clase 1 y 2 de teoria

Sistemas Digitales Objetivo 1

Ing. Omar Valderrama

Numero Base Caracteres

Binario 2 0,1

Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7

Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Sistemas Numéricos

Posición 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3

Valor 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125

Potencia de 2

Hexa Decimal

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1

0 0 1 0 2 2

0 0 1 1 3 3

0 1 0 0 4 4

0 1 0 1 5 5

0 1 1 0 6 6

0 1 1 1 7 7

1 0 0 0 8 8

1 0 0 1 9 9

1 0 1 0 A 10

1 0 1 1 B 11

1 1 0 0 C 12

1 1 0 1 D 13

1 1 1 0 E 14

1 1 1 1 F 15

Tabla de conversion de Sistemas

Sistema Decimal

Caracteristicas

•Compuesto por 10 simbolos •0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

•Sistema de Valor posicional •Mas a la derecha menor valor

•Miles-Centenas-Decenas-Unidades.

•Conteo de 0 al 9 •Luego se le añade una unidad a la siguiente posicion.

Ejemplo

4 5 3

Por

suma 400 + 50 + 3

Sistema Binario

Caracteristicas

Binario a Decimal

1 0 1

Por

suma 4 + 0 + 1

Igual 5

Transformación Decimal a Binario

Metodo 1 (expresion en potencia de 2)

•Hago el numero par

•Observo que potencia de 2 o suma de potencias de 2 dan un valor similar, esos son los bit activos.

Division Repetida

N° 65

Par 64 + 1

Potencias de 2 activas

Bit Ac

1 0 0 0 0 0 1

inicio

/2

Registras

cociente (q) y

residuo ®

Q=0

Ordenar R de ultima a

primera

fin

no

si

3905 0,5625

3905 /2 R 61 /2 R 0,5625 X2

1952 1 30 1 1,125 Tomo 1

1952 /2 30 /2 0,125 X2

976 0 15 0 0,250 Tomo 0

976 /2 15 /2 0,250 X2

488 0 7 1 0,5 Tomo 0

488 /2 7 /2 0,5 x2

244 0 3 1 1 Tomo 1

244 /2 3 /2 Debo x2 hasta que no queden decimales. Para hallar Decimales tomo de la 1ra multiplicación hacia abajo.

122 0 1 1

122 /2 1 /2

61 0 0

1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1

Decimal a Binario 3905,5625

Sistema Octal Características

Octal a Decimal

3 7 5, 2 3

82 81 80 8−1 8−2

suma 192 + 56 + 5 + 0,25 0,0465

Igual 253,29 base 10

Sistema Octal

Decimal a Octal

512 Divisor Cociente Residuo

512 /8

64 0

64 /8

8 0

8 /8

1 0

1 /8

0 1

N° 1000 en base 8

Octal a Binario

• Buscas equivalencia en la tabla de transformada:

0 1 2 3 4 5 6 7

000 001 010 011 100 101 110 111

512= 101 001 010

Binario a Octal

• Se agrupa en 3 bits y buscas equivalencia en la tabla de transformada:

3905 0,5625

3905 /8 R 0,5625 X8

488,5 1 4,5 Tomo 4

488 /8 0,50 X8

61 0 4 Tomo 4

61 /8 Debo x8 hasta que no queden decimales. Para hallar Decimales tomo de la 1ra multiplicación hacia abajo.

7 5

7 /8

7 7

Como es en base 8 puedo conservar residuos menores o iguales a 7. los residuos los obtengo del producto de la parte decimal del cociente x 8

7 5 0 1 4 4

Decimal a Octal 3905,5625

Sistema Hexadecimal

Caracteristicas

•Compuesto por 16 simbolos •0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

•Sistema de Valor posicional

•Mas a la derecha menor valor

•Conteo de 0 al f

•Luego se le añade una unidad a la siguiente posicion.

Ejemplo

1 2 5

162 161 160

suma 256 + 32 + 5

N° 293 en base 10

Binario a hexadecimal

• Se agrupa en 4 bits y buscas equivalencia en la tabla de transformada:

3905 0,5625

3905 /16 R 0,5625 X16

244 1 9 Tomo 9

244 /16

15 4

15 /16 Debo x16 hasta que no queden decimales. Para hallar Decimales tomo de la 1ra multiplicación hacia abajo.

0 15

Como es en base 16 puedo conservar residuos menores o iguales a F (15). los residuos los obtengo del producto de la parte decimal del cociente x 16

F 4 1 9

Decimal a Hexadecimal 3905,5625

DE / A BINARIO OCTAL DECIMAL HEXADECIMAL

BINARIO ************ GRUPOS DE 3 SUMA PONDERADA X PESO BASE 2

GRUPOS 4 (IZQ A DER)

OCTAL TABLA EQUIVALENTE

************ SUMA PONDERADA X PESO BASE 8

PASE A BINARIO

DECIMAL DIVISION REPETIDA 2

DIVISION REPETIDA 8

************ DIVISION REPETIDA 16

HEXADECIMAL TABLA EQUIVALENTE

PASE A BIINARIO

SUMA PONDERADA X PESO BASE 16

************

Resumen de Transformadas

Ejercicios pendientes

Llevar de Binario a decimal, octal y hex

• 10001101110

• 111010101

• 111111110

Levar de octal y hexadecimal a binario y decimal

• 218

• 356

• 512

• 1024

• 718

• 35

CODIGO BCD

DEFINICION

Codificacion binaria directa, es usada para representar n° decimales en su forma binaria directa.

• Cada digito decimal se transforma en su equivalente binario directo mediante 4 digitos que van del 0000 al 1001 el resto es tomado como error

1370

• Binario Normal

• Division repetida por 2

• 10001001

• BCD

• 0001 0011 0111

Este permite reconocer caracteres de texto como numerico, ademas de mayusculas, minusculas, 7 signos de puntuacion 10 digitos y entre 20 y 40 caracteres especiales.

Codigo ASCII o ASQUI= es un codigo de 7 digitos por ende tiene 128 𝑥 = 27 posibles caracteres.

Codificacion AlfaNumerica

Bit de Paridad

• Metodo usado para detectar errores en Tx

• Ruido

• Perdida Conexion

Esto es un ejemplo a pequeña escala imaginen esto a millones de bite x segundo

Tx Rx

Mientras > sea su tamaño puede tomarse como un 1

Bits a Byte= divides entre 8

Byte a Decimal= 2𝑛– 1 = n es igual al n° bits

Bit de Paridad

Paridad Par Se usa siempre el n° total

de 1 presentes en el codigo.

El n° de 1 + el de paridad debe ser un n° par.

Caso 1: numero impar

1 0 1 0 0 0 1 (3)

Se agrega 1 bit 1 de paridad en la MSB

1 1 0 1 0 0 0 1 (4)

Caso 2: numero par

1 0 0 0 0 0 0 1 (2)

Se agrega 1 bit 0 de paridad en la MSB

0 1 0 0 0 0 0 0 1 (2)

Bit extra que se le agrega a un grupo de codigo que se transfiere de una ubicación

a otra.

Bit de Paridad

Paridad IMPar Se usa siempre el n° total

de 1 presentes en el codigo.

El n° de 1 + el de paridad debe ser un n° impar.

Caso 1: numero PAR

1 0 1 0 0 0 1 (3)

Se agrega 1 bit 0 de paridad en la MSB

0 1 0 1 0 0 0 1 (3)

Caso 2: numero par

1 0 0 0 0 0 0 1 (2)

Se agrega 1 bit 1 de paridad en la MSB

1 1 0 0 0 0 0 0 1 (3)

Bit extra que se le agrega a un grupo de codigo que se transfiere de una ubicación

a otra.

Utilidad Paridad

Cuando el rx recibe la señal revisa si la paridad es par o impar. Estos metodos solo funcionan si solo hay un bit de error en caso contrario no lo ven como error.

Tx Rx

Mientras > sea su tamaño puede tomarse como un 1

1 mega = 220

1 byte = 8 bits

N° total de direciones: 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑡𝑠

Conversion en Memorias

¿ Cuantos bits hay en 650 Mbytes?

Una direccion de memoria usa un codigo de direcciones de 20 bits para su

ubicación en la memoria. ¿Cuántos digitos en hex se necesitan para asignar

un espacio?. ¿Cuál seria el rango de direcciones? ¿Cuál seria el n° total de

direcciones?

Operaciónes Matematicas con Binarios

Suma de Binaria

Se ordenan a partir de la del bit menos significativo voy a tener 4 posibilidades.

0+0 = 0

1 + 0= 1

1+ 1 = 10 (o valor + 1 acarreo)

1+1+1= 11 (1 valor + 1 acarreo)

Función Msb Lsb

3 7 6

4 6 1

acarreo 1

resultado 8 3 7

Par= coloco 0 y tengo 1 acarreo

Impar= coloco 1 y tengo 1 acarreo

Ejemplos de suma binaria

3 + 6 = binario

msd Lsd

(3) 0 1 1

(6) 1 1 0

1 1

1 0 0 1

Ejercicios

10110 + 00111

011101 + 010010

10001111+00000001

msd Lsd

(9) 1 0 0 1

(15) 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 0 0 0

9 + 15 = binario

REPRESENTACION DE BIT CON SIGNO

INDICAR LA NATURALEZA POSITIVA O NEGATIVA DE UN NUMERO.

SE AÑADE UN BIT EN LA CIFRA MSD

0 COMO POSITIVA

1 COMO NEGATIVO

0 1 1 0 1 0 0

SIGNO MAGNITUD (+52)

1 1 1 0 1 0 0

SIGNO MAGNITUD (-52)

FORMAS DE COMPLEMENTO

Complemento a 1 (Ca1)

De un numero es el inverso de cada uno de sus valores

Complemento a 2 (Ca2)

1 0 1 1 0 1

El Ca1 de 101101 es 010010

0 1 0 0 1 0

Se toma el Ca1 y se le agrega un 1 al LSD

1 0 1 1 0 0

El Ca1 de 101100 es 010011

0 1 0 0 1 1

Suma a la LSD 1

Acarreo 1 1

0 1 0 1 0 0

El Ca2 de 101100 es 010100

Representacion de N° con signo usando Ca2

Si es positivo

Se coloca 0 como bit de signo y se deja el numero en su forma verdadera binaria.

Si es negativo

La magnitud del numero se representa en su forma de Ca2 y se coloca un bit de signo (1) antes del bit mas significativo

Ejercicios: halle el Ca1 y el Ca2 de:

+13,-9,+3,-4

Cuando el numero es negativo debo hallar el Ca2 de su +

SUMA EN EL SISTEMA DE Ca2

CASO 1¨= 2 N° POSITVOS

N° SIG MSD LSD

+9 0 1 0 0 1

+4 0 0 1 0 0

0

+13 0 1 1 0 1

Caso 2: n° + > que n° -

N° sig msd

lsd

+9 0 1 0 0 1

-4 Ca2 1 1 1 0 0

1

+5 1 0 0 1 0 1

EL 1 DE ACARREO SE IGNORA

Se usa Ca2 para representar los n° negativos.

+4 0 0 1 0 0

Ca1 1 1 0 1 1

sumo 1

acarreo 1 1

Ca2 -4 1 1 1 0 0

Ca2 con signo -4

El sistema de Ca2 se usa para representar n° con signos porque nos permite

realizar resta con suma. (Ahorro de hardware)

SUMA EN EL SISTEMA DE Ca2

CASO 3¨= N° POSITVOS < N° NEGATIVO

N° SIG MSD LSD

-9 1 0 1 1 1

+4 0 0 1 0 0

1

-11 1 1 0 1 1

VALOR NEGADO EN CA2

-5 1 0 1 0 1

EL VALOR NEGATIVO INDICA QUE ESE

VALOR ES CA2, PARA HALLAR EL

VERDADERO VALOR DE LA SUMA

DEBEMOS NEGAR EL CA2

Se usa Ca2 para representar los n° negativos.

-11 1 1 0 1 1

Ca1 0 0 1 0 0

sumo 1

acarreo

Ca2 --5 1 0 1 0 1

Ca2 con signo -11

+9 0 1 0 0 1

Ca1 1 0 1 1 0

sumo 1

acarreo

Ca2 --9 1 0 1 1 1

Ca2 con signo -9

SUMA EN EL SISTEMA DE Ca2

CASO 4¨= 2 NUMEROS NEGATIVOS

N° SIG MSD LSD

-9 1 0 1 1 1

-4 1 1 1 0 0

1 1

-3 1 1 0 0 1 1

+13 ? 0 1 1 0 1

SE IGNORA ESTE ACARREO Y SE

NIEGA EL CA2 DEL RESULTADO

ES ESTO CORRECTO

Se usa Ca2 para representar los n° negativos.

-3 1 0 0 1 1

Ca1 0 1 1 0 0

sumo 1

acarreo

Ca2 +13 0 1 1 0 1

Ca2 con signo -3

SUMA EN EL SISTEMA DE Ca2

CASO 5¨= 2 NUMEROS = Y CONTRARIOS

N° SIG MSD LSD

-9 1 0 1 1 1

+9 0 1 0 0 1

1 1 1 1

+0 1 0 0 0 0 0

SE IGNORA ESTE ACARREO

Se usa Ca2 para representar los n° negativos.

RESTA EN CA2

Es similar a los casos de la suma

Deben ser de la misma logitud si no complemento con 0

Sume el minuendo A el Ca2 del sustraendo B.

Inspeccione el resultado final,

si ocurre acarreo se descarta y el n° obtenido es el resultado.

Si no ocurre el acarreo final tome el Ca2 del resultado y lo expresa negativo

MINUENDO (A) – SUSTRAENDO (B) = RESTA

Resta Ca2

Caso 1

bsig

msd

lsd

+9 0 1 0 0 1

-4 1 1 1 0 0

Ac 1

+5 1 0 0 1 0 1

Caso

1 bit de signo

Hallo el Ca2 del resultado

RESTA EN Ca1

Es similar a los casos de la suma

Deben ser de la misma logitud si no complemento con 0

Sume el minuendo A el Ca1 del sustraendo B.

Inspeccione el resultado final,

si ocurre acarreo se descarta y se agrega un 1 a la LSB

Si no ocurre el acarreo final tome el Ca1 del resultado y lo expresa negativo

MINUENDO (A) – SUSTRAENDO (B) = RESTA

Misma forma que la multiplicacion de decimales,

MULTIPLICACION DE BINARIOS

N LSD

Multiplicando 1 0 0 1

Multiplicador 1 0 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 0 1

0 0 0 0 0

1 1 0 0 1

Acarreo 1 1

Resultado 1 1 0 0 0 1 1

SI LOS 2 NUM SON POSITIVOS

SE MULTIPLICAN TAL COMO ESTAN EL RESULTADO ES POSITIVO Y SE LE AGREGAN UN BIT DE SIGNO 0

SI LOS 2 NUM SON NEGATIVOS

LOS DOS NUM ESTAN EN Ca2 SE LES SACA EL Ca2 DE CADA UNO PARA CONVERTIRLO EN POSITIVO EL RESULTADO ES POSITIVO Y SE LE AGREGAN UN BIT DE SIGNO 0

SI SON DE DIFERENTE SIGNOS

EL NEGATIVO SE LE HALLA SU Ca2 PARA VOLVERLO POSITIVO.

SE MULTIPLICA Y PUESTO QUE EL RESULTADO DEBE SER NEGATIVO SE LE HALLA SU Ca2 Y SE LE DA UN BIT DE SIGNO 1

MULTIPLICACION Ca2

Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:

0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al proximo.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición

siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

Restamos 17 - 10 = 7 (2=345) Restamos 217 - 171 = 46 (3=690) 10001 11011001 -01010 -10101011 —————— ————————— 01111 00101110

Resta Binaria Simple

Division Binaria

Similar a la división larga en sistema decimal

Compara ambas cifras igual N° de dígitos.

Si no puede dividirse se intenta con un digito mas.

Si la división es posibles (el divisor esta contenido en el dividendo) es = 1.

Restamos la cifra dividendo divisor.

Resultado 0 1 1

Divisor 1 1 1 0 1 1 Dividendo

- 1 1

0 1 0 1

- 1 1

Resto 1 0

No cabe división 0

3678 +∗ 7158

Llevar a BCD

Potencias de 2

Sumo en binario

Completo con 0 si es necesario

Chequeo el resultado en decimal

El PROBLEMON

SUMA (no evaluado)

BCD

Cada digito en decimal es repersentado en 4 bits. Caso 1 suma ≤ 9

Mismo que para la suma binaria no lleva acarreo

Caso 2 suma ≥ 9 Se suman lo grupos de BCD con la

adicion binaria normal.

Para donde la suma sea < 9 no es necesario hacer corrección.

Cuando la suma de 2 digitos es mayor que 9 se le aplica un factor de correccion 0110 para obtener resultado en BCD.

Hexa

Se suma los 2 digitos y se busca el equivalente hexadecimal.

Si es mayor que 16 se le resta 1 y se le suma a la posición siguiente.

Casos Especiales y Negación

Negación

Es el hecho de cambiar un N° de + a - y viceversa.

Cuando se representa un Ca2 con signo .

Caso Especial sobre la Representacion Ca2

Siempre que un N° con signo tenga 1 en el bit de signo y todos los bit de magnitud en 0, su equivalente en decimal sera −2𝑛; donde n= n° de ceros.

Ell rango de valores va desde:

−2𝑛 a (2𝑛 -1)

Codigos y sus Aplicaciones

Es cualquier sistema de representación de información mediante variables binarias. Se basa en representar binariamente la información numérica decimal. situaciones en la electrónica digital en la que necesitamos realizar tareas especificas, por lo tanto se necesitaran utilizar una serie de códigos que también utilizan ceros (0) y unos (1), pero sus significados pueden variar

Pe

so

BCD

Sist. Numeracion

Sin

Pe

so

GRAY

Aiken

Haming

BCD exceso de 3

Alfanumericos

Clasificacion

Peso valor de ponderación por la posicion

GRAY

En este código solo un bit puede cambiar a la vez, es utilizado para obtener funciones logicas de Minterminos y Maxterminos, para circuitos secuenciales (especialmente en circuitos secuenciales) se caracteriza porque cambia un solo bit por conteo. Sumo 1 a cada posición

hasta el 7, luego le coloco 1 a la primera posición e invierto el numero 8 = 15 .

Orden DEC

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 1 3

3 0 0 1 0 2

4 0 1 1 0 6

5 0 1 1 1 7

6 0 1 0 1 5

7 0 1 0 0 4

8 1 1 0 0 12

9 1 1 0 1 13

10 1 1 1 1 15

11 1 1 1 0 14

12 1 0 1 0 10

13 1 0 1 1 11

14 1 0 0 1 9

15 1 0 0 0 8

BCD exceso 3

se obtiene sumando 3 a cada combinación del código BCD natural. Es un código muy útil en las operaciones de resta y división.

Valores validos en amarillo.

Orden BCD ex3

0 0 0 0 0 NA

1 0 0 0 1 NA

2 0 0 1 0 NA

3 0 0 1 1 0

4 0 1 0 0 1

5 0 1 0 1 2

6 0 1 1 0 3

7 0 1 1 1 4

8 1 0 0 0 5

9 1 0 0 1 6

10 1 0 1 0 7

11 1 0 1 1 8

12 1 1 0 0 9

13 1 1 0 1 NA

14 1 1 1 0 NA

15 1 1 1 1 NA

BCD AIKEN

Similar al BCD natural la razon de este numero es conseguir simetria en ciertos numeros. Mientras la distribucion de pesos en BCD es 8,4,2,1 en Aiken es 2 - 4 - 2 - 1

Valores validos en amarillo.

Orden BCD Aiken

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 2

3 0 0 1 1 3

4 0 1 0 0 4

5 0 1 0 1 NA

6 0 1 1 0 NA

7 0 1 1 1 NA

8 1 0 0 0 NA

9 1 0 0 1 NA

10 1 0 1 0 NA

11 1 0 1 1 5

12 1 1 0 0 6

13 1 1 0 1 7

14 1 1 1 0 8

15 1 1 1 1 9

CODIGO DE HAMING

N° BITS DE HAMMING

2𝑚 ≥ 𝑛 + 𝑚 + 1

n= n° de bit de dato

m= n° de bit de haming.

Los bit de hamming son los bit activos.

25 ≥ 12 + 5 + 1

32 ≥ 18

1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Dato

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N° de bits = m=12

1 2 3 4 5 N° de H=5

17

16

15

14

13

12

11

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

Mensaje (coloco h al azar)

H 1 0 1 H 1 0 0 H H 0 1 0 H 0 1 0

H= 5 NOS PERMITE SABER CUANTOS BITS TIENE EL CODIGO, EL CODIGO ENTRE TX Y RX PUEDE SER COLOCADO CADA 2 BITS O ALEATORIO.

CODIGO DE HAMING

17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01

H 1 0 1 H 1 0 0 H H 0 1 0 H 0 1 0

En la información transmitida se ubican los bit encendidos y se escribe en binario la posicion del bit, con la cantidad de bit del codigo haming en este caso son 5.

pos

02 0 0 0 1 0

06 0 0 1 1 0

Comp 0 0 1 0 0

12 0 1 1 0 0

Comp 0 1 0 0 0

14 0 1 1 1 0

Comp 0 0 1 1 0

16 1 0 0 0 0

Comp 1 0 1 1 0

Se compara bit a bit si son = se coloca 0 y

distintos 1.

La ultima comparacion es el codigo Haming.

En donde aparecen la H coloco cada digito

de la comparación.

CODIGO DE HAMING

1 0 1 1 0

17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01

H 1 0 1 H 1 0 0 H H 0 1 0 H 0 1 0

1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0

TODOS ESTOS PASOS SE LLEVAN ANTES DE LA tX

CODIGO DE HAMING

SE UBICA LA POSICION DE LOS BIT ENCENDIDOS Y SE ESCRIBE EN BINARIO Y SE COMPARAN SI EL RESULTADO ES IGUAL A CERO NO HAY ERROR NUMERO ES LA POSICION DEL ERROR

HAMING VS POSICION CHEQUEO DE TX

pos 1 0 1 1 0

2 0 0 0 1 0

COM 1 0 1 0 0

6 0 0 1 1 0

COM 1 0 0 1 0

12 0 1 1 0 0

COM 1 1 1 1 0

16 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0

EL NUMERO NOS DA UN ERRO EN POS 14