแแแขแฃแ แ แแแกแแ แแแขแแ แแ.
แแแฃแกแแก แแแ แแแ แชแฎแแแ แแแ แซแแแแแ แแซแแแ แแงแ. 1809 แฌแแแก แแแฃแแแแแแแ แกแแแฃแแแแแ แแแ แแแแชแแแแแแแฐแแแแ แแกแขแฐแแคแ แแแฃแกแแก แฃแแแแแ แกแแงแแแ แแแ แแแฃแฆแแ. แแแแก แแแแ แแแแ แ แฃแแแแฃแ แแแแช แแแฐแงแแ แแแฃ-แกแแก แจแแแแ, แแฃแแกแแช แแแ แแแแชแแแแ. แแแฃแกแ แแซแแแ แแแแแแแ แแแแแจแ, แฆแ แแ แแแแ แแกแแแจแ แฉแแแแ แแ, แกแแชแแชแฎแแแแฆแแ แกแฃแ แแ. แแฎแแแแแแ แแ แแแฃแกแก แแกแแ แแแชแแแแ แแแแก แแแขแแ แแกแแ แฃแจแแแแ แแ แแแฃแกแ แชแฎแแแ แแแแกแ แแแแฃแจแแแแแก แแแฃแแ แฃแแแ. แ แแแแแแแแ แฌแแแแฌแแแจแ แแแ แแแแ แ แชแแแ แจแแแ แแ แแแ แแแแ แชแแแแก แแแแแแแ แแคแ แแแแ แแแ แแแแฐแแแแแแ แแแแแแแ (แ แแแแแกแแช แแแฃแกแ แแแแแ แกแแแแแ แกแ แกแแฎแแแก แฃแฌแแแแแแ โแแแแโ).แแแแ แแ แฃแแแแฃแ แแแ แแ แแแแแ แแแแแแ 1839 แฌแแแก, แฎแแแแ แซแแแแ แแแแแแงแแคแแแแก แจแแแแแแ, แแแฃแกแแก แแแแ แแแแฃแฆแแแช แแแ แแแแชแแแแ. แแแแก แจแแแแแ แแฏแแฎแแก แแแแแ แแแฃแกแแก แฃแคแ แแกแแ แฅแแแแจแแแแแ, แขแแ แแแแ แแแแแ.
แแแฃแกแก แแฅแแกแ แจแแแแ แฐแงแแแแ, แกแแ-แกแแแ แแแแแแฃแแ แแแฆแแแกแแแแ. แจแแแแแแแแแ แแแแฐแแแแแแ แแงแ แงแแแแแแแแฎแแแก แแแแแกแแแ, แแฃแแชแ แแกแแช แแแแแแ แแแ แ, แแฎแแแแแแ แแ แแแ แแแแชแแแแ. แแแฃแกแ แกแแชแแชแฎแแแก แแแแแแแแแแแแชแแแแ แกแแงแแแ แแแ แแแแแแแแแแแก แแแแแ แแแแก, แแแแ แแ แแแแแช แแฎแแแ แแงแ, แแแแ แก แแฃแจแแแแแ แแ แจแแแแแแแกแแแแแ แ แแแ แกแแงแแแ แฃแแก แแแแแแแ. แแแฃแกแแ แแแแฎแแแก, แฆแ แแ แแแฎแฃแชแแแฃแแแแแแแ แแชแแชแฎแแ 1855แฌแแแก แแแ แแแแชแแแแ แแแขแแแแแแจแ.
แแแฃแกแแ แแ แแแแแ แแแแ แแแ แแฆแแแแฉแแแ แแ แแแแแขแแแชแ, แ แแแแแแแแช แซแแแแ แแแแแแแแแ แ แแแแแแแขแแแ: แแแฃแกแแก แแแแ แแแ แแ แแแฃแกแแก แแแแแฌแแแแแ, แฃแแชแแ แแกแแแแแแ แแขแแแแก แแแแแแ แแ แแแฃแก-แแแ แแแแแก แแแแ แแแ (แแแแแชแแแแ แแแแฃแจแแแแแแกแแแ แแจแ), แแแฃแกแแก แแแแ แแแ แ แแชแฎแแแ แแแแ แแแจแ, แฐแแแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแฌแแ แแแแกแแแแ แแแ, แแ แแแแแแแแฃแ แ แแแแแแขแ แแแก แกแแฌแงแแกแแแ แแ แกแฎแแ แแ แแแแแ. แแแฃแกแแแแแ แแแแ แแแแแแแ แคแแ แแแแแ แแ แกแแฎแแแแแแ แฌแ แแก 17 แขแแ แ แแแแแ แแแงแแคแแกแฌแแกแ, แ แแแแช แขแแแแแแ แแ 17-แแฃแแฎแแแ แแแแ. แแก แแแฎแแแ แแแแแแแ แแซแแแ แคแแกแแแแแ,แ แแ, แแแกแ แแแแแ แซแแก แแแแแฎแแแ, แกแแคแแแแแก แฅแแแแ แแแแแฃแแแแแแก.
แแแแกแแแ, แแแฃแกแ แแฎแแแแ แแแแแแแขแแแแ แแ แแแแงแแคแแแแแแแแ แแแแแแแขแแแ แแแแกแแแแก แกแญแแ แแแแแแ,แ แแ แกแแแฃแแแแแกแแแขแงแแแแ แแแชแแแแ แแแแแจแ แแแแแแงแแแแแแแ. แแแก แแ แแแแแ แแฆแแแฉแแแ แแแฃแแแแแก. แคแแแแแแจแ:แแแฃแกแแก แแแแแแ, แแแฃแกแแก แแ แแแฃแแแ แกแแกแขแแแ, แแแฃแกแแก แแฃแแแแแ, แแแแแแขแแแแก แกแแแแแ แแ แแแฃแแ โแแแฃแกแโ,แแแแแแแแก แกแแกแขแแแแจแ แแแแแกแแฎแฃแแแแแก แแแแแแก แแแแ แแ, แแแขแแแชแแแแแก แแแแ แแ, แแแฃแก-แแกแขแ แแแ แแแกแแแกแแแแ แแแ; แแแแแ แแคแแแจแ โ แแแฃแก-แแ แแฃแแแ แแก แแแแ แแแแแขแแแแก แกแแกแขแแแ; แแกแขแ แแแแแแแจแ: แแชแแ แ แแแแแแขแแแแกแแ แแแขแแแแก แแแแกแแแฆแแ แแก แฌแแกแ แแ แกแฎแแ. แแ แแฆแแแฉแแแแแแแแ แแ แแแแ แแแแแแแแ แแ แแแแแ แแแช แแแแแชแแแแ แแกแแแแก แกแแแแแงแ แแฅแแแแแแ, แแแฃแกแก แแ แแแแฃแแแแแ แฐแฅแแแแ!
แแแฃแกแ แฆแ แแ แกแแแแ แแจแแช แแแแแแ แซแแแแ แแแชแแแแ แฃแ แแแแแแ-แซแแแแแก แแ แแแแแกแ แจแแแแแแแแกแแแฃแแฏแแแแกแแแแก แชแแแแแแแ. แแแแขแแ แแ แแแแแ แแแจแ แแแ แแแฃแแแแแ แแแแแ แแ แแแแแฃแฅแแแงแแแแแแ แแแ แฉแ.แแกแแแ แแแฃแกแแก แกแแแแแแแแก แจแแแแแ แจแแแกแฌแแแแแก แแ แแแแกแ แฃแแแก แแแกแแ แแแฌแแคแแแแแ.
แแแฃแกแแก แแแแ แฅแแแแแแแแ แแแก แแจแแแแแฃแ แฅแแแแฅแจแ แแแแก. แแแแแฉแแแแ แแแชแแแแ แก แแฆแแกแแช แฃแแแแแก แแแขแแแกแกแชแแแแ.
4. แแแแ แแแแแ, แ แแแแ แแแแแแแแแ แแแฃแกแแ แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแแแก แฏแแแ 1-แแแ 20-แแแ.
- 100 -
แแฆแแแแฉแแแ แแแแแแแแแแแ แแแ: แงแแแแ แฏแแแแก แแแแจแแแแแแแแ 21. แกแฃแ แแกแแแ 20 แชแแแ แฏแแแแ. แแแแ แแ แแก แฏแแแแแแแแฆแแแฃแแแ แแแชแแแฃแแ แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแแแก แแแแ แแแแแแแ แแกแแแ แฎแแ แแ -แแ แฏแแ แแ แฉแแฌแแ แแแ.แแแแขแแ 210 แฃแแแ แแแแแแแฎแแแ แแ.แกแแญแแ แแ แงแฃแ แแแฆแแแแก แแแแแฎแแแแแแ: แฉแแแแฌแแ แจแ แ แแก แแฆแแแจแแแแก แกแแแฌแแ แขแแแ ..._ แแฆแแแจแแแแก แแแแแแแแแแแ แแแแ แซแแแแแแก แแแฃ แกแแขแงแแแแก โแแ แแกแ แจแแแแแโ.
5. แแแฃแกแก แแแ แแแชแแแแแแแก แจแแแแแ แ แแแแแแ แจแแแแ แแแ แฉแ?แกแฃแ 6 แจแแแแ แฐแงแแแแ, 2 แแแ แแแชแแแแแ แแงแ, แแแ แฉแ 4 แจแแแแ.
6. แ แแขแแ แแแกแญแแ แแแ แแแฃแกแแก แแแฌแแคแแแแก แแแแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแแก แแแจแ แแแแแแก แแแกแ แฃแแแแ แแแแแแแฅแแแงแแแแ?
แแแฃแกแ แฆแ แแ แกแแแแ แแจแแช แแแแแแ แซแแแแ แแแชแแแแ แฃแ แแแแแแ-แซแแแแแก. แแแฆแฌแแฃแแแ แแ แแแแงแแคแแแแแแแแ.แแแแแฅแแแงแแแแแก แแ แฉแฅแแ แแแแ, แ แแแแแ แแแแแกแ แจแแแแแแแแก แแแฃแแฏแแแแกแแแแก แชแแแแแแแ. แแแแขแแ แแ แแแแแแแแจแ แแแ แแแฃแแแแแ แแแแแ แแ แแแแแฃแฅแแแงแแแแแแ แแแ แฉแ.
7. แขแแฅแกแขแแแแ แแแแฌแแ แแ แงแแแแ แแแแแแแขแแแฃแ แ แกแแขแงแแ (แ แแชแฎแแแแแก แแแ แแ), แ แแแแแแแช แแฅแแแ แแแกแฌแแแแแแแฅแแ. แแก แกแแขแงแแแแ แแแแฏแแฃแคแแ แกแแ แฏแแฃแคแแ:
I. แแ แแแแแขแแแ; II. แแแแแแขแ แแ; III. แกแฎแแ.
2) แแแแ แ แแแแแแแแแแก I แคแแแ: แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแ (แแ แ 20 แฌแ) แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแขแแ แแฅแชแแฃแแ แแฃแจแแแแ
แฃแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแแฃแแแแแแแแ แแแชแแแแแแแแแกแแก แแฌแงแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแ แแแแแแแก แแแฎแแแแแ.แแแแกแก แแ แแแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแ แฐแฅแแแแ. แแก แแแแแแแแ แกแแแแแแ แแแแแ แแแชแฃแแแแแ แแ, แ แแช แแแแแแ แแ,แแ แแแแแคแแ แแแแแแ แ แแแแ แช แกแแ แแฃแแแก แแแแแ, แแกแ แแแกแขแ แแฅแขแฃแแแแแก แแแแแ แแ แแแ แแแแ แแแแแขแแแฃแ แแแแช(แแแแชแแแก แกแขแแแแแ แขแแก แ แแแแแแแแ แแแแแ แแฃแแแแแก แกแแแแแฎแแแก). แแแแ แแ แฌแแกแแ: แแแกแฌแแแแ แแแแแแแก แแแแแแก, แ แแแแแแกแแชแจแแซแแแแก แแแแแแ แ แแแซแแแแแ; แกแแแฃแแแ แ แกแฃแ แแแแแ แแ แฉแแแก แแแแชแแแแแก. แแแแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แงแแแแแแแแชแแแ แแแแแช แแแฌแแ แแแแแแ แฃแแแ แแแแ แฉแแก, แแแคแแแ แแแ แแแแแฃแ แแ แแ -แแ แแ แแแกแฌแแแแแ แฉแฃแแแ แแแแแแแแแกแฉแแแแฌแแ แแแ แแ แแแ แ แแแกแฏแแแแก; แแแกแฌแแแแแแแ แแ แแ แแก โแฌแแแแ-แแฌแแแแ แจแฃแฅแแแจแแแแแโ แแแแจแแแแแ แแแแฎแแแแแก แแแแ แแแแแแฎแแแแแก, แแกแฏแแแแแแ, แแแแแแแแแ; แแแ แแแแแแแ แ แแแฃแแแแจแ แแฃแจแแแแแ _ แแแกแแแแ, แฎแแแฌแแ แแแแฃแจแแแแ แก, แแแแ แแแแก แแ แแแแแแแ แฌแแ แแ. แแแฌแงแแแแ แแแแกแแแจแ แแแกแฌแแแแแแ แฃแแ แแแแแกแแแ แซแแแแแฃแขแแแแแแแ แแแแแแแก แกแแจแแแแแแแแแแแแแก แงแแแแ แแ แแแแฅแแแก แงแแแแ แแแแชแแแแก, แชแแแแแแก แแแแแช แแแแก, แแแแ แแ แแก แแแแแงแแคแแแแแแแ (แจแแแซแแแแ,แแแแฏแแ แแแฎแแแแ แแช แแ แแ แแแแแแแแก). แฃแคแ แแกแก แแแ แแกแแฎแแแ แฃแแแแงแแคแแแแแแช แแ แแ แฃแแแ แจแแแขแงแแก แแแแก แแแแ, แ แแแแแแจแแแ แ แแฆแแช แแแ แแแแแแแ แแ แแ แแแแแแแ. แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แกแแแแแ แแ แแ แแแแแคแแ แแแแแแ แ แแ แแ แ, แแแกแฌแแแแแกแแ แแฅแแแแแแ แแแแแแแแ แแ แฉแแแแแ. แแแแกแแแ, แแ แแ แกแแญแแ แ แจแแแแ แแแแ แซแแแแ แแแแชแแแแแแก แแแแแจแแแ * แแแจแแแ แแแกแฎแแแแแแ แแ. แกแแฅแแ แแกแแ, แ แแ แแแแชแแแแก แกแแซแแแแ แแแแจแแแก แฌแแแงแแแแ แฃแแแ แแแแแแแก แขแแแแ แแ แแแ แแแแ แชแแแแแแแแกแแขแฃแแชแแฃแ แคแแฅแขแแ แแแแแ แแแแแแแแแแฃแแ. แแแแแแแแแ, แแฎแแแแแแแแแ-แกแแแ แแชแแแ แฃแแแ แแแแแแแก แขแแแแก แแแแจแแกแแแแขแแ แแกแแแก แแ แแ แช แฃแซแแแแแแแ แแฃแแแแช แ แแฃแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแแแชแแแ, แแฃแแชแ แ แแชแฎแแแแ แแ แแแแแแแก. แแกแแ แแฃแแกแ, แแ แฉแแแแแแก แแแแแกแฃแคแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแฃแแ แกแฌแแแแแแแก แแแแจแแแแแแแแแ แคแแ แแแ.
แแแ แแแแ แคแแแ แแฌแงแแแ แแแแแ, 1-2-แฌแฃแแแแแ แจแแกแแแแแแ. แซแแ แแแแแ แแแฌแแแ แแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแกแแแแแแฃแแ แแแแชแแแแกแ แแฃ แฅแแแแแแชแแแแก แแแฌแแ แแแแแแแ แแแ แฉแแแแ. แแ แแ แแก แฎแแแแ: แฌแแแแ แ แแแแแแแแแแ แแแกแฌแแแแแกแแแแแขแแแชแแแ-แแแแแแแแ แแแ (แแแแชแแแ # 1); แฌแแแแ แ แชแแแแแก แแแแแแฃแแ แกแแแแแฎแแก แแแแฅแขแแฃแ แแแ แแ แแฎแแแแกแแแแแฎแแกแแแแก แจแแแแแแแแ (แแแแชแแแแแ # 2-7); แแแแแขแแแแแ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แจแแแแแฎแแแแแก แแแกแแ; แแแกแฌแแแแแแแแแแแแแก แแแแแก แจแแคแแกแแแ แแแกแฌแแแแแแแแก แแแแ ; แฌแแแแ แ แชแแแแแก แกแขแแแแแ แขแฃแ แกแแแแแแซแ แกแแแแแฎแแแจแ แแแแแแแแแแแแแก แแฅแแแ แแแกแฌแแแแแแแแแแก แแแฎแแแ แแแแก แแแฌแแแ แจแแซแแแแแกแแแแแ .
แ แแแ แแแแแแแแแแก แแแ แแแแ แคแแแแก แซแแ แแแแแ แแแฌแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแฌแแ แแแแแแแ แแแ แฉแแแแ, แแแแขแแแแฃแแแแ แแแแ แแ แซแแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแ แแแแแแแก แแแฎแแแแแ _ แแแคแแกแแแ แแแกแแ แฉแแแ แแแแชแแแแแแก แแแแแฌแแแแแแแแกแฌแแแแแแแแก แแแแแแแก แแแแแก, แแแ แแแแ แกแแกแฌแแแแ แแ แแคแแแแกแ แแ แแแขแแ แแกแแแแก แจแแกแแแแแแกแแ (แแแแแแแแแ, แแแแกแแแแแแแแกแฌแแแแแ, แแฃ แแแก แ แ แจแแแแแ แกแแแ แฃแคแ แ แแแแขแแ แแกแแแก, แแแแแแขแ แแฃแแ แคแแ แแแแ แฃแคแ แ แแแแ แฏแแแแ, แ แแชแฎแแแแแแฃ แขแแฅแกแขแแแ).
แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแแชแแแแแ # 1 แแ # 2-แแก แแแแ แแแฌแแแ แแแแแแ แแ แกแขแแแแแ แขแฃแแแ, แแแแขแแ แแแคแแกแแแแแแแแแแ แงแแแแแแ แแแแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแแแแ แแแแแแ. แแแแแแ แแแแแแแแ แแแแแ แฌแแแแ แ แแแแแแแแแแกแแแฎแแแแแ แจแแคแแกแแแแ. แฎแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแแกแ แแ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแแแแแก แแกแแแแแแแแกแแกแแแแแแแแ แแแแแแแแ แ แแแแแแแก แแแแแแแแช แแแแแแแแแแแแ. แแแแ แแ แแ-แแ แ แแแแชแแแ, แแแ แแฅแแ, แจแแแแ แแแแ แซแแแแแ.
3) แแแแ แ แแแแแแแแแแก II แคแแแ (แแ แ 7 แฌแ): แขแแฅแกแขแแก แฎแแแแแฆแแ แฌแแแแแฎแแ แแแแกแจแ
- 101 -
แแแกแฌแแแแแแแ แฎแแแแแฆแแ แแแแฎแฃแแแแแ แขแแฅแกแขแก แคแฃแ แชแแแแแแแ, แแแแ แซแแแแแแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแ แแฌแแแแกแฃแแฃแแแแจแแ แแแก แแ แฌแแแแแแฎแแแก แแแแ แแแแช, แ แแแ แแแ แแแ, แแแแแฃแแแ แแ แกแแแแแแแ แแแขแแแแชแแแ แฌแแแแแแฎแแ.
แแแคแแ แแแชแแ แแแ แแแแแแแก แแแฎแแแแแ: แแฃแแ แ แแแแแแแ แแแกแฌแแแแแก แแแแฎแแ แฃแญแแ แก, แแแ แฌแงแแแแจแ แฌแแแแแแฎแแก,แกแแจแฃแแแแ แแแแแฎแแแ แแแแจแแแแ แแ แแแ.
4) แแแแ แ แแแแแแแแแแก III แคแแแ: (แแ แ 18 แฌแ) แขแแฅแกแขแแก แแแแแ แแแ แแ แแแแแชแแแแแแก แแแแฃแจแแแแแ:แฏแแฃแคแฃแ แ แแฃแจแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแฃแแ แแแแแแแแแแ แฌแแแงแแแแ แฃแแแ แแก แขแแแแแแก แแแฎแแแแแ
I แฏแแฃแคแ _ แแ แแแแแขแแแแกแแแ1. แแแแแแแแแแ แงแแแแ แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแก แฏแแแ แแ แแแแแ แแแแแแแแแแ. แฉแแฌแแ แแ แแ แ แแชแฎแแแกแกแแฎแแแฌแแแแแ. แแแ แแแแแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแ แแ แฏแแแแก แแแแจแแแแแแแ?
500000 โข 1000001 = 500 000 500 000. แฎแฃแแแกแ แแแแแแ แ แฎแฃแแแกแ แแแแกแ. แแกแแ แแแแแแแแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแ.
2. แแแแแแแแแแ แงแแแแ แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแก แฏแแแ แแกแแแแ แแแแกแแแแ แแแแแ แแแแ (แแแฃแกแแก แฎแแ แฎแแ,แแ แ แฏแแแแก แกแฎแแแแแแก แแแแแแแแแก แแแ แแจแ!).
100 101 102 103 ... ... 999 10001000 999 998 997 ... .... 101 1001100 1100 1100 1100 ... .... 1100 1100 901โข110:2 = 901โข55 = 49 555.
3. แ แแ แแแแกแฎแแแแแแแแแ แแแฃแกแแก แแฆแแแฉแแแแแ แฃแแแแแ แกแแขแแขแจแ แกแฌแแแแแกแแก แแแกแ แแฆแแแฉแแแแแแกแแแ แแแแแฏแจแแกแฌแแแแแกแแก?
แฃแแแแแ แกแแขแแขแจแ แแแฃแกแแ แแฎแแแ แแแแ แแแแแ แแฆแแแแฉแแแ แแ แแแแแขแแแชแ; แแก แแแแ แแแแแ แแแแแแแ แแ แแแแ แแ แแชแแแ. แฎแแแ แแแแแฏแจแ แแแฃแกแแ แแแชแแแแ แแแแจแ แฃแแแ แชแแแแแแ แแแแ แแแแแ แแฆแแแแฉแแแ แแ แแแแแขแแแชแ.
4. แ แ แแงแ แแแฃแกแแก แแแแแแ-แซแแแแแก แแแแแแ แ แแแแแแ แฌแแแแแ แแแแแแแขแแแ แแฃ แกแแแฃแแแแแกแแแขแงแแแแแแแชแแแแ แแแแแ?
แแแฃแกแแก แแแแแแ-แซแแแแแก แแแแแแ แ แแแแแแ แแก แแงแ, แ แแ แกแแแฃแแแแแกแแแขแงแแแแ แแแชแแแแ แแแแแจแ แแแแแแงแแแแแแแแแแแแแแขแแแ. แแแก แกแแแงแแ แแก แจแแกแฌแแแแ แแแแขแแ แแกแแแแ แงแแแแแแ แแแขแแ. แกแแแแแกแแ แแ แแแแแแแขแแแ แแแแฉแแแแกแแฃแแแแแกแ แแแ แแฆแแ.
II แฏแแฃแคแ _ แแแแแแขแ แแแ แแ แแฎแแแแแแแแ1. แแแฎแแแแ แขแแแแแแ แแ 12-แแฃแแฎแแแ.
แฏแแ แแแกแฌแแแแ แฌแแกแแ แแแแฎแแแแก แขแแแแแแ แแ 6-แแฃแแฎแแแ, แแแ แ แแ แแแแแแฃแแ แแแฆแแแฃแแ แ แแแแ แแแแแฎแแแ แแแก.2. แแแแ แแแแแ: แฎแฃแแฅแแแแแแ แแแ แกแแแแแแแก แคแแ แแแก แแฅแแแ แแกแแแ แแ แแแแแแฃแแฎแแแแแ แแก แแฃ แแ แ แขแแแแแแ แแ แฎแฃแแแฃแแฎแแแ แแ แ แแขแแ.
แแ แ, แ แแแแแ แแกแแ แแ แ แฎแฃแแแฃแแฎแแแ, แแ แแแแ แแแแฃแแฎแแแ.3. แขแแแแแแ แแ แแแฎแแฃแแฎแแแ แแ แแก แแฃ แแ แ แแแแแ, แ แแช แแแแแ แแขแ แแ แ แแขแแ.
แแ แ, แ แแแแแ แขแแแแแแ แแ แแแฎแแฃแแฎแแแ, แแแแแ แแขแแก แแแ แแ, แกแฎแแแแแแ แแชแแ:แแกแ แแ แงแแแแ แแแแแ แแขแ แขแแแแแแ แแ แแแฎแแฃแแฎแแแแ. แแกแแแแ: แงแแแแแ แแแแแ แแขแ แแแ แแแฃแแฎแแแแ, แแแแ แแแงแแแแแ แแแ แแแฃแแฎแแแ แแ แแ แแแแแ แแขแ; แแแแขแแ แแแแแ แแขแ แแ แแ แแแแแ, แ แแช แแแ แแแฃแแฎแแแ.
4. แแแฃแกแแก แแ แแแแ แแฆแแแฉแแแแก แจแแ แแก แ แแ แแแแแแ แฉแแแ แแแกแ แแ แแ แแฆแแแฉแแแ แแแแแแขแ แแแจแ?แแแแแแ แฉแแแ แฌแ แแฎแแแแก แแแงแแคแ 17 แขแแ แ แแแแแ. แแก แแฆแแแฉแแแ แแแฃแกแก แแแแกแแแฃแแ แแแแ แฐแงแแแ แแแแ, แ แแแแแแแแแแ แซแ แแแฃแขแแแแแแ: แกแแคแแแแแก แฅแแแแ แแแแก แแแฎแแแ แแแแแแแแแแแแแ.
5. แแแฃแกแแ แฌแ แแฎแแแ 17 แขแแ แ แแแแแ แแแงแ. แงแแแแแ แแแฆแแแฃแแ แฌแแ แขแแแ แ แแ แงแแแแ แกแฎแแ แฌแแ แขแแแแแแจแแแแ แแแแแแ, แกแฃแ แ แแแแแแ แฅแแ แแ แแแแแแแแแแ?
แแแแแแแแ. แแแแแแงแแแแ แจแแกแแแแแแกแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแ.แแ แแ แฌแแ แขแแแแแแ แแแแแแแแ 16 แฅแแ แแ; แแแแ แแแแ 15 (แ แแแแแ แแแ แแแแแแ แฃแแแ แจแแแ แแแแฃแแแ);แแแกแแแแแแ 14 (แ แแแแแ แแแ แแแแแแ แแ แแแแ แแกแแแ แฃแแแ แจแแแ แแแแฃแแแ); แแ แแกแ แจแแแแแ. แแแแแกแแ แแแแแ แแ แฅแแ แแ แแแแแแแแ. แแแแขแแ แแแแแฆแแแ แฏแแแก: 1 + 2 + 3 + ... + 16 = 17โข16:2 = 136.
III แฏแแฃแคแ _ แฌแแแแแแ แแแ1. แจแแแแแ แแ แแ แแแแแแแก แขแแฅแกแขแแก แแแ แแแแ แแ แแแแ แแแแแชแแแ. แ แ แแ แแก แกแแแ แแ แแแ แจแแ แแก?
แแแแ แแแแ แแฃ แแ แ แแแ แแแแ แแแแแชแแก แแแ แ แแแแ แแแแแชแจแ? แ แแขแแ?แกแแแ แแแ แแก, แ แแ แแแฃแกแก แแแ แแแขแแแก แกแชแแแแ แกแแแแแแแแแแ. แแแแ แแ แแแ แ แแ แแแแ แแแแ, แ แแแแแ แแแ แแแแแแแแชแจแ แแก แแแขแแแแกแชแแแ แแแฃแกแแก แกแแชแแชแฎแแแจแแ, แฎแแแ แแแแ แแแแแชแจแ _ แแแฃแกแแก แกแแแแแแแแก แจแแแแแ แแฆแแแแ.
2. แขแแฅแกแขแแก แแแแแแแ แแ-3 แแแแแชแจแ แแแซแแแแแ แกแแขแงแแแแ โแแ แแแแแ แแโ แแ โแแแแฃแแแแโ.แ แแแแแ แแแ แแก แแแแแกแแฎแแขแแแแแแ แขแแฅแกแขแจแ แแ แกแแขแงแแแแแก แแแแแ แแกแแแ แแแ?
- 102 -
แแแฃแกแก แแแแฃแแแแแ แแฆแแแฉแแแ แฐแฅแแแแ, แฎแแแ แกแฎแแ แแแชแแแแ แ แแ แแแแแ แแ แแกแแแ แแฆแแแฉแแแแแแช แแ แแแแแงแแแแ;แ แแแแแ แแก แซแแแแแ แแแแจแแแแแแแแแ แแฆแแแฉแแแแแ แแงแ. แแแจแแกแแแแแ, แแแฃแกแก แแ แแแชแฏแแ แแแขแ แแแฃแแแแแแแ, แแแแ แแแ แแแแ แกแฎแแ แแแแแฉแแแแ แแแชแแแแ แก.
3. แแแแฎแแแแแแ แ แแแแแแ แฌแแแกแ แแงแ แแแฃแกแ, แ แแแแกแแช แแแ แแแแแ แแแฅแแ แฌแแแแ? แแแแ แแ?แฃแแ แแแแ แแแแแแแแแแ แกแแญแแ แ.
4. แขแแฅแกแขแจแ แแแซแแแแแ แคแ แฉแฎแแแแแจแ แฉแแกแแฃแแ แกแแขแงแแแแ (แงแแแแ แแแซแแแแแ). แแแแแแฃแ แจแแแแฎแแแแแจแแแแแ แแแแแ, แ แแกแแแแกแแ แกแแญแแ แ แแก แคแ แฉแฎแแแแแ:
แ) แแแแแงแแแแแฃแแ แกแแขแงแแแก แแแแจแแแแแแแแก แแฎแกแแ แแ แแแแฃแกแขแแแ;แ) แฉแแแแงแแแแแแแฃแแ แแแ แแก แแแแฃแกแขแแแ แแ แจแแกแฌแแ แแแ;แ) แแ แแกแแญแแ แ, แแแแแแขแ แชแแแแแแ (แแแคแแ แแแชแแ);แ) แแแแแขแแแแแ แชแแแแแแ (แแแคแแ แแแชแแ).
แคแ แฉแฎแแแแแ แขแแฅแกแขแจแ แจแแแแฏแแ แแ. แแแแแแ: 1) , 3), 4), 5) _ (แ); 2) , 6), 7) _ (แ)5. แขแแฅแกแขแแแแ แแแแฌแแ แแ แงแแแแ แฃแชแแแแ แแ แแแแแแแแแชแแแแแแ แกแแขแงแแ (แแแฃ แ แแแแแแช แจแแแซแแแแ แแ แแชแแแแก แแแแฅแแกแแแแแกแแแแ แแแแจแแแ). แแก แกแแขแงแแแแ แแแแฏแแฃแคแแ แกแแ แฏแแฃแคแแ:
I. แ แแแแแแ แแแแจแแแแแแแ แขแแฅแกแขแแแแแแ แฉแแแก; แแแฃ แแแแฎแแแแแแ, แแก แกแแขแงแแ แ แแก แแแจแแแแก, แแฃแแ แขแแฅแกแขแกแแแแแแ แแแแแ แฌแแแแแแแฎแแแ;
II. แ แแแแแแกแแช แชแแแแ แแแแแแ แขแแแ แกแญแแ แแแแ;III. แ แแแแแแกแแช แแแแแแ แขแแแ แแ แกแญแแ แแแแ, แ แแแแแ แแแแ แชแแแแ แแ แแ แกแแญแแ แ แขแแฅแกแขแแก แจแแแแแ แกแแก
แแแ แแแ แแแกแแแแแแ (แแกแแแ แกแแแชแแแแฃแ แ แขแแ แแแแแแแ).I. แแ แแฃแแจแแแแแ, แฐแแ แชแแแ, แแแแแฏแ, แแแแ แแแ, แแแขแแแแแแ, แ แแชแฎแแแ แกแฎแแแ, แแแแแแ แแก แแแแแ,แแแแฅแขแ แแแแแแแขแฃแ แ แขแแแแแ แแคแ, แกแแแฃแแแแ, แแแแ แแกแแ, แแแแแ, แแฎแแแ, แแแแแ แซแ, แแแฌแแคแ.II. แแฆแแแฉแแแ, แแแแชแแแแ, แแแกแแ แแแขแแ แแ, แแกแขแ แแแแแแ, แกแแแฃแแแแแกแแแขแงแแแแ, แแแแฌแแแแฃแ แแก, แแแแแฃแฅแแแงแแแแแแ(แแแแแฅแแแงแแแแ), แขแแแแแแ แแ.III. (แแแฃแกแแก) แแแแแฌแแแแแ, แฃแแชแแ แแกแ แแแแแ แแขแแแแก แแแแแแ, แแแฃแก-แแแ แแแแแก แแแแ แแแ, แ แแชแฎแแแ แแแแ แแ,แฐแแแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแฌแแ แแแ, แแ แแแแแแแแฃแ แ แแแแแแขแ แแ; แแ แแแฃแแแ แกแแกแขแแแ, แแฃแแแแแ, แแแแแแขแแแแกแกแแแแแ แแ แแแฃแแ, แแแแแแแแก แกแแกแขแแแแจแ แแแแแกแแฎแฃแแแแแก แแแแแ, แแแขแแแชแแแแแก แแแแ แแ, แแแฃแก-แแกแขแ แแแ แแแกแแแก แแแแ แแแ; แแแฃแก-แแ แแฃแแแ แแก แแแแ แแแแแขแแแแก แกแแกแขแแแ; แแชแแ แ แแแแแแขแแแแก แแ แแแขแแแแกแแแแกแแแฆแแ แ.
IV แฏแแฃแคแ _ แแกแขแแ แแแแกแแแ1. แแแแฎแแแแแแ แ แแแแแแ แฌแแแกแ แแงแ แแแฃแกแ, แ แแแแกแแช แแ แแฃแแจแแแแแแก แแแแแฏแจแ แแแแฌแงแ แแฃแจแแแแแแแกแฌแแแแแแแแ? แแแขแแแแแแแก แฃแแแแแ แกแแขแแขแจแ?
แฃแแ แแแแ แแแแแแแแแแ แกแแญแแ แ.2. แแแแฎแแแแแแ แ แแแแแ แฌแแแแฌแแแก แแชแแชแฎแแ แแแฃแกแแ? แ แแแแแ แกแแฃแแฃแแแก แแแ แแแแแแ แแแแแฎแแแจแแแแแแแแ? แ แแแแแ แกแแฃแแฃแแแก แแแ แแแแแแ แแแแแฎแแแจแ แแแ แแแแชแแแแ?
แแแฃแกแแ แแชแแชแฎแแ 33 + 55 = 88 แฌแแแแฌแแแก. แแแแแแแ XVIII แกแแฃแแฃแแแก แแแแแฎแ แแแแแฎแแแจแ แแ แแแ แแแแชแแแแ XIXแกแแฃแแฃแแแก แแแกแแแ แแแแแฎแแแจแ.
3. แ แ แแแแแแ แแแแฆแ แกแแแแแแ แแแแ แฎแแ แฏแแแ แแ แแฃแแจแแแแแแก แฐแแ แชแแแแ? แ แแขแแ แแแฎแแ แกแแญแแ แ แแแกแแแแฎแแแ แแแ?
แฐแแ แชแแแแ แแแแฎแแแ แแแแฆแ แแแแกแแแแแก, แ แแแ แแแฃแกแก แกแแแแแก แแแแแแแ แแแแก แจแแแแแ แกแฌแแแแแก แแแแ แซแแแแแแกแกแแจแฃแแแแแ แฐแฅแแแแแ. แแฅ แแแ แขแ แกแฌแแแแแก แฎแแ แฏแแแ แแ แแ แจแแแแก, แแ แแแแ แแแ แแแแ แกแขแฃแแแแขแ แแแฃแกแแก แแแแแกแ แแแแแแแแก แฎแแ แฏแแแแช. แแฃแแชแ แ แแแแ แช แแ แแแฃแกแแ แฃแแแแแ แกแแขแแขแ แแแแแแแแ แ, แแแก แแแ แแ แกแแแฃแจแแ แจแแกแแแแแแแก แแแกแแชแแชแฎแแแก แแแแแแแ แฐแฅแแแแ แแแ แแ แฎแแแคแแกแ. แแกแ แแแ แฐแแ แชแแแแก แแแฎแแแ แแแ แแฆแแ แแแกแญแแ แแแแแแ.
4. แ แแ แฃแจแแแแ แแแฃแกแก, แ แแ แ แแแแแแแแ แฃแแซแแแแกแ แฃแแแแฃแ แแแ แแแแซแแแ, แแฎแแแ แแแ แฉแแแแแแงแ แแ แฆแ แแแกแแแแ แแแแ แแชแแชแฎแแ?
แฃแจแแแแ แแแชแแแแ แแแแก แกแแงแแแ แฃแแแ แแ แกแแแงแแ แแก แจแแกแฌแแแแแก แแแขแแ แแกแแ. แแก แแแขแแ แแกแ แแแแแแแ แซแแแแ แ แแงแ,แ แแ แแแฃแกแก แแ แจแแแซแแ, แแแแแแ-แซแแแแ แจแแแฌแงแแแขแ. แแแแขแแ แแแชแแแแ แฃแ แแฃแจแแแแแก แแแแแแ แซแแแแ, แแฃแจแแแแแ แแแฉแแแฃแแแแ แแ แชแฎแแแ แแแแจแ แแแแแ แฃแแ. แแแแก แแแ แแ, แแแฃแกแก แจแแแแแแแช แซแแแแแ แฃแงแแแ แแ แแ แแแแแแช แแแ แจแแแแแกแแฆแแแแ.
แแแกแฌแแแแแแแแแ แแแแฃแฌแงแแแขแแแ แแแแแงแฃแ แ แฃแแแ แแแแแแแก แฏแแฃแคแแแแก แแฃแจแแแแแก แแ แกแแกแฌแแแแ แฎแแ แแฉแแแแแแแแแฎแแแ แแก แแแ. แแแแแ แกแแญแแ แ แแแฎแแแแ แแแ แแแแ แแแฎแแแ แแแ แแแแแแแแแก แแแแแฌแแแแแแจแ แแ แแ แแแก แแแ แแแแจแ, แ แแแแแแแจแแแแก แซแแแแแ แแแแ แ แแ แ แแ แแแแแแ แแ. แแ แแ แแก แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแแกแแแแแ แแแแแแฎแแแก, แฏแแฃแคแแแ แ แแแแก
- 103 -
แแแแแแแแ แแแแ แแฃแจแแแแแก. แแฃแแ แ แแแแแแแ แฏแแฃแคแ แกแฎแแแแแ แแแ แ แแแแแแแแ แแแก, แแแก แแแแแขแแแแ แจแแแแแฎแแแก แแแกแชแแแกแแแแแ แขแแฅแกแขแแก แจแแกแแฎแแ.
แแ แแแ แแฅแแ: แแฃแแ แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแแแฎแแแก, แ แแ แ แแแแแแแ แฏแแฃแคแ (แแ 2, 3, แแ แงแแแแ แฏแแฃแคแ) แแแ แแกแฌแ แแแกแงแแแแ แแแแแแแแแก แจแแกแ แฃแแแแแก, แแแจแแ แแแแ แแแแชแแแแก แแแแแแแแก แแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแจแ แแแแแแขแแแก. แแกแแแ,แชแฎแแแแ, แแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแ แฉแแแ.
5) แแแแ แ แแฆแแกแแ, แแแกแแแ แแแแแแแแแแก 25 แฌแ: แฏแแฃแคแแแแก แแแแฃแจแแแ แแแแก แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแฎแแแแแฏแแฃแคแแแแก แแฃแจแแแแแก แแแแแแแ แแแแก แจแแแแแ แแแคแแกแแแ แแแกแฃแแ แแแกแฌแแแแแแแ แฌแแ แแแแแแแ แแแแฃแจแแแแ แก แแ
แฉแแขแแ แแแแ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแฎแแแแ. แแแแ แแแแชแแแแก แแแแ แแแกแฌแแแแ แฌแแ แแแแแแก (แแ แช แแแแแ แแแ แแ แแ แชแแ แแแแแขแแชแแ แแ แแแแแแแแแแ แแ แแ แกแแญแแ แ). แชแฎแแแแ, แงแแแแ แแแแชแแแแก แขแแฅแกแขแ แแแแแแ แแแกแฌแแแแแ แฃแแแแฌแแแแแแฎแแก แฎแแแแแฆแแ.
แฎแแแ แแฃแแ แฌแแกแแแ แ แแ แแแแแขแแชแแแแ แแแกแฃแ แก, แแแจแแ แแก 25 แฌแฃแแ แแ แแฅแแแแ แกแแแแแ แแกแ แแ แแแแแ แแแแแแแแแแแแฎแแแแ แกแแญแแ แ.
แแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแ1. แแแ แแงแแแแ แแ แแแแแแแแกแแแแก แแแฐแแแแ แแกแขแฐแแคแ แแ แคแ แแแแ แแแ แแแแฐแแแแแแ แแแแแแแ? แแแฐแแแแแแกแขแฐแแคแ แแ แขแแ แแแ?
แแแแแแแ: แแแแแแ แแแ; แแแแ-แจแแแแ.2. แ แแแแแ แฌแแแแฌแแแก แกแฌแแแแแแแ แแแฃแกแ แแ แแฃแแจแแแแแแก แแแแแฏแจแ? แแแขแแแแแแแก แฃแแแแแ แกแแขแแขแจแ?
แแแกแฃแฎแแแแ แแ แแ แแแแแแแแฃแแ โแแแแฎแแแแแแโ (แ แแแแ แช แแงแ แกแฎแแ แแกแแแแก แจแแแแแฎแแแแจแ). แแแแ แแ แแแจแแแแแฎแแแแแ แแฃแกแขแ แแแกแฃแฎแแก แแแชแแแ แจแแฃแซแแแแแแแ, แ แแแแแ แแ แแแแฅแแก แกแแแแแ แแกแ แแแแแชแแแแแ(แแแคแแ แแแชแแ). แ แแแแแ แแแแแชแแแแแ แแแแแ แแแแชแแแแก แแแ แแแแก? แแแแแแแแแแ แแแกแฃแฎแแแแก แฃแแแแแกแ แแแฃแแชแแ แแกแ แจแแกแแซแแ แแแแจแแแแแแแ.
แกแแ แแฃแแแก แแแแฅแแแแก แแก, แ แแ แแ แแแชแแ, แฌแแแแฌแแแแก แ แแแแ แแ แแก แแแฎแแ แแก แแแแแแ. แแ แแฃแแจแแแแแแก แแแแแฏแจแแแแฃแกแ แกแฌแแแแแแแ 1792-1795 แฌแแแแจแ. แฃแแแแแกแ แจแแกแแซแแ แแ แ แแ แจแแแแฎแแแแแจแแ, แแฃแแ แกแฌแแแแ แแแแฌแงแ 1792แฌแแแก 1 แแแแแแ แก แแ แแแแแแแแ แ 1795 แฌแแแก 31 แแแแแแแแ แก. แแ แจแแแแฎแแแแแจแ แแแแแฏแจแ แแกแฌแแแแแแ 1792, 1973,1794 แแ 1795 แฌแแแแแก แแแแแแแแแแแจแ, แแแฃ 4 แฌแแแก แแแแแแแแแแแจแ. แฃแแชแแ แแกแ แจแแกแแซแแ แแ แ แแ แจแแแแฎแแแแแจแแ,แแฃแแ แแแ แแฅแแ แแแฎแแ: แกแฌแแแแ แแแแฌแงแ 1792 แฌแแแก 31 แแแแแแแแ แก แแ แแแแแแแแ แ 1795 แฌแแแก 1 แแแแแแ แก. แแแจแแแแฎแแแแแจแ แแแแแฏแจแ แแกแฌแแแแแแ แแฎแแแแ 1973 แแ 1794 แฌแแแแแก แแแแแแแแแแแจแ, แแแฃ 2 แฌแแแก แแแแแแแแแแแจแ.แแกแ แแแ แแแกแฃแฎแแ: 2-4 แฌแแแก แแแแแแแแแแแจแ. แแกแแแ, แแแแ แ แแแกแฃแฎแ แแฅแแแแ: 3-5 แฌแแแก แแแแแแแแแแแจแ.
3. แแ แ แแแแแแแแแแ แจแแกแแแแแแก แแแขแฃแ แแแฃแ แ แแชแฎแแแแก โแแแแแ แแขแฃแแ แ แแชแฎแแแแโ แแฌแแแแแ:
... แแ แแกแ แจแแแแแ.แแฆแแแแฉแแแแ แแแแแแแแแแแ แแแ แแ แแแแแแแแแแ 41-แ แแแแแ แแขแฃแแ แ แแชแฎแแ.แแแแแแขแ แแแก แ แแแแแ แกแแแแแฎแ แฃแแแแจแแ แแแแ แแ แแแแชแแแแก?แแแแแขแแแชแแ, แ แแ แแแแแ แแขแฃแแ แ แแชแฎแแ แแ แจแแแซแแแแ แแงแแก แแแ แขแแแ.
แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแแแก แแแแแ แแขแแแแ. แแแแขแแ 41-แ แแแแแ แแขแฃแแ แ แแชแฎแแแ 412 = 1681.แแแแแแขแ แแแแแ แแ แแแแชแแแแก แฃแแแแจแแ แแแแ แแแแแ แแขแแก แคแแ แแแแแก แแแแแแแแ. แแแแแแแแแ, แแฃแแ
แแแแแ แแขแแก แแแแ แแแก แกแแแ แซแแ 41 แ, แแแจแแ แแแกแ แคแแ แแแแ แแฅแแแแ 1681 แแ. แ. แแก แกแฅแแแแแแช แแแ แแแ แฉแแแก _ แฌแ แแแแแกแ แแแแแแแแ แแแแฅแแก แแแแแ แแขแแก แคแแ แแแแแแแแแ, แฎแแแ แฅแแแแ แกแขแ แแฅแแแจแ (แฅแแแแ แ แแแจแ) แฌแ แแแแแกแ แแแแแแแแ แแแแฅแแก แแแแแ แแขแแก แแแแ แแแก แกแแแ แซแแกแแแแแแ.แแแ แแแแ แแแแแ แแขแฃแแ แ แแชแฎแแแ 1, แ แแแแแแช แแ แช แแแ แขแแแแ แแ แแ แช แจแแแแแแแแ. แงแแแแ แกแฎแแ แแแแแ แแขแฃแแแ แแชแฎแแ แแ แแแแ แแแแแแแ แแ แแแแแช แแแขแฃแ แแแฃแ แ แแชแฎแแก แจแแแชแแแก, แแแแขแแ แแแ แแฅแแแแ แแแ แขแแแ.
4. แแแฅแแแ, แชแฎแ แแแจแ แฃแแแ แฉแแแฌแแ แแ n แ แแแแแแแแแก แแแแแแแแแก n แชแแแ แกแแแแแ (แแแแแแแแแ, 4แแแแแแแแแก แแแแแแแแแก แฌแแแ, แกแแแแฆแแ, แฌแแแ แแ แฌแแแแแแแแ). แ แแแแแแฃแฏแ แแแแแแ แชแฎแ แแแ แแแแแญแแ แแแแแกแแแแแกแแ?
แแแฅแแแ, n แ แแแแแแแแแก แแแแแแแแแแแ แแแแแแฃแแแ แแแคแแกแขแแ แกแแฅแแแแแ แฌแแ แแแ แแแกแฌแแ แ แงแแแแแกแฎแแแก. แชแฎแ แแแจแ แแฆแ แแชแฎแฃแแ แฃแแแ แแงแแก แแแแแแฃแแ แแ แฌแแ แแแแก แแแแแแแแแก แแแ แแฆแ. แ แแแแ แ แแแ แแแแแแฃแฏแ แแแแแแ แชแฎแ แแแ แแแแแญแแ แแแแ แกแแแแแกแแ?
แแแ แแแ แชแฎแ แแแจแ แฃแแแ แแงแแก แแ แ n2, แแ แแแแ (n + 1)2 แชแแแ แฃแฏแ แแแ, แ แแแแแ แแ แแ แแแแแขแแแแแ แกแแแขแแแแแแแ แแแแแแแแแแแก แกแแฎแแแแแแกแแแแกแแ แกแแญแแ แ, แฎแแแ แแ แแ แแแแแขแแแแแ แกแขแ แแฅแแแ _ แกแแแแแแแแกแแฎแแแแแแกแแแแก.
- 104 -
แแแแ แ แชแฎแ แแแจแ แฃแแแ แแงแแก (n + 1)2 n แชแแแ แฃแฏแ แแแ, แ แแแแแ แแก แแแแแขแแแแแ แกแขแ แแฅแแแ แแ แกแแแขแ แแกแแแกแแญแแ แแ, แแแแ แแ แกแแแแแแแ แแ แแแแแแแแแ n แชแแแ แฃแฏแ แแแ, แ แแแแแ แแแแแแแแ แแแแแแแแก แฌแแ แแแก แแแ แแแกแฌแแ แก. แแแแฎแแแแก แแแแแ แแขแฃแแ แชแฎแ แแแ แแ แแแแฃแฅแแแก แแแแแแขแ แฃแฏแ แแแแแ _ แแแแแแแแแแก แฃแฏแ แแแแแ.
5. แแแแแ แแขแ แจแแแซแแแแ แแแแงแแ แแ แแแฎแแแ แแ แแ แขแแ แกแแแแฃแแฎแแแแ. แแแแก แแแแแแแแฌแแแแแแแแแฎแแขแแ แแแ แแแแ แฎแฃแแ โแกแแแแฃแแฎแโ แ แแชแฎแแแกแกแฅแแแ แแ แฉแแฌแแ แแ แแแแ แแก แ แแชแฎแแแแ. แ แแแแแแแแแแแแ แแแ แขแแแ แ แแชแฎแแ?
แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแแก แกแฅแแแ แแแแแ 90 แแ แแแฃแกแแแแแแ แฃแแแแฃแแ แแแแฎแแขแแแ _ แแแ แแแแแ แแแแแ แ-แขแแแแก แแแแแฎแแแ แแแแ. แฏแแ แแแ แฉแแก แแกแ, แแแ แแแแแแแ แฃแแแแ. แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแแ: 1, 3, 6, 10, 15 ... แแแ แขแแแแ 3.
6. แ แ แแแแจแแ แแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแกแ แแ แแแกแแแแแแแกแแแ แแแฃแกแแก แแแแกแแกแแแแก แแแชแแแฃแ แแแแชแแแแก แจแแ แแก?แกแฅแแแแแแ แฉแแแก, แ แแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแ แจแแแซแแแแ แแแแแฆแแ แแกแ: 1; 1+2; 1+2+3; 1+2+3+4; 1+2+3+4+5 ... แแแฃ 1-แแแ n-แแแ แงแแแแ แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแก แฏแแแแก แแแแจแแแแแแแ.
7. แฃแแแ แจแแแแแแแแแ 8 แฅแแแแฅแก แจแแ แแก แแแแซแแแแ แชแฎแ แแแ. แ แแแแ แ แชแฎแ แแแ แแฅแแแแ แกแแญแแ แ แกแแแแแกแแ?แ แแแแแแ แฃแฏแ แแแ แแฅแแแแ แแ แชแฎแ แแแก?
แชแฎแ แแแ แกแแแแฃแแฎแ แแแแแแ, แ แแแแแ แแฃแแแแแกแจแแ แแแแซแแแ แแ แแ แฅแแแแฅแแแแ แแแแ แแแแ,แแแจแแ แแฆแแ แแฅแแแแ แกแแญแแ แ แแแแซแแแแแแแ แแแแ แแแ แแแแแแแ. แแแแแช แแฆแแ แแแกแแญแแ แ แแแแ, แฅแแแแ แแ แแ แกแขแ แแฅแแแ,แ แแแแแ แแแแ แฅแแแแฅแแแแ แงแแแแ แแแแซแแแแฃแแแ แฉแแฌแแ แแแแ แแแแ แกแแแขแจแ.แแแแแกแแฉแแแแ แฉแแแก, แ แแ แฃแฏแ แแแแแแก แ แแแแแแแแ แแแแฅแแแก แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแ, แ แแแแแ แแก แแแแฆแแแ แแกแ:2 + 3 + 4 + ... + 9. แแแฃ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแ 1-แแ แแแแแแแ แ แแชแฎแแแ.
แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแฅแแแก แแ แแแแแก แแแคแแกแแแ. แแแคแแกแแแ แซแแ แแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแ แแฃแจแแแแแ, แแแกแฌแแแแแแแแแแฎแแแแ แแแแแแแแแแก แแซแแแแก, แแแแแแ แแ แแแ แฎแแแก แจแแ แแก แแแซแ แแแแก, แแแแแแแแฃแแแฃแแ แฃแแฃแแแแจแแ แแแก แแแกแแกแฌแแแแ แฎแแ แแฉแแแแก แแฌแแแแก แแแกแฌแแแแแแแก.
6) แแแกแแแ แแฆแแก, แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก 45 แฌแ: III แคแแแแก แแแแ แ แแแฌแแแ =แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก I แคแแแ: แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแ แแ แแแฆแ แแแแแแ (แแ แ _ 25 แฌแ)
แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแขแแ แแฅแชแแฃแแ แแฃแจแแแแ.แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแแฎแแแแ แแกแแแ แฉแแขแแ แแแแ, แ แแแแ แช _ แแแแ แ แแแแแแแแแแ.
7) แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก II แคแแแ (แแ แ _ 15 แฌแ): แคแแ แแฃแแแแแก แจแแแแแแ, แแแแขแแแชแแแ แแ แแแแแ แแแ แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแแแแแ; แจแแแแฏแแแแแแแ แขแแฅแกแขแแก แฎแแแแแฆแแ แฌแแแแแฎแแ แแแกแฌแแแแแก แแแแ .
แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแฅแแแก แแ แแแแแก แแแคแแกแแแ. แแแคแแกแแแ แซแแ แแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแ แแฃแจแแแแแ, แแแกแฌแแแแแแแแแแฎแแแแ แแแแแแแแแแก แแซแแแแก, แแแแแแ แแ แแแ แฎแแแก แจแแ แแก แแแซแ แแแแก, แแแแแแแแฃแแแฃแแ แฃแแฃแแแแจแแ แแแก แแแกแแกแฌแแแแ แฎแแ แแฉแแแแก แแฌแแแแก แแแกแฌแแแแแแแก.
_ แ แ แแแแจแแ แแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแ-3 แแ แแ-4 แแแแชแแแแแก แจแแ แแก? {แแ-4 แแแแชแแแแจแ แแแแแ แแขแฃแแ แแชแฎแแแแก แแแงแแแแแ}. แ แแ แแแแกแฎแแแแแแแ แแ-4 แแแแชแแแแก แแแแ แ แชแฎแ แแแ แแแ แแแแแกแแแ? {แชแฎแ แแแกแแแฃแฅแแแแฃแแ แแฅแแก แแแแแแแแแแก แฃแฏแ แแแแแ, แ แแแแแ แแแแแแแแ แแแแแกแแแแก แฌแแ แแแก แแแ แแแกแฌแแ แก}._ แแฎแแ แแแแแแฎแแแแแ แชแฎแ แแแแแแก แแฎแแแแ แแแแแแ แฃแฏแ แแแแแก _ แ แแแแแแจแแช แกแแญแแ แ แแแคแแ แแแชแแแแจแแขแแแแแ. แแกแ แแแ แแฆแแ แแแญแแ แแแแ แแแแแขแแแแแ แกแแแขแ แแ แกแขแ แแฅแแแ.แแแ แแแ แชแฎแ แแแจแ n2 แชแแแ แแแแแแ แ แฃแฏแ แแแแ แแ แแแแแแแ แแแแแแแแแแก แฃแฏแ แแแแแ. แ แแแแแแ แฃแฏแ แแแแแแแแแแแแแแ? { n } แแกแ แแแ แ แแแแแแ แ แฉแแแ? แชแแขแแ, แแแฌแแ แ แแแคแแแ!
n2 nแแฎแแ แแแแแ แฃแฏแ แแแแแแก แ แแแแแแแแ แกแฎแแแแแแ แแ แฉแแแฌแแ แแ. แกแฃแ n แ แแแแแแแแแก แแแแแแแแแ. แแแแแแฃแแแแ แแแแแแ แฌแแ แแแ แแแแแแแแ? { n 1}. แแแแฎ. แแแจ แกแฃแ แ แแแแแแ แฌแแ แแแ แแแแแแแแแแ? { n (n 1) } แแกแ แแแแแ แแแแแแแแแ แฃแฏแ แแแแแแก แ แแแแแแแแ แฉแแแ แแ แ แคแแ แแฃแแแ แแแแแแแแแแแ. แแแแ แแ แ แแแแแแแแ แฎแแ
- 105 -
แแ แแแแแแแแแแ. แแ แ แแขแแแแ แขแแแ แแก แแ แ แ แแแแแแแแ? แแแ แแแแแขแแแชแแแก? { n (n 1) -แจแ แแแแแแแงแแแแแแแแ แแแแแแแแแ แแแฃ แแแแฎแกแแแ แคแ แฉแฎแแแแแ }
n (n 1) = n2 n ._ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแ-5 แแแแชแแแแจแ แแฅแแแ แแแแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแ. แแแแ, แแแแ แกแฅแแแ แแแแฎแแแแ,
แฌแแ แขแแแแแแ. แแฆแแแ แชแแขแ แแแแแขแ แแแแแ, แ แแแ แฃแคแ แ แแแแแแแ แแแแแฉแแแแก:
_ แแแแแฎแกแแแแ แแ-6 แแแแชแแแ.แแแแฎ, แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแแก แกแฅแแแ แแแแแกแแฉแแแแ แแแแฉแแแแแแก แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแแแก แฏแแแแแก 1-แแแ 2-แแแ, 3-แแแ, 4-แแแ แแ แแกแ แจแแแแแ. แแฎแแ แแแแแแแงแแแแแ 1-แแแ m-แแแ แงแแแแ แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแกแฏแแแแก แแแแแกแแแแแแแ แคแแ แแฃแแ. แแ, แแแฌแแ แ แแแคแแแ แฏแแแแก แแแแแกแแฎแฃแแแแ.
1 + 2 + 3 + ... + mแแแแแแแงแแแแ แแแฃแกแแก แฎแแ แฎแ. แแแฃแฌแแ แ แฅแแแจ แกแแญแแ แ แฏแแแ (แแ แแแฃแฌแแ แก). แแฎแแ แจแแแ แแแ. แแแแแ แแแแ. แ แแแแฅแแแแแแ แแแแแ แฉแ แจแแกแแกแ แฃแแแแแแ? {แแแแแฎแแแ แแแ} แแแจ แกแแแแแแแ แ แ แคแแ แแฃแแ แแแแแฆแแ?
1 + 2 + 3 + ... + m = m (m +1) / 2แแแ แแแแแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแก แคแแ แแฃแแแ แแก? {แแ-m แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแกแ}.
_ แฉแแแ แแ แฅแแแแฅแแแแก แชแฎแ แแแจแ แกแแแแแแ แแแฅแแแแ แฏแแแ? { (n 1)-แแแ } แฉแแแแก แคแแ แแฃแแแจแ แแกแ แแแ m-แแกแแแชแแแแ แ แ แฃแแแ แฉแแแกแแแ? { (n 1) } แแแ, แแแแ, แฉแแกแแ.
(n 1) (n 1 + 1) /2 = (n 1) n / 2_ แแแแแฆแแ แแฃ แแ แ แแแแแ แ แแแแแแแแ? แแแแฎ, แแกแแ แแแแแแแแแก แแแแ แ แแแ._ แ แ แแแแจแแ แแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแ-5 แแ แแ-7 แแแแชแแแแแก แจแแ แแก? {แแ-7 แแแแชแแแแจแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแก
แแแงแแแแแ}. แแแแฎ. แฎแแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแ แแ แแแแ แแแแแ แแแแจแแ แแแแแกแแแแแ. แแแแแแแแแ, แฌแแแแ แแแแแแแแแแแ แ แแแแ แแแแชแแแแจแ แจแแแฎแแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแ? {แฌแ แแฎแแแแ แแแแแแ แ 17 แฌแแ แขแแแ แ แแแฅแแ แแแแแ แจแแแแแ แแแ}. แแก แฅแแ แแ แแแแแแแแแแ. แ แ แแแฎแแแแแแ, แฌแแ แขแแแแแ แแ แ แแแแแแแแแแแแ, แแ แแแแแแกแ แแแแ แ แแ แจแแแแแแ แแแแแแ?
แจแแแแจแแแ. แแฃแแ แแแแกแก แแแกแฌแแแแ แแฅแแก แฌแ แคแ แแ แกแฎแแแ, แแแจแแ แแแแแแแแแแแแกแ แแ แแกแ แแแแกแจแแแแ แแกแแแ แแแแก แแแชแแแแ แจแแแซแแแแ แฌแ แคแแแแแกแ แแ แกแฎแแแแแแก แจแแแแ แแกแแแ แแแ.
_ แแฎแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแแก แคแแ แแฃแแ แแแแ แแแแแ แแ แแแแแแขแแแชแแ. แแ แแแแ แ แแแแก แฉแแแแ แกแแแแฃแแฎแแชแฎแ แแแ แแแแฉแแแแแแก. แ แแแแ แแแแแฆแแ แแแแแ แแขแฃแแ แ แแชแฎแแแกแแแ แจแแกแแแแแแกแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแ?{แแแแแแแฎแแแ แแ} แแแแ แแ แแแแแแแแแก แจแฃแแแ แฎแแ แแแ แแแแญแ แแแแ? แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแก แแแแแ แแขแแก แงแแคแแแแแแแแแแแแ แแแแแแแแ แแแ แฉแ. แแแแขแแ แแก แแแแแแแแแ แแแแแแแแแ แแแแฃแแแขแแ แแ แแแ แ แแแแแแแฎแแแ แแ.แแ แแแแแฎแแแ แแแแก แจแแแแแ แแฃแกแขแแ แแ แแ แแแแแแแแแ แแแแแ แฉแแแ. แแแ แแแฌแแ แก แแแคแแแ แแ แแแแแแแแแแก?
(m2 + m) / 2_ แแฎแแ แแแแแขแแแชแแ, แ แแ แแแแก แขแแแแ m (m +1) / 2 . แแกแแ แ แแแแแ แแแแกแแแ แฃแแแ แแแแแแแงแแแแ?
{แแแแ แแแแแแแแแ แแแฃ แคแ แฉแฎแแแแแแก แแแฎแกแแ}. m (m +1) = m2 + m.แแแแ แ แคแแแแก แแแแแก แแ แแแ แแ แแแกแฌแแแแ (แแแ แแแ แแแแแฎแแแแ) แฎแแแแแฆแแ แฌแแแแแแฎแแแก แจแแแแฏแแแแแแ
แขแแฅแกแขแก:
แแแกแฌแแแแแแแแ แกแฎแแ แแแกแฌแแแแแแแก แจแแแแแแฎแแแ:
แคแแ แแฃแแ แแแแแแแ แฃแแแ แแ แกแฃแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแแแ แแแแก แแแแชแแแก แแ แแฆแฌแแ แก. แแแแแแแแแ, แฉแแแแแแกแฌแแแแแ แแ แ แคแแ แแฃแแ. แแกแแแ แแแแชแแแก แจแแแแแ แแแแแ แแแแแก: แแแแแ แแขแฃแแ แ แแชแฎแแแแ แแแกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแ; แแ แแแแแแแแก แแแแแแแแ แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแแแก แฏแแแ; แฌแแ แขแแแแแแก แจแแแ แแแแแฅแแ แแแแแ แแ แแกแ แแแแ; แแแแแจแแแ แกแแแ แขแฃแ แขแฃแ แแแ แจแ; แแแแแแแแแแแก แแแแ แแ แแแแแแแแกแแแแกแฌแแ แแแแแแก แแแแแแแแ แแ แฎแแแแก แฉแแแแ แแแแแ; แชแแคแ แแแแกแแแ แแ แแแจแแ แ แแชแฎแแแแแก แจแแแแแแ แแ แกแฎแแ (แแกแกแฎแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแจแ แแแแฅแแแแ!). แแแแแแแขแแแแก แกแแซแแแแ แ แกแฌแแ แแ แแก แแแแแแแแแ: แแแแกแแแแแแ แแ, แ แแ แแแแกแฏแแ แฉแแแแขแแ แแ แ แแฃแแ แแแแแแแแแแ, แจแแแซแแแแ, แแ แแ แคแแ แแฃแแ แแแชแแแแ แแแกแฌแ แแคแแ แแ แแแแแแแ แแแแแแแแแแแ แกแแญแแ แ แ แแชแฎแแ.
- 106 -
_ แแแจ แ แ แงแแคแแแ แแแแแแแขแแแแก แกแแซแแแแ แ? {แแแแแแแแ แแ แแ แคแแ แแฃแแ แฃแแแ แแ แแแแแ แแแแก แแแแชแแแก}._ แฉแแแ แแฅแแแแ แ แ แแแชแแแแ แ แแ แแแแแแแขแแแ แแ แแก แงแแแแแแ ... แ แแแแ แ แแแชแแแแ แแแ? {แงแแแแแแ แแฃแกแขแแแแชแแแแ แแแ}. แแแแฎ. แแแแแแแขแแแ แงแแแแแแ แแฃแกแขแ แแแชแแแแ แแแแ แแ แแแ แงแแแแแแ แแแแแแ แแแชแแแแ แแแแ! แแแแแแ แฌแแ แแแแแแแแแ, แ แแ แ แแชแฎแแแแแก แฏแแแแแ, แฅแแ แแแแ, แแแแแแแแแแ แฌแแ แแแแแ, แฅแแแแฅแแแก แจแแ แแกแแแแซแแแแแ แแ แกแแแ แขแฃแแ แขแฃแ แแแ แ แแก แงแแแแแคแแ แ แ แแ แแ แแ แคแแ แแฃแแแ แแฆแแฌแแ แแแ?!
8) แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก III แคแแแ: แแแกแฌแแแแ แคแแ แแฃแแแแแก แแแแแงแแแแแแก แแแฌแงแแแ (แแ แ _ 5 แฌแ):
แฌแงแแแแแแจแ แแฃแจแแแแ _ แแแกแฌแแแแแแ แแแขแแ แแกแแแแก แแแฎแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแฃแแ แแแแแแแแ.
(แกแแกแฃแ แแแแแ, แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแแแแ แแ แแฆแแ แแแแแแแแแแ, แแ แแแแ แแแกแฌแแแแ แคแแ แแฃแแแแ แแแแแแงแแแแ)
แฌแงแแแแแแก แแแแแแแแแ แ แแแแแแแแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแแแแแแแก แแ แฌแงแแแแ แแแแแแ แแ แฉแแแก แกแแกแฃแ แแแแก.แแฃแแ แแแ แจแแแแแฎแแแแแแแ, แจแแแซแแแแ แฌแงแแแแแแแก แจแแแแแแแแแแแแก แฃแชแแ แจแแชแแแ. แแฃแแ แ แแแแแแแแแแแแแแแแก แแ แชแแ แแ แแแกแฌแแแแ แแ แแแ แฉแแแก, แแก แแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแแแแขแแก. แงแแแแแแแแแแแแ แแ แแก แแแแชแแแแก แจแแแแแแแแ แแ แแแ แ แแแแแแแแแแ:
1) 12 แฉแแแแฃแ แแแแแก แกแแแ แขแฃแแ แขแฃแ แแแ แ, แแแแแฎแแแ แแแแ;12 แฉแแแแฃแ แแแแแก แกแแแ แขแฃแแ แขแฃแ แแแ แ, แแแแแฎแแแ แแแแก แแแ แแจแ (แ แแแแแ แขแฃแ แแแ แจแ แแแแแแฃแแแ
แแแแแฌแแแแ แแ -แแ แฏแแ แฃแแแ แแแแแแจแแก แงแแแแ แกแฎแแแกแแแ);แแ แแแ แขแฃแ แแแ แแก แชแฎแ แแแแก แแแฎแแแแ.
แกแแแ แขแฃแแ แขแฃแ แแแ แแก แชแฎแ แแแแก แแแแฃแจแ:
แแแแแก แแแแแแแ แฎแแแแ 2 แกแแแขแ: แฏแแแฃแ แ แฅแฃแแ แแ
แแแแแแแแฃแแ แแแแแแ. แแแแ แแ แแก 2 แกแแแขแ แฉแแแ แแ
แแแญแแ แแแแ. แแ แชแฎแ แแแจแ แแแแ แฃแฏแ แแแ แแแแแแขแแ.
แ แแแแแ แฃแฏแ แแแแแแ แฎแแแแ แแแแฃแฅแแแฃแแ, แแ แจแแ
แแฃแ แแแแ แฉแแฎแแขแฃแแ? {แแแแแแแแแแก แฃแฏแ แแแแแ,
แ แแแแแ แแฃแแแ แแแแแกแแแแก แแแ แจแแฎแแแแแ}.
แแแกแแแแแแแแ แจแแชแแแแแ n (n + 1) / 2 แคแแ แแฃแแแก แแแแแงแแแแแ.
แแกแแแ แแแแแแแแ แแแแชแแแแแจแแช แแแแแแ แแ แแแกแฌแแแแ แคแแ แแฃแแแแแก
แกแฌแแ แแ แแแแแงแแแแแ _ แแแแจแ m-แแก แแแชแแแแ แ แ แฃแแแ แฉแแแกแแแก _ 11, 12 แแฃ 13.
2) 12 แแแแแแแแแก แแแแ แแ แแแแแแแแกแแแแก แฌแแ แแแแแแก แแแฌแแ แ, แแแแแฎแแแ แแแแก แแแ แแจแ. 12 แแแแแแแแแก แแแแ แแ แแแแแแแแกแแแแก แฎแแแแก แฉแแแแ แแแแแ (แแแแ-แแแแแฏแแ ). แชแฎแ แแแแแแก แแแฎแแแแ.
3) 12 แฌแแ แขแแแแก แจแแแ แแแแ แแแแแแแแแแแแ; 12 แฌแแ แขแแแแก แจแแแ แแแแ แแกแ แแแแ.แแแ แแแแ แแแฎแแแแก แแแฎแแแแ (แแแแแ แฃแแแ แแแแฎแแแแก).
4) แ แแชแฎแแแแแก แงแแแแ แจแแกแแซแแแแแแแแก แแแแแแแแ (แแแ แแแแขแแแแก แแแแแแ).แแแชแแแฃแแแ k แชแแแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แชแแคแ แ, แแฃแแแก แแแ แแ. แ แแกแ แขแแแ แจแแแซแแแแ แแงแแก k?แแแแ แแแแแ, แแ แชแแคแ แแแแ แกแฃแ แ แแแแแแ แแ แแแจแแ แ แแชแฎแแแก แจแแแแแแแ แจแแกแแซแแแแแแ, แแฃแแ:
I. แชแแคแ แแแแก แแแแแแ แแแ แจแแแซแแแแ;II. แชแแคแ แแแแก แแแแแแ แแแ แแ แจแแแซแแแแ;
แแแแ แแแแแ, แแ แชแแคแ แแแแ แชแแคแ แแแแก แกแฃแ แ แแแแแแ แฌแงแแแแแก แจแแแแแแแ แจแแกแแซแแแแแแ, แแฃแแ:III. แชแแคแ แแแแก แแแแแแ แแแ แจแแแซแแแแ;IV. แชแแคแ แแแแก แแแแแแ แแแ แแ แจแแแซแแแแ;
แแแแแแแแ. แฌแงแแแแจแ แแแแแแแแแแ แแแ แกแฃแแแ แแแ: 4, 9 แแ 9, 4 แแ แแแแแแแแแ แฌแงแแแแแ.แ แแแ แชแแคแ แแแ แกแฎแแแแแกแฎแแแ, k แแ แจแแแซแแแแ แแงแแก 1. แ แแแ แแฃแแ แแ แจแแแแก, แแ แจแแแซแแแแ แแงแแก 10.
แแกแ แแแ แจแแแซแแแแ แแงแแก: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. แแแแฅแแก แแ แ แแแแ แแแ: I. แชแแคแ แแแแก แแแแแแ แแแ แจแแแซแแแแ: แฉแแแฃแแแแ แแ แแแแแ แแขแฃแ แ แแชแฎแแก แแแแแฆแแแ: k2.
II. แชแแคแ แแแแก แแแแแแ แแแ แแ แจแแแซแแแแ: แแแแแแแแแ 11, 22, 33, ..., 99; แแแฃ k แชแแแ แ แแชแฎแแ; แแแ แฉแแแ k2 k.
- 107 -
III. แฌแงแแแแจแ แชแแคแ แแแแก แแแแแแ แแแ แจแแแซแแแแ: แฐแแแแก แแแ แฉแแฃแ แแแแชแแแแแก, แแแแแแแแแ, แฅแแ แแแแแก แ แแแแแแแแแก
แจแแกแแฎแแ. แแแฅแแแ, แแแ แแแ แแแแ แแแจแแ 1. แแแจแแ แแแแ แ แแแแ แแแจแ แจแแแซแแแแ แแงแแก 1, 2, 3, ... แแแฃ k แชแแแ แชแแคแ แ; แแแฅแแแ,
แแแ แแแ แแแแ แแแจแแ 2; แแแจแแ แแแแ แ แแแแ แแแจแ แจแแแซแแแแ แแงแแก 2, 3, ... _ แแแฃ (k 1) แชแแแ แชแแคแ แ, แ แแแแแ 1; 2 แฃแแแ
แจแแแแแแแแแ; แแ แแกแ แจแแแแแ; แแแแแฆแแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแก แฏแแแก 1 + 2 + ... + k = k (k + 1)/2.
IV. แชแแคแ แแแแก แแแแแแ แแแ แแ แจแแแซแแแแ: แแกแแแ แ แแแแ แช II-แจแ, แแแแแแแแแ k แชแแแ แ แแชแฎแแ; แแแ แฉแแแ k (k + 1)/2 k.
แแแกแฌแแแแแแแแ แกแฃแ แแแ แฎแแแก แจแแ แแก แแแแแก แแ แกแแกแฌแแแแ แฎแแ แแฉแแแแแ แแฎแแแ แแแ แฌแงแแแแแแก. แแกแ แ แแ,แแฃแจแแแแแก แแแกแ แฃแแแแแกแแก แแแแฅแแแก แงแแแแแก แแแ แแแแฃแแ แแแกแฃแฎแ แแฅแแแแ แแแฆแแแฃแแ. แแแคแแกแแแ แแแแ แฉแแแแแแแแฃแแ แแแแแแแแ. แแแ แแแแแฃแ แแ แแแฃแจแแแแแก แแ -แแ แ แแแกแฌแแแแ. แกแฎแแแแ แ แแแฃแแแแจแ แฉแแแฌแแ แแ.
9) แแแแแฎแ แแแแแแแแแแก III แคแแแ: โแแแกแแกแแแแแ แแแ แแแแแแกโ แจแแแกแแแ แแแกแฌแแแแแแ แแแแ , แแแแ
แแแแแจแแคแแกแแแ; แแแกแฌแแแแแแแแกแแฃแแ แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแแ แจแแคแแกแแแ (แแ แ 5 แฌแ).
แแแกแฌแแแแแแแ แจแแแแกแแแแ โแแแกแแกแแแแ แแแ แแแแแกโ:
แแ แแแ แแแแแแ แฃแแฃแแแแจแแ แก แแแกแฌแแแแแแแ แแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแฆแแแแ.แแแแแก แแแกแฌแแแแแแแแ แฉแแแขแแ แแแก แแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแ แจแแคแแกแแแแก แแแแ 3 แแแแแแแแแแก แแแฎแแแแแ
_ แแแแแแแแแก, แแฃ แแแแแ แแขแฃแแแ แ แ แแแแแแแ แแแ แแแ แแแแแแฃแแแ แแแกแฌแแแแแ (แฌแงแแแแแ, แแฃแแแแ).
แแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแ
1. แคแแ แแฃแแแก แแแแแงแแแแแแ แแแแแแแแแแ 90-แแแ 900-แแแ แงแแแแ แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแก แฏแแแ.901โข900:2 90โข89:2; แแแกแแแแแแแแ แจแแชแแแแแ: 901โข450 91โข45.
2. แฉแแแ แแแแแแขแแแชแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแก แคแแ แแฃแแ m (m + 1) / 2 . แชแฎแแแแ, แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแ แแ แจแแแซแแแแ แฌแแแแแฃแ แ แแงแแก. แแแแ แแ แกแแแแแแแแ แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแแแก แแแแ แแแแแก แแแฎแแแแ แแจแแแซแแแแ แแ แแงแแก แแแแแ. แแฆแฌแแ แแ, แ แ แกแแฎแแก แ แแชแฎแแ แจแแแซแแแแ แแงแแก แแ แ แแ แ แแแแแแแแ แแแขแฃแ แแแฃแ แแ แแชแฎแแแก แแแแ แแแแแก แแแฎแแแ แแก แแแแจแแแแแแแ.
แจแแแแแ แแแแ แแแแแ, แ แ แฎแแแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแแก แจแแแแฎแแแแแจแ แแแฎแแแแ แ แ แแขแแ แแแแแแแกแงแแแแแแแแก แแแแแ แ แแชแฎแแ?
แกแแแแแแแแ, แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแแแก แแแแ แแแแแก แแแแจแแแแแแแ แแ แแฃแฌแแ, แแ แแแแขแ. แแฃแแ แแฃแฌแแ, แแแกแ
แแแฎแแแแ แ แแแแแ แ แแชแฎแแแ; แแ, แแฃแแ แแแแขแแ, แแแจแแ แแฃแฌแ+1 แกแแฎแแกแแ. แแแแขแแ แแแกแ แแแฎแแแแ แ แแกแแแ แ แแชแฎแแแ,
แ แแแแแก แฌแแแแแฃแ แ แแแฌแแแ 1/2-แแก แขแแแแ (แแแแแแแแแ: 0,5; 1,5; 2,5; ... 94,5 แแ แแกแ แจแแแแแ).
แแแแ แแ แแฃแแ แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแ, แแก m(m + 1) / 2 -แแก แขแแแแ. m(m + 1) แแแแ แแแแจแ แแ แแ แ แแชแฎแแแ แแฃแฌแ, แแ
แแแกแ แแแแแแแแ แ แแชแฎแแ (m + 1). แแแแขแแ แแแแ แแแแแก แแแแจแแแแแแแ แแฃแชแแแแแแแ แแฃแฌแแ. แแกแ แแแ แแ
แแแแ แแแแแก แแแฎแแแแ แ แงแแแแแแแแก แแแแแ, แแแขแฃแ แแแฃแ แ แ แแชแฎแแแ.
3. I. แจแแแแแแแแ แแแแชแแแ แแแ แแแแขแแแแก แแแแแแแแ, แ แแแแแแช แจแแแฎแแแ แฅแแแแฅแแแก แจแแ แแก แแแแแแคแ แแแแแแกแ แแแกแแแก.
1. แแแแฎแกแแแ แแแแ แแ แ แแแแแแแแแ. แ แ แแแแแฌแแแ แงแแแแแแ แแแขแแ? แ แแ แแแแแแแขแแ แแกแ?
2. แ แ แแแแแแแแ แงแแแแแแ แแแขแแ?
3. แ แ แแแแแซแแแแแ?
4. แแ แซแแแ แกแแแแแฎแจแ แ แ แจแแแซแแแแ แจแแแจแแแแก แแแแจแแก?
5. แ แแแแ แแฃแฎแกแแแแ แแแก แจแแชแแแแแก?
6. แกแแแ แขแฃแ แขแฃแ แแแ แจแ แฉแแกแแขแแ แแแแแ แแแแแจแแแแก แ แแแแแแแแแก แแแแแแแแ แ แแ แแแแญแแ แแแก, แ แแแแแแแแก แแแแแแงแแแแแแ?
- 108 -
10 แฅแแแแฅแแแแ แงแแแแ แกแฎแแแจแ แแแแแแคแ แแแแแแก แ แแแกแ แฃแแแ แแแแแแจแแแก. แกแฃแ แ แแแแแแ แ แแแกแ แแแกแญแแ แแแแแ?
II. แแแแแแแแ แแแแแ แแ แแ, แแฎแแแ แกแแงแแคแแชแฎแแแ แแแ แแ แกแแแฃแแแแแกแแแขแงแแแแ แแแแแ แแแ, แ แแแแแจแแชแแแแแแแงแแแแแ: II. แแแแแ แแขแฃแ แ แแชแฎแแแแก; III. แกแแแแฃแแฎแ แ แแชแฎแแแแก.แแแแแแแแแ: II. III. แแฆแแแแแก 11 แกแฎแแแแแกแฎแแ แคแแ แแก แกแแฆแแแแแ แแฅแแก; แแก แแแแ แแแก แแฎแแแ แคแแ แแแแกแกแแฆแแแแแแแแก แแแฆแแแแก, แ แแกแแแแกแแช แแแแแกแ แกแแฆแแแแแแแ แแแแแแ แแ แฃแแแ แจแแฃแ แแแก แแ แแแแแแแจแ
แแแแแแฃแแ แคแแ แแก แกแแฆแแแแแ แงแแแแ แกแฎแแแจแ. แกแฃแ แ แแแแแ แแฎแแ แคแแ แก แแแแฆแแแก แแฆแแแแแ?
4. แกแแแ แขแฃแ แแฃแแแก แแฅแแก 8 แกแฎแแแแแกแฎแแ แคแแ แแก แแแแกแฃแ แ แแ แแกแแแแแ แคแแ แแก แจแแ แขแแแ; แ แแแแแแแกแฎแแแแแกแฎแแแแแแ แ แกแแแ แขแฃแแ แคแแ แแ แจแแแซแแแแ แจแแแแแแแแ? แแแแแฎแแแแ แกแแแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แจแแแแฎแแแแ:II. I. แกแแแ แขแฃแแ แคแแ แแ แแแแแแแแ แแ แแ แคแแ แแกแ แจแแแซแแแแ แแงแแก;II. II. แคแแ แแแแก แแแแแแ แแแ แแ แจแแแซแแแแ;II. III. แคแแ แแแแก แแแแแแ แแแ แจแแแซแแแแ, แแแแ แแ แคแแ แแแแก แฌแงแแแแแก แแแแแงแแแแแ แแฎแแแแ แแ แแฎแแ แจแแแซแแแแ;แแแแแแแแแ, แแฃแแ แจแแแแแแแแแ แคแแ แแ แฌแแแแแ แแแแกแฃแ แ + แแแแ แ แจแแ แขแ, แแแจแแ แแฆแแ แแแแแแแแแแแแแ แ แแแแกแฃแ แ + แฌแแแแแ แจแแ แขแ.
II. I. 8โข8; II. II. 8โข7; II. III. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 9โข4.
5. แแแแแแ แแ แแกแฏแแแแแ: n แชแแแ แฌแแ แขแแแแแแ แแแแแแฃแแ แแ แแแแแ แงแแแแ แแแแแ แฉแแแแแ, แแแฃ(n 1) แชแแ แฌแแ แขแแแแแ. แแแแขแแ แกแฃแ แแแแแแแแ n(n 1) แชแแแ แแแแแแแแแ. แแแแ แแ แแ แแแแแแแแแแแแกแแ แแแแแแแแแจแ แงแแแแแ แแแแแแแแแ แแ -แแ แฏแแ แแ แฉแแแแแแแ, แ แแแแแ AB แแแแแแแแแ แแแแแแ, แ แแช BAแแแแแแแแแ. แแแแขแแ แแแแ แแแแ แฃแแแ แแแแแแแฎแแแ แแ. แ แ แแ แแก แแก แแกแฏแแแแแ?
แ) แแแกแฌแแแแ (แฉแแแ แแแแ แแแแขแแแชแแแฃแแ) แคแแ แแฃแแแก แแแแแงแแแแแ;แ) แแฎแแแ แคแแ แแฃแแแก แแแแขแแแชแแแ (แแแฃแกแ แฃแแแแแแ);แ) แฉแแแ แแแแ แฉแแขแแ แแแฃแแ แแ แแแ แแ แแแแแแแแแก แแแกแแแ แแแ;แ) แแแกแแแแ, แ แแแแแแช แแแแแแแแแแ แแแแก แแแแแแแแ แแแแแแแแแแแแ.
แแแ แแแแฃแแ แแแกแฃแฎแแ (แ) _ แฅแแ แแแแแก แแแแชแแแ แแกแแช แจแแแซแแแแแแ แแแแฎแกแแแแแงแ.
6. แแแแฎแแแแแแ แ แแแแแแ แฌแแแกแ แแงแ แแแฃแกแแก แฅแแแแจแแแแ แขแแ แแแ, แ แแแแกแแช แแแฃแกแแ แแแ แแแแแแจแ แแแ แแแแแแแแแแขแฃแ แ แแแกแแ แแแขแแ แแ แแแแแ แกแ?
แแ แจแแแแแฎแแแแ แแแกแฃแฎแแก แแแกแแชแแแแ แกแแแแแ แแก แแแคแแ แแแชแแแก แฉแแแแ แขแแฅแกแขแ แแ แจแแแชแแแก. แจแแแแแแแแแแแ แแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแแแแแ?
แ) แขแแ แแแ แแแฃแกแแก แแแ แแแแแแ แจแแแแ แแงแ (แฅแแแแจแแแแแแก แจแแ แแก แแ แแงแ แฃแคแ แแกแ แแแฃ แแแ แแแแ, แแแแ แแแแ แแแชแแ, แฃแคแ แแกแ แซแแ แฐแงแแแแ แแฃ แแ แ).
แ) แฌแแแแฌแแแแก แแแแแช แ แแแแ แแแแจแ แแ แ แแแแ แ แแชแฎแแจแ แแแแแ แกแ แแแฃแกแแ แแแกแแ แแแขแแ แแ แแ แแกแแแ
แ แแแแ แแแแจแ แแ แ แแแแ แ แแชแฎแแจแ แแแแแแแ แขแแ แแแ.แ) แ แแแแแแ แฌแแแกแ แแงแ แแแฃแกแ, แ แแแแกแแช แแแกแแ แแแขแแ แแ แแแแแ แกแ.แ) แ แแแแแแ แฌแแแกแ แแงแ แแแฃแกแ, แ แแแแกแแช แขแแ แแแ แแแแแแแ.
แแฅแแแแ แแแ แแฃแแแ แจแแแแกแแ แแแแชแแแแก แแแ แแแ แกแแญแแ แ แแแคแแ แแแชแแแ แแ แจแแแแแ แแแแฎแกแแแแ แแก.แแแ แแแแฃแแ แแแกแฃแฎแแ (แ). แแแแฎแกแแ _ แแ-7 แแแแชแแแแก แจแแแแแ.
7. แแ-6 แแแแชแแแแก แแกแแ แฉแแแ แแแกแฃแฎแแแแแแ แแแซแแแแแ แแก, แ แแแแแแช:I. แญแแ แ, แแแแแแข แแแคแแ แแแชแแแก แแแแแฎแแแก (แแฃแแชแ แแ แแก แแแคแแ แแแชแแ แกแแแแแ แแกแ แแฅแแแแแแ);II. แแ แแคแ แแกแแแแชแแ, แแกแแแแช แชแแแแแ แแแคแแ แแแชแแแก แแแแแฎแแแก;III. แแกแแ แแแคแแ แแแชแแแก แแแแแฎแแแก, แ แแแแแแช แแแแชแแแแก แแแแฎแกแแแก แแ แฃแแแแจแแ แแแแ.
I. แญแแ แ, แแแแแแข แแแคแแ แแแชแแแก แแแแแฎแแแก (แแฃแแชแ แแ แแก แแแคแแ แแแชแแ แกแแแแแ แแกแ แแฅแแแแแแ). แแกแแแ แแงแ (แ)
แแกแแ แฉแแแ แแแกแฃแฎแ _ แแ แแ แกแแญแแ แ แแแแก แชแแแแ, แแฃ แแฃแกแขแแ แ แแแแ แแแแจแ แแ แ แแแแ แ แแชแฎแแจแ, แแแแแแแแ
แจแแแแแฎแแแจแแ โแแแแฎแแแแแแ แ แแแแแแ แฌแแแกแโ. แแฃแแชแ, แแก แแแคแแ แแแชแแ แกแแแแแ แแกแ แแ แแฅแแแแแแ แแแแชแแแแก
แแแแกแแฎแกแแแแแ (แกแแแแแ แแกแแ แแแขแแชแแ).
II. แแ แแคแ แแกแแแแชแแ, แแกแแแแช แชแแแแแ แแแคแแ แแแชแแแก แแแแแฎแแแก. แแกแแแ แแงแ (แ) แแกแแ แฉแแแ แแแกแฃแฎแ, แ แแแแแ
- 109 -
แแแกแแ แแแขแแ แแแก แแแแ แกแแแแกแแก แแแฃแกแแก แฌแแแแแแแแ แฉแแแแแแแก แแกแแแแช แชแแแแแแแ _ แแงแ 56 แฌแแแกแ, แแแแแแแแ
1833 1777 = 56. แแกแ แแแ แแก แแ แแ แแแแแขแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแ แแแแชแแแแก แแแแฎแกแแแจแ แแแ แแแแแแฎแแแ แแแ.
III. แแกแแ แแแคแแ แแแชแแแก แแแแแฎแแแก, แ แแแแแแช แแแแชแแแแก แแแแฎแกแแแก แแ แฃแแแแจแแ แแแแ _ แแกแแแ แแงแ (แ) แแกแแ แฉแแแ
แแแกแฃแฎแ, แ แแแแแ แขแแ แแแแก แฌแแแแแแแแแก แแแกแแ แแแแแแ แแ แแคแแ แจแฃแแจแแ แแก, แแฃ แแแ แแแแแแ แจแแแแ แแงแ แแก แแ
แฃแคแ แแกแ แซแแแแ แฐแงแแแแ แแฃ แแ แ.
แฎแแแ (แ) แแกแแ แฉแแแ แแแกแฃแฎแ แแฃแกแขแแ แแก แแแคแแ แแแชแแ แแงแ, แ แแแแแแช แแแญแแ แแแแแแ. แแแฅแแแ, แขแแ แแแแก
แแแแแแแแแกแแก แแแฃแกแ 24 แฌแแแกแ แแงแ. แแกแ แแแ แขแแ แแแ แแแแแแแแฃแแ
1777 + 24 = 1801 แฌแแแก. แแแแขแแ แแแกแแ แแแขแแ แแแก แแแแ แกแแแแกแแก แแแฃ 1833 แฌแแแก แขแแ แแแ แแฅแแแแแแ แแแแฎแแแแแแ
1833 1801 = 32 แฌแแแกแ.
แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแแฎแแแแ แแกแแแ แฉแแขแแ แแแแ, แ แแแแ แช _ แแแแ แ แแแแแแแแแแ.
10) III แคแแแ: แแแกแฌแแแแ แคแแ แแฃแแแแแก แแแแแงแแแแแแก แแแกแ แฃแแแแ (แแ แ 15 แฌแ):
แฌแงแแแแแแจแ แแฃแจแแแแ แแแกแฌแแแแแแ แแแขแแ แแกแแแแก แแแฎแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแฃแแ แแแแแแแแ.
แแแแฃแจแแแ แแแแก แกแแแ แแแกแแแแแกแ แแแ แฉแแแ.
แฌแงแแแแแแ แแแแกแ แฃแแแแแ แแฃแจแแแแแก. แแแแฃแจแแแ แแแ แแแแแฎแแแแแ แแแคแแกแแแ. แแ แแแแแขแแชแแแแ แแ แแ แกแแญแแ แ.
แแแคแแแ แแแ แแแแแฃแ แแ แแ -แแ แแ แแแกแฌแแแแแ แแแแแแแแแก แฉแแแแฌแแ แแแ.
11) III แคแแแ: แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแ แฉแแแ (แแ แ 15 แฌแ);
แแแกแฌแแแแแแแแกแแฃแแ แฃแแฃแแแแจแแ แแแ โแแแกแแกแแแแ แแแ แแแแแแโ.
แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแแฎแแแแ แแกแแแ แฉแแขแแ แแแแ, แ แแแแ แช _ แแแแ แ แแแแแแแแแแ.
โแแแกแแกแแแแ แแแ แแแแแแกโ แแแกแฃแฎแแแ แแแกแฌแแแแแแแแก แฌแแแแกแฌแแ แแแฎแแ แแกแฎแแแฃแแ แแ แจแแฏแแ แแแฃแแ แฃแแแ
แฐแฅแแแแแก, แฃแแฃแแแแจแแ แแแ แแแแฌแแแแก แแแ แแแแก แแแแแแฃแ แกแแแแแฎแแ แจแแฏแแ แแแฃแแแ (แแ แ แ แกแแแแแแ
แงแแแแแ แแแ แแแแก แแแฎแแแแแ) แแ, แกแแญแแ แแแแแกแแก, แแแฃแ แแแก แแแแแ แแแแแแแแฃแแแฃแ แ แแแแแแขแแ แแแ.
แแแแแแแแแ 6. แแแแกแ: VI (แแแแแแแก แแแฎแแแแแ แแแคแแ แแแชแแ แแแแ)
แซแแ แแแแแ แแฎแแแ แกแแแแแฎแ - แฃแแแ แแกแฌแแแแแ: แแแฌแแแแแแก แแแแ แแแแแแ แแแแก แฎแแ แแกแฎแแแแ.
แฌแแแ แชแแแแ - แแแกแฌแแแแแแแแ แแ แแ แแแกแแแแแก แแชแแแ: แฌแแแแแแแ แแ แแแแแ แแแฅแแแแแแแแ, แแแฌแแแแแแก แชแแแแ, แแแฌแแแแแฃแ แ แแแแ แแแแแ, แแแฌแแแแแแก แคแแ แฃแแ แแฃแแแแ, แแแแแ แ แแชแฎแแแก แคแแ แฃแแ แแซแแแ แแ แคแแ แฃแแ แแฃแแแแ, แแแฌแแแแแแแแก แจแแแ แแแ-แแแแแแแแแ, แแแฌแแแแแจแ แแซแแแแก แฌแแแแชแแแแแ แ แแแแแแแแ แแแแ แแแแ, แ แแชแฎแแแก แฎแแ แแกแฎแแก แชแแแแ, แแแแก แฎแแ แแกแฎแแแ.
แแแ แแแแ แแแแแแแแแแก 30 แฌแฃแแ - แแแ แแแแ, แจแแแแแแแแแก แคแแแ
แแแกแฌแแแแแแแแ แจแแแแก แกแแแแแกแ แแแแฎแจแ (แฎแแแจแ แ แแแฃแแแแ แแ แฌแแแแ แฃแแแแแ) แแ แแแแกแก แแกแแแแแแ._ แแแแแ แฏแแแ, แแแแจแแแแ, แแฆแแก แแแ แแแกแฌแ แแแแ แแแแแแแแแก, แงแแแแแแ แแแ แ? แแแ แแแ. _ แแฌแงแแแ แแแแจแแแแแก แแแฌแแกแ แแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแแชแแแแแแก แแแแฎแแแแ. แแแกแฌแแแแแแแ แแแแแจแแแแ แฌแแแแแแกแ แแ แ แแแฃแแแแก. แแแฌแแ แแแแแแแแแแแแฎแแแแแ # 1, 2, 3 แแแแชแแแแแก, แ แแแแแแแช แซแแ แแแแแ แกแแแแแฎแแก แฌแแแแกแฌแแ แ แจแแแแแแแแแแแแ แแแแชแแแแแแ [$ 2.1].
1 . gamoTvaleT namravlis mniSvneloba:
I. 81 ยท 10 ; II. 81 ยท 103 ; III. 81 ยท 105 ; IV. 107 ยท 10 ; V. 107 ยท 103 ; VI. 107 ยท 105.
CawereT saTanado wesi: `imisaTvis, raTa mTeli ricxvi gavamravloT 10-is romelime xarisxze,
saWiroa ricxvis Canawers marjvniv mivuweroT imdeni... ...~
Semdeg CawereT ricxvebi, romlebic miiReba mTel ricxvebSi 81 da 107 faruli mZimis wanacvlebiT
marjvniv 1, 2 da 5 TanrigiT. daakvirdiT miRebul ricxvebs da gaarkvieT, marTebulia Tu ara aseTi
wesi: imisaTvis, raTa mTeli ricxvi gavamravloT 10-is romelime xarisxze, saWiroa ricxvis
CanawerSi faruli mZime wavanacvloT imdeni TanrigiT marjvniv, risi tolicaa 10-is xarisxis
- 110 -
.525 10
40910409
105614
1005614 IV.;III.;II.;I.
maCvenebeli. CawereT am wesis damadasturebeli ramdenime axali magaliTi.
แแ แแแแชแแแแ แแแกแฌแแแแแก แฏแแ แแแแแ แ แแชแฎแแแแแกแแแแก แแแแแแแแแแแแ แแแแก, แ แแช แแแแแแแแ แแแแแแแแแแแแแฌแแแแแแแแกแแแแก แฃแแแ แแกแฌแแแแแก - แแแฃ แแแแแก แแฎแแแ แชแแแแ.
2. CawereT aTwiladis saxiT:
gaiazreT Semdegi wesi: imisaTvis, raTa iseTi wiladi, romlis mniSvneli 10-is xarisxia,
CavweroT aTwiladis saxiT, saWiroa mricxvelSi faruli mZime wavanacvloT imdeni TanrigiT
marcxniv, risi tolicaa 10-is xarisxis maCvenebeli.
CawereT am wesis damadasturebeli ramdenime axali magaliTi.
แแ แแแแชแแแแ แแแกแฌแแแแแก แแแแแแแแแ แแแแกแแแแก, แแฃ แ แแแแ แแแแแแงแแแแก แฌแแแแแแแ แแฎแแแ แชแแแแแก แแแแแแกแแก(แฌแแแแแแแ แแแ แฃแแแ แแแ แแแ แแชแแก).3. daamtkiceT, rom: I. 4,07 ยท 10 = 40,7 ; II. 4,07 ยท 102 = 407; III. 4,07 ยท 104 = 40700.
miTiTeba: aTwiladebi winaswar CawereT Cveulebrivi wiladebis saxiT.
nimuSi: I. 4,07 ยท 10 = ยท 10 = = 40,7.
แแ แแแแชแแแแ แแแกแฌแแแแแก แกแแแ แแแ แซแ แแแ แขแแแ แแแแแแแแแกแแแแก แฃแแแ แแแแแแแแแแแ แแฎแแ แชแแแแแก - แซแแ แแแแแกแแกแฌแแแ แกแแแแแฎแก.
_ แแแแ แแ, แแแแแแ แแแคแแกแแแ แแ แแแแแฎแกแแแ แแแ แแแแ แแแแชแแแ. ... ... _ แแแคแแกแแแ แแแแแก แฎแฃแแ แแแกแฌแแแแแ แแแ แแแแแแ, แแแแฏแแ แแ -แแ แ แแ แแแ แแฃแแแ. แแแแชแแแแแกแ แแ แฅแแแแแแชแแแแแก แ แแแ แแแแแแ แแแแฎแฃแแแแแแแแกแฌแแแแแแแ, แแงแแแแแแแแ แแแแแแแ แแแกแฃแฎแแแก, แแกแแแฃแแแแแ แแแแฎแกแแแก แแแแแกแแช, แแแแแแแแแ, แแ แแแแแแแก แฃแฎแกแแแแ.แแแกแฌแแแแแแแแ แแ แแ แแก แแแแแก แแแ แฎแแแก แจแแ แแก, แฉแแ แแแแ แแแแแแฃแ แแแกแฌแแแแแกแแแ, แกแแแแแแแ แแแแฌแแแแก
แแแกแฌแแแแแแ แแแแ แจแแกแ แฃแแแแฃแ แแแแแแแแแแก, แแแแแแแแฃแแฃแ แฃแแฃแแแแจแแ แแแก แแฌแแแแก แแแ. แกแฎแแแแ แแ แแแคแแกแแแแแฃแจแแแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแแ แงแฃแ แแแฆแแแ แฃแแแ แแแแแแฉแแแแก แแแแแแฃแแ แแแกแฌแแแแแก แแแแฃแจแแแ แแก แแแแแ แ, แ แแแแแแแจแแก แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แจแแกแ แฃแแแแแก แฎแแแแกแ แแ แแแแแแ แแแก. แแแกแฌแแแแแแแแแ แแแแแแฃแแ แแแกแฌแแแแแกแแแ แแแแแแแก แแแแแ แแแช แฃแแแ แแแแแแฉแแแแก แงแฃแ แแแฆแแแ, แแแกแแแ แแฎแแแก แฃแแแ แแแแแแแก แแ แแ แแแแ แแแ แแฃแ แแแแ แแแก_ แกแแขแงแแแ, แแ แฃแกแแขแงแแ แฆแแแแแแ, แแ แแแกแขแแ, แแ แแแแแแแ. แแแแแช แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแแ แแแแ, แแฃ แ แแแแแแแกแฌแแแแแก แแแฃแญแแ แแ แแแแแแแแแก แจแแกแ แฃแแแแ แแ แแแกแแแแก แแ แช แแแแแแแแกแแแแแแก แแฎแกแแ แแฆแแแฉแแแ แกแแแแแ แแกแ.
แแแกแฌแแแแแแแแ แแกแแ แแแกแฌแแแแแแแก แแแแแกแแแแก แฃแแแแ แแแ แฎแแแแ แแ แแแ แกแแแฃแจแแแ. แแก แแแกแฌแแแแแแแ แฏแแฃแคแฃแ แแ
แฎแแแแฎแแ แแ แฉแแแแ # 1, 2, 3 แแแแชแแแแแก. แแแกแฌแแแแแแแแ แแแ แฃแแแ แแแแแ แแ แแ แแแแแ แ แแฎแแแ แแแ แแแแแแแจแแแแแแแจแแแแแฎแแแแแกแ แแ แแแแแแแแแแ แกแแจแฃแแแแแแ. แแ แแแกแฌแแแแแแ แจแแ แแกแแ แแก แแแกแฌแแแแแช, แ แแแแแแช แแแแแแแขแแแแกแแแ แแแ แกแฌแแแแแแก, แแแแ แแ แแแชแแแแแแแก แแแแ แฉแแแแ แฉแ. แแแกแฌแแแแแแแแ แแกแ แแแแแ, แ แแ แแ แแกแแแแแ แแกแ แแแแแแแก แแฅแแแแแแกแฌแแแแแแแกแแช แแแแฎแแแ แแก แแ แแแ แแแแแงแฃแ แ แแแแแแแก แแแแแ แฉแแ แแแแกแกแแช, แ แแแแแแช แแแแแแ แซแแแก # 4, 5, 6แแแแชแแแแแแก แแ แแแแแแ แแแ แฉแแแแก. แแก แแแแชแแแแแ แซแแ แแแแ แกแแแแแฎแก แแ แฃแแแแจแแ แแแแ, แแกแแแ แกแฎแแ แแแกแฌแแแแแกแแแแแฎแแแแก แแแแกแแแขแแแชแแแแแแแ: แแแแแแขแ แแแกแ แแ แแแแขแแแแแแก แแแแแแแแแ.
แแแกแฌแแแแแแแ แแแแแ แ แแแ แแแแแแ แแแแฎแฃแแแแแ แแแแชแแแแแก, แแแแแแแแ แแแคแแกแแแ, แแงแแแแแแแแ แแแแแแแแแแกแฃแฎแแแก, แแกแแแฃแแแแแ แแแแฎแกแแแก แแแแแกแแช, แแแแแแแแแ, แแ แแแแแแแก แฃแฎแกแแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแ แแกแแ แฃแแแ แแแแก,
แแ แแแแแ แ แแแแแช แแกแแฃแแ แแแ, แจแแแฅแแแก, แฌแแแฎแแแแกแแแก, แแ แแแ แฃแแแ แแแแแกแแฃแ แแแกแฌแแแแแแแก แแฎแแแ แแแ.# 1, 2, 3 แแแแชแแแแแ แกแแแแแแ แแแแแแแแแ, แแแกแฌแแแแแแแแก แแแฎแแแ แแแแก แจแแแแแ แแแแแช แแแ แงแแแแ แแแกแฌแแแแ
แแแแฎแกแแแก (แแฃแแแแช แ แแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแจแ แแ แฐแฅแแแแแ แจแแกแ แฃแแแแฃแแ). แแแแ แแแกแฌแแแแแแแก แแ แแฅแขแแแฃแแแแแแแแแแแแแแแแ แซแแ แแแแแ แกแแแแแฎแ - แแก, แ แแช แแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แฃแแแ แแกแฌแแแแแ. แแกแ แแแ, แฏแแ แแ แช แแแแแแกแฌแแแแแแแ แแแฌแแแแแแก 10-แแก แฎแแ แแกแฎแแ แแแแ แแแแแแแก แฌแแกแ, แแแกแฌแแแแแแแ แแ แฃแแแ แแ แแฅแขแแแฃแแแ แแแ แแแแแแแแแแฌแแแแแก 10-แแก แฎแแ แแกแฎแแแแ. แแกแแ แแแแกแขแ แฃแฅแชแแแแแแ - แแแฃ แกแฌแแแแแแ แแแแแแแ.
แงแแแแ แแแแชแแแแก แแแ แฉแแแ แแแกแ แฃแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแแก แกแแฎแแแก, แ แแ แแแกแฌแแแแแแแแก แแแแแแแแแ แแแฆแแกแกแแแแแขแ แแแ แฌแแ แแก แ แแแฃแแแแ แแ แแแแ แแแแก แแกแแแ. แแแแ แแแแแ, แแฆแแแก แ แแแฃแแแแก แแ แแ แแแแแก. แแแแก แจแแแแแแแแกแฌแแแแแแแแ แแแแแแ แแแก แแ แแกแแแแแ แแกแ แแแแแแแก แแฅแแแ แแแกแฌแแแแแแแแแ แชแแแแ แแฃแจแแแแแก แแ แแแ แฎแแแก แจแแ แแกแฉแแแแแแแก แแฌแงแแแก. แแแกแฌแแแแแแแ แ แแแ แแแแแแ แแแแแแแแ แแแคแแกแแแ, แแฉแแแแแแแ แแแแชแแแแแแก แแแแฎแกแแแก, แกแฎแแแแ แแแจแแชแแแแแแก แแกแฌแแ แแแแ แแแแแแแ แ แแแฃแแแแจแ.
แแแแแแแแแแก แแแแแ แฉแแแ แแ แ (แแแแฎแแแแแแ 15 แฌแฃแแ) แแแแแแ แฌแแแ แแแแแแแแแแ แแแฌแแ แแแ แจแแแแฏแแแแแแแ(แกแแแแแขแ แแแ) แฌแแ แแก 5 แแแแชแแแแก แแแ แฉแแแแก แแ แจแแชแแแแแแแก แแแกแฌแแ แแแแก แแแกแฌแแแแแแ แแแแ . แแแกแฌแแแแแแแแ แแ
100407
10407
- 111 -
แแ แแกแแช แกแแแแแแแแแ แแฎแแแ แแแ แแ แแกแแแแแ แแกแ แแแแแแแก แแฅแแแ แแแกแฌแแแแแแแก.แแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแ แจแแแแแแ แแชแแ แ แแแแ แแฃแแ แขแแฅแกแขแแกแ แแ แแแกแ แแแแแฎแแแแ 6 แแแแชแแแแกแแแ. แจแแ
แแแกแฌแแแแแแแ แแฃแฎแกแแแแแ แฌแแแแแแฎแแแแ แแ แแแแแฃแแแแแแแแ แแแแแแ แแแแ แซแแ แแแแ แกแแกแฌแแแ แกแแแแแฎแก.แแแแแฃแแแแแแแแแแ แแแแฎแกแแแแ แแแก แจแแกแแแแฌแแแแแ แแ แแแแกแแแขแแแชแแแแ แแแแชแแแแแก.
แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แกแ แฃแแแ แจแแกแ แฃแแแแ แงแแแแแกแแแแก แแ แแ แกแแแแแแแแฃแแ. แแแกแฌแแแแ แแแแแแ แแ แฉแแแก, แแฃแ แแแแ แแแแชแแแแแก แแแแแแแแแก (แแแแแแ แ แแแซแแแแแ). แแแแกแจแ แแแแแช แแแแ แฉแแแ แงแแแแ แแแแชแแแ. แแฃแแชแ แแแกแฌแแแแแแแฃแแ แแแแแกแแแ แแแแแกแแ แชแแแแแแก, แ แแ แงแแแแ แแแแชแแแ แฐแฅแแแแแก แแแแฎแกแแแแ. แแแแแแ แแ แแแแชแแแแแแก แแแแแแ แแแแแคแแ แแแแแแ - แ แแแ แงแแแแ แแแกแฌแแแแแก แจแแแซแแแก แแแแแกแ แแแแ แแแแแแแแก แจแแกแแคแแ แแกแ แกแแ แแแแแแก แแแแแ.
แแแกแฌแแแแแแแแ แแฃแ แแแแจแ แฉแแฌแแ แก แจแแคแแกแแแแแก (แแแจแแแแก) แแ แแแ แแแ แฎแแแแแฆแแ แแชแฎแแแแแก.แแแกแฌแแแแแแแแแ แฃแแแ แแชแแก, แแฃ แแแ แ แแแแ แแงแ แแแแแแแแแฃแแ แแแแแแแแแแกแแแแก แแ แแแ แ แแแแ แแฅแขแแฃแ แแแแ.
แกแแแแแแแแ แจแแแแฌแแแแแกแแแแก แแ แแแก แแแฎแแ แฏแแ แกแแญแแ แ แแ แแ. แฃแคแ แ แแฃแกแขแ แแ แกแแคแฃแซแแแแแแ แจแแแแฌแแแแแกแแแแก แฎแจแแ -แฎแจแแ แแ (แฌแแแแฌแแแจแ แแแแฅแแแก แแชแฏแแ ) แขแแ แแแแ แกแแแแแขแ แแแ (แจแแแแฏแแแแแแแ) แฌแแ แแแ. แแแ แ แแ แแแแแ แแแแแแแแแแแ แแแแแ แแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแ แแแจแแแแแแแแ แแแแกแก, แแฆแแแก แแแแแก แแแแแแแก แแ แแแ แแ แแแแแก. แแแกแฌแแแแแแแแฌแแแแฎแขแแแแแ... แแแแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแแแแแช แแ แจแแแแแแแแฃแแแ แแ แแแ, แ แแแ แแฎแแแ แกแแแแแฎแ แแแแแแแแกแฌแแแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแก แแ แแคแแ แ แแฃแฎแกแแแ, แแฎแแแแ แฌแแ แแแ แแแแแ แแแแแแแแแก แแ แแแกแฌแแแแแแแก แแฎแแแ แแแแแ(แคแแกแแแแขแแชแแ).
แแแแ แ แแแแแแแแแแก 12 แฌแฃแแ - แแแแ แ, แแแแแ แแแแก แคแแแแฌแแแแ แ แแแแแแแแแแ แแแแกแแ แแ แแฅแขแแแฃแแแ แแกแฌแแแแ แแ แแแแแแงแแแ แแแแแช แแฎแแแ แกแแแแแฎแ. แแ แแแแแแแแแแ แแ
แแแ แแแแ แแฃแแแแแช แฃแแแ แแกแฌแแแแแก. แแแแฅแแก - แกแแฎแแแแแ แฃแแแ แแแแ แฅแแแก แแแแก, แ แแช แแ แแฅแขแแแฃแแแ แฃแแแ แแชแแก. _แแแฉแ, แแแแแฎแแ แ แแแแแแแแแแก แแแแ, แ แ แฃแแแ แแแแแแฎแแแแ แแฆแแก?
_ แแแฌแแแแแแแแก แแแแ แแแแแแ 10-แแก แฎแแ แแกแฎแแแแ.แกแแจแแแแ แแแแแแแแ แจแแแแแแแแ แแชแแ แ แแแแ แแฃแแ แขแแฅแกแขแแกแ แแ แแแกแ แแแแแฎแแแแ 6 แแแแชแแแแกแแแ.
1. gamoTvaleT namravlis mniSvneloba:
I. 5,12 ยท 10 ; II. 0,075 ยท 102 ; III. 4,35 ยท 105 ; IV. 6 ยท 106 ; V. 0,0004 ยท 100000 .
2. gamosaxeT: I. metrebSi: 3,247 km ; 0,037 km ; 1,6 km.
II. gramebSi: 0,1 kg ; 0,01 kg ; 0,005 kg.
III. sm2-Si: 2,5 m2 ; 0,75 m2 ; 0,001 m2.
5. gamoTvaleT: (0,45 + 1,003 ) ยท 10 000 .
แแแ แแแแ แแแแชแแแ แฃแจแฃแแแแ แแฎแแแแแกแฌแแแ แกแแแแแฎแแแ. แแแแ แ แแ แแแฎแฃแแ แแแแชแแแแก แแแแแจแแฃแแแแแแแฎแแแแแกแฌแแแแ แกแแแแแฎแแก แแแแแแจแแ แแแ แแแ แ แแแกแฌแแแ แกแแแแแฎแแแแแ.
_ แแแ, แแแแแแ แแแคแแกแแแ แแ แแแแแฎแกแแแ แแแ แแแแ แแแแชแแแ.
แแก แแแแชแแแ แจแแแแแแ แฎแฃแแ แฅแแแแแแชแแแแกแแแแ, แจแแกแแแแแแกแแ แแแคแแกแแแ แแแแแแแก 5 แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแกแฌแแแแ
แ แแแ แแแแแแ, แแแแฏแแ แแ แ แแ แแแ แแฃแแแ. _ แแแแ, แฌแแแแแแฎแ แแแแ แ แแแแชแแแ แแ แแแแแฎแกแแแ แแก.แแแแ แแแแแก แแแคแแกแแแ. แแ แแแแชแแแแจแ แกแแแ แฅแแแแแแชแแแแ แแ แจแแกแแแแแแกแแ, แกแแแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแกแฌแแแแ แแแแแฌแแแแแแก
แแแก แแแแฎแกแแแจแ. แแแแแ แฉแแแ แแแกแฌแแแแแแแ แแ แแ แแก แแกแฌแแ แแแแ แแ แแแกแแแแ แแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก. แแแแแแแฅแแแแแแแกแแแ แแแแแ แแแแชแแแแก แกแฎแแแแแแ แแ แแแแฎแกแแแกแแแ แแแแแแจแแ แแแแ. _ แแ แแแแ, แแแแแฎแกแแแ แแแฎแฃแแ แแแแชแแแ.
แแ แ แแแแชแแแ #3 แแ #4 แกแแญแแ แแ แแแแแแแแ แกแแกแฌแแแแ แกแแแแแฎแแก แจแแกแแแแแแแแแแ. แแก แกแแแแแฎแแ โแแแฌแแแแแแกแแแงแแคแ 10-แแก แฎแแ แแกแฎแแแแโ. แแแ แแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แแแแฃแจแแแแแแ, แแแแ แแ แจแแแแแแแแ แแ แแแแแแแแแแ แฃแแแแแแฎแแแก. แแแกแฌแแแแแแแ แกแแฎแแแแซแฆแแแแแแแจแ แแแชแแแฃแแ แแแแฃแจแแแแก แแแฎแแแแแ แแ แแฅแขแแแฃแแแ แแแแแแแแแแ แแแแแแแแแแแแแแแแแแก แกแแแแแฎแก.
3. SeasruleT gayofa da Sedegi CawereT
aTwiladis saxiT:
4. daamtkiceT, rom: I. 14,7 : 10 = 1,47 ; II. 14,7 : 104 = 0,00147.
miTiTeba: aTwiladebi winaswar CawereT Cveulebrivi wiladebis saxiT.
แแ แแแแแแแ แแกแฏแแแแแแ แแแแ แฉแแแ แแก # 3 แแ # 4 แแแแชแแแแแ (แแแแฎแแแแแแ 8 แฌแฃแแจแ).แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแแแแแแแก แแแแแแแแแแแจแ แแแแแแแ แแแแแแแขแแแแแ แแ แแ แคแแฅแ แแแก, แ แแแแแแแแแช - แแแแแแฃแ
.023,01023
101ยท231023III.
1023III.;10317II.;10102105I.
333
3422
:
.:::
nimuSi;
- 112 -
แแแกแฌแแแแแแ. แแแแฃแฌแงแแแขแแแ แแแแแ แแแแ แแแ, แแแแฎแกแแแ แแแก, แแฃ แแแก แ แ แแแฃแญแแ แแ แแ แแแ แ แแจแ แแแแแแฉแแแ แแแแ.แแแแแแแกแฌแแแแแก แแแแแแฃแแ แแแกแฌแแแแแก แแแ-แฎแแกแแแแก, แแแแ แแแแแแแแก, แแแแแแแก, แฃแแแ แก, แแฏแแฎแฃแ แแแ แแแแแก...แชแแแแแแก, แแ แแแแแ แกแแกแฌแแแแ แแ แแแ แแแ แแ แกแแฎแแแแซแฆแแแแแแ แแแแแแฃแ แแแกแฌแแแแแก แแแแ แแแก, แแแแแแฃแแแแกแฌแแแแแก แแแฃแซแแแแแก แแแแแแแขแแแแกแแแ แแแแแแแแ แแแแแกแ แแแแแแ. แกแฌแแ แแ แแกแแ แแแกแฌแแแแแแแแก แจแแแแฅแแแแแแ แแแแกแขแแขแแแ - แแ แแ แ แแแแแแแแฃแ -แแแชแแแแ แฃแแ แฌแแแฆแกแแแแแ แแ แแ แฌแงแแแแแแ แกแแแแฎแแแแ แแแ แแแแแแแแแแแแก แฉแแขแแ แแแ.
แแแกแฌแแแแแแแแ แ แแแแแแแแ แแแกแฌแแแแแก แฃแแแแ แแแ แฎแแแแ แแแแแกแแแแก, แแแแแแ แแแ แฃแแแ แแแแแ แแ แแฎแแแ แแแแแแ แฉแแฃแแ แแแฎแ แแแแชแแแแก แแแแแ แแแแจแ. แแแแแ แฉแแแ แแแแกแ แแ แแฌแงแแแก แแแแชแแแ # 6-แแก แแแ แฉแแแแก.6. wrexazze moniSnulia 4 wertili. gaarkvieT, ras udris im qordebis raodenoba, romelTa
boloebicaa es wertilebi.
แแก แแแแชแแแ แชแแขแ แซแแแแแ, แกแฃแ แกแฎแแ แแแกแฌแแแแ แกแแแแแฎแแก แแแกแแแแแ แแแแแแแ, แแแแแแขแ แแแแแ. แแแ แแแแแแฃแ -แแแแแแแแขแแ แฃแ แฃแแแ แฉแแแแแแก แแแแแแ แแแก. แแแแแแแขแแแแก แแแแ แแแแแแแฃแแ (แแแขแแแ แแ แแแฃแแ) แกแฌแแแแแแแกแแกแแ แแแแแขแแแ, แแแแแแ แ, แแแแแแขแ แแ, แแแแแชแแแแแแก แแแแแแแ แแ แแแแแแ แแ แแแแแแแก แแแกแแแก, แแแแแแแแแ แฃแคแ แแแ แแแแแคแแ แแแแแ แแ แกแแแแขแแ แแกแแ.
แแแคแแกแแแ แแแแแแแก แแแขแ, แฎแแแแแก แแแคแแแ แแแแแก แแแฎแแแก, แแกแฏแแแแแก, แฎแแแ แกแฎแแ แแแกแฌแแแแแแแ แแแแแฎแแแแแ แแแแแแแแแแแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแ แฌแแแฎแแแแกแแแก แแแขแแก. แแฃแแ แแแขแ แแแแก แแแ แแแ แแแ แแ แแแแแก แแแแแแแแแก, แแแจแแ แแแคแแกแแแแแแแแฐแงแแแก แแ แแแแ, แ แแแแแแช แจแแแแกแแแก แแแขแแก แแแแฃแจแแแแ แก. แแแกแฌแแแแแแแแ แจแแแฅแแแก แแ แแแแแก. แแแ แฃแแแแ แแแ แฎแแแแแแแแแกแแฃแ แแแกแฌแแแแแแแก แแฎแแแ แแแ. แแแกแฌแแแแแแแแก แแแแแแแ, แ แแ แแฎแแแแแกแฌแแแแ แกแแแแแฎแ แแ แชแแ แแแแแกแฌแแแแแกแแแแก แแ แแแ แฉแแก แแฃแแแแแแแ. แแแแขแแ แแแก แแแแแแแแแ แแฅแแก แแแแแขแแแแแ แแแฎแแแ แแแ แแ แแกแแแแแ แแกแแแแแแแแก แแฅแแแ แแแกแฌแแแแแแแแกแแแแก. แกแแแแแกแแ แแแก แฎแฃแแแแแ แฌแฃแแ แกแญแแ แแแแ. แแงแแแแแก แแ แแ แแก, แกแแแแ แแแแกแ # 6แแแแชแแแแแ แแฃแจแแแแแ. แแแ แแ แแแแกแ, แแแก แฌแแแแกแฌแแ แจแแ แฉแแฃแแ แแฅแแก แแแแแขแแแแแ แกแแฎแแแแกแ แแแแชแแแแแ แกแฎแแ แแแแแแ แแแแแแกแก แแซแแแแก แแแแแฃแแแแแแแ แกแแแฃแจแแแก 2-3 แฌแฃแแแ.
แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแกแก แแแแแฃแแแแแแแ แกแแแฃแจแแแก แแซแแแแก, แแแแแแ แแ แฃแแแแ แแแ แฎแแแแ แแแแแกแแฃแ แแแกแฌแแแแแแแกแแฎแแแ แแแ. 2-3 แฌแฃแแแก แจแแแแแ แแแแแฃแแแแแแแ แแแแฃแจแแแแ แก แฌแแแแแแฎแแแก แแ แแแกแฌแแแแแก, แ แแแแแแช แแแ แแแแแ
แแแแฎแกแแแก แแแก แแ แจแแแฅแแแก.แแแแ แ แแแแแแแแแแก 10 แฌแฃแแ - แแแกแแแ, แแแแแขแแแชแแแแก แคแแแ
แแแแแฅแขแแแฃแ แ แแแแแจแแแแแแแขแฃแ แแแคแแแ, แแแ แฏแแแแ แแ แแแ แชแฎแแแ แแฎแแ แแก, แแแแแแ แฌแแแแกแฌแแ แแแฎแแแฃแแ แแ แ 10-แฃแฏแ แแแแแแ แขแแแแ
แแแซแ แแแ แแแแแแขแฃแ แ แชแแคแ แแแแแ แแ แแแซแ แแแ แแแแแแขแฃแ แ แแซแแแแ.แแแแแจแ แแกแแแแ: แแแคแแกแแแ, แแแ แฏแแแแ แแ แแแ แชแฎแแแ แแฎแแ แแก, แ แแแ แแแแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแแแ แแ -แแ แ
แกแแแแฃแแ - แแ แแ แกแแแแฃแแ แแ แแ แ แแแแแแ, แแแแ แ - แกแฎแแ แ แแแแแแ; แแแกแฌแแแแแแแแ แฃแกแแฎแแแแแก แแแฌแแแแแก,
แ แแแแแกแแช แกแแแแฃแแแแแ แแ แแ แแแกแฌแแแแ แแแฌแงแแแก แขแแแแแแ แแแซแ แแแ แแแแแแขแแแแ, แแแแ แ แแแกแฌแแแแ แแแ แแแแแแก แแแกแแแแก แ แแแแแแแ แฎแแ แแกแฎแแ (แ แแแแแกแแช แแกแแแ แแแกแฌแแแแแแแแ แแกแแฎแแแแแก) - แแแฃ แจแแกแแแแแแกแแ แฌแแแแแชแแแแแก แแซแแแแก,
แฎแแแ แแแกแแแ แแแกแฌแแแแ แจแแแแแก แฎแแแแแฆแแ แฌแแแแแแฎแแแก.แจแแแแแ แกแฎแแ แกแแแแฃแแแแ แแแแแแแแ แแ แแแแแแก แแแแแแแแ.แแแคแแกแแแ แงแแแแ แแแกแฌแแแแ แแแแแแ, แ แแแ แแ แแแแ แแแ แฉแแก แฃแแฃแแแแแแงแแคแแแ. แแแกแฌแแแแแแแ แฎแแแแกแแ
แแแแแฌแแแแแแแ แแแแแจแจแ. แ แแกแแแแแ แแแแแ, แแก แแแแแขแแแชแแแ แแ แแ แกแแแแแ แแกแ. แแแกแแแ แคแแแ, แแแแแขแแแชแแแ แแ แแแแแแแ แแแแแแแแแแแ แแแแแแแแแแแแแช แแแแ แซแแแแแแ.แแแแ แ แแแแแแแแแแก 15 แฌแฃแแ - แแกแแ แแแแ แ, แแแแแ แแแแก แคแแแ
แซแแ แแแแแ แแแกแฌแแแแ แกแแแแแฎแแก แจแแฏแแแแแแแแแจแแแแก แแแแแฌแแ แแแแแจแแแแ แแฅแแก แกแแฎแแแแซแฆแแแแแแแแแ แแ แแแกแฌแแแแแแแแก แจแแแแแฎแแแแก แแแกแฃแฎแแแแ.
2 . aT w il a d i s g a m r a vl e b a 1 0 - i s x a r i s x e b z e
vTqvaT, gvsurs aTwiladis gamravleba 10-is romelime xarisxze. magaliTad, 56,02 gavamravloT 10-
ze, 102-ze da 104-ze. amisaTvis, jer aTwiladi CavweroT Cveulebrivi
wiladis saxiT, Semdeg
SevasruloT gamravleba
naswavli wesiT da bolos, miRebuli
Sedegi isev aTwiladis saxiT CavweroT:
davakvirdeT miRebul namravlebs .56020010056021000010056021002,56
;56021
560210010056021002,56
;2,56010
56021010056021002,56
4
2
- 113 -
da SevadaroT isini Tavidan mocemul aTwilads 56,02. advili SesamCnevia, rom 10-ze gamravlebis
Sedegad mZimem wainacvla marjvniv 1 TanrigiT; 102-ze gamravlebis Sedegad _ 2 TanrigiT; xolo
104-ze gamravlebis Sedegad ki _ 4 TanrigiT.
sazogadod, imisaTvis, raTa aTwiladi gavamravloT 10-is romelime xarisxze, saWiroa, am
aTwiladSi mZime wavanacvloT marjvniv imdeni TanrigiT, risi tolicaa 10-is xarisxis maCvenebeli.
magaliTad: 0,1207 ยท 103 = 120,7 ; 0,487 ยท 106 = 487000 da ase Semdeg.
cxadia, es wesi marTebulia mTeli ricxvebisTvisac, oRond unda vigulisxmoT faruli
mZimis wanacvleba. magaliTad: 130 ยท 102 = 130,0 ยท 102 = 13000,0 = 13000 .
แแก แแแฌแแแ แฐแแแแก แขแ แแแแชแแฃแแ แแแแแแแแแแก แแ แแแฌแแแก, แ แแแแแจแแช แแแกแฌแแแแแแ แแแซแแฎแแแ แแ แแฎแแแแแแแแแแแแแก แแแงแแแ แฎแแแแแแ. แแแแ แแ, แแ แกแแแแแแ, แกแฃแ แกแฎแแแแแแ แแ: แแแกแฌแแแแแแแ แแแแแแแแแ แแแกแฃแฎแแแแแแแแแ-แแแแแ แแแฌแงแแแขแแแแก แจแแกแแฎแแ; แแแแแช, แกแฃแ แแแแแกแแแแแ , แฌแแแแจแ แแฎแแแแแแแ แแ แแกแ แแแกแฃแฎแแแแ. แแกแ แแแแแแแ แแฎแแ แแแแแแ แแแแ, แจแแแฏแแแแแแ แแ แแแแแแฎแกแแแ แแแแ แแแกแฌแแแแก. แแแ แฌแแแแแฎแฃแแ แขแแฅแกแขแแก แแแแแ แแแแก แฃแแแ แฉแแแแแชแฃแแแแแ แแแแแ.
_ แแแกแ, แแแแฎแแ แแ, แ แแก แแแแฉแแแแแแก แฌแแแแจแ แแแชแแแฃแแ แขแแแแแแแ. แแแกแ, แฉแแแแแงแแแแแ แแแแแแแ. _ 56,02แแแแแแ แแแแแ 10-แแก แฎแแ แแกแฎแแแแ (แแแ แแแ, แแแแ แ, แแแแแฎแ แฎแแ แแกแฎแแแแ). _ แแแแ, แฉแแแแแงแแแแแ แแแแแแ แฌแแกแ._ imisaTvis, raTa aTwiladi gavamravloT 10-is romelime xarisxze, saWiroa, am aTwiladSi mZime
wavanacvloT marjvniv imdeni TanrigiT, risi tolicaa 10-is xarisxis maCvenebeli.แแแกแแกแแแแแ, แแ แแฅแขแแแแแแก แแแแแแแ แแ แ แจแแแแฌแแแแ, แแ แแแแ แกแฌแแแแแแ แแ แแแแแ แแแ. แแแแแแแแแแก แแแแแก
แแแกแฌแแแแแแแแแ แแกแแแแช แแชแแก, แแฃ แ แ แแแจแแแ แแแฃแแแแแก แแแกแฌแแแแแก. แแแแแแ แ แจแแคแแกแแแแแ แแ แฎแจแแ แแ แฉแแขแแ แแแแแจแแแแฏแแแแแแ แฌแแ แแแแ แแแแแแแ.
_ แแแแแ, แแแแแกแฃแฎแ, แ แ แฎแแแแ แแแแแ แ แแชแฎแแแแแก 10-แแก แฎแแ แแกแฎแแแแ แแแแ แแแแแแแก แแ แแก. _ unda vigulisxmoT
faruli mZimis wanacvleba. _ แแแแ แแ แแแกแฌแแแแแแแแก แแ แแแกแฌแแแก แแก แแแกแฃแฎแ, แ แแแแแแช แแแ แแแแแ แฌแแแแแแแแแแแแแแแแฎแฃแแ แแ แกแ แฃแแ แแ แแ. แแแแขแแ แกแฎแแแก แแแแแฎแแแ: _ แกแแแแ แ, แแแแแ แ แแชแฎแแ แแกแแแ แแ แแแแแแแ 10-แแกแฎแแ แแกแฎแแแแ, แ แแแแ แช แแแฌแแแแแ, แแฃ แกแฎแแแแแแ แแ? แ แแขแแ? แแแแแช แ แแแแ ? แกแ แฃแแ แฌแแกแ แ แแแแ แฉแแแแแแงแแแแแแ?
แแก แซแแแแ แกแแแแ แแแแ แจแแแแแฎแแแ, แแฃแแ แแแกแฃแฎแก แกแแแแ แ แแแ แแแ แแแ แฉแแแแแงแแแแแแแก, แแแก แแแแ แแแแฎแแแ แแแ. แซแแแแแจแแแแแฎแแแแ แแ แซแแแแ แแแแชแแแแแแช แกแแญแแ แแ, แ แแแ แแกแ แแ แแแแแแแแแก, แ แแ แกแแแแ แแฎแแแแ แฉแแแแ แฉแแแแแแแกแฌแแแแแแแแ แแ แฃแแแแก แแ แซแแแแ แแ แแแแแแแแ แแแแก แแคแแ แฎแแแก. แกแแญแแ แแ แแแแแแแแแแ แซแแแแแ แแแแแแ แแแแแคแแ แแแแแแ, แ แแแ แกแฎแแแแแกแฎแแ แฃแแแ แแก, แแแแแแแกแ แแ แแแแ แแแแแแแแก แแฅแแแ แแแกแฌแแแแแแแแ แจแแกแแคแแ แแกแแกแแ แแแแแ แแแแแแ แแ แแ แแแแแแฎแ แแ แแแแแแแแ แแแแ.
แแแแแก, แแแฆแแแ แแแแแแแก แแแกแฌแแแแแแแ แแฎแแ แฎแแแแ แซแแแแ แแแแแแแแแก แจแแกแ แฃแแแแแก:_ imisaTvis, raTa แแแแแ แ แแชแฎแแ gavamravloT 10-is romelime xarisxze, saWiroa, am แ แแชแฎแSi
แคแแ แฃแแ mZime wavanacvloT marjvniv imdeni TanrigiT, risi tolicaa 10-is xarisxis maCvenebeli.แแแฌแแแแแแก แแแแ แแแแแแ 10-แแก แฎแแ แแกแฎแแแแ แแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแแ แแกแฌแแแแแก แแ แฉแแแแแงแแแแแแก. แแแแแแ แแฎแกแแแก,
แแแแแแแแ แแแแแก แแฎแแแ แชแแแแ. แแแกแฌแแแแแแแแก แแแแแ แแ แแคแแ แ แแฃแฎแกแแแ, แแฎแแแแ แฌแแ แแแ แแแแแ แแแแแแแแแก แแแแแกแฌแแแแแแแก แแฎแแแ แแแแแ (แคแแกแแแแขแแชแแ).
แแก แงแแแแแแแ แจแแกแแซแแแแแแ แแแฎแแ แฌแแแ แแแแแแแแแแ แฉแแขแแ แแแฃแแ แจแแแแแแแแแก แฌแงแแแแแแ (แแฅแขแแฃแ แ แแแแแแแกแแแแแแแแแก แกแแคแฃแซแแแแแ).
แแ แกแแกแฌแแแแ แแ แแแ แแแ แแกแแแ แแ แซแแแแแแ: แแแแแแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแ แแแแชแแแก แแฎแแแแแกแฌแแแแ แกแแแแแฎแแกแแแแแขแแแชแแแแกแแช แแ แแแแแแแแ แกแแแแแฎแแก แแแแแ แแแแกแแช: แแกแแ แแชแแ แ แแแแ แแฃแแ แขแแฅแกแขแ โแแแฌแแแแแแแแก แแแงแแคแ 10-แแกแฎแแ แแกแฎแแแแโ (แแแแแฎแแแแ 7 แแแแชแแแแ). แแก แกแแแแแฎแ แฃแแแ แจแแแแแแแแฃแแแ แแแแแแแแ # 3 แแ 4 แแแแชแแแแแแ. แแแก แแกแแแแแฃแฎแกแแแแแ แแกแฌแแแแแแ, แแแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแ แแแแแแแแ แแแแแแแแแแ. แแแแแแแแ แแแแแแแแแแแแ แแแแ แซแแแแแแแแแ แแแแ แแแกแฌแแแแ แกแแแแแฎแแก แแแแแขแแแชแแแแช.
แแแแแแแแแแก แแแแ แ แแแแแแแแ แฌแฃแแ แจแแฏแแแแแแ. แขแแ แแแแ แแกแแแ, แ แแแแ แช แฉแแแฃแแแแ แแ [$ 9.2].
top related