colas
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TRANSPARENCIAS
TEORÍA DE COLAS
TEORÍA DE COLAS
• DEFINICIÓN
• IMPORTANCIA DE LA GESTIÓN DE LAS
LÍNEAS DE ESPERA
capacidad de servicio
te
Figura 1.1.
OBJETIVOS DE LA TEORÍA DE COLAS: • CARACTERIZACIÓN CUALITATIVA Y
CUANTITATIVA DE LA LÍNEA DE ESPERA. • OPTIMIZACIÓN DE LA LÍNEA DE ESPERA.
TEORÍA DE COLAS - 1 .
ESTRUCTURA BÁSICA DE UNA LÍNEA DE ESPERA
PoblaciónI
llegada
II
ColaIII
selección
IV
Mecanismode servicio
V
salida
VI
Sistema de Colas
Figura 2.1. 1.- POBLACIÓN • POBLACIÓN FINITA
• POBLACIÓN INFINITA
TEORÍA DE COLAS - 2 .
2.- CARACTERÍSTICAS DEL PROCESO DE LLEGADA AL SISTEMA
Controlable
Incontrolable
Únicas
Lotes
Estructura
Tamaño de las llegadas
Constante
Exponencial o de Poisson
De Erlang
Otra
Distribución
Analiza la situación y decide marcharse
Aguanta un poco y después se va
Nivel de paciencia Paciente (se queda)
Impaciente
Figura 2.2.
TEORÍA DE COLAS - 3 .
3.- CARACTERÍSTICAS DE LA COLA
• NÚMERO DE COLAS
FIFO
LIFO
Primero reservas
Primero emergencias
Mayores beneficios
Menor tiempo de procesado
Otras prioridades
Disciplina de
la cola
Figura 2.7.
• CAPACIDAD DE LAS COLAS 4.- SELECCIÓN DE LA COLA
TEORÍA DE COLAS - 4 .
5.- INSTALACIÓN DE SERVICIO Una fase
Multifase
Una fase
Multifase
De varioscanales a uno
Una fase
Multifase
Rutasalternativas
Única
Multicanal
Mixta
Estructura
Figura 2.8.
• ESTRUCTURA • TASA DE SERVICIO
6.- SALIDA DEL SISTEMA
TEORÍA DE COLAS - 5 .
TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ....... / ....... / ........ / ........ Distribución de tiempos entre llegadas Distribución de tiempos de servicio Número de servidores Tamaño de la población en donde:
M Distribución exponencial. D Distribución degenerada (tiempos constantes). Ek Distribución Erlang (con parámetro de forma k). G Distribución General (permite cualquier distribución arbitraria)
s = Número de servidores (canales de servicio en paralelo). λn = Tasa media de llegadas µn = Tasa media de servicio para todo el sistema Pn = Probabilidad de que exactamente n clientes se encuentren en el sistema. L = Número esperado de clientes en el sistema.
Lq = Longitud esperada de la cola (excluye los clientes que estén en servicio). W = Tiempo de espera en el sistema (incluido el tiempo de servicio), para cada cliente.
Tiempo de espera en la cola (se excluye el tiempo de servicio), para cada cliente. Wq =
TEORÍA DE COLAS - 6 .
PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE 1. Dado N(t)=n , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo
nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λn (n=0,1,2,...). 2. Dado N(t)=n , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima
muerte (terminación del servicio) es exponencial con parámetro µn (n=0,1,2,...). 3. Solo un nacimiento o una muerte pueden ocurrir en un mismo instante.
TEORÍA DE COLAS - 7 .
P
Cnn
0
1
1
1=
+=
∞
∑ donde Cn
n n
n n
= − −
−
λ λ λ λµ µ µ µ
1 2 1 0
1
1 2
K
KL P P P n P n Pn n
n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + = ⋅
=
∞
∑0 1 20 1 20
K K PL n sq nn s
= −=
∞
∑ ( )
FORMULAS DE LITTLE L W
L Wq q
= ⋅= ⋅
λλ
MODELOS DE COLAS BASADOS EN LOS PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE 1.- MODELO M/M/s s=1 s>1
P =1-0 ρ P = (1- )nnρ ρ
P(L > z) (z+1)= ρ P(W > t) = e tP(W > t) = e t
q- (1 )t
- (1 )t
ρ µ ρ
µ ρ
−
−
≥≥
⎧⎨⎩
00
L( - )
q
2
= λµ µ λ
W =( - )qλ
µ µ λ
L =-λ
µ λ W = 1
µ λ−
P 11n!
+ 1S!
SS -n=0
S-1 n S0 =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎛⎝⎜
⎞⎠⎟∑ λ
µλµ
µµ λ
PS S
P para
Pn!
P para n
n n S
n
n
n
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
−
1
1
0
0
! ( )λµ
λµ
n S
< S
≥
L(S -1)! (S - )
Pq
S
2=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
10
λµ
λµµ λ
L L= +qλµ
W
Lq
q=λ
W W= + 1q µ
TEORÍA DE COLAS - 8 .
2.- MODELO M/M/s CON FUENTE DE POBLACIÓN FINITA s=1 s>1 λn=(m-n)λ para n = 0, 1, 2, ...,m λn=(m-n)λ para n = 0, 1, 2, ...,m λn=0 para n ≥ m λn=0 para n ≥ m µn=µ para n = 1, 2, ... µn=nµ para n = 1, 2, ..., s µn=sµ para n = s, s+1, s+2, ... PP
= m!(m - n)
nn
0 !λµ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ P = 1
PPn=0
mn
0
0∑
P mm n n
P para 0 n S
P m!(m - n)! S! S P para S < n m
n
n
n n S
n
0
=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ≤ ≤
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ≤
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪ −
!( )! !
( )
λµ
λµ
0 P 1PPn=0
mn
0
0
=
∑
L = m - + (1-P )q
λ µλ 0
0 L =L +(1-P )q L = (n - S)Pqn=S
m
n∑ L = nPn=0
m
n∑
W =L
(1-P )qq
µ 0
W = W + 1q µ
W = Wq +1µ
W =L
m Lqq
λ( )−
TEORÍA DE COLAS - 9 .
3.- MODELO M/M/s/Q CON COLA DE ESPACIO LIMITADO s=1 s>1 λn=λ para n = 0, 1, 2, ...,Q-1 λn=λ para n = 0, 1, 2, ...,Q-1 λn=0 para n ≥ m λn=0 para n ≥ m µn=µ para n = 1, 2, ... µn=nµ para n = 1, 2, ..., s µn=sµ para n = s, s+1, s+2, ...
P = Q0 11
1−
− +
ρρ
P =n Qn1
1 1−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
ρρ
ρ
∑∑+=
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Q
Sn
SnSnS
=n SS!1+
n!1
1P
10
0
µλ
µλ
µλ
PS S
P para n S
Pn!
P para n S
n n S
n
n
n
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
−
1
1
0
0
! ( )λµ
λµ
+1, ... , Q
1, 2, ... ,
L = L Pq − +1 0 ( )[ ]( )( )L =Q QQ Q
Q
ρ ρ ρ
ρ ρ
1 11 1
1
1
− + + ⋅
− −
+
+ L = n S Pq
n S
Q
n( )− ⋅=∑ L = n P
n
Q
n=∑ ⋅
0
W = L
λ W =
Lq
q
λ ( )P λ λ= Q1− W = L
λ W =
Lq
q
λ ( )λ λ= PQ1−
TEORÍA DE COLAS - 10 .
4.- MODELO M/M/s CON POBLACIÓN FINITA Y COLA DE ESPACIO LIMITADO 5.- MODELO M/M/s CON TASA DE LLEGADA Y/O TASA DE SERVICIO
DEPENDIENTES DEL ESTADO DEL SISTEMA
TASA DE SERVICIO DEPENDIENTE DEL ESTADO DEL SISTEMA Sea µn = ncµ1 para n = 1, 2, ... donde:
n número de clientes en el sistema. µn tasa media de servicio cuando hay n clientes en el sistema. µ1 tasa de servicio “normal” esperada (1/µ1 es el tiempo esperado para servir a un cliente
cuando es el único en el sistema). c “coeficiente de presión”, constante positiva que indica el grado en el que la tasa de
servicio del servidor resulta afectada por el estado del sistema.
TASA DE LLEGADA DEPENDIENTE DEL ESTADO DEL SISTEMA
λn = (n+1)-b λ0 para n = 0, 1, 2, ... TEORÍA DE COLAS - 11 .
Figura 5.7. Valores de P0 para el modelo dependiente del estado.
Ls=2s=1
Figura 5.8. Valores de L para el modelo dependiente del estado.
MODELOS DE COLAS CON DISTRIBUCIONES NO EXPONENCIALES MODELO M/G/1
• Entrada Poisson (tiempos entre llegadas exponenciales), con una tasa media de llegadas λ. • Los tiempos de servicio son independientes, con la misma distribución de probabilidad, que
puede ser cualquiera. Solo es necesario conocer (o estimar) la media 1/µ y la varianza σ2 de la distribución.
P0 1= − ρ
( )Lq =⋅ +
−λ σ ρ
ρ
2 2 2
2 1 ( FÓRMULA DE POLLACZEK-KHINTCHINE )
LL WL
qq=λ
W Wq= +1µ
q= +ρ
MODELO M/G/s
• No se ha llegado a resultados manejables TEORÍA DE COLAS - 12 .
MODELO M/D/1
• Entrada Poisson (tiempos entre llegadas exponenciales), con una tasa media de llegadas λ.
• El servidor realiza para todos los clientes una labor rutinaria que es siempre la misma por lo que tiende a haber poca variabilidad en el tiempo de servicio requerido. Por lo tanto se puede suponer que el tiempo de servicio es una constante fija (distribución de tiempos de servicio DEGENERADA), con valor 1/µ y varianza σ2 = 0.
• Para 1 sólo servidor, se trata de un caso particular del modelo anterior (M/G/1), con σ2 = 0 , con lo que las fórmulas quedan:
Figura 6.1. Distribución degenerada (M/D/s).
P0 1= − ρ ( )Lq = −ρ
ρ
2
2 1 W
Lq
q=λ
LL W Wq= +1µ
q= +ρ
MODELO M/D/s
TEORÍA DE COLAS - 13 .
MODELO M/Ek/1 El modelo M/Ek/1 será una caso especial del modelo M/G/1 donde los tiempos de servicio tienen una distribución Erlang de parámetro k. Aplicando las fórmulas de Pollaczek-Khintchine con σ2=1/kµ2
Figura 6.2. Tiempo de servicio Erlang y s=2.
( ) ( )L k k
kq =⋅
+
−= =
+⋅
−
λµ
ρ
ρλ
µ µ λ
2
22
2
2 112
KK ( )W kkq =+
⋅−
12
λµ µ λ
W Wq= +1µ
L = λ W
MODELO M/Ek/s Uso de tablas TEORÍA DE COLAS - 14 .
MODELOS SIN ENTRADAS POISSON
G/M/s no se supone ninguna restricción para el tiempo entre llegadas. D/M/s todos los tiempos entre llegadas son iguales a una constante fija, lo que representa
a un sistema de colas en el que se programan las llegadas a intervalos regulares (figura 6.3.).
Ek/M/s se supone una distribución de Erlang para los tiempos entre llegadas (figura 6.4.).
Figura 6.4. Modelo Ek/M/s.
Figura 6.3. Modelo D/M/s.
TEORÍA DE COLAS - 15 .
REDES DE COLAS 1.- SISTEMA DE COLAS EN SERIE
Propiedad de Equivalencia. Supóngase que una instalación de servicio tiene ‘s’ servidores, un proceso de entrada Poisson con parámetro λ, y la misma distribución de los tiempos de servicio para cada servidor con parámetro µ (M/M/s), en donde ρ=λ/sµ<1. Entonces, la salida en estado estable de esta instalación de servicio también es un proceso de Poisson de media λ.
TEORÍA DE COLAS - 16 .
2.- REDES DE JACKSON Una red de Jackson es un sistema de m instalaciones donde la instalación i (i=1,2,...,m) tiene:
1. Una cola de capacidad infinita. 2. Clientes que llegan de fuera del sistema de acuerdo a un proceso de entrada Poisson de
parámetro ai. 3. Un número de servidores si, con la misma distribución exponencial con parámetro µi, para
los tiempos de servicio. 4. Un cliente que deja la instalación i, puede salir del sistema o bien puede ir a otra
instalación j (j=1,2,...,m y j≠i), con probabilidad Pij. La probabilidad de salir del sistema es: qi
jj i
= −=≠
∑11
Pij
m
Las Redes de Jackson reciben ese nombre debido a que fue Jackson quien descubrió una propiedad que es vital para el análisis:
Bajo condiciones de estado estable, cada instalación j (j=1,2,...,m) de una red, se comporta como si fuera un sistema de colas M/M/s independiente, con tasa de llegadas
m
λ λj jii j
a= + ⋅=≠
∑ i ij
P1
donde sjµj>λj. TEORÍA DE COLAS - 17 .
MODELOS DE COLAS CON DISCIPLINA DE PRIORIDADES 1.- SISTEMA DE PRIORIDADES SIN INTERRUPCIÓN
WA B Bk
k k
=⋅ ⋅
+−
1 1 para k = 1, 2, ..., N 1 µ
en donde: A s s
rrj
ss
j
j
s
= ⋅−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
+=
−
∑!!
µ λµ
0
1
si s = 1 A =2
→⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
µλ
B0 = 1
Bsk
ii
k
= − =∑
1 1λ
µ para k = 1, 2, ..., N
s = número de servidores. µ = tasa media de servicio por servidor ocupado. λi = tasa media de llegadas para la clase de prioridad i, para i = 1, 2, ..., N.
N
λ λ ==∑ ii 1
r = λµ
Todos estos resultados suponen que λ µi
i
k
s=∑ <
1
TEORÍA DE COLAS - 18 .
2.- SISTEMA DE PRIORIDADES CON INTERRUPCIÓN
WB Bk
k k
=⋅−
1
1
µ para k = 1, 2, ..., N.
para el caso de 1 servidor (s = 1). Cuando s>1, Wk se puede calcular mediante un proceso iterativo que se ilustrará con el ejemplo siguiente. Lk, Lqk y Wqk se pueden obtener igual que para el caso de prioridades sin interrupción.
L Wk k k= λ para k = 1, 2, ..., N. W Wqk k= −
1µ
para k = 1, 2, ..., N
L Wqk k qk= λ para k = 1, 2, ..., N TEORÍA DE COLAS - 19 .
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