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Calculo Vectorial
Profesor: H. Fabian Ramirez Ospina. Edificio: 404 Ofic: 311.E-mail: hframirezo@unal.edu.co
Atencion: Lunes 9:30-12:30, Miercoles y Viernes 11:30-12:30Blog: notasfabian.wordpress.com
Allı encontraras el material de la signatura : Notas de clase y talleresEvaluacionTres Parciales (25% cada uno)I ExamenII ExamenIII Examen ((Final Conjunto))25% Acordar con los estudiantes.
Consejo I:Consejo II:
Calculo en Varias Variables
Calculo Vectorial
Profesor: H. Fabian Ramirez Ospina. Edificio: 404 Ofic: 311.E-mail: hframirezo@unal.edu.co
Atencion: Lunes 9:30-12:30, Miercoles y Viernes 11:30-12:30Blog: notasfabian.wordpress.com
Allı encontraras el material de la signatura : Notas de clase y talleresEvaluacionTres Parciales (25% cada uno)I ExamenII ExamenIII Examen ((Final Conjunto))25% Acordar con los estudiantes.
Consejo I: ESTUDIEN EN GRUPOConsejo II:
Calculo en Varias Variables
Calculo Vectorial
Profesor: H. Fabian Ramirez Ospina. Edificio: 404 Ofic: 311.E-mail: hframirezo@unal.edu.co
Atencion: Lunes 9:30-12:30, Miercoles y Viernes 11:30-12:30Blog: notasfabian.wordpress.com
Allı encontraras el material de la signatura : Notas de clase y talleresEvaluacionTres Parciales (25% cada uno)I ExamenII ExamenIII Examen ((Final Conjunto))25% Acordar con los estudiantes.
Consejo I: ESTUDIEN EN GRUPOConsejo II: Si estudia solo, pues REZAR BASTANTE
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Un punto en el espacio se determina dando su localizacion relativa a tresejes coordenados perpendiculares entre ellos, que pasan por el origen O.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Un punto en el espacio se determina dando su localizacion relativa a tresejes coordenados perpendiculares entre ellos, que pasan por el origen O.
Usualmente se dibujan los ejes x , y , z cumpliendo por la siguientepropiedad:
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Un punto en el espacio se determina dando su localizacion relativa a tresejes coordenados perpendiculares entre ellos, que pasan por el origen O.
Usualmente se dibujan los ejes x , y , z cumpliendo por la siguientepropiedad:
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Un punto en el espacio se determina dando su localizacion relativa a tresejes coordenados perpendiculares entre ellos, que pasan por el origen O.
Usualmente se dibujan los ejes x , y , z cumpliendo por la siguientepropiedad: Sistema de coordenadas de la mano derecha
Sistema de coordenadas de la mano derecha: Si doblamoslos dedos de la mano derecha con un giro de 90◦ a partir del ejepositivo de las x y hacia el eje y positivo, entonces el pulgarapuntara en la direccion del eje positivo de las z.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangularesSe dice que el punto P en el espacio tiene coorde-nadas rectangulares (a, b, c) si
a es su distancia al plano yz ,b es su distancia al plano xz ,c es su distancia al plano xy .
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangularesSe dice que el punto P en el espacio tiene coorde-nadas rectangulares (a, b, c) si
a es su distancia al plano yz ,b es su distancia al plano xz ,c es su distancia al plano xy .
Observe tambien que a, b y c son los numeros realescorrespondientes a las intersecciones de los ejescon los planos que pasan por P y son perpendicu-lares a los ejes.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangularesSe dice que el punto P en el espacio tiene coorde-nadas rectangulares (a, b, c) si
a es su distancia al plano yz ,b es su distancia al plano xz ,c es su distancia al plano xy .
Observe tambien que a, b y c son los numeros realescorrespondientes a las intersecciones de los ejescon los planos que pasan por P y son perpendicu-lares a los ejes.
Las coordenadas (a, b, c) tambien se conocen comocoordenadas rectangulares, pues los ejes que lasdefinen se cortan en angulo recto.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Cualquier vector a = (a1, a2, a3) ∈ R3 se puede expresar como una
combinacion lineal de los vectores unitarios
i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1), a = a1i+ a2j+ a3k
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Cualquier vector a = (a1, a2, a3) ∈ R3 se puede expresar como una
combinacion lineal de los vectores unitarios
i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1), a = a1i+ a2j+ a3k
donde a1i, a2j y a3k son llamados vectores componentes los cualesyacen a lo largo de los ejes origen como un punto inicial comun,
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Cualquier vector a = (a1, a2, a3) ∈ R3 se puede expresar como una
combinacion lineal de los vectores unitarios
i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1), a = a1i+ a2j+ a3k
donde a1i, a2j y a3k son llamados vectores componentes los cualesyacen a lo largo de los ejes origen como un punto inicial comun,
y los escalares a1, a2 y a3 se denominan componentes de a en lasdirecciones x , y y z , respectivamente.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?
0 =
00...0
.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.EJEM: Los vectores
e1 =
10...0
, e2 =
01...0
, · · · , en =
00...1
son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectores
canonicos de Rn
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cuando dos vectores x, y son iguales?
x = y ⇔
x1x2...xn
=
y1y2...yn
⇔ xi = yi
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar
como puntos;
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar
como puntos;
En las aplicaciones fısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, direccion ysentido. Estos vectores los llamaremos vectores libres.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
SUMA: Dados u =
u1u2...un
y v =
v1v2...vn
, definimos
u+ v =
u1 + v1u2 + v2
...un + vn
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
PRODUCTO POR ESCALAR: Dados u =
u1u2...un
y λ ∈ R , definimos
λu =
λu1λu2...
λun
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
RESTA: Definimos u− v = u+ (−v)
PR = OR − OP .
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
RESTA: Definimos u− v = u+ (−v)
PR = OR − OP .
Dados dos puntos A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3)
en R3, el segmento de recta dirigido ~AB rep-
resenta el vector
~AB = B − A = (b1, b2, b3)− (a1, a2, a3)
‖ ~AB‖ =√
(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Producto escalar)
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de R
n, definimos u · v el oproducto
escalar entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Producto escalar)
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de R
n, definimos u · v el oproducto
escalar entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJEM: Dados
21−5
,
130
,
−2−1−1
, Calcule u · v, u ·w, v · w,
(3u) · v, (u+ v) · w y v · u.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Producto escalar)
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de R
n, definimos u · v el oproducto
escalar entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Teorema
Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces
1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist
3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Producto escalar)
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de R
n, definimos u · v el oproducto
escalar entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Teorema
Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces
1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist
3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.
Note que no tiene sentido la prop. asociativa para ·
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
EJEM: Dados u =
21−5
, y los puntos P =
523
, Q =
1−13
, Calcule
‖u‖ y ‖PQ‖,
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
Teorema (Interpretacion del producto punto)
Si θ es el angulo ((menor giro)) entre los vectores a yb, entonces
a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
Teorema (Interpretacion del producto punto)
Si θ es el angulo ((menor giro)) entre los vectores a yb, entonces
a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.
Dem: Al aplicar el T. del Coseno ((c2 = a2 + b2 −2ab cos θ)) de lados ‖a‖, ‖b‖ y ‖a− b‖, tenemos
‖a− b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
Teorema (Interpretacion del producto punto)
Si θ es el angulo ((menor giro)) entre los vectores a yb, entonces
a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.
Dem: Al aplicar el T. del Coseno ((c2 = a2 + b2 −2ab cos θ)) de lados ‖a‖, ‖b‖ y ‖a− b‖, tenemos
‖a− b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ‖a‖2 − 2a · b+ ‖b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
Teorema (Interpretacion del producto punto)
Si θ es el angulo ((menor giro)) entre los vectores a yb, entonces
a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.
Dem: Al aplicar el T. del Coseno ((c2 = a2 + b2 −2ab cos θ)) de lados ‖a‖, ‖b‖ y ‖a− b‖, tenemos
‖a− b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ‖a‖2 − 2a · b+ ‖b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ
De aquı deducimos que, cos θ =a · b
‖a‖‖b‖Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
Teorema (Interpretacion del producto punto)
Si θ es el angulo ((menor giro)) entre los vectores a yb, entonces
a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.
Corolario (Prueba de la perpendicularidad de vectores)
Los dos vectores diferentes de cero a y b son perpendiculares si y solo sia · b = 0.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario
EJER:
1) Halle la distancia entre
−1230
y
−2020
.
2) Halle el vector unitario en la direccion v =
1−21
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
Teorema (Propiedades)
Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que
(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
Teorema (Propiedades)
Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que
(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para
algun λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21 + · · ·+ u2n =√u · u
Teorema (Propiedades)
Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que
(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para
algun λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
(e) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λvcon λ ≥ 0. Desigualdad triangular.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a , c − b2
4a
)
en el semiplano superior.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a , c − b2
4a
)
en el semiplano superior. entonces
0 ≤ c − b2
4a
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a , c − b2
4a
)
en el semiplano superior. entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2
4‖u‖2
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a , c − b2
4a
)
en el semiplano superior. entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2
4‖u‖2
Ademas, si u = λv entonces
|u · v| = |λv · v| = |λ||v · v| = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Angulos directores:)
Los angulos α, β y γ que forma el vector a = (a1, a2, a3) con los vectoresi, j y k, son llamados Los angulos directores.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Angulos directores:)
Los angulos α, β y γ que forma el vector a = (a1, a2, a3) con los vectoresi, j y k, son llamados Los angulos directores.
Los cosenos de estos angulos se llaman cosenosdirectores del vector a, y estan dados por
cosα =a · i
‖a‖‖i‖ =a1‖a‖ cosβ =
a · j‖a‖‖j‖ =
a2‖a‖
cos γ =a · k
‖a‖‖k‖ =a3‖a‖
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Angulos directores:)
Los angulos α, β y γ que forma el vector a = (a1, a2, a3) con los vectoresi, j y k, son llamados Los angulos directores.
Los cosenos de estos angulos se llaman cosenosdirectores del vector a, y estan dados por
cosα =a · i
‖a‖‖i‖ =a1‖a‖ cosβ =
a · j‖a‖‖j‖ =
a2‖a‖
cos γ =a · k
‖a‖‖k‖ =a3‖a‖
Observe que,(cosα, cosβ, cos γ) = 1
‖a‖ (a1, a2, a3). y por ende,
cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Proyeccion)
Si a,b son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal ((sombra))
de a sobre b como el vector
Proyba =
( a · b‖b‖2
)
b
Llamamos ac = a⊥= a−Proy
ba la componente vectorial de a ortogonal
a b.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Proyeccion)
Si a,b son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal ((sombra))
de a sobre b como el vector
Proyba =
( a · b‖b‖2
)
b
Llamamos ac = a⊥= a−Proy
ba la componente vectorial de a ortogonal
a b.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Proyeccion)
Si a,b son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal ((sombra))
de a sobre b como el vector
Proyba =
( a · b‖b‖2
)
b
Llamamos ac = a⊥= a−Proy
ba la componente vectorial de a ortogonal
a b.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Proyeccion)
Si a,b son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal ((sombra))
de a sobre b como el vector
Proyba =
( a · b‖b‖2
)
b
Llamamos ac = a⊥= a−Proy
ba la componente vectorial de a ortogonal
a b.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Proyeccion)
Si a,b son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal ((sombra))
de a sobre b como el vector
Proyba =
( a · b‖b‖2
)
b
Llamamos ac = a⊥= a−Proy
ba la componente vectorial de a ortogonal
a b.
EJEM: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal a u(Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:
(a) u =
1−1−1
y v =
1−11
(b) u = e1 y v =
2−103
Proyvu =( v · u‖v‖2
)
v
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Producto vectorial)
Dados dos vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3)de R
3, definimos el producto vectorial de a y b oProducto Cruz, como el vector
a× b =
a2b3 − a3b2−(a1b3 − a3b1)a1b2 − a2b1
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ka1 a2 a3b1 b2 b3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Definicion (Producto vectorial)
Dados dos vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3)de R
3, definimos el producto vectorial de a y b oProducto Cruz, como el vector
a× b =
a2b3 − a3b2−(a1b3 − a3b1)a1b2 − a2b1
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ka1 a2 a3b1 b2 b3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Teorema (Propiedades: Producto vectorial)
Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:
1) u× v = −v× u 2) u× (v+w) = u× v+ u×w3) u+ v)×w = u×w+ v×w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v×w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) w · (u× v) = u · (v×w)
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem:(8)
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem:(8)
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3 = 0
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem:(8)
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3 = 0
De manera analoga u× v · v = 0
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem:(8)
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3 = 0
De manera analoga u× v · v = 0
Teorema (Identidad de Lagrange)
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem:(8)
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3 = 0
De manera analoga u× v · v = 0
Teorema (Identidad de Lagrange)
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.
Dem:
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem:(8)
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3 = 0
De manera analoga u× v · v = 0
Teorema (Identidad de Lagrange)
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.
Dem:
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)(9)= u · [v× (u× v)]
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem:(8)
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3 = 0
De manera analoga u× v · v = 0
Teorema (Identidad de Lagrange)
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.
Dem:
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)(9)= u · [v× (u× v)]
(7)= u · [(v · v)u− (v · u)v]
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem:(8)
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3 = 0
De manera analoga u× v · v = 0
Teorema (Identidad de Lagrange)
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.
Dem:
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)(9)= u · [v× (u× v)]
(7)= u · [(v · v)u− (v · u)v]
= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Dem:(8)
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3 = 0
De manera analoga u× v · v = 0
Teorema (Identidad de Lagrange)
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.
Dem:
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)(9)= u · [v× (u× v)]
(7)= u · [(v · v)u− (v · u)v]
= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2
= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ = ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ) = ‖u‖2‖v‖2 sin2Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Dem: (⇒) si u es paralelo a v, v = λu,
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Dem: (⇒) si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Dem: (⇒) si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.
(⇐) Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0,
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Dem: (⇒) si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.
(⇐) Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ ahora, como u, v 6= 0 entonces sin θ = 0, por lotanto θ = 0 o θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Dem: (⇒) si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.
(⇐) Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ ahora, como u, v 6= 0 entonces sin θ = 0, por lotanto θ = 0 o θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.
Corolario (Area del paralelogramo)
El area A del paralelogramo PQRS generadopor los vectores a y b de R
3 esta dado
A = ‖a‖‖b‖ sin θ = ‖a× b‖.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Dem: (⇒) si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.
(⇐) Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ ahora, como u, v 6= 0 entonces sin θ = 0, por lotanto θ = 0 o θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.
Corolario (Area del paralelogramo)
El area A del paralelogramo PQRS generadopor los vectores a y b de R
3 esta dado
A = ‖a‖‖b‖ sin θ = ‖a× b‖.Dem: Observe que la altura del paralelogramo PQRS, esta dada por‖b‖ sin θ. Por tanto tenemos
A = (base)x(altura) = ‖a‖‖b‖ sin θ (Teo.8)= ‖a× b‖
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario (Producto escalar triple y volumen)
El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es
V =∣
∣a · (b× c)∣
∣ =∣
∣det(a,b, c)∣
∣
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario (Producto escalar triple y volumen)
El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es
V =∣
∣a · (b× c)∣
∣ =∣
∣det(a,b, c)∣
∣
Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario (Producto escalar triple y volumen)
El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es
V =∣
∣a · (b× c)∣
∣ =∣
∣det(a,b, c)∣
∣
Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.La altura del paralelepıpedo es h = ‖a‖ cosα.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario (Producto escalar triple y volumen)
El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es
V =∣
∣a · (b× c)∣
∣ =∣
∣det(a,b, c)∣
∣
Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.La altura del paralelepıpedo es h = ‖a‖ cosα.Si θ es el angulo (general) entre los vectores a y b× c entoncesθ = α o bien θ = π − α.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario (Producto escalar triple y volumen)
El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es
V =∣
∣a · (b× c)∣
∣ =∣
∣det(a,b, c)∣
∣
Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.La altura del paralelepıpedo es h = ‖a‖ cosα.Si θ es el angulo (general) entre los vectores a y b× c entoncesθ = α o bien θ = π − α.Por lo que cosα = | cos θ|.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario (Producto escalar triple y volumen)
El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es
V =∣
∣a · (b× c)∣
∣ =∣
∣det(a,b, c)∣
∣
Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.La altura del paralelepıpedo es h = ‖a‖ cosα.Si θ es el angulo (general) entre los vectores a y b× c entoncesθ = α o bien θ = π − α.Por lo que cosα = | cos θ|.Ademas el area A de la base es A = ‖b× c‖, por lo tanto
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario (Producto escalar triple y volumen)
El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es
V =∣
∣a · (b× c)∣
∣ =∣
∣det(a,b, c)∣
∣
Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.La altura del paralelepıpedo es h = ‖a‖ cosα.Si θ es el angulo (general) entre los vectores a y b× c entoncesθ = α o bien θ = π − α.Por lo que cosα = | cos θ|.Ademas el area A de la base es A = ‖b× c‖, por lo tanto
V = Ah =(
‖b× c‖)(
‖a‖ cosα)
=∣
∣
∣‖v×w‖‖u‖ cos θ
∣
∣
∣
def=∣
∣a · (b× v)∣
∣.
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario (Producto escalar triple y volumen)
El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es
V =∣
∣a · (b× c)∣
∣ =∣
∣det(a,b, c)∣
∣
Dem: Para demostrar la segunda igualdad escriba a = (a1, a2, a3),b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3). Entonces
b× c = (b2c3 − b3c2)i− (b1c3 − b3c1)j+ (b1c2 − b2c1)k,
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario (Producto escalar triple y volumen)
El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es
V =∣
∣a · (b× c)∣
∣ =∣
∣det(a,b, c)∣
∣
Dem: Para demostrar la segunda igualdad escriba a = (a1, a2, a3),b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3). Entonces
b× c = (b2c3 − b3c2)i− (b1c3 − b3c1)j+ (b1c2 − b2c1)k,
a · (b× c) = a1(b2c3 − b3c2)− a2(b1c3 − b3c1) + a3(b1c2 − b2c1) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 ab1 b2 bc1 c2 c
Calculo en Varias Variables
Coordenadas rectangulares
Corolario (Producto escalar triple y volumen)
El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es
V =∣
∣a · (b× c)∣
∣ =∣
∣det(a,b, c)∣
∣
Dem: Para demostrar la segunda igualdad escriba a = (a1, a2, a3),b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3). Entonces
b× c = (b2c3 − b3c2)i− (b1c3 − b3c1)j+ (b1c2 − b2c1)k,
a · (b× c) = a1(b2c3 − b3c2)− a2(b1c3 − b3c1) + a3(b1c2 − b2c1) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 ab1 b2 bc1 c2 c
Corolario
Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y solo si, u · (v×w) = 0
Calculo en Varias Variables
Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la
recta que contiene a P y tiene direccion d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d.
Calculo en Varias Variables
Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la
recta que contiene a P y tiene direccion d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d. Al vector d lo llamamos vector director de la recta.
x− p = td ⇒ x = p+ td
Calculo en Varias Variables
Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = p+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Calculo en Varias Variables
Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = p+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
Calculo en Varias Variables
Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = p+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
Calculo en Varias Variables
Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = p+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
2 Determine si R =
(
3−1−2
)
y S =
(
4−10
)
pertenecen a la recta L.
Calculo en Varias Variables
Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = p+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique
que el vector PQ, de (a), es paralelo a d.
Calculo en Varias Variables
EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
Calculo en Varias Variables
EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
Calculo en Varias Variables
EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
3−21
y Q =
530
y
L2 es la recta con ecuacion vectorial
xyz
=
0−43
+ t
410−2
Calculo en Varias Variables
EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
3−21
y tiene vector
direccion v =
23−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
0−21
y P =
231
Calculo en Varias Variables
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
Calculo en Varias Variables
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
DEM: (⇒) Si L1 = L2 ⇒ L1||L2 y L1 ∩ L2 6= ∅.
Sean P ,Q ∈ L1 = L2 entonces L1 ∩ L2 6= ∅, y si d1 y d2 son los vectoresdirectores de L1 y L2 respectivamente, tenemos que PQ = α1d1 yPQ = α2d2. Luego igualando las ecuaciones es claro que las rectas son
paralelas pues d1 = βd2 donde β =α2
α1.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
Calculo en Varias Variables
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
DEM: (⇒) Si L1 = L2 ⇒ L1||L2 y L1 ∩ L2 6= ∅.
Sean P ,Q ∈ L1 = L2 entonces L1 ∩ L2 6= ∅, y si d1 y d2 son los vectoresdirectores de L1 y L2 respectivamente, tenemos que PQ = α1d1 yPQ = α2d2. Luego igualando las ecuaciones es claro que las rectas son
paralelas pues d1 = βd2 donde β =α2
α1.
DEM: (⇐) Si L1||L2 y L1 ∩ L2 6= ∅ ⇒ L1 = L2.
Sea P ∈ L1 ∩ L2 y si L1||L2 entonces d1 = λd2.
⊆: Si X ∈ L1 por ende PX = αd1 = α(λd2) = βd2 luego X ∈ L2.
⊇: Si X ∈ L2 entonces PX = βd2 = β(1
λd1) = γd1 luego X ∈ L1.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
Calculo en Varias Variables
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1
Calculo en Varias Variables
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
321
y Q =
130
y L2
es la recta con ecuacion vectorial
xyz
=
5−41
+ t
22−2
Calculo en Varias Variables
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
0−20
y tiene vector
direccion v =
13−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
1−21
y R =
23−1
Calculo en Varias Variables
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R
n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.
Calculo en Varias Variables
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R
n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.
Observe que PX = tc+ sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y p = OP ,entonces para t, s ∈ R
x− p = tc+ sd x = p+ tc+ sd
Esta es la ecuacion vectorial del plano.Calculo en Varias Variables
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
Calculo en Varias Variables
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = p+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
Calculo en Varias Variables
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = p+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.
Calculo en Varias Variables
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = p+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P
Calculo en Varias Variables
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = p+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
Calculo en Varias Variables
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = p+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
4 ¿Los puntos M =
221−2
N =
64−9−2
se encuentran en el plano P?.
Calculo en Varias Variables
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
Calculo en Varias Variables
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .
Calculo en Varias Variables
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Calculo en Varias Variables
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Teorema (Planos iguales)
Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienenal menos un punto comun
Calculo en Varias Variables
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Calculo en Varias Variables
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Calculo en Varias Variables
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Una recta L esta totalmente incluida en un plano ¶ de Rn, si y solo si,
L||P y P ∩ L 6= ∅.
Calculo en Varias Variables
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Una recta L esta totalmente incluida en un plano ¶ de Rn, si y solo si,
L||P y P ∩ L 6= ∅.
EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:
xyz
=
0−21
+ t
0−21
+ s
20−3
Calculo en Varias Variables
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Una recta L esta totalmente incluida en un plano ¶ de Rn, si y solo si,
L||P y P ∩ L 6= ∅.
EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:
xyz
=
0−21
+ t
0−21
+ s
20−3
PREG: Existe otra recta contenida en P? Cuantas rectas contenidas enP existen?
Calculo en Varias Variables
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al
plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Calculo en Varias Variables
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al
plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Calculo en Varias Variables
Ejercicios
1. Determine si la recta L:
xyz
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
xyz
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
.
Calculo en Varias Variables
Ejercicios
1. Determine si la recta L:
xyz
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
xyz
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: N000
Calculo en Varias Variables
Ejercicios
1. Determine si la recta L:
xyz
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
xyz
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: N000
2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =
1−11
y
Q =
403
es ortogonal al plano P:
xyz
=
5−23
+ r
0−21
+ s
20−3
.
Calculo en Varias Variables
Ejercicios
1. Determine si la recta L:
xyz
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
xyz
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: N000
2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =
1−11
y
Q =
403
es ortogonal al plano P:
xyz
=
5−23
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: Sıii
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.
.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = d (2)
donde con d = a1p1 + a2p2 + · · ·+ anpn = n · p.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = d (2)
donde con d = a1p1 + a2p2 + · · ·+ anpn = n · p.A esta ecuacion lallamamos ecuacion general del hiperplano que pasa por P y es ortogonala n.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
-Hiperplanos en R son puntos-Hiperplanos en R
2 son de la forma ax + by + d = 0 (Rectas)-Hiperplanos en R
3 son de la forma ax + by + cz + d = 0 (Planos)
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer. 82 Talle2parteC
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuacion es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
Calculo en Varias Variables
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuacion es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?
Calculo en Varias Variables
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