combinatoire, probabilités ordre, calcul booléen
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Title: livre (1 of 15)
MVA003
Combinatoire, probabilitésordre, calcul booléen
séance n°7
Title: Plan ch8-1 (2 of 15)
1. Épreuves et événements
2. Fréquences et probabilités
3. Lois de probabilité
4. Probabilité conditionnelle et indépendance
5. Essais répétés
MVA003
Chapitre 8
Probabilités combinatoires
Title: issues (3 of 15)
Le calcul des probabilités étudie les phénomènes qui dépendent du hasard ; on les appelle les phénomènes aléatoires.Dans un phénomène aléatoire, l'ensemble des résultats théoriquement possibles s'appelle l'ensemble des épreuves ; on le note .
Un élément de (donc un résultat théoriquement possible) s'appelle une épreuve ou une issue.
Exemple le lancer de 2 dés, un blanc et un noir.
Exemple le lancer de 2 dés indiscernables.
Title: événements (4 of 15)
Avec une issue, il arrive qu'un certain événement se produise.
Exemple
Exemple Avec on a sorti un double.
L'ensemble des doubles est :
D = { , , , , , }
Cette liste remplace la définition en compréhension : sortir deux fois le même numéro, par une définition en extension : on donne la liste des doubles.
D'une façon générale, on appelle événement toute partie de .
A = { , , , , , , }
Avec cette définition, et sont des événements !
On dit que l'issue x réalise l'événement E quand .
Exemple
langage courant :
langage mathématique :
langage des probabilités : l'issue réalise l'événement D.
est un double.
Title: règles de représentation (5 of 15)
Règles de représentation
A est un événement
l'issue x réalise l'événement A
langage mathématique langage des probabilités
A est un singleton A est un événement élémentaire
l'événement A entraîne l'événement B
Ac est la non réalisation de A
A et B est la conjonction de A et B
A et B sont incompatibles
A ou B est la disjonction de A et B
Title: Plan ch8-2 (6 of 15)
1. Épreuves et événements
2. Fréquences et probabilités
3. Lois de probabilité
4. Probabilité conditionnelle et indépendance
5. Essais répétés
MVA003
Chapitre 8
Probabilités combinatoires
Title: proba 1/2 (7 of 15)
On lance une pièce. Elle tombe sur le côté Pile, ou sur le côté Face :
Pile Face
Pourquoi dit-on : " J'ai 1 chance sur 2 de tirer Face " ?
L'idée intuitive est que si on lance un très grand nombre de fois la pièce, on trouvera à peu près autant de fois Pile que Face …
- si on l'a lancée 1 million de fois, est-ce un très grand nombre fois ?
- si on trouve 499703 fois Pile et 500297 fois Face, est-ce à peu près la même chose ?
Et si la pièce est truquée ?
Title: proba-2 (8 of 15)
L'idée va être la suivante :
Quand on reproduit expérimentalement un phénomène aléatoire (je prends une vraie pièce et je la lance vraiment), une probabilité est attachée à chaque événement.
On a une valeur approchée de p(A) avec f(A) la fréquence de l'événement A.
p(A), la probabilité de l'événement A est une grandeur physique (comme la longueur d'une tige, le poids d'une personne, la vitesse d'un mobile …), mesurée par un nombre réel.
Pour obtenir f(A), on reproduit le phénomène N fois et on note a le nombre de fois où l'événement A est réalisé. Alors f(A) = a/N .
Quand N tend vers l'infini, f(A) tend vers p(A) .
Il faut remarquer que p(A) ne dépend que de A et du dispositif expérimental alors que f(A) dépend du hasard … Si on refait l'expérience, on ne retrouve pas exactement la même valeur …
Title: proba-3 (9 of 15)
Propriétés
Puisque est toujours égale à 1, sa limite est égale à 1.
De même :
Puisque on a toujours , le passage à la limite donne :
Si A et B sont des événements incompatibles, on a toujours :
parce que .
Donc :
Title: Plan ch8-3 (10 of 15)
1. Épreuves et événements
2. Fréquences et probabilités
3. Lois de probabilité
4. Probabilité conditionnelle et indépendance
5. Essais répétés
MVA003
Chapitre 8
Probabilités combinatoires
Title: loi (11 of 15)
Loi de probabilité
Quand on reproduit expérimentalement un phénomène aléatoire, une probabilité est attachée à chaque événement. On a donc une application qui a les propriétés suivantes :
quand
D'une façon générale, quand on a un ensemble non vide E , on appelle loi de probabilité sur E toute application telle que :
Exemple
quandet
et
Title: loi-2 (12 of 15)
Propriétés des loi de probabilité
Si sont des événements incompatibles 2 à 2, alors :
Title: loi-3 (13 of 15)
Comment fabriquer des loi de probabilité ?
Théorème
Si la partie A a pour éléments , alors A est la réunion des singletons et ces singletons sont 2 à 2 disjoints, donc :
Pour fabriquer une loi de probabilité on doit associer un nombre compris entre 0 et 1 à chaque partie de façon que ces nombres vérifient des relations. Comment y arriver ?
Pour simplifier, on écrit au lieu de et on appelle ce nombre la probabilité de l'élément .
Pour définir une loi de probabilité sur un ensemble fini non vide
il suffit de se donner une application
telle que :
et de poser :
Title: loi-4 (14 of 15)
Exemple
Pour définir une loi de probabilité sur E, il suffit de se donner le nombre p(F) = a avec 0≤ a ≤1 :
Équiprobabilité
On dit qu'une loi de probabilité est uniforme ou encore, qu'il y a équiprobabilité quand p(e) est le même pour toutes les issues.
Dans ce cas : et
Title: loi-5 (15 of 15)
Équiprobabilité => la probabilité d'un tirage est 1/36
Exemple
Équiprobabilité => la probabilité d'un tirage est 1/21
ce n'est pas pareil !
- dans le premier cas, la probabilité de tirer un 3 et un 2 est 2/36=1/18 , dans le deuxième c'est 1/21.
- dans le premier cas, la probabilité de tirer un double 6 est 1/36 , dans le deuxième c'est 1/21.
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