Číselné těleso
Post on 11-Jan-2016
45 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Číselné těleso
V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).
Buď T podmnožinou komplexních čísel. Množinu T nazveme číselným tělesem, je-li alespoň dvouprvková a právě když platí
Definice 29.
TTT 1)
TTT 2)
TT 3)
TT 14)
tj. je-li množina T uzavřená vůči sčítání, odčítání, násobení a dělení. Číselná tělesa jsou množiny Q, R a C, Q je nejmenší ve smyslu inkluze.
Pozn. : v přednáškách o lineární algebře budeme značit čísla (prvky z tělesa) řeckými písmeny (α, β, γ, δ …), kdežto vektory písmeny latinskými. Tato notace se v matematice často používá. Ve fyzice se setkáme spíše s notací, kde jsou čísla i vektory latinkou, vektory jsou ovšem psány tučně nebo s šipkou.
Vektorový prostor
Nechť jsou dány následující matematické objekty:Definice 30.
1)2)
VVV :3)
Číselné těleso T.
Neprázdná množina V.
VVT :4)
Zobrazení
Zobrazení
Řekneme, že V je vektorový prostor nad tělesem T s vektorovými operacemi , právě když platí axiomy vektorového prostoru :a
S1) Komutativní zákon pro vektorové sčítání :
Speciální značení pro odlišení normálních a vektorových operací.
abbaba VVS2) Asociativní zákon pro vektorové sčítání :
cbacbacba )()(VVV
součet vektorů
součin čísla a vektoru
Vektorový prostor
S3) Existence nulového vektoru :
aaa θθ VV
S3) Existence opačného vektoru :
θ baab VVOpačný vektor k vektoru a značíme obvykle unárním mínus, tj. a = -b.
N1) Asociativní zákon pro násobení vektoru číslem:
N2) Násobení jedničkou :
aaa )()( VTT
aaa 1V
Vektorový prostor
D1) Distributivita násobení vektoru číslem vzhledem k sčítání čísel :
D2) Distributivita násobení vektoru číslem vzhledem k sčítání vektorů :
aaa
a
)(
VTT
)()()( baba
ba
VVT
Pozn. : Vektorový prostor musí být uzavřený vůči sčítání vektorů a násobení vektoru číslem. Axiomy pak zajistí, že vektory se chovají obdobně jako čísla a podléhají obdobným zákonům. To umožňuje konstruovat rozsáhlý matematický aparát bez toho, aniž bychom doopravdy znali vlastní podobu vektorů.
Pozn. : V dalších částech přednášky budeme vektorový součet a násobení vektoru číslem značit již standardně + a . , z kontextu bude jasné, zda se jedná o vektorové nebo klasické operace.
Vektorový prostor
Věta 3. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T. potom platí:
1)2)
Vba,3)
Existuje právě jeden nulový vektor.
Ke každému vektoru z V náleží právě jeden vektor opačný.
θa0,θθ VT a4)
Pro každé má rovnice a = b + x právě jedno řešení,
a to x = -b + a.
)θ0(θ aaa VT5)
)()()( aaaa VT6)
Tato věta říká o vektorech věci, které u čísel považujeme za naprosto samozřejmé. Protože ale vektory nemusejí být čísla, ale naprosto cokoliv, a protože operace s nimi mohou bát naprosto libovolné, je třeba tvrzení dokázat. Dokážeme jen tvrzení 1) a 2).
Vektorový prostor
Důkaz 1) : Z axiómu S3 víme, že existuje (alespoň) jeden nulový vektor. Že je právě jeden dokážeme sporem – uvažujme, co se stane, když budeme předpokládat existenci dvou různých, θ1 a θ2. Muselo by zároveň platit (S3)
aaaaaa 21 θ,θ VV
121212 θθθθθθ
Protože a je libovolné, můžeme si postupně zvolit a = θ1, a = θ2, z čehož plyne
a protože platí komutativní zákon (axiom S1), plyne z toho, že θ1 = θ2, což je spor s naším předpokladem, že tyto dva (nulové) vektory jsou různé.
Vektorový prostor
Důkaz 2) : Existenci opačného vektoru zajišťuje axiom S4. Jednoznačnost opět dokážeme sporem. Kdyby existovaly dva opačné vektory b1 a b2 k vektoru a, pak by muselo zároveň platit
θ,θ 21 baba
11121222 θθ bbbabbabbb
využijeme-li axiomy S1, S2 a S3, pak několika jednoduchými úpravami získáme
došli jsme tedy k b1 = b2, což je spor s naším předpokladem, že tyto dva vektory jsou různé.
Q.E.D.
Důkazy ostatních částí jsou stejně snadné, zkuste si je sami. Konstrukce vektorového prostoru nám dává jistotu, že se s vektory bude dát zacházet podle všech rozumných pravidel. A to i přes to, že dopředu nemusíme vědět, CO vlastně vektory jsou – stačí, že víme, jak správně zkonstruovat vektorové operace (uzavřenost, respektovat axiomy).
Vektorový prostor Tn
Buď T číselné těleso, n přirozené číslo, množina V pak množina n-tic ve tvaru:
Definice 31.
na ,,, 321kde α1 až αn jsou čísla z tělesa T. Definujme operace jako
n
nn
a
ba
,,,
,,
321
2211
Jelikož všechny operace se provádějí jako standardní po složkách a složky jsou čísla, axiomy vektorového prostoru jsou splněny (čísla je evidentně splňují). Speciálně pro tělesa R nebo C značíme prostory Rn nebo Cn. Na střední škole se studenti setkávají s vektorovými prostory R2 nebo R3.
Vektorový prostor Tn,m
Buď T číselné těleso, n a m přirozená čísla. Množina V pak množina takzvaných matic, tabulek čísel ve tvaru :
Definice 32.
nmmm
n
n
a
21
22212
12111
kde α11 až αnm jsou čísla z tělesa T. Definujme operace jako u předchozího vektorového prostoru – tedy standardní číselné operace po složkách. Jelikož všechny operace se provádějí jako standardní po složkách a složky jsou čísla, axiomy vektorového prostoru jsou splněny (čísla je evidentně splňují). Speciálně pro tělesa R nebo C značíme prostory Rn,m nebo Cn,m.
Pozn. : první index u složky zde značí číslo sloupce (pozice ve vodorovném směru), druhý index u složky značí číslo řádku (pozice ve svislém směru). V tomto bodě se přednáška hrubě rozchází z většinou matematické literatury. Usnadní to ale studentům orientaci při sledování přednášky o výpočetní technice – pole se v programech značí tak, jak je to zavedeno na této průsvitce.
Vektorový prostor P
Buď T = C komplexní číselné těleso, množina V = P množina všech polynomů. Její prvky jsou tedy funkce ve tvaru
Definice 33.
nnttttta 3
32
210)(kde všechna αn jsou čísla z tělesa C. Definujme operace takto:
)())((
)()())((
tata
tbtatba
Protože v každém bodě t C jsou funkční hodnoty komplexní čísla, axiomy určitě platí.
součet funkcí
násobení funkce číslem
Vektorový prostor šipek
Buď T = R reálné číselné těleso, množina V množina všech geometrických orientovaných úseček. Její prvky jsou tedy jakési „šipky“. Definujme operace takto:
Definice 33.
a
ba
součet definujeme pomocí rovnoběžníkového pravidla
násobení definujeme jako γ-násobné prodloužení
Platí v takto definovaném prostoru axiomy? Bezesporu ano. Stejně se dá defino- vat prostor šipek i v 3D. Prostor šipek je vhodný zejména při vizualizaci.
Zajímavý vektorový prostor
Buď T = R reálné číselné těleso, množina V interval ( 0, +∞). Definujme operace jako Příklad
aa
baba
Je tato konstrukce vektorovým prostorem?
Operace sčítání je uzavřená.
Operace násobení je uzavřená.
S1 – komutativní zákon.
S2 – asociativní zákon (+).
S3 – existuje nulový vektor.
S4 – existuje opačný vektor.
N1 – asociativní zákon (.) .
N2 – násobení jedničkou .
D1 – distributivita
D2 – distributivita
Je to vektorový prostor!
Lineární kombinace
Buď V vektorový prostor nad tělesem T. Souborem vektorů délky n rozumíme uspořádanou n-tici (tj. závisí na pořadí):
Definice 34.
nxxxx ,,, 321
nn
n
iii xxxxxx
3322111
Říkáme, že vektor x je lineární kombinací souboru ( x1, … , xn ), právě když existuje taková n-tice ( α1, … , αn ) čísel z tělesa T tak, že
Čísla αi nazýváme koeficienty lineární kombinace. Jsou-li všechna nulová, říkáme takové kombinaci triviální a výsledek je nulový vektor.
Lineární obal
NechťDefinice 35.
nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Množinuvšech lineárních kombinací tohoto souboru nazýváme jeho line-árním obalem a značíme
nxxxx ,,, 321
Lineární obal
Věta 3.
1)
2)
3) Proházíme-li vektory v souboru, jeho lineární obal se nezmění.
4)
Nechť nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Platí:
nxxxx ,,,θ 321
yxxxxxxxx
xxxx
nn
n
,,,,,,,
,,,y
321321
321
n
n
n
xxxx
xxxxy
xxxxy
,,,x
,,,x
,,,,x
321
321
321
T
Pozn. : lineární obal souboru vektorů je rovněž vektorovým prostorem. Předchozí věta ukazuje, že operace na něm jsou uzavřené a platí-li axiomy na celém prostoru, tím spíše platí na jeho podmnožině (což lineární obal je).
Lineární závislost a nezávislost
NechťDefinice 36.
nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Říkáme,že soubor je lineárně nezávislý (LN), právě když pouze triviální lineární kombinace tohoto souboru je θ. V opačném případě nazveme soubor lineárně závislý (LZ).
Příklad
)6,2()1,3()
)1,2()2,4()
21
21
xxb
xxaZjistěte, zda následující soubory vektorů z R2 jsou LZ nebo LN:
Zkoumáme všechny lineární kombinace souboru. Hledáme mezi nimi takovou, jejíž koeficienty nejsou samé nuly a přesto je nulová. Pokud ji najdeme, je soubor LZ, pokud ne, je LN.
2
1
2
00
2
024
02
024
)0,0()1,2()2,4(θ21
xx
0
0
6
020
6
0218
06
023
)0,0()6,2()1,3(θ21
xx
Lineární závislost a nezávislost
Příklad Zjistěte, zda následující soubory vektorů z prostoru šipek jsou LZ nebo LN:
Tento soubor je závislý. Abychom z vektorů dostali „tečku“ – tj. nulový vektor, stačí je k sobě prostě přičíst. Hledaná netriviální LK je tedy 1, 1.
Tento soubor je nezávislý. Abychom z vektorů dostali „tečku“ – tj. nulový vektor, musíme je oba dva vynásobit nulou.
Příklad
)1,2,3()3,1,1()3,4,11()
)1,3,2()2,2,1()5,1,3()
)9,6,3()5,3,1()2,3,4()
321
321
321
xxxc
xxxb
xxxa
Zjistěte, zda následující soubory vektorů z R3 jsou LZ nebo LN:
Lineární závislost a nezávislost
3
5
1
00
053
02
0952
0633
034
)0,0,0()9,6,3()5,3,1()2,3,4(
θ321
xxxa)
LZDalší sami …
Věta 4.
Nechť nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy
1)
2)
3)
Proházíme-li vektory v souboru, jeho lineární závislost či nezávislost se nezmění..
Jednoprvkový soubor (x1) je LZ právě tehdy, když x1 = θ. Jinak je LN.
Kritéria lineární závislosti a nezávislosti :
dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když
nkkk xxxxxxnk ,,,,,,ˆ 1121 tedy pokud v souboru existuje takový vektor, který lze nakombinovat (vytvořit lineární kombinací) z ostatních. Například v souboru
)2,1()6,2()5,3( 321 xxxlze první prvek nakombinovat z dalších dvou pomocí koeficientů -½,4 :
)5,3()8,4()3,1()2,1(4)6,2(21
Lineární závislost a nezávislost
Zkrácenina z
{1, 2, 3, … , n }
Věta 4. Kritéria lineární závislosti a nezávislosti :
Nechť nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy3)dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když
nkkk xxxxxxnk ,,,,,,ˆ 1121
Lineární závislost a nezávislost
Důkaz Jelikož výrok je ekvivalence, je potřeba dokázat postupně pravdivost implikací oběma směry. Tj. nejdřív „soubor je LZ“ => „v souboru je vektor, který lze nakombinovat z ostatních“.
θ1
n
iii x
Toto je lineární kombinace dávající nulu. Protože soubor je LZ, existuje tato kombinace jako netriviální, tedy minimálně jedno z čísel αi je nenulové Označme jej αk . Jednoduchou úpravou získáme
n
kii
iik
k
n
kii
iikk
n
iii xxxxx
111
1θ
Kombinace vektoru z ostatních
Věta 4. Kritéria lineární závislosti a nezávislosti :
Nechť nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy3)dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když
nkkk xxxxxxnk ,,,,,,ˆ 1121
Lineární závislost a nezávislost
Důkaz Nyní druhý směr ekvivaence, tj. „v souboru je vektor, který lze nakom-binovat z ostatních“ => „soubor je LZ“.
Jednoduchou úpravou přejdeme z kombinování vektoru xk k lineární kombi-naci celého souboru, která je nulová, ovšem netriviální (tj. alespoň jeden koeficient je nenulový).
n
kii
iik
n
kii
iik xxxx11
1θ
Nenulový koeficient lineární kombinace
Q.E.D.
Báze a dimenze
NechťDefinice 37. nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Pokud platí
říkáme, že prostor V má konečnou bázi a soubor
1)
2)
Soubor je lineárně nezávislý
nxxxx ,,, 321V
nxxxx ,,, 321 nazýváme bází prostoru V.
Definice 38. Nechť V je vektorový prostor. Pokud existuje takové přirozené číslo n, že existuje n-členný LN soubor vektorů z V a libovolný n+1 prvkový soubor vektorů z V je lineárně závislý, říkáme, že prostor V má konečnou dimenzi a definujeme dim V = n (dimenze V je n).
Pokud takové číslo neexistuje, tj. lze najít LN soubor vektorů o zcela libovolném počtu prvků, říkáme, že prostor V má nekonečnou dimenzi a definujeme dim V = ∞.
Věta 5. Buď V vektorový prostor. Platí
Ve V existuje n-členná báze. dim NV n
Báze a dimenze
Dimenze určuje maximální možnou velikost LN souboru. Přidáme-li do n-členného LN souboru další vektor, stane se LZ.
Z báze vektorového prostoru lze lineární kombinací získat libovolný další vektor. Chceme-li tedy znát celý vektorový prostor, stačí znát jednu bázi.
Nulový vektorový prostor V = {θ} má dimenzi 0 (dim V = 0) a bázi nemá žádnou.
Každý LN k-členný soubor vektorů z prostoru V o dimenzi n, k < n, lze vhodným výběrem dalších vektorů z V doplnit na bázi.
Dimenze závisí i na tělese. Zatímco prostor V=C s tělesem T=C má dimenzi 1, prostor V=C s tělesem T=R má dimenzi 2. Otázka : jakou dimenzi má V=R, T=C?
Báze a dimenze prostoru Tn
Tvrdíme, že dim Tn = n. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o n členech.
Soubor vektorů nn eeee ,,, 321 ve tvaru
1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,1,0
0,0,0,1
3
2
1
ne
e
e
e
je tzv. standardní bází Tn . Soubor je LN zcela zjevně, n-členný je také a každý vektor lze pomocí něj vyjádřit jako
n
iiin ex
1321 ,,,
Báze a dimenze prostoru Tn,m
Tvrdíme, že dim Tn,m = n ∙ m. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o n ∙ m členech.
Soubor vektorů mnmn ,1,31,21,1, ,,, EEΕE ve tvaru
100
000
000000
000
010
000
000
001
,
1,21,1
mnE
EE
je tzv. standardní bází Tn,m . Vektorů je opravdu n ∙ m.
Báze a dimenze prostoru P
Tvrdíme, že dim P = ∞. Kdybychom prostor omezili podmínkou, že se v něm smějí nacházet polynomy nejvýše stupně n-1, tedy polynomy ve tvaru
pak by dimenze byla konečná (n). I přes toto omezení je totiž V vektorovým
prostorem (někdy se značí Pn), neboť sečteme-li dva polynomy nejvýše řádu n-1, dostaneme opět polynom řádu n-1 (a stejně tak vynásobíme-li polynom číslem). Standardní báze by pak vypadala takto:
1
0
11
2210)(
n
i
ii
nn tttttp
11
2210 )(,)(,)(,1)(
nn ttettettete
Pokud ale řád polynomů neomezíme, pak by ani tato báze nemohla být konečná. I pro libovolně vysoké n bychom mohli najít polynom s vyšším stupněm, který z této báze nakombinovat nejde.
V tomto případě by bylo možné mluvit o bázi nekonečné (funkční řada), takovými útvary se však základní lineární algebra nezabývá. Setkáme se s nimi později v matematické analýze.
Báze a dimenze prostoru šipek
Tvrdíme, že dim Š = 2. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o 2 členech.
e1
e2
Jednotková délka
x 1.5
x 1.1
Kroneckerovo delta
pro i = j
například :
0
1ij
Definice 39. Zaveďme symbol Kroneckerovo delta:
pro i ≠ j
1
0
0
1
3,3
1,
5,3
1,1
rr
aa
510521
105,10555225115
10
15
0100 xxxxx
xxxxxi
ii
Typicky se používá ve složitějších výrazech se sumami a podobně:
n
iiijx
1
n
j
n
ijiij yx
1 1
jx
n
iii yx
1
Souřadnice
Věta 6.Nechť nxxxxΧ ,,, 321vektoru x z V existuje právě jedna n-tice n ,,, 321
n
iii xx
1
z tělesa taková, že
je báze V. Potom ke každému
tj. každý vektor lze z báze nakombinovat právě jedním způsobem. Označme čísla αi jako
)(# xxii Tento složitý zápis poukazuje na fakt, že čísla αi závisí jednak na zvoleném vektoru x, ale i na zvolené bázi, tj. na vektorech xi. Změníme-li cokoliv z toho, změní se αi . Dá se říci, že čísla αi jsou vlastně jakýmisi „funkcemi“ báze a vektoru x. Platí:
tj. x#i je zobrazení z prostoru do tělesa. TV :ˆ #
ixni1)
2)
3)
)()()(,ˆ ### yxxxyxxVyxni iii
)()(ˆ ## xxxxxni ii TV
4) ijji xxnji )(ˆ, #
Souřadnice v dané báziSouřadnicový
funkcionál
Věta 6.Nechť nxxxxΧ ,,, 321vektoru x z V existuje právě jedna n-tice n ,,, 321
n
iii xx
1
z tělesa taková, že
je báze V. Potom ke každému
)(# xxii
tj. x#i je zobrazení z prostoru do tělesa. TV :ˆ #
ixni1)
Vezměme různé báze prostoru R2 .
)1,2(,)2,1(
)0,1(,)1,1(
)1,0(,)0,1(
21
21
21
yy
xx
eeO tom, že soubory jsou skutečně báze je snadné se přesvědčit. Prozkoumejme, jak lze z těcho bází nakombinovat vektory u = ( 5, 6 ), v = ( -1, 3 ), w = (0,2) :
21
21
21
20
31
65
eew
eev
eeu
21
21
21
22
43
16
xxw
xxv
xxu
21
21
21
5254
11
54517
yyw
yyv
yyu
Souřadnice
Věta 6.Nechť nxxxxΧ ,,, 321vektoru x z V existuje právě jedna n-tice n ,,, 321
n
iii xx
1
z tělesa taková, že
je báze V. Potom ke každému
)(# xxii tj. x#
i je zobrazení z prostoru do tělesa. TV :ˆ #ixni1)
21
21
21
20
31
65
eew
eev
eeu
21
21
21
22
43
16
xxw
xxv
xxu
21
21
21
5254
11
54517
yyw
yyv
yyu
5)(#1 ue
6)(#2 ue 3)(#
2 ve
1)(#1 ve
2)(#2 we
0)(#1 we
Souřadnice
Věta 6.Nechť nxxxxΧ ,,, 321vektoru x z V existuje právě jedna n-tice n ,,, 321
n
iii xx
1
z tělesa taková, že
je báze V. Potom ke každému
)(# xxii tj. x#
i je zobrazení z prostoru do tělesa. TV :ˆ #ixni1)
21
21
21
20
31
65
eew
eev
eeu
21
21
21
22
43
16
xxw
xxv
xxu
21
21
21
5254
11
54517
yyw
yyv
yyu
6)(#1 ux
1)(#2 ux 4)(#
2 vx
3)(#1 vx
2)(#2 wx
2)(#1 wx
Souřadnice
Věta 6.Nechť nxxxxΧ ,,, 321vektoru x z V existuje právě jedna n-tice n ,,, 321
n
iii xx
1
z tělesa taková, že
je báze V. Potom ke každému
)(# xxii tj. x#
i je zobrazení z prostoru do tělesa. TV :ˆ #ixni1)
21
21
21
20
31
65
eew
eev
eeu
21
21
21
22
43
16
xxw
xxv
xxu
21
21
21
5254
11
54517
yyw
yyv
yyu
517
)(#1 uy
54
)(#2 uy 1)(#
2 vy
1)(#1 vy
52
)(#2 wy
54
)(#1 wy
Souřadnice
Věta 6.Nechť nxxxxΧ ,,, 321vektoru x z V existuje právě jedna n-tice n ,,, 321
n
iii xx
1
z tělesa taková, že
je báze V. Potom ke každému
)(# xxii tj. x#
i je zobrazení z prostoru do tělesa. TV :ˆ #ixni1)
Pro danou bázi je i-tá souřadnice každého vektor daná. Tedy můžeme opravdu definovat zobrazení, které každému vektoru přiřadí i-tou souřadnici (číslo z tělesa). Opravdu tedy
TV :#2e
TV :#1e
TV :#ne
TV :#3e
Tato zobrazení jsou ale pro každou bázi jiná – stejný vektor má v různých bázích různé souřadnice.
TV :#2x
TV :#1x
TV :#nx
TV :#2y
TV :#1y
TV :#ny
TV :#2z
TV :#1z
TV :#nz
Souřadnice
Věta 6.Nechť nxxxxΧ ,,, 321vektoru x z V existuje právě jedna n-tice n ,,, 321
n
iii xx
1
z tělesa taková, že
je báze V. Potom ke každému
)(# xxii
2)
3)
)()()(,ˆ ### yxxxyxxVyxni iii
)()(ˆ ## xxxxxni ii TV
Souřadnicové funkcionály mají vlastnosti lineárních zobrazení (podrobně viz následující přednáška)
)()(
)()()(
xfxf
yfxfyxf
Příklad ve standardní bázi R2 na vektorech u = (3,3), v = (-1,6)
213)6,1()3,3()()(
2)9,2()6,1()3,3()(#1
#1
#1
#1
#1
#1
#1
eeveue
eevue
33)3,3()(
3)3,3()3,3().(#1
#1
#1
#1
#1
eue
eeue
Toto platí pro všechny vektory, báze a prostory.
Souřadnice
Věta 6.Nechť nxxxxΧ ,,, 321vektoru x z V existuje právě jedna n-tice n ,,, 321
n
iii xx
1
z tělesa taková, že
je báze V. Potom ke každému
)(# xxii
4) ijji xxnji )(ˆ, #
Každý bazický vektor lze z báze nakombinovat pomocí jedné jedničky a n-1 nul:
neeeeeeee 0010000 6543215
0)( 5#1 ee
0)( 5#2 ee
0)( 5#3 ee
0)( 5#4 ee
1)( 5#5 ee
0)( 5#6 ee
0)( 5# een
Souřadnice
Zvolíme-li bázi, pak se nám operace s jakýmkoliv vektorovým prostorem redukují na operace s n-ticemi číslic – souřadnicemi. To znamená, že všechny vektorové prostory o shodné konečné dimenzi a s tělesem T jsou v algebře ekvivalentní s prostorem Tn.
Souřadnice
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
123
2
(2,4)
(4,2)
(6,6)
Věta 6 zajišťuje, že můžeme používat podobné nákresy jako tento. Předpokládáme při nich automaticky, že souřadnice v obou prostorech jsou ve standardních bázích.
Shrnutí
• Číselné těleso, vektorový prostor, jeho operace a axiomy
• Vlastnosti vektorového prostoru plynoucí přímo z axiomů
• Základní vektorové prostory (n-tic, matic, polynomů, šipek)
• Lineární kombinace
• Lineární obal a jeho vlastnosti
• Lineární závislost a nezávislost
• Kritéria LN, LZ
• Báze a dimenze vektorového prostoru
• Dimenze a standarní báze základních vektorových prostorů
• Kroneckerovo delta
• Souřadnice a souřadnicový funkcionál
top related