danmarks tekniske universitet - uniguld.dkuniguld.dk/wp-content/guld/dtu/fysik...
Post on 30-Oct-2019
20 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Danmarks Tekniske Universitet
10020
Fysik 1 2016-17
Noter
Lasse Herskind s153746
Indhold
1 Blandet gøgl uge 1 + cos, sin og tan 11.1 Cos, Sin og Tan - Glemmer sku altid det lort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Arealer og volumener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Lineær bevægelse 12.1 Bevægelse med konstant acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 Bevægelse i flere dimensioner 13.1 I 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Kasteparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2.1 Maksimal højde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2 Maksimal rækkevidde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.3 Relativ bevægelse - Galileitransformation - Kig i slides ellers . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 Kræfter og newtons love 24.1 Newtons love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.1.1 Newtons 1. lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.2 Newtons 2. lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.3 Newtons 3. lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.2 Krafttyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.1 Tyngdekraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.2 Normalkraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.3 Snorekraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.4 Friktionskræfter - Kontaktfriktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 Cirkelbevægelse 35.1 Hastighed og vinkelhastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.2 Frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.3 Omløbstid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.4 Acceleration og vinkelacceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.5 Flere accelerationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.6 Bevægelsesligningerne for cirkelbevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.7 Kraft i jævn cirkelbevægelse - Centripetalkraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.8 Rullebevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Arbejde og energi 56.1 Formlen over dem alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.2 Konstant kraft, 1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.3 Arbejde i flere dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.4 Fjederkraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.4.1 Energi i fjeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.5 Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.6 Luftmodstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7 Energibevarelse 67.1 Bevægelse i tyngdefelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2 Vandret fjederbevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.3 Mekanisk energi og konservative kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.4 Nulpunkt potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.5 Totalenergibevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7.5.1 For konservative kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.5.2 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7.6 Ligevægtspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.7 Vendepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8 Impuls og stødprocessor 78.1 Impuls (bevægelsesmængde, momentum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.2 Impulsbevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.3 Impuls og kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.4 Stød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.5 Elastisk stød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8.5.1 1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88.5.2 Relativ hastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88.5.3 2 dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8.6 Uelastisk stød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88.7 Restitutionskoefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9 Legemer og partikelsystemer 89.1 Massemidtpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89.2 Massemidtpunktssætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99.3 Raketligninen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10 Rotation 910.1 Kinetisk energi i rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910.2 Inertimoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910.3 Parallelaksesætningen - Inertimoment om forskudt akse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910.4 Kraftmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
10.4.1 Virkningslinjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010.5 Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010.6 Impulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
10.6.1 Stive legemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010.6.2 Impulsmomentbevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010.6.3 Impulsmomentsætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11 Statisk ligevægt 1011.1 Ligevægtsbetingelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.2 Tyngdepunkt / støttepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
12 Gravitation 1112.1 Lokal tyngdeacceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.2 Gravitationslov - Tyngdekraft mellem kuglesymmetriske legemer . . . . . . . . . . . . . . 1112.3 Superpositionsprincippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.4 Kuglesymmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.5 Potentiel energi i tyngdefelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.6 Undvigelseshastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.7 Satellitbevægelse - Cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.8 Keplers love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
12.8.1 Kepler I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.8.2 Kepler II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.8.3 Kepler III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
13 Væsker og faste stoffer 1213.1 Elasticitetsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2 Tryk i væske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
13.2.1 Tryk versus højde - væske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.2 Tryk versus højde - gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.3 Opdrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
13.3 Væskestrømning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3.1 Kontinuitetsligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3.2 Bernoullis ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
13.4 Viskositet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.4.1 Hagen-Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
13.5 Reynolds tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
14 Harmoniske svinginger 1314.1 Energi i fjeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
14.1.1 Mekanisk energibevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2 Simpelt (matematisk) pendul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3 Fysisk pendul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.4 Dæmpet svingning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
14.4.1 Løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.4.2 Energitab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
14.5 Drevet harmonisk svingning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.6 Drevet dæmpet harmonisk svingning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 Elektrisk ladning 1615.1 Coulombs lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.2 Elektrisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.3 Felt for ladet skive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.4 Dipol i uniformt elektrisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
16 Gauss lov og elektrisk potential 1716.1 Elektrisk flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.2 Gauss lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.3 Elektrisk potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.4 Elektrisk felt og potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16.4.1 Uendeligt lang leder/ladet stang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.4.2 Uendeligt lang plan ladningsfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.4.3 Superpositionsprincippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.4.4 For alle ladninger - Skriv eksempel s 28 kapitel 22+23 . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16.5 Elektrisk potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.5.1 Potential og felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.5.2 Uniformt felt - slide 32 kapitel 22-23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17 Kapacitans og dielektrika 1817.1 Kapacitor / Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2 Potentialforskel og kapacitans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.3 Elektrisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17.3.1 Forskellige geometrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.4 Energi i kapacitorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17.4.1 Potentiel energi i en kapacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.4.2 Elektrisk energi-tæthed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17.5 Netværk af kapacitorer - Slide 26 kapitel 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.5.1 Serieforbindelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.5.2 Parallelforbindelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17.6 Dielektriske materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18 Magnetiske kræfter og felter 2018.1 Fænomenologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.2 Elektriske og magnetiske kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.3 Magnetisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.4 Magnetisk kraft pa en ladet partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.5 Arbejde for magnetiske kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.6 Feltlinjer og lidt flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.7 Ladet partikel i konstant magnetfelt, lidt cirkelbevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.8 Samtidige elektriske og magnetiske felter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.9 Kraft pa en strømførende ledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.10Spole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.11Hall-effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
19 Magnetiske kilder 2219.1 Magnetisk felt fra strømme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.2 Magnetisk felt for leder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.3 Kraft mellem to ledere, strømførende ledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.4 Felt fra cirkulær spole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.5 Amperes lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.6 Solenoide - Lang tætvundet spole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7 Magnetiske materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19.7.1 Magnetisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.8 Magnetisk permabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
20 Temadag 2420.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2420.2 Præcession af proton i magnetisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
20.2.1 Omløbstid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
21 How to be legendary 25
22 Eksempler 2522.1 Energibetragtninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522.2 Lineær bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522.3 Kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2622.4 Bevægelsesligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922.5 Cirkelbevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022.6 Impuls og stødprocessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022.7 Harmoniske svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3222.8 Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3322.9 Væske og faste stoffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3422.10Strøm - kapacitorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3522.11Elektriske felter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3622.12Magnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 BEVÆGELSE I FLERE DIMENSIONER Lasse Herskind
1 Blandet gøgl uge 1 + cos, sin og tan
Tal og enheder
• x betydende cifre. (Vi garenterer at tallets x+ 1 ciffer er ±5)
• Uden decimalkomma antages det at tallet er eksakt
• Nar vi regner angiver vi kun decimaler som ved den mindst præcise.
1.1 Cos, Sin og Tan - Glemmer sku altid det lort
ho
a
θ
Figur 1: Cos, Sin og Tan
sin(θ) =o
hcos(θ) =
a
htan(θ) =
o
a
1.2 Arealer og volumener
Figur Areal Volumen OverfladeCylinder π · r2 A · h 2 · r · π · h+ (2A)
Kugle4
3· π · r3 4 · π · r2
Tabel 1: Figure og shit
2 Lineær bevægelse
2.1 Bevægelse med konstant acceleration
v(t) = v0 + a · t (1)
v2(t) = v20 + 2 · a · (s− s0) (2)
s(t) = s0 + v0 · t+a · t2
2(3)
s(t) = s0 +v(t) + v0
2· t (4)
3 Bevægelse i flere dimensioner
I flere dimensioner kan vi have en acceleration uden at have en ændring i farten.Dette vil være tilfældet hvis retningen ændres.
~aave =∆~v
∆t=~v2 − ~v1
t2 − t1
3.1 I 3D
~r(t) = x(t)x+ y(t)y + z(t)z ~v(t) =d~r
dt~a(t) =
d~v
dt
Side 1 af 41
4 KRÆFTER OG NEWTONS LOVE Lasse Herskind
3.2 Kasteparabel
v0 =
[v0 · cos(θ)v0 · sin(θ)
]x(t) = x0 + vx0 · t t =
x(t)− x0
vx0
y(t) = y0 + vy0 · t−1
2g · t2
y(x) = y0 +vy0
vx0· x− g
2 · v2x0
· x2
y(x) = y0 + tan(θ0) · x− g
2 · v20 · cos(θ0)2
· x2
3.2.1 Maksimal højde
H = y0 +v2y0
2g= y0 +
v20 · sin(θ0)2
2 · g(5)
3.2.2 Maksimal rækkevidde
R = 2 · vx0 · th =v2
0
g· sin(2θ0) (6)
3.3 Relativ bevægelse - Galileitransformation - Kig i slides ellers
~r1 = ~rm1 + ~rm → ~rm = ~r1 − ~rm1
↓~vo1 = ~vm1 + ~vom → ~vom = ~vo1 − ~vm1
Konstant ~vm1 → ~a01 = ~aom
4 Kræfter og newtons love
4.1 Newtons love
4.1.1 Newtons 1. lov
Hvis den resulterende kraft pa et legeme er nul vil legemet ligge stille, eller bevæge sig med konstanthastighed
4.1.2 Newtons 2. lov
Et legemes acceleration kan findes ud fra den resulterende kraft pa legemet ved formlen
~Fres = m · ~a (7)
4.1.3 Newtons 3. lov
To legemer pavirker hinanden med ligestore modsatrettede kræfter.
Side 2 af 41
5 CIRKELBEVÆGELSE Lasse Herskind
4.2 Krafttyper
Fundamentale kræfter MekanikkræfterTyngdekraft Tyngdekraft
Elektromagnetisk kraft
Kontaktkræfter:
• Normalkraft
• Snorekraft
• Friktionskraft
Svage kernekræfterStærke kernekræfter
4.2.1 Tyngdekraft
Vi antager at den er uafhængig af højden og ligefrem proportional med massen
~Fres = −m · g · y = m · ~a → ~a = −g · y
4.2.2 Normalkraften
Den kraft som forhinde at ting falder gennem faste overflader. Denne er altid vinkelret pa fladen. Nor-malkraften er kun i stand til at skubbe.
~Fnormal = −~Ftyngde
4.2.3 Snorekraft
Snorekraften formidler kraften. Trækket vil altid ga langs snoren.Snore kan kun trække, ikke skubbe
Snorspænding er her defineret som den ydre kraft ~Fy
~Fr = −~Fs~Fres = ~Fy + ~Fr = m · ~a = 0 → ~Fr = −~Fy
4.2.4 Friktionskræfter - Kontaktfriktion
Statisk friktion virker mod en ydre kraft ved stilstand, denne kraft er præcis stor nok til at modvirkebevægelse.
Ffriktion = µs ·N
Er vi i bevægelse vil vi istedet have en kinetisk friktion
Ffriktion = µk ·N (8)
5 Cirkelbevægelse
Polære koordinater
r =√x2 + y2 x = r · cos(θ)
θ = tan−1(yx
)y = r · sin(θ)
I polære koordinater benytter vi istedet for x og y nogle nye enhedsvektorer
r = x · cos(θ) + y · sin(θ) t = x · sin(θ) + y · cos(θ)
Side 3 af 41
5 CIRKELBEVÆGELSE Lasse Herskind
5.1 Hastighed og vinkelhastighed
v = r · ω ↔ ω =v
rω =
dθ
dt
5.2 Frekvens
ω = 2 · π · f
5.3 Omløbstid
T =2 · πω
5.4 Acceleration og vinkelacceleration
a = r · α ↔ α =a
r
5.5 Flere accelerationer
~a = r · α · t− ω2 · r · r~at = r · α
~ac = ω2 · r = ω · v =v2
r(9)
C
P
~v
~at
~ac
~a
~r
Figur 2: Kraftdiagram for cirkelbevægelser. Lidt skævt
5.6 Bevægelsesligningerne for cirkelbevægelse
De samme ligninger som for lineær bevægelse, her ændret sa de er med cirkelbevægelse, subsection 2.1
ω(t) = ω0 + α · tω2(θ) = ω2
0 + 2 · α · (θ − θ0)
θ(t) = θ0 + ω0 · t+α · t2
2
θ(t) = θ0 +ω(t) + ω0
2· t
Side 4 af 41
6 ARBEJDE OG ENERGI Lasse Herskind
5.7 Kraft i jævn cirkelbevægelse - Centripetalkraften
Her antages ingen vinkelacceleration α = 0
~a = −v2
r· r ⇒ ~Fres = −m · v
2
r· r
5.8 Rullebevægelse
Her star kontaktfladen stille, det er eksempelvis et hjul der ruller istedet for bare at glide henover jorden.Dette medfører statisk friktion mellem hjul og vej
v = r · ω
6 Arbejde og energi
6.1 Formlen over dem alle
W = F · d (10)
W = work F = force d = distance
W =∑i
Wi
6.2 Konstant kraft, 1 dimension
Ekin =m · v2
2(11)
∆Ekin = F ·∆s ∆Ekin =m · (v2
1 − v20)
2W = ∆Ekin
Husk At der skal være en ændring i energi for at der er et arbejde. Arbejdet vil altsa være nul hvisnoget bevæger sig i konstant hastighed
6.3 Arbejde i flere dimensioner
W =
∫~F · d~r = ∆Ekin
6.4 Fjederkraften
~Fs = −x · k · (x− x0)
W = −k · (x1 − x0)2
2
6.4.1 Energi i fjeder
Potentialfunktion
U(x) =1
2· k · x2 (12)
6.5 Effekt
P =dW
dtP = ~F • ~v
Side 5 af 41
7 ENERGIBEVARELSE Lasse Herskind
6.6 Luftmodstand
Fdrag =cd ·A · ρ · v2
2
Fdrag + Ftyngde =cd ·A · ρ · v2
2−m · g = 0 → vmax =
√2 ·m · gcd ·A · ρ
7 Energibevarelse
7.1 Bevægelse i tyngdefelt
Wg = −m · g · (y2 − y1) = K2 −K1
U(y) ≡ mgyWg = −(U(y2)− U(y1)) = K2 −K1
K2 + U(y2) = K1 + U(y1)
7.2 Vandret fjederbevægelse
Figur 3: Fra slides
U(x) ≡ 1
2k(x− x0)2
Wab = −(U(x1)− U(0)) Wbc = −(U(−x1)− U(x1))
Wac = Wab +Wbc
Med friktion
U(x) ≡ 1
2k(x− x0)2 f = m · g · µk
Wab = −(U(x1)− U(0))− fx1 Wbc = −(U(−x1)− U(x1))− fx1 · 2Wac = Wab +Wbc
7.3 Mekanisk energi og konservative kræfter
En kraft er konservativ hvis den er uafhængig af vejen mellem to punkter.
7.4 Nulpunkt potentiel energi
Vi kan frit vælge nulpunkter for potentiel energi.
Side 6 af 41
8 IMPULS OG STØDPROCESSOR Lasse Herskind
7.5 Totalenergibevarelse
7.5.1 For konservative kræfter
∆Emek = ∆K + ∆U = 0
7.5.2 Generelt
Wf er arbejdet for ikke-konservative kræfter
∆Emek = ∆K + ∆U = Wf
Etotal = Emek + Erest ∆Erest = −Wf
∆Etotal = ∆Emek + ∆Erest = 0
7.6 Ligevægtspunkter
F (x) = −dUdx
I et ligevægtspunk, xmin, er F (xmin) = 0.Stabilt vs. ustabilt. I et stabilt ligevægtspunkt vil vi nærme os ligevægtspunktet hvis vi er nær, ustabilt
vil vi flyve væk.
7.7 Vendepunkter
Et vendepunkt er der hvor den kinetiske energi er 0.
8 Impuls og stødprocessor
8.1 Impuls (bevægelsesmængde, momentum)
~p = m · ~v (13)∫ t2
t1
~Fdt = ∆~p ~Fave =∆~p
t2 − t1
8.2 Impulsbevarelse
d~Ptotdt
= 0 ~Ptot =∑i
~pi
8.3 Impuls og kinetisk energi
Ekin =m · v2
2~p = m · ~v
Ekin =| ~p |2
2m
8.4 Stød
~p1i + ~p2i = ~p1f + ~p2f
∑j
~pij =∑j
~pfj
8.5 Elastisk stød
Et stød hvor den samlede kinetiske energi er bevaret.
| ~p1i |2
2m1+| ~p2i |2
2m2=| ~p1f |2
2m1+| ~p2f |2
2m2
Side 7 af 41
9 LEGEMER OG PARTIKELSYSTEMER Lasse Herskind
8.5.1 1 dimension
p1fx =m1 −m2
m1 +m2p1ix +
2m1
m1 +m2p2ix
p2fx =2m2
m1 +m2p1ix +
m2 −m1
m1 +m2p2ix
8.5.2 Relativ hastighed
v1fx =m1 −m2
m1 +m2v1ix +
2m2
m1 +m2v2ix
v2fx =2m1
m1 +m2v1ix +
m2 −m1
m1 +m2v2ix
8.5.3 2 dimensioner
Husk hertil at hvis en partikel ligger stiller og du skyder en anden en pa den og de har samme masse savil deres impulser nu være vinkelrette.
8.6 Uelastisk stød
I et fuldstændigt uelastisk stød har de to legemer samme hastighed efter stødet, og tabet af energi ermaksimalt.
R = 1 Elastisk stød
R =1
2Fuldstændig uelastisk stød
Da to elementer her fortsætter med samme hastighed kan dette regnes:
~vf =m1
m1 +m2· ~v1i +
m2
m1 +m2· ~v2i
Ki −Kf =1
2· m1 ·m2
m1 +m2· |~v1i − ~v2i|2
Efin = R · Eini
p1f = p1i1−√
2 ·R− 1
2p2f = p1i ·
1 +√
2 ·R− 1
2
8.7 Restitutionskoefficient
ε =|~v1f − ~v2f ||~v1i − ~v2i|
For stillestaende legeme 2
ε =√
2 ·R− 1
9 Legemer og partikelsystemer
9.1 Massemidtpunkt
~R =1
M
∑i
mi · ~r M =∑i
mi
~R =1
M
∑i
ρi∆V·∆V ~R =
1
M
∫V
~rρ(~r)dV
~P =d
dt
∑i
mi · ~ri = M · d~R
dt≡M~V
Side 8 af 41
10 ROTATION Lasse Herskind
Kræfter
~Fres,i = ~Fext,i +∑j 6=i
~Fj→i
d~P
dt=∑i
d~pidt
=∑i
~Fres,i =∑i
~Fext,i +∑i
∑j 6=i
~Fj→i
9.2 Massemidtpunktssætningen
Massemidtpunktets bevægelse er bestemt af de ydre kræfter alene via Newtons 2. lov
d~P
dt= M
d~V
dt= M
d2 ~R
dt2=∑i
~Fext,i
9.3 Raketligninen
~vr = vc · ln(mi
mf
)
10 Rotation
10.1 Kinetisk energi i rotation
Erot =1
2
5∑i=1
mi · v2i =
1
2
5∑i=1
mi · r2i · w2
i
Emek = Etrans + Erot Ekin =1
2M · v2 Erot =
1
2I · ω2 (14)
10.2 Inertimoment
Den energi det kræver for at et legeme bringes i bevægelse
I =
∫V
ρ (~r) r2⊥dV r⊥ = afstand til akse ω =
v
R
Figur 4: Inertimomenter
10.3 Parallelaksesætningen - Inertimoment om forskudt akse
Icm =
∫V
ρ(~r)r2⊥dV
I|| =
∫V
ρ(~r′)r′2⊥dV
′ = Icm +Md2 d = forskydning fra mcm
Side 9 af 41
11 STATISK LIGEVÆGT Lasse Herskind
10.4 Kraftmoment
Beskriver en krafts evne til at ændre rotationen pa et legeme om egen akse. Enheden som bruges omkraftmomentet er Newton meter, hvilket reelt er lig Joule.
τ = R · Ftan = I · α =∣∣∣~r × ~F
∣∣∣ ~τ = ~r × ~F (Nm/J) (15)
10.4.1 Virkningslinjer
En nemmere made at beregne τ frem for krydsprodukt vil være at gøre brug af virkningslinjen. Dettegøres ved at forlænge ~F og derefter finde den korteste afstand til massemidtpunktet (d). Vi kan nu beregnedenne som:
τ = F · r⊥ (16)
Husk at ~τres = 0 omkring massemidtpunkt, ikke nødvendigvis i andre punkter.
10.5 Effekt
P = τzωz
10.6 Impulsmoment
~L = ~r × ~p L = r · p
Herfra kan vi regne det resulterende kraftmoment:
~Fres =d~p
dt~τres =
d~L
dt
10.6.1 Stive legemer
~L = I · ~ω Ls = I · ωz~L = M · ~rcm × ~vcm + ~Lrot,cm
10.6.2 Impulsmomentbevarelse
Der er impulsmomentbevarelse hvis kraften virker i origo eller ~r er parallel med kraften.
10.6.3 Impulsmomentsætningen
Beskriver sammenhængen mellem vinkelacceleration og kraftmoment. Her kan du hurtigt komme over ogtænkte pa signaturligningen. Kig der hvis i tvivl.
τ = I · α
11 Statisk ligevægt
Handler om hvorvidt bygninger eller lignende bliver staende.Der ma altsa ikke være resulterende kræfter eller kraftmomenter.
11.1 Ligevægtsbetingelser
~Fres = ~0∑i
Fxi = 0∑i
Fyi = 0∑i
Fzi = 0
~τres = ~0∑i
τxi = 0∑i
τyi = 0∑i
τzi = 0
Side 10 af 41
12 GRAVITATION Lasse Herskind
11.2 Tyngdepunkt / støttepunkt
For at vurdere hvorvidt en bil vil tippe eller ej i forhold til en hældning kan vi tegne en lodret linje somgar gennem massemidtpunktet. Vil linjen ligge uden for støttepunkterne vil der være mulighed for attippe.
12 Gravitation
12.1 Lokal tyngdeacceleration
g =G ·MR+ h
2
h = højden af legemets overflade
12.2 Gravitationslov - Tyngdekraft mellem kuglesymmetriske legemer
F =G ·m1 ·m2
r2G = 6.67428 · 10−11Nm
2
kg2
12.3 Superpositionsprincippet
Skal vi regner tyngdekraften mellem flere end 2 legemer, kan vi blot lægge dem sammen. Husk dog herat vi gør det som vektorer sa en x-retning og en y-retning.
12.4 Kuglesymmetri
En masse inden for en kugleskal vil ikke blive pavirket af en tyngdekraft. En masse uden for kugleskallenvil blive pavirket at en tyngekraft som beregnet tidligere, nemlig med afstanden til centrum af kuglen.
12.5 Potentiel energi i tyngdefelt
Ug =−G ·M ·m
r
Wg =
∫ r2
r1
~Fg • d~r = −∆U = U(~r1)− U(~r2)
12.6 Undvigelseshastighed
vesc(R) =
√2 ·G ·Me
Re
12.7 Satellitbevægelse - Cirkel
Fg =Me ·m ·G
r2Fc = m · v
2
r
v =
√Me ·Gr
T =2 · π · rv
E = K + U =m ·Me ·G
2r− m ·Me ·G
r= −m ·Me ·G
2r=U
2
12.8 Keplers love
12.8.1 Kepler I
Planeter bevæger sig i ellipsebaner med solen i det ene brændpunkt.
Side 11 af 41
13 VÆSKER OG FASTE STOFFER Lasse Herskind
12.8.2 Kepler II
Lige store arealer overstryges i lige store tidsrum. Dette skyldes at solens impulsmoment er bevaret,Kapitel 12 slide 32.
12.8.3 Kepler III
Omløbstiden er proportional med længden af den halve storakse opløftet i 32
a =rmin + rmax
2T =
2π · a 32
√Gms
13 Væsker og faste stoffer
13.1 Elasticitetsteori
F
A= Mekanisk spænding / Stress
∆L
L= Tøjning / Strain
∆L
L,
∆V
V,
∆x
Lkaldes tøjning
F
A= Y · ∆L
LY = Young’s Modul
F
A= B · ∆V
VB = Kompressibilitetsmodul
F
A= G · ∆x
LG = Forskydningsmodul
13.2 Tryk i væske
Kraft fra indkommende molekyler fra begge sider.
p =dF⊥dA
∆p = ρ · g · h
13.2.1 Tryk versus højde - væske
F1 = −A · p1 Trykkraft fra toppen af volumenelementet, trykker ned
F2 = A · p2 Trykkraft fra bunden, trykker opad
m · g = ρ ·A · (y1 − y2) · g Trykker ned af
13.2.2 Tryk versus højde - gas
m = A ·∆h · ρ0 ·p
p0ρ(h) = ρ0 · e
−h·ρ0·g
p0
13.2.3 Opdrift
Opdriften er lig vægten af den væske der fortrænges.
13.3 Væskestrømning
Laminar = konstant strømining over tidTurbulent strømning = Kaotisk og tidsafhængig.
13.3.1 Kontinuitetsligning
V1 = V2 A1 · v1 = A2 · v2
Side 12 af 41
14 HARMONISKE SVINGINGER Lasse Herskind
13.3.2 Bernoullis ligning
Friktionsløs strømning med tryk- og højdeforskelle: Ændring i potentiel og kinetisk energi af et væskee-lement ma komme fra det arbejde der udføres af trykforskellen i strømningen.
dF = A(p+ dp)−A · p = A · dp
p1 + ρ · g · y1 +ρ · v2
1
2= p2 + ρ · g · y2 +
ρ · v22
2
13.4 Viskositet
Væskelag med forskellige hastighed har friktion imellem sig - viskositet.
13.4.1 Hagen-Poiseuille
Rv = π · r2 · v =π · r4 ·∆ · p
8 · η · l→ ∆p =
8 · η · l · vr2
r = radius rør l = længde af rør
13.5 Reynolds tal
Re =ρ · v · L
ηv = middel, L = tværsnit
Figur 5: Laminar ≤ 2000
14 Harmoniske svinginger
Partikel i fjeder: Periodisk bevægelse hvis der ikke er energitab
Amplitude(A) Størrelsen pa udsving fra centrum/start
Periode(T ) Tiden som en svingning tager
Frekvens(f)1
TAntal svingninger pr sekund
ω =
√k
mT =
2 · πω
f =1
T=
ω
2 · π(17)
Signaturligning
d2x
dt2= − k
m· x
Side 13 af 41
14 HARMONISKE SVINGINGER Lasse Herskind
Harmonisk svingning
F = −k · x = m · ax
ax =d2x
dt2= −ω2 · x = − k
m· x
x(t) = A · sin(ωt+ θ0) ⇒ v(t) =dx
dt= A · ω · cos(ω · t+ θ0) ⇒ a(t) = −A · ω2 · sin(ω · t+ θ0)
x(0) = A · sin(θ0) v(0) = A · ω · cos(θ0)
θ0 = tan−1
(ω · x(t)
v(0)
)A =
√x2(0) +
v2(0)
ω2
14.1 Energi i fjeder
Potentialfunktion
U(x) =1
2· k · x2 (18)
14.1.1 Mekanisk energibevarelse
K + U =1
2·m · v2 +
1
2k · x2 = Emek
Emek =1
2m · v2(0) for x = 0
Emek =1
2· k ·A2 for x±A, v = 0
mv2(x) = k(A2 − x2
)⇒ v(x) = ±
√k
m· (A2 − x2) = ±ω ·
√A2 − x2
14.2 Simpelt (matematisk) pendul
Ft = −m · g · sin(θ) = m · at = m · l · d2θ
dt2
m · d2θ
dt2= −mg
lθ ⇒ d2θ
dt2= −g
lθ
T =2 · πω
= 2 · π ·
√l
gω =
√g
l
Generalt - For sma udsving
sin(θ) ≈ θF (x) ≈ F (x0) + (x− x0) · F ′(x0)
14.3 Fysisk pendul
τ = I · αz = I · d2θ
dt2⇒ d2θ
dt2=τ
I
τ = −m · g · sin(θ) · d ≈ −m · g · d · θ ⇒ d2θ
dt2= α = −m · g · d
I· θ = −ω2 · θ
θ(t) = A · sin(ω · t+ φ) ω =
√m · g · d
IT = 2 · π ·
√I
m · g · d
Side 14 af 41
14 HARMONISKE SVINGINGER Lasse Herskind
14.4 Dæmpet svingning
b = dæmpningskonstanten
F = −k · x− b · vx ⇒ d2x
dt2= − b
m· dxdt− k
mx
ω0 =
√k
mωγ =
b
2m
14.4.1 Løsninger
Underdæmpning
x(t) = Ae−ωγt sin (ω′t+ θ0) ω′ =√ω2
0 − ω2γ
for b < 2 ·√km⇒ ω0 > ωγ
Kritisk dæmpning
x(t) = (x0 + t · C)e−ωγ ·t C = v0 + x0 · ωγfor b = 2 ·
√km⇒ ω0 = ωγ
Overdæmpning
x(t) = B · e−(ωγ+√ω2
γ−ω20)t + C · e−(ωγ+
√ω2
γ−ω20)t
B =x0
2− x0ωγ + v0
2 ·√ω2γ − ω2
2
C =x0
2+
x0ωγ + v0
2 ·√ω2γ − ω2
2
for b > 2 ·√km⇒ ω0 < ωγ
Hint Hvis vi kun skal se i forhold til amplituden sa kan vi bare tage denne ud for sig selv, vi fjerneraltsa bare sinus-delen
Kritisk er godt Den kritiske dæmpning vil være den hurtigste made at dæmpe svingningen helt.
14.4.2 Energitab
∆E = ∆K + ∆U = ∆Wandet
∆Wandet = −b · vx∆x ⇒ ∆Wandet
∆t= −b · vx ·
∆x
∆t= −b · v2
x
dE
dt= −b · v2
x
Tab pa en periode
Q ≡ 2 · π E
|∆E|≈ ω0
2 · ωγfor svag dæmpning ωγ ω0
14.5 Drevet harmonisk svingning
F (x, t) = −k · x+ Fd · cos(ωd · t) ⇒ d2x
dt2= − k
m· x+
Fdm· cos(ωd · t)
x(t) = B · sin(ω0 · t) + C · cos(ω0 · t) +Ad · cos(ωd · t)v(t) = ω0 · (B · cos(ω0 · t)− C · sin(ω0 · t))− ωd ·Ad · sin(ωd · t)
Ad =Fd
m · (ω20 − ω2
d)
x(0) = C +Ad v(0) = ω0 ·B fra begyndelsesbetingelserne
Side 15 af 41
15 ELEKTRISK LADNING Lasse Herskind
14.6 Drevet dæmpet harmonisk svingning
F (x, t) = −k · x− b · vx + Fd · cos(ωd · t) ⇒ d2x
dt2= − k
m· x− b
m· dxdt
+Fmaxm· cos(ωd · t)
Løses
Aγ =Fd√
m2 · (ω20 − ω2
d)2 + 4 · ω2d · ω2
γ
θγ =π
2− tan−1
(ω2
0 − ω2d
2 · ωd · ωγ
)x(t) = Aγ · cos(ωd · t− θγ)
15 Elektrisk ladning
• Elementarpartikler har elektrisk ladning - positiv eller negativ
• Modsatte ladninger tiltrækkes, ens frastødes
• ladning elektron og epsilon
e = 1.6 · 10−19 · C mproton = 1.67 · 10−27kg ε0 = 8.85 · 10−12 · C2
N ·m2
15.1 Coulombs lov
F =|q1q2|
4 · π · ε0 · r2C = (Coulomb)
1
4 · π · ε0= 9 · 109 · Nm
2
C2
15.2 Elektrisk felt
~E =~F0
q0
F0 =|qq0|
4 · π · ε0 · r2E =
F0
|q0|=
|q|4 · π · ε0 · r2
(19)
Ladningstæthed
dQ = 2 · π · σ · rdr σ =Q
πR2
15.3 Felt for ladet skive
Ex =σ
2 · ε0
1− 1√R2
x2+ 1
Ex ≈σ
2 · ε0for R >> x
For en uendelig flade med jævn ladningsfordeling homogent felt
Ex =σ
2 · ε0
15.4 Dipol i uniformt elektrisk felt
~F = ~F+ + ~F− = ~0
Side 16 af 41
16 GAUSS LOV OG ELEKTRISK POTENTIAL Lasse Herskind
Kraftmoment omkring midtpunkt af forbindelseslinjen
τ = τ+ + τ− = 2 · q · E · d2· sin(θ) = E · p · sin(θ) p = q · d
~τ = ~p× ~E
16 Gauss lov og elektrisk potential
16.1 Elektrisk flux
Flux inden for en kugleskal = 0, uden for en kugleskal defineres denne somq
ε0Flux siger noget om hvor meget der gar ”styrke”der gar ind og gar ud.Flux indføres som fladeintegralet af det elektriske felt vinkelret pa fladen.
Φ = ~E • ~A = ~E • (An) = E ·A · cos(θ)
Gennem lukket flade Husk her at der er to normalvektorer, som oftest vælger vi den som peger udfra fladen. Her har vi at der gar lige sa meget ind som der gar ud
Φ = −EA+ EA = 0
Kugleskal
Φ = E ·A =q
ε0E =
q
4 · π · ε0 · r2A = 4 · π · r2
16.2 Gauss lov
Φ =
∮ ∮~E • d ~A =
Q
ε0
Generelt
Φ =
∫~E • d ~A =
∫E cos(θ)dA
Lukket flade
Φ =
∮ ∮~E • d ~A =
∮ ∮E cos(θ)dA
16.3 Elektrisk potentiel energi
Ue =q1 · q2
4 · π · ε0 · r
Tre punktladninger
U =∑i<j
qi · qj4 · π · ε0 · rij
16.4 Elektrisk felt og potentiel energi
E =Q
4 · π · ε0 · r2Elektrisk felt fra Q
F = E · q0 =q0 ·Q
4 · π · ε0 · r2Elektrisk kraft pa testladning q0 fra Q (20)
U = q0 · V =q0 ·Q
4 · π · ε0 · rPotentiel energi for q0, Q
Side 17 af 41
17 KAPACITANS OG DIELEKTRIKA Lasse Herskind
16.4.1 Uendeligt lang leder/ladet stang
E =λ
2 · π · ε0 · rλ = ladningstæthed Q = λ · L (21)
16.4.2 Uendeligt lang plan ladningsfordeling
E =σ
2 · ε0
16.4.3 Superpositionsprincippet
Uq0 =q0
4 · π · ε0·∑i
qiri
16.4.4 For alle ladninger - Skriv eksempel s 28 kapitel 22+23
U =∑i<j
qi · qj4 · π · ε0 · rij
=1
4 · π · ε0·(q1 · q2
r12+q1 · q3
r13+q2 · q3
r23
)(22)
16.5 Elektrisk potential
V =Q
4 · π · ε0 · rV =
U
q0(23)
16.5.1 Potential og felt
Feltstryken er gradienten af potentialet.
~E = −5 V
16.5.2 Uniformt felt - slide 32 kapitel 22-23
U(y) = q0 · E · y V (y) = E · y
17 Kapacitans og dielektrika
17.1 Kapacitor / Kondensator
To ledere adskilt af et isolerende medie. Oplades ved at overføre ladning mellem de to ledere. Kapacitorener samlet set neutral.
17.2 Potentialforskel og kapacitans
Q = σ ·A
∆V = E · d =σ
ε0· d =
Q
Aε0· d
C =Q
∆V
C =Q
∆V←→ ∆V =
Q
C←→ Q = C ·∆V
17.3 Elektrisk felt
E =∆V
dE =
σ
ε0=
Q
A · ε0
Side 18 af 41
17 KAPACITANS OG DIELEKTRIKA Lasse Herskind
17.3.1 Forskellige geometrier
Figur 6: Slide 10 kapitel 24
17.4 Energi i kapacitorer
Arbejde for opladning (0 til Q), potential energi
W =
∫ Q
0
q
Cdq =
1
2C · (∆V )
2
17.4.1 Potentiel energi i en kapacitor
Ogsa kaldet elektrostatisk energi
U =Q2
2 · C=Q ·∆V
2=
1
2· C · (∆V )2
17.4.2 Elektrisk energi-tæthed
u =1
2
C · (∆V )2
A · d=
1
2ε0 · E2
17.5 Netværk af kapacitorer - Slide 26 kapitel 24
17.5.1 Serieforbindelse
Samme ladning (Q) pa C1 og C2
q
Ceq=∑i
qiCi
17.5.2 Parallelforbindelse
Samme potential(V) pa C1 og C2
Ceq =∑i
Ci
17.6 Dielektriske materialer
Dielektrisk permittivitet ε. Dielektrisk konstant κ
~Er = ~E − ~Ed =~E
κ=
σ
κ · ε0≡ σ
ε~E =
σ
ε0· x ε = κ · ε0
∆V = Er · d ⇒ C = κ · Cvac
Side 19 af 41
18 MAGNETISKE KRÆFTER OG FELTER Lasse Herskind
18 Magnetiske kræfter og felter
18.1 Fænomenologi
Rimeligt oplagt, + frastøder +, osv
18.2 Elektriske og magnetiske kræfter
F =|q1q2|
4 · π · ε0 · r2C = (Coulomb)
1
4 · π · ε0= 9 · 109 · Nm
2
C2
Coulombs lov fra 15.1
18.3 Magnetisk felt
Nord-enden af kompasnale peger i feltets retning.
18.4 Magnetisk kraft pa en ladet partikel
Krat pa en ladning q med en hastighed ~v i et magnetisk felt ~B. Enheden for ~B er Tesla
(N · sC ·m
)~F = q · ~v × ~B F =| q | ·v ·B · sin(θ)
Figur 7: Højrehandsregel for positiv ladning, brug venstre ved negativ
Husk Rent notationsmæssig bruges × hvis det er ind i planet og hvis det er ud af planet
18.5 Arbejde for magnetiske kræfter
W =
∫ ~r2
~r1
~F · d~r =
∫ t2
t1
~F · ~vdt ~F = q · ~v × ~B → ~F • ~v = 0
Den magnetiske kraft udfører intet arbejde.
18.6 Feltlinjer og lidt flux
Magnetiske feltlinjer peger i retning af det lokale felt. En kompasnal vil orientere sig med nord i retningaf feltet.
Side 20 af 41
18 MAGNETISKE KRÆFTER OG FELTER Lasse Herskind
Elektrostatik Feltlinjer slutter pa en ladning
Magnetisme Feltlinjer er altid lukkede - Ingen magnetisk ’ladning’.Fluxen ud af den lukkede flade vil altid være 0 for det magnetiske felt.∮ ∮
~B · d ~A = 0
18.7 Ladet partikel i konstant magnetfelt, lidt cirkelbevægelse
~F = q · ~v × ~B ⇒ ~F ⊥ ~v
F =| q | ·v ·B = m · v2
RR =
m · v| q | ·B
cyklotronradius ω =| q | ·Bm
18.8 Samtidige elektriske og magnetiske felter
~F = q · ~E + q · ~v × ~B
Fartudvælger - For at den samlede kraft bliver 0 Det er denne som skal bruges for at vi flyverlige igennem hastighedsfiltret.
v =E
B
18.9 Kraft pa en strømførende ledning
i =dQ
dtLadningsstrøm over tværsnit ~vd middelhastighed af ladningsbærere
n ladningsbærertæthed pr. volumen
dQ = n · q ·A · vd · dt ⇒ i =dQ
dt= n · q ·A · vd
~F = i · ~L× ~B = i · L ·B · sin(θ) ~L = vektor for strømleder (24)
For B-felt vinkeltret pa ledning
Samplet ladning Q = n · q ·A · L
Drifthastighed i = n · q ·A · vd → vd =i
n · q ·AMagnetisk kraft F = Q · vd ·B = i · L ·B
18.10 Spole
Hvis i tvivl om B, se pa Figure 9
Magnetisk moment
~µ = n · i ·A n = antal vindinger
Kraftmoment pa strømførende spole i magnetfelt
~τ = ~µ× ~B
Side 21 af 41
19 MAGNETISKE KILDER Lasse Herskind
Figur 8: Slide 41 kapitel 27
Potentiel energi af spole
dW = τdθ
U = −~µ • ~B = µ ·B · cos(θ)
18.11 Hall-effekt
Elektrisk polarisering i strømførende leder indtil elektrostatiske og magnetiske kræfter balancere.
q · E + q · vd ·B = 0 E = −vd ·B∆V = E · d i = A · n · q · vd
n · q =i
A · vd= − i ·B
A · E= − i ·B · d
A ·∆V
19 Magnetiske kilder
19.1 Magnetisk felt fra strømme
d ~B =µ0
4 · πi · d~s× r
r2dB =
µ0
4 · πi · ds sin(θ)
r2
Magnetisk felt fra strømfordeling - Biot-Savarts lov
~B =
∫d ~B =
µ0
4 · π
∫i · d~s× r
r2µ0 = 4 · π · 10−7 · Tm
A
Figur 9: Felt fra strømførende ledning
Side 22 af 41
19 MAGNETISKE KILDER Lasse Herskind
19.2 Magnetisk felt for leder
~B =µ0 · i1
2 · π · r⊥z (25)
Eksempel kan ses section 22.12.
19.3 Kraft mellem to ledere, strømførende ledning
~F1→2 =
∫i2d~l × ~B1 ⇒ F1→2 = i2 · L ·B =
µ0 · i1 · i2 · L2 · π · d
19.4 Felt fra cirkulær spole
~B =µ0 · ~µ
2 · π · (x2 +R2)32
=µ0 ·N · i ·R2
2 · (x2 +R2)32
19.5 Amperes lov
∮ ∮~E • d ~A =
q
ε0Elektrostatik∮ ∮
~B • d ~A = 0 Magnetostatik∮~B • d~s = µ0 · i Amperes lov
I ledning
i(r⊥) = itot ·r2⊥R2
B(r⊥) =µ0 · itot · r⊥
2 · π ·R2r⊥ < R
19.6 Solenoide - Lang tætvundet spole
B = µ0 · n · i
Felt uden for solenoide
BΦ =µ0 · i
2 · π · r
19.7 Magnetiske materialer
µ = i ·A = π · r2 · eT
= π · r2 · e · v2 · π · r
=e · v · r
2
L = m · v · r Impuls moment L = n · h
2 · π
µ =e · v · r
2=e · L2 ·m
= ne · h
4 · π ·m≡ n · µB
µB kaldes ogsa Bohr magneton
19.7.1 Magnetisering
~M =~µtotalV≡ χm ·
~B0
µ0≡ χm ~H
Side 23 af 41
20 TEMADAG Lasse Herskind
Felt i magnetisk materiale
~B = ~B0 + µ0 · ~M ≡= (1 + χm) · ~B0
19.8 Magnetisk permabilitet
I magnetiske materialer erstattes µ0 med µ
µ = (1 + χm) · µ0
20 Temadag
20.1 Spin
Lspin =
√3
4· h
2 · π~µspin = ±g · e · h
m· ~Lspin + for proton, − ellers
g mElektron 2 9.11 · 10−31 · kgProton 2.79 1.673 · 10−27 · kg
Neutron 1.91 1.675 · 10−27 · kg
Tabel 2: Elektroner, protoner, neutroner, vægt / masse og ladning
20.2 Præcession af proton i magnetisk felt
d~L
dt= ~τ ~τ = ~µ× ~B
20.2.1 Omløbstid
T =4 · π ·mp
gp · e ·B
Larmorfrekvens
Ω =2 · πT
=gp · e ·B2 ·mp
Side 24 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
21 How to be legendary
Se pa definitioner for resultatet. Er det effekt kigger vi pa hvordan effekt er defineret og ser derfra om vikan opstille nogle kraftdiagrammer eller hvad vi nu har brug for. Dette fungere langt bedre end det lorthvor man bare kigger pa formler til noget virker.
Generelt bare tegn det lort, det vil sa tit kunne hjælpe.
TEGN• Skriv eksemplet med bænken og to støttepunkter ind
• Nogle figure, skriv ned hvordan man regner deres arealer og voluminer - always forget
22 Eksempler
22.1 Energibetragtninger
Klods pa trisse
Figur 10: Fra quiz, uge 1
Spørgsmal Hvad er loddets fart nar det rammer jorden? Vi kan her bruge energibetragtninger,inertimoment og rotationsenergi (14) samt den kinetiske energi (11)
Epot = Erot + Ekin
Epot = m · g · h
Ekin =m · v2
2
Erot =2 · I · ω2
2ω =
v
RI =
M ·R2
2
m · g · h =m · v2
2+v2 ·M
2→ v =
√2 ·m · g · hM +m
22.2 Lineær bevægelse
Dragracer En 7 meter lang dragracer kører 402 m pa 4.5 fra staende start, antag konstant acceleration.
Spørgsmal Hvad er slutfarten?
Side 25 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Vi tager her fat i bevægelsesligninger for lineær bevægelse (4). Og kan dermed opskrive
s = s0 +v + v0
2· t =
v
2· t → v =
s · 2t
v =402m · 2
4.5s≈ 178
m
s
Spørgsmal Hvor hurtigt bevæger bagenden sig over stregenvi skal her bruge svaret fra tidligere da vi sa kan beregne accelerationen ved at benytte (1)
v = a · t → a =v
ta =
178m
s4.5s
≈ 40m
s2
vi kan ny benytte reglen (2) og dermed regne
v2 = 2 · a · (s) v =
√2 · 40
m
s2· 7m ≈ 24
m
s
Raketopsendelse En raket har en acceleration pa 17m
s2og brændstof til 20 sekunder.
Spørgsmal Hvor højt kan raketten komme?Vi kan her benytte os af bevægelsesligningerne (1), (3) Skriv lige lidt om hvilke vi bruger
s0 =a · t2b
2v0 = tb · a
0 = v0 − g · t → t =v0
g=tb · ag
s = s0 + v0 · t−g · t2
2≈ 9285m
22.3 Kræfter
Rullende cylinder og trisse En homogen cylinder med masse M og radius R er via en snor forbundetmed en klods ligeledes med massen M. Trissen er masse og friktionsløs. Den statiske friktionskoefficientmellem underlag og cylindere er µs
Spørgsmal Hvad er klodsens acceleration nar cylinderen ruller?Kræftdiagram opstilles
M
M
M
M
T1
Ft
T1
Fgnid
τ
Figur 11: Fra eksamen 2016
Da kræfterne nu er indtegnet kan vi nemt opstille ligninger. Her benyttes newtons 2. lov (7) samtkraftmoment (15) og inertimoment for en cylinder ses pa Figure 4For kassen gælder:
Ft = M · g T1 =?
Fres = M · a = Ft − T1
Side 26 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
For cylinderen husker vi snorkraften ikke vil pavirke kraftmomentet da denne pavirker direkte i punktetvi regner for. For cylinderen gælder altsa:
T1 =? Ft = M · g Fnormal = Ft
Fgnid = Fnormal · µsFres = M · a = T1 − Fgnid
τ = R · Fgnid = I · α I =1
2·M ·R2
Vi har nu opstillet 3 funtioner med 3 ubekendte:
M · a = M · g − T1
M · a = T1 − Fgnid
R · Fgnid =1
2M ·R2 · a
R
Vi løser nu blot i Maple og far dermed:
a =2
5· g Fgnid =
1
5·M · g =
1
5· Fnormal T1 =
3
5M · g
Spørgsmal Hvad skal µs mindst være for at cylinderen ruller pa underlaget?Her kan vi blot henvise til forrige opgave hvor vi direkte af Fgnid kan aflæse at denne er 0.2. Dette
skyldes at
Fgnid = µs · Fnormal =1
5· Fnormal
Lod svingende om hovedet
Figur 12: Fra eksamen 2015 august opg 9
Spørgsmal Hvad er snorkraften hvis radius i cirkelbanen er 1.5 meter?For at kuglen vil holde sig i samme højde ma det være sandt at snorkraftens y-komposant gar ud med
tyngdekraften pa kuglen.
Ty = m · g Ty = T · sin(θ) θ = cos−1( rL
)
Vi omskriver sa saledes at vi finder snorkraften T og indsætter de givne værdier.
T =m · gsin(θ)
= 24.55N
Side 27 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Lodder og trisser, nu pa skraplan
Figur 13: Fra eksamen 2015 august opgave 12
Spørgsmal Hvad bliver den nedadrettede acceleration af loddet?
m · a = −m · g + T
3 ·m · a = −T + Fgnid + Ftyngde Fgnid = 3 ·m · g · µk · cos(θ) Ftyngde = 3 ·m · g · sin(θ)
m · a+m · g = Fgnid + Ftyngde − 3 ·m · a ⇒ a = ±g4
(3 · cos(θ) · µ+ 3 · sin(θ)− 1)
Hvilket definition for accelerationen vi skal bruge kommer rent an pa hvordan vi ser pa systemet.
Gartner pahøre bed med trillebør
Figur 14: Fra eksamen 2015 aug opgave 13
Spørgsmal Hvad er den mindste kraft Fmin som gartneren skal pavirke trillebøren med for at denbegynder at rotere?
For at finde kraften her skal vi kigge nærmere pa kraftmomentet. Mere specifikt skal vi kigge nærmerepa virkningslinjer (16). Den mindste kraft der skal til for at rotationen begynder vil være nar kraften fragartneren gar ud med kraften fra tyngdekraften. Vi ser at virkningslinjen for tyngdekraften bliver nødt til
Side 28 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
at være vandret da vi ikke kan ”presse”igennem jorden. Virkningslinjen for gartneren vil sa være lodret.Vi kan herfra opskrive
τ = 0 = Fmin ·H −m · g · l ⇒ Fmin =m · g · lH
Spørgsmal Givet værdierne:
L = 130cm H = 80cm l = 60cm h = 70cm F = 150N I = 75kg ·m2
Hvor F > Fmin Hvad er trillebørens vinkelacceleration i det øjeblik hvor massemidtpunktet er lodret overrotationsaksen?
Vi ma her endnu engang have fat i kraftmoment. Dog denne gang i yderligere definitioner
τ = F · r⊥ = I · α
Vi mangler altsa blot at beregne virkningslinjen for kraften. Her skal vi huske at vi hælder trillebøren, sadenne vil ikke blot være H. Vi ser her hurtigt at angrebspunktet for gartneren ikke ligger pa linje medCM i forhold til rotationsaksen, og vi derfor lave en geometrisk beregning for at bestemme r⊥.
θ = θcm − θF θcm = tan−1
(h
l
)θF = tan−1
(H
L
)r⊥ =
√H2 + L2 · cos(θ)
Derefter er det blot at isolere α og beregne.
α =F · r⊥I
= 2.9067rad
s2
22.4 Bevægelsesligning
Barn kaster bold over hus
Figur 15: Opgave 3 fra 2016 eksamenssæt
Spørgsmal Hvad er den mindste fart bolden skal kastes med for at den lige kommer over taget oggribes af det andet barn i samme højde som den blev kastet?
Vi skal her bruge bevægelsesligninger for kasteparablen, vi kan her direkte benytte ligning: (5) og (6).Vi ser hurtigt at maxhøjden som skal opnas er 5 meter over udgangspunktet.
h = 5 = 1 +v2 · sin(θ)2
2 · g
l = 16 =v2
g· sin(2θ)
Vi kan nu bare løse og far dermed:
v = 13.334 θ = 0.72
Side 29 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
22.5 Cirkelbevægelse
Rutsjebaneloop En rutsjebanevogn kører ind i et loop, en kvart omgang. Vognen har massen m =
1000kg og hastigheden v1 = 20m
sloopet har radius pa 10 meter.
Spørgsmal Hvad er α og normalkraften?For at rutsjebanevognen skal blive hvor den er pa x ma det være sandt at:
N = Fc
Vi kan altsa regne centripitalkraften og har dermed normalkraften.
Fc = ac ·m ac =v2
R
N =v2
R·m
Da vognen ikke falder ned ma kraften opad være lig tyngdekraften, og da den tangentielle accelerationer langs y kan vi opskrive følgende:
Fy = m · a = m · α ·R a = R · α
Fy = −Ftyngde m ·R · α = −m · g → α = − gR
Spørgsmal Hastigheden er nu 13m
sog vi er i toppen af loopet. Hvad er α og normalkraften?
Vi er nu naet ind i loopet og antager at der ikke er nogen vinkelacceleration længere.
α = 0
Vi ved derudover at normalkraften ma være forskellen mellem centripital og tyngdekraften da vi skalhave en resulterende kraft pa 0 for ikke at bevæge os.
N = Fc − Ftyngde
Ftyngde = m · g Fc = m · v2
r
N = m · v2
R−m · g = m ·
(v2
R− g)
22.6 Impuls og stødprocessor
Baseball En baseball med en masse m pa 0.15 kg kastes mod en slaer med en hastighed vi = 40 · ms
.
Slaeren rammer bolden sa den bliver sendt afsted med en vinkel pa 45 grader, modsat hvor den kom fra,
og en hastighed pa vf = 50m
s. Kontakten mellem bold og bat vare ∆t = 10−3s.
Spørgsmal Hvad er ændringen i impuls og den gennemsnitlige kraft
~pi = m · ~vi =
[−m · vim · 0
]~pf = m · ~vf =
[m · vf · sin(θ)m · vf · cos(θ)
]∆~p = ~pf − ~pi =
[m · (vf · sin(θ) + vi)
m · vf · cos(θ)
]=
[3.75 ·
√2 + 6
3.75 ·√
2
]· kg ·m
s
Fave =
∣∣∣∣∆~p∆t
∣∣∣∣ = 1.2485 · 104N
Side 30 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Kasse skydes med fjeder
Figur 16: Eksamen 2016 opg 4
Spørgsmal Hvad er farten af klods 2 umiddelbart efter at klodserne har mistet kontakt til fjereden?
Da klodsene vil blive pavirket i lige stor grad nar fjederen skyder dem afsted vil impulsen pa klods 2være lig impulsen pa klods 1. Jævnfør definitionen af impuls (13) har vi:
2m · v = m · x · v x = 2
Vi ser altsa hurtigt at farten ma være dobbelt sa stor. Vi husker her at det er farten vi har med at gøreog vi skal altsa ikke tage højde for retningen, det er bare en størrelse her.
Spørgsmal Klods 2 og 3 mødes nu i et fuldstændigt uelastisk stød og bevæger sig mod højre. Hvilkenfart har kasserne 2 og 3 efter deres sammenstød
Da vi har et fuldstændigt uelastisk stød vil det være impulsbevarelse. Og vi kan som før opskrive:
m · 2v = 2m · x · v x = 1
Og det ses hurtigt at farten v
Spørgsmal Efter det fuldstændigt uelastiske stød bevæger klodserne 2 og 3 sig mod højre henoveren del af underlaget hvor overfladen er ru. Den kinematiske friktionskoefficient mellem klodserne ogunderlaget er µk. Fælleshastigheden af klodserne lige efter stødet er 1.0ms og µk = 0.2 Hvor langt bevægerkasserne 2 og 3 sig pa den ru overflade før de stopper?
Vi skal her have fat i definitionen af arbejde (10) og kinetisk energi (11) samt friktionskraften (8). Vikan herefter opskrive energibetragningerne:
A = Ekin =1
22m · v2
A = Fgnid · l Fgnid = 2 ·m · g · µk
Ekin = Fgnid · l → l =EkinFgnid
=1
2· v2
g · µk
Vi kan nu indsætte og far:
l = 0.25m
Side 31 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Ishockey
Figur 17: Eksamen 2016 opg 7
Spørgsmal Hvad er størrelsen af puckens acceleration a og vinkelacceleration α i tidsrummet ∆t?Direkte af newtons anden lov (7) kan vi bestemme størrelsen af accelerationen som
a =F
m
Derudover ved vi at kraften er vinkelret pa og vi kan altsa opskrive kraftmomentet (15)
τ = F ·R = I · α→ α =F ·RI
=F ·R
12 ·m ·R2
=F
12m · r
Lige efter at staven har sluppet kontakten med pucken, nar pucken hen til et stykke af skøjtebanen,som ikke er glat. Dette stykke har længden L og den kinematiske gnidningskoefficient mellem puck og iser pa dette stykke µk. Det oplyses, at pucken har tilstrækkelig fart til at passere hele stykket.
Spørgsmal Hvad er puckens fart, vs, lige efter den har passeret stykket med længden L? Vi antagerher at vi har en konstant bremsende acceleration over stykket, og skal derfor bruge bevægelsesligningen(2)
v2s = v2
0 + 2 · a · L
For at finde v0 skal vi udnytte (1) v0 = a·t og da vi har tidsændringne ∆t skal vi blot finde accelerationen,hvilket vi kan gøre fra newtons anden lov (7)
Fres = m · a → a =Fresm
v0 =F ·∆tm
Vi kan nu bruge ovenstaende pa friktionskraften
Fgnid = m · g · µk
agnid =Fgnidm
= −µk · g
Vi kan nu opskrive det oprindelige udtryk med vores nye definitioner, og har nu hastigheden efter atpucken har passeret stykket L.
vs =
√(Fres ·∆t
m
)2
− 2 · µk · g · L
22.7 Harmoniske svingninger
Kasse pa fjeder møder gevær
Side 32 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Figur 18: Eksamen 2016 opgave 12
Spørgsmal Hvad er fjederkonstanten (k)?Vi antager her at der er impulsbevarelse.
m · vi = vf · (M +m) → vf =m · viM +m
Vi antager samtidigt at der er energibevarelse og vi kan derfor beregne den kinetiske energi. Derudoverbenytter vi potentialfunktionen (18) til at bestemme energien i fjederen
Ekin =1
2· (M +m) · v2
f
Ufjeder =1
2· k · d2
Ekin = Ufjeder → k =(M +m) · v2
f
d2=
m2 · v2i
(M +m) · d2
Vi benytter nu følgende værdier: Kuglen har massen m = 3g en startfart pa 420 m/s. Klodsen harmassen m = 1.5kg. Efter riffelkuglens sammenstød og indlejring i blokken bliver fjederen sammentrykket12.0 cm.
Spørgsmal Hvad er den efterfølgende svingningstid for systemet?Vi ser her pa svingingstiden for en harmonisk svingning (17) og kan derefter ved brug af ovenstaende
udledning opskrive et udtryk:
k =m2 · v2
i
(M +m) · d2ω =
√k
(M +m)T =
2 · πω
T = 0.8999s
22.8 Statik
Stige op ad væg
Side 33 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Figur 19: Stige
Indsæt tegning
Spørgsmal Find N , fs og µ sa stigen ikke glider - Husk vinklen skal være for bunden, deter ”forkert”pa tegningen Vi tager her brug af reglen τ = F · r⊥ fra (16)
Fx = fs −R = 0 fs = R
Fy = N − (Wl +Wm) N = Wl +Wm
τ = Wm · r · sin(θ) +Wl ·l
2· sin(θ)−R · l · cos(θ) = 0
R =Wm · r · sin(θ) +Wl ·
l
2· sin(θ)
l · cos(θ)=
(Wm ·
r
l+Wl
2
)· tan(θ)
fs = N · µ(Wm ·
r
l+Wl
2
)· tan(θ) = N · µ
µ =
(Wm · rl
+Wl
2
)· tan(θ)
Wl +Wm
22.9 Væske og faste stoffer
Heliumballon En heliumballon har en ballonradius pa 10 meter samt en masse af 1000 kg. Helium hardensiteten ρh0.164 kg
m3 og luft har densiteten ρ0 = 1.23 kgm3 . p0 = 1 · 105 · Nm2
Spørgsmal Hvor højt flyver ballonen?For at undersøge dette skal vi finde det tidspunkt hvor vi forskyder lige sa meget luft som vi har vægt
Side 34 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
med
Vb =4
3π · r3 ρ(h) = ρ0 · e
−ρ0 · gp0
·h
mtot = Vb · ρ+m mforskudt = ρ(h) · Vb
mtot = mforskudt → h =p0
ρ0 · gln
(ρ0 · Vh
M + ρh · Vh
)≈ 9.26km
Bernoulli
Figur 20: y er ens
Spørgsmal Hvordan forholder trykværdierne p1, p2, p3 sig til hinanden?Da vi ved at væskemængen som kommer igennem de forskellige skal være ens, ved vi at de rør med
store arealer vil have en lavere hastighed. Fra Bernoulle kan vi se at trykket og hastigheden pa rør 1 haren sammenhængen med rør 2. Og vi kan derfor hurtigt opstille
p3 > p1 > p2
22.10 Strøm - kapacitorer
Kapacitorer og afstand 1 To kapacitorer med kapacitanserne C1 = 30 · 10−12 ·F og C2 = 6 · 10−12Fsidder i serie i et kredsløb. Potentialfalder hen over denne seriekobling er pa V = 1000V .
Figur 21: Fra eksamen 2014 opg 4
Spørgsmal Hvad er erstatningskapacitansen Ceq for seriekoblingen, og hvad er den samlede elek-trostatiske energi.
Side 35 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Ceq =
(1
C1+
1
C2
)−1
= 5 · 10−12F
U =1
2· Ceq · V 2 = 2.5 · 10−6J
Spørgsmal Den første kapacitor er en pladekapacitor hvor hver er pladerne har arealet A1 = 0.15m2.
Det oplyses at ε0 = 8.85 · 10−12 C2
N ·m2Bestem afstanden d1 mellem pladerne i første kapacitor, samt
størrelsen af det elektriske felt E1 der er mellem pladerne i første kapacitor
C1 =A · ε0d
→ d =A · ε0C1
= 0.0442m
Q1 = Qeq → C1 · V1 = Ceq · V → V1 =Ceq · VC1
= 167V
E =V
d= 3.7 · 103N
C
22.11 Elektriske felter
Elektron om lang lige leder En elektron udføre jævn cirkelbevægelse med baneradius ri feltet om-kring en uendelig lang positivt ladet stang. Den uendeligt lange positive stang gar gennem cirklen centromog er vinkelret pa cirklens plan. Ladningstætheden for stangen er λ
Spørgsmal Elektronens fart i banebevægelsen er givet ved:Vi far her brug for newtons anden lov (7), feltet for en uendeligt lang ladet leder (21), sammenhængen
mellem felt og kraft (20) og derudover cirkelbevægelse (9)Da vi har med en uendeligt lang leder at gøre og vi ved hvor meget et atom vejer kan vi beregne
det elektriske felt og herved kraften som kan bruges sammen med newtons anden lov og dermed regnehastigheden da vi har med en cirkelbevægelse at gøre om lederen.
E =λ
2 · π · ε0 · r
F = E · q =λ · q
2 · π · ε0 · r
a =F
m=
λ · q2 · π · ε0 · r ·m
a =v2
r→ v =
√a · r =
√λ · q
2 · π · ε0 ·m
Tre punktladninger
Figur 22: Slide 27 kapitel 22+33
Spørgsmal Beregn det arbejde der skal udføres pa den yderste positive ladning for at bringe denind fra det uendeligt fjerne. De to andre ladninger ligger fast Vi kan hertil benytte (22), derudover skal
Side 36 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
vi huske at indflydelsen gar mod 0 nar r →∞ altsa vil denne ikke have indflydelse i starttidspunktet.
W = ∆U U =∑i<j
qi · qj4 · π · ε0 · rij
q1 = −e q2 = q3 = −q1
Ustart =q1 · q2
4 · π · ε0 · r12Uslut =
1
4 · π · ε0·(q1 · q2
r12+q1 · q3
r13+q2 · q3
r23
)∆U = Uslut − Ustart =
e2
4 · π · ε0·(−1
2 · a+
1
a
)Potentialer for punkter
Figur 23: Slide 36 fra kapital 22/23
Spørgsmal Hvordan forholder de fire værdier af det elektriske potential sig til hinanden?Ser vi tilbage pa definitionen af elektrisk potential (23). Det samlede potential pa V1 kan sa opskrives
V1 =q
4 · π · ε0 ·d
2
− −q
4 · π · ε0 ·d
2
= 0
Dette var den hurtige da afstanden her bare var d2 . De andre er lidt mere besværlige. Vi kan dog hurtigt
se at det er gælden at
rq+V2< rq−V2
& rq+V3> rq−V3
Med dette kan vi opskrive
V2 > 0 & V3 < 0
Derefter ses det tydeligt at V4 er lige langt væk fra de to punkter og vil dermed have potentialet 0. Detsamlede forhold kan sa opskrives.
V2 > V1 = V4 > V3
Elektron affyres med 2 negative ladninger - Vend tilbage Et elektron i hvile pa y-aksen. Finddet elektriske potentiale pa y-aksen fra de to stationære ladninger Q
Side 37 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Figur 24: Slide 36 kapitel 22+23
V =Q
4 · π · ε0 · r· 2 Q = −1.0nC r =
√d2 + y2
Spørgsmal Find elektronens terminalfart i det uendeligt fjerne Vi antager her at elektronen starteri y.
∆Epot = ∆Ekin Epot = U = V · q0 q0 = −e
Epot =Q · q0
4 · π · ε0 · r=
Q · q0
4 · π · ε0 ·√
2 · d2r =
√d2 + y2 y = d
Q · q0
4 · π · ε0 ·√
2 · d2=m · v2
2⇒ v =
√ √2 ·Q · e
2 · π · ε0 ·m · d≈ 1.5 · 107m
s
Ledningssløjfe mellem ledere To parallelle, lange ledere har afstanden 3a. Strømmen i begge ledereer I, med retning mod højre. Midt i mellem de to ledere befinder sig en kvadratisk strømsløjfe medsidelængde a og strøm I i den angivne retning
Figur 25: Fra eksamen 2015 opg 14
Hvad er størrelsen pa kraften F som pavirker strømsløjfenVi skal her ser for feltet for en leder, (25), hvorfra vi kan opstille et felt, fra nederste leder, til sløjfen.
Det samme felt vil være fra den øverste, og vi ganger altsa med 2
B =
(µ · I
2 · π · a− µ0 · I
2 · π · 2a
)· 2
Side 38 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Da vi nu har beregnet feltet kan vi for at beregne kraftens størrelse blot benytte kraften pa en strømførendeledning i et felt (24).
F = i · L ·B =µ0 · I2
2 · πL = a
22.12 Magnetisme
Kompasnal
θ = 40Bjord
Bledning
Bkom
Figur 26: Fra eksamen 2016 opg 17
Som start ser vi at den lodrette komposant, jordens felt, pavirker nedad, sa nedad ma altsa være nord.For at ledningens felt skal ændre nalen i sadan en grad, skal den altsa pavirke mod venstre. Vi kan derefterbruge reglen vist pa Figure 9 og ser at strømmen vil ga nedad, altsa mod nord. Vi kan nu bruge vinklentil at finde forholdet mellem størrelserne af felterne. Dette kan vi opskrive gennem trekantsberegning
tan(40) =hosliggende
modstaende=BledningBjord
Ser vi pa definitionen for felt for en leder (25) kan vi opskrive Bledning som:
Bledning =µ0 · i
2 · π · dVi kan nu opskrive et samlet udtryk og isolere
tan(40) =µ0 · i
Bjord · 2 · π · d→ i =
2 · π · r ·Bjord · tan(40)
µ0
Vi indsætter nu og far dermed at
i = 6.71A
Fordobling af hastighed Et hastighedsfilter har et lodret elektrisk felt af størrelsen E og et vandretmagnetisk felt B. Elektroner med en bestemt fart V passere hastighedsfiltret i en retlinet bevægelse. Nufordobles elektronernes fart. Samtidigt ændres størrelsen af magnetfeltet og det elektriske felt.
Spørgsmal Hvordan skal de ændres saledes at begge ændres, men resultere i dobbelt fart for elek-tronet.
v =E
BB =
v
EE = v ·B
2 · v =E
B· 2
Vi skal altsa have fat i noget der samlet set fordobler. For at opna dette kunne vi umiddelbart fordobleE eller halvere B, problemet vil dog her være at vi sa kun ændre pa en af denne. Vi kan dog lave enomskrivning for at opna dette
2 · v =2 · EB
=
√2 ·√
2 · EB
=
√2 · EB√
2
Side 39 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Felt fra to lige ledere
Figur 27: Fra slide 10 kapitel 28
Spørgsmal Beregn det magnetiske felt fra de to ledere i de tre viste punkter Vi kan her summerefelterne fra de to ledere. Felterne kan beregnes ved brug af (25).
~B(−x) = ~B1(x) + ~B2(x) =µ0 · (−1)
2 · π ·(x− a
2
) +µ0 · 1
2 · π ·(x+
a
2
) =µ0 · i2 · π
·
− 1
x− a
2
+1
x+a
2
~B(x) = ~B(−x)
~B(y) = 2 ·∣∣∣ ~B1
∣∣∣ · cos(θ) =µ0 · i · a
2 · π ·(y2 +
(a2
)2)
Alt godt fra havet - nu med lort (Cirkulær spole og harmonisk svingning)
Side 40 af 41
22 EKSEMPLER Lasse Herskind
Figur 28: Fra eksamen 2015 august opg 17
Spørgsmal Bestem magnetfeltet BFor at bestemme magnetfeltet tager vi som start udgangspunkt i kraftmomentet. Vi skal her huske
at tage højde for at vi rotere i forhold til parallel med B. Det vil sige at vi far en vinkel mellem µ og Bsom vi skal tage højde for.
τ = µ ·B · sin θ = I · α
Vi skal her huske at det blev nævt at vi udfører sma svingninger om et felt, og vi ser derfor tilbage paharmoniske svingninger, hvorfra vi kan definere
sin θ ≈ θ
Derudover kunne vi ogsa fra dette felt definere
α = ω2 · θ ω =2 · πT
Herfra er det altsa muligt for os at opskrive og beregne.
B =2 · π ·mT 2 · i · n
≈ 15.8µT
Side 41 af 41
top related