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Conjuntos Finitos e InfinitosGlaucio Terra
glaucio@ime.usp.br
Departamento de Matematica
IME - USP
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 1/18
Axiomas de Peano
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 2/18
Axiomas de Peano
(N1) s : N → N é injetiva e o complementar dasua imagem contém apenas um elemento,denotado pelo símbolo “1”.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 2/18
Axiomas de Peano
(N1) s : N → N é injetiva e o complementar dasua imagem contém apenas um elemento,denotado pelo símbolo “1”.
(N2) Seja S ⊂ N; então S = N se, e somente se:1. 1 ∈ S;2. n ∈ S ⇒ s(n) ∈ S.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 2/18
1o. Princípio da Indução
TEOREMA Seja P : N → {0, 1}. Se (i) P (1) = 1 e(ii) P (n) = 1 ⇒ P
(
s(n))
= 1, então ∀n ∈ N,P (n) = 1.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 3/18
Princípio da Definição porRecorrência
Seja X um conjunto. Queremos definir umafunção f : N → X. Suponha que seja dado ovalor f(1) e, para todo n ∈ N, uma regra para sedefinir f
(
s(n))
supondo-se definido f(n). Entãoexiste uma única f : N → X nestas condições.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 4/18
Soma de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 5/18
Soma de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:• n + 1
.= s(n);
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 5/18
Soma de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:• n + 1
.= s(n);
• n + s(m).= s(m + n).
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 5/18
Produto de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 6/18
Produto de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:• n · 1
.= n;
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 6/18
Produto de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:• n · 1
.= n;
• n · s(m).= n · m + n.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 6/18
Relação de Ordem emN
DEFINIÇÃO Sejam n,m ∈ N.
m < n · ≡ · ∃p ∈ N/n = m + p
m 6 n · ≡ · m = n ou m < n
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 7/18
Teorema da Boa Ordenação
TEOREMA Seja A ⊂ N não-vazio. Então Apossui um menor elemento.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 8/18
2o. Princípio da Indução
TEOREMA Seja P : N → {0, 1}. Suponha que,para todo n ∈ N, (k < n ∧ P (k) = 1) ⇒ P (n) = 1.Então ∀n ∈ N, P (n) = 1.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 9/18
Princípio da Definição porRecorrência
Seja X um conjunto. Queremos definir umafunção f : N → X. Suponha que seja dado ovalor f(1) e uma regra para se definir f(n)supondo-se definidos os valores f(m) para todom < n. Então existe uma única f : N → Xnestas condições.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 10/18
Conjuntos Finitos
DEFINIÇÃO Diz-se que um conjunto X é finito seX = ∅ ou se existir n ∈ N e uma bijeçãof : In → X. Neste caso, diz-se que X tem nelementos.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 11/18
Conjuntos Finitos
TEOREMA Seja A ⊂ In. Suponha que existef : A → In bijeção. Então A = In.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 12/18
Conjuntos Finitos
TEOREMA Seja A ⊂ In. Suponha que existef : A → In bijeção. Então A = In.
COROLÁRIO Seja A um conjunto. Se existembijeções f : A → In e f : A → Im, então m = n.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 12/18
Conjuntos Finitos
COROLÁRIO Sejam A e B conjuntos finitos,ambos com n elementos. Seja f : A → B. Sãoequivalentes:
1. f é injetiva;
2. f é sobre;
3. f é bijetiva.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 13/18
Conjuntos Finitos
COROLÁRIO Sejam A e B conjuntos finitos,ambos com n elementos. Seja f : A → B. Sãoequivalentes:
1. f é injetiva;
2. f é sobre;
3. f é bijetiva.
COROLÁRIO Seja A um conjunto. Se A é finito,não existe bijeção entre A e uma parte própriade A.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 13/18
Conjuntos Finitos
TEOREMA Sejam X um conjunto finito com nelementos e A ⊂ X. Então A é finito e temm 6 n elementos.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 14/18
Conjuntos Finitos
TEOREMA Sejam X um conjunto finito com nelementos e A ⊂ X. Então A é finito e temm 6 n elementos.
COROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:
1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito.
2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 14/18
Conjuntos Finitos
TEOREMA Sejam X um conjunto finito com nelementos e A ⊂ X. Então A é finito e temm 6 n elementos.
COROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:
1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito.
2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito.
COROLÁRIO X ⊂ N é finito se, e somente se, forlimitado, i.e. se existir p ∈ N tal que(∀n ∈ X)n 6 p.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 14/18
Conjuntos Finitos
TEOREMA Sejam X um conjunto finito com nelementos e A ⊂ X. Então A é finito e temm 6 n elementos.
COROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:
1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito.
2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito.
COROLÁRIO X ⊂ N é finito se, e somente se, forlimitado, i.e. se existir p ∈ N tal que(∀n ∈ X)n 6 p.
COROLÁRIO N não é finito.Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 14/18
Conjuntos Enumeráveis enão-Enumeráveis
DEFINIÇÃO Um conjunto X se diz infinito se nãofor finito; X se diz enumerável se for finito ou seexistir uma bijeção N → X.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 15/18
Conjuntos Enumeráveis enão-Enumeráveis
TEOREMA Seja X um conjunto. Sãoequivalentes:
1. X é infinito;
2. existe f : N → X injetiva;
3. existe uma bijeção entre X e uma parteprópria de X.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 16/18
Conjuntos Enumeráveis enão-Enumeráveis
TEOREMA Seja X ⊂ N. Então X é enumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 17/18
Conjuntos Enumeráveis enão-Enumeráveis
TEOREMA Seja X ⊂ N. Então X é enumerável.
COROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:
1. Se Y é enumerável e f injetiva, então X éenumerável.
2. Se X é enumerável e f é sobre, então Y éenumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 17/18
Conjuntos Enumeráveis enão-Enumeráveis
TEOREMA N × N é enumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 18/18
Conjuntos Enumeráveis enão-Enumeráveis
TEOREMA N × N é enumerável.
COROLÁRIO O produto cartesiano de doisconjuntos enumeráveis é um conjuntoenumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 18/18
Conjuntos Enumeráveis enão-Enumeráveis
TEOREMA N × N é enumerável.
COROLÁRIO O produto cartesiano de doisconjuntos enumeráveis é um conjuntoenumerável.
COROLÁRIO Seja (Xi)i∈N uma famíliaenumerável de conjuntos enumeráveis. Então∪i∈NXi é enumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 18/18
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