control de correlaciones en transiciones de fase cu´anticas

Control de Correlaciones en Transiciones de

Fase Cuanticas

Clara Virginia Castellanos Lopez

Asesor : Luis Quiroga Puello Ph.D.

Universidad de los AndesBogota D.C., Noviembre de 2007

Resumen

Sistemas fısicos con un gran numero de grados de libertad, clasicos ocuanticos, presentan un reto interesante para el control de su evolucion. Elarea de control cuantico, de muy reciente desarrollo, despierta actualmentegran interes ya que permite tener conocimiento de la respuesta de un sis-tema cuantico ante cambios predeterminados en algunos de sus parametrosasociados. En esta tesis se ha realizado un estudio de un sistema de ma-teria condensada exactamente soluble: el modelo de Ising transversal que atemperatura cero se sabe que presenta una transicion de fase cuantica. Conel objetivo de acercarnos a la caracterizacion y descripcion de esquemas decontrol en este sistema de muchos cuerpos, se ha investigado la evolucion dedistintas correlaciones cuanticas.

Indice general

1. Introduccion 1

2. Modelo de Ising Transversal y Transiciones de Fase Cuanti-

3. Correlaciones con campo magnetico constante 11

3.1. Diagonalizacion exacta del hamiltoniano . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Funciones de Correlacion de Spin . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1. Correlacion 〈Sxl Sx

m〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.2. Correlacion 〈Syl Sy

m〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.3. Correlacion 〈Szl S

zm〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.4. Correlaciones a primeros vecinos . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.5. Correlaciones a segundos vecinos . . . . . . . . . . . . 21

3.3. Funciones de Correlacion a tiempos distintos . . . . . . . . . . 23

3.4. Teorema de Regresion Cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Correlaciones de spin en campos magneticos dependientes

del tiempo 35

4.1. Funciones de correlacion dependientes del tiempo . . . . . . . 35

4.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.1. Campo Magnetico Escalon . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.2. Campo Magnetico Exponencial . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.3. Campo Magnetico con variacion senosoidal . . . . . . . 43

4.2.4. Campo Magnetico Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.5. Campos con variacion rectangular . . . . . . . . . . . . 49

4.3. Densidad de regiones desordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.1. Evolucion de Landau-Zener . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.2. Mecanismo de Kibble-Zurek . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. Correlaciones con campo magnetico local 62

5.1. Diagonalizacion numerica del hamiltoniano . . . . . . . . . . . 63

5.2. Funciones de Correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3. Campo Local Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4. Campo Local Escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4.1. Evolucion temporal de las funciones de correlacion . . . 69

5.4.2. Correlacion a tiempos distintos . . . . . . . . . . . . . 75

6. Conclusiones 78

Apendices 81

A. Diagonalizacion del hamiltoniano 82

B. Funciones de Correlacion 95

B.0.3. Correlacion 〈Ψ0 |Sxl Sz

m|Ψ0〉 . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.0.4. Correlacion 〈Sxl Sx

m〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

C. Funciones de Correlacion a tiempos Distintos 104

C.0.5. Valor esperado de la magnetizacion . . . . . . . . . . . 105

C.0.6. Correlaciones a tiempos distintos . . . . . . . . . . . . 109

D. Evolucioon Temporal de la Matriz Densidad 126

E. Evolucion Temporal de el vector de estado en presencia de

campos cuadrados 130

E.1. Escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

F. Diagonalizacion Numerica del hamiltoniano 133

G. Funciones de Correlacion con Campo Local 137

G.1. Campo Local Escalonado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

G.1.1. Magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

G.1.2.⟨

(Szi S

zj )(t)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

G.1.3. 〈(SxSy)(t)〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

G.1.4.⟨

(Syi Sx

j )(t)⟩

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

G.1.5.⟨

(Sxi Sx

j )(t)⟩

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

G.1.6.⟨

(Syi Sy

j )(t)⟩

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

G.1.7. Funcion de correlacion en z a tiempos distintos . . . . 144

G.1.8.⟨

(Szi (0)Sz

j )(t)⟩

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Indice de figuras

3.1. Funciones de correlacion para N=100. . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. La lınea solida corresponde al lımite termodinamico. La lıneapunteada corresponde a N=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3. Lımite termodinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4. La lınea solida corresponde a la solucion en el lımite ter-modinamico. La lınea punteada corresponde al calculo conN=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5. Tiempo de decaimiento para diferentes valores de h y N=100. 28

3.6. La decoherencia de un spin D(t) para dos valores de h y N=100. 28

3.7. La primera columna representa las correlaciones para el mismospin a tiempos distinos para diferentes valores de campo h.La segunda columna es la correlacion para spins vecinos, y laultima columna es la correlacion entre spins lejanos. . . . . . . 29

3.8. Algunas funciones de correlacion de la Figura 3.4 superpues-tas en la misma escala. Las lıneas punteadas corresponden avalores de h menores al valor crıtico, hc = 1. . . . . . . . . . . 32

4.1. Para hI(t). a=0.Diferentes valores de b. En la columna I, b <hc. Columna II b = hc. Columna III b > hc. Cadena de N=100spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2. Para hI(t). b=0. Diferentes valores de a. En la columna I,a < hc. Columna II h = hc. Columna III h > hc. Cadena deN=100 spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3. Funciones de correlacion para el campo escalonado hacia arri-aba. a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4. Funciones de correlacion para el campo escalonado hacia aba-jo. b = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.5. Para hII(t). a=0 , b=5. Figura a) K=0.05. Figura b) K=0.1.Figura c) K=1. Figura d) K=10. La lınea punteada es la mag-nitud del campo medida con la escala de la derecha. La con-currencia es la lınea solida medida con la escala de la izquierda. 44

4.6. hIII(t). K = 0,05, a = 2, N = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.7. hIII(t). K = 0,05, a = 2, N = 100. Concurrencia en funciondel campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.8. Para hIV (t). K = 0,05, a = 2, N = 100 . . . . . . . . . . . . . 47

4.9. Funciones de correlacion para un campo magnetico que se apa-ga linealmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.10. Para hV (t) . Czz = ρzz − M2z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.11. Arriba: concurrencia en funcion del campo. Abajo: concurren-cia en funciıon de τQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.12. Campo rectangular variando el tiempo de permanenecia abajoen h = 0. N=100 spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.13. Densidad de regiones desordenadas en funcion de τQ. La solu-cion exacta corresponde a la ecuacion (4.26), la solucion de LZes la ecuacion (4.28). La solucion relacionada con la funcion decorrelacion corresponde a la expresion (4.31). Se usa la mismasolucion que se grafico en la Figura 4.11. . . . . . . . . . . . . 61

5.1. Magnetizacion y funciones de correlacion a primeros vecinospara los spins en los sitios j = N/2 y j = N/2 + 1. . . . . . . . 67

5.2. Concurrencia entre primeros vecinos en los sitios j = N/2 yj = N/2 + 1, para diferentes valores del campo local δh. . . . . 68

5.3. Arriba: Magnetizacion en funcion del tiempo en el sitio dondese aplica el campo local δh en escalon. Abajo: Promedio de lamagnetizacion. Campo global h = 0,5. . . . . . . . . . . . . . 70

5.4. Arriba: Magnetizacion en funcion del tiempo en el sitio dondese aplica el campo local δh. Abajo: Promedio de la magneti-zacion. Campo global h = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5. Campo local en escalon. Magnetizacion y funciones de cor-relacion en funcion del tiempo para las parejas de spin en(N/2, N/2 + 1) y (N/2 + 1, N/2 + 2). h = 0,5 y δh = 0,5. . . . 73

5.6. Evolucion de la concurrencia para dos parejas de spins primerosvecinos. Campo global h = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.7. Magnetizacion y funciones de correlacion en funcion del tiem-po con h = 2, δh = 0,5. Lınea punteada j = N/2 y lınea solidaj = N/2 + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.8. Evolucion de la concurrencia para dos parejas de spins primerosvecinos. Campo global h = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.9.⟨

Szj (0)Sz

j (t)⟩

para diferentes sitios en la red con h = 0,5 yδh = 0,5. El campo local se aplica en el spin central j = N/2. . 77

Indice de cuadros

Capıtulo 1

Introduccion

Sistemas fısicos con un gran numero de grados de libertad, clasicos ocuanticos, presentan un reto interesante para el control de su evolucion. Elarea de control cuantico, de muy reciente desarrollo, despierta actualmentegran interes ya que permite tener conocimiento de la respuesta de un sistemacuantico ante cambios predeterminados en algunos de sus parametros aso-ciados. Este conocimiento contribuye directamente al desarrollo de nuevastecnicas experimentales y posibles aplicaciones tecnologicas, entre las cualesla que mayor expectativa ha venido despertando es en general la del proce-samiento cuantico de la informacion y, mas concretamente, la computacioncuantica.

Por razones tanto fundamentales como de potenciales aplicaciones es im-portante entender y disenar protocolos que permitan llevar un sistema cuanti-co desde un estado inicial, resultado de una preparacion adecuada, hasta unestado final predeterminado. Si ademas se exige el cumplimiento de ciertasrestricciones o requisitos de extremo (minimizacion o maximizacion) de algu-nas cantidades fısicas, el proceso de control se hace muy exigente. Ademas, siel sistema bajo estudio experimenta una transicion de fase durante su evolu-cion controlada, existen muy pocas investigaciones que integren todas estascaracterısticas. Esquemas generales adecuados para sistemas con todas estasparticularidades son practicamente inexistentes. Se trata entonces de encon-trar sistemas donde algunas simplificaciones puedan ayudar a enfrentar taltipo de problemas. Una posibilidad, que corresponde justamente a la estrate-gia seguida en el presente trabajo, es recurrir a sistemas que permitan unasolucion exacta y analıtica en el estudio de su dinamica.

CAPITULO 1. INTRODUCCION2

En esta tesis se ha realizado un estudio de un sistema de materia conden-sada exactamente soluble: el modelo de Ising transversal que a temperaturacero se sabe que presenta una transicion de fase cuantica. Con el objetivode acercarnos a la caracterizacion y descripcion de esquemas de control eneste sistema de muchos cuerpos, se ha investigado la evolucion de distin-tas correlaciones cuanticas. Sistemas realistas estan compuestos por un grannumero de partes, aunque este numero puede ser muy grande, es importantecentrar el estudio en sistemas finitos. Los resultados que seran presentadosen este trabajo corresponden esencialmente a cadenas de spin con un numerofinito de sitios. El parametro de control empleado ha sido el valor del campomagnetico transversal aplicado.

El presente documento comienza con un analisis estatico de las correla-ciones del modelo de Ising transversal. Con esto se busca partir de una basesolida con el conocimiento de las principales caracterısticas de equilibrio delsistema para distintos valores del parametro de control. Adicionalmente, seanaliza en este caso el enredamiento entre dos spins y su comportamientocerca del punto crıtico donde ocurre la transicion de fase. Aunque este es ma-terial ya conocido [1, 2, 3, 4], se organiza parte de la informacion disponibleactualmente en esta area. Se extienden estos resultados preliminares al estu-dio de correlaciones a tiempos distintos y se encuentra una conexion con elteorema de regresion cuantica en situaciones donde ocurre una transicion defase cuantica. Con el uso de este teorema se concluye que el modelo de Isingtransversal presenta un caracter Markoviano en la fase paramagnetica perono-Markoviano en la fase ferromagnetica. Este ultimo resultado permite de-mostrar que la memoria en un sistema crıtico podrıa ser controlada a travesde una transicion de fase cuantica.

Se continua el estudio analizando la dinamica del sistema cuando elparametro de control cambia en el tiempo. Se consideran variaciones dediferentes tipos para este parametro y se caracteriza la respuesta de las fun-ciones de correlacion con estos cambios. En particular, se encuentra que elenredamiento tiene un comportamiento especial en regiones cercanas al pun-to crıtico, lo que extiende lo ya conocido para el caso de equilibrio. Para unavariacion lineal en el parametro de control, la rapidez en el cambio incidesensiblemente en el estado del sistema al final de la variacion, verificandoresultados reportados anteriormente [5, 6, 7, 8, 9, 10], que pueden ser usa-

CAPITULO 1. INTRODUCCION3

dos como punto de partida para situaciones mas complejas. Especialmente,se presentan en este trabajo resultados novedosos sobre el control de lascorrelaciones y el enredamiento entre spins cuando el parametro de controltiene una variacion tan simple, como apagar y encender en forma escalonadael campo magnetico. Se discute la forma precisa de esta variacion para de-struir o preservar el enredamiento en las distintas fases del sistema.

En las situaciones discutidas anteriormente se ha ejercido sobre el sistemaun control global ya que el campo magnetico es aplicado en forma identica so-bre cada uno de los spins. Se presentan nuevos resultados en casos de controllocal, cuando se emplea un campo magnetico que toma un valor distinto a suvalor global solo en una parte reducida del sistema (un unico spin). A causade las interacciones en la cadena de spins, el control local demuestra tenerefectos globales. Se han considerado tanto el caso estatico como el dinamico,lo cual quiere decir que el parametro local de control es constante o varıa conel tiempo. En ambos casos hemos se reportan resultados interesantes comoque el enredamiento entre algunos sitios puede aumentar o disminuir, depen-diendo de la fase cuantica en la cual se encuentra el sistema.

El documento esta dividido en cuatro capıtulos y varios apendices dondese encuentran algunos calculos especıficos. En el capıtulo 1, se describe breve-mente el modelo que se va a utlizar, sus ventajas y caracterısticas principalesque incluyen la existencia de una transicion de fase cuantica. En el capıtulo2 se realiza el procedimiento estandar de diagonalizacion, que por completezdel presente trabajo se incluye en este documento. Este capıtulo esta dedica-do al estudio de correlaciones bajo un parametro de control constante. En elcapıtlo 3, se aborda el estudio del control global, con un parametro de con-trol dependiente del tiempo. El caso especial de control local se describe en elcapıtulo 4. El documento finaliza con el capıtulo 5 que resume las principalesconclusiones.

Capıtulo 2

Modelo de Ising Transversal y

Transiciones de Fase Cuanticas

Transiciones de fase cuanticas (TFC) son cambios crıticos en las propiedadesdel estado fundamental de un sistema de muchos cuerpos (sistemas fuerte-mente correlacionados) debido a modificaciones en las interacciones entre suscomponentes. Las TFC ocurren a bajas temperaturas T, donde la longitud decoherencia cuantica es mayor que la longitud de correlacion clasica asociada alas fluctuaciones termicas. Efectivamente, esto ocurre a T = 0. Tıpicamente,una TFC se presenta al cambiar un parametro del Hamiltoniano del sistemaH(λ), de tal forma que al pasar este parametro por un valor crıtico λc, elestado fundamental del sistema cambia de estructura.

Transiciones de fase de primer o segundo orden se pueden caracterizarcon las discontinuidades del estado fundamental del sistema. En [11] se de-muestra, entre otras, que bajo ciertas condiciones, una discontinuidad en laconcurrencia es una condicion necesaria y suficiente para senalar una tran-sicion de fase cuantica1. Ası mismo, una discontinuidad o divergencia en laprimera derivada de la concurrencia es una condicion necesaria y suficientepara senalar una transicion de fase de segundo orden. Se demuestra que enel caso de una TFC de segundo orden la discontinuidad surge de la derivadade los elementos de la matriz densidad reducida ρij y no de los elementos

1En [12] exponen lo contrario para ciertos modelos de spins.

CAPITULO 2. MODELO DE ISING TRANSVERSAL YTRANSICIONES DE FASE CUANTICAS

mismos, ya que en este caso los elementos de ρij se asumen contınuos.

Sea ∆ el gap de energıa, que representa la diferencia energetica entre elestado fundamental y el primer estado excitado del sistema. Las transicionesde fase que van a ser objeto de estudio en este trabajo son aquellas de se-gundo orden, en las cuales el gap de energıa tiende a cero en el punto crıtico2, en el lımite termodinamico. Otra caracterıstica de una TFC de segundoorden es que la longiutd de correlacion diverge en el valor λc. Vale la penaresaltar que estas caracterısticas estan completamente determinadas por elestado fundamental que, estrictamente, es el unico estado poblado a T = 0,en equilibrio.

En el presente trabajo se va a considerar un conjunto de N partıculascada una de spin 1

2, en posiciones fijas (cadena de spins), acopladas fer-

romagneticamente a primeros vecinos vıa una constante de interaccion deintercambio J y sujetas a un campo magnetico externo h, a temperaturacero. El Hamiltoniano que describe este sistema viene dado por

H = −N

Jjσxj σx

j+1 +N

hjσzj . (2.1)

donde σi son las matrices de Pauli. Se va a tomar Jj = J indicando que elacople entre todos los spins primeros vecinos es siempre el mismo (acoplamien-to homogeneo). hj es el campo aplicado a cada spin. La cadena es cıclica,σN+1 = σ1. A lo largo del presente documento se van a tomar las siguientesunidades ([x] indica las unidades de x),

[J ] = 1

[h] = [J ]

[~] = 1

[t] = [~] / [J ] = 1

El Hamiltoniano (2.1) describe el modelo de Ising transversal ferromagnetico(caso especial del denominado modelo de Ising XY). En la decada de los sesen-tas del siglo anterior se realizaron varios trabajos que trascendieron e inci-dieron sobre trabajos posteriores relacionados con este tema. Lieb, Schultz y

2Ver [13]

Mattis [14] resolvieron analıticamente este modelo sin campo magnetico. Mc-Coy et al. [15, 16, 17, 18] realizaron tambien un analisis analıtico y obtuvieronexpresiones para las funciones de correlacion en casos donde el Hamiltoni-ano depende del tiempo. Niemeijer [19] encontro analıticamente las funcionesde correlacion dependientes del tiempo para las componentes de spin en ladireccion del campo, a dos tiempos distintos. Por supuesto, la literatura so-bre este tema es muy amplia y especialmente en anos recientes ha venidocreciendo en forma asombrosa en especial debido a la importancia que estetipo de sistemas ha ido adquiriendo en el contexto de posibles aplicacionesen el tratamiento cuantico de la informacion (algunos trabajos importantesestan incluıdos en la bibliografıa). Sin embargo, fueron los trabajos de lostres grupos citados arriba los mas relevantes en el desarrollo inicial de lasbases del presente estudio.

El modelo presentado es util porque es una combinacion adecuada devarios elementos:1)Representa un sistema de materia condensada, sistema de muchos cuerposinteractuantes, lo cual lo hace un sistema complejo.2) Tiene la ventaja de ser exactamente soluble, lo cual permite hallar todoslos estados (fundamental y excitados) analıticamente.3) Describe una variedad de aspectos fısicos interesantes que en nuestro caso,incluyen una transicion de fase cuantica.4) Representa un ejemplo concreto de un registro o memoria cuantica.

A temperatura cero, las propiedades de un sistema cuantico de muchoscuerpos se rige por la estructura de su estado fundamental. El estado funda-mental puede ser tan simple como un estado separable o algo mas complejocomo un estado enredado. El estado fundamental de un tıpico sistema de mu-chos cuerpos consiste en una superposicion de estados separables. El estadofundamental del sistema descrito por el Hamiltoniano (2.1) depende sensi-blemente del valor del campo externo. En el lımite de alto campo magnetico,|h| >> J , se tiene

H ≈N

hjσzj ,

por lo cual el estado fundamental es

|Ψ〉 = |↑↑ · · · ↑〉 .

El otro caso lımite es cuando |h| << J , en cuyo caso el efecto dominante esla interaccion mutua entre los spins en la direccion x,

H ≈ −N

Jjσxj σx

y por consiguiente el estado fundamental es doblemente degenerado y cor-responde a todos los spins alineados en la direccion x, o −x, o cualquiercombinacion lineal de estas,

|Ψ〉 = |←← · · · ←〉 o |Ψ〉 = |→→ · · · →〉

Dependiendo de la relacion entre h y J , se determina si en el estado funda-mental va a dominar la interaccion entre spins en la direccion x, o la inter-accion entre la componente z de los spins y el campo h. Cuando h/J = 1ocurre un cambio en el estado fundamental y el sistema desarrolla una mag-netizacion en x, 〈σx〉 6= 0, que aumenta a medida que h/J disminuye. Lamagnetizacion en x, en el estado fundamental, es el parametro de orden queidentifica la transicion de fase. El diagrama de fases del modelo de Isingtransversal presenta dos regiones: (1) La fase paramagnetica ocurre cuandoh > J y corresponde a la ausencia de un valor finito del parametro de orden,〈σx〉 = 0. (2) La fase ferromagnetica cuando h < J que corresponde a la exis-tencia de un valor finito del parametro de orden, 〈σx〉 6= 0. Asociado con estecambio en la magnetizacion en x, esta el cambio en las simetrıas presentes enel sistema. Cuando 〈σx〉 = 0, el sistema es invariante bajo rotacion alrededordel eje z, lo cual implica

σzi σ

zj , ρij

= 0, donde ρij es la matriz densidadreducida de dos spins. Cuando se pasa a la fase donde 〈σx〉 6= 0, ya el estadofundamental del sistema no es invariante bajo una rotacion alrededor del ejez. Se hace referencia a este hecho como un rompimiento espontaneo de lasimetrıa.

Previamente se menciono que en el punto crıtico hay correlaciones de largoalcance, como en una transicion de fase clasica o termica. Las correlacionesen el sistema van a ser objeto de estudio a lo largo del presente trabajo, y seexplicara el por que de su importancia fısica. Suponga que el estado funda-mental es un estado producto (separable), entonces la funcion de correlacion

de spins⟨

σαi σβ

− 〈σαi 〉

serıa cero. Si la funcion de correlacion no es

cero, el estado fundamental debe estar enredado y, dado el valor de la funcionde correlacion se puede relacionar con el grado de enredamiento del estado.

Es conocido que para una red cuantica la funcion de correlacion decaeexponencialmente como una funcion de la separacion entre los spins, |i − j|.Cuando el sistema se encuentra en un punto crıtico, las correlaciones de-caen solo como funciones polinomiales de la separacion. En este punto esdonde el estado fundamental ha cambiado. La cantidad fısica que mide lascorrelaciones puramente cuanticas en un sistema de muchos cuerpos es elenredamiento. Para sistemas que se acercan al punto crıtico la estructuradel enredamiento del estado fundamental debe sufrir una transicion. Comodecaen las funciones de correlacion cerca al punto crıtico ha sido tema deamplio estudio recientemente [20], utilizando la herramienta de la teorıa delgrupo de renormalizacion. En el presente trabajo no estamos interesados enhallar los exponentes crıticos. Nuestro objetivo central, ha sido el de estudiarla dinamica de las correlaciones cuanticas y encontrar conexiones con com-portamientos ya establecidos en las distintas fases del sistema.

El enredamiento aparece naturalmente en sistemas de muchos cuerpos abajas temperaturas y resulta de interes en sistemas magneticos, de super-conductividad y en transiciones de fase en general. El enredamiento es unavariable importante de medir ya que en las ultimas decadas ha sido consider-ado como el recurso mas importante en nuevas formas de computacion, paraprocesar y enviar informacion cuantica [21], y en potenciales aplicaciones co-mo la teleportacion. Por lo tanto estudiar el enredamiento va a contribuir sinduda en el diseno de protocolos dirigidos a la manipulacion de informacioncuantica o simplemente a entender mejor los mecanismos que la mecanicacuantica esconde en sistemas complejos. Estudiando el enredamiento en sis-temas cuanticos de muchos cuerpos, se puede obtener informacion acerca denueva fısica en sistemas de muchos cuerpos.

Hasta el momento, el mayor progreso en el desarrollo de una teorıa delenredamiento, ha sido en el caso bipartito. Para poder hablar de enredamien-to se necesitan medidas adecuadas: funciones monotonas que vayan de 0 (sinenredamiento) a 1 (maximo enredamiento), invariante bajo operaciones lo-cales. La idea general [22] es que si se tiene un estado enredado |Ψ〉 y seaplican operaciones locales (LOCC) llevandolo a un estado |Ψ′〉, entonces|Ψ〉 no puede estar mas o menos enredado que |Ψ′〉 ya que las operaciones

LOCC solo cambian las correlaciones clasicas entre los subsistemas. Se hamostrado que [23], el enredamiento de cualquier estado de dos partıculas esequivalente a alguna fraccion de la entropıa de Von Neumann de un estadoEPR. Por lo tanto la manipulacion de sistemas bipartitos y la caracteri-zacion del enredamiento se entiende bien. Sin embargo, estos resultados nose han podido generalizar exitosamente a sistemas con N ≥ 3. Una teorıade enredamiento en sistemas de muchas partıculas ayudarıa a entender larelacion entre los sistemas subyacentes. Varios autores se han interesado enestudiar el enredamiento multipartito [24], el enredamiento entre bloques despins [25, 26, 27] o el enredamiento global [28]. Una dificultad que apareceal estudiar el enredamiento en sistemas de muchas partıculas se debe a queel numero de grados de libertad aumenta exponencialmente con el numerode subsistemas (O(2N)). Por ejemplo, calcular el estado fundamental de unacadena de un numero grande de spins para luego calcular el enredamiento, esuna tarea muy difıcil y computacionalmente muy costosa. Afortunadamente,para algunos modelos especıficos de spins como el modelo de Ising transver-sal, el estado fundamental se puede calcular exactamente vıa una serie detransformaciones. De allı se puede calcular el enredamiento.

La relacion cercana entre el enredamiento y transiciones de fase cuanticasha llamado la atencion. Se tiene la creencia que el enredamiento del estadofundamental juega un papel crucial en el entendimiento de una transicion defase cuantica. Precisamente, [11, 1, 2, 29] estudiaron el enredamiento en el es-tado fundamental de la cadena infinita en el modelo de Ising XY transversaly su relacion con las transiciones de fase cuanticas. En estos trabajos calcu-laron la concurrencia entre pares de spins y se encontro que la concurrenciatiene un maximo cerca al punto crıtico y una divergencia de la concurrenciaexactamente en el punto crıtco, en el lımite termodinamico.

Entender la conexion entre el enredamiento y la informacion cuantica hasido un objetivo de los ultimos anos. La connotacion no-local del enredamien-to se considera un recurso importante en esta area. Desde el punto de vistade la informacion cuantica, entre mas enredado esta un estado, mas recur-sos poseen para un tratamiento no clasico de la informacion. Es por estoque resulta interesante cuantificar y entender el enredamiento cercano a lastransiciones de fase cuanticas. Entre las aplicaciones se han encontrado pro-tocolos para comunciacion cuantica por medio de una cadena de spins [21].

Especıficamente, en el presente trabajo el objetivo es determinar criteriospara adquirir control sobre las correlaciones del sistema y poder emplearlode un modo eficiente en futuras aplicaciones experimentales.

Capıtulo 3

Correlaciones con campo

magnetico constante

En este capıtulo se presentan las correlaciones de spin en el modelo de Isingen un campo magnetico h transversal constante. Se analiza el comportamientode las correlaciones tanto en la fase paramagnetica (J = 1, h > 1) como en lafase ferromagnetica (J = 1, h < 1).

Inicialmente se diagonaliza el hamiltoniano del modelo de Ising transversalXY, y se encuentran en forma exacta las energıas y los estados estacionarios delsistema. Con este fin se sigue el procedimiento standard que consiste en realizaruna transformada de Jordan-Wigner, seguida por una transformada de Fourier(para sistemas traslacionalmente invariantes) y finalmente una transformacion deBogoliubov. Una vez adquirida esta informacion basica se encuentra una expre-sion general para las funciones de correlacion de spin que sirven finalmente paraexpresar la matriz densidad reducida para dos sitios (spins) arbitrarios. La ma-triz densidad reducida se utiliza para determinar los cambios en el enredamientoexistente entre dos sitios de la cadena para distintos campos magneticos en lasdos fases cuanticas del sistema. Se comprueba que al pasar por la transicion defase (h = 1) el enredamiento, medido por la concurrencia, presenta un compor-tamiento singular. Adicionalmente, se completa la informacion sobre el sistemay sus propiedades dinamicas al estudiar las correlaciones a dos tiempos distin-tos. Finalmente, se hace una conexion con el teorema de regresion cuantica yse discute sobre su aplicabilidad en situaciones donde ocurre una transicion defase cuantica. Se encuentra que para correlaciones de spin longitudinales (en la

CAPITULO 3. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNETICOCONSTANTE

direccion del campo h) este teorema es valido en la fase paramagnetica perono lo es en la fase ferromagnetica. A partir de este resultado se concluye que elmodelo de Ising transversal presenta un caracter markoviano en la fase h > 1pero no en la fase h < 1 lo cual permite concluir que la memoria en un sistemacrıtico se puede controlar a traves de una transicion de fase cuantica.

3.1. Diagonalizacion exacta del hamiltoniano

El estudio del control cuantico se va a realizar tomando como sistemade estudio el modelo de Ising transversal XY unidimensional a temperaturacero, del cual se sabe que presenta una transicion de fase cuantica en un valorde campo crıtico hc. El hamiltoniano que describe este sistema es

H = −{

Jσxj σx

j+1 − hσzj

donde J es la componente x de la constante de acoplamiento entre spins,que primeros vecinos. h es el valor de un campo magetico aplicado que seacopla con la componente z de los spins. La cadena tiene N sitios y es cıclica,σN+1 = σ1.

Como es de esperarse, se desea diagonalizar el hamiltoniano, conocer losvalores propios de energıa y, para analizar lo que ocurre en la transicion defase, caracterizar el estado fundamental. En esta seccion se muestra como sediagonaliza el hamiltoniano del modelo de Ising transversal XY, empleandouna serie de transformaciones como lo son, en el orden en el que se realizan,transformada de Jordan-Wigner, transformada de Fourier y transformada deBogoliubov.

La idea original [14] es que el sistema de spins interactuantes se puedetransformar en un sistema de fermiones no-interactuantes, mediante unatransformada de Jordan-Wigner (JW). Dicha transformada relaciona los op-eradores de spin con los operadores fermionicos de creacion y destruccion c†iy ci. El hamiltoniano bajo esta transformada queda convertido en,

H = −N

c†jc†j+1 + c†jcj+1 + c†j+1cj + cj+1cj − 2hc†jcj + h

Seguido a esto, se realiza una transformada de Fourier y una transformadade Bogoliubov con lo cual se diagonaliza el hamiltoniano y se llega a:

HI =∑

η†pηp −

Λp = ±2√

1 − 2hcos(φp) + h2. (3.3)

son los valores propios de energıa. Detalles del procedimiento de diagonal-izacion se encuentran en el Apendice A.

3.2. Funciones de Correlacion de Spin

Dependiendo de la relacion entre la constante J y el valor del campoh, el comportamiento del sistema de spins va a ser diferente. Se va tomarJ = 1, ası que el comportamiento del sistema va a depender solo del valordel campo magnetico. Esto se puede apreciar mirando dos casos lımite. Cuan-do h >> 1 la interaccion con el campo magnetico aplicado en la direccion zes el efecto dominante y por lo tanto los spins se alinean dando lugar a unamagnetizacion en z, Mz. Ası mismo, la correlacion entre dos spins en z, quese puede apreciar del elemento ρzz, tambien sera una constante diferente decero. Cuando h << 1 el acoplamiento entre spins es el efecto dominante, ypor lo tanto la correlacion entre dos spins en la direccion x, ρxx, tendra unvalor diferente de cero. Por el contrario, en este mismo regimen, la magneti-zacion y las correlaciones en z tienden a cero.

Por lo tanto, analizar las funciones de correlacion provee informacion ac-erca de los efectos que ocurren en el sistema, dependiendo del valor del campoh. Adicionalmente, las funciones de correlacion evaluadas se pueden emplearpara determinar el nivel de enredamiento en un sistema de muchos cuerpos.

En particular, se va a caracterizar el enredamiento en un subsistema quese tomara como dos spins de la cadena. Toda la informacion necesaria paraanalizar el enredamiento bipartito se encuentra en la matriz densidad reduci-da de dos spins, obtenida de la matriz total del sistema despues de tomar latraza sobre todos los spins excepto aquellos en la posicion i y j.

La matriz de densidad reducida Qij para dos sitios i, j, como cualquiermatriz cuatro por cuatro, se puede expresar como combinacion lineal deproductos tensoriales de las matrices de Pauli en la forma

Qij =1

α,β=0

pαβσαi ⊗ σβ

j , (3.4)

que al expandirlo, se obtiene

q11 q12 q13 q14

q12 q22 q23 q24

q13 q∗23 q33 q34

q14 q∗24 q∗34 q44

donde cada elemento de la matriz de densidad reducida viene dado por,

q11 = p00 + p03 + p30 + p33 (3.5)

q12 = p01 − ip02 + p31 − ip32

q13 = p10 + p13 − ip20 − ip23

q14 = p11 − ip12 − ip21 − p22

q22 = p00 − p03 + p30 − p33

q23 = p11 + ip12 − ip21 + p22

q24 = p10 − p13 − ip20 + ip23

q33 = p00 + p03 − p30 − p33

q34 = p01 − ip02 − p31 + ip32

q44 = p00 − p03 − p30 + p33.

Por razones de simetrıa solo los coeficientes p00, p03, p30, p11, p22 y p33 sondiferentes de cero. Vale la pena notar tambien que todos los coeficientes son

reales. Estos coeficientes son las funciones de correlacion, es decir pαβ =⟨

σαi σβ

, el cual se denota como

ρνµ(ij) =⟨

sνi s

σνi σ

Los argumentos que se pueden utilizar para simplificar la expresion de lamatriz densidad reducida son:

1. Invarianza translacional. Si el sistema tiene esta simetrıa, se cumple que⟨

σαi σβ

σα0 σβ

, donde R es la distancia entre los dos spins, R = j − i.

2. El hamiltoniano permanece invariante bajo una rotacion de π alrededordel eje z. Con esta simetrıa se cumple que 〈σx,y

i 〉 =⟨

σxi σz

σyi σ

Bajo estas consideraciones, solo p00, p03, p30, p11, p22 y p33 son diferentesde cero. Adicionalmente, en equilibrio

σxi σy

= 0, lo cual obliga a todos loscoeficientes a ser reales.

Por lo tanto, la matriz de densidad reducida que se obtiene cuando elsistema presenta las simetrıas enumeradas [1, 2, 3, 4] tiene la siguiente es-tructura:

ρ11 0 0 ρ14

0 ρ22 ρ23 00 ρ23 ρ33 0

ρ14 0 0 ρ44

ρ11 =1

4+ mz + ρzz(R) (3.6)

ρ22 =1

4− ρzz(R)

ρ33 =1

4− ρzz(R)

ρ44 =1

4− mz + ρzz(R)

ρ23 = ρxx(R) + ρyy(R)

ρ14 = ρxx(R) − ρyy(R)

o, de manera equivalente

ρ11 =1

2〈σz〉 +

4〈σz

0σzR〉 (3.7)

ρ22 =1

4− 1

4〈σz

0σzR〉

ρ33 =1

4− 1

4〈σz

0σzR〉

ρ44 =1

4− 1

2〈σz〉 +

4〈σz

0σzR〉

ρ23 =1

4〈σx

0σxR〉 +

4〈σy

0σyR〉

ρ14 =1

4〈σx

0σxR〉 −

4〈σy

0σyR〉

Cuando ya se han hallado las funciones de correlacion y se ha construido lamatriz de densidad reducida, se tiene toda la informacion necesaria para de-terminar el nivel de enredamiento bipartito. Para cuantificar el enredamientoentre dos spins arbitrarios, se va a emplear una medida de enredamiento lla-mada concurrencia C. La concurrencia se calcula mediante la expresion:

C(Qij) = max[0, λ1 − λ2 − λ3 − λ4] (3.8)

donde λi son los valores propios en orden descendente de la matriz hermıtica

√√QQ

√Q, donde Q = (σy ⊗ σy)Q∗(σy ⊗ σy). La concurrencia es

una cantidad que toma valores entre cero y uno, indicando con un valor decero que el estado es separable y con uno que el estado entre los dos spinsposee el enredamieto maximo. La ventaja de la concurrencia es que se definedirectamente en terminos de la matriz densidad reducida, sin ningun procesode minimizacion. En equilibrio, la expresion para la concurencia se simplificaa [30]:

C = 2max

0, |ρxx − ρyy| − 1/4 + ρzz, |ρxx + ρyy −√

(1/4 + ρzz)2 − M2

El procedimiento general para hallar las funciones de correlacion esta de-scrito en [14] o [19]. Para mayor claridad, se muestran a continuacion algunoscalculos de las funciones de correlacion que nos interesan, y los calculos conmas detalle se encuentran en el Apendice B.

3.2.1. Correlacion 〈Sxl Sx

Usando el hecho que:

a†l + al

〈Sxl Sx

m〉 =1

(a†l + al)(a

†m + am)

Realizando la transformada de Jordan-Wigner,

〈Sxl Sx

m〉 =1

(c†l + cl) exp

iπm−1∑

c†l cl

(c†m + cm)

y usando que

exp(iπc†ici) =(

c†i + ci

c†i − ci

se obtiene,

〈Sxl Sx

m〉 =1

4〈BlAl+1Bl+1 · · ·Am−1Bm−1Am〉

Tomando m > l, se puede considerar que m = l + R. Este valor esperado sepuede reexpresar como un determinante:

〈Sx0 Sx

R〉 = 14

G−1 G−2 . . . G−R

G0 . . . . . . G−R+1...

...GR−2 . . . . . . G−1

(3.10)

Glm = Gm−l = 〈BlAm〉 (3.11)

c†l c†m + c†l cm − clc

†m − clcm

Para un numero finito de spins1,

N/2∑

2 cos (2πpR/N)⟨

a†pap + a†

−pa−p − 1⟩

− 2 sin (2πpR/N)⟨

a†pa

†−p + a−pap

(3.12)

Utilizando este resultado para GR en la expresion general para la funcion〈Sx

l Sxm〉 (3.10), se halla la correlacion buscada.

En el lımite termodinamico [14, 15, 31] se conoce explıcitamente la ex-presion para GR que en nuestro caso es:

∫ π

cos(φR)√

1 + h2 − 2h cos(φ)− 1

∫ π

cos(φ(R + 1))√

1 + h2 − 2h cos(φ)(3.13)

Las ecuaciones (3.12) y (3.13) se van a utilizar para hallar las funcionesde correlacion restantes, para un numero finito de spins o en el lımite ter-modinamico, respectivamente.

3.2.2. Correlacion 〈Syl S

El operador Sy

a†l − al

expresado en terminos de los operados fermionicos ci, y luego en terminos delos operadores Ai y Bi es [14],

〈Syl Sy

m〉 =1

4〈AlBl+1Al+1 · · ·Bm−1A − m − 1Am〉

Nuevamente, esta correlacion se puede expresar como un determinante enterminos de la funcion GR:

1Ver Apendice B

ρyy(R) =1

G1 G0 . . . G−R+2

G2 G1 . . ....

......

GR GR−1 . . . G1

(3.14)

3.2.3. Correlacion 〈Szl S

Reescribiendo Sz como,

Sz = (a†m + am)(a†

m − am)

〈Szl S

zm〉 =

(a†l + al)(a

†l − al)(a

†m + am)(a†

m − am)⟩

(c†l + cl)(c†l − cl)(c

†m + cm)(c†m − cm)

4〈AlBlAmBm〉

Aplicando el teorema de Wick [14],

〈Szl S

zm〉 =

4(〈AlBl〉〈AmBm〉 − 〈AlBm〉〈AmBl〉 − 〈AlAm〉〈BmBl〉)

Expresandolo en terminos de la funcion GR,

〈Szl S

zm〉 =

4(GllGmm − GmlGlm − SmlSlm)

dondeSR = 〈AlAm〉 = 〈BlBm〉 .

De momento no se tiene que hallar SR ya que se mostrara mas adelante que〈AlAm〉 es diferente de cero solo cuando el hamiltoniano depende del tiempo.Por ahora estamos interesados unicamente en el caso de un campo magneticoindpendiente del tiempo,

ρzz(R) = m2z −

4GRG−R (3.15)

2G0 (3.16)

3.2.4. Correlaciones a primeros vecinos

Para primeros vecinos, R = 1, las funciones de correlacion adquierenexpresiones sencillas:

ρxx(R) =1

4G−1 (3.17)

ρyy(R) =1

ρzz(R) = m2z −

4G1G−1

En la fase paramagnetica, h >> 1, la interaccion entre el campo y lacomponente z de los spins domina y por lo tanto los spins estan fuertementealineados en z lo cual induce una magnetizacion promedio positiva que seaprecia en mz y en una correlacion entre spins en z, ρzz, que tiende a unvalor constante diferente de cero, como se aprecia en la Figura 3.1. En lafase ferromagnetica, h << 1, el acople por intercambio (J) entre spins es elefecto dominante y por lo tanto ρxx es la funcion de correlacion con el mayorvalor.

En la Figura 3.2, se presenta la concurrencia para un par de spinsprimeros vecinos en funcion del campo h. La concurrencia comienza en cero,lo cual es de esperarse ya que el estado fundamental del hamiltoniano (3.1) esseparable cuando h = 0 (en la base de x). Al aumentar el valor del campo lasdos interacciones presentes en el sistema comienzan a competir, hasta llegara h = 1, donde la magnitud de las dos interacciones se iguala (h = J). En lamedida en que el campo aumenta y se hace tender a infinito, el estado nue-vamente se vuelve separable. Debe notarse que el maximo de la concurrenciano coincide exactamente con el valor crıtico del campo. Una explicacion ade-lantada en [2] es que el enredamiento total en la red debe ser maximo en elpunto donde ocurre la transicion de fase. Sin embargo, aquı solo se esta cal-culando el enredamiento entre dos spins vecinos y por eso el maximo de laconcurrencia no ocurre en el campo crıtico.

0 1 2 3 4 5−0.1

Funciones de correlación

Figura 3.1: Funciones de correlacion para N=100.

3.2.5. Correlaciones a segundos vecinos

Para segundos vecinos la distancia es R = 2, las funciones de correlacionse obtienen a partir de determinantes:

ρxx(R) =1

G−1 G−2

G0 G−1

(3.18)

ρyy(R) =1

ρzz(R) = m2z −

4G2G−2

Como se ve en la Figura 3.3, la concurrencia se reduce en tres ordenesde magnitud. Esto no deja de ser sorprendente ya que se espera que lascorrelaciones sean de largo alcance en el punto crıtico. De ahora en adelanteestaremos interesados unicamente en correlaciones entre primeros vecinos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Concurrencia 0 1 2 3

Derivada de Concurrencia

Figura 3.2: La lınea solida corresponde al lımite termodinamico. La lıneapunteada corresponde a N=100.

ya que como acabamos de mostrar, la magnitud de las correlaciones entresegundos vecinos es del orden de 10−3.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

4.5x 10

Concurrencia Segundos Vecinos

Figura 3.3: Lımite termodinamico.

3.3. Funciones de Correlacion a tiempos dis-

tintos

Habiendo adquirido ya un entendimiento cualitativo y cuantitativo de lasfunciones de correlacion estacionarias en que apoyarnos, abordamos ahora elestudio de la dinamica de las correlaciones, con el fin de entender mejor elmodelo, las interacciones en el sistema y los cambios que ocurren en el estadofundamental en los distintos sectores del espacio de parametros.

Las funciones de correlacion a tiempos distintos sobre el mismo spin osobre diferentes spins resultan de interes ya que nos dan informacion ac-erca de la dinamica de las fluctuaciones cuanticas, aun cuando el campoh no este cambiando. Esta informacion es importante ya que, recordemos,

el campo magnetico es constante, y por ende nos permite acceder directa-mente a efectos relacionados con las interacciones entre spins. Por lo tanto,al analizar las funciones de correlacion a tiempos distintos podemos estudi-ar que ocurre con las interacciones entre spins a medida que transcurre eltiempo. Adicionalmente, son estas correlaciones a tiempos distintos muy im-portantes para determinar la respuesta lineal de un sistema bajo condicionesde no-equilibrio, formalismo de Kubo. Sin embargo, en el presente trabajolas funciones de correlacion a tiempos distintos van a ser empleadas parapermitir acercarnos a entender el rango de validez del teorema de regresioncuantico, aplicado a un sistema donde se presenta una transicion de fasecuantica.

Empezamos hallando las funciones de correlacion a tiempos distintos enla direccion z. El operador Sz

j en terminos de los operadores fermionicos vienedado por

Szj = (a†

jaj −1

2(c†j + cj)(cj − c†j)

Suponga que la base de operadores ηk diagonaliza al hamiltoniano, H =∑

k Λkη†kηk. Los operadores ci se pueden expresar en terminos de los oper-

adores η con un cambio de base,

ci + c†i =N

Φki(ηk + η†k) (3.19)

ci − c†i =N

Φki(ηk − η†k). (3.20)

En terminos de estos operadores,

ΦmjΨnj(η†m + ηm)(ηm − η†

m) (3.21)

La funcion de correlacion para las componentes z de spins en diferentessitios, l y l + R, se define como

ρzl,l+R(β, t) = < Sz

l Szl+R(t) >

=Tr[e−βHSz

l eiHtSz

l+Re−iHt]

Tr[e−βH ]

ρzl,l+R(β, t) =

l,p,q,r,s=1

φplψqlφr,l+Rψs,l+R

Tr[e−βH(η†p + ηp)(ηq − η†

q)eiHt

Tr[e−βH ]

·(η†r + ηr)(ηs − η†

s)Szl+Re−iHt]

(3.22)

En el Apendice C se muestra como esta ecuacion se reduce a

ρzl,l+R(β, t) =

l,p,q=1

φplψplφq,l+Rψq,l+R tgh

2βΛp

2βΛq

+φplψqlφp,l+Rψq,l+Rf+(φp)f+(φq)δprδqa

−φplψqlφq,l+Rψp,l+Rf−(φp)f−(φp)δps (3.23)

f+(φ) = cos(Λ(φ)t) + i sin(Λ(φ)t)gh

f−(φ) = i sin(Λ(φ)t) + cos(Λ(φ)t)gh

Si se siguen desarrollando las expresiones anteriores, se puede llegar a unaexpresion analıtica para la correlacion entre dos sitios a dos tiempos, paraun campo magnetico constante, en el lımite termodinamico. Por completezdel presente documento los detalles estan dados en el Apendice C.

ρzl,m(β, t) = < Sz

l Szl+R(t) >

= < M z >2 +

∫ π

eiRθf+ (θ) dθ

+ (3.24)

∫ π

eiRθ cos(2λ(θ))f− (θ) dθ

∫ π

eiRθ sin(2λ(θ))f− (θ) dθ

El primer termino, el valor esperado de la magnetizacion al cuadrado, esconstante.

Para obtener los resultados de las correlaciones a tiempos distintos entredos spins en sitios iguales o diferentes, se utilizo la ecuacion (3.23). Numeri-camente se resuelve esta ecuacion para un numero de spins finito, que en lassimulaciones se tomo como N = 100. El lımite termodinamico corresponde ala ecuacion (3.24). En la Figura 3.4 se grafica la componente z de las fun-ciones de correlacion a tiempos distintos, para el mismo spin, en funcion deltiempo. Los diferentes cuadros corresponden a diferentes valores de campo.Se observa que a medida que aumenta el campo la correlacion en z tiende aestabailizarse en un valor constante en tiempos cada vez mas cortos.

Este comportamiento se puede entender facilmente. Cuando h << 1, enel hamiltoniano domina la interaccion entre los spins vecinos en la direccionx. Sin embargo, un spin alineado en la direccion x se puede escribir comocombinacion lineal de spins alineados en la direccion z y en la direccion −z.Por lo tanto, en el caso que se esta analizando (h << 1), las correlacionesdominantes son en la direccion x, que expresadas en la base de la componentez de los spins, se convierte en oscilaciones entre valores positivos y negativos.Las oscilaciones son cada vez mas apreciables cuando h → 0, lo cual tienesentido ya que para este valor de h las correlaciones dominantes son aquellasen la direccion x. En las situaciones en las cuales h >> 1, el termino delhamiltoniano que domina es la interaccion entre el campo magnetico y lacomponente z del spin. Por lo tanto las correlaciones en la direccion z sondominantes en este regimen y se presentan menos oscilaciones. En el mediode estos casos lımites, la correlacion de la componente z de un spin en t = 0comparada con la componente z del mismo spin un tiempo t despues, osciladurante un periodo de tiempo, indicando la presencia de las correlaciones enx, pero finalmente se establiza a un valor constante. Se definio τ , el tiempode decaimiento, como el tiempo necesario para que la correlacion no oscileuna cantidad mayor a 0,02 de la constante a la cual tiende la correlacion. Enla Figura 3.5 se presentan los tiempos de decaimiento para distintos valoresde h.

Otra aplicacion importante de las funciones de correlacion a tiempos dis-tintos es el estudio de la decoherencia en un spin dado causada por la pres-encia del resto de la cadena que actua como un bano. Se va a definir [32]una nueva cantidad D(t) = 〈Sz(0)Sz(t)〉 − 〈Sz(0)Sz(0)〉, con el fin de medirla decoherencia que esta ocurriendo en el sistema, debido al acople con elmedio ambiente. En nuestro modelo, el sistema esta conformado por el unico

0 10 20

−0.2

0 10 20

−0.1

0 10 200.05

0.2h=1.1

0 10 200.15

0.25h=1.5

0 10 20

−0.2

<Sz(0)S

0 10 20−0.1

0 10 20

0.25h=1.6

0 10 20−0.2

0 10 20−0.1

0 10 200.1

0 10 20

0.25h=1.7

0 10 20−0.2

0 10 200

tiempo

0 10 20

0.25h=1.4

0 10 200.24

Figura 3.4: La lınea solida corresponde a la solucion en el lımite termodinami-co. La lınea punteada corresponde al calculo con N=100.

spin para el cual hallamos la funcion de correlacion a dos tiempos. El restode spins, N-1 spins, conforman lo que se llamara el bano. En t = 0 la deco-herencia, D(t), es cero. A medida que transcurre el tiempo, la interaccion conel ambiente hace que la cantidad 〈Sz(0)Sz(t)〉 comienza a alejarse de su valorinicial. En la Figura 3.6, se comparan las decoherencias para dos valores decampo. Cuando h >> 1, la decoherencia es menor que cuando h << 1.

Con las expresiones encontradas, se pueden tambien estudiar las correla-ciones a tiempos distintos entre spins separados por una distancia R. LaFigura 3.7, muestra las correlaciones entre los mismos spins (R=0), spinsvecinos (R=1) y spins distantes (R = N/2) para diferentes valores de h. Sevan a comparar las correlaciones en z para el mismo valor de campo y paradiferentes distancias entre spins. Para esto vamos a tomar, por ejemplo, lastres graficas en la segunda fila. Notando que las tres graficas en la mismafila estan en la misma escala, se puede ver que para R = 0 se presentanlas oscilaciones mas grandes en magnitud y durante un periodo de tiempomas largo que para R = 1 y R = N/2. A medida que la distancia aumenta,las correlaciones son practicamente constantes ya que las interacciones en x,

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

Figura 3.5: Tiempo de decaimiento para diferentes valores de h y N=100.

0 5 10 15 20 25 30

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

tiempo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.01

−0.008

−0.006

−0.004

−0.002

tiempo

Figura 3.6: La decoherencia de un spin D(t) para dos valores de h y N=100.

responsables por las oscilaciones, son solo a primeros vecinos.

0 5 10−0.2

−0.1

h=0.5, R=0

0 5 10−0.2

−0.1

h=0.5, R=1

0 5 10−0.2

−0.1

h=0.5 , R=N/2

0 5 10

<Sz(0)S

h=1.5, R=0

0 5 100.15

h=1.5,R=1

0 5 100.15

h=1.5 R=N/2

0 5 100.23

h=3.5, R=0

0 5 100.23

tiempo

h=3.5, R=1

0 5 100.23

h=3.5 , R=N/2

Figura 3.7: La primera columna representa las correlaciones para el mismospin a tiempos distinos para diferentes valores de campo h. La segunda colum-na es la correlacion para spins vecinos, y la ultima columna es la correlacionentre spins lejanos.

3.4. Teorema de Regresion Cuantico

Una vez calculadas las funciones de correlacion a dos tiempos, es posibleverificar la validez del teorema de regresion cuantico (QRT) en sistemas quepresentan transiciones de fase cuantica. El gran valor del teorema de regre-sion cuantico [33] es permitir evaluar funciones de correlacion a dos tiemposdistintos, que es justamente lo que se hizo en la seccion anterior, en terminosde valores promedios de observables relacionados a un tiempo dado.

La ecuacion de movimiento para un operador del sistema es2:

dt〈σq(t)〉 =

q′′

Aq,q′′ 〈σq′′(t)〉 + λq. (3.25)

La ecuacion de movimiento para la correlacion a dos tiempos, segun el teo-rema de regresion cuantico, viene dada por

dt〈σq(t)σq′(t)〉 =

q′′

Aq,q′′ 〈σq′′(t)σq′(t)〉 + λq 〈σq′(t)〉 (3.26)

Es decir, la correlacion a dos tiempos y el valor promedio de un observable,tienen la misma ecuacion de movimiento. Note que los coeficientes Aq,q′′ soniguales en (3.25) y (3.26).

Usando el teorema de regresion cuantico se va a comparar 〈σz(t)〉 con〈σz(t)σz(t + τ)〉. Primero considere el valor promedio de σz(t).

〈σz(t)〉 = Tr[e−βHeiHtσze−iHt]

Recordando que el hamiltoniano diagonializado es H =∑

k Λkη†kηk y, como

se ha descrito antes, σz se puede escribir como η†η − 1/2. Por lo tanto, laexpresion anterior se reduce a

〈σz(t)〉 = Tr[e−βHσz]

= 〈σz〉

Es decir, 〈σz(t)〉, para un determinado valor de campo h, no depende del tiem-po. Siguiendo con el mensaje del teorema de regresion cuantico, 〈σz(t)σz(t + τ)〉,deberıa tambien ser una constante, aunque no necesariamente la misma con-stante correspondiente al valor esperado de sigma z, en este caso. La ideaes comprobar que si esto se cumple, entonces el QRT es valido en el pre-sente contexto. Por el contrario, si 〈σz(t)σz(t + τ)〉 resulta no ser constante,por lo menos para algunos valores de h, esto querrıa decir que el teoremano es valido en cierto sector del espacio de parametros. En la Figura 3.8

se vuelven a retomar los resultados de la Figura 3.4, con la diferencia queahora estan todas las funciones sobrepuestas en una misma escala. Facilita

2Ecuaciones de Langevin

notar que todas las lıneas punteadas corresponden a valores de h menores a1. Las lıneas solidas corresponden a valores de h mayores o iguales a uno. Lasgraficas que mas oscilan son, como ya se habıa mencionado anteriormente,aquellas correspondientes a la fase ferromagnetica y oscilan aun mas a me-dida que se acercan a h = 0. En la fase paramagnetica, las oscilaciones sonmenos pronunciadas, con algunas oscilaciones a tiempos cortos, y se observaque las correlaciones tienden rapidamente a una constante. Concluımos porlo tanto, que en la fase ferromagnetica (h < 1) el QRT no es valido. Cuandoh >> 1 el acuerdo que hay entre las correlaciones calculadas exactamente ylas predichas por el QRT es mayor.

Por otra parte, es importante recordar que el teorema de regresion cuanti-co esta basado en la hipotesis de que el bano que afecta a un spin individual(el sistema central en el presente contexto) posee una dinamica Markovianao de memoria despreciable. Se puede concluir entonces que dependiendo dela fase en la que se encuentre el sistema de Ising transversal, se esta en unafase con alta o con mınima memoria. Por lo tanto se esta en presencia deun nuevo elemento de control de las propiedades de memoria del bano rep-resentado aquı por los otros N−1 spins que sirven de entorno a un spin dado.

El teorema de regresion cuantico tambien se puede formular en terminosde los operadores de matriz de densidad [33]. Considere una matriz de den-sidad de un sistema y reservorio ρsr(t). Comenzando en t = 0, suponemosque

ρsr(0) = ρs(0)ρr(0) (3.27)

donde las matrices de densidad reducidas se definen como:

ρs(t) = trr(ρsr(t))

ρr(t) = trs(ρsr(t)).

Es decir, en t = 0 se esta suponiendo que las correlaciones entre el sistema yel reservorio se anulan. Si para tiempos posteriores se sigue cumpliendo que

ρsr(t′) = ρs(t

′)ρr(0), (3.28)

entonces se esta haciendo la aproximacion de Markov3. Cuando se satisfacela ecuacion (3.28), el valor esperado a dos tiempos evoluciona de la misma

3En las ecuaciones de Langevin se realiza la aproximacion de Markov. Esta aproxi-macion consiste en decir que se puede escribir una ecuacion de movimiento para el sistemaque dependa unicamente del valor actual de la matriz de densidad del sistema.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

tiempo

<Sz(0)S

Figura 3.8: Algunas funciones de correlacion de la Figura 3.4 superpuestas enla misma escala. Las lıneas punteadas corresponden a valores de h menoresal valor crıtico, hc = 1.

manera que el valor esperado a un solo tiempo. Es decir, bajo esta aproxi-macion, el teorema de regresion cuantico es valido.

Nuevamente se desea verificar si esta nueva forma de presentar el teoremade regresion cuantico sigue siendo valida en nuestro modelo, o precisar mejorlos regımenes de validez. Para ello, se quiere entonces comenzar con un estadoincial de la forma (3.27) en el cual el sistema y bano sean separables. Paraello, en t = 0 se va a hacer una medida proyectiva sobre un espin dado. Porejemplo, sobre el espin correspondiente a i = 1. Esto es, suponga que antesde la medicion, en t = 0, el sistema se encontraba en el estado de mas bajaenergıa que llamaremos |GS〉. Inmediatamente despues de la medicion, elestado del sistema, sin normalizar, colapsa a |Ψ〉 = |0〉〈0 |GS〉 . Recordandoque para un spin dado la matriz σz y la matriz identidad son

σz =1

2[|1〉〈1| − |0〉〈0|]

2[|1〉〈1| + |0〉〈0|]

se puede despejar|0〉〈0| = 11 − σz

y reescribir |Ψ〉 como|Ψ〉 = (111 − σz

1) |GS〉 .

En este escenario se va a hallar el valor esperado de la componente zdel primer spin en funcion del tiempo y se va a comparar con la funcion decorrelacion a dos tiempos del primer spin un instante despues de haber hechouna medicion sobre el primer spin. Salvo por constantes de normalizacion,

〈σz1(t)〉 = 〈Ψ|σz

1(t) |Ψ〉= 〈GS| (111 − σz

1) eiHtσz1e

−iHt (111 − σz1) |GS〉 (3.29)

Ahora se va a hallar el valor esperado de la funcion de correlacion a dostiempos del primer spin un instante despues de haber hecho una medicionsobre el primer spin. Salvo por constantes de normalizacion,

〈σz1(0)σz

z(t)〉 = 〈σz1(0)σz

1(t)〉= 〈GS| (111 − σz

1) σz1e

iHtσz1e

−iHt (111 − σz1) |GS〉

= 〈GS| (σz1 − 111) eiHtσz

1e−iHt (111 − σz

1) |GS〉= −〈GS| (111 − σz

1) eiHtσz1e

−iHt (111 − σz1) |GS〉

Esta ultima expresion es igual a la ecuacion (3.29) salvo por un signo. Por lotanto, en el caso de preparar el sistema por una medicion proyectiva sobre unspin individual, el teorema de regresion cuantico es valido en cualquier faseya que el valor esperado en funcion del tiempo y el valor esperado de la fun-cion de correlacion a dos tiempos, siguen la misma ecuacion de movimiento.Mas aun, en este caso, la solucion es identica.

Por lo tanto, mediante el estudio de correlaciones se encontro una conexioncon el teorema de regresion cuantica en situaciones donde ocurre una transi-cion de fase cuantica. Con el uso de este teorema se concluyo que el modelo deIsing transversal presenta un caracter Markoviano en la fase paramagneticapero no-Markoviano en la fase ferromagnetica. Este resultado permite de-mostrar que la memoria en un sistema crıtico podrıa ser controlada a travesde una transicion de fase cuantica.

Capıtulo 4

Correlaciones de spin en

campos magneticos

dependientes del tiempo

En el capıtulo anterior se han presentado las correlaciones de spin en cam-pos magneticos estaticos. En este capıtulo nuestra atencion se va a centrar enhallar las correlaciones de spin en una cadena Ising transversal cuando el cam-po magnetico externo esta variando en el tiempo. Se desea determinar comocontrolar el comportamiento de estas funciones de correlacion, teniendo comoparametro de control el campo aplicado. Se consideran diferentes tipos de varia-ciones para el campo con el proposito de comprender aspectos universales en laestructura de estados excitados del sistema de spins. En el desarrollo de la solu-cion del problema planteado se ilustra la metodologıa standard empleada y lasprincipales diferencias existentes con respecto a la situacion de campo estatico.Para un tipo de campo variable, se encuentran criterios que permiten controlarla magnitud de las correlaciones.

4.1. Funciones de correlacion dependientes del

tiempo

Siguiendo un procedimiento similar al empleado para cuando el campo hes constante, se va a hallar la matriz de densidad reducida entre dos sitios.

CAPITULO 4. CORRELACIONES DE SPIN EN CAMPOSMAGNETICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO

Cada elemento de la matriz, es una funcion de correlacion o combinacion delas mismas. Una vez se hallan las funciones de correlacion y la matriz densi-dad reducida, se puede determinar el enredamiento entre dos spins.

La estructura de la matriz densidad reducida, cuando el campo externodepende del tiempo es:

ρ11 0 0 ρ14

0 ρ22 ρ23 00 ρ32 ρ33 0

ρ41 0 0 ρ44

ρ22 = ρ33 (4.2)

ρ23 = ρ32∗ (4.3)

ρ14 = ρ41∗ (4.4)

ρ14, ρ41, ρ23 y ρ32 son complejos y los otros elementos son reales. Comparandolos elementos diferentes de cero con la matriz densidad reducida general,ecuacion ( 3.5), tenemos:

ρ11 =1

4+ mz + ρzz(R) (4.5)

ρ22 =1

4− ρzz(R)

ρ33 =1

4− ρzz(R)

ρ44 =1

4− mz + ρzz(R)

ρ23 = ρxx(R) + ρyy(R)

ρ14 = ρxx(R) − ρyy(R) − 2iρxy(R)

Se nota inmediatamente una diferencia con el caso estatico ya que cuan-do h no dependıa del tiempo la matriz de densidad reducida tenıa la mismaestructura de (4.1), pero la funcion de correlacion ρxy(R) era cero. Sin em-bargo, ahora que hay dependencia temporal, esta correlacion toma un valor

diferente de cero y por simetrıa, ρyx(R) = ρxy(R).

En [17, 16, 34]1 se analiza el caso dinamico y se hacen las correccionesnecesarias a las funciones de correlacion. Un cambio ocurre en la funcion ρzz

la cual se modifica a:

ρzz = mz2(t) − GR(t)G−R(t)/4 − SR(t)S−R(t)/4 (4.6)

donde 〈Sx0 Sy

R〉 = SR

2sin (2πpR/N) Re[2ρ21(t)]. (4.7)

Para hallar la matriz densidad reducida se necesitan las funciones decorrelacion, las cuales dependen de SR (4.7) o GR (3.12). Por lo tanto, esnecesario hallar Ψ(t) o ρ(t), como se puede ver directamente de las expre-siones para estas cantidades. Dado que ahora se van a considerar casos enlos cuales el campo magnetico depende del tiempo, es necesario resolver laecuacion de Schrodinger (~=1) para el vector de estado del sistema

dt|Ψ(t)〉 = H(t) |Ψ(t)〉

o, en forma equivalente, hallar el operador evolucion U(t)

dtU(t) = U(t)H(t).

Este problema fue resuelto formalmente hace ya varias decadas y en elApendice D se resumen los principales pasos de esa solucion. Basicamente,el procedimiento consiste en separar el espacio de Hilbert del sistema ensubespacios p independientes de dimension 2, correspondientes a cada unode los posibles modos

Hp(t) = 2

cosφp − h(t) sin(φp)sin(φp) −cosφp + h(t)

Para cada subespacio se encuentra el operador de evolucion temporal Up

resolviendo la ecuacion

1En ([17]2.10) hay un error, pero en ([16]2.8) este error se ha corregido.

dtUp(t) = Up(t)Hp(t).

Una vez se dispone del operador de evolucion temporal se puede hallar laevolucion de la matriz densidad ρp(t),

ρp(t) = Up(t)ρp(0)Up(t)†.

ρp(0) = |Ψ(0)p〉〈Ψ(0)p||Ψ(0)p〉 = (cos(φp) − h(0) + Λp) |0〉 + sin(φp) |p,−p〉

Ya con la matriz densidad se pueden calcular las funciones de correlacion yel valor esperado de cualquier observable deseado. Por ejemplo, suponga quese desea encontrar el valor esperado de la magnetizacion en z para cualquiertipo de campo variable. En este caso,

〈Mz(t)〉 =1

Tr [Mpρ]

Tr [ρ]=

N/2∑

MpUpρp(0)U †p

Tr [ρp(0)]

donde Mp = a†pap + a†

−pa−p − 1 se expresa en forma matricial usando la base(D.2):

−1 00 1

Siguiendo este procedimiento se determina GR(t) y SR(t)2, se obtienenlas funciones de correlacion y la matriz densidad reducida.

El siguiente paso consiste en observar como varıan las funciones de cor-relacion en el tiempo dependiendo del tipo de campo magnetico al que sesometa el sistema. Se va a encontrar que las funciones de correlacion siguenla variacion temporal del campo aplicado. Adicional a las funciones de cor-relacion se calcula la concurrencia. Se encuentra que la condicion inicial delsistema y la rapidez con la que se atraviesa la transicion de fase son paramet-ros importantes en la evolucion del sistema.

2Al incluir la cantidad SR(t), el efecto sobre las funciones de correlacin es despreciable.

4.2. Resultados

Se consideraron cinco tipos de variaciones para el campo magnetico ypara cada caso se obtienen resultados para las funciones de correlacion ypara la concurrencia entre spins. Al analizar los resultados que se encuentranse debe tener presente que en h = 1 ocurre la transicion de fase cuantica. Lassimulaciones se realizaron con una cadena de N = 100 spins.

4.2.1. Campo Magnetico Escalon

Inicialmente se va a estudiar el caso mas sencillo que consiste en encendero apagar el campo magnetico en un determinado instante,

hI(t) =

a t < 0

b t ≥ 0.(4.10)

Se va a suponer que incialmente no habıa campo magnetico h = a = 0, y queen un determinado instante el campo cambia para tomar un valor constanteb. En la Figura 4.1 se grafica la concurrencia entre spins vecinos en trescasos: (I) cuando el campo pasa a un valor menor al campo crıtico hc = 1(b < hc) manteniendo al sistema en la fase ferromagnetica; (II) b correspondeal campo crıtico (b = hc) y (III) el valor de b es mayor a hc lo cual significapasar a traves de la transicion de fase y caer no-adiabaticamente en la faseparamagnetica. Se observa que si b > hc, la concurrencia mantiene un valorconstante. De lo contrario, la concurrencia presenta oscilaciones por algunperiodo de tiempo pero retorna al valor inicial cero.

La otra posibilidad para el campo escalon es comenzar con un campodiferente de cero (a 6= 0), y en algun momento apagarlo (b = 0). En la Figu-

ra 4.2 se encuentran tres casos, con un valor final b = 0 siempre. Caso (I)cuando a < hc, caso (II) para a = hc y caso (III) para a > hc. Se encuentraque la concurrencia comienza con un valor constante de equilibrio correspon-diente al valor con h = a, y una vez desaparece el campo la concurrenciaoscila, con el mismo periodo en todos los casos. El periodo es de TJ = π

2. Sin

embargo, cuando a < hc las oscilaciones presentan dos armonicos . Para estosdos casos de campos escalonados se encuentran las funciones de correlacion

2Campo h

tiempo

Concurrencia

Figura 4.1: Para hI(t). a=0.Diferentes valores de b. En la columna I, b < hc.Columna II b = hc. Columna III b > hc. Cadena de N=100 spins.

en la Figura 4.3 y Figura 4.4

En el Apendice E se presenta la solucion analıtica exacta para la evolucionde un estado |Ψ(t)〉 cuando la cadena de spins se somete a un campo escalon.La evolucion del estado fundamental es:

|Ψp(t)〉 =∏

θb − θa

eitΛp,b|Gsp〉b + sin

θb − θa

e−itΛp,b|Esp〉b]

(4.11)donde Λp,b corresponde a las energıas propias del hamiltoniano, ecuacion(3.3), cuando h = b. Las otras cantidades estan definidas en el Apendice E.Volviendo al caso en el cual b = 0, se debe notar que Λp,b = ±2 y por ende,no depende del modo p. Por lo tanto, las exponenciales que determinan lasfrecuencias de oscilacion, son iguales para todos los supespacios. Esto implicaque cada subpespacio contribuye con la misma frecuencia y al sumar sobretodos los modos, se mantiene el mismo periodo.

0 5 100

2campo h

0 5 100

tiempo

0 5 100

tiempo

Ci,i+1

0 5 100

Figura 4.2: Para hI(t). b=0. Diferentes valores de a. En la columna I, a < hc.Columna II h = hc. Columna III h > hc. Cadena de N=100 spins.

tiempo

0 5 10−0.1

tiempo

0 5 10−0.05

tiempo

0 1 2 3

−0.1

−0.05

tiempo

0 1 2 3−0.1

−0.05

tiempo

Figura 4.3: Funciones de correlacion para el campo escalonado hacia arriaba.a = 0

0 5 100.05

tiempo

0 5 10−0.06

−0.04

−0.02

tiempo

0 5 10−0.1

tiempo

0 5 10−0.2

tiempo

0 5 10−0.2

−0.1

tiempo

0 5 10−0.2

−0.1

tiempo

Figura 4.4: Funciones de correlacion para el campo escalonado hacia abajo.b = 0.

4.2.2. Campo Magnetico Exponencial

Con un campo exponencial de la forma

hII(t) =

a t < 0

b + (a − b)e−Kt t ≥ 0(4.12)

se pueden simular cambios rapidos como los de un escalon o, realizar cambiosde una manera tan lenta que simule un caso similar al estatico. En la Figura

4.5 el campo exponencial se fija con valores a = 0, b = 5 y se varıa el valorde K en cada cuadro. La lınea punteada es la magnitud del campo medidacon la escala de la derecha, y la concurrencia es la lınea solida medida conla escala de la izquierda. En la Figura 4.5 d, K = 10, el campo simula unescalon hacia arriba y la respuesta en el enredamiento es consecuente con loque ya se discutio en la Seccion anterior. La Figura 4.5 c con K = 1, estambien muy parecido al escalon. La Figura 4.5 a simula un cambio tanlento, que la concurrencia se asemeja al comportamiento presentado en laFigura 3.2, teniendo en cuenta que en esta ultima la concurrencia esta grafi-cada en funcion del campo, mientras que en el caso que estamos viendo ahorase tiene la concurrencia en funcion del tiempo. Por ultimo se tiene un valor deK = 0,1 en la Figura 4.5 b, y el comportamiento de la concurrencia en estecaso presenta un comportamiento similar al de K = 0,05. Cuado h = 1, esdonde la concurrencia presenta el mayor aumento, y luego disminuye a cero.Sn embargo, a diferencia de la Figura 4.5a, la concurrencia luego comienza aaumentar nuevamente.

4.2.3. Campo Magnetico con variacion senosoidal

Se van a considerar campos magneticos periodicos senosoidales. Se con-sidera el campo con la funcion seno (hIII(t)), y coseno (hIV (t)) con el fin devariar la condicion inicial del sistema. En ambos casos se va a trabajar conuna amplitud de 2 y frecuencia de 0.05.

hIII(t) =

0 t < 0

a − aSin(Kt) t ≥ 0(4.13)

hIV (t) =

0 t < 0

a − acos(Kt) t ≥ 0(4.14)

0 5 10 15 200

Ci,i+1

0 5 10 15 200

Ci,i+1

0 5 10 15 200

Ci,i+1

0 5 10 15 200

Figura 4.5: Para hII(t). a=0 , b=5. Figura a) K=0.05. Figura b) K=0.1.Figura c) K=1. Figura d) K=10. La lınea punteada es la magnitud del campomedida con la escala de la derecha. La concurrencia es la lınea solida medidacon la escala de la izquierda.

En la Figura 4.6 se grafican las funciones de correlacion, la concurrenciaa primeros vecinos y la variacion del campo para hIII(t). La concurrenciacomienza con un valor de equilibrio correspondiente a h = 2 y oscila sigu-iendo en fase las variaciones del campo. Cuando el campo es mınimo la con-currencia es mınima. Sin embargo, cuando la amplitud del campo superaun cierto valor, la concurrencia tambien disminuye y muestra un compor-tamiento desfasado con el campo. Es decir, cuando el campo es maximo, laconcurrencia no es maxima. En la Figura 4.7 se observa la misma concur-rencia pero ahora en funcion del campo. Como el campo es periodico, hayvarios valores de concurrencia para un mismo valor de campo. En esta figuraes mas claro que la concurrencia no siempre adquiere el mismo valor para elmismo campo sino que va disminuyendo con las oscilaciones, y nunca vuelvea su valor inicial. En la Figura 4.8, se observa un comportamiento similarpara hIV (t).

0 50 100 150 200 250 300 350

0 50 100 150 200 250 300 3500

Ci,i+1

0 50 100 150 200 250 300 3500

tiempo

Figura 4.6: hIII(t). K = 0,05, a = 2, N = 100

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

ci,i+1

Figura 4.7: hIII(t). K = 0,05, a = 2, N = 100. Concurrencia en funcion delcampo

0 50 100 150 200 250 300 350

0 50 100 150 200 250 300 3500

Ci,i+1

0 50 100 150 200 250 300 3500

tiempo

Figura 4.8: Para hIV (t). K = 0,05, a = 2, N = 100

4.2.4. Campo Magnetico Lineal

Es tambien de interes disponer de resultados donde se puedan comparardirectamente comportamientos de las correlaciones de spin bajo cambiosadiabaticos y no-adiabaticos. Se espera comprender de esta forma mejor comolas correlaciones reflejan la no-adiabaticidad propia en cualquier transicionde fase, termica o cuantica. Se va a tomar un campo hV (t) que comienzacon un valor inicial y se va acercando a cero linealmente. La pendiente o larapidez con la que se apaga el campo esta determinada por la variable τQ,que es el inverso de la pendiente. Por ejemplo, si se desea apagar el camporapidamente, se hace τQ tender a cero.

hV (t) =

− tτQ

0 t ≥ 0(4.15)

En la Figura 4.9 se grafica el valor de las correlaciones y en la Figura

4.10 una combinacion de las correlaciones en z3, en funcion del campo paradiferentes valores de τQ. Para valores de τQ pequenos como τQ = 0,025 oτQ = 0,1, la transicion es muy rapida. Las funciones de correlacion en estecaso permanecen practicamente constantes. Se podrıa decir que el cambio enel campo es tan rapido que el sistema practicamente no cambia su estado,como se interpreta del comportamiento de las funciones de correlacion. Otroefecto interesante ocurre con la funcion de corelacion ρyy. Para τQ = 2, lafuncion de correlacion detecta el paso por el punto crıtico. Para τQ menoresa este valor, ρyy parece indicar que el sistema atravisa la transicion de fasesin darse cuenta.

Para h >> 1, la concurrencia coincide para los distintos τQ, como semuestra en la Figura 4.11. Para aquellas graficas donde τQ ≥ 2, la concur-rencia tiene su maximo cercano a h = 1, pero por debajo del valor crıtico lascorrelaciones y la concurrencia adquieren un comportamiento diferente paracada τQ. Sin embargo, en los casos donde τQ < 2, el comportamiento de lascorrelaciones y las concurrencias son muy distintos, y no parece haber uncomportamiento especial alrededor del campo crıtico.

3Ver [35]

El estado final del sistema, una vez se ha apagado el campo, es el estadocuando h = 0. El valor de la concurrencia en el estado final para cada valorde τQ, se puede apreciar en la grafica superior de la Figura 4.11, observandoel valor de esta cantidades sobre el eje vertical, que corresponden a h = 0.Sin embargo, para caracterizar mejor como cambian las correlaciones y laconcurrencia en el estado final dependiendo de τQ, nos remitimos a la graficainferior de la Figura 4.11. Se puede observar que la concurrencia en elestado final en funcion de τQ, oscila. Hasta el momento, no tenemos unaexplicacion a este comportamiento oscilatorio. Se espera que mas adelante sepueda encontrar una explicacion adecuada.

0 1 2 3 4 50.25

0 1 2 3 4 50

0 1 2 3 4 5−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0 1 2 3 4 50

τQ=0.025

τQ=0.1

τQ=0.4

τQ=2.0

Figura 4.9: Funciones de correlacion para un campo magnetico que se apagalinealmente.

4.2.5. Campos con variacion rectangular

En la Seccion 4.2.1, se trabajo el caso de un campo escalon hacia arri-ba o un escalon hacia abajo. Ahora se va a extender el estudio a camposrectangulares o campos que cambian sucesivamente entre dos valores prede-terminados, es decir campos conformados por sucesiones de escalones hacia

0.5 1 1.5 20.04

τQ=0.5

τQ=16

Figura 4.10: Para hV (t) . Czz = ρzz − M2z

arriba y escalones hacia abajo. Se va a empezar con un campo de valor con-stante de h = 2, luego se va a apagar el campo (h = 0), y finalmente sevuelve a prender a su valor inicial. En la Figura 4.12 se grafica el campo yabajo el comportamiento de la concurrencia. Hay tres graficas superpuestascuya diferencia radica en el tiempo en el cual el campo permanece con unvalor de h = 0, antes de volverse a encender. Si el tiempo que permanece elcampo en h = 0 es un multiplo del periodo, cuando se vuelva a prender elcampo la concurrencia recupera su valor inicial. A medida que el tiempo depermanencia en h = 0 se comienza a desviar de un multiplo del periodo, elvalor de la concurrencia disminuye. Por lo tanto, controlando el tiempo quepermanece el campo en h = 0, se puede controlar el valor de la concurrencia,como se observa en la Figura 4.12.

En el Apendice E, se encuentra la ecuacion (??) para la evolucion delestado fundamental cuando se produce un cambio en el campo.

0 1 2 4 60

Cj,j+1 τ

τQ=1.0

τQ=2.0

τQ=4.0

0 1 2 5 100

Cj,j+1

Figura 4.11: Arriba: concurrencia en funcion del campo. Abajo: concurrenciaen funciıon de τQ.

4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

tiempo

Campo h

4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

tiempo

Concurrencia

tabajo

=3*T+3*T/8

tabajo

=3*T+3*T/2

T=π/2

Figura 4.12: Campo rectangular variando el tiempo de permanenecia abajoen h = 0. N=100 spins.

4.3. Densidad de regiones desordenadas

La cantidad de regiones desordenadas, que se va a definir a continuacion,ha sido una variable de interes [35, 5, 7, 9, 36] en el estudio de la dinamicaen transiciones de fase. En esta seccion se presentan cuatro maneras de cal-cular la densidad de regiones desordenadas, la concordancia entre ellas, susignificado y relacion con las funciones de correlacion.

En la fase paramagnetica, h >> 1, todos los spins estan alineados en ladireccion z, por lo tanto el estado fundamental es

|GS〉 = |↑〉 |↑〉 ... |↑〉 (4.16)

Cuando h → 0 todos los spins tienden a alinearse en la direccion x positivao x negativa. El estado fundamental es :

|GS〉 = |→〉 |→〉 ... |→〉 (4.17)

o|GS〉 = |←〉 |←〉 ... |←〉

o cualquier combiancion de estos dos estados degenerados.

Suponga que se comienza con la cadena de spins en la fase paramagneticacon un campo h >> 1 de tal manera que al principio el estado fundamental es(4.16). Con una variacion lineal, se va disminuyendo la magnitud del campohasta llegar a h = 0. Cuando se llega a campo cero, el estado fundamentalpuede no coincidir con (4.17). Esto ocurre porque, si la transicion no eslo suficientemente lenta, el estado del sistema no alcanza a ajustarse a loscambios producidos por el campo externo. Si por el contrario, la variacionen el campo externo se realiza lentamente, el estado del sistema cuando sellegue a h = 0 se aproximara cada vez mas a (4.17). La escala de tiempo paradeterminar si una variacion es lenta o rapida es el inverso del gap de energıa(∆) entre el estado fundamental y el primer estado excitado en el modelo deIsing. El principio de incertidumbre temporal de Heisenberg fija una escalade tiempos dependiendo del valor del gap. Esto es,

∆t∆ ≥ ~

∆t ≥ ~

La energıa Λp = ±2√

1 − 2hcos(φp) + h2 es la energıa correspondientea un par de excitaciones producidas en el modo p. La energıa mas bajacorresponde a p = 1/2, donde φp = 2πp/N . El gap de energıa es,

∆ = 2√

1 − 2hcos(φp) + h2

En el lımite termodinamico (N → ∞) el gap tiende a

∆ = 2√

1 − 2h + h2 = 2√

(1 − h)2 = 2|(1 − h)|

Como se puede ver a medida que el campo h → 1 el gap tiende a cero, y eltiempo crıtico

τc =~

2|(1 − h)|cerca a la transicion de fase, tiende a infinito.

Para el caso cuando el campo varıa de manera lineal h(t) = −t/τQ, siτc < τQ la evolucion se puede considerar adiabatica ya que esto quiere decirque el tiempo crıtico, que esta relacionado con el tiempo de respuesta delsistema, es menor al tiempo en el que se estan realizando los cambios. Porlo tanto, a medida que el campo externo varıa con τQ, el estado del sistematambien va cambiando. Si por el contrario τc > τQ, el tiempo mınimo derespuesta del sistema es mas largo que el tiempo en el que se esta cambiandoel campo externo. Por lo tanto, el estado del sistema no alcanza a cambiarcuando cambia el campo.

Volviendo a la suposicion inicial donde se comienza con h >> 1, se va aapagar el campo linealmente hasta llegar a cero, de manera que h(t) = − t

El estado del sistema al final de la transicion (cuando h = 0), depende delvalor de τQ. Si τQ es grande (τQ >>> τc), el cambio en el parametro externoes lo suficientemente lento para que el sistema siga los cambios. En este casoel estado al final de la transicion va a ser un estado proporcional a (4.17).Si por el contrario la transicion se hace rapidamente, τQ <<< τc, el estadofinal, cuando h = 0, puede ser un estado como

|GS〉 = |→→→→←←←→→→←←←←→→→→〉 . (4.18)

Para determinar cuantitativamente la diferencia entre los estados (4.17) y(4.18) se va a introducir una nueva cantidad llamada IN que representa elnumero de regiones desordenadas, o numero de regiones de spins no alineados[5].

1 − σxnσx

Si se aplica este operador al estado 4.18, se van a obtener 2 regionesdesordenadas. Comparando esta expresion con el hamiltoniano diagonaliza-do despues de la transformada de Bogoliubov (3.2), se ve que el numerode regiones desordenadas tambien se puede interpretar como el numero decuasipartıculas excitadas en h = 0.

1 − σxnσx

η†pηp (4.19)

El numero de regiones desordenadas es igual al numero de cuasipartıculasexcitadas,

Pp = 〈Ψ(0)| η†pηp |Ψ(0)〉 (4.20)

De ahora en adelante se va a utilizar como indicador la densidad de regionesdesordenadas definida como

ν =IN

N(4.21)

Cualitativamente, la densidad de regiones desordenadas debe disminuir a me-dida que τQ se hace mas grande (transicion mas lenta) y debe aumentar amedida que τQ se hace mas pequeno. Por lo tanto la densidad de regionesdesordenadas brinda informacion acerca de la dinamica porque indica quetan rapido se paso por la transicion de fase.

Estamos interesados, por lo tanto, en hallar la densidad de regiones des-ordenadas. Dado que el hamiltoniano en terminos de los operadores de cuasi-partıculas esta diagonalizado, es mas facil hallar el numero de cuasipartıculasexcitadas. Recordando lo que se hizo en la Seccion 4.1 y en el Apendice D,

dt|Ψp(t)〉 = Hp(t) |Ψp(t)〉

Hp(t) = 2

Los dos vectores propios de esta matriz asociados al valor propio positivo ynegativo son:

(4.23)

El estado del sistema en cualquier instante de tiempo viene dado por[5, 35]:

|Ψp(t)〉 = up(t) |0〉 + vp(t) |p,−p〉donde

(4.24)

Suponemos que inicialmente, cuando h >> 1, la cadena de spins se en-cuentra en el estado |Ψp〉+ de valor propio positivo. Sin embargo, cuandose llega a h = 0, el estado final |Ψp(tf = 0)〉 va a ser una superposicion delos estados propios |Ψp〉+ y |Ψp〉−, debido a que el paso por el punto crıticohace que se generen excitaciones y se cree un estado combinado de modospositivos y negativos. Esto es,

|Ψp(tf = 0)〉 = αp |Ψp〉+ + βp |Ψp〉+ (4.25)

[up(0), vp(0)] = αp [cos(φp) + 1, sin(φp)] + βp [cos(φp) − 1, sin(φp)]

En esta ultima ecuacion se utilizaron los vectores propios (4.22) con h = 0. Deestas expresiones se sigue que el numero de excitaciones va a ser proporcionalal coeficiente βp. Esto es [35, 5]:

|βp|2. (4.26)

Resolviendo la ecuacion diferencial (4.24) se encuentran los coeficientes up(0)y vp(0) y de (4.25) se despejan los valores para los coeficientes αp y βp dedonde se obtiene la densidad de regiones desordenadas de la Figura 4.13.

4.3.1. Evolucion de Landau-Zener

Varios autores [35, 5, 7, 9, 36] han notardo que el problema discutido en laSeccion anterior se puede transformar en un problema de cruce de dos niveleso problema de Landau-Zener (LZ). En nuestro modelo, cada subespacio p sepuede ver como un sistema efectivo de dos niveles. Por lo tanto, la cadenade Ising transversal se puede tambien considerar como un problema de Nsistemas independientes cada uno de dos niveles.

El modelo LZ consiste en un hamiltoniano dependiente del tiempo enun espacio de Hilbert de dimension dos. Se asume que el estado inicial delsistema es el estado fundamental y a medida que transcurre el tiempo ladiferencia de energıa entre los dos estados propios disminuye. El modelo LZpredice la probabilidad con la cual el sistema va a pasar al estado excitado.La analogıa con nuestro problema se hace casi evidente ya que, como se ha

mencionado previamente, el gap de energıa cambia dependiendo del valor delcampo. Cuando el gap se hace pequenno se producen las excitaciones.

Haciendo un resumen de los resultados de [37], se obtiene la probabilidadde excitacion de nuestro modelo.

En general, para un hamiltoniano H dependiente de un parametro q,

H(q) =

ω1(q)12ωoe

−iφ

12ωoe

iφ ω2(q)

(4.27)

Se toma la convecion de ω(q) = ω1(q) − ω2(q). Sean |a〉 y |b〉 los vectorespropios asociados a los dos valores propios de energıa ωa y ωb. La probabil-idad de que el sistema comience en |b〉 y termine en |a〉, se conoce como laprobabilidad para que haya ”‘saltado”’ de |b〉 a |a〉,

P = | 〈Ψ(tf )| af〉 |2

Cuando q varıa linealmente con el tiempo:

Γ =ω2

4dωdt

la probabilidad viene dada por

P = e−2πΓ

Recordando que en nuestro caso el hamiltoniano para cada subespacio p es:

Hp(t) = 2

se hace la analogıa :

ωo = 4sin(φ)

ω(t) = 4cos(φp) − 4h(t) = 4cos(φp) + 4t/τQ

dt= 4/τQ

con lo cual se tiene

Γ =16sin2(φ)

) = sin2(φp)τq

Por lo tanto la probabilidad de excitacion (4.20) viene dada por

Pp = e−2πΓ = e−2πτQsin2(φp) ≈ e−2πτQφ2p .

En [5] se calcula la densidad de regiones desordenadas en el lımite ter-modinamico:

ν = limN→∞IN

∫ π

e−2πτQφ2pdp

(4.28)

4.3.2. Mecanismo de Kibble-Zurek

Estrechamente asociado a lo discutido en estas ultimas Secciones donde seha considerado una variacion lineal del campo h esta el denominado mecan-ismo de Kibble-Zurek (KZM). Se trata de una teorıa que incialmente seplanteo para modelar la fısica del universo temprano la cual se basaba en elhecho de que una transicion de fase cosmologica habrıa llevado a la forma-cion de defectos topologicos en el universo como la formacion de galaxias. 4

El KZM predice la cantidad de defectos de formacion utilizando los tiemposde relajacion y longitudes de corrleacion, con el fin de deducir el tamanno ζde los dominios o defectos que ’rompen la simetrıa’. Esta teorıa, que inicial-mente se formulo para transiciones termodinamicas de fase, ha sido utilizadarecientemente [5, 6, 7, 8, 9, 10] para extraer informacion de la dinamica detransiciones de fase cuanticas.

Todas las propiedades en el modelo de Ising transversal dependen del gapde energıa ∆ entre el estado base y el primer estado excitado. En el lımitecuando N → ∞,

∆ = 2|h(t) − 1|∆ = 2ǫ(t)

4Ver [38]

donde, ǫ(t) = h(t) − 1. Usando el principio de incertidumbre temporal, laenergıa del gap fija una escala de tiempos importante en el sistema. El tiempode relajacion viene dado por

τ = ~/∆ = ~/2|ǫ(t)| = τ0/ǫ(t)

La divergencia del tiempo de relajacion τ cerca al punto crıtico es una car-acterıstica comun en transiciones de fase termodinamicas. La longitud decorrelacion ξ es el producto entre la velocidad c = 2J/~ [8] y el tiempo derelajacion:

ξ = 2J/∆ = 1/|ǫ(t)|.En el punto crıtico ǫ(t) = 1, el tiempo de relajacion y la longitud de cor-relacion divergen. Es decir, cerca del punto crıtico los reflejos del sistema sedeterioran y el sistema tarda mas en reaccionar, hasta llegar al punto crıticodonde el sistema no reacciona en absoluto. Lejos del punto crıtico el sistemase ajusta perfectamente a variaciones en los parametros externos. Este com-portamiento sugiere separar la dinamica en tres regiones. Lejos del puntocrıtico, esta en un regimen que se denomina cuasi-adiabatico. Este nombrese propone porque lejos del punto crıtico el tiempo de respuesta del sistemaes muy pequeno y por lo tanto, se ajusta a cambios de un parametro ex-terno. Si el cambio en el parametro externo ocurre en intervalos de tiempomayores a τ , el sistema seguira perfectamente los cambios. Esto es como silos cambios en el parametro externo fueran los suficientemente lentos comopara suponer que es una transicion adiabatica. Cerca del punto crıtico esta-mos en un regimen al que se le puede llamar de impulso. En este regimenlos cambios de parametros aplicados al sistema se estan dando en escalas detiempo menores al tiempo de respuesta del sistema. Por lo tanto, el sistemano alcanza a ajustarse a las variaciones en los parametros externos. Separar ladinamica en regimen adiabatico e impulso es precisamente la esencia de KZM.

El instante de tiempo ±t cuando el comportamiento del sistema pasa deser adiabatico a impulso, o al contrario, es cuando el tiempo de reacciondel sistema es justamente igual al tiempo de relajacion τ . Suponiendo que elcampo varıa linealmente con el tiempo, h(t) = − t

τQy volviendo a la expresion

para el tiempo de relajacion se obtiene,

t = ~/2J |ǫ(t)| = ~τQ/2Jt

t =√

τQ~/2J

Tomando ~ = 1 y J = 1,

t =√

τQ/2. (4.29)

Estos instantes de tiempo separan la evolucion en tres regimenes. Para t < −ty t > t la evolucion es adiabatica. Para −t < t < t sigue una evolucion deimpulso, en la cual el estado del sistema queda ’congelado’ en −t y comienzaa evolucionar nuevamente en t.Para una variacion lineal en el campo, la longitud de correlacion es

ξ = τQ/t = τQ

τQ/2 =√

El mecanismo de Kibble Zurek estima que la densidad de defectos o re-giones desordenadas por longitud ξ debe ser

ηKZM ≈√

. (4.30)

Esto es solo una estimacion, pero simulaciones numericas para transiciones defase clasicas de segundo orden muestran que la densidad de defectos varıa pro-porcionalmente a

1/τQ, como lo predice KZM. Aunque, como se mostrara acontinuacion, para transiciones de fase cuanticas KZM se aproxima bien alos resultados numericos, no se debe olvidar que es una teorıa disenada orig-inalmente para transiciones de fase termodinamicas.

Hasta ahora se han encontrado tres formas de calcular la densidad deregiones desordenadas ν. Una manera es resolviendo la ecuacion (4.26), lasegunda forma es aproximando a sistemas de dos niveles con el metodode Landau-Zener (4.28), y la tercera forma es adaptando resultados de ter-modinamica clasica con el mecanismo de Kibble-Zurek (4.30). La diferenciaentre la aproximacion de un tratamiento tipo LZ y usar KZM es solo unfactor de 1

2π. En realidad es con este factor que KZM acierta en predecir la

densidad de regiones desordenadas. En la Figura 4.13 se grafican estas solu-ciones. La densidad de KZM no se encuentra en la figura ya que, a pesar quela tendencia de la prediccion es correcta, la magnitud no lo es. Adicional a lassoluciones que se han discutido hasta el momento, hay otra manera de hallarla densidad de regiones desordenadas. Esta ultima solucion esta relacionadacon calculos que ya se hicieron previamente. Volviendo a la expresion para las

regiones desordenadas (4.19), se puede apreciar que cuando IN opere sobreun estado se va a tener

〈Ψ| IN |Ψ〉 =1

1 − 〈Ψ|σxnσx

n+1 |Ψ〉)

2− 1

〈Ψ|σxnσx

n+1 |Ψ〉

2− N

2〈Ψ|σx

nσxn+1 |Ψ〉

1 −⟨

σxnσx

(4.31)

Pero la funcion de correlacion⟨

σxnσx

ya se hallo previamente para el casode un campo con variacion lineal. El resultado se encuentra en la Figura

4.11 y se puede ver directamente la relacion entre la funcion de correlaciony la densidad de regiones desordenadas.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

Funcion de Correlacion xx

Solucion Exacta

Figura 4.13: Densidad de regiones desordenadas en funcion de τQ. La solucionexacta corresponde a la ecuacion (4.26), la solucion de LZ es la ecuacion(4.28). La solucion relacionada con la funcion de correlacion corresponde a laexpresion (4.31). Se usa la misma solucion que se grafico en la Figura 4.11.

Capıtulo 5

Correlaciones con campo

magnetico local

Hasta el momento se ha adquirido informacion acerca de como lograr controlen la cadena de Ising transversal XY aplicando un campo global, es decir apli-cando un campo igual para todos los spins. Se puede tambien considerar el casoen el cual se va a aplicar un campo diferente a un solo spin y estudiar como sepuede realizar control en el caso de un campo localizado.

Con esta tarea propuesta, comenzamos suponiendo un campo local constante(una situacion tambien denominada de impureza) con el fin de entender primeroel comportamiento en equilibrio. En esta parte encontramos resultados intere-santes como que la concurrencia en algunos sitios puede aumentar o disminuirdebido al campo local, dependiendo de la fase cuantica en la cual se encuentrael sistema. Seguido a esto, suponemos un campo local que se enciende en alguninstante de tiempo y nos enfocamos en la evolucion temporal del sistema. Nue-vamente, encontramos que el comportamiento de las funciones de correlacion yla concurrencia en presencia de un camo local dependiente del tiempo varıa enformas diferentes segun sea el regimen, paramagnetico o ferromagnetico, en elcual se encuentre el sistema como queda determinado por el campo global h. Nose encuentra un aumento en los efectos de decoherencia.

En esta area se ha trabajado muy poco en el pasado. Entre los trabajosmas pertinentes esta un estudio de [39] en el que consideran un campo local

CAPITULO 5. CORRELACIONES CON CAMPO MAGNETICO LOCAL63

en una cadena antiferromagnetica, lo cual no es nuestro caso, pero manejan unhamiltoniano similar al usado en este trabajo. Otros artıculos en la misma lıneason [40, 41], donde calculan la evolucion del enredamiento con una impurezaestatica en una cadena abierta. Muy recientemente, se ha considerado el poderdel control local del enredamiento en una cadena de spins con acoplamientos XXa traves de la cual se espera poder transportar una parte de un par de estadosmaximamente enredados [42].

5.1. Diagonalizacion numerica del hamiltoni-

La forma general del hamiltoniano con el que se ha trabajado es:

H = −N

Jσxj σx

j+1 +N

hjσzj . (5.1)

En capıtulos anteriores estabamos analizando el caso particular de uncampo global donde hj = h para todo j. Ahora se va a aplicar un campodiferente en un solo spin, a lo que se denominara como campo local. Selec-cionamos un spin en particular, por ejemplo el spin en el sitio j = N/2, paraaplicar solo sobre el un campo local. Esto es, hN/2 = h + δh, con lo cual sepuede reescribir el hamiltoniano como:

H = −N

Jσxj σx

j+1 +N

hσzj + δhσz

N/2. (5.2)

En las Refs.[29, 3, 43, 44] realizan un procedimiento similar, pero consideran-do el caso de acoplamientos no-homogeneos entre spins (Ji), y con campoconstante.

Nuevamente se realiza la transformada de Jordan-Wigner al hamiltonianoque describe esta situacion inhomogenea y se llega a la misma ecuacion (A.8)

H = −N

c†jc†j+1 + c†jcj+1 + c†j+1cj + cj+1cj − 2hjc

†jcj + hj

donde se ha tomado J = 1, pero a diferencia del caso anterior no se vaa realizar una transformada de Fourier ya que esta requiere que exista unainvarianza espacial en el sistema de spins, la cual se rompe al cambiar el cam-po en un sitio. La vıa alterna es diagonalizar el hamiltoniano numericamentepara llegar a una expresion de la forma,

H =∑

Λkη†kηk

Para todos los resultados numericos que se discuten a continuacon se hatomado una cadena de spins con N = 100 sitios.

La diagonalizacion nos da la relacion que debe haber entre los operadoresc y η. Es decir,

cj + c†j =∑

ηj + η†j

cj − c†j =∑

ηj − η†j

En el Apendice F, se encuentran detalladas las matrices Φ y Ψ en laecuacion (F.4).

5.2. Funciones de Correlacion

Siguiendo un procedimiento similar al ya descrito para el caso de cam-po global, se desea encontrar las funciones de correlacion. Sin embargo, lassimetrıas del sistema cambian debido a la presencia de un campo local. Elhamiltoniano permanece invariante bajo una rotacion alrededor del eje z,ya que el campo local se acopla con la componente z de los spins, por locual 〈σx,y

i 〉 =⟨

σxi σz

σyi σ

= 0. Sin embargo, la simetrıa de translacionse rompe y las funciones de correlacion no dependen solo de la separacionR = |i − j|, sino explıcitamente de los dos sitios i y j. Bajo estas considera-ciones, la matriz densidad reducida ρij toma la estructura [30, 34],

ρ11 0 0 ρ14

0 ρ22 ρ23 00 ρ∗

23 ρ33 0ρ∗

14 0 0 ρ44

ρ11 =1

4+ ρzz

j (5.4)

ρ22 =1

4− ρzz

i −1

ρ33 =1

4− ρzz

ij − 1

ρ44 =1

4+ ρzz

ij − 1

i −1

ρ23 = ρxxij + ρyy

ij − iρxyij + iρyx

ρ14 = ρxxij − ρyy

ij − iρxyij − iρyx

Dado que en este capıtulo el objetivo es estudiar el efecto que produce uncampo local sobre el sistema, se van a estudiar las funciones de correlacionindividuales y colectivas, para observar las posibles diferencias. Por ejem-plo, el comportamiento de la magnetizacion del spin sobre el cual se aplicael campo local, va a ser diferente de la magnetizacion de un spin vecino a este.

Se van a considerar dos casos que se derivan de aplicar un campo local.En primer lugar, se va a estudiar el caso estatico en el cual se asume quetanto el campo global h como el campo local δh tienen un valor constantepara todo instante de tiempo. En segunda instancia, se va a asumir que elsistema se encuentra en su estado fundamental bajo la accion de un campoglobal constante y, en algun instante de tiempo que tomamos como t = 0,el campo local se enciende. Los detalles de los calculos de las funciones decorrelacion se encuentran en el Apendice G.

5.3. Campo Local Constante

Con el fin de comprender como afecta un campo local al comportamientodel sistema, se comienza asumiendo que el hamiltoniano (5.1) es valido encualquier instante de tiempo. Para varios valores de campo local δh, se va aobservar que ocurre con las funciones de correlacion y con el enredamientoentre un par de spins. Dado que ya no hay invarianza translacional, ahora es

importante precisar entre cual pareja de spins se esta midiendo el enredamien-to. Esto introduce una variable adicional que no se tenıa antes ya que cuandono habıa campo local la concurrencia era igual para cualquier pareja de spinsprimeros vecinos.

En la Figura 5.1 se muestran las funciones de correlacion a primerosvecinos, entre el sitio j y j + 1, donde j = N/2 es el sitio donde se aplicael campo local o sitio de la impureza. A medida que el campo local crece, lamagnetizacion en el stio j aumenta, lo cual es de esperarse ya que el campomagnetico efectivo en ese sitio es mayor. Bajo el mismo argumento, la funcionde correlacion en z tambien presenta un aumento en su valor. La magneti-zacion del spin vecino j = N/2 + 1, tambien aumenta su magnitud como seobserva en el inset, pero considerablemente menos que la magentizacion enel spin directamente afectado por la impureza. Sin embargo, las diferenciasen las correlaciones para varios valores de δh, tienden a desaparecer cuan-do h aumenta. Es decir, en la fase paramagnetica, campo global h >> 1,el campo local no tiene mayor incidencia sobre las funciones de correlacion.Esto ocurre quizas porque los valores de campo local que se estan tomandose pueden despreciar cuando h es grande.

Para esta misma pareja de spins, la concurrencia se grafica en la Figura

5.2. La respuesta del enredamiento al campo local en esta pareja presenta uncomportamiento interesante ya que depende de la fase paramagnetica o ferro-magnetica en la cual se encuentre el sistema. La concurrencia se ve favorecidapor la acci”on de un campo local cuando se esta en la fase ferromagnetica,pero disminuye en la otra fase. Un cambio similar, aunque a la inversa, seobserva en la correlacion ρyy. Teniendo en cuenta que la concurrencia es elresultado de una combinacion de las funciones de correlacion anteriormentediscutidas, una posible explicacion a este comportamiento es que este cambiose debe principalmente al efecto de la funcion de correlacion ρyy. Sin embar-go, serıa interesante que se pudiera explicar este comportamiento con masprecision en el futuro.

0 0.5 1 1.5 20.05

0.25ρxx

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1 1.5 20

0 1 20

δh=0.2

δh=0.5

0 0.5 1 1.5 2−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

Figura 5.1: Magnetizacion y funciones de correlacion a primeros vecinos paralos spins en los sitios j = N/2 y j = N/2 + 1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

Cj,j+1

δh =0

δh =0.2

δh =0.5

δh =1

Figura 5.2: Concurrencia entre primeros vecinos en los sitios j = N/2 yj = N/2 + 1, para diferentes valores del campo local δh.

5.4. Campo Local Escalon

Refiriendonos al hamiltoniano (5.2), se va a aplicar un campo magneticolocal que tiene una magnitud δh en el sitio j = N/2 de la cadena. El campolocal se enciende en t = 0 y se deja constante de allı en adelante,

δh(t) =

0 t < 0

δh t ≥ 0.

La situacion es diferente al caso anterior ya que ahora estamos trabajandocon un hamiltoniano dependiente del tiempo. La estructura de la matrizdensidad reducida (5.3) sigue siendo valida, junto con las expresiones (5.4)para cada elemento. La diferencia radica en el hecho de que ahora se necesitala evolucion temporal de las funciones de correlacion. Es decir, es necesario

hallar⟨(

Sαi Sβ

(t)⟩

. Con dichas correlaciones se encuentra la concurrencia

entre varias parejas de spins. Adicionalmente, podemos obtener las funciones

de correlacion a tiempos distintos⟨

Sαi (0)Sβ

j (t)⟩

para tener una idea de los

efectos de decoherencia en el sistema.

5.4.1. Evolucion temporal de las funciones de correlacion

Antes de abordar el calculo de todas las funciones de correlacion, se vaa comenzar con la funcion mas sencilla que es la magnetizacion. El campolocal se aplica en el spin central j = N/2, y en la Figura 5.3 se puede apre-ciar que ocurre con el valor esperado de la magnetizacion en ese sitio comofuncion del tiempo. Al aumentar el campo local δh, aumenta la magnitud dela magnetizacion en ese sito y su frecuencia de oscilacion. Las oscilaciones sepresentan porque el sistema queda fuera del equilibrio con la aplicacion delcampo local en forma de escalon. Se espera que en algun momento el sistemallegue a un equilibrio. Sin embargo, el promedio de la magnetizacion tieneun comportamieno oscilatorio amortiguado. Los cambios en la magnitud delpromedio de la magnetizacion nos confirma que hay un efecto global en elsistema debido a la perturbacion local. El efecto global es menor cuando seaumenta el valor del campo global constante, como se observa en la Figura

5.4. El promedio de la magnetizacion cambia pero solo en la cuarta cifra

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.129

0.1295

0.1305

0.1315

0.1325

tiempo

δ h=0

δ h=0.1

δ h=0.2

δ h=0.3

δ h=0.4

δ h=0.5

δ h=0.6

δ h=0.7

δ h=0.8

δ h=0.9

δ h=1

Figura 5.3: Arriba: Magnetizacion en funcion del tiempo en el sitio donde seaplica el campo local δh en escalon. Abajo: Promedio de la magnetizacion.Campo global h = 0,5.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

tiempo

δ h=0

δ h=0.1

δ h=0.2

δ h=0.3

δ h=0.4

δ h=0.5

δ h=0.6

δ h=0.7

δ h=0.8

δ h=0.9

δ h=1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.4671

0.4672

0.4673

0.4674

0.4675

tiempo

Figura 5.4: Arriba: Magnetizacion en funcion del tiempo en el sitio dondese aplica el campo local δh. Abajo: Promedio de la magnetizacion. Campoglobal h = 2.

significativa.

En general, para todas las funciones de correlacion, la evolucion temporal

Sαi Sβ

(t)⟩

eiHtSαi Sβ

j e−iHt⟩

esta determinada por el hamiltoniano (5.2), donde el valor esperado debetomarse con respecto al estado fundamental, que corresponde al estado fun-damental del hamiltoniano inicial antes de la aplicacion del campo local. Sevan a considerar dos casos representativos: aplicar un campo local cuando elcampo global esta por debajo del campo crıtico (hc = 1), y aplicar un campolocal cuando el campo global esta por encima del campo crıtico.

En la Figura 5.5 y en la Figura 5.7, se toma h = 0,5 y se grafica la evolu-cion temporal de las funciones de correlacion y la concurrencia. Se analizanlas funciones de correlacion a primeros vecinos, entre dos parejas diferentescon el fin de determinar como se propaga el efecto producido por el campolocal a lo largo de la red. Fijando el campo local en δh = 0,5, se apreciaen la Figura 5.5 que las funciones de correlacion en z, (Mz, ρ

zz), adquierenun valor mayor en el sitio donde se aplica el campo local. A diferencia deestas correlaciones, las correlaciones ρxx y ρyy son mayores en el spin vecinoal spin central perturbado. Para la concurrencia, Figura 5.7, se encuentraque es mayor entre los spins N/2 y N/2 + 1 que entre la pareja siguiente(N/2 + 1, N/2 + 2). Adicionalmente, vemos que al aumentar el campo local,la concurrencia CN/2,N/2+1 aumenta tambien. Considerando que el campoglobal esta por debajo del campo crıtico, este comportamiento es similar alobservado en aquel caso cuando se tenıa una impureza o campo local estatico.

Para el caso de un campo global constante por encima del campo crıtico,por ejemplo h = 2, el comportamiento de las funciones de correlacion aprimeros vecinos, Figura 5.7, es similar al caso cuando el campo globalesta por debajo del campo crıtico. La unica diferencia se presenta en la fun-cion de correlacion ρyy que, opuesto a lo encontrado previamente, claramentetiene un valor mayor en el sitio donde se aplica el campo local. Para h = 2 seobserva ahora que la concurrencia Figura 5.8 disminuye al aumentar el cam-po local. Nuevamente, este resultado es consistente con lo que se encontro enel caso del campo magnetico local constante. Adicionalmente, y tambien a

diferencia con el caso de la fase ferromagnetica, h < hc, la concurrencia enla fase paramagnetica es mayor entre spins aledanos al spin afectado por elcampo local. Esto es, CN/2+1,N/2+2 > CN/2,N/2+1. Mas aun, en el spin centralel efecto del campo local disminuye el valor de la concurrencia, con respectoal valor que esta tendrıa si no existiera la perturbacion local asociada con δh.

Como el efecto de encender un campo local es diferente segun sea la faseen la que esta el sistema, y dado que el unico cambio notorio en las funcionesde correlacion se presenta en ρyy, hay nuevas razones para conjeturar que esesta correlacion la mas sensible a la transicion de fase, y a los sitios de lared en los que se calcula esta funcion de correlacion, como se veıa ya en laFigura 5.1.

0 5 10

tiempo

0 5 10

tiempo

0 5 10

0.24ρxx

0 5 10

−0.03

−0.02

−0.01

tiempo

j=N/2+1

Figura 5.5: Campo local en escalon. Magnetizacion y funciones de correlacionen funcion del tiempo para las parejas de spin en (N/2, N/2 + 1) y (N/2 +1, N/2 + 2). h = 0,5 y δh = 0,5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

tiempo

Cj,j+1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

tiempo

Cj,j+1

h=0.5, δ h=0.2

h=0.5, δ h=0.5

h=0.5, δ h=1

j=N/2+1

h=0.5, δh=0.5

Figura 5.6: Evolucion de la concurrencia para dos parejas de spins primerosvecinos. Campo global h = 0,5.

0 2 4 6 8 100.05

tiempo

0 2 4 6 8 100.232

tiempo

0 2 4 6 8 100.465

tiempo

0 2 4 6 8 10−0.06

−0.055

−0.05

−0.045

tiempo

Figura 5.7: Magnetizacion y funciones de correlacion en funcion del tiempocon h = 2, δh = 0,5. Lınea punteada j = N/2 y lınea solida j = N/2 + 1.

5.4.2. Correlacion a tiempos distintos

Deseamos ahora detectar los efectos de decoherencia en presencia de uncampo local. Para ello hallaremos las funciones de correlacion a tiempos dis-tintos

Szj (0)Sz

j (t)⟩

. Para un campo global de h = 0,5 y δh = 0,5 se grafica

en la Figura 5.9 el valor local de la funcion de correlacion⟨

Szj (0)Sz

j (t)⟩

paradiferentes sitios en la red. Solo para el spin central, la funcion de correlacionaquı mostrada tiene oscilaciones mas amplias, comparada con el valor prome-dio de la funcion de correlacion sobre todos los sitios de la red. Es importanteanotar que

Szj (0)Sz

j (t)⟩

promediado sobre todos los sitios coincide casi exac-tamente con la funcion de correlacion a dos tiempos, correspondiente al casoen el que no hay campo local δh = 0. Es decir, el promedio de la funcion

de correlacion⟨

Sαj (0)Sβ

j (t)⟩

es practicamente insensible al valor del campo

local, desde δh = 0 hasta δh = 1. Por lo tanto, el campo local no afecta elpromedio de esta funcion de correlacion por lo cual se deduce que el campolocal no aumenta globalmente los efectos de decoherencia en el sistema. Paraun campo global por encima del campo crıtico, no hay efectos globales del

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.12

tiempo

Cj,j+1

h=2, δh=0.2

h=2, δh=0.5

h=2 δh=1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo

Cj,j+1

j=N/2+1

h=2, δh=0.5

Figura 5.8: Evolucion de la concurrencia para dos parejas de spins primerosvecinos. Campo global h = 2.

campo local en esta funcion de correlacion.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.15

−0.1

−0.05

tiempo

h=0.5, δ h =0.5.

j=1,100

j=25, 75

j=45,55

j=48,52

j=49,51

Promedio sobre j

Figura 5.9:⟨

Szj (0)Sz

j (t)⟩

para diferentes sitios en la red con h = 0,5 y δh =0,5. El campo local se aplica en el spin central j = N/2.

En conclusion, hemos demostrado que causa de las interacciones en la ca-dena de spins, el control local demuestra tener efectos globales. Tanto el casoestatico como el dinamico, hemos se encontrado resultados que nos llamanla atencion como que el enredamiento entre algunos sitios puede aumentar odisminuir, dependiendo de la fase cuantica en la cual se encuentra el sistema.

Capıtulo 6

Conclusiones y Perspectivas

El presente trabajo se centro en hallar funciones de correlacion bajo dis-tintas condiciones y se revisaron diferentes tecnicas para obtenerlas en el mar-co del modelo de Ising transversal. Se calcularon funciones de correlacion (almismo tiempo y a tiempos distintos) para el caso de un campo global estaticoy un campo global dependiente del tiempo. Se aplico la metodologıa desar-rollada en los anteriorres caos, para encontrar las funciones de correlacionestaticas y dinamicas en el caso de un campo de control local. Sin embar-go, la tecnica empleada tiene ciertas limitaciones ya que, aunque sirve parahallar precisamente las funciones de correlacion longitudinales con respectoal campo aplicado, es complicado hallar algunas magnitudes transversalescomo por ejemplo la magnetizacion en x, 〈σx〉, ya que tras una transforma-da de Jordan-Wigner queda un numero impar de operadores fermionicos yla expresion para evaluar no queda en terminos locales. Con la metodologıadesarrollada en este trabajo, esa magnetizacion se puede obtener, y superarese inconveniente, calculando la funcion de correlacion 〈σx

0σxR〉 y tomando la

raız cuadrada en el lımite cuando R tiende a infinito.

Nos guiamos por el comportamiento de las funciones de correlacion paradeterminar que tipo de control se estaba logrando y que efectos tenıa sobre elsistema el parametro de control. Cada funcion de correlacion nos da informa-cion acerca de un tipo de interaccion presente en el sistema, y estudiandolasen conjunto es posible construir una imagen de lo que ocurre en el mode-lo. En el ya muy estudiado caso de campo global estatico, es facil apreciarde las funciones de correlacion que el valor del campo magnetico aplicado h

CAPITULO 6. CONCLUSIONES79

determina la interaccion que domina, y en que fase cuantica se encuentra elsistema. Extendimos este razonamiento al caso de campos globales depen-dientes del tiempo. Se realizaron una serie de variaciones en el campo quedieran indicios de que le ocurrıa al sistema cuando el cambio en el campollevaba el sistema de una fase cuantica a la otra, y que tan importante era larapidez con la que esta transicion se realizaba.

Lo primero que se hizo evidente fue que la condicion inicial en la cual seencuentra preparado el sistema cuando se comienza la evolucion, es trascen-dental en el comportamiento que este va a seguir. No es lo mismo comenzarcon el estado fundamental que corresponde a un campo magnetico grande(fase paramagnetica) e ir apagando el campo hasta dejarlo en cero (fase fer-romagnetica), que comenzar con el estado fundamental correspondiente acampo cero y aumentar el campo hasta llevarlo a un valor de h mayor alcampo crıtico donde se produce la transicion de fase cuantica. Estas diferen-cias se comprobaron al someter al sistema a un campo magnetico escalonadoque estando inicialmente en un valor h = a cambia subitamente a un nuevovalor h = b, y se comparo con la accion contraria, tener un campo h = b quecambia a h = a, donde a y b se encontraban por encima y por debajo del cam-po crıtico. En segundo lugar se verifico que la rapidez con la que se realiza latransicion tiene repercusiones en las correlaciones. Este hecho se comprobo enel caso cuando el campo magnetico varıa de acuerdo a una funcion exponen-cial, donde se usaron diferentes valores de la pendiente (K) que determinanla rapidez de cambio del campo. Los resultados obtendidos muestran que,si la transicion se realiza muy lentamente (K << 1), el comportamientode las correlaciones es muy similar al comportamiento encontrado en el casoestatico. Si el campo exponencial crece rapidamente (K >> 1) este campo seasemeja al campo escalonado, y las correlaciones del sistema son diferentes aaquellas correspondientes al caso estatico. Por ejemplo, como se encontro enalgunos casos de campos escalonados (campo escalonado descendente), cier-tas funciones de correlacion no mantienen su valor de equilibrio sino que semantienen oscilando en el tiempo.

Para una variacion lineal en el parametro de control, la rapidez en elcambio incide sensiblemente en el estado del sistema al final de la variacion,verificando resultados reportados anteriormente [5, 6, 7, 8, 9, 10], en especialel denominado mecanismo de Kibble-Zurek que caracteriza la densidad deregiones desordenadas del sistema al final de una transicion no-adiabatica.

CAPITULO 6. CONCLUSIONES80

Adicionalmente, para este tipo de variacion del campo se caracterizo el com-portamiento de la concurrencia en funcion del inverso de la rapidez. Se en-contro un comportamiento oscilatorio cuyo origen es cuestion aun de debatey estudio.

Como uno de los resultados mas novedosos que se presentan en este tra-bajo se debe mencionar aquel correspondiente al control de las correlacionesy el enredamiento entre 2 spins cuando el parametro de control tiene unavariacion tan simple, como apagar y encender en forma escalonada el campomagnetico. Se encontro un criterio preciso de variar el tiempo en el cual elcampo permanece apagado, para destruir o preservar el enredamiento en lasdistintas fases del sistema.

En situaciones donde se ejerce un control local sobre el sistema, ya queel campo magnetico toma un valor distinto a su valor global solo en unaparte reducida del sistema (un unico spin), se reportaron tambien resultadosnovedosos. A causa de las interacciones en la cadena de spins, el control lo-cal demostro tener efectos globales, como se pudo observar en las funcionesde correlacion de spins cercanos al spin al cual se aplica la perturbacion lo-cal. Se estudiaron tanto el caso estatico como el dinamico para el campolocal y en ambos casos hemos reportado resultados interesantes como que elenredamiento entre algunos sitios puede aumentar o disminuir, dependiendode la fase cuantica en la cual se encuentra el sistema.

La capacidad realizar control cuantico sobre sistemas de materia conden-sada es una tarea exigente no solo a nivel experimental sino tambien a nivelteorico. Las simplificaciones en el modelo adoptado para este trabajo reducenlas altas exigencias que demanda el problema, sin eliminar su complejidad nicaracterısticas fundamentales, y permitieron desarrollar una estrategia paracaracterizar el control que se estaba realizando sobre el sistema, y estudiar ladinamica del problema. A pesar de ser un modelo con simplificaciones, puedeayudar a enfrentar situaciones con sistemas de muchas partıculas interactu-antes, que ademas presenten una transicion de fase. Se reportan criteriosespecıficos de control global y local tanto en el caso estatico como en el ca-so dinamico. Estos criterios pueden contribuir en un futuro experimento alograr controlar un recurso tan importante como lo es el enredamiento, conrepercusiones importantes en areas como la computacion cuantica.

Apendices

A. Diagonalizacion del hamiltoniano

B. Funciones de Correlacion

C. Funciones de Correlacion a tiempos distintos

D. Evolucion Temporal de la Matriz Densidad

E. Evolucion Temporal de el vector de estado en presencia de

campos cuadrados

F. Diagonalizacion Numerica del hamiltoniano

G. Funciones de Correlacion con Campo Local

Apendice A

Diagonalizacion del

hamiltoniano

Si se tiene un sistema de dos niveles, se va a identificar con el estado |0〉el estado vacıo y con |1〉, el estado ocupado. Esto es

|0〉 =

|1〉 =

Note que

σz |1〉 = − |1〉σz |0〉 = |0〉

Los operadores c†i y ci son los operadores fermionicos de creacion y de-struccion. Para un sistema de dos niveles se definen a partir de:

c† |0〉 = |1〉c† |1〉 = 0

c |1〉 = |0〉c |0〉 = 0

Entonces:

APENDICE A. DIAGONALIZACION DEL HAMILTONIANO83

2c†c − 1)

|0〉 = − |0〉(

2c†c − 1)

|1〉 = |1〉

Por lo tanto se puede afirmar que

−σzi = 2c†ici − 1

En la representacion que se esta empleando, el operador c es:

c11 c12

c21 c22

Actuando sobre cada uno de los vectores de la base,

c11 c12

c21 c22

De lo cual se obtiene c11 = 0, c22 = 0. Al acutar sobre el otro vector base,

De donde se concluye que c12 = 1, c22 = 0 y,

0 10 0

De la misma forma, tendremos

c† =

c†11 c†12c†21 c†22

Entonces, c†12 = c22 = 0.

c†11 0

c†21 0

Con lo cual se concluye que c†11 = 0, c†21 = 1 y,

c† =

0 01 0

Por otro lado se definen los operadores para subir y bajar un spin comoσ† y σ−

σ† = (σx + iσy) /2 (A.1)

σ− = (σx − iσy) /2 (A.2)

Recordando las matrices de Pauli,

0 11 0

0 −ii 0

1 00 −1

es facil ver que:

σ− |0〉 = |1〉σ− |1〉 = 0

σ† |0〉 = 0

σ† |1〉 = |0〉

Por lo tanto, los operadores σ† y σ− se pueden identificar con los oper-adores fermionicos c† y c respectivamente.

σ† → c

σ− → c†

Sin embargo esta analogıa solo funciona para un sitio. Esto no se puedeextender a varios sitios porque los operadores femionicos en distinitos sitiosanticonmutan, mientras que los operadores de spin conmutan. Para entender

mejor este inconveniente, considere el caso de dos spins. Haciendo la analogıa,los operadores ci y c†i se definirıan:

c†1 = σ−1 ⊗ 11

c1 = σ†1 ⊗ 11

c†2 = 11 ⊗ σ−2

c−2 = 11 ⊗ σ†2

Recordemos que los operadores ci son fermionicos y por lo tanto deben

cumplir las relaciones de anticonmutacion{

ci, c†j

= δij. Tomando, por ejem-

plo, i = 1, j = 2 vemos que:

c1, c†2

= c1c†2 + c†2c1

σ†1 ⊗ 11

11 ⊗ σ−2

σ†1 ⊗ 11

= 2σ†1 ⊗ σ−

2 6= 0

Dado que no se estan cumpliendo las condiciones necesarias, es necesariomodificar la definicion de los operadores ci y c†i . Una opcion puede ser

c†1 = σ−2 ⊗ 11

c1 = σ†1 ⊗ 11

c†2 = σz1 ⊗ σ−

c−2 = σzz ⊗ σ†

Verificando las relaciones de anticonmutacion,

c1, c†2

= c1c†2 + c†2c1

σ+1 , σz

⊗ σ−2

Las realciones de anticonmutacion sı se cumplen bajo esta definicion, ya que{

σ+1 , σz

Por lo tanto, para poder aplicar la transformada a mas de un sitio seredefinen los operadores ci y c†i como

ci =∏

σ†i (A.3)

c†i =∏

σ−i

que es lo mismo que

σ†i =

1 − 2c†ici

ci (A.4)

σ−i =

1 − 2c†ici

Esta redefinicion que permite que se sigan cumpliendo las reglas de anti-conmutacion y de conmutacion adecuadamente, se conoce como la transfor-macion de Jordan-Wigner.

Se puede ver, por ejemplo, que con las definiciones (A.3) y(A.4) se cumplenlas relaciones:

ci, c†j

= δij

{ci, cj} = 0{

c†i , c†j

σ†i , σ

= δijσzi

σzi , σ

= ±2δijσ±i

La transformacion de Jordan Wigner definida como:

σzn = 2c†ncn − 1 (A.5)

σxn =

cn + c†n)

1 − 2c†mcm

Es necesario saber como se transforma el termino σxi σx

i+1. Sin perdida degeneralidad suponga m < i:

σxi σx

1 − 2c†jcj

ci +∏

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

ci+1 +∏

1 − 2c†mcm

c†i+1

σxi σx

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

c†i+1

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

c†i+1

σxi σx

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

1 − 2c†ici

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

1 − 2c†ici

c†i+1

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

1 − 2c†ici

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

1 − 2c†ici

c†i+1

σxi σx

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

1 − 2c†ici

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

1 − 2c†ici

c†i+1

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

1 − 2c†ici

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

1 − 2c†ici

c†i+1

En este punto j = m y por ende[

1 − 2c†jcj

1 − 2c†mcm

σxi σx

i+1 = ci

1 − 2c†ici

ci+1 + ci

1 − 2c†ici

c†i+1 + c†i

1 − 2c†ici

ci+1 +

+c†i

1 − 2c†ici

c†i+1

σxi σx

i+1 =(

ci − 2cic†ici

ci+1 + cic†i+1 − 2cic

†icic

†i+1 + c†ici+1 − 2c†ic

†icici+1 +

+c†ic†i+1 − 2c†ic

†icic

†i+1

Como cici = 0 y c†ic†i = 0, los terminos diferentes de cero son:

σxi σx

i+1 = c†ici+1 + c†i+1ci + c†ic†i+1 + ci+1ci (A.7)

Tomando J=1 y reemplazando (A.5) y (A.7) en el hamiltoniano originaltenemos

H = −N

c†jc†j+1 + c†jcj+1 + c†j+1cj + cj+1cj − 2hc†jcj + h

Con el fin de diagonalizar el hamiltoniano, se realiza ahora una transfor-mada de Fourier definida por

c†j =eiπ/4

e−ij2πp/N

a†p (A.9)

cj =e−iπ/4

eij2πp/N

ap (A.10)

para p = 12, 3

2, . . . , N−1

Note que en la definicion de la transformada de Fourier se tiene en cuentael hecho de que se estan incluyendo condiciones de frontera antiperiodicas :cN+1 = −c1 puesto que se va a trabajar con un numero par de excitaciones.

Aplicando esta transformada a cada termino del hamiltoniano

c†jcj =∑

a†pap (A.11)

c†jcj+1 =1

e−ijφpa†p

ei(j+1)φmam

c†jcj+1 =1

a†pameiφm

e−ijφpeijφm

c†jcj+1 =1

a†pameiφmδp,m

c†jcj+1 =

p=N/2∑

p=−N/2

a†pape

iφp (A.12)

c†jc†j+1 =

eiπ/2

a†pa

†me−iφm

e−ijφpe−ijφm

c†jc†j+1 =

a†pa

†me−iφmδp,−m

c†jc†j+1 = i

a†pa

†−pe

iφp = i∑

a†−pa

−iφp

c†jc†j+1 =

a†pa

†−pe

iφp + a†−pa

−iφp

c†jc†j+1 =

a†pa

†−pe

iφp − a†pa

†−pe

−iφp

c†jc†j+1 = −

p=N/2∑

p=−N/2

sin(φp)a†pa

†−p (A.13)

Resumiendo, cada termino del hamiltoniano despues de la transformadade Fourier es:

c†jc†j+1 = − sin(φp)a

†−p (A.14)

cj+1cj = − sin(φp)a−pap (A.15)

c†jcj+1 = eiφpa†pap (A.16)

c†j+1cj = e−iφpa†pap (A.17)

Reemplazando en el hamiltoniano

H = −p=N/2∑

p=−N/2

− sin φpa†pa

†−p − sin φpa−pap + eiφpa†

pap + e−iφpa†pap

−2ha†pap + h

p=N/2∑

p=−N/2

sin φp

a†pa

†−p + a−pap

− 2 (cos φp − h) a†pap − h

(A.18)

H =∑

sin φpa†pa

†−p − sin φpa

†−pa

†p + sin φpa−pap − sin φpapa−p

−2 (cos φp − h) a†pap − 2 (cos φp − h) a†

−pa−p − 2h]

H =∑

2 sin(φp)(a†pa

†−p + a−pap) − 2 (cos(φp) − h) (a†

pap + a†−pa−p) − 2h

(A.19)

La transformada de Bogoliubov se define como:

ap = upηp + vpη†−p (A.20)

donde up, vp ∈ R y u−p = up y v−p = −vp

Por lo tanto:

a−p = upη−p − vpη†p (A.21)

a†p = upη

†p + vpη−p (A.22)

a†−p = upη

†−p − vpηp (A.23)

Utilizando las ecuaciones (A.20, A.21, A.22, A.23) se va a hallar cada unode los terminos del Hamiltoniano (A.18):

a†pap = u2

pη†pηp + v2

pη−pη†−p + upvpη

†pη

†−p + upvpη−pηp

a†pa

†−p = −upvpη

†pηp + upvpη−pη

†−p + u2

pη†pη

†−p − v2

pη−pηp

a−pap = −upvpη†pηp + upvpη−pη

†−p − v2

pη†pη

†−p + u2

pη−pηp

Reemplazando estas expresiones en el Hamiltoniano (A.18):

HI = J∑

η†pηp

2[h − cos(φp)]|up|2 − 2 sin(φp)upvp

η−pη†−p

2[h − cos(φp)]|vp|2 + 2 sin(φp)upvp

η†pη

†−p

2[h − cos(φp)]upvp + sin(φp)(|up|2 − |vp|2))

η−pηp

2[h − cos(φp)]upvp + sin(φp)(|up|2 − |vp|2))

Los terminos que acompanan a γ−kγk y a γ†kγ

†−k se deben ir a cero, para

esto se necesita que:

2[h − cos(φp)]upvp + sin(φp)(|up|2 − |vp|2) = 0

Tomando la siguiente sustitucion sugerida en ([13])

up = cos (θp/2) (A.24)

vp = sin (θp/2) (A.25)

y teniendo en cuenta algunas relaciones trigonometicas:

sin(θk) = 2 sin(θk/2) cos(θk/2)

cos(θk) = 2 cos2(θk/2) − 1

cos(θk) = 1 − 2 sin2(θk/2)

2[h − cos(φp)] cos (θp/2) sin (θp/2) = sin(φp)(2 sin2 (θp/2) − 1)

(h − cos(φp)) sin (θp) = − sin(φp) cos (θp)

tan (θp) =sin(φp)

h − cos(φp)

En ese caso, el hamiltoniano se reducirıa a:

HI = J∑

η†pηp

2[h − cos(φp)]|up|2 − 2 sin(φp)upvp

η−pη†−p

2[h − cos(φp)]|vp|2 + 2 sin(φp)upvp

Como la sumatoria es sobre valores de p positivos y negativos entonces sepuede cambiar el ındice −p por p, y usando las reglas de anticonmutacion,

HI = J∑

η†pηp

2[−h − cos(φp)]u2p − 2 sin(φp)upvp

ηpη†p

2[h − cos(φp)]v2p + 2 sin(φp)upvp

HI = J∑

η†pηp

2[h − cos(φp)]u2p − 2 sin(φp)upvp

1 − ηp†ηk

2[h − cos(φp)]v2k + 2 sin(φp)upvp

HI = J∑

η†pηp

2[h − cos(φp)](

u2p − v2

− 4 sin(φp)upvp

2[h − cos(φp)]v2p + 2 sin(φp)upvp − h

HI = J∑

η†pηp {2[h − cos(φp)] cos(θp) − 2 sin(ka) sin(θp)} +

{[h − cos(φp)](1 − cos(θp)) + sin(φp) sin(θp) − h}HI = J

η†pηp {2[h − cos(φp)] cos(θp) − 2 sin(φp) sin(θk)} +

{[h − cos(φp)] − [h − cos(φp)] cos(θp) + sin(φp) sin(θk) − h}HI = J

η†pηp {2[h − cos(φp)] cos(θk) − 2 sin(φp) sin(θk)} +

{−[h − cos(φp)] cos(θp) + sin(φp) sin(θp)} −∑

cos(φp)

HI = J∑

{2[h − cos(φp)] cos(θp) − 2 sin(θp) sin(θp)}{

η†pηp −

−∑

cos(φp)

Usando las relaciones que se encontraron para los angulos:

cos(θk) =h − cos(φp)

1 − 2h cos(φp) + h2(A.26)

sin(θk) =sin(φp)

1 − 2h cos(φp) + h2

2[h − cos(φp)] cos(θk) − 2 sin(φp) sin(θk) =

=2[h − cos(φp)][h − cos(φp)] − 2 sin(φp) sin(φp)

1 − 2h cos(φp) + h2

= −21 − 2h cos(φp) + h2

1 − 2h cos(φp) + h2

= ±2√

1 − 2h cos(φp) + h2

Entonces

Λp = ±2√

1 − 2h cos(φp) + h2 (A.27)

HI = J∑

η†pηp −

−∑

cos(φp)

Como∑

p cos(φp) = 0, se tiene:

HI = J∑

η†pγp −

(A.28)

Finalmente se ha llegado a la expresion en la cual se diagonalizo el hamil-toniano. Los valores propios de energıa vienen dados por (3.3).

Apendice B

Funciones de Correlacion

B.0.3. Correlacion 〈Ψ0 |Sxl Sz

m|Ψ0〉

a†i = Sx

i + iSyi (B.1)

ai = Sxi − iSy

i (B.2)

a†l + al

Szm = a†

mam − 1

2(B.4)

los operadores ai bajo la transformada de Jordan Wigner, donde los oper-adores ci son operadores fermionicos que cumplen reglas de anticonmutacion,

ai = exp

−iπ

i−1∑

c†jcj

ci (B.5)

a†i = c†i exp

i−1∑

c†jcj

APENDICE B. FUNCIONES DE CORRELACION96

Szm se puede reescribir como:

a†m + am

a†m − am

= −1

−a†mam + ama†

= a†mam − 1

En terminos de los operadores ci, Szm se convierte en:

Szm = −1

a†m + am

a†m − am

Szm = −1

c†m exp

iπm−1∑

c†jcj

−iπm−1∑

c†jcj

× (B.9)

c†m exp

iπm−1∑

c†jcj

− exp

−iπm−1∑

c†jcj

y, como

iπc†jcj

= exp(

−iπc†jcj

Szm = −1

c†m + cm

c†m − cm

m−1∑

c†jcj

Para Sxl

Sxl = −1

c†l exp

iπl−1∑

c†jcj

−iπl−1∑

c†jcj

Como mi interes original es 〈Sxl Sz

〈Sxl Sz

m〉 =

c†l exp

l−1∑

c†jcj

−iπ

l−1∑

c†jcj

c†m + cm

c†m − cm

iπm−1∑

c†jcj

〈Sxl Sz

m〉 =

c†l exp

l−1∑

c†jcj

c†m + cm

c†m − cm

m−1∑

c†jcj

−iπl−1∑

c†jcj

c†m + cm

c†m − cm

iπm−1∑

c†jcj

〈Sxl Sz

m〉 =

c†l exp

l−1∑

c†jcj

c†m + cm

c†m − cm

l−1∑

c†jcj

· exp

iπm−1∑

c†jcj

−iπl−1∑

c†jcj

c†m + cm

c†m − cm

iπl−1∑

c†jcj

iπm−1∑

c†jcj

〈Sxl Sz

m〉 =

c†l(

c†m + cm

c†m − cm

iπm−1∑

c†jcj

c†m + cm

c†m − cm

iπm−1∑

c†jcj

〈Sxl Sz

m〉 =

c†l(

c†m + cm

c†m − cm

iπc†l cl

m−1∑

c†jcj

c†m + cm

c†m − cm

iπc†l cl

m−1∑

c†jcj

〈Sxl Sz

m〉 =

c†l + cl

iπc†l cl

m−1∑

c†jcj

c†m + cm

c†m − cm

exp(iπc†ici) =(

c†i + ci

c†i − ci

(B.10)

〈Sxl Sz

m〉 =

c†l − cl

m−1∑

c†jcj

c†m + cm

c†m − cm

Definiendo

Ai = c†i + ci

Bi = c†i − ci

〈Sxl Sz

m〉 =1

4〈Ψ0 |BlAl+1Bl+1...Am−1Bm−1AmBm|Ψ0〉 (B.11)

Pero como hay un numero impar de operadores en (B.11) entonces el teore-ma de Wick da que el valor esperado es cero, lo cual coincide con lo que seesperaba de acuerdo a la estructura de la matriz densidad reducida.

Un procedimiento similar nos va a llevar a concluir que la correlacion〈Sy

l Szl 〉 = 0. La matriz de densidad reducida, teniendo en cuenta, las expre-

siones (3.6,3.7), depende de las correlaciones tipo 〈SilS

im〉 y de 〈Sz〉. Estas

correlaciones seran las que se desarrollaran a continuacion.

B.0.4. Correlacion 〈Sxl Sx

m〉Haciendo referencia a (B.3):

〈Sxl Sx

m〉 =1

(a†l + al)(a

†m + am)

Realizando la transformada de Jordan Wigner utilizando (B.5),

〈Sxl Sx

m〉 =1

(c†l + cl)exp

m−1∑

c†l cl

(c†m + cm)

usando el mismo argumento anterior que

exp(iπc†ici) =(

c†i + ci

c†i − ci

(B.12)

〈Sxl Sx

m〉 =1

4〈BlAl+1Bl+1 · · ·Am−1Bm−1Am〉

Tomando m > l, se puede considerar que m = l + R. Este valor esperadose puede reexpresar como:

〈Sx0 Sx

R〉 = 14

G−1 G−2 . . . G−R

G0 . . . . . . G−R+1...

...GR−2 . . . . . . G−1

(B.13)

Glm = Gm−l = 〈BlAm〉 (B.14)

c†l c†m + c†l cm − clc

†m − clcm

Para expresar esto de una manera mas clara [15] se utiliza nuevamente latransformada de Fourier definida en (A.9).

c†l c†m =

p=N/2∑

p=−N/2

e−ilπp/Na†p

q=N/2∑

q=−N/2

e−imπq/Na†q

p,q,l,m

e−2πi

N(pl+qm)a†

pa†q

con m = l + R

c†l c†m =

e−2πi

N(pl+q(l+Rq))a†

pa†q

sea Rq = q · R y p = −q

c†l c†m =

p=N/2∑

p=−N/2

e2πiRp

N a†pa

†−p

e2πiRp

N a†pa

†−p +

e−2πiRp

N a†−pa

e2πiRp

N a†pa

†−p −

e−2πiRp

N a†pa

†−p

c†l c†m =

sin(2πpR

N)a†

pa†−p

De la misma forma:

clcm =−i

p=N/2∑

p=−N/2

eil2πp/Nap1

q=N/2∑

q=−N/2

eim2πq/Naq

p,q,l,m

e2πiN

(pl+qm)apaq

e2πiN

(pl+q(l+Rq))apaq

p=N/2∑

p=−N/2

e−2πiRp

N apa−p

e−2πiRp

N apa−p +−i

e2πiRp

N a−pap

−e−2πiRp

N a−pap +−i

e2πiRp

N a−pap

clcm =2

sin(2πpR

N)a−pap

Por lo tanto

c†l c†m − clcm

sin(2πpR

a†pa

†−p + a−pap

(B.15)

a†pa

†−p + a−pap =

0 11 0

a†pa

†−p − a−pap

= Tr[(a†pa

†−p − a−pap)ρ(t)]/Tr[ρ(0)] =

ρ12 + ρ21

Tr[ρ(0)]

De una manera similar se puede hallar⟨

c†l cm − clc†m

c†l cm =1

p=N/2∑

p=−N/2

e−il2πp/Na†p

q=N/2∑

q=−N/2

eim2πq/Naq

p,q,l,m

e−2πi

N(pl−qm)a†

e−2πi

N(pl−q(l+Rq))a†

con p = q;

p=N/2∑

p=−N/2

e2πiRp

N a†pap

c†l cm =1

e2πiRp

N a†pap + e

−2πiRp

N a†−pa−p

clc†m =

p=N/2∑

p=−N/2

eil2πp/Nap

q=N/2∑

q=−N/2

e−im2πq/Na†q

p,q,l,m

e2πiN

(pl−qm)apa†q

e−2πi

N(pl−ql−qR)apa

p=N/2∑

p=−N/2

e−2πiRp

N apa†p

e−2πiRp

N apa†p + e

2πiRp

N a−pa†−p

e−2πiRp

N (1 − a†pap) + e

2πiRp

N (1 − a†−pa−p)

clc†m =

e−2πiRp

N − e−2πiRp

N a†pap + e

2πiRp

N − e2πiRp

N a†−pa−p

c†l cm − clc†m

cos(2πpR

a†pap + a†

−pa−p − 1⟩

(B.16)

Finalmente, de (B.14) llegamos a una expresion para la funcion de cor-relacion GR [15]:

N/2∑

2 cos (2πpR/N)⟨

a†pap + a†

−pa−p − 1⟩

− 2 sin (2πpR/N)⟨

a†pa

†−p + a−pap

(B.17)

Los terminos⟨

a†pap + a†

−pa−p − 1⟩

a†pa

†−p + a−pap

se hallan como el

valor esperado de cualquier operador. Por ejemplo,

a†pap + a†

−pa−p − 1⟩

a†pap + a†

−pa−p − 1)]

/Tr[ρp]

donde la cantidad a†pap + a†

−pa−p − 1, y ρp deben estar expresados en lamisma base en el espacio de excitaciones. En el Apendice D se explica estomas en detalle.

Utilizando este resultado para GR en la expresion general para la funcionde correlacion 〈Sx

l Sym〉 (3.10), se halla la correlacion buscada.

En el lımite termodinamico [14, 15, 31] calculan expıcitamente la expre-sion para GR que, en nuestro caso es:

∫ π

cos(φR)√

1 + h2 − 2h cos(φ)− 1

∫ π

cos(φ(R + 1))√

1 + h2 − 2h cos(φ)(B.18)

Apendice C

Funciones de Correlacion a

tiempos Distintos

Con el fin de entender claramente el procedimiento que se va a emplearcon lo que se ha hecho previamente, incialmente se hallara nuevamente elvalor esperado de la magnetizacion. El procedimiento y desarrollo que sepresenta a continuacion fue realizado por Niemeijer [19].

Szj = (a†

jaj −1

2(c†j + cj)(cj − c†j)

Suponga que la base de operadores ηk diagonaliza al hamiltoniano, H =∑

k Λkη†kηk. Los operadores ci se pueden expresar en terminos de los oper-

adores η con un cambio de base,

ci + c†i =N

Φki(ηk + η†k) (C.1)

ci − c†i =N

Φki(ηk − η†k). (C.2)

ΦmcΨnc(η†m + ηm)(ηm − η†

m) (C.3)

APENDICE C. FUNCIONES DE CORRELACION A TIEMPOSDISTINTOS

C.0.5. Valor esperado de la magnetizacion

El Hamiltoniano se puede reducir a:∑N

j=1 Λjη†jη,ya que el termino que

no se esta teniendo en cuenta en (3.2) es solo una constante.

El valor esperado de la magnetizacion es

< M z >= (C.4)

=Tr[e−βHM z]

Tr[e−βH ]

−βN∑

Λjη†jη

ΦmlΨnl(η†m + ηm)(ηm − η†

−βN∑

Λjη†jη

Se va a verificar que

Tr[e−βH(η†m + ηm)(ηn − η†

Tr[e−βH ]= − tgh

2βΛmδm,n

El denominador:

Tr[e−β∑N

j=1Λjη†

jη] = Tr[∏

e−βΛjη†jη]

{nk} |∏

e−βΛjNj | {nk}⟩

donde {nk} son todas las configuraciones posibles y Nj es el operador numeroque cuenta la cantidad de fermiones en el modo j. Esto es equivalente a :

Tr[e−βH ] =∏

nk|e−βΛjNj |nk

El numerador:

Tr[e−β∑N

j=1Λjη†

j ηj(η†m + ηm)(ηn − η†

= Tr[∏

e−βΛjη†j η(η†

m + ηm)(ηn − η†n)]

{nj} |∏

e−βΛjη†jη(η†

m + ηm)(ηn − η†n)| {nj}

nj|e−βΛjη†jη(η†

m + ηm)(ηn − η†n)|nj

Tr[e−βH ]=

nk|e−βΛjη†kηk(η†

m + ηm)(ηn − η†n)|nk

nk|e−βΛjNj |nk

nk|e−βΛkNk(η†mηn − η†

mη†n + ηmηn − ηmη†

nk|e−βΛkNk |nk

Los dos operadores seguidos de creacion o destruccion se hacen cero con-siderando que estamos trabajando con partıculas fermionicas.

∑1nk=0

nk|e−βΛkNk(η†mηn − ηmη†

∑1nk=0

nk|e−βΛkNk |nk

Si k 6= m y k 6= m, los terminos en el numerador se cancelan con losdenominador. Los terminos que sobreviven son si k = m o k = n,

Tr[e−βH ]=

〈nm|e−βΛmNm(η†mηn − ηmη†

n)|nm〉1

〈nn|e−βΛnNn(η†mηn − ηmη†

n)|nn〉1

〈nm|e−βΛkNk |nm〉1

〈nn|e−βΛkNk |nn〉

Pero, los unicos terminos distintos de cero se dan cuando δm,n = 1, luego,usando las reglas de anticonmutacion:

∑1nm=0

nm|e−βΛmNm(2η†mηm − δm,n)|nm

∑1nm=0

nm|e−βΛmNm|nm

0|e−βΛmNm(2η†mηm − δm,n)|0

1|e−βΛmNm(2η†mηm − δm,n)|1

0|e−βΛmNm|0⟩

1|e−βΛmNm|1⟩

=−δm,n + 2e−βΛm − e−βΛmδm,n

1 + e−βΛm

Tr[e−βH ]= − tgh

2βΛm

δm,n (C.5)

Por lo tanto, volviendo a (C.5)

< M z >=

= − 1

m,n,l=1

ΦmlΨnl tgh

2βΛm

= − 1

cos (lφm − λm − π/4) cos (lφm + λm − π/4) tgh

2βΛm

= − 1

2βΛm

) N∑

sin(2lφm) +N

cos(2λm) tgh

2βΛm

= − 1

2βΛm

sin ((N + 1)φm)sin (Nφm)

sin (φm)+

+N cos(2λm) tgh

2βΛm

= − 1

∫ 2π

2βΛm

sin ((N + 1)φm)sin (Nφm)

sin (φm)+

+N cos(2λm) tgh

2βΛm

donde se uso:

∫ 2π

La primera integral es cero ya que es una funcion impar de φ,

< M z > = − 1

∫ 2π

cos(2λ(φ)) tgh

2βΛm

< M z > = − 1

∫ π

arctan

sin φ

h − cos φ

2βΛm

con β → ∞

< M z >= − 1

∫ π

h − cos φ

1 − 2h cos(φ) + h2dφ (C.6)

lo cual coincide con la expresion que se habıa encontrado antes con la funcionGR (3.13), recordando que 〈Mz〉 = G0

C.0.6. Correlaciones a tiempos distintos

Ahora, examinaremos las funciones de correlacion dependientes del tiem-po para las componentes z de spins en diferentes sitios: l y l+R. Esta funcionde correlacion se define

ρzl,l+R(β, t) = < Sz

l Szl+R(t) >

< Szl S

zl+R >

Tr[e−βHSzl e

iHtSzl+Re−iHt]

Tr[e−βH ]

El segundo paso se puede hacer porque el Hamiltoniano es invariante bajotraslaciones.Usando (C.3)

ρzl,l+R(β, t) = (C.7)

l,p,q,r,s=1

φplψqlφr,l+Rψs,l+R · 1

Tr[e−βH ]· Tr

e−βH(η†p + ηp)(ηq − η†

·eiHt(η†r + ηr)(ηs − η†

s)Szl+Re−iHt

Se mostrara que:

q)eiHt(η†

r + ηr)(ηs − η†s)e

−iHt]

Tr[e−βH ]= (C.8)

2βΛp

2βΛr

δpqδrs + f+(φp)f+(φq)δprδqa −

−f−(φp)f−(φp)δpsδqr (C.9)

f+(φ) = cos(Λ(φ)t) + i sin(Λ(φ)) tgh

(C.10)

f−(φ) = i sin(Λ(φ)t) + cos(Λ(φ)) tgh

(C.11)

En (C.8), ocurre que solo en tres casos esta traza es diferente de cero,

1. p = q y r = s

2. p = r y q = s

3. p = s y q = r

Considerando el primer caso: δp,q, δr,s

Tr[e−β∑N

j=1Λjη†

jηj(2η†pηp − δp,q)e

iHt(2η†rηr − δr,s)e

−iHt]

Tr[e−βH ]=

2βΛp

2βΛq

δp,q, δr,s (C.12)

Para el segundo caso, δp,r, δq,s

q)eiHt(η†

−iHt]

Tr[e−βH ]=

= −e−βΛpe−iΛpteiΛqt − e−βΛpe−βΛqe−iΛpteiΛqt

−eiΛpteiΛqt − e−βΛqte−iΛqteiΛpt

= − cos Λpt cos Λqt[e−βΛp + e−βΛpe−βΛq + 1 + e−βΛq ] −

−i cos Λpt sin Λqt[e−βΛp − e−βΛpe−βΛq + 1 + e−βΛq ] −

−i sin Λpt cos Λqt[−e−βΛp − e−βΛpe−βΛq + 1 + e−βΛq ] −− sin Λpt sin Λqt[e

−βΛp − e−βΛpe−βΛq − 1 + e−βΛq ]

= cos Λpt cos Λqt + i cos Λpt sin Λqt tgh

2βΛq

+ i sin Λpt cos Λqt ·

· tgh

2βΛp

− sin Λpt sin Λqt tgh

2βΛp

2βΛq

= f+(φp)f+(φq)δp,r, δq,s

En el tercer caso, δp,s, δq,r, los terminos distintos de cero son:⟨

η†pηqe

iHtη†qηpe

−iHt⟩

η†pη

iHtηpηpe−iHt

ηpηqeiHtη†

qη†pe

−iHt⟩

ηpη†qe

iHtηqη†pe

−iHt⟩

= −e−βΛpe−iΛpteiΛqt + e−βΛpe−βΛqe−iΛpte−iΛqt + eiΛpteiΛqt

−e−βΛqe−iΛqteiΛpt

= −e−βΛp [cos Λpt cos Λqt + i cos Λpt sin Λqt − i cos Λqt sin Λpt +

+ sin Λpt sin Λqt] + e−βΛpe−βΛq [cos Λpt cos Λqt − i cos Λpt sin Λqt

−i cos Λqt sin Λpt − sin Λpt sin Λqt] + [cos Λpt cos Λqt

+i cos Λpt sin Λqt + i cos Λqt sin Λpt − sin Λpt sin Λqt]

−e−βΛq [cos Λpt cos Λqt − i cos Λpt sin Λqt − i cos Λqt sin Λpt

+ sin Λpt sin Λqt]

Reorganizando los terminos y diviendo por Tr[e−βH ]

− cos Λpt cos Λqt[e−βΛp − e−βΛpe−βΛq − 1 + e−βΛq ]/Tr[e−βH ]

− sin Λpt sin Λqt[e−βΛp + e−βΛpe−βΛq + 1 − e−βΛq ]/Tr[e−βH ]

−i cos Λpt sin Λqt[e−βΛp + e−βΛpe−βΛq − 1 − e−βΛq ]/Tr[e−βH ]

−i sin Λpt cos Λqt[−e−βΛp + e−βΛpe−βΛq − 1 + e−βΛq ]/Tr[e−βH ]

q)eiHt(η†

−iHt]

Tr[e−βH ]= (C.13)

= tgh (βΛp/2) tgh (βΛq/2) cos Λpt cos Λqt − sin Λpt sin Λqt

+i cos Λpt sin Λqt tgh (βΛp/2) + i sin Λpt cos Λqt tgh (βΛq/2)

= f−(φp)f−(φq)δp,s, δq,r

Usando estos resultados en (C.7) y en (C.8) se tiene

ρzl,l+R(β, t) = (C.14)

l,p,q=1

φplψplφq,l+Rψq,l+R tgh

2βΛp

2βΛq

+φplψqlφp,l+Rψq,l+Rf+(φp)f+(φq)δprδqa − φplψqlφq,l+Rψp,l+R ·

·f−(φp)f−(φp)δps (C.15)

Se va hacer un cambio de variable l + R = m, por lo tanto se introduceun delta δm−l,R

δm−l,R =1

eiφk(R+l−m)

φk =2π

Nk (C.16)

con k = 1, ..., N

ρzl,m(β, t) =

l,p,q,m=1

[φplψplφq,mψq,m tgh

2βΛp

2βΛq

+ (C.17)

φplψqlφp,mψq,mf+(φp)f+(φq)δprδqa − φplψqlφq,mψp,m ·

·f−(φp)f−(φp)δps]δm−l,R

l,p,q,k,m=1

eiφk(R+l−m)[φplψplφq,mψq,m tgh

2βΛp

2βΛq

+φplψqlφp,mψq,mf+(φp)f+(φq)δprδqa − φplψqlφq,mψp,mf−(φp)f

−(φp)δps]

l,p,q,k,m=1

eiφkReiφkle−iφkm[φplψplφq,mψq,m tgh

2βΛp

2βΛq

+φplψqlφp,mψq,mf+(φp)f+(φq)δprδqa − φplψqlφq,mψp,mf−(φp)f

−(φp)δps]

= I1 + I2 − I3 (C.18)

Se introducira un nuevo elemento que va a aparecer en varias ocasionescuando se intenta encontrar la funcion de correlacion.

Bij(φk) =N

eilφkΨilΦjl

Usando esta abreviacion,

ρzl,m(β, t) = (C.19)

eiφkR[Bpp(φk)B†qq(φk) tgh

2βΛp

2βΛq

+ (C.20)

Bpq(φk)B†pq(φk)f

+(φp)f+(φq)δprδqa − Bpq(φk)B

†qp(φk)f

−(φp)f−(φp)δps]

Se va a mostrar que

Bij =1

− sin(A)S(φ − φi − φj) + sin(B)S(φ + φi + φj) +(C.21)

+ cos(C)S(φ + φi − φj) + cos(D)S(φ − φi + φj)}

cos(A)S(φ − φi − φj) − cos(B)S(φ + φi + φj) +

+ sin(C)S(φ + φi − φj) + sin(D)S(φ − φi + φj)}

A = −λi + λj +N + 1

2(φ − φi − φj)

B = λi − λj +N + 1

2(φ + φi + φj)

C = λi + λj +N + 1

2(φ + φi − φj)

D = −λi − λj +N + 1

2(φ − φi + φj)

S(φ) =sin N

Bij(φk) =N

eilφkΨilΦjl

cos(lφk) cos(lφi + λi − π/4) cos(lφi − λi − π/4) +

sin(lφk) cos(lφi + λi − π/4) cos(lφi − λi − π/4)

cos(lφk)[

cos(l(φi + φj) + λi − λj − π/2) +

+ cos(l(φi − φj) + λi + λj)]

sin(lφk)[

cos(l(φi − φj) + λi − λj − π/2) +

+ cos(l(φi − φj) + λi + λj)]

Parte real de Bij,

Re(Bij) =

cos(lφk) [sin(l(φi + φj) + λi − λj) + cos(l(φi − φj) + λi + λj)]

sin(l(φk + φi + φj) + λi − λj) − sin(l(φk − φi − φj) − λi + λj)

+ cos(l(φk + φi − φj) + λi + λj) + cos(l(φk − φi + φj) − λi − λj)

sin(l(φk + φi + φj) cos(λi − λj)

+ cos(l(φk + φi + φj) sin(λi − λj) − sin(l(φk − φi − φj) cos(−λi + λj)

− cos(l(φk − φi − φj) sin(−λi + λj) + cos(l(φk + φi − φj) cos(λi + λj)

− sin(l(φk + φi − φj) sin(λi + λj) + cos(l(φk − φi + φj) cos(λi + λj)

+ sin(l(φk − φi + φj) sin(λi + λj)

2N[− cos(λi − λj) sin(

2(φk − φi − φj)S(φk − φi − φj)

+ sin(λi − λj) cos(N + 1

2(φk − φi − φj)S(φk − φi − φj)

cos(λi − λj) sin(N + 1

2(φk + φi + φj)S(φk + φi + φj)

+ sin(λi − λj) cos(N + 1

2(φk + φi + φj)S(φk + φi + φj)

+ cos(λi + λj) cos(N + 1

2l(φk + φi − φj)S(φk + φi − φj)

− sin(λi + λj) sin(N + 1

2(φk + φi − φj)S(φk + φi − φj) +

+ cos(λi + λj) cos(N + 1

2(φk − φi + φj)S(φk − φi + φj)

cos(λi + λj) sin(N + 1

2(φk − φi + φj)S(φk − φi + φj)]

Re(Bij) =

= − sin(−λi + λj +N + 1

2(φk − φi + φj))S(φk + φi + φj)

+ sin(λi − λj +N + 1

2(φk + φi + φj))S(φk + φi + φj)

+ cos(−λi − λj +N + 1

2(φk − φi + φj))S(φk − φi + φj)

+ cos(λi + λj +N + 1

2(φk + φi − φj))S(φk + φi − φj)

Parte Imaginaria de Bij

Im(Bij) =

sin(lφk) sin(l(φi + φj) + λi − λj)

+ sin(lφk) cos(l(φi − φj) + λi + λj)

cos(l(φk − φi − φj) − λi + λj) − cos(l(φk + φi + φj) + λi − λj)

+ sin(l(φk + φi − φj) + λi + λj) + sin(l(φk − φi + φj) − λi + λj)

cos(l(φk − φi − φj)) cos(−λi + λj)

− sin(l(φk − φi − φj)) sin(−λi + λj) − cos(l(φk + φi + φj)) cos(λi − λj)

+ sin(l(φk + φi + φj)) sin(λi − λj) + sin(l(φk + φi − φj)) cos(λi + λj)

+ cos(l(φk + φi − φj) sin(λi + λj) + sin(l(φk − φi + φj)) cos(λi + λj)

+ cos(l(φk − φi + φj)) sin(−λi − λj))

2N[cos(−λi + λj) cos(

2(φk − φi − φj))S(φk − φi − φj)

− sin(−λi + λj) sin(N + 1

2(φk − φi − φj))S(φk − φi − φj)

− cos(λi − λj) cos(N + 1

+ sin(λi − λj) sin(N + 1

+ cos(λi + λj) sin(N + 1

+ sin(λi + λj) cos(N + 1

+ cos(λi + λj) sin(N + 1

2(φk − φi + φj))S(φk − φi + φj)

− sin(λi + λj) cos(N + 1

2(φk + φi − φj))S(φk + φi − φj)]

Im(Bij) =

= cos(−λi + λj +N + 1

2(φ − φi − φj))S(φ − φi − φj)

− cos(λi − λj +N + 1

2(φ + φi + φj))S(φ + φi + φj)

sin(λi + λj +N + 1

2(φ + φi − φj))S(φ + φi − φj)

+ sin(−λi − λj +N + 1

2(φ − φi + φj))S(φ − φi + φj)

Sea I1 el primer termino de ρzl,m(β, t). Esto es,

eiRφk

Bjj tgh

2βΛj

(C.22)

El termino Bjj

− sin

2(φ − 2φj)

S(φ − 2φj) + sin

2(φ + 2φj)

·S(φ + 2φj)

2λj +N + 1

−2λj +N + 1

2(φ − 2φj)

·S(φ − 2φj) − cos

2(φ + 2φj)

S(φ + 2φj)

2λj +N + 1

S(φ) + sin

−2λj +N + 1

se simplifica a

Bjj = (C.23)

2λj +N + 1

S(φ) + cos

−2λj +N + 1

2λj +N + 1

S(φ) + sin

−2λj +N + 1

cos(2λj) cos(N + 1

2φj) + i cos(2λj) sin(

Esta simplificacion se debe a que:

− sin

2(φ − 2φj)

S(φ − 2φj)+

2(φ + 2φj)

S(φ + 2φj)

2(φ − 2φj)

S(φ − 2φj)+

− cos

2(φ + 2φj)

S(φ + 2φj)

Ya que simplificaciones como esta se van a realizar mas adelante, es mejorexplicar por que se cancela esta suma. Mirando la primera ecuacion, vemosque la diferencia entre el primer y el segundo termino es el signo de φj.Recordando que φj = 2π

Nj, −φj se puede expresar como −φj = φN−j, ya

que se esta tratando a φ como angulo. Por lo tanto el primer termino de laprimera ecuacion se puede reescribir como

−∑

2(φ + 2φN−j)

S(φ + 2φN−j)

Al realizar la suma sobre j, el primer y segundo termino de la ecuacion van aser iguales, a pesar de que los terminos van a aparecer en un orden distinto,y por lo tanto la suma es cero. Lo mismo ocurre con la segunda ecuacion ypor lo tanto Bjj es (C.23). Volviendo a (C.22),

24π3N

∫ π

eiRφk

[∫ π

cos (2λj)

+ i sin

·S(φ) tgh

2βΛj

(C.24)

∫ π

cos(2λ(φj) tgh

2βΛj

∫ π

eiRφS2(φ)dφ

= < M z >2 1

∫ π

eiRφS2(φ)dφ

= < M z >2 1

∫ π

eiRφ sin2(Nφ/2)/ sin2(φ/2)dφ (C.25)

= < M z >2 2

∫ π/2

−π/2

e2iRu sin2(Nu)/ sin2(u)du (C.26)

(C.27)

En el lımite cuando N → ∞, la integral de S2(θ)/N se comporta comouna funcion delta.

∫ π

sin2 Nθ

sin2 θ= Nπ. (C.28)

I1 = 2 < M z >2 (C.29)

En (C.19), se va a abreviar con I2 al segundo termino de la suma:

eiRφk

Bpq(φk)B†pq(φk)f

+(φp)f+(φq)δprδqs

Con (C.21),

i,j,k=1

eiRφk

− sin(A)S(φ − φi − φj) + sin(B)S(φ + φi + φj)

+ cos(C)S(φ + φi − φj) + cos(D)S(φ − φi + φj)}2

− cos(A)S(φ − φi − φj) + cos(B)S(φ + φi + φj)

+ sin(C)S(φ + φi − φj) + sin(D)S(φ − φi + φj)}2]

f+(φi)f+(φj)

26π3N

∫∫∫ π

eiRφk

− sin(A)S(φ − φi − φj) + sin(B)S(φ + φi + φj))2

cos(C)S(φ + φi − φj) + cos(D)S(φ − φi + φj))2

− cos(A)S(φ − φi − φj) + cos(B)S(φ + φi + φj))2

sin(C)S(φ + φi − φj) + sin(D)S(φ − φi + φj))2

En esta ultima expresion hay terminos que no aparecen, esto es porque:

− sin(A)S(φ − φi − φj) + sin(B)S(φ + φi + φj))

cos(C)S(φ + φi − φj) + cos(D)S(φ − φi + φj))

cos(A)S(φ − φi − φj) − cos(B)S(φ + φi + φj))

sin(C)S(φ + φi − φj) + sin(D)S(φ − φi + φj))

La razon por la cual esta suma se cancela es porque van a aparecer termi-nos como

− sin(A)S(φ − φi − φj) cos(C)S(φ + φi − φj)

+ cos(A)S(φ − φi − φj) sin(C)S(φ + φi − φj) + ...

pero AN−i,j = Ci,j, y al sumar sobre todos los valores de i, j, estos termi-nos se cancelan. Lo mismo ocurre con el resto de terminos de la suma.

Continuando con I2,

26π3N

∫ ∫ ∫ π

eiRφk

S2(φ − φi − φj) +

+S2(φ + φi + φj)S2(φ + φi − φj)S

2(φ − φi + φj))

−2 cos(A − B)S(φ − φi − φj)S(φ + φi + φj) +

+2 cos(C − D)S(φ + φi − φj)S(φ − φi + φj)]

dφidφjdφk

Se debe tener en cuenta que:∫ ∫ π

S(φ − φi − φj) =

∫ ∫ π

S(φ + φi + φj) =

∫ ∫ π

S(φ + φi − φj) =

∫ ∫ π

S(φ − φi + φj)

y que∫∫ π

−2 cos(A − B)S(φ − φi − φj)S(φ + φi + φj)

∫∫ π

2 cos(C − D)S(φ + φi − φj)S(φ − φi + φj) = 0

Esto ultimo ocurre porque

cos(C − D) = cos[2(λi + λj + (N − 1)(φ − φj))]

= cos[2(λi + λj + (N − 1)(φ + φN−j))]

cos(A − D) = cos[2(−λi + λj + (N − 1)(−φ − φj))]

= cos[2(λN−i + λj + (N − 1)(φN−i + φN−j))]

Por lo tanto, al integrar los dos terminos son iguales y se cancelan. I2 sesimplifica a:

∫∫∫ π

eiRφ S2(φ − φi − φj)

Nf+(φi)f

+(φj)dφidφjdφ

∫ π

eiRφ S2(φ − ψ1)

ψ1 + ψ2

ψ1 − ψ2

dφidψ1dψ2

donde se introdujo ψ1 = φi + φj y ψ2 = φi − φj. El coeficiente se modif-ico debido a que este cambio de variable introduce un dos debido al jacobiano.Usando (C.28), aparece δφ,ψ1

∫ π

eiRψ1f+

ψ1 + ψ2

ψ1 − ψ2

dψ1dψ2

Sea θ1 = ψ1+ψ2

2, θ2 = ψ1−ψ2

2. El jacobiano es 1/2.

∫ π

eiR(θ1+θ2)f+ (θ1) f+ (θ1) dθ1dθ2

I2 = 2

∫ π

eiRθf+ (θ) dθ

(C.30)

De acuerdo a (C.19),

eiRφkBpq(φk)B†qp(φk)f

−(φp)f−(φp)δps (C.31)

BijB†ji =

4N2[− sin(A)S(φ − φi − φj) + sin(B)S(φ + φi + φj) +

+ cos(C)S(φ + φi − φj) + cos(D)S(φ − φi + φj)

+i(cos(A)S(φ − φi − φj) − cos(B)S(φ + φi + φj) +

+ sin(C)S(φ + φi − φj) + sin(D)S(φ − φi + φj)] ··[− sin(A′)S(φ − φi − φj) + sin(B′)S(φ + φi + φj) +

+ cos(D′)S(φ + φi − φj) + cos(C ′)S(φ − φi + φj)

+i(cos(A′)S(φ − φi − φj) − cos(B′)S(φ + φi + φj) +

+ sin(D′)S(φ + φi − φj) + sin(C ′)S(φ − φi + φj)]

A′ = λi − λj +N − 1

2(φ − φi − φj)

B′ = −λi + λj +N − 1

2(φ + φi + φj)

C ′ = λi + λj +N − 1

2(φ − φi + φj)

D′ = −λi − λj +N − 1

2(φ + φi − φj)

BijB†ji =

cos(A − A′)S2(φ − φi − φj) + cos(B − B′)S2(φ + φi + φj) +

+ cos(C − D′)S2(φ + φi − φj) + cos(D − C ′)S2(φ − φi + φj) +

+(− cos(A − B′) − cos(A′ − B))S(φ − φi − φj)S(φ + φi + φj)

+(cos(C − C ′) + cos(D′ − D))S(φ + φi − φj)S(φ − φi + φj)

+(sin(D′ − A) + sin(A′ − C))S(φ − φi − φj)S(φ + φi − φj)

+(sin(C ′ − A) + sin(D − A′))S(φ − φi − φj)S(φ − φi + φj)

+(sin(B − D′) + sin(C − B′))S(φ + φi + φj)S(φ + φi − φj)

+(sin(B − C ′) + sin(B′ − D))S(φ + φi + φj)S(φ − φi + φj)

cos(A − A′)S2(φ − φi − φj) + cos(B − B′)S2(φ + φi + φj) +

+ cos(C − D′)S2(φ + φi − φj) + cos(D − C ′)S2(φ − φi + φj) +

+(− cos(A − B′) − cos(A′ − B))S(φ − φi − φj)S(φ + φi + φj)

+(cos(C − C ′) + cos(D′ − D))S(φ + φi − φj)S(φ − φi + φj)]

cos(C − C ′) = cos(D − D′) = cos(2(N − 1)(φi − φj))

ycos(A − B′) = cos(B − A′) = cos(2(N − 1)(φi + φj))

entonces

(− cos(A − B′) − cos(A′ − B))S(φ − φi − φj)S(φ + φi + φj)

+(cos(C − C ′) + cos(D′ − D))S(φ + φi − φj)S(φ − φi + φj) = 0

BijB†ji =

cos(A − A′)S2(φ − φi − φj) + cos(B − B′)S2(φ + φi + φj)

+ cos(C − D′)S2(φ + φi − φj) + cos(D − C ′)S2(φ − φi + φj)

cos(A − A′) = cos(B − B′) = cos(2(λi − λj))

cos(C − D′) = cos(D − C ′) = cos(2(λi + λj))

BijB†ji =

cos[2(λi − λj)] + cos[2(λi + λj)]S2(φ + φi − φj)

cos[2(λi + λj)]S2(φ + φi − φj)

[cos(2λi) cos(2λj) − sin(2λi) sin(2λj)]S2(φ − φi − φj)

∫ ∫

BijB†ji =

∫ ∫

cos(2λi) cos(2λj) − sin(2λi) sin(2λj)]S2(φ − φi − φj)dφidφj

volviendo a la expresion para I3 (C.31), y tomando el lımite N → ∞

eiRφkBpq(φk)B†qp(φk)f

−(φp)f−(φp)δps

∫ ∫ ∫ π

eiRφk [cos(2λi) cos(2λj) − sin(2λi) sin(2λj)] ·

·S2(φ − φi − φj)f−(φi)f

−(φj)dφidφjdφ]

Usando nuevamente (C.28),

I3 = (C.32)

∫ ∫ π

eiRφ[cos(2λi) cos(2λj) − sin(2λi) sin(2λj)]

f−(φi)f−(φj)dφidφjδφ,φj+φi

∫ π

eiRθ cos(2λ(θ))dθ

∫ π

eiRθ sin(2λ(θ))dθ

Finalmente, reemplazando en ρzl,m(β, t) (C.18), las expresiones para I1

(C.29), I2 (C.30) e I3 (C.32), tenemos

ρzl,m(β, t) = < Sz

l Szl+R(t) >

= < M z >2 +

∫ π

eiRθf+ (θ) dθ

∫ π

eiRθ cos(2λ(θ))dθ

∫ π

eiRθ sin(2λ(θ))dθ

Esta es la expresion final para la correlacion entre dos spins en dos sitiosa tiempos distintos para un campo magnetico constante, en el lımite ter-modinamico.

Apendice D

Evolucion Temporal de la

Matriz Densidad

En los casos en los cuales el campo magnetico depende del tiempo, esnecesario resolver la ecuacion de Schrodinger (~=1) para el vector de estado

dt|Ψ(t)〉 = H(t) |Ψ(t)〉

o hallar la evolucion del hamiltoniano utilizando el operador evolucion U(t)

dtU(t) = U(t)H(t).

con el objetivo de hallar Ψ(t) o ρ(t). Es necesario resolver estas ecua-ciones ya que, dado que estamos interesados en hallar las funciones de cor-relacion. Para esto tenemos que volver a hallar la funcion de correlacion GR.La ecuaciıon ( 3.12) sigue teniendo validez, pero lo que cambia es la manerade hallar los valores esperados que allı se encuentran.

En [15] se muestra el procedimiento que se va a seguir aca. Es nece-sario retomar la diagonalizacion del hamiltoniano, que se hizo en detalle enel Apendice A. Tras la transformada de JW y transformada de Fourier, laexpresion para el hamiltoniano es (A.19):

APENDICE D. EVOLUCIOON TEMPORAL DE LA MATRIZDENSIDAD

H =∑

2 sin(φp)(a†pa

†−p + a−pap) + 2 (h − cos(φp)) (a†

(D.1)o, de manera equivalente:

N/2∑

Hp = 2 sin(φp)(a†pa

†−p + a−pap) + 2 (h − cos(φp)) (a†

La importancia de expresar el hamiltoniano de esta forma es que, a pesarde no estar diagonalizado, el hamiltoniano total es la suma sobre modosindependientes. Esto es,

[Hp, Hp′ ] = 0 para p 6= p′.

Por lo tanto, como el subespacio de cada modo se trabaja de manera in-dependiente, se facilita hacer calculos numericos ya que la dimension de cadasupespacio es mucho menor que la dimension del espacio total. Explıcita-mente, la base para cada subespacio va a ser:

|0〉 ; a†pa

†−p |0〉 ; a†

p |0〉 ; a†−p |0〉

Entendiendo el vacıo como ap |0〉 = 0. El hamiltoniano (D.1) expresado enterminos de esta nueva base es:

H =∑

2 sin(φp)(

a†pa

†−p |0〉〈0| + |0〉〈0| a−pap

+ 2 (h − cos(φp)) ·

a†pa

†−p |0〉〈0| a−pap + a†

p |0〉〈0| ap − a†−pa

†p |0〉〈0| a−pap + a†

−p |0〉 ·

· 〈0| a−p

− 2h

o, en forma matricial [15] :

Hp(t) = 2

−h(t) sin(φp) 0 0sin(φp) −2 cos φp + h(t) 0 0

0 0 − cos φp 00 0 0 − cos φp

Sumando 2 cos φp a la diagonal, se puede trabajar con un Hamiltonianode dimension dos por dos:

Hp(t) = 2

cos φp − h(t) sin(φp)sin(φp) − cos φp + h(t)

Una razon por la cual reducir se puede reducir el subespacio para cadamodo a dimension dos por dos se puede entender mejor [45] si volvemos a labase, expresada en la ecuacion (D.2).

|0〉a†

pa†−p |0〉 = |p,−p〉a†

p |0〉 = |p〉a†−p |0〉 = |−p〉

Los estados |±p〉 son estados propios del hamiltoniano. Esto se sigue delhecho de que la paridad del numero de excitaciones se debe conservar. Porser estados propios del hamiltoniano, los estados |±p〉 permanecen constantesen el tiempo salvo por una fase: |±p(t)〉 = e−iφ(t) |±p〉. Los otros dos estados,|0〉 , |p,−p〉 evolucionan como una superposicion de estos dos estados. Comolos subespacios de cada modo son independientes, para cada subpespacio sepuede hallar el operador de evolucion temporal que cumple

dtUp(t) = Up(t)Hp(t) (D.5)

que en forma matricial se reduce a [15],

U11 U12

U21 U22

U11 U12

U21 U22

−h(t) + cos φ sin φsin φ − cos φ + h(t)

Resolviendo la ecuacion (D.6) se puede determinar la matriz de evoluciontemporal U(t). Las condiciones para U(t) son:

U(t = 0) =

1 00 1

U11 U12

U21 U22

U11 U12

U21 U22

−h(0) + cosφ sin φ− sin φ − cos φ + h(0)

Las condiciones inciales para U y su derivada son

U11(0) = 1d

dtU11(0) = −2i(−h(0) + cosφ)

U12(0) = 0d

dtU12(0) = −2i sin φ

U22(0) = 1d

dtU22(0) = 2i (cos φ − h(0))

U21(0) = 0d

dtU21(0) = −2i sin φ

Una vez se tiene el operador Up(t) puede hallar la matriz densidad en eltiempo t,

ρp(t) = Up(t)ρp(0)Up(t)†, (D.8)

con lo cual se encuentran otras cantidades deseadas como, por ejemplo,Mz(t) [15]:

Mz(t) =1

Tr [Mpρ]

Tr [ρ]=

N/2∑

MpUpρp(0)U †p

Tr [ρp(0)](D.9)

donde Mp = a†pap+a†

−pa−p−1 expresada en la base (D.2) y reduciendonosal supespacio dos por dos de interes es:

−1 00 1

(D.10)

Apendice E

Evolucion Temporal de el

vector de estado en presencia

de campos cuadrados

Trabajando con las subespacios para cada modo k explicado en el ApendiceD, se continua en este Apendice. En general, para un sistema de dimensiondos por dos se puede parametrizar el hamiltoniano del sistema con una vari-able θk,

cos (θk/2) −isin (θk/2)−isin (θk/2) −cos (θk/2)

donde los valores propios del sistema estan dados por :

Λk = ±√

cos (θk/2)2 + sin (θk/2).

El estado excitado (|ESk〉) correspondiente al valor propio Λk y el estadode mas baja energıa (|GSk〉) correspondiente al valor propio −Λk, son

APENDICE E. EVOLUCION TEMPORAL DE EL VECTOR DEESTADO EN PRESENCIA DE CAMPOS CUADRADOS

En esta base el estado fundamental de todo el sitema se puede expresarcomo un producto tensorial del estado fundamental en cada subespacio

|Gs〉 =∏

|Gsk〉

E.1. Escalon

Se va a suponer que se comienza con un campo global h0 y en t = 0 elcambio cambia a h. Los vectores propios y valores propios de sistema cuandoel campo es h0 se denotaran con un subındice 0. Por ejemplo, es estado demas baja energıa para el subespacio k cuando el sistema evoluciona bajo elcampo h0 es |Gsk〉0, donde

|Gs〉0 =∏

|Gsk〉0 .

Este estado se puede escribir en terminos de los vectores propios correspon-dientes al sistema cuando el campo es h,

|Gs〉0 =∏

|Gsk〉0 =∑

C{k} |ǫk〉h

dondeC{k} = 〈ǫk|Gs〉0.

Por lo tanto, la evolucion temporal de un estado se puede expresar como:

|Φ(t)〉 =∑

C{k}eiEkt |ǫk〉h

Los coeficientes de cambio de base son:

ǫk(η)|Gs0〉 =

θh−θ0

si ǫk = Gsk

θh−θ0

si ǫk = Esk

y reemplazando en |Φ(t)〉,

APENDICE E. EVOLUCION TEMPORAL DE EL VECTOR DEESTADO EN PRESENCIA DE CAMPOS CUADRADOS

|Ψ(t)〉 =∑

e−iHkt∏

θh − θ0

|Gsk,h〉 + sin

θh − θ0

|Esk,h〉]

|Ψ(t)〉 =∑

θh − θ0

e−iEh,gstt|Gsk,h〉 + i sin

θh − θ0

e−iEh,gstt|Esk,h〉

|Ψ(t)〉 =∏

θh − θ0

e−iEh,k,t,GS |Gs(k,h)〉h + sin

θh − θ0

e−iEh,k,t,GS |Es(k,h)〉h]

Eh,kGs = −Λk

Eh,kEs = Λk

El parametro θk es el mismo parametro de la ecuacion (A.26 ) que sedefinio en el Apendice A.

Apendice F

Diagonalizacion Numerica del

hamiltoniano

La manera de diagonalizar el hamiltoniano se explica en [46] y ha sidoutilizado por varios autores [3, 43, 44]. El procedimiento pertinente se resumea continuacion. El hamiltoniano se puede escribir como

H =∑

c†iAijcj +1

c†iBijc†j + cjBjici

donde A es una matriz simetrica y B es una matriz antisimetrica. Con elhamiltoniano que se esta trabajando (5.2) estas matrices son:

2hi −J 0 · · · 0 J−J 2hi −J 0 · · · 0...

. . . · · · ...J 0 · · · 0 −J 2hi

0 −J 0 · · · 0 −JJ 0 −J 0 · · · 0...

. . . · · · ...J 0 · · · 0 J 0

APENDICE F. DIAGONALIZACION NUMERICA DELHAMILTONIANO

Ai,i = 2hi (F.2)

Ai,i+1 = −J

Ai+1,i = −J

Bi,i+1 = −J

Bi+1,i = J

En las fronteras se cumplen las condiciones anticıclicas σN+1 = −σ1 locual quiere decir que en (F.2) se deben cambiar los signos en las fronteras [47].En el caso particular de un campo local en el sition N/2, como el hamiltoniano(5.2), se incluye el δh en el hecho de que

AN/2,N/2 = 2hi = 2(h + δh)

El objetivo, para poder expresar el hamiltoniano en forma diagonal

H =∑

Λkη†kηk,

es encontrar como transformar los operadores ci a operadores ηi.Siguiendo el procedimiento establecido [46], se comienza formando una matrizM definida como,

A B−B A

La matriz M tiene dimension 2n × 2n y al diagonalizar esta matriz seencuentra que hay 2n vectores propios y 2n valores propios Λk. Los 2n valorespropios vienen por parejas, hay n positivos y n negativos. Los vectores propiosasociados a los valores propios positivos se van a llamar V n y los vectorespropios ascociados a los valores propios negativos se van a llamar W n. Larealcion entre V n y W n es

V n = γW n

0 11 0

Nos vamos a interesar unicamente en los n vectores V n. Sea

η2...

η† =

η†1

η†2...

η†n

c2...cn

c† =

c†1c†2...c†n

El vector propio V n tiene 2n componentes. A las primeras n componentesse les va a llamar Xn y las ultimas n componentes Y n.

Expresado de esta manera,

η1 = X1†c + Y 1†c†.

Donde X1† y Y 1† son vectores fila.

En general,

. . .Xn∗

c2...cn

Y 1∗

Y 2∗

. . .Y n∗

c†1c†2...c†n

Y en forma matricial,

η = A∗c + D∗c†

η† = Dc + Ac†

. . .Xn∗

Y 1∗

Y 2∗

. . .Y n∗

Dado que A = A∗ y D = D∗, se despejan c y c† ya que, recordemos, loque se desea es encontrar los operadores c en terminos de η.

c† = E−1[

A−1η − D−1η†]

c = −E−1[

D−1η + A−1η†]

donde E = C−1D − D−1C. Tenemos entonces que:

c + c† = E−1[

A−1 − D−1] (

η + η†)

c − c† = −E−1[

A−1 + D−1] (

η − η†)

Lo cual, en el lenguaje en el cual se ha trabajado previamente, es

c + c† = Φ(

η + η†)

c − c† = Ψ(

η − η†)

Φ = E−1[

A−1 − D−1]

Ψ = −E−1[

A−1 + D−1]

. (F.5)

y nuevamente relacionandolo con lo anterior,

Gij = 〈BiAj〉 =⟨

(c†i − ci)(c†i + ci)

= −〈AjBi〉 = −ΨT Φ.

Contando el numero de excitaciones,

c†ici,

se confirma la condicion enunciada en [44] de que

eiπN⟩

= detG = 1

dondeGij = −(ΨT Φ)ij

Apendice G

Funciones de Correlacion con

Campo Local

Siguiendo la misma metodologıa de [19] que se ha empleado y explicado,y hallando las matrices de cambios de base Φij y Ψij numericamente, se van ahallar las funciones de correlacion nececesarias para construir la matriz den-sidad reducida Qij. Como se desea tambien tener la evolucion temporal dela matriz densidad para describir la dinamica de la concurrencia, se necesi-tara tambien hallar la evolucion temporal de la funciones de correlacion queconforman Qij.

Teniendo en cuenta que los cambios de base vienen dados por:

APENDICE G. FUNCIONES DE CORRELACION CON CAMPOLOCAL

ηk + η†k =

Φki(ci + c†i ) (G.1)

ηk − η†k =

Ψki(ci − c†i ) (G.2)

ci + c†i =N

Φki(ηk + η†k) (G.3)

ci − c†i =N

Ψki(ηk − η†k) (G.4)

ηk + η†k =

ΦkiΦ′mi(η

′m + η

′†m) (G.5)

η′m + η

′†m =

Φ′mpΦkp(ηk + η†

k) (G.6)

η′n − η

′†n =

Ψ′nrΨkr(ηk − η†

k) (G.7)

ηk − η†k =

ΨkiΨ′ni(η

′n − η

′†n ) (G.8)

y las siguientes relaciones:

Caso 1:

eit∑

λjη†jηj(η†

m + ηm)(ηn − η†n)e−it

λjη†jηj = cos(λm) cos(λn)(η†

m + ηm)(ηn − η†n)

+ sin(λm) sin(λn)(η†m − ηm)(ηn + η†

− i cos(λm) sin(λn)(η†m + ηm)(ηn + η†

+ i sin(λm) cos(λn)(η†m − ηm)(ηn − η†

Caso 2:

eit∑

λjη†j ηj(η†

m − ηm)(ηn + η†n)e−it

λjη†jηj = sin(λm) sin(λn)(η†

m + ηm)(ηn − η†n)

+ cos(λm) cos(λn)(η†m − ηm)(ηn + η†

+ i sin(λm) cos(λn)(η†m + ηm)(ηn + η†

− i cos(λm) sin(λn)(η†m − ηm)(ηn − η†

Caso 3:

eit∑

λjη†jηj(η†

m + ηm)(ηn + η†n)e−it

λjη†j ηj = cos(λm) cos(λn)(η†

m + ηm)(ηn + η†n)

+ sin(λm) sin(λn)(η†m − ηm)(ηn − η†

− i cos(λm) sin(λn)(η†m + ηm)(ηn − η†

+ i sin(λm) cos(λn)(η†m − ηm)(ηn + η†

Caso 4:

eit∑

λjη†jηj(η†

m − ηm)(ηn − η†n)e−it

λjη†j ηj = sin(λm) sin(λn)(η†

m + ηm)(ηn + η†n)

+ cos(λm) cos(λn)(η†m − ηm)(ηn − η†

− i sin(λm) cos(λn)(η†m + ηm)(ηn − η†

− i cos(λm) sin(λn)(η†m − ηm)(ηn + η†

Teniendo en cuenta estas relaciones, se pueden hallar las funciones decorrelacion deseadas.

G.1. Campo Local Escalonado

Refiriendonos al hamiltoniano (5.2), se va a aplicar un campo magneticolocal que tiene una magnitud δh en el sitio j = N/2 de la cadena. El campolocal se enciende en t = 0 y se deja constante de allı en adelante,

δh(t) =

0 t < 0

δh t ≥ 0.

Cuando hay campo local, el hamiltoniano se denotara como H ′. Cuandono hay campo local seguiremos denotando el hamiltoniano como H.

G.1.1. Magnetizacion

|Ψ(t)〉 = eiH′t|Ψ(0)〉

σjz(t) = eiH′t(c†j + cj)(cj − c†j)e

−iH′t

σjz(t) =

Φ′mjΨ

′nje

iH′t(η′†m + η′

m)(η′n + η

′†n )e−iH′t

σjz(t) =

Φ′mjΨ

cos(λ′m) cos(λ′

n)(η′†m + η′

m)(η′n − η

′†n )

+ sin(λ′m) sin(λ′

n)(η′†m − η′

m)(η′n + η

′†n )

σjz(t) =

mnpqrs

Φ′mjΨ

′njΦ

′mqΦpqΨ

′nsΨrs cos(λ′

m) cos(λ′n)(η†

p + ηp)(ηr − η†r)

mnpqrs

Φ′mjΨ

′njΨ

′mqΨpqΦ

′nsΦrs sin(λ′

m) sin(λ′n)(η†

p − ηp)(ηr + η†r)

〈σjz(t)〉 = −

Φ′mjΨ

′njCmpDnp cos(λ′

m) cos(λ′n)δpr

−∑

Φ′mjΨ

′njDmpCnp sin(λ′

m) sin(λ′n)δpr

〈σjz(t)〉 = −

Φ′mjΨ

′njEmn cos(λ′

m) cos(λ′n)

−∑

Φ′mjΨ

′njFmn sin(λ′

m) sin(λ′n)

donde C,D,E y F representan la multiplicacion de matrices que se siguedirectamente de las ecuaciones.

G.1.2.⟨

(Szi S

zj )(t)

ρzz(t) = 〈eiH′tSzSze−iH′t〉

ρzz(t) =⟨

eiH′t(c†j + cj)(cj − c†j)e−iH′teiH′t(c†j+R + cj+R)(cj+R − c†j+R)e−iH′t

ρzz(t) =∑

Φ′mjΨ

′njΦ

′piΨ

′qi·

eiH′t(η′†m + η

m)(η′n − η

′†n )e−iH′teiH′t(η

′†p + η

p)(η′q − η

′†q )e−iH′t

ρzz =∑

Φ′mjΨ

′njΦ

′piΨ

′qi cos(λ′

m) cos(λ′n) cos(λ′

p) cos(λ′q) ·

(GmpHnq − EmqEpn + EmnEpq)

Φ′mjΨ

′njΦ

′piΨ

′qi cos(λ′

m) cos(λ′n) sin(λ′

p) sin(λ′q) ·

(GmqHnp − EmpFnq + EmnFpq)

Φ′mjΨ

′njΦ

′piΨ

′qi sin(λ′

m) sin(λ′n) cos(λ′

p) cos(λ′q) ·

(GnpHmq − EnqEpm + FmnEpq)

Φ′mjΨ

′njΦ

′piΨ

′qi sin(λ′

m) sin(λ′n) sin(λ′

p) sin(λ′q) ·

(HmpGnq − EnpEqm + FmnFpq)

−∑

Φ′mjΨ

′njΦ

′piΨ

′qi cos(λ′

m) sin(λ′n) cos(λ′

p) sin(λ′q) ·

(GmqGnp − GnpGmq + GmnGpq)

Φ′mjΨ

′njΦ

′piΨ

′qi cos(λ′

m) sin(λ′n) sin(λ′

p) cos(λ′q) ·

(EmpEnq − EmqEnp + GmnHpq)

Φ′mjΨ

′njΦ

′piΨ

′qi sin(λ′

m) cos(λ′n) cos(λ′

p) sin(λ′q) ·

(FmpFnd − FnpEqm + HmnGpq)

−∑

Φ′mjΨ

′njΦ

′piΨ

′qi sin(λ′

m) cos(λ′n) sin(λ′

p) cos(λ′q) ·

(GmqGnp − HmpHnq + HmnHpq)

donde la suma se realiza sobre m,n, p y q.

G.1.3. 〈(SxSy)(t)〉

Sxl Sy

l+1 =(

c†l + cl

iπl−1∑

c†jcj

c†l+1 − cl+1

iπc†l cl

iπl−1∑

c†jcj

Sxl Sy

l+1 =(

c†l + cl

c†l+1 − cl+1

c†l + cl

c†l − cl

SxSy =1

c†l − cl

c†l+1 − cl+1

〈SxSy〉 = −1

c†l − cl

c†l+1 − cl+1

En el caso estatico 〈Sxl Sy

l+1〉 = 0 porque

〈SxSy〉 = −1

c†l − cl

c†l+1 − cl+1

= −1

Ψp,lΨq,l+1

n†p − np

nq − n†q

= −1

Ψp,lΨq,l+1δpq

= δl,l+1

Cuando hay dependencia temporal, la parte real se hace cero y solo quedala parte imaginaria:

〈Sxl Sy

m(t)〉 =i

Ψ′p,lΨ

′q,l+1Ep,q sin(λ′

p) cos(λ′q)+

4Ψ′

p,lΨ′q,l+1Fp,q cos(λ′

p) sin(λ′q)

〈Sxl Sy

m(t)〉 = SR(t)

G.1.4.⟨

(Syi S

xj )(t)

〈Syl Sx

l+1(t) = 〈eiH′t(c†l + cl)(cl+1 + c†l+1)e−iH′t〉

Parte real da cero, y la parte imaginaria es:

〈Syl Sx

l+1〉(t) = i∑

Φ′plΦ

′q,l+1Epq cos(λ′

p) sin(λ′q)−i

Φ′plΦ

′q,l+1Fpq sin(λ′

p) cos(λ′q)

Se cumple que, 〈Syl Sx

l+1〉 = 〈Sxl Sy

l+1〉, cuando no hay campo local.

G.1.5.⟨

(Sxi Sx

j )(t)⟩

ρxlm =

4〈Ψ0|BlAl+1Bl+1 · · ·Am−1BmAm|Φ0〉 =

4〈B1A2〉 =

4〈(c†j−cj)(ci+c†i )〉

ρxij(t) = 〈eiH′t(c†i + ci)(cj − c†j)e

−iH′t〉

λ′p = Λ′

〈Sxi Sx

i+1(t)〉 = −1

Φ′aiΨ

′bjEab cos(λ′

a) cos(λ′b)−

Φ′aiΨ

′bjFab sin(λ′

a) sin(λ′b)

G.1.6.⟨

(Syi S

yj )(t)

〈Syi Sy

i+1(t)〉 = −1

Φ′ajΨ

′biEab cos(λ′

a) cos(λ′b)−

Φ′ajΨ

′biFab sin(λ′

a) sin(λ′b)

G.1.7. Funcion de correlacion en z a tiempos distintos

G.1.8.⟨

(Szi (0)Sz

j )(t)⟩

〈Szj (0)Sz

j (t)〉 =1

4〈(c†j + cj)(cj − c†j)e

iH′t(c†i + ci)(cj − c†j)e−iH′t〉

λm = Λ′m · t

〈Szj (0)Sz

j (t)〉 =

ΦajΨaj

Φ′miΨ

′niEmn cos(λm) cos(λn)

ΦajΨaj

ImjJnjΦ′miΨ

′ni cos(λm) cos(λn)

ΦajΨaj

KnjLmjΦ′miΨ

′ni cos(λm) cos(λn)

ΦajΨaj

Φ′miΨ

′niFmn sin(λm) sin(λn)

ΦajΨaj

KmjLnjΦ′miΨ

′ni sin(λm) sin(λn)

ΦajΨaj

InjJmjΦ′miΨ

′ni sin(λm) sin(λn)

I = C · ΦJ = D · ΨK = D · ΦL = C · Ψ

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