compensarea unei reŢele geodezice tridimensionale ... de studiu-autoinstruire pentru disciplina...
Post on 30-Aug-2019
74 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
COMPENSAREA UNEI REŢELE GEODEZICE
TRIDIMENSIONALE, DESFĂȘURATE SUB FORMA UNEI
DRUMUIRI
A. TEMA PROIECTULUI
Măsurătorile cu stațiile totale permit obținerea datelor necesare
prelucrării tridimensionale a unei rețele geodezice. Astfel, în modelul de
compensare vor fi incluse unghiuri orizontale, verticale și distanțe înclinate.
Dacă există și diferențe de nivel din măsurători de nivelment geometric,
acestea pot fi de asemenea incluse în compensarea riguroasă.
Datele se obțin prin măsurători raportate la suprafața terestră, ceea ce
face ca acestea să fie exprimate într-un sistem geodezic local de coordonate.
Sistemul local geodezic își are originea în fiecare punct de stație, astfel că nu
există un singur sistem de coordonate unitar pentru întreaga rețea. De aceea,
trebuie aplicate relațiile de legătură între coordonatele locale și cele globale,
pentru toate punctele de stație. Determinarea finală a coordonatelor în
sistemul global permite adăugarea și eventualelor observații GNSS pentru
vectorii din rețea, urmând să se aplice suplimentar și o transformare 3D, dacă
sistemul de coordonate în care se efectuează compensarea nu este unul
geocentric.
Se consideră o reţea geodezică desfășurată sub forma unei drumuiri
poligonometrice sprijinite pe patru puncte vechi (A, B, C, D) de coordonate
cunoscute şi având șase puncte noi (101, 102, … , 106) pentru îndesirea unei
reţele geodezice existente în zona urbană (figura III.1). Coordonatele
punctelor vechi au rezultat într-o etapă anterioară, din prelucrarea
măsurătorilor GNSS, efectuate în rețeaua geodezică spațială a localității.
În teren, s-au efectuat observaţii azimutale prin metoda seriilor
complete, cu o staţie totală având precizia de 7'', direcţiile azimutale fiind
prelucrate în staţie şi reduse la originea zero. În cazul măsurării distanţelor,
precizia determinării este de 2 mm + 2 ppm.
Corecţiile necesare măsurătorilor unghiulare din teren se referă la
reducerea influenței deviației verticalei, atunci când se cunosc componentele
acesteia, a diferențelor de înălțime ale prismei, precum și a influenței
fenomenului de refracție atmosferică verticală, în cazul observațiilor zenitale.
Pentru măsurătorile de distanţe, acestea necesită a fi corectate prin aplicarea
formulelor de reducere la nivelul punctelor materializate în teren.
Această etapă preliminară de calcul al corecţiilor de reducere a
mărimilor măsurate s-a rezolvat anterior, astfel că elementele unghiulare și
distanţele înclinate rezultate constituie elementele necesare, ce vor intra în
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
2
cadrul etapelor de compensare riguroasă a reţelei prin metoda observaţiilor
indirecte. În final, după încheierea procesului de prelucrare, se prezintă
calculele de evaluare a preciziei rezultatelor obţinute prin compensare.
B. DATELE PROIECTULUI
1. Figura III.1 - Schiţa drumuirii desfășurate:
2. Tabelul III.1 - Coordonatele geodezice elipsoidale ale punctelor vechi
Denumire
punct
Coordonate geodezice elipsoidale ETRS - 89
B [° ' ''] L [° ' ''] HE [m]
1 2 3 4
A 45°48'15,04526" 26°46'38,36955" 394,326
B 45°48'08,59953" 26°46'33,14870" 396,362
C 45°49'04,84566" 26°46'44,44652" 380,720
D 45°49'04,43723" 26°46'42,02473" 380,244
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
3
Ta
bel
ul
III.
2
β
oji
k [
g c
cc]
zoij [
g c
cc]
12
34
56
78
B-
--
-
10
11
00
,64
73
± 2
1,4
cc
A9
9,3
57
2±
29
,3cc
10
21
00
,40
98
± 2
2,6
cc
10
19
9,5
97
5±
26
,3cc
10
31
00
,57
57
± 2
2,5
cc
10
29
9,4
28
8±
16
,6cc
10
41
00
,72
57
± 2
9,6
cc
10
39
9,2
79
8±
24
,3cc
10
51
00
,44
91
± 2
6,8
cc
10
49
9,5
58
0±
25
,3cc
10
61
00
,68
38
± 2
4,3
cc
10
59
9,3
18
4±
20
,7cc
C1
00
,37
24
± 1
8,8
cc
10
69
9,6
29
3±
22
,3cc
D-
--
-
Un
gh
iuri
ori
zon
tale
pre
lucr
ate
în
sta
ţie
Ero
ri
s β [
cc]
Un
gh
iuri
zen
ita
le
pre
lucr
ate
în
sta
ţie
Ero
ri
s z [
cc]
Ero
ri
s s [
m]
± 0
,00
8
± 0
,00
7
± 0
,00
9
10
2±
19
,2cc
27
2,9
53
10
3
Dis
tan
ţa î
ncl
ina
tă
pre
lucr
ată
în
sta
ţie
soij (
m)
Pu
nct
sta
ţie
Pu
nct
viz
at
10
4±
20
,3cc
23
8,1
57
10
5±
21
,5cc
14
1,8
56
10
6±
14
,6cc
± 0
,00
5
± 0
,00
6
± 0
,00
7
± 0
,00
6
34
1,7
15
C±
24
,6cc
A±
12
,4cc
28
5,5
19
10
1±
17
,9cc
25
3,6
45
11
2,6
88
6
17
9,6
81
8
20
7,0
11
0
19
0,8
53
4
17
1,9
69
5
18
9,5
15
4
20
2,0
15
1
19
8,3
90
3
± 1
5,8
cc
12
7,9
05
3. T
abel
ul
III.
2 –
Unghiu
rile
ori
zonta
le, ze
nit
ale
și
dis
tanțe
le m
ăsu
rate
și
pre
lucr
ate
în s
tați
ile
din
dru
muir
e
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
4
C. CUPRINSUL PROIECTULUI
Etapa 3.1. Calculul elementelor provizorii ale drumuirii
3.1.1. Calculul coordonatelor carteziene elipsoidale provizorii ale
punctelor noi.
3.1.2. Calculul elementelor unghiulare şi a distanţelor provizorii
dintre punctele noi şi punctele vechi şi dintre punctele noi.
Etapa 3.2. Formarea și scrierea sistemului ecuaţiilor de corecţii
3.2.1. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru distanțe
înclinate.
3.2.2. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru unghiuri
zenitale.
3.2.3. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru unghiuri
orizontale.
3.2.4. Formarea modelului matriceal al sistemului ecuațiilor de
corecții.
Etapa 3.3. Formarea și rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale ale
necunoscutelor
Etapa 3.4. Calculul elementelor compensate ale drumuirii şi verificarea
compensării
3.4.1. Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noi.
3.4.2. Calculul elementelor unghiulare şi a distanţelor compensate, cu
verificarea compensării.
Etapa 3.5. Evaluarea preciziei rezultatelor compensării
3.5.1. Calculul erorii medii pătratice a unităţii de pondere.
3.5.2. Calculul erorilor medii pătratice ale unghiurilor şi distanţelor
măsurate pe teren.
3.5.3. Calculul erorilor medii pătratice ale coordonatelor compensate
ale punctelor noi.
3.1. Calculul elementelor provizorii ale drumuirii
Elementele provizorii în reţea sunt reprezentate de coordonatele
carteziene elipsoidale ale punctelor noi, care vor intra în compensare după o
determinare aproximativă, de unghiurile orizontale dintre laturile drumuirii,
de unghiurile zenitale ale fiecărei direcții măsurate şi de distanţele înclinate
ale laturilor drumuirii, toate acestea din urmă fiind calculate din coordonatele
provizorii ale punctelor de stație.
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
5
3.1.1. Calculul coordonatelor carteziene elipsoidale provizorii ale punctelor
noi.
Mai întâi, coordonatele geodezice elipsoidale ale punctelor vechi se
vor exprima în sistem cartezian (tabelul III.3), pe baza relațiilor de conversie:
( ) cos cos ;EX N H B L
( ) cos sin ;EY N H B L
2[ (1 ) ] sin .EZ N e H B
unde 2 21 sin
aN
e B
reprezintă raza de curbură a primului vertical, care
se determină funcţie de latitudinea geodezică (B) a punctului considerat şi de
parametrii geometrici (a, e2) ai elipsoidului de referinţă GRS – 80:
a = 6378137 m;
e2 = 0,006694380023.
Tabelul III.3 – Coordonatele carteziene elipsoidale ale punctelor vechi
Denumire
punct
Coordonate carteziene elipsoidale ETRS - 89
X [m] Y [m] Z [m] 1 2 3 4
A 3976573,287 2006736,789 4550384,041
B 3976752,734 2006701,056 4550246,760
C 3975521,381 2006352,912 4551446,066
D 3975552,715 2006310,160 4551436,936
Pentru determinarea coordonatelor carteziene elipsoidale provizorii
ale punctelor noi, se parcurg următoarele etape de calcul:
transformarea coordonatelor geodezice elipsoidale ETRS-89 (B, L)
ale punctelor vechi în coordonatele rectangulare plane ale unei
proiecții cartografice (x, y) – de exemplu proiecția Stereo-70, prin
aplicația TransDatRo;
transformarea altitudinii elipsoidale HE într-un sistem de altitudini
relaționat gravimetric – de exemplu sistemul de altitudini normale
Marea Neagră – 1975, prin aplicația TransDatRo;
rezolvarea topografică - tahimetrică a drumuirii desfășurate, pentru
determinarea coordonatelor rectangulare plane provizorii Stereo – 70
(x, y) și a altitudinii normale provizorii Marea Neagră – 1975 (HMN),
ale punctelor noi de stație ale drumuirii (tabelul III.4).
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
6
Tabelul III.4 – Coordonatele plane și altitudinile provizorii ale punctelor noi
Denumire
punct
Coordonate rectangulare plane Stereo-70 Altitudini normale
X [m] Y [m] HMN [m] 1 2 3 4
101 480064,586 638371,075 357,733
102 480287,195 638492,546 356,123
103 480544,930 638582,225 353,673
104 480672,093 638568,763 352,219
105 480902,844 638510,044 350,549
106 481043,292 638490,383 349,029
transformarea coordonatelor spațiale ale punctelor noi (x, y, HMN) în
coordonate geodezice elipsoidale ETRS – 89 (B, L, HE) prin aplicația
TransDatRo (tabelul III.5);
Tabelul III.5 - Coordonatele geodezice elipsoidale ale punctelor noi
Denumire
punct
Coordonate geodezice elipsoidale ETRS – 89 provizorii
Bo [°,…] L
o [°,…] (H
E)o [m]
1 2 3 4
101 45,806445408 26,779053778 391,424
102 45,808423628 26,780680150 389,805
103 45,810724214 26,781907761 387,350
104 45,811870889 26,781771108 385,899
105 45,813958544 26,781081986 384,238
106 45,815225975 26,780869375 382,721
conversia coordonatelor geodezice elipsoidale (B, L, HE) ale
punctelor de stație noi ale drumuirii, în coordonate carteziene
elipsoidale (X, Y, Z) pe elipsoidul GRS - 80 (tabelul III.6).
Tabelul III.6 - Coordonatele carteziene elipsoidale ale punctelor noi
Denumire
punct
Coordonate carteziene elipsoidale ETRS – 89 provizorii
Xo
[m] Yo [m] Z
o [m]
1 2 3 4
101 3976349,693 2006774,499 4550557,556
102 3976150,971 2006815,823 4550709,673
103 3975942,756 2006817,623 4550886,161
104 3975865,050 2006766,504 4550973,962
105 3975739,604 2006643,187 4551134,512
106 3975655,918 2006582,438 4551231,615
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
7
3.1.2. Calculul elementelor unghiulare şi a distanţelor provizorii dintre
punctele noi şi punctele vechi şi dintre punctele noi
Pe baza coordonatelor carteziene elipsoidale (X,Y,Z) ale punctelor
din drumuire, se calculează mărimile provizorii ale elementelor unghiulare și
ale distanțelor (figura III.2), folosind relaţiile:
distanțe înclinate provizorii: * 2 2 2( ) ( ) ( ) ;o o o
ij ij ij ijs X Y Z
unghiuri orizontale provizorii:
β*jik = A*ik - A*ij ,
unde A*
ik, A*ij – reprezintă azimutele provizorii ale direcțiilor componente ale
unghiului orizontal βjik:
* sin cos
;sin cos sin sin cos
o o o o
ik i ik iik o o o o o o o o
ik i i ik i i ik i
X L Y LA arctg
X B L Y B L Z B
*sin cos
;sin cos sin sin cos
o o o o
ij i ij i
ij o o o o o o o o
ij i i ij i i ij i
X L Y LA arctg
X B L Y B L Z B
unghiuri zenitale provizorii:
*
2 2 2
cos cos cos sin sinarccos .
( ) ( ) ( )
o o o o o o o o
ij i i ij i i ij i
ijo o o
ij ij ij
X B L Y B L Z Bz
X Y Z
Figura III.2 – Elemente măsurate în sistemul geodezic local
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
8
În formulele de mai sus, (B, L) reprezintă latitudinea și longitudinea
punctului de stație (i), iar diferențele (ΔX, ΔY, ΔZ) se efectuează între
punctul de stație (i) și punctul vizat (j;k). Relațiile prezentate fac legătura
între sistemul local de coordonate (n, e, u) în care se execută măsurătorile din
teren și sistemul global de coordonate (X, Y, Z), având în vedere următoarele
caracteristici de definire a sistemului de axe local (figura III.3):
Figura III.3 - Poziționarea sistemului geodezic local în raport cu cel global
axa u - se orientează de-a lungul normalei la elipsoid, în punctul de
stație;
axa n - se orientează în planul orizontal, de-a lungul meridianului
locului, către nordul geodezic;
axa e - se orientează la 90o în plan orizontal, în sens orar față de axa n.
Pentru a putea fi folosite mai departe în prelucrarea riguroasă prin
metoda celor mai mici pătrate, ecuațiile de mai sus urmează să fie liniarizate
în raport cu sistemul de coordonate local, în vederea scrierii sistemului
ecuațiilor de corecții ale necunoscutelor.
Rezultatele obținute pentru mărimile provizorii ale elementelor
măsurate în teren se prezintă în tabelul III.7.
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
9
Ta
bel
ul
III.
7
12
34
56
B-
-2
32
,81
34
10
12
85
,52
41
00
,64
85
31
,20
27
A2
85
,52
49
9,3
54
42
31
,20
41
10
22
53
,64
81
00
,40
76
33
,21
88
10
12
53
,64
89
9,5
94
92
33
,22
01
10
32
72
,95
61
00
,57
40
22
,73
72
10
22
72
,95
69
9,4
28
82
22
,73
82
10
41
27
,90
81
00
,72
28
39
4,7
06
8
10
31
27
,90
89
9,2
78
41
94
,70
67
10
52
38
,16
01
00
,44
52
38
5,5
58
1
10
42
38
,16
09
9,5
57
21
85
,55
76
10
61
41
,85
41
00
,68
15
39
2,5
66
4
10
51
41
,85
49
9,3
19
91
92
,56
62
C3
41
,71
91
00
,37
45
37
2,2
48
5
10
63
41
,71
99
9,6
28
91
72
,24
70
D-
-2
84
,93
32
20
7,0
08
8
A1
98
,38
94
10
12
02
,01
47
10
21
89
,51
71
10
61
79
,68
22
C1
12
,68
62
Pu
nct
sta
ţie
Pu
nct
viz
at
Dis
tan
ţe î
ncl
ina
te
pro
viz
ori
i
s*ij (
m)
Un
gh
iuri
zen
ita
le
pro
viz
ori
i
z*ij [
g c
cc]
Azi
mu
te p
rov
izo
rii
A*
ij [
g c
cc]
Un
gh
iuri
ori
zon
tale
pro
viz
ori
i
β*
jik [
g c
cc]
10
31
71
,96
86
10
41
90
,85
15
10
5
Tabel
ul
III.
7 –
Mări
mil
e pro
vizo
rii
ale
ele
men
telo
r m
ăsu
rate
pe
tere
n
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
10
3.2. Formarea și scrierea sistemului ecuaţiilor de corecţii
3.2.1. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru distanțe înclinate.
Ecuația de corecție scrisă pentru o distanță înclinată măsurată
(măsurătoarea t) este de forma:
vt (sij) = a1t dni + a2t dei + a3t dui + a4t dnj + a5t dej + a6t duj + (s*
ij - soij),
unde:
so
ij este distanța înclinată măsurată (tabelul III.2, coloana 7);
s*
ij este distanța înclinată calculată din coordonatele carteziene
elipsoidale provizorii (tabelul III.7, coloana 3);
dni, dei, dui reprezintă necunoscutele sistemului, corespunzătoare
punctului de stație (i);
dnj, dej, duj reprezintă necunoscutele sistemului, corespunzătoare
punctului vizat (j);
a1t,a2t,...,a6t reprezintă variațiile distanței înclinate în raport cu
variația coordonatelor rectangulare ale sistemului geodezic local:
* *
1 cos sin ;ij
t ij ij
i o
sa A Z
n
* *
2 sin sin ;ij
t ij ij
i o
sa A Z
e
*
3 cos ;ij
t ij
i o
sa Z
u
* *
4 cos sin ;ij
t ji ji
j o
sa A Z
n
* *
5 sin sin ;ij
t ji ji
j o
sa A Z
e
*
6 cos .ij
t ji
j o
sa Z
u
Calculul coeficienților (a1t, a2t ,..., a6t) și a termenului liber (s*
ij - so
ij)
pentru fiecare din cele 7 distanțe înclinate măsurate în drumuire, se prezintă
în tabelul III.8. Coeficienții au valori adimensionale și subunitare, iar
termenii liberi se exprimă în metri.
Ponderile fiecărei măsurători se vor calcula invers proporțional cu
pătratul erorilor medii pătratice de determinare a distanțelor, exprimate în
metri (tabelul III.8): 21/ .i jij sp s
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
11
Tabelul III.8 – Formarea ecuațiilor de corecții pentru distanțe înclinate
Coeficienți,
termeni liberi
și ponderi
Distanţe înclinate măsurate
sA-101 s101-102 s102-103 s103-104 s104-105 s105-106 s106-C
0 1 2 3 4 5 6 7
/dn101 0,8822 -0,8669 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
/de101 0,4707 -0,4984 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
/du101 -0,0101 0,0064 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
/dn102 0,0000 0,8669 -0,9369 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
/de102 0,0000 0,4984 -0,3496 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
/du102 0,0000 -0,0064 0,0090 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
/dn103 0,0000 0,0000 0,9369 -0,9965 0,0000 0,0000 0,0000
/de103 0,0000 0,0000 0,3496 0,0830 0,0000 0,0000 0,0000
/du103 0,0000 0,0000 -0,0090 0,0114 0,0000 0,0000 0,0000
/dn104 0,0000 0,0000 0,0000 0,9965 -0,9744 0,0000 0,0000
/de104 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0830 0,2249 0,0000 0,0000
/du104 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0113 0,0070 0,0000 0,0000
/dn105 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9744 -0,9931 0,0000
/de105 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,2249 0,1165 0,0000
/du105 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0070 0,0107 0,0000
/dn106 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9931 -0,9065
/de106 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,1165 0,4222
/du106 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0107 0,0059
Termen liber 0,0045 0,0031 0,0031 0,0030 0,0028 -0,0015 0,0037
Pondere 15625 20408 12346 27778 40000 27778 20408
3.2.2. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru unghiuri zenitale.
Ecuația de corecție scrisă pentru un unghi zenital măsurat
(măsurătoarea t) este de forma:
vt (zij) = b1t dni + b2t dei + b3t dui + b4t dnj + b5t dej + b6t duj + (z*
ij - zo
ij),
unde:
zo
ij este unghiul zenital măsurat (tabelul III.2, coloana 5);
z*
ij este unghiul zenital calculat din coordonatele carteziene
elipsoidale provizorii (tabelul III.7, coloana 4);
dni, dei, dui reprezintă necunoscutele sistemului, corespunzătoare
punctului de stație (i);
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
12
dnj, dej, duj reprezintă necunoscutele sistemului, corespunzătoare
punctului vizat (j);
b1t, b2t,...,b6t reprezintă variațiile mărimii unghiului zenital în raport
cu variația coordonatelor rectangulare ale sistemului geodezic local:
* *
1 *
cos cos;
ij ij ij
t
i ijo
z Z Ab
n s
* *
2 *
cos sin;
ij ij ij
t
i ijo
z Z Ab
e s
*
3 *
sin;
ij ij
t
i ijo
z Zb
u s
* * *
4 * *
cos sin cos( ) sin cos cos sin cos;
sin
o o o o o o
ij i j j i i j ij ji ji
t
j ij ijo
z B B L L B B Z Z Ab
n s Z
* * *
5 * *
cos sin( ) cos sin sin;
sin
o o o
ij i j i ij ji ji
t
j ij ijo
z B L L Z Z Ab
e s Z
* *
6 * *
cos cos sin sin cos cos cos( ).
sin
o o o o o o
ij ij ji i j i j j i
t
j ij ijo
z Z Z B B B B L Lb
u s Z
Calculul coeficienților (b1t, b2t , ..., b6t) și a termenului liber (z*
ij - zo
ij)
pentru fiecare din cele 14 unghiuri zenitale măsurate în drumuire, se prezintă
în tabelul III.9. Coeficienții se exprimă în cc·m-1
, prin înmulțirea cu
coeficientul ρcc
, iar termenii liberi în secunde centezimale.
Ponderile fiecărei măsurători se vor calcula invers proporțional cu
pătratul erorilor medii pătratice de determinare a unghiurilor zenitale,
exprimate în secunde centezimale (tabelul III.9): 21/ .i jij zp s
3.2.3. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru unghiuri orizontale.
Considerând unghiurile orizontale ca diferență a celor două azimute
ale laturilor care le compun (βjik = Aik - Aij) și având sensul de parcurgere
orar, ecuația de corecție scrisă pentru un unghi orizontal din drumuire
(măsurătoarea t) va avea forma:
vt (βjik) = c1t dnj + c2t dej + c3t duj + c4t dni + c5t dei + c6t dui +
c7t dnk + c8t dek + c9t duk + (β*
jik – βo
jik),
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
13
z 10
1-1
02
03
/dn
10
113,9
3
/de 1
01
8,0
1
/du
10
12509,8
0
/dn
10
2-1
3,8
4
/de 1
02
-7,9
6
/du
10
2-2
509,8
0
/dn
10
30,0
0
/de 1
03
0,0
0
/du
10
30,0
0
/dn
10
40,0
0
/de 1
04
0,0
0
/du
10
40,0
0
/dn
10
50,0
0
/de 1
05
0,0
0
/du
10
50,0
0
/dn
10
60,0
0
/de 1
06
0,0
0
/du
10
60,0
0
Ter
men
lib
er-2
2,1
9
Ponder
e0,0
020
Coef
icie
nți
,
term
eni
lib
eri
și p
on
der
i
Un
gh
iuri
zen
itale
măsu
rate
14
-19,9
519,9
5-1
3,9
30,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0
89
10
11
12
13
12
45
67
0,0
00,0
00,0
00,0
0
-10,6
410,6
4-8
,01
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0
7,3
5-7
,35
0,0
00,0
00,0
00,0
0
0,0
0-2
229,5
42229,5
4-2
509,8
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
013,8
419,7
0-1
9,7
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
0
56,3
2-5
6,3
20,0
00,0
0
0,0
00,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
02509,8
02332,2
2-2
332,2
20,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
07,9
6
0,0
00,0
0
0,0
00,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
00,0
0-7
,32
7,3
2-4
,69
0,0
04,6
90,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
00,0
0-1
9,6
119,6
1
0,0
00,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0-5
6,2
20,0
056,2
218,2
1-1
8,2
10,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
00,0
0-2
332,2
22332,2
24976,8
5-4
976,8
5
0,0
0
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0-4
976,8
50,0
04976,8
52673,0
1-2
673,0
10,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
04,6
9-4
,69
-4,2
04,2
0
0,0
0
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
04,1
8-4
,18
-5,6
05,6
00,0
0
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0-1
8,1
218,1
2
0,0
0
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0-9
,93
0,0
00,0
00,0
0-4
7,6
247,6
29,9
3
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0-2
673,0
12673,0
1
4487,5
81862,9
6
4,6
3
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0
0,0
00,0
00,0
0
-3,9
9
0,0
022
0,0
012
0,0
014
0,0
020
0,0
036
0,0
011
-1862,9
6
11,8
4-2
8,3
2-2
5,8
2-1
7,8
8-0
,28
-28,5
8-1
3,6
3-3
8,6
5-8
,12
0,0
00,0
00,0
0-4
487,5
8
5,5
9-5
,59
-4,6
3
4487,5
8-4
487,5
80,0
0
47,7
2-4
7,7
20,0
0
z 10
5-1
04
z 10
5-1
06
z 10
6-1
05
z 10
6-C
z C-1
06
Tabel
ul
III.
9
0,0
020
z A-1
01
z 10
1-A
z 10
2-1
01
z 10
2-1
03
z 10
3-1
02
z 10
3-1
04
z 10
4-1
03
z 10
4-1
05
0,0
017
0,0
014
0,0
016
0,0
017
0,0
023
0,0
028
-22,3
714,8
420,9
4
Tabel
ul
III.
9 –
Form
are
a e
cuați
ilor
de
core
cții
pen
tru u
nghiu
ri z
enit
ale
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
14
unde:
βo
jik este unghiul orizontal măsurat (tabelul III.2, coloana 3);
β*
jik = A*
ik - A*
ij este unghiul orizontal (tabelul III.7, coloana 6)
calculat cu ajutorul azimutelor obținute din coordonatele carteziene
elipsoidale provizorii (tabelul III.7, coloana 5);
dni, dei, dui reprezintă necunoscutele sistemului, corespunzătoare
punctului de stație (i);
dnj, dej, duj reprezintă necunoscutele sistemului, corespunzătoare
punctului vizat înapoi în drumuire (j);
dnk, dek, duk reprezintă necunoscutele sistemului, corespunzătoare
punctului vizat înainte în drumuire (k);
c1t, c2t,...,c6t reprezintă variațiile mărimii unghiului orizontal în raport
cu variația coordonatelor rectangulare ale sistemului geodezic local:
*
1 * * *
sin sin sin( )cos( ) ;
sin
o o o
jik ij j j io o
t j i
j ij ij ijo
A B L Lc B B
n s Z tgA
*
*
2 * *
cos[cos( ) sin sin( ) ];
sin
jik ij o o o o o
t j i i j i ij
j ij ijo
Ac L L B L L tgA
e s Z
*
*
3 * *
cos cos[sin( ) (sin cos( ) cos ) ];
sin
o
jik ij j o o o o o o o
t j i i j i i j ij
j ij ijo
A Bc L L B L L B tgB tgA
u s Z
**
4 * * * *
sinsin;
sin sin
jik ijikt
i ik ik ij ijo
AAc
n s Z s Z
* *
5 * * * *
cos cos;
sin sin
jik ij ikt
i ij ij ik iko
A Ac
e s Z s Z
6 0;
jik
t
i o
cu
*
7 * * *
sin sin sin( )cos( ) ;
sin
o o ojik o oik k k i
t k i
k ik ik iko
A B L Lc B B
n s Z tgA
*
*
8 * *
cos[cos( ) sin sin( ) ];
sin
jik o o o o oikt k i i k i ik
k ik iko
Ac L L B L L tgA
e s Z
*
*
9 * *
cos cos[sin( ) (sin cos( ) cos ) ].
sin
ojik o o o o o o oik k
t k i i k i i k ik
k ik iko
A Bc L L B L L B tgB tgA
u s Z
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
15
Calculul coeficienților (c1t, c2t ,...,c9t) și a termenului liber (β*
jik - βo
jik)
pentru fiecare din cele 8 unghiuri orizontale din drumuire, se prezintă în
tabelul III.10. Coeficienții se exprimă în cc·m-1
, prin înmulțirea cu
coeficientul ρcc
, iar termenii liberi în secunde centezimale.
Ponderile fiecărei măsurători se vor calcula invers proporțional cu
pătratul erorilor medii pătratice de determinare a unghiurilor orizontale,
exprimate în secunde centezimale (tabelul III.10): 21/ .jikijp s
Tabelul III.10 - Formarea ecuațiilor de corecții pentru unghiuri orizontale Coeficienți,
termeni
liberi și
ponderi
Unghiuri orizontale din drumuire
β
B-A-101
β
A-101-102
β
101-102-103
β
102-103-104
β
103-104-105
β
104-105-106
β
105-106-C
β
106-C-D
0 1 2 3 4 5 6 7 8
/dn101 -1049,69 2300,73 -1251,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
/de101 1967,29 -4143,14 2175,85 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
/du101 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
/dn102 0,00 -1251,08 2066,52 -815,43 0,00 0,00 0,00 0,00
/de102 0,00 2175,92 -4361,10 2185,20 0,00 0,00 0,00 0,00
/du102 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
/dn103 0,00 0,00 -815,47 402,09 413,38 0,00 0,00 0,00
/de103 0,00 0,00 2185,24 -7145,50 4960,29 0,00 0,00 0,00
/du103 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
/dn104 0,00 0,00 0,00 413,39 -1014,61 601,22 0,00 0,00
/de104 0,00 0,00 0,00 4960,29 -7564,95 2604,64 0,00 0,00
/du104 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
/dn105 0,00 0,00 0,00 0,00 601,24 -1124,11 522,87 0,00
/de105 0,00 0,00 0,00 0,00 2604,66 -7062,18 4457,53 0,00
/du105 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
/dn106 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 522,88 -1309,53 786,65
/de106 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4457,53 -6146,33 1688,76
/du106 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Termen
liber -9,18 -4,48 17,09 -8,65 -19,38 -21,83 4,37 -24,42
Pondere 0,0065 0,0031 0,0027 0,0040 0,0024 0,0022 0,0047 0,0017
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
16
3.2.4. Formarea modelului matriceal al sistemului ecuațiilor de corecții.
Numărul ecuaţiilor de corecţii este egal cu numărul elementelor
măsurate (r = 29), respectiv a unghiurilor orizontale, verticale şi a distanţelor
înclinate. Notând cu N numărul punctelor noi, numărul general de
necunoscute este 3N, fiind format din corecţiile dn, de şi du pentru fiecare
punct nou al drumuirii (n = 3N = 18).
Pentru formarea modelului funcţional matriceal ponderat:
Brn Xn1 + Lr1 = Vr1, cu pondere Prr ,
(B29-18 X18-1 + L29-1 = V29-1, cu pondere P29-29),
se vor grupa elementele componente ale matricelor astfel:
matricea coeficienţilor sistemului ecuaţiilor de corecţii:
101 101 101
101 101 101
106 106 106
106 106 106
101 101 101
101 101
29 18
0 ... 0
... ... ... ... ... ...
0 ... 0
A A A
o o o
C C C
o o o
B A B A B A
o o
s s s
n e u
s s s
n e u
n e
B
101
106 106 106
106 106 106
101 101 101
101 101 101
106
106
0 ... 0
... ... ... ... ... ...
0 ... 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ...
0 ... 0
o
C D C D C D
o o o
A A A
o o o
C
u
n e u
z z z
n e u
z
n
106 106
106 106
;
C C
o o o
z z
e u
matricea – vector a parametrilor necunoscuţi (corecţiile coordonatelor
rectangulare ale punctelor noi, în sistem geodezic local):
18 1 1 18 101 101 101 106 106 106[ , , ,..., , , ];TX X dn de du dn de du
matricea – vector a termenilor liberi ai sistemului ecuaţiilor de corecţii:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
29 1 1 29 1 7 8 15 16 29[ ,..., , ,..., , ,..., ];T s s z zL L l l l l l l
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
17
matricea – vector a corecţiilor mărimilor măsurate:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
29 1 1 29 1 7 8 15 16 29[ ,..., , ,..., , ,..., ];T s s z zV V v v v v v v
matricea ponderilor sistemului ecuaţiilor de corecţii:
( )
1
( )
7
( )
8
29 29
( )
15
( )
16
... ... ... ... ... ... ... 0
... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 ... ... ... ... ... ... 0
0 ... ... ... ... ... ... 0
... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 ... ... ... ... ... ... 0
0 ... ... ... ... ... ... 0
... ... ... .
s
s
z
p
p
p
P
p
p
( )
29
.
.. ... ... ... ... ...
0 ... ... ... ... ... ... ... zp
3.3. Formarea și rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale ale
necunoscutelor
Prin aplicarea condiției de minim pentru suma produselor dintre
ponderi și pătratele corecțiilor ([pvv] → minim), se ajunge la un sistem de 18
ecuaţii cu 18 necunoscute, reprezentând sistemul ecuaţiilor normale ale
necunoscutelor:
BT
nr Prr Brn Xn1 + BT
nr Prr Lr1 = 0n1,
sau:
BT
18-29 P29-29 B29-18 X18-1 + BT
18-29 P29-29 L29-1 = 018-1.
Înlocuind produsul matricial (BT
nr Prr Brn) cu matricea normală (Nnn) și
produsul matricial (BT
nr Prr Lr1) cu matricea – vector (Tn1), sistemul ecuațiilor
normale se va rescrie sub forma:
Nnn Xn1 + Tn1 = 0n1,
sau
N18-18 X18-1 + T18-1 = 018-1,
unde matricele componente ale sistemului se obţin prin operaţiile de
transpunere şi înmulţire matriceală, folosind funcţiile specifice programului
de calcul Microsoft Excel (TRANSPOSE, MMULT):
N18-18 = BT
18-29 P29-29 B29-18 este matricea coeficienţilor ecuaţiilor
normale ale necunoscutelor (tabelul III.11);
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
18
T18-1 = BT
18-29 P29-29 L29-1 este matricea – vector a termenilor liberi din
ecuaţiile normale ale necunoscutelor.
Rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale se efectuează prin metoda
inversării matricei coeficienţilor ecuaţiilor normale, rezultând în final,
matricea – vector a parametrilor necunoscuţi:
Xn1 = - (Nnn)-1
Tn1 = - Qnn Tn1
sau
X18-1 = - (N18-18)-1
T18-1 = - Q18-18 T18-1
unde: Qnn= (Nnn)-1
este matricea coeficienţilor de pondere ai necunoscutelor,
calculată cu ajutorul programului Microsoft Excel (tabelul III.12, coloanele
1-18), prin utilizarea funcţiei specifice de inversare a matricei (MINVERSE) .
Valorile necunoscutelor dn, de şi du s-au obţinut în metri (tabelul
III.12, coloana 19) pe baza relaţiei matriceale de mai sus, având în vedere
modul de definire al coeficienţilor, ponderilor și termenilor liberi din sistemul
ecuațiilor de corecții.
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
19
Tabe
lul I
II.1
1
N[1
8-18
]1
23
45
67
89
1011
1213
1415
1617
18
15,
50E
+04
-3,5
0E+0
41,
50E
+01
-3,1
0E+0
42,
20E
+04
-6,4
0E+0
02,
80E
+03
-7,4
0E+0
33,
60E
-04
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
0
2-3
,50E
+04
1,00
E+0
58,
40E
+00
2,00
E+0
4-5
,90E
+04
-3,7
0E+0
0-4
,80E
+03
1,30
E+0
4-6
,30E
-04
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
0
31,
50E
+01
8,40
E+0
03,
80E
+04
-5,0
0E+0
0-2
,90E
+00
-2,1
0E+0
4-3
,10E
-04
8,40
E-0
4-4
,10E
-11
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
0
4-3
,10E
+04
2,00
E+0
4-5
,00E
+00
4,50
E+0
4-2
,70E
+04
1,60
E+0
2-1
,70E
+04
3,20
E+0
4-1
,50E
+02
-1,4
0E+0
3-1
,60E
+04
-8,8
0E-0
50,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
0
52,
20E
+04
-5,9
0E+0
4-2
,90E
+00
-2,7
0E+0
49,
20E
+04
6,10
E+0
19,
10E
+03
-9,0
0E+0
4-5
,80E
+01
3,60
E+0
34,
30E
+04
2,40
E-0
40,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
0
6-6
,40E
+00
-3,7
0E+0
0-2
,10E
+04
1,60
E+0
26,
10E
+01
5,20
E+0
4-1
,50E
+02
-5,7
0E+0
1-3
,10E
+04
1,80
E-0
42,
10E
-03
1,20
E-1
10,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
0
72,
80E
+03
-4,8
0E+0
3-3
,10E
-04
-1,7
0E+0
49,
10E
+03
-1,5
0E+0
24,
10E
+04
-9,6
0E+0
36,
30E
+02
-2,8
0E+0
42,
70E
+03
-4,8
0E+0
26,
00E
+02
2,60
E+0
37,
20E
-05
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
0
8-7
,40E
+03
1,30
E+0
48,
40E
-04
3,20
E+0
4-9
,00E
+04
-5,7
0E+0
1-9
,60E
+03
2,80
E+0
51,
70E
+01
-2,2
0E+0
4-2
,30E
+05
4,00
E+0
17,
20E
+03
3,10
E+0
48,
60E
-04
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
0
93,
60E
-04
-6,3
0E-0
4-4
,10E
-11
-1,5
0E+0
2-5
,80E
+01
-3,1
0E+0
46,
30E
+02
1,70
E+0
11,
00E
+05
-4,8
0E+0
24,
00E
+01
-7,0
0E+0
4-3
,90E
-05
-1,7
0E-0
4-4
,70E
-12
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
0
100,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
-1,4
0E+0
33,
60E
+03
1,80
E-0
4-2
,80E
+04
-2,2
0E+0
4-4
,80E
+02
7,00
E+0
41,
90E
+04
3,50
E+0
2-4
,10E
+04
-6,8
0E+0
31,
30E
+02
6,80
E+0
25,
80E
+03
4,90
E-0
5
110,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
-1,6
0E+0
44,
30E
+04
2,10
E-0
32,
70E
+03
-2,3
0E+0
54,
00E
+01
1,90
E+0
42,
50E
+05
-1,0
0E+0
1-8
,60E
+03
-9,0
0E+0
4-2
,90E
+01
2,90
E+0
32,
50E
+04
2,10
E-0
4
120,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
-8,8
0E-0
52,
40E
-04
1,20
E-1
1-4
,80E
+02
4,00
E+0
1-7
,00E
+04
3,50
E+0
2-1
,00E
+01
9,10
E+0
41,
30E
+02
-3,0
0E+0
1-2
,10E
+04
-8,1
0E-0
5-6
,90E
-04
-5,8
0E-1
2
130,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
06,
00E
+02
7,20
E+0
3-3
,90E
-05
-4,1
0E+0
4-8
,60E
+03
1,30
E+0
27,
00E
+04
2,00
E+0
44,
40E
+02
-3,2
0E+0
4-2
,30E
+04
-5,7
0E+0
2
140,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
02,
60E
+03
3,10
E+0
4-1
,70E
-04
-6,8
0E+0
3-9
,00E
+04
-3,0
0E+0
12,
00E
+04
2,20
E+0
5-3
,70E
+01
-3,2
0E+0
4-2
,00E
+05
6,70
E+0
1
150,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
07,
20E
-05
8,60
E-0
4-4
,70E
-12
1,30
E+0
2-2
,90E
+01
-2,1
0E+0
44,
40E
+02
-3,7
0E+0
11,
00E
+05
-5,7
0E+0
26,
60E
+01
-8,1
0E+0
4
160,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
6,80
E+0
22,
90E
+03
-8,1
0E-0
5-3
,20E
+04
-3,2
0E+0
4-5
,70E
+02
5,40
E+0
43,
40E
+04
5,50
E+0
2
170,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
5,80
E+0
32,
50E
+04
-6,9
0E-0
4-2
,30E
+04
-2,0
0E+0
56,
60E
+01
3,40
E+0
42,
30E
+05
-5,7
0E+0
1
180,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
0,00
E+0
00,
00E
+00
4,90
E-0
52,
10E
-04
-5,8
0E-1
2-5
,70E
+02
6,70
E+0
1-8
,10E
+04
5,50
E+0
2-5
,70E
+01
9,80
E+0
4
Mat
rice
a co
efic
ien
ţilo
r ec
uaţ
iilo
r n
orm
ale
ale
nec
un
oscu
telo
r
Tabel
ul
III.
11 –
Matr
icea
coef
icie
nți
lor
ecuați
ilor
norm
ale
ale
nec
unosc
ute
lor
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
20
Tab
elul
III
.12
/dn
10
1/d
e 10
1/d
u1
01
/dn
10
2/d
e 10
2/d
u1
02
/dn
10
3/d
e 10
3/d
u1
03
/dn
10
4/d
e 10
4/d
u1
04
/dn
10
5/d
e 10
5/d
u1
05
/dn
10
6/d
e 10
6/d
u1
06
01
23
45
67
89
1011
1213
1415
1617
1819
14,
60E
-05
1,50
E-0
5-5
,00E
-08
4,00
E-0
51,
10E
-05
-6,1
0E-0
82,
80E
-05
8,00
E-0
6-4
,00E
-09
2,20
E-0
58,
20E
-06
3,40
E-0
81,
70E
-05
5,90
E-0
6-8
,30E
-09
1,00
E-0
53,
80E
-06
3,10
E-0
8-0
,002
21,
50E
-05
3,10
E-0
5-1
,80E
-08
9,90
E-0
63,
60E
-05
-1,7
0E-0
88,
50E
-06
3,30
E-0
5-2
,70E
-09
8,10
E-0
62,
90E
-05
-1,8
0E-0
95,
90E
-06
1,90
E-0
5-1
,20E
-09
5,10
E-0
61,
30E
-05
-7,6
0E-1
00,
002
3-5
,00E
-08
-1,8
0E-0
84,
70E
-05
-6,8
0E-0
8-1
,40E
-08
3,70
E-0
5-7
,70E
-09
1,80
E-0
82,
90E
-05
3,40
E-0
81,
60E
-08
2,60
E-0
5-9
,50E
-09
1,90
E-0
81,
60E
-05
3,30
E-0
86,
20E
-09
1,30
E-0
50,
007
44,
00E
-05
9,90
E-0
6-6
,80E
-08
7,30
E-0
51,
40E
-05
-1,1
0E-0
75,
20E
-05
3,70
E-0
6-3
,00E
-09
4,00
E-0
53,
70E
-06
7,10
E-0
83,
10E
-05
2,30
E-0
6-1
,40E
-08
1,80
E-0
58,
70E
-07
6,30
E-0
8-0
,004
51,
10E
-05
3,60
E-0
5-1
,40E
-08
1,40
E-0
57,
40E
-05
-1,7
0E-0
81,
00E
-05
7,60
E-0
5-5
,90E
-11
1,20
E-0
57,
10E
-05
-1,2
0E-0
88,
90E
-06
4,90
E-0
53,
10E
-09
9,30
E-0
63,
30E
-05
-1,1
0E-0
80,
003
6-6
,10E
-08
-1,7
0E-0
83,
70E
-05
-1,1
0E-0
7-1
,70E
-08
6,50
E-0
5-4
,00E
-09
4,00
E-0
85,
20E
-05
6,80
E-0
83,
50E
-08
4,70
E-0
5-1
,10E
-08
3,80
E-0
82,
80E
-05
6,30
E-0
81,
40E
-08
2,30
E-0
50,
006
72,
80E
-05
8,50
E-0
6-7
,70E
-09
5,20
E-0
51,
00E
-05
-4,0
0E-0
99,
00E
-05
1,30
E-0
5-1
,90E
-07
6,90
E-0
51,
00E
-05
-4,5
0E-0
85,
30E
-05
5,20
E-0
6-1
,20E
-07
3,20
E-0
52,
10E
-06
2,50
E-0
80,
000
88,
00E
-06
3,30
E-0
51,
80E
-08
3,70
E-0
67,
60E
-05
4,00
E-0
81,
30E
-05
1,20
E-0
4-6
,10E
-08
1,70
E-0
51,
20E
-04
-7,9
0E-0
81,
40E
-05
8,60
E-0
5-2
,70E
-08
1,50
E-0
56,
00E
-05
-4,9
0E-0
8-0
,004
9-4
,00E
-09
-2,7
0E-0
92,
90E
-05
-3,0
0E-0
9-5
,90E
-11
5,20
E-0
5-1
,90E
-07
-6,1
0E-0
86,
80E
-05
-5,9
0E-0
8-6
,50E
-08
6,10
E-0
5-1
,30E
-07
-3,0
0E-0
83,
70E
-05
8,20
E-0
9-3
,40E
-08
3,00
E-0
50,
004
102,
20E
-05
8,10
E-0
63,
40E
-08
4,00
E-0
51,
20E
-05
6,80
E-0
86,
90E
-05
1,70
E-0
5-5
,90E
-08
8,10
E-0
51,
40E
-05
-1,3
0E-0
76,
20E
-05
8,80
E-0
6-1
,90E
-07
3,70
E-0
54,
70E
-06
-7,9
0E-0
9-0
,001
118,
20E
-06
2,90
E-0
51,
60E
-08
3,70
E-0
67,
10E
-05
3,50
E-0
81,
00E
-05
1,20
E-0
4-6
,50E
-08
1,40
E-0
51,
30E
-04
-7,4
0E-0
81,
30E
-05
9,80
E-0
5-1
,60E
-08
1,50
E-0
56,
90E
-05
-5,1
0E-0
8-0
,006
123,
40E
-08
-1,8
0E-0
92,
60E
-05
7,10
E-0
8-1
,20E
-08
4,70
E-0
5-4
,50E
-08
-7,9
0E-0
86,
10E
-05
-1,3
0E-0
7-7
,40E
-08
6,70
E-0
5-1
,90E
-07
-4,1
0E-0
84,
00E
-05
-2,0
0E-0
8-4
,30E
-08
3,40
E-0
50,
003
131,
70E
-05
5,90
E-0
6-9
,50E
-09
3,10
E-0
58,
90E
-06
-1,1
0E-0
85,
30E
-05
1,40
E-0
5-1
,30E
-07
6,20
E-0
51,
30E
-05
-1,9
0E-0
76,
80E
-05
9,80
E-0
6-1
,50E
-07
4,10
E-0
56,
20E
-06
4,00
E-0
8-0
,003
145,
90E
-06
1,90
E-0
51,
90E
-08
2,30
E-0
64,
90E
-05
3,80
E-0
85,
20E
-06
8,60
E-0
5-3
,00E
-08
8,80
E-0
69,
80E
-05
-4,1
0E-0
89,
80E
-06
9,90
E-0
5-1
,40E
-08
1,30
E-0
57,
30E
-05
-5,3
0E-0
8-0
,005
15-8
,30E
-09
-1,2
0E-0
91,
60E
-05
-1,4
0E-0
83,
10E
-09
2,80
E-0
5-1
,20E
-07
-2,7
0E-0
83,
70E
-05
-1,9
0E-0
7-1
,60E
-08
4,00
E-0
5-1
,50E
-07
-1,4
0E-0
85,
30E
-05
3,70
E-0
8-3
,00E
-08
4,40
E-0
5-0
,003
161,
00E
-05
5,10
E-0
63,
30E
-08
1,80
E-0
59,
30E
-06
6,30
E-0
83,
20E
-05
1,50
E-0
58,
20E
-09
3,70
E-0
51,
50E
-05
-2,0
0E-0
84,
10E
-05
1,30
E-0
53,
70E
-08
4,50
E-0
56,
10E
-06
6,70
E-0
90,
001
173,
80E
-06
1,30
E-0
56,
20E
-09
8,70
E-0
73,
30E
-05
1,40
E-0
82,
10E
-06
6,00
E-0
5-3
,40E
-08
4,70
E-0
66,
90E
-05
-4,3
0E-0
86,
20E
-06
7,30
E-0
5-3
,00E
-08
6,10
E-0
65,
90E
-05
-3,8
0E-0
8-0
,002
183,
10E
-08
-7,6
0E-1
01,
30E
-05
6,30
E-0
8-1
,10E
-08
2,30
E-0
52,
50E
-08
-4,9
0E-0
83,
00E
-05
-7,9
0E-0
9-5
,10E
-08
3,40
E-0
54,
00E
-08
-5,3
0E-0
84,
40E
-05
6,70
E-0
9-3
,80E
-08
4,70
E-0
5-0
,007
Mat
rice
a co
efic
ien
ţilo
r d
e p
ond
ere
ai n
ecu
nos
cute
lor
(Q1
8-1
8)
Nr.
ec.
Vec
toru
l
nec
un
osc.
X1
5-1
[m]
Tabel
ul
III.
12 –
Rez
olv
are
a s
iste
mulu
i ec
uați
ilor
norm
ale
ale
nec
unosc
ute
lor
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
21
3.4. Calculul elementelor compensate ale drumuirii şi verificarea
compensării
3.4.1. Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noi.
Variațiile coordonatelor rectangulare în sistemul geodezic local se vor
transforma în sistem geodezic elipsoidal, obținându-se variațiile latitudinii și
longitudinii exprimate în radiani, respectiv ale altitudinii elipsoidale,
exprimate în metri (tabelul III.13, coloanele 5-7):
jn
j E
j j
ddB
M H
;
( )cos
je
j E
j j j
ddL
N H B
;
j
E
j udH d , j= 101,...,106.
Tabelul III.13 – Corecțiile coordonatelor provizorii în sistem geodezic global
Nr.
pct.
Coordonate geodezice provizorii Corecții în sistem geodezic elipsoidal
Bo [rad] L
o [rad] (H
E)
o[m] dB [rad] dL [rad] dH
E[m]
1 2 3 4 5 6 7
101 0,799473291 0,467382659 391,424 -0,0000000003 0,0000000004 0,007
102 0,799507817 0,467411045 389,805 -0,0000000006 0,0000000006 0,006
103 0,799547970 0,467432470 387,350 0,0000000000 -0,0000000009 0,004
104 0,799567984 0,467430085 385,899 -0,0000000002 -0,0000000013 0,003
105 0,799604420 0,467418058 384,238 -0,0000000004 -0,0000000011 -0,003
106 0,799626541 0,467414347 382,721 0,0000000001 -0,0000000005 -0,007
Coordonatele geodezice elipsoidale compensate ale punctelor noi se
obţin prin însumarea coordonatelor provizorii cu mărimile transformate ale
corecţiilor. Pentru latitudini și longitudini, rezultatele se obțin în radiani și
apoi se exprimă în grade sexagesimale (tabelul III.14, coloanele 2-3):
,
,
, j= 101,...,106.
În final, se efectuează din nou conversia coordonatelor geodezice
elipsoidale compensate (B, L, HE) în coordonate carteziene elipsoidale cu
formulele cunoscute din etapa calculelor elementelor provizorii (tabelul
III.14, coloanele 5-7).
Tabelul III.14 – Coordonatele compensate ale punctelor noi
Nr.
pct
Coordonate geodezice
elipsoidale compensate
Coordonate carteziene elipsoidale
compensate
B [°,…] L [°,…] HE
[m] X [m] Y [m] Z [m] 1 2 3 4 5 6 7
101 45,80644539 26,77905380 391,431 3976349,698 2006774,504 4550557,560
102 45,80842360 26,78068019 389,811 3976150,976 2006815,829 4550709,675
103 45,81072421 26,78190771 387,353 3975942,760 2006817,621 4550886,164
104 45,81187088 26,78177103 385,902 3975865,055 2006766,500 4550973,963
105 45,81395852 26,78108192 384,235 3975739,606 2006643,182 4551134,508
106 45,81522598 26,78086935 382,714 3975655,915 2006582,434 4551231,611
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
22
3.4.2 Calculul elementelor unghiulare şi a distanţelor compensate, cu
verificarea compensării.
3.4.2.1. Calculul corecţiilor elementelor unghiulare şi ale distanţelor
măsurate.
Prin înlocuirea valorilor necunoscutelor (dn, de, du) în sistemul
ecuaţiilor de corecţii, se obţin mărimile corecţiilor pentru distanțele înclinate,
unghiurile orizontale și unghiurile zenitale măsurate (tabelul III.15, III.16 și
III.17, coloana 4):
Vr1 = Brn Xn1 + Lr1,
sau
V29-1 = B29-18 X18-1 + L29-1.
Pentru verificarea preliminară a compensării, se calculează suma
produselor dintre ponderi și pătratele corecţiilor, funcţie directă de mărimile
acestora:
[pvv] = VT
1r Prr Vr1 = VT
1-29 P29-29 V29-1 = 8,627030159,
care trebuie să fie egală cu suma produselor dintre ponderi, corecţii şi
termenii liberi:
[pvl] = VT
1r Prr Lr1 = VT
1-29 P29-29 L29-1 = 8,627030159.
3.4.2.2.Calculul valorilor compensate ale distanţelor înclinate.
Distanţele compensate rezultă din aplicarea corecţiilor specifice (v1..7)
la distanţele măsurate provizorii:
sij = soij + vij (tabelul III.15, coloana 5).
Tabelul III.15 – Calculul și verificarea distanțelor înclinate compensate
Nr.
ec.
Simbol
distanță
Distanțe
măsurate
soij [m]
Corecții
vij [m]
Distanțe
compensate
sij [m]
Distanțe din
coordonate
compensate
sij [m]
Diferențe
de
distanțe
[mm]
Erori
medii
pătratice
s(sij) [m] 1 2 3 4 5 6 7 8
1 sA-101 285,519 0,003 285,522 285,522 0,00 0,007
2 s101-102 253,645 0,002 253,647 253,647 0,00 0,006
3 s102-103 272,953 0,004 272,957 272,957 0,00 0,008
4 s103-104 127,905 0,002 127,907 127,907 0,00 0,005
5 s104-105 238,157 0,001 238,158 238,158 0,00 0,004
6 s105-106 141,856 0,002 141,858 141,858 0,00 0,005
7 s106-C 341,715 0,002 341,717 341,717 0,00 0,006
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
23
Verificarea compensării se face prin diferenţele dintre distanțele
calculate pe baza modelului funcțional de compensare şi cele calculate din
coordonatele carteziene elipsoidale compensate ale punctelor noi
(tabelul III.15, coloana 6): 2 2 2( ) ( ) ( )ij ij ij ijs X Y Z
Diferențele calculate se exprimă în milimetri (tabelul III.15, coloana 7).
3.4.2.3. Calculul valorilor compensate ale unghiurilor orizontale.
Unghiurile orizontale compensate rezultă din aplicarea corecţiilor
specifice (v8..15) la mărimile provizorii ale unghiurilor orizontale din
drumuire:
βjik = βojik + vjik (tabelul III.16, coloana 5).
Tabelul III.16 – Calculul și verificarea unghiurilor orizontale compensate
Nr.
ec.
Simbol
unghi
Unghiuri
orizontale
măsurate
βojik [g c cc]
Corecții
vij [cc]
Unghiuri
orizontale
compensate
βjik [g c cc]
Unghiuri
orizontale
calculate
βjik [g c cc]
Diferențe
unghiuri
orizontale
[cc]
Erori
medii
pătratice
s(βjik)[cc] 1 2 3 4 5 6 7 8
1 βB-A-101 198,3903 -3,6 198,3899 198,3899 0,00 11,0
2 βA-101-102 202,0151 -5,8 202,0145 202,0145 0,00 15,9
3 β101-102-103 189,5154 -4,7 189,5149 189,5149 0,00 17,0
4 β102-103-104 171,9695 -2,6 171,9692 171,9692 0,00 14,0
5 β103-104-105 190,8534 -5,7 190,8528 190,8528 0,00 18,0
6 β104-105-106 207,0110 -10,7 207,0099 207,0099 0,00 19,0
7 β105-106-C 179,6818 -5,8 179,6812 179,6812 0,00 12,9
8 β106-C-D 112,6886 -27,5 112,6858 112,6858 0,00 21,8
Verificarea compensării se face prin diferenţele dintre unghiurile
orizontale calculate pe baza modelului funcțional de compensare şi cele
calculate din diferența azimutelor obținute din coordonatele carteziene și
geodezice elipsoidale compensate ale punctelor noi (tabelul III.16,coloana 6):
βjik = Aik - Aij ,
unde Aik, Aij reprezintă azimutele compensate ale direcțiilor componente ale
unghiului orizontal:
sin cos
sin cos sin sin cos
ik i ik iik
ik i i ik i i ik i
X L Y LA arctg
X B L Y B L Z B
;
sin cos
.sin cos sin sin cos
ij i ij i
ij
ij i i ij i i ij i
X L Y LA arctg
X B L Y B L Z B
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
24
Diferențele calculate se exprimă în secunde centezimale (tabelul
III.16, coloana 7).
3.4.2.4. Calculul valorilor compensate ale unghiurilor zenitale.
Unghiurile zenitale compensate rezultă din aplicarea corecţiilor
specifice (v16..29) la mărimile provizorii ale unghiurilor zenitale din drumuire:
zij = zoij + vij (tabelul III.17, coloana 5).
Tabelul III.17 - Calculul și verificarea unghiurilor zenitale compensate
Nr.
ec.
Simbol
unghi
Unghiuri
zenitale
măsurate
zoij [g c cc]
Corecții
vij [cc]
Unghiuri
zenitale
compensate
zij [g c cc]
Unghiuri
zenitale
calculate
zij [g c cc]
Diferențe
unghiuri
zenitale
[cc]
Erori
medii
pătratice
s(zij) [cc] 1 2 3 4 5 6 7 8
1 zA-101 100,6473 -4,7 100,6468 100,6468 0,00 18,9
2 z101-A 99,3572 -11,8 99,3560 99,3560 0,00 25,9
3 z101-102 100,4098 -19,5 100,4079 100,4079 0,00 20,0
4 z102-101 99,5975 -28,5 99,5946 99,5946 0,00 23,3
5 z102-103 100,5757 -11,2 100,5746 100,5746 0,00 19,9
6 z103-102 99,4288 -7,0 99,4281 99,4281 0,00 14,7
7 z103-104 100,7257 -24,7 100,7232 100,7232 0,00 26,2
8 z104-103 99,2798 -17,5 99,2780 99,2780 0,00 21,5
9 z104-105 100,4491 -23,7 100,4467 100,4467 0,00 23,7
10 z105-104 99,5580 -23,0 99,5557 99,5557 0,00 22,4
11 z105-106 100,6838 -3,9 100,6834 100,6834 0,00 21,5
12 z106-105 99,3184 -3,6 99,3180 99,3180 0,00 18,3
13 z106-C 100,3724 7,9 100,3732 100,3732 0,00 16,6
14 zC-106 99,6293 9,0 99,6302 99,6302 0,00 19,7
Verificarea compensării se face prin diferenţele dintre unghiurile
zenitale calculate pe baza modelului funcțional de compensare şi cele
calculate din coordonatele carteziene elipsoidale compensate ale punctelor
noi (tabelul III.17, coloana 6):
2 2 2
cos cos cos sin sinarccos .
( ) ( ) ( )
ij i i ij i i ij i
ij
ij ij ij
X B L Y B L Z Bz
X Y Z
Diferențele calculate se exprimă în secunde centezimale (tabelul
III.17, coloana 7).
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
25
3.5. Evaluarea preciziei rezultatelor compensării
Etapa de evaluare a preciziei rezultatelor compensării cuprinde
calculul erorii medii pătratice a unității de pondere, al erorilor medii pătratice
ale mărimilor reale măsurate pe teren și al erorilor medii pătratice ale
coordonatelor compensate ale punctelor noi.
3.5.1. Calculul erorii medii pătratice a unităţii de pondere.
Eroarea medie pătratică a unităţii de pondere, ca indicator global al
preciziei rețelei, este o mărime adimensională și se calculează cu relaţia :
1 1[ ]0,885593 ,
T
r rr ro
V P Vpvvs
r n r n
unde:
r = numărul ecuaţiilor de corecţii sau numărul de măsurători (r = 29);
n = numărul necunoscutelor (n = 3N = 18, cu N = 6, numărul
punctelor noi din reţea).
3.5.2. Calculul erorilor medii pătratice ale unghiurilor şi distanţelor
măsurate pe teren.
Cu ajutorul erorii medii pătratice a unităţii de pondere ( ), se pot
calcula erorile medii pătratice ale mărimilor reale ale unghiurilor şi
distanţelor măsurate direct pe teren, cu formulele:
pentru distanțele înclinate: ( )( )
oij
ij
ss s
p s (m);
pentru unghiurile zenitale: ( )( )
oij
ij
ss z
p z (
cc);
pentru unghiurile orizontale: ( )( )
ojik
jik
ss
p
(
cc).
Rezultatele obţinute pentru erorile medii pătratice ale elementelor
măsurate în teren se prezintă în tabelele III.15, III.16 și III.17, în coloana 8.
3.5.3. Calculul erorilor medii pătratice ale coordonatelor compensate ale
punctelor noi
Erorile medii pătratice ale mărimilor compensate ale necunoscutelor
(dn, de, du) reprezintă erorile de determinare a celor mai probabile valori ale
coordonatelor punctelor noi în sistemul geodezic local (n, e, u). Astfel, erorile
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
26
medii pătratice pe direcțiile celor 3 axe de coordonate, proprii fiecărui punct
de stație nou (i), sunt calculate cu relaţiile:
,i i in o n ns s Q (m);
,i i ie o e es s Q (m);
,i i iu o u us s Q (m);
unde este eroarea unităţii de pondere şi ,
și sunt
coeficienţii de pondere pătratici ai necunoscutelor (dni, dei, dui).
Coeficienţii de pondere pătratici ai necunoscutelor s-au calculat
anterior, la rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale prin metoda matriceală,
fiind reprezentaţi de elementele diagonalei principale a matricei Qnn (tabelul
III.12, coloanele 1-18).
Pe baza erorilor de-a lungul axelor de coordonate ( ,
, ) se
calculează eroarea totală în poziţia punctului, cu formula:
2 2 2
i i i it n e us s s s (m).
Rezultatele obținute pentru toate cele 6 puncte noi ale drumuirii se
prezintă în tabelul III.18.
Tabelul III.18 – Erorile medii pătratice ale punctelor noi, în sistem local
Punct
Eroarea medie
pătratică (sn)
Eroarea medie
pătratică (se)
Eroarea medie
pătratică (su)
Eroarea
totală (st)
[m] [mm] [m] [mm] [m] [mm] [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8
101 0,0060 6,0 0,0049 4,9 0,0061 6,1 9,8
102 0,0075 7,5 0,0076 7,6 0,0071 7,1 12,9
103 0,0084 8,4 0,0095 9,5 0,0073 7,3 14,6
104 0,0079 7,9 0,0099 9,9 0,0073 7,3 14,6
105 0,0073 7,3 0,0088 8,8 0,0064 6,4 13,1
106 0,0060 6,0 0,0068 6,8 0,0060 6,0 10,9
Pentru exprimarea matricei de covarianță () din sistemul local în cel
global, se va folosi expresia de transformare pentru un punct nou:
1 1
, ,, ,( )E
T
n e uB L HR R
unde:
2
, ,
2
,, , ,
2
, ,
E
E E
E E E
B B L B H
B L LB L H L H
B H L H H
;
Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale
27
2
, ,
2
, , , ,
2
, ,
n n e n u
n e u n e e e u
n u e u u
;
0 0
0 ( )cos 0 .
0 0 1
E
E
M H
R N H B
Elementele matricei de covarianță pot fi calculate din matricea
coeficienților de pondere Qnn, urmărind blocuri de submatrici (3 x 3) de-a
lungul diagonalei principale. Pentru exemplu, se prezintă matricele și
R, specifice punctului 101 (tabelul III.19)
Tabelul III.19 – Matricele și R, specifice punctului 101
Matricea pentru punctul 101 Matricea pentru punctul 101
0,00003574 0,00001182 -0,00000004 6368676,2 0 0
0,00001182 0,00002402 -0,00000001 0 4454043,2 0
-0,00000004 -0,00000001 0,00003667 0 0 1
Rezultatele obținute pentru erorile medii pătratice ale coordonatelor
geodezice elipsoidale, ale tuturor punctelor noi, se prezintă în tabelul III.20.
Acestea rezultă din rădăcina pătrată a elementelor de pe diagonala principală
a matricei , mai întâi în radiani și apoi transformate în secunde
sexagesimale pentru latitudini și longitudini, respectiv în metri și apoi
transformate în milimetri pentru altitudinile elipsoidale.
Tabelul III.20 – Erorile medii pătratice ale punctelor noi, în sistem global
Punct Eroare medie pătratică (latitudine, longitudine, altitudine elipsoidală)
sB ["] sL ["] sH [mm]
1 2 3 4
101 0,00019 0,00023 6,1
102 0,00024 0,00035 7,1
103 0,00027 0,00044 7,3
104 0,00026 0,00046 7,3
105 0,00024 0,00041 6,4
106 0,00019 0,00032 6,0
Reprezentarea grafică a spațiului de poziționare a punctului nou,
pentru o anumită probabilitate, rezultă prin construcția unui elipsoid de
eroare cu trei axe, care poate fi reprezentat atât în sistemul local al stației
(n, e, u), cât și în sistemul cartezian elipsoidal global (X,Y,Z).
top related