chapitre ii-poussée et butée - finale - copie.doc
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- GEOTECHNIQUE II -
Chapitre II :
POUSSEE ET BUTEE
2ème génie civil
ECOLE MOHAMMADIA D’INGENIEURS
I/ TERRES AU REPOS
Soit un massif de sol homogène à surface horizontale.
Si le sol n’est pas soumis à un déplacement latéral (εh=0), il se trouve dans un
état initial qui dépend de son histoire géologique, on nomme cet état : poussée
des terres au repos (sans déplacement).
Pour définir l’état des terres au repos, on relie la contrainte effective horizontale
ζ’h0 à la contrainte effective verticale ζ’v0=γ’z par le coefficient de pression des
terres au repos K0
Géotechnique II
0'' 00 vh K
I/ TERRES AU REPOS
Le coefficient des terres au repos pourrait être déterminé expérimentalement à
l’aide de l’appareil triaxial:
Géotechnique II
v
hK'
'0
Coefficient des terres au repos:
I/ TERRES AU REPOS
La valeur de K0 varie suivant le type du sol. Elle est donnée, de façon
approximative, au tableau suivant :
Pour les sols pulvérulents et les sols fins normalement consolidés, on pourra
utiliser la formule simplifiée de JAKY si le terre plein est horizontal :
Géotechnique II
'sin10 K
I/ TERRES AU REPOS
S’il existe un talus de pente β, la valeur de K0, avec la même définition, sera :
Par rapport aux sols normalement consolidés, la valeur de K0 augmente pour
les sols surconsolidés. D’autant plus que le coefficient de surconsolidation ROC
est important. On pourra utiliser la relation suivante :
Avec :
Géotechnique II
)sin1(00 KK
2/1
0 )'sin1( OCRK
0'
'
v
p
OCR
II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Soit un massif de sol homogène à surface
horizontale, maintenu par un écran, et soit F
l’effort nécessaire pour maintenir l’écran
immobile.
Si l’effort F est relâché, il y a un léger
déplacement Δ de l’écran.
Si le déplacement est important; il y a rupture du
sol derrière l’écran (éboulement) par formation de
surfaces de glissement.
Géotechnique II
1) Cas actif: équilibre de poussée
La rupture correspond à
l’équilibre de poussée ou
actif: le sol agit sur
l’écran
II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Soit un massif de sol homogène à surface
horizontale, maintenu par un écran, et soit F
l’effort nécessaire pour maintenir l’écran
immobile.
Si l’effort F est augmenté, il y a un léger
déplacement Δ de l’écran.
Si le déplacement est important; il y a rupture du
sol derrière l’écran (refoulement) par formation de
surfaces de glissement.
Géotechnique II
2) Cas passif: équilibre de butée
La rupture correspond à
l’équilibre de butée ou
passif: le sol subit
l’action de l’écran
II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
pour qu’il y est équilibre de poussée ou de butée,
il faut qu’il y est déplacement, grossièrement, de:
l’ordre de H/1000 pour mobiliser la poussée
(pour H=10m, il faut un déplacement Δa=1cm)
Supérieur à H/100 pour mobiliser la butée (pour
H=10m, il faut un déplacement Δp=10cm).
Géotechnique II
3) Déplacements nécessaires pour atteindre les équilibres limites
II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Lors de l’expansion latérale (Le sol pousse sur l’écran), la contrainte ζ’v0
reste constante et la contrainte horizontale initiale ζ’h0 diminue, jusqu’à ce
que le cercle de Mohr devienne tangent à la courbe intrinsèque pour une
contrainte horizontale: ζ’a.
C’est l’équilibre actif ou de poussée.
Géotechnique II
4) Équilibres limites en contraintes
a) équilibre limite actif ou de poussée
Remarque: ζ’v reste la contrainte principale majeure.
II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Les plans de rupture constituent un réseau de surfaces de glissement planes
dont l’inclinaison est donnée par les points de contact avec la courbe
intrinsèque.
Géotechnique II
4) Équilibres limites en contraintes
a) équilibre limite actif ou de poussée: plans de rupture
II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Lors de la contraction latérale (L’écran pousse sur le sol), la contrainte ζ’v0
reste constante et la contrainte horizontale initiale ζ’h0 augmente, jusqu’à ce
que le cercle de Mohr devienne tangent à la courbe intrinsèque pour une
contrainte horizontale: ζ’p.
C’est l’équilibre passif ou de butée.
Géotechnique II
4) Équilibres limites en contraintes
b) équilibre limite passif ou de butée
Remarque: ζ’v devient la contrainte principale mineure.
II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Les plans de rupture constituent un réseau de surfaces de glissement planes
dont l’inclinaison est donnée par les points de contact avec la courbe
intrinsèque.
Géotechnique II
4) Équilibres limites en contraintes
b) équilibre limite passif ou de butée: plans de rupture
A NOTER:
On admet que les ouvrages de soutènement sont susceptibles de se déplacer
suffisamment pour qu’apparaissent dans le sol des lignes de glissement
correspondant à l’équilibre plastique.
Géotechnique II
Cette hypothèse est
pratiquement toujours vérifiée
puisque les déplacements
nécessaires pour passer de l’état
de pression au repos à l’état de
poussée sont faibles
(Δa=H/1000).
Les sols contenus par les ouvrages de soutènement sont:
pesants
généralement cohérents
peuvent supporter des surcharges
La force de poussée est obtenue en superposant les trois états d’équilibre
plastique:
Pesant, non cohérent, non surchargé
Non pesant, non cohérent, surchargé
Non pesant, cohérent, non surchargé
1) Principe de superposition
A NOTER:
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
La théorie de Rankine repose sur les hypothèses suivantes:
le sol est isotrope
la présence de discontinuité (écran, mur) ne modifie pas la répartition des
contraintes verticales.
1) Coefficients de poussée et de butée
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
1) Coefficients de poussée et de butée
• la contrainte de poussée est reliée à la contrainte verticale ζ’v0 par le
coefficient de poussée Ka :
• la contrainte de butée est reliée à la contrainte verticale ζ’v0 par le
coefficient de butée Kp :
0'.' vaa K
0'' vpp K
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Rappel: La relation entre contraintes principales à la rupture est:
2) Massif horizontal
a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
2
'
4tan'2'
2
'
4tan' 3
2
1
c
2
'
4tan'2'
2
'
4tan' 1
2
3
c
- Trouver les coefficients de poussée Ka et de butée Kp.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Coefficient de poussée Ka:
Coefficient de butée Kp:
2) Massif horizontal
a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:
0q
0c'
0γ
3
1
'..'
'.'
zK
z
aa
v
2
'
4tan2
aK
1
3
'..'
'.'
zK
z
pp
v
2
'
4tan2
pK
État de poussée État de butée
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
La distribution des contraintes sur un écran plan varie linéairement avec z:
La force de poussée résultante est:
zKaa ..
H
aa dzzKF0
...
2..2
1HKF aa
La force de poussée s’exerce au
tiers inférieur de H.
2) Massif horizontal
a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Rappel: La relation entre contraintes principales à la rupture est:
2) Massif horizontal
b) Milieu non pesant, non cohérent, surchargé:
0q
0c'
0γ
2
'
4tan'2'
2
'
4tan' 3
2
1
c
2
'
4tan'2'
2
'
4tan' 1
2
3
c
- Trouver les coefficients de poussée Kaq et de butée Kpq.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Coefficient de poussée Kaq:
Coefficient de butée Kpq:
2) Massif horizontal
b) Milieu pesant, non cohérent, surchargé:
0q
0c'
0γ
3
1
'.'
''
qK
q
aqa
v
2
'
4tan2
aqK
1
3
'.'
''
qK
q
pqp
v
2
'
4tan2
pqK
État de poussée État de butée
N.B: la surcharge q a une valeur constante, indépendante de la profondeur.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
La distribution des contraintes sur un écran plan est uniforme:
La force de poussée résultante est:
qKaqa .
H
aqaq dzqKF0
..
HqKF aqaq ..
La force de poussée s’exerce au milieu de H.
2) Massif horizontal
a) Milieu pesant, non cohérent, surchargé:
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Rappel: Théorème des états correspondants
2) Massif horizontal
c) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:
0q
0c'
0γ
- L’état du sol vis-à-vis de la rupture est identique dans les deux cas.
a: la courbe intrinsèque d’un sol cohérent
(c’#0 et φ’#0) avec 2 cercles de Mohr:
C1 (en équilibre limite)
C2 ( en équilibre surabondant).
b: la courbe intrinsèque d’un sol
pulvérulent (c’=0 et φ#0) de même angle
de frottement interne que le sol précédent:
C1 et C2 sont obtenues par
translation égale à:
'tan
''
cOO
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Rappel: Théorème des états correspondants (suite)
2) Massif horizontal
c) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:
0q
0c'
0γ
Un milieu cohérent peut être
transformé en milieu pulvérulent
de même angle de frottement
interne, en appliquant autour du
massif une pression hydrostatique
d’intensité égale à c’/tanφ’.
Appliquer une translation c’/tanφ’ sur un
cercle de Mohr quelconque revient à
appliquer une contrainte normale
supplémentaire d’intensité c’/tanφ’ sur
chaque facette de chaque point.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Application du théorème des états correspondants:
- On suppose un milieu fictif pulvérulent (non pesant) chargé en surface: q=c’/tanφ’
- on applique le théorème des états correspondants pour passer au milieu réel
cohérent on soustrait la pression hydrostatique d’intensité égale à c’/tanφ’.
2) Massif horizontal
c) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:
État de poussée État de butée
0q
0c'
0γ
- Trouver les contraintes de poussée et de butée ζ’a et ζ’p.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
En équilibre de poussée:
2) Massif horizontal
c) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:
'tan
'.'
'tan
''
cK
c
ah
v
0q
0c'
0γ
Milieu fictif
(non cohérent)
Milieu réel
(cohérent)
'tan
'''
'tan
'''
c
c
hh
vv
'tan
').1('
cKah
ah Kc'.2' traction
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
En équilibre de butée:
2) Massif horizontal
c) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:
'tan
'.'
'tan
''
cK
c
ph
v
0q
0c'
0γ
Milieu fictif
(non cohérent)
Milieu réel
(cohérent)
'tan
'''
'tan
'''
c
c
hh
vv
'tan
').1('
cK ph
ph Kc'.2' compression
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Superposition des trois états:
2) Massif horizontal
d) Cas général: milieu pesant, cohérent, surchargé
0q
0c'
0γ
aah KcqzK '.2)..('
q
K
cz
a
c '2
Traction jusqu’à:
pph KcqzK '.2)..('
En équilibre de poussée:
En équilibre de butée:
Exercice:
Nous avons une tranchée de 5m de profondeur à creuser dans un
dépôt argileux. La résistance moyenne en compression simple est
de 44 KPa et la densité du matériau est de γ=16 KN/m3 .
1) Calculer et tracer le diagramme de pression des terres requis
pour le design du mur de soutènement à court terme.
1) Calculer également la force résultante et commenter le résultat.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné
a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Contrainte géostatique:
Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur
l’horizontale. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottement interne φ et de
poids volumique γ).
La contrainte géostatique qui s’exerce en un point M à une profondeur h, sur
la facette parallèle à la surface libre est:
cos..z
Convention
de signes:
-Massif de sol à droite angles + dans le sens trigonométrique
-Massif de sol gauche angles + dans le sens horaire.
φ’: angle de frottement interne du sol
θ: inclinaison du mur
β: inclinaison du massif
α: angle de frottement sol-écran
Massif de sol gauche Massif de sol droite
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné
a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
θα
θα
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Etat de poussée:
Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontale
en équilibre limite inférieur. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottement
interne φ et de poids volumique γ).
Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la
répartition des contraintes de poussée est linéaire:
Avec K aγ coefficient de poussée:
2sin)2cos(.sin21.
)sin(
)cos(.sin
aK
sin
sinsin
rKT a ..
α
θ
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné
a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Etat de poussée:
L’inclinaison θ de la contrainte s’exerçant sur une facette portée par OL est
constante tout le long du rayon vecteur est égale à:
)2cos(.sin1
)2sin(.sintan
α
θ
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de poussée:
La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):
La force de poussée résultante est:
2..2
1lKF aa
La force de poussée s’exerce au
tiers inférieur de l.
2) Massif incliné
a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:
rKT a ..
l
aa drrKF0
...
Faγ
θ
α
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné
a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Etat de poussée: cas particulier d’une facette verticale
Le long de la demi-droite verticale, la répartition des contraintes de poussée est
linéaire:
Avec K aγ coefficient de poussée:
cos... zKT a
cos.
coscoscos
coscoscos
22
22
aa KK
α=β
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de poussée: cas particulier d’une facette verticale
La distribution des contraintes sur un écran plan vertical varie linéairement
avec H (avec une inclinaison α=β):
La force de poussée résultante est: H
aa dzzKF0
..cos..
2.cos..2
1HKF aa
La force de poussée s’exerce au tiers inférieur de H.
2) Massif incliné
a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:
cos... zKT a
0q
0c'
0γ
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Etat de butée:
Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontale
en équilibre limite supérieur. Le milieu est pulvérulent (d’angle de
frottement interne φ et de poids volumique γ).
Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la
répartition des contraintes de butée est linéaire:
Avec K pγ coefficient de butée:
)2cos(.sin1.)sin(
)cos(.sin
pK
sin
sinsin
rKT p ..
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné
a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Etat de butée:
L’inclinaison α de la contrainte s’exerçant sur une facette portée par OL est
constante tout le long du rayon vecteur est égale à:
)2cos(.sin1
)2sin(.sintan
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de butée:
La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale
varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):
La force de butée résultante est: l
pp drrKF0
...
2..2
1lKF pp
La force de butée s’exerce au tiers
inférieur de l.
2) Massif incliné
a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:
rKT p ..
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement
0q
0c'
0γ
Etat de poussée:
Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la
répartition des contraintes de poussée est uniforme:
Avec K aq coefficient de poussée:
)cos(
a
aq
KK
qKT aq.
L’inclinaison de la contrainte de poussée
par rapport à la normale à OL est:
)2cos(.sin1
)2sin(.sintan
α
θ
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de poussée:
La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):
La force de poussée résultante est: l
aqaq drqKF0
..
lqKF aqaq ..
La force de poussée s’exerce au
milieu de l.
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement
0q
0c'
0γ
qKT aq.
α
Faqθ
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement
0q
0c'
0γ
Etat de butée:
Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la
répartition des contraintes de butée est uniforme:
Avec K pq coefficient de butée:
)cos(
p
pq
KK
qKT pq.
L’inclinaison de la contrainte de butée par
rapport à la normale à OL est:
)2cos(.sin1
)2sin(.sintan
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de butée:
La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):
La force de butée résultante est: l
pqpq drqKF0
..
lqKF pqpq ..
La force de butée s’exerce au milieu de l.
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement
0q
0c'
0γ
qKT pq.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Etat de poussée:
Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la
répartition des contraintes de poussée est uniforme:
Avec K ac coefficient de poussée:
)cos(.sin1
cos2
acK
cKT ac.
L’inclinaison de la contrainte de poussée par rapport à la normale à OL est:
)(
Traction
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de poussée:
La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):
La force de poussée résultante est: l
acac drcKF0
..
lcKF acac ..
La force de poussée s’exerce au milieu de l.
cKT ac.
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Fac
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Etat de butée:
Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la
répartition des contraintes de butée est uniforme:
Avec K pc coefficient de butée:
)cos(.sin1
cos2
pcK
cKT pc.
L’inclinaison de la contrainte de butée par rapport à la normale à OL est:
)(
Compression
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de butée:
La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale
varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):
La force de butée résultante est: l
pcpc drcKF0
..
lcKF pcpc ..
La force de butée s’exerce au milieu de l.
cKT pc.
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
3) Insuffisance de la théorie de Rankine
Hypothèse de la théorie de
Rankine:
la présence d’un écran ne modifie pas la
répartition des contraintes dans le
massif.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
Inconvénient de la théorie de Rankine:
l’angle de la contrainte de poussée avec la
normale à l’écran dépend des conditions
géométrique mais n’a pas la réalité physique
d’un angle de frottement sol-écran.
δ=α
δ#α
3) Insuffisance de la théorie de Rankine
Interaction sol-écran:
- le déplacement relatif du sol sur un écran rugueux frottement d’angle δ.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -
EQUILIBRE DE RANKINE
- l’angle de frottement sol-écran δ dépend de l’état de surface de l’écran et de la
nature du sol: 0≤ δ ≤φ
- δ=0: écran parfaitement lisse (ex: palplanche métallique)
- δ=2φ’/3: surface rugueuse (ex: béton lisse)
- δ=φ: surface très rugueuse (ex: béton sous des fondations)
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
(Boussinesq (1882) a amélioré la
théorie de Rankine en prenant
l’interaction réelle entre le sol et
l’écran, c.à.d. en choisissant la valeur
de l’angle de frottement δ sol-écran.
δ#α
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
a) Hypothèses
massif pesant, non cohérent et non surchargé;
massif à surface plane.
écran rugueux (angle de frottement sol-écran est δ)
La mise en équation du problème a donné un
système d’équations différentielles non intégrables
explicitement
résolution numérique de Caquot et Kérisel
Dans cet équilibre, Boussinesq considère une première zone ou on a
l’équilibre de Rankine se raccordant à une seconde zone ou il tient compte
des conditions aux limites sur l’écran.
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
b) Lignes de glissement
Deux équilibres à considérer:
Equilibre de Rankine: dans la zone entre surface
libre et plan de glissement passant par O.
Equilibre de Boussinesq: dans la zone entre écran
et plan de glissement passant par 0
Remarque: Pour la poussée et
pour un écran pas trop incliné,
les courbes de glissement sont, à
peu près, des lignes droites.
Etat de poussée
Etat de buée
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
c) Calcul des contraintes
Convention
de signes:
-Massif de sol à droite angles + dans le sens trigonométrique
-Massif de sol gauche angles + dans le sens horaire.
φ’: angle de frottement interne du sol
λ: inclinaison du mur
β: inclinaison du massif
δ: angle de frottement sol-écran
Massif de sol gauche Massif de sol droite
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
c) Calcul des contraintes
L’intensité de la contrainte agissant sur l’écran à la distance r du sommet O est:
Poussée:
Butée:
rKT a ..
rKT p ..
Kaγ et Kpγ sont donnés par les tables de Kérisel
et Absi en fonction de: φ’, λ, β/φ’ et δ/φ’
φ’: angle de frottement interne du sol
λ: inclinaison du mur
β: inclinaison du massif
δ: angle de frottement sol-écran
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
c) Calcul des contraintes: table de Kérisel et Absi de Kaγ et Kpγ pour β=λ=0
Kaγ et Kpγ sont donnés par les tables de Kérisel
et Absi en fonction de: φ’, λ, β/φ’ et δ/φ’
Etat de poussée:
La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):
La force de poussée résultante est:
2..2
1lKF aa
La force de poussée s’exerce au tiers
inférieur de l.
rKT a ..
l
aa drrKF0
...
Faγ
λ
δ
1) Théorie de Boussinesq:
d) calcul des forces
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
Etat de butée:
La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la verticale
varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):
La force de butée résultante est: l
pp drrKF0
...
2..2
1lKF pp
La force de butée s’exerce au tiers
inférieur de l.
rKT p ..
1) Théorie de Boussinesq:
d) Calcul des forces
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
a) Hypothèses
Théorie de Boussinesq Théorie de Prandtl
massif pesant, non cohérent et non
surchargé .
massif non pesant, non cohérent et
surchargé uniformément.
massif à surface plane (inclinaison β) massif à surface plane (inclinaison β)
écran rugueux (angle de frottement
sol-écran est δ)
écran rugueux (angle de frottement sol-
écran est δ)
mise en équation du problème:
- système d’équations différentielles
non intégrables explicitement:
résolution numérique de Caquot
et Kérisel
mise en équation du problème :
- système d’équations différentielles
analogues à celles régissant les équilibres
de Boussinesq:
Intégration analytique possible
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
b) Lignes de glissement
Les lignes de glissement est une juxtaposition de deux zones en équilibre de
Rankine reliées par une zone en équilibre de Prandtl.
L’évantail de Prandtl est un
faisceau de droites issues de
l’origine coupées par des
spirales logarithmiques
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
b) Lignes de glissement
Équilibre de Rankine (les
lignes de glissement sont
constituées de deux familles
de plans faisant entre eux
un angle de π/2±φ)
Équilibre de
Rankine
Équilibre de Prandtl (les lignes de glissement sont
constituées:
-d’une part, par des plans rayonnants passant par O
-D’autre part, par des spirales logarithmiques.
Ω
O
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
c) Calcul des contraintes: cas de la poussée
Soient OT et OT’ les plans limitant les formes
d’équilibre, on désignera par:
• µ: l’angle
• Ψ: l’angle
• ε: l’angle
Le calcul conduit aux formules générales suivantes:
TOA
'TOT
'BOT
1
tan2
12 .'cossincos
cossincosqKeqq a
sin
sinsin
sin
sinsin
22
1
22
1
22
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
c) Calcul des contraintes: cas de la poussée
Les conventions de signe relatives à α et δ sont données comme suit:
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
c) Calcul des contraintes: cas de la butée
Le calcul conduit aux formules générales suivantes:
1
tan2
12 .'cossincos
cossincosqKeqq p
sin
sinsin
sin
sinsin
22
1
22
1
22
Les conventions de signe relatives à α et δ
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
c) Calcul des contraintes: coefficients de poussée
L’intensité de la contrainte agissant sur l’écran à la distance r du sommet O est:
Poussée:
Butée:
12 .' qKq a
12 .' qKq p
K’a et K’p sont donnés par les tables de Kérisel
et Absi en fonction de: φ’, Ω, α et δ
φ’: angle de frottement interne du sol
α: obliquité de la surcharge q1
δ: angle de frottement sol-écran
λ: inclinaison du mur
β: inclinaison du massif
2
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
c) Calcul des contraintes: tables de Kérisel et Absi
K’a et K’p sont donnés par les tables de Kérisel et Absi
en fonction de: φ’ et δ pour Ω=π et α=0
Etat de poussée:
La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):
La force de poussée résultante est: l
aaq drqKF0
..'
lqKF aaq ..'
La force de poussée s’exerce au milieu de l.
qKT a.'
δ
Faqλ
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
d) Calcul des forces:
Etat de butée:
La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):
La force de butée résultante est: l
ppq drqKF0
..'
lqKF ppq ..'
La force de butée s’exerce au milieu de l.
qKT p.'
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
d) Calcul des forces:
L’application du théorème des états correspondants consiste à appliquer une
pression hydrostatique H’=c’/tanφ’ aux limites du massif.
La force de poussée résultante à prendre en compte est:
Pc (traction): résultante de P et de C
L’écran, dans ce cas, est soumis à deux actions:
1.action correspondant à H’: perpendiculaire
au mur et s’exerçant au milieu de l:
2.action de la poussée des terres sous l’effet de
la surcharge H’ (calculée par la théorie de
Prandtl pour surcharge normale à la surface
libre) s’exerçant au milieu de l:
3) Prise en compte de la cohésion:
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
DE BOUSSINESQ
lHC '.
'.' HKP a
le remblai en sable de la figure ci-contre est retenu par un mur de soutènement à
paroi verticale. il est mal drainé et il est complètement saturé.
Sachant qu’est appliquée sur le remblai une surcharge uniforme q=50KPa,
déterminer la force de poussée exercée sur le mur (δ=10°).
déterminer aussi les composantes normales et tangentielle de la force de poussée
Exercice n°1:
c’=0
φ=30°
γd=16KN/m3
γs=27KN/m3
V/ METHODE DE COULOMB
Mise au point par Coulomb en 1773,
cette méthode (la plus ancienne)
permet de déterminer les forces de
poussée et de butée limites s’exerçant
dans le sol derrière un écran
quelconque sans considération de
l’état des contraintes dans le sol
derrière le mur.
V/ METHODE DE COULOMB
La méthode de Coulomb repose sur des hypothèses très différentes de celles de
Boussinesq.
Le principe de la méthode repose sur:
L’ouverture d’une fissure au remblai,
suivant une surface plane passant par le
pieds de l’écran, lors de la rupture La
ligne de glissement est une droite.
La séparation d’une masse de sol qui suit
le mur dans son déplacement
La force agissante sur l’écran a une
direction connue l’angle de frottement
δ entre l’écran et le sol est connu.
La méthode repose sur l’étude de l’équilibre d’un prisme à base
triangulaire: c’est le coin de Coulomb
La théorie du coin de Coulomb
s’applique aux milieux pulvérulents,
pesants et surchargés. Elle est moins
satisfaisante que la théorie de
l’équilibre limite puisqu’elle ne
considère qu’une surface de rupture
plane. Cependant, elle a retrouvé un
regain d’intérêt pour une raison
totalement matérielle.
V/ METHODE DE COULOMB
Cette méthode consiste à étudier l’équilibre du prisme limité par un plan
incliné. Le prisme est soumis à son poids W, à la surcharge éventuelle q, à la
réaction R inclinée de –φ (poussée) et de +φ (butée) et à la réaction de
l’écran –Fa ou –Fp inconnue mais d’inclinaison δ.
Fa
Soit un mur de soutenant un massif de sol pulvérulent, d’angle de frottement
interne φ. On suppose que la surface de rupture est le plan AC faisant l’angle θ
avec l’horizontale.
1) Principe de la méthode:
V/ METHODE DE COULOMB
En chaque point M du plan de
rupture s’exerce une contrainte ζ
faisant l’angle φ avec la normale
au plan est située d’un coté ou de
l’autre de cette normale, suivant
que le massif est en poussée ou
en butée. Donc la réaction totale
R du sol sur ce plan de rupture
fait avec la normale à ce plan
l’angle φ.
le calcul de la force agissante sur le mur consiste à considérer l’équilibre statique
des forces agissantes sur le coin de sol ABC. Ces forces sont:
le poids W;
la réaction R exercée par le mur sur le plan de rupture AC;
La force F exercée par le mur: inclinée de l’angle δ sur la normale au
parement du mur; cette force est notée Fa ou Fp selon que la force de réaction est
inclinée de +φ ou de –φ sur la normale au plan de rupture avec l’horizontale.
1) Principe de la méthode:
V/ METHODE DE COULOMB
On détermine ainsi la valeur de la force
F en fonction de l’angle θ que fait le
plan de rupture avec l’horizontale. La
méthode de Coulomb consiste à
prendre le maximum F+ ou le minimum
F- de F(θ) pour calculer Fa ou Fp: dans
les deux cas on a:0
)(
d
dF
Le diagramme des forces appliquées sur le coin ABC donne, dans le cas de la
poussée:
Avec:
2) Calcul: milieu pesant, non surchargé
V/ METHODE DE COULOMB
)sin(
)sin(
WF
)sin(
)sin().sin(
2
1 2
lW
Pour trouver l’orientation
du plan de rupture, il faut
déterminer le maximum de
F+, c’est-à-dire chercher
la valeur de θ qui vérifie:
0)(
d
dF
2) Calcul: milieu pesant non surchargé
V/ METHODE DE COULOMB
La force de poussée est:
Avec:
La force de butée a, de même, pour expression générale:
Avec:
2
2
1lKF aa
2
2
)sin().sin(
)sin().sin(1)sin(
)(sin
aK
2
2
1lKF pp
2
2
)sin().sin(
)sin().sin(1)sin(
)(sin
pK
)sin()sin(
)sin()sin(
)sin(
1)cot(cot
arca
2) Calcul: cas simple d’un écran vertical, d’un massif horizontale
et δ=0:
Cas de la poussée:
V/ METHODE DE COULOMB
?aK
Cas de la poussée:
Avec:
2) Calcul: cas simple d’un écran vertical, d’un massif horizontale
et δ=0:
V/ METHODE DE COULOMB
)tan()cos(
)sin(
WWF
cot2
1 2HW
On cherche le maximum de F:
Le maximum a lieu pour Ce qui correspond à:
La valeur de la force de poussée Fa est alors:
)(cos
cot
sin
)tan(
2
1)(22
2
H
d
dF
)tan(cot2
1 2 HF
0)(cossin
)(2sin2sin
4
122
2
H
24
24tan2
aK
24tan
2
1 22 HFa
Cas de la poussée:
2) Calcul: milieu pesant non surchargé (Formule de Poncelet):
V/ METHODE DE COULOMB
2..2
1lKF aa
2
2
)cos().cos(
)sin().sin(1)cos(
)(cos
aK
2
2
)cos().cos(
)sin().sin(1)cos(
)(cos
pK
2..2
1lKF pp Cas de la butée:
)cos()sin(
)cos()sin(
)cos(
1)tan(cot
arca
2
Cas de la poussée:
2) Calcul: milieu non pesant, surchargé:
V/ METHODE DE COULOMB
lqKF aqaq ..
)cos(
a
aq
KK
lqKF pqpq ..Cas de la butée:
)cos(
p
pq
KK
Fa
VI/ METHODE DE CULMANN
Lorsque les conditions géométriques
ne permettent pas de déterminer
analytiquement la force de poussée
ou de butée, on utilise alors la
méthode graphique de Culmann.
on détermine, grâce au graphique de la
résultante générale des forces appliquées
(Wi, Ri, Fi), la force correspondante Fi
exercée sur le parement du mur. Pour cela:
La masse de sol derrière le mur est
subdivisée en une succession de coins.
Pour chacun de ces coins, délimité par un
plan de rupture passant par le point B au
pied du mur et incliné de l’angle θi sur
l’horizontale, on reporte:
VI/ CONSTRUCTION DE CULMANN
les poids Wi des différents coins sur un axe BX faisant l’angle φ avec la direction
horizontale;
les forces Fi qui sont tracées à partir des extrémités des Wi, parallèlement à l’axe BY
faisant l’angle (δ+η) avec l’axe BX .
Les extrémités des forces Fi sont sur les plans de rupture inclinés de θi (constituent la
ligne de Culmann).
Le point où la tangente à cette courbe est parallèle à l’axe BX correspond à la
valeur maximale de F, soit à la poussée limite Fa, et détermine le plan de rupture
le plus dangereux, incliné de l’angle θa sur l’horizontale.
VI/ CONSTRUCTION DE CULMANN
METHODES DE COULOMB ET CULMANN
1) Avantages et cas d’utilisation
Méthode simple
Prise en compte de configurations compliquées facile à résoudre
graphiquement (massifs non rectilignes, surcharges non uniformes,
forces d’écoulement,…)
Bons résultats en poussée pour des écrans peu inclinés.
2) Inconvénients et cas de non utilisation
Théoriquement insuffisante (surface de rupture rectiligne)
Inclinaisons marquées (les poussées sont sous-estimées)
Inexactes dans le cas de la butée ( grandes courbures dans les lignes
de rupture).
VII/ CAS PRATIQUES
1) Massif stratifié:
VII/ CAS PRATIQUES
1) Massif stratifié: Remarque
A la limite de deux couches; par exemple au
point A, la contrainte peut être différente selon
que le point A est considéré:
comme étant situé à la base de la couche i-1
de caractéristiques ci-1 et φi-1 (point A-)
ou comme étant situé en tête de la couche i
de caractéristiques ci et φi (point A+).
Il est donc indispensable de considérer
séparément les points A- et A+ pour établir le
diagramme de pression des terres.
Le calcul conduit à des discontinuités parfois importantes. Dans la
pratique, de telles discontinuités ne sauraient exister de façon brutale.
VII/ CAS PRATIQUES
2) Massif à nappe d’eau
La présence d’une nappe d’eau dans le
massif de sol implique la superposition de:
l’action de la poussée du sol immergé;
la poussée hydrostatique de l’eau;
Remarque: la poussée de l’eau sur les ouvrages est considérable; c’est
pour cette raison que, dans les murs on prévoit toujours des systèmes de
drainage et des évacuations (barbacanes) pour éviter la mise en pression
hydrostatique. Beaucoup d’accidents survenus sur des ouvrages de
soutènement proviennent du mauvais fonctionnement du système de
drainage (du au colmatage par exemple).
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