continuità delle funzioni
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Continuità delle funzioniContinuità delle funzioni
Funzione continua in un punto
Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo, aperto o chiuso, e sia x0 un punto interno a questo intervallo; diciamo che la funzione f(x) è continua in x0 se risulta:
lim f(x) = f(x0)
0xx
Deduzioni
• Esiste il valore della funzione nel punto x0
• Esiste ed è finito il limite della funzione per
• Il limite coincide con il valore assunto dalla
funzione nel punto
0xx
Se conveniamo di porre x = x0 +h, con h variabile, la condizione di continuità si può esprimere nella forma:
lim f(x0 +h) = f(x0)0h
Se una funzione f(x) è continua in un punto x0
il calcolo del limite per x tendente a x0
si ottiene ponendo nella funzione x = x0
Esempi di funzioni continue
a) La funzione f(x) = k è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0
lim k = k0xx
Esempi di funzioni continue
b) La funzione f(x) = x è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0
lim x = x0
0xx
Esempi di funzioni continue
c) La funzione f(x) = xn con n intero e positivo è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0
lim xn = 0xx
nx0
Esempi di funzioni continue
d) Se la funzione f(x) è continua in x0 lo è pure la funzione k*f(x) con k costante;
cioè
)(*)(*lim 0xfkxfk 0xx
Esempi di funzioni continue
e) Se le due funzioni f(x) e g(x) sono continue in x0
lo sono pure:
f(x) + g(x) f(x) - g(x) f(x) * g(x)
)(
)(
xg
xf ) 0 ) ( (0 x g con
Esempi di funzioni continue
f) La funzione razionale fratta è continua in ogni x che non annulla il denominatore
Esempi di funzioni continue
f) La funzione f(x) = n x
È continua in ogni x se n è un intero positivo dispari
È continua in ogni x>0 se n è un intero positivo pari
Esempi di funzioni continue
f) La funzione f(x) =
è continua in ogni x
xa (con a>0)
Esempi di funzioni continue
f) La funzione f(x) =
è continua in ogni x>0
)1,0(log aaxa
Esempi di funzioni continue
f) Le funzioni f(x) =senx e g(x)=cosx
sono continue in ogni x
Funzione continua in un intervallo
Una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] se è continua in ogni punto dell’intervallo.
Proprietà
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo il massimo e il minimo assoluto.Teorema di Weirstrass
Proprietà
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo ogni valore compreso tra il suo minimo e massimoassoluti. Teorema di Bolzano
Proprietà
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], e se agli estremi dell’intervalloassume valori di segno opposto, essa si annulla inalmeno un punto interno all’intervallo. Teorema
Funzioni monotone
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b).
Se per ogni coppia di punti x1 e x2 dell’intervallo, con x1 < x2
risulta:
)()( 21 xfxf allora f(x) è crescente
)()( 21 xfxf )()( 21 xfxf
)()( 21 xfxf
non decrescente
decrescente
non crescente
MONOTONA
Funzioni limitate
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b).
Se esiste un numero reale h tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)<h allora f(x) è limitata superiormente
Se esiste un numero reale k tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)>k allora f(x) è limitata inferiormente
I valori h e k possono non appartenere al codominioI valori h e k possono non appartenere al codominio.
Se h e k appartengono al codominio della funzione allora si chiamano minimo assoluto e massimo assoluto.
Funzione di funzione
Sia z=g(x) una funzione definita in un intervallo (a,b);
Sia inoltre y=f(z) una funzione della variabile z, definita per ogni valore della variabile z che si ricava dalla funzione z=g(x) al variare di x nell’intervallosuddetto.
Dicesi funzione di funzione o funzione composta la funzione
y=f[g(x)]
esempio
642 xxZ
Z ylog
Forme indeterminate di limiti
0
0
*0
Limiti notevoli
1lim x
senx
0x
exx )1lim( 1
x
1)1log(
lim x
x
0x
11
lim x
ex
ox
Punti di discontinuità di una funzione
Discontinuità di prima specie
La funzione è discontinua di prima specie in x0 quando in tale punto esistono finiti e diversi il limite sinistro e destro.
)(lim)(lim xfxf 0xx 0xx
La differenza
)(lim)(lim xfxf 0xx 0xx
Si chiama salto della funzione in x0
Discontinuità di seconda specie
La funzione è discontinua di seconda specie in x0 quando in tale punto o non esiste o non è finito uno dei limiti sinistro e destro..
)(lim;)(lim xfxf 0xx 0xx
Discontinuità di terza specie
La funzione è discontinua di terza specie in x0 quando in tale punto esiste finito
)(lim xf0xx
ma la f(x) non è definita in tale punto
o il suo valore è diverso da detto limite.
La discontinuità di terza specie è eliminabileperché si può sostituire ad f(x0 ) il valore del limite.
esempi
Asintoti
La retta x=x0 si dice asintoto verticale della funzione y=f(x) se:
)(lim xf 0xx
oppure
)(lim xf 0xx
Asintoti
La retta y=l si dice asintoto orizzontale della funzione y=f(x) se:
lxf )(limx
Asintoti
La retta y=mx+q si dice asintoto obliquo della funzione y=f(x) se:
0)]()lim xfqmxx
con
x
xfm
)(lim
x
e
])([lim mxxfq x
Infinitesimi
Una funzione f(x) si dice infinitesimoper x che tende a x0 se:
0)(lim xf0xx
Se f(x) e g(x) sono infinitesimi per x che tende a x0 e se esiste un intorno di talepunto tale che in tutti i punti dell’intornorisulti g(x) diverso da zero allora si potrà avere:
0)(
)(lim)
xg
xfa
0xx
f(x) è un infinitesimo di ordine superiorea g(x); cioè tende a zero più velocemente.
)(
)(lim)
xg
xfb
0xx
f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore
a g(x); cioè tende a zero meno velocemente.
0)(
)(lim) l
xg
xfc
0xx
f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine di g(x); cioè tende a zero con la stessa velocità.
esistenonxg
xfd
)(
)(lim)
0xx
f(x) e g(x) non sono confrontabili.
Per confrontare più infinitesimi spesso si fa riferimento ad un medesimo infinitesimo chiamato infinitesimo principale che sarà:
)(x
f(x) è un infinitesimo di ordine n rispetto all’infinitesimo principale se:
0)]([
)(lim l
x
xfn
0xx
Infinito
Una funzione f(x) si dice infinitoper x che tende a x0 se:
)(lim xf0xx
Infiniti
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