consideriamo la disequazione consideriamo lequazione corrispondente consideriamo lequazione...

CONSIDERIAMO LA DISEQUAZIONECONSIDERIAMO LA DISEQUAZIONE

0122 xx

Consideriamo l’equazione corrispondenteConsideriamo l’equazione corrispondente

0122 xx

Risolviamola, trovando le eventuali radiciRisolviamola, trovando le eventuali radici

2

11442 x

2

11442 x

0122 xx

2

02 x

2

02 x

2

02 x

2

02 x

1x 1x 1x 1xSOLUZIONI COINCIDENTISOLUZIONI COINCIDENTI

1x 1x

Riportiamo l’unica radice su una retta orientata.Riportiamo l’unica radice su una retta orientata.

1

1

Disegniamo la parabola che passaper il punto x=1 e,Disegniamo la parabola che passaper il punto x=1 e,

0121 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo, la parabola sarà concava verso l’alto

poiché il primo coefficiente a èpositivo, la parabola sarà concava verso l’alto

1

Poiché nella disequazione siamo interessati a quella parte di parabola positiva,

Poiché nella disequazione siamo interessati a quella parte di parabola positiva,

>0

0122 xx

>0

1

evidenziamo la parte della parabolaevidenziamo la parte della parabola

e proiettiamo sulla retta i punti corrispondenti.e proiettiamo sulla retta i punti corrispondenti.

L’insieme dei punti che soddisfa ladisequazione data è costituita dai numeritali che:

L’insieme dei punti che soddisfa ladisequazione data è costituita dai numeritali che:

1

1x 1x 1x 1x

ossia 1R x 1R x

0122 xx

0522 xx

Consideriamo l’equazione corrispondenteConsideriamo l’equazione corrispondente

0522 xx

EsempioEsempio

Risolviamola, trovando le eventuali radiciRisolviamola, trovando le eventuali radici

2

51442 x

2

51442 x

0522 xx

2

162 x

2

162 x

NON ESISTONO SOLUZIONI REALINON ESISTONO SOLUZIONI REALI

Pertanto non possiamo posizionare le radici sopra la retta orientata.Pertanto non possiamo posizionare le radici sopra la retta orientata.

Disegniamo una parabola che nonnon tocca la retta e,Disegniamo una parabola che nonnon tocca la retta e,

0521 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo, avrà la concavità verso l’alto

poiché il primo coefficiente a èpositivo, avrà la concavità verso l’alto

Poiché nella disequazione siamo interessati a quella parte di parabola positiva,

Poiché nella disequazione siamo interessati a quella parte di parabola positiva,

0522 xx

>0

>0

evidenziamo la parte della parabolaevidenziamo la parte della parabola

e proiettiamo sulla retta i punti corrispondenti.e proiettiamo sulla retta i punti corrispondenti.

L’insieme dei punti che soddisfa ladisequazione data è costituita ...L’insieme dei punti che soddisfa ladisequazione data è costituita ...

0522 xx

ossia R S R S

….da tutti i numeri reali….da tutti i numeri reali

EsempioEsempio

0652 xx

Consideriamo l’equazione corrispondenteConsideriamo l’equazione corrispondente

0652 xx

Risolviamola, trovando le eventuali radiciRisolviamola, trovando le eventuali radici

2

614255 x

2

614255 x

0652 xx

2

15x

2

15x

2

15x

2

15x

2x 2x 3x 3xX= 2

3x 3x

Posizioniamo le radici sopra una retta orientata.Posizioniamo le radici sopra una retta orientata.

3

2x 2x

2

X= 2

2

Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,

0651 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.

3

Poiché nella disequazione siamo interessati a quella parte di parabola negativa,

Poiché nella disequazione siamo interessati a quella parte di parabola negativa,

0652 xx

<02 3

<0

evidenziamo la parte della parabola interessataevidenziamo la parte della parabola interessata

e proiettiamo sulla retta i punti corrispondenti.e proiettiamo sulla retta i punti corrispondenti.

2 3

L’insieme dei punti che soddisfa ladisequazione data è costituita dai numeritali che:

L’insieme dei punti che soddisfa ladisequazione data è costituita dai numeritali che:

3

0652 xx

232 x 32 x

EsempioEsempio0122 xx

Consideriamo l’equazione corrispondenteConsideriamo l’equazione corrispondente

0122 xx

Risolviamola, trovando le eventuali radiciRisolviamola, trovando le eventuali radici

2

11442 x

2

11442 x

0122 xx

2

02 x

2

02 x

2

02 x

2

02 x

1x 1x 1x 1x

SOLUZIONI COINCIDENTISOLUZIONI COINCIDENTI

1x 1x

Posizioniamo l’unica radice sopra una retta orientata.Posizioniamo l’unica radice sopra una retta orientata.

1

1

Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,

Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,

0121 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo, avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.

Poiché nella disequazione siamo interessati a quella parte di parabola negativa,

Poiché nella disequazione siamo interessati a quella parte di parabola negativa,

0122 xx

<01

<0

1

evidenziamo la parte della parabola che si trova nella zona che ci interessaevidenziamo la parte della parabola che si trova nella zona che ci interessa

NON CI SONO NON CI SONO PUNTIPUNTINON CI SONO NON CI SONO PUNTIPUNTI

Pertanto l’insieme dei punti che soddisfa la disequazione data è ….Pertanto l’insieme dei punti che soddisfa la disequazione data è ….

1

0122 xx

ossia S S

...l’insieme vuoto....l’insieme vuoto.

EsempioEsempio

052 xx

Consideriamo l’equazione corrispondenteConsideriamo l’equazione corrispondente

052 xx

Risolviamola, trovando le eventuali radiciRisolviamola, trovando le eventuali radici

05 xx 05 xx

052 xx

0x 0x

05 x 05 x

0x 0x

5x 5x

5x 5x

Posizioniamo le radici sopra una retta orientata.Posizioniamo le radici sopra una retta orientata.

5

0x 0x

0

0

Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,

Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,

051 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.

5

Poiché nella disequazione siamo interessati a quella parte di parabola che è positiva oppure nulla,

Poiché nella disequazione siamo interessati a quella parte di parabola che è positiva oppure nulla,

052 xx

00 5

evidenziamo la parte della parabola interessataevidenziamo la parte della parabola interessatae proiettiamo sulla retta i punti corrispondenti.e proiettiamo sulla retta i punti corrispondenti.

0 5 0

L’insieme dei punti che soddisfa ladisequazione data è costituita dai numeritali che:

L’insieme dei punti che soddisfa ladisequazione data è costituita dai numeritali che:

5

052 xx

0

0x 0x 5x 5x

1 042 2 xx

2 01272 xx

3 0372 2 xx

4 072 xx

5 0252 x

6 074 2 xx

Esercizi