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Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale
Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina
1) L’approssimazione dell’Ottica Geometrica2) Immagini reali e virtuali3) Il diottro4) I sistemi ottici centrati5) Piani principali e nodali6) Diaframmi, Brillanza e Luminosità7) Lenti sottili8) Aberrazioni
Parte XXVI: Ottica Geometrica
Lo studio generale della propagazione delle onde nella materia può essere molto complicato
In generale bisognerebbe risolvere l’equazione delle onde, noti gli indici di rifrazione, leforme e le posizioni dei corpi attraversati dalla luce, e raccordare le componenti tangenzialidei campi su tutti i punti delle superfici di separazione (qualunque). Se a ciò si aggiunge chetali condizioni possono anche variare nel tempo, e che i fronti d’onda possono avere anchesimmetria bassissima se le sorgenti sono estese, si capisce come tale problema possadiventare complicatissimo se non addirittura insolubile.
Tuttavia, nei casi pratici, la lunghezza d’onda della luce (1m) è di solito molto più piccoladei raggi di curvatura dei fronti d’onda come pure delle superfici di separazione fra i mezzi.
dL’approssimazione dell’Ottica Geometrica vale in questo frequente limite
Ciò consente di introdurre il concetto di Raggio luminoso, come direzione perpendicolareal fronte d’onda (asse di un cono di apertura infinitesima dentro il quale viaggia l’onda) el’applicazione delle leggi della riflessione e della rifrazione anche se le superfici diseparazione fra i mezzi sono limitate e non piane
L’approssimazione dell’Ottica GeometricaL’approssimazione dell’Ottica Geometrica
Una sorgente puntiforme (un piccolo foro in uno schermo opaco) emette onde sferiche.In ottica geometrica questa è rappresentabile mediante un fascio di raggi passanti perla sorgente. Un tale fascio si dice omocentrico
Può accadere che dopo riflessioni e/o rifrazioni, anche da superfici piane, i fronti d’ondanon siano più sfere, di conseguenza i raggi né i loro prolungamenti non passino più perun punto. Un tale fascio si dice astigmatico, e può essere prodotto anche da sorgenti estese.Un’onda piana è rappresentabile come un fascio di raggi paralleli, che è omocentrico, poichéi raggi si incontrano all’infinito
Nel loro percorso i raggi emessi da una sorgente puntiforme si possono far passare da unaltro punto detto immagine reale della sorgente. A volte è possibile solo far sì che iprolungamenti dei raggi passino per un punto: in tal caso si parla di immagine virtuale
Quest’ultimo è il caso dello specchio piano
L’immagine si forma in uno spazio non accessibile
Immagini reali e virtualiImmagini reali e virtuali
Consideriamo il caso della rifrazione semplice, p.es. raggi rifratti dalla superficie liberadell’acqua, cioè di una sorgente puntiforme in un mezzo rifrangente
Osservatore
d
d’
i
r
h
Possiamo determinare d’, l’avvicinamento della sorgente, usando la legge della rifrazione
icos
rcos
n
d
icos
rcos
rsin
isind
rtg
itgdd;rtg
d
h;itg
d
h
Ne segue che al variare di i il rapporto cosr/cosi cambia, pertanto il fascio di raggi non èomocentrico. Se però si limitano i raggi (p.es. a mezzo di un diaframma) ad angoli piccoli,il rapporto tra i coseni tende ad 1
n
dd
Uno dei propositi dell’ottica geometrica è quello di ideare dispositivi per trasformareun fascio omocentrico in un altro omocentrico
Un tale dispositivo consente, evidentemente, di costruire una immagine reale, tale cioè chese si scambia la sorgente con l’immagine, il vecchio punto sorgente diventa il nuovo puntoimmagine
Consideriamo una superficie di separazione tra due mezzi di forma sferica e vediamose e sotto quali condizioni si può verificare la situazione descritta sopra
O C
Q
A
x
i
r
A’
x’
R
Il DiottroIl Diottro
Per il teorema dei seni applicato ai triangoli AQC e A’QC e tenendo conto che l’angolo AQCè il supplementare di i
2
1
n
n
Rx
Rx
Rx
Rx
isin
rsin
QA
AQQA
Rx
rsinAQ
Rx
isin
CQAsinACQsin;QA
CQAsin
Rx
rsin;
AQ
ACQsin
Rx
isin
È chiaro che il fascio rifratto sarà omocentrico se e solo se al variare di Q sulla superficiesferica la posizione del punto immagine, x’, non cambia. Questo non è il caso, perché il primomembro dell’ultima equazione cambia con Q mentre al secondo l’unica quantità variabileè proprio x’.
Se però ci si limita a piccoli angoli di vergenza (teoria di Gauss), il punto Q sarà moltovicino ad O, quindi si ottiene
2
1
n
n
Rx
Rx
x
x
OA
AO
QA
AQ
Dopo qualche semplice manipolazione si ottiene l’equazione del diottro
R
nn
x
n
x
n 1221
Ponendo x e/o x’ si ottengono le posizioni dei punti coniugati con l’infinito, dettefuochi
Rff;n
n
f
f
nn
nRf;
nn
nRf
12
2
1
2
1
12
22
12
11
Con queste definizioni e relazioni, si ottiene, sostituendo nell’equazione del diottro
121
x
f
x
f
Tecnicamente questa equazione rappresenta una proiettività, cioè una corrispondenzabilineare fra lo spazio sorgente e lo spazio immagine. In altre parole non è possibileDistinguere fra oggetto ed immagine, cioè il diottro consente di realizzare immaginireali (nell’ipotesi di piccoli angoli)
f2
Distanza focale
Data la sfericità del diottro potremmo far ruotare l’asse ottico di un piccolo angolo (perconsistenza con la teoria di Gauss). Ciò ci consente di capire come si forma l’immagine dipiccoli oggetti
O C’
’
Usando l’equazione del diottro ed il fatto che le vergenze sono piccole e la similitudine deitriangoli ABC e A’B’C, si trova una relazione che lega le dimensioni dell’oggetto edell’immagine
B
A
A’
B’
sinnsinnn
n
sin
sin
RxRxma
n
n
Rx
Rx
x
x
sin
sin;
x
OQsin;
x
OQsin
211
2
1
2
La quantità nsin è quindi un’invariante della proiettività. Con la relazione precedentesi può calcolare l’ingrandimento ’/
Con la conoscenza dei fuochi e del centro si può facimente costruire l’immagine
O C
Q
A
F2
Immagine realex>f1
O C
Q
A
F2
Immagine virtualex<f1
Per uno specchio sferico le costruzioni sono analoghe: basta conoscere la posizione del fuocoe considerare che gli indici di rifrazione dello spazio oggetto e dello spazio immagine sonoovviamente uguali
Un sistema ottico centrato è una sequenza di diottri, anche con differente raggio dicurvatura, che abbiano lo stesso asse ottico. Ad esempio una lente, o un obiettivo fotografico,un microscopio ottico, l’occhio, etc.
Siccome le immagini che forma un diottro sono reali, l’immagine formata dal primo diottropuò essere considerata come la sorgente per il secondo. L’immagine del secondo come lasorgente per il terzo e così via: è evidente che deve esistere una equazione che ha la stessastruttura dell’equazione del diottro per tutto il sistema ottico centrato
Per trovare questa equazione notiamo che possiamo eseguire un cambio di coordinate perun solo diottro come segue. Notiamo che il punto O è il coniugato di sé stesso. Se di un diottroconosciamo due punti tra loro coniugati O1 ed O2, possiamo riferire le coordinate delpunto sorgente (x) ad O1 e quelle del punto immagine (x’) ad O2.
Se a1 ed a2 sono le coordinate dei punti O1 ed O2 deve essere
01 1221212
2
1
1 afafaaa
f
a
f
Possiamo cambiare l’origine da O ad (O1,O2), semplicemente scrivendo
2211 axx;axx
Sistemi Ottici CentratiSistemi Ottici Centrati
Sostituendo nell’equazione del diottro
221111222122
2
11
1 1 axaxaxfaxf;ax
f
ax
f
Moltiplicando, dividendo per x1x2 e riordinando i termini
21
122121
2
22
1
11 1xx
afafaa
x
af
x
af
Notando che il numeratore della frazione a secondo membro è nullo perché O1 ed O2 sonopunti coniugati, e che i numeratori a primo membro altro non sono che le coordinate deifuochi rispetto alle nuove origini
12
2
1
1 x
F
x
F
Per un sistema ottico centrato, possiamo quindi cercare due punti coniugati qualsiasi,riferire le coordinate dei punti sorgente ed immagine a questi ed applicando la legge adogni diottro si troverà
11
1
1
1
n
n
x
F
x
F
La quantità invariante del diottro deve essere invariante anche per un sistema otticocentrato, ossia:
111222111 nnn sinnsinnsinn
Con questa equazione si potrà dunque determinare l’ingrandimento del sistema ottico,nell’ipotesi che tutte le vergenze siano piccole
In realtà, dato un sistema di diottri o di lenti, salvo che per modificarne se proprietà,non è per niente interessante conoscere tutto ciò che succede all’interno, ma solo la primae l’n+1-esima distanza focale interessano, solo le dimensioni dell’oggetto e quelle dellan+1-esima immagine contano, quindi scriveremo
222111
2
2
1
1 1
sinnsinn
x
F
x
F
Si noti che nelle applicazioni pratiche il primo e l’ultimo mezzo sono normalmente uguali(aria).
Resta il problema di costruire l’immagine di piccoli oggetti per un sistema diottrico. Lalegge dei punti coniugati vale per i punti, e la costruzione dell’immagine, salvo non volerfare la costruzione penna e righello per ogni diottro, necessita della conoscenza di puntispeciali, i punti cardinali, del sistema ottico
Cominciamoci a chiedere se esistano due punti (o piani) coniugati, detti punti principali chegodano della seguente proprietà: le dimensioni dell’oggetto e dell’immagine sono identiche
Noti quindi due punti coniugati qualunque (O1, O2), da prendere come origini, e lecoordinate dei fuochi rispetto a questi, F1 e F2, la situazione sarà:
’
F1 F2O1 O2P1 P2
x1 x2
Vogliamo determinare le ascisse incognite di tali punti, x1 ed x2.
I punti principali di un sistema diottrico centratoI punti principali di un sistema diottrico centrato
Per definizione di punti principali e poiché le vergenze sono piccole, deve essere
2
21
12211222111
2222
1111
xn
xnsinnsinnsinPnsinPn
xtgsin;
xtgsin
L’ultima equazione accoppiata all’equazione dei punti coniugati è un sistema di equazioninelle incognite x1 e x2. Risolvendo
1
2122
2
1211 n
nFFx;
n
nFFx
L’utilità dei punti principali balena subito da questa espressione. Essendo P1 e P2 punticoniugati, possiamo adesso scegliere questi come origini (x1=x2=0) inoltre ’=
2
1
2
1
2
121 0
n
n
F
F
n
nFF
Siccome gli indici di rifrazione sono definiti positivi, le distanze focali devono avere lo stessosegno: o sono entrambe interne o entrambe esterne ai punti principali
Se il primo e l’ultimo mezzo sono uguali (p.es. l’aria) le distanze focali sono uguali
P1 P2
La conoscenza dei piani principali e delle distanze focali è tutto ciò che serve per costruirel’immagine
F1 F2
Altri punti cardinali importanti sono i punti nodali, che godono della proprietà che iraggi passanti per essi sono paralleli.
Frequentemente (si pensi ad un obiettivo di una macchina fotografica o all’occhio umano),si inseriscono dei diaframmi per limitare l’angolo di raccolta della luce. In realtà, diaframmisono sempre presenti: si pensi alle dimensioni stesse delle lenti che non possono raccogliereluce da tutte le direzioni, perché la loro estensione è limitata
L’angolo secondo cui la luce arriva al sistema ottico dipende, comunque dalla vicinanzadell’oggetto. Si dice diaframma di apertura il diaframma che fissa il massimo angolo solidoper il quale si possa inviare la luce al sistema ottico, e pupille le aperture virtuali da cui laluce potrebbe essere raccolta
A A’
Diaframma
Pupilla d’entrataPupilla d’uscita
a1
d1
a2
d2
Diaframmi, Brillanza e LuminositàDiaframmi, Brillanza e Luminosità
I (piccoli) angoli 1 e 2 possono essere determinati conoscendo le aperture delle pupillee le distanze dalla sorgente e l’immagine
2
222
1
111 22 d
atg;
d
atg
Gli angoli solidi corrispondenti saranno
24
24 22
212
1
sin;sin
È chiaro che la quantità di energia che nell’unità di tempo fluisce dentro lo strumento saràproporzionale all’angolo solido 1 ed all’area S1 della sorgente. La costante diproporzionalità, e cioè la potenza per unità di angolo solido ed unità di superficie si chiamabrillanza (o splendore) della sorgente. Per l’immagine vale assolutamente l’analogo, pertantosi ha
sorgimm
immimmimmsorgsorgsorg SB;SB
21
Dove il segno di disuguaglianza vale per tenere in conto dell’eventuale assorbimento delsistema ottico. Per un sistema ottico molto buono vale approssimativamente il segno diUguale. Con questo in mente possiamo cercare una relazione fra le brillanze.
Trascurando quindi le perdite per assorbimento delle lenti
222
211
22222
12211 22
S;SsinKsinK
Per piccoli angoli ed usando l’equazione di invarianza
22
221
1
222111
222
22
212
11 44
n
K
n
K
nn;KK
Se, come di solito accade, il primo ed il secondo mezzo sono uguali possiamo concludereche la brillanza della sorgente è uguale alla brillanza della immagine (in assenza diassorbimento)
Tuttavia, se il sistema ottico è l’occhio umano oppure è un obiettivo fotografico è importanteconoscere l’illuminanza, cioè l’energia che giunge all’immagine per unità di superficie, ovverol’integrale della brillanza sull’angolo solido sotteso dalla pupilla di uscita
22
222
22 4 d
aKKKU imm
Ma per l’occhio o per un obiettivo fotografico normalmente le distanze degli oggetti sonograndi rispetto a d2 ed f (la distanza focale), quindi nella formula queste quantità si possonoconfondere. Inoltre la brillanza della sorgente non dipende dal sistema ottico ma dallasorgente stessa e dalle condizioni di luce. Si definisce luminosità il rapporto Uimm/K. Si ha
2
4
f
a
K
UL imm
La luminosità dell’immagine dipende quindi dal rapporto N=f/a. Quando per un obiettivofotografico si dice che l’apertura del diaframma è 5.6, si intende che il rapporto fra ladistanza focale e l’apertura del diaframma è 5.6. Pertanto, un teleobiettivo (grande distanzafocale) non può consentire grandissime aperture di diaframma, e quindi avere una grandeluminosità, se non a costi elevati
La lente è il sistema ottico più semplice (due diottri). Si dice sottile quando il suo massimospessore è trascurabile rispetto ai raggi di curvatura delle superfici, r1 ed r2
O1 O2x1
A1A2
x2
d
È facile far vedere che la distanza focale dipende dai raggi di curvatura della lente
La legge dei punti coniugati è
Fxx
111
21
Applicando la legge del diottro ad entrame le superfici, e chiamando n l’indice di rifrazionerelativo del vetro all’aria
2211
1111
r
n
xdx
n;
r
n
x
n
x
Lenti sottiliLenti sottili
Trascurando lo spessore della lente d e sommando
21
111
1
rrn
F
Notare che in questa equazione il segno dei raggi di curvatura è positivo (negativo) sela superficie è convessa (concava) . Una lente biconvessa si dice convergente (la sua distanzafocale è positiva), una biconcava si dice divergente (f>0). Se una superficie e convessa mentrel’altra è concava, la lente è convergente o divergente in dipendenza del segno della secondaparentesi.
La convergenza di una lente si misura in diottrie (m-1), ossia l’inverso della distanza focale:5 diottrie f=20cm
Dato che lo spessore della lente è stato preso nullo, i piani principali coincidono e lacostruzione dell’immagine è banalmente la stessa di quella vista per i sistemi ottici centrati
Se lo spessore della lente non è trascurabile bisogna considerare la lente come un sistemaottico centrato, determinare le distanze focali in dipendenza dei raggi di curvatura maanche dello spessore
Spesso si vuole che il campo di un sistema ottico sia il più grande possibile, per aumentarela luminosità e per visualizzare il massimo campo di immagine (e.g. obbiettivo grandangolare).
Un sistema siffatto può facilmente mostrare le cosidette aberrazioni, essenzialmente dovutealla non applicabilità della teoria di Gauss.
Si possono distinguere 5 tipi di aberrazioni diverse: aberrazione sferica, coma, astigmatismo,curvatura di campo e distorsione.
Alla precedente va aggiunta l’aberrazione cromatica, che si verifica quando la sorgentenon emette luce monocromatica: variando l’indice di rifrazione con la frequenza, non puòaccadere che tutte le componenti della luce vengano focalizzate nello stesso punto.
Aberrazione sferica: se l’oggetto viene inquadrato da vicino, l’angolo diventa grande e glieffetti di curvatura della lente sono importanti. Succede che i raggi che passano vicino alcentro della lente sono quasi parassiali e focalizzati bene in uno stesso punto, mentre quelliche passano vicino ai bordi della lente sono focalizzati in punti più vicini alla lente:l’immagine può, quindi risultare sdoppiata o comunque si forma in una zona estesa
AberrazioniAberrazioni
Coma: Nel caso di sorgenti estese l’aberrazione sferica produce, a causa dei punti fuori asse,una sorta di coda dell’immagine, come la coda di una cometa, che è detta appunto coma
Astigmatismo: questo difetto ottico si verifica anche con lenti di piccola apertura. Persorgenti in asse con la lente, sappiamo tutto, ma per sorgente fuori asse (i raggi incidentinon sono paralleli all’asse ottico) non è detto che i raggi possano essere focalizzati.
Linea tangenziale
Linea sagittale
Cerchio di minimaconfusione
Lineette stigmatiche
A
Al crescere dell’angolo di inclinazione del raggio il luogo geometrico delle lineette Tangenziali e sagittali differisce sempre di più da quelle delle zone di minima confusione
A0As
Curvatura di campo: Se si corregge l’astigmatismo, facendo coincidere il più possibilele superfici stigmatiche, la superficie di miglior fuoco non sarà un piano. In altre paroleun oggetto molto piccolo sarà focalizzato bene, ma un oggetto esteso può essere sfocatoai bordi
At
Distorsioni: inquadrando oggetti estesi anche con piccole aperture, siccome l’ingrandimentotrasversale può benissimo non essere costante con la distanza dall’asse ottico si verificaquesta aberrazione
Oggetto Distorsione a cuscinoDistorsione a barile
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