chapitre 6 les corps axisymétriques - etsmtl.ca...distribution des contraintes dans un cylindre...
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CHAPITRE 6
Les Corps axisymétriques
Introduction et hypothèses
Théorie des cylindres à paroi épaisse
Cylindres composés
Cylindres autofrettés
Conception selon Section VIII div. 3
Disques en rotation
Hypothèses
Le rapport entre l'épaisseur et le rayon de courbure de surface à la mi-épaisseur est très petit par rapport à l'unité
Re/Ri >> 1 ( typiquement Re/Ri > 2 )
Matériau homogène, isotrope et élastique linéaire
Aucun cisaillement
rz = r = z = 0
La contrainte suivant l’axe de symétrie est nulle.
z 0
Corps axisymétrique
0 = F + r
+
rr
rr
Équilibre des forces radiales
Corps axisymétrique
dz
dr
d
r
dzdzd
zz
z
r
r rz
dzdz
zrzr
p
drdr
dr
r
d
dd
r
z
z
zr z
drdr
rzrz
drdr
rr
dzdz
zz
d
dr
r
d
dz
z
0
État plan de contrainte
0 zrrz
0 z
Déformations-déplacements-contraintes
Cordonnées cylindriques
Corps axisymétrique
r
u ,
r
u r
r
rr
E
E
2
2
1
1
État plan de contraintes
r
u +
r
u
1
E =
r
u +
r
u
1
E =
2
2r
dz
drd
z
r
u
vw
r
w
z
u ,
z
v
w
r ,
r
v
u
r
r
v
z
w ,
r
u
v
r ,
r
u
zrzr
zr
11
1
0
Cylindre à paroi épaisse
2
11r
B A
1
E
r
u +
r
u
1
E =
22r
Solution
Substitution dans l’équation
d’équilibre radiale
0 = r
u
r
u
r
1 +
r
u22
2
r
B + Ar =u
r
Ro=b
Pe
piRi=a
0 = F où
0 =r
+
r
r
rr
Équilibre radial
1d dru = 0
dr r dr
0 = r
u
dr
du
r
1 +
rd
ud22
2
Cylindre à paroi épaisse (suite)
Contraintes radiale et circonférentielle (Lamé)
1 Y
)p p( R
E
+ 1 = B
1 Y
p Y p
E
1 = A
2oi
2o
2o
2i
R
R = Yi
o
1 Y
p r
R + Y p r
R + 1
=
1 Y
p Y r
R + p r
R 1
=
2
o2
2o2
i2
2o
2
o2
2
2o
i2
2o
r
R
B + A
1
E = p
R
B + A
1
E = p
o2o
i2i
2
2
11
11Conditions aux rives
Rràp =
Rràp =
oor
iir
-20000
-15000
-10000
-5000
0
2 .0 2 .4 2 .8 3 .2 3 .6 4 .0
P osition rad ia le , in
Co
ntr
ain
te r
adia
le, p
si
P o = 0 ps i
P o = 5000 ps i
P o = 10000 ps i
P o = 15000 ps i
P i = 10000 ps i
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
2.0 2 .4 2 .8 3 .2 3 .6 4 .0
P osition rad ia le , in
Co
ntr
ain
te c
irco
nfé
ren
tiel
le,
psi
P o = 0 ps i
P o = 5000 ps i
P o = 10000 ps i
P o = 15000 ps i
P i = 10000 ps i
Cas particuliers
Cylindre ouvert
z = 0
r 1) Y(
)p p( R
E
+ 1 + r
1 Y
pY p
E
1 =u
2oi
2o
2o
2i
1 Yr
R )p p( =
2
=
2
2
2o
oir
max
Cylindre fermé
1 Y
p =
2i
z
Exercice max = ?
u = ?
Cas particuliers
Si po = pi = p = r = p
Si Y = 1 = (pi po) R/t
r = (pi + po) / 2
Si b>>a = pi 2po
en présence d'un champs de contrainte uniforme po crée un facteur de concentration de contrainte égale à 2 (petit trou)
si b>5a or max sont approximativement égales à pi pour le cas ou po = 0
Cylindres composés
Interférence Pression de contact
ee
e
ei
i
i
ico
Y
Y
E
c
Y
Y
E
c p u
1
1
1
12
2
2
2
ee
e
ei
i
i
i
oc
Y
Y
E
Y
Y
E c
u p
1
11
1
112
2
2
2
ce
ciceou u u
position finale
c
b
a
uo
uce
ci
uci
ce
ci
Cylindres composés (suite)
Contraintes-déformations
contraintes
c
Ro=b
Ri=a
c
Ri=a
pc
c
Ro=b
p'
cylindre externecylindre internecylindre composé
1
12
2
Y
Yp
i
ic cr p
rii
ci E
c
u
1
cii
i
ici p
Y
Y
E
c u
1
12
2
1
12
2
Y
Y p
e
ec cr p
ree
ce E
c
u
1
cee
e
ece p
Y
Y
E
c u
1
12
2
Déformations-pression
Cylindres composés (suite)Contrainte due à une interférence
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
Position radiale, in
Co
ntr
ain
te, p
si
Contrainte radiale
Contrainte tangentielle
Contrainte tangentielle
Matériau 2
E=30 106 psi=0.3
Matériau 1
E=30 106 psi=0.3
Pression = 0 psiinterférence = 0.01"
Exemple 1: contraintes due à l’interférenceet à la pression
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Position radiale, mm
Co
ntr
ain
te, M
Pa
Pression sans interférence
Interférence
pression et inteférence
Contrainte radiale
Contrainte tangentielle
Pression = 275 MPainterférence = 0.1 mm
Exemple 2: contraintes dans un cylindre composé due à la pression
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
5 6 7 8 9 10 11 12
Co
ntr
ain
te,
ps
i
Position radiale, in.
Contrainte radiale
Contrainte tangentielle
Matériau 2E=30 106 psi=0.3
Pression = 10 000 psi
Matériau 1E=10 106 psi=0.4
Déformation plastique des cylindres ou autofrettage
Zone élastique
c r Ro
avec pi = p’=r à r=c
et po = 0
Selon Tresca
r
R 1 k =
r
R + 1 k = r
R + 1 R
c 2
S =
1 Y
r
R + 1
Y
1 Y 2
S =
2
2o
r
2
2o
2
2o
2o
2y
2e
2
2o
2e
2ey
r 1) Y(
'p R E
+ 1 + r
1 Y
'p
E
1 = u 2
e
2o
2e
e
c
Ro=b
p'
c
Ro=b
Ri=apA
cR = Y ;
Y1 Y
2S = 'p = 'p o
e2e
2ey
y
Y
1 Y 2
S = p
2
2y
y
ry
y 2S
2
1
1 Yr
R )p p( =
2
=
2
2
2o
oir
max
Déformation plastique des cylindres ou autofrettage (suite)
Pression d’autofrettage et déformation plastique
Contrainte équivalente de Tresca
i
rr y
r y
r
r y y 1iR
dr = ( ) = S
dr1
d = drSr
1 r= dr = ln + S S C
r R
c
Ri=a
pA
p'
R
c ln S
Y
1 Y 2
S = C
iy2
e
2ey
1
S + =
Y
1 Y 2
1
c
r ln S =
yr
2e
2e
yr
Zone plastique
Ri r c
avec à r = Ri, σr = -pA (pression d'autofrettage)
et à r = c , σr = -p' (pression de contact)
cR = Y ;
cR ln
Y
1 Y 2
1 S = p o
ei
2e
2e
yA
) (2
2rc + ) (1
R 2
rc + 2
1
c
r ln ) 2 (1 r
E
S = u
2
2o
2y
p
'2
y er 2
e
1S Yà r c p = 2 Y
Déformation plastique des cylindres ou autofrettage (suite)
Zone plastique Ri r c
Zone élastique c r Ro
c
Ro=b
Ri=apA
1 Y
r
R 1
p r
c ln 2
R
c + 1 2
S =
1 Y
r
R + 1
p r
c ln 2
R
c + 1 2
S =
2
2
2o
A2o
2y*
r
2
2
2o
A2o
2y*
1 Y
r
R 1
p r
R 1 R
c 2
S =
1 - Y
r
R + 1
p r
R + 1 R
c 2
S =
2
2
2o
A2
2o
2o
2y*
r
2
2
2o
A2
2o
2o
2y*
Contraintes durant autofrettage
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
Position radiale, in
Co
ntr
ain
te, p
si
Autofrettage à 100%Autofrettage à 50%
Contrainte radiale
Contrainte tangentielle
Contraintes résiduelles après autofrettage
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
Position radiale, in
Co
ntr
ain
te, p
si
Autofrettage à 100%Autofrettage à 50%
Contrainte radiale
Contrainte tangentielle
Distribution des contraintes dansun cylindre autofretté
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
Position radiale, in
Co
ntr
ain
te, p
si
Sans autofrettageAvec autofrettage à 50%Avec autofrettage à 100%
Pi = 20 000 psi
Contrainte radiale
Contrainte tangentielle
Limite de la pression interne
Limite sur la contrainte membrane primaire (Pm)
Limite sur la contrainte "primaire + secondaire" (Pm + Q)
Limite sur l'effondrement plastique du cylindre
S Y
1) Y(
3
1 P y
2
d
S Y
1) Y( P y2
2
d
FS
(Y) ln S P
yd
Limite de la pression interne (suite)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00
Ro/Ri
Pd/S
y
Contrainte primaire, Pm
Contrainte secondaire, Pm+Q
Effondrement plastique
Début de l'écoulement
Effet deBauschinger
BEF
p
effet Bauschinger
y
y
S
.)invers(SBEF
effet Bauschinger
elastique avecécruissage lineaire
elastique parfaitement plastique
Effet de Bauschinger sur la contrainte circonférentielle
-1.2
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
Position radiale, in
/S
y, p
si
Modèle avecdéchargement linéaireexpérimentation(Bauschinger)
Y=2Autofrettage à 100%
Disque en rotation
SolutionSubstitution dans l’équation d’équilibre radiale
Équilibre radial
0 = r + r
+
dr
d rr 2
r
E =
r
u
dr
du
r
1 +
rd
ud22
2
21
r
B + Ar
E
r =u
81
322
État plan de contraintes
r
u +
r
u
1
E =
r
u +
r
u
1
E =
2
2r
r
)(B)(A
E
r))((
)(
E= r
2
222
2
11
8
13
1
r
)(B)(A
E
r))((
)(
E=
2
222
2
11
8
131
1
Contraintes
Disque annulaire en rotation
Contraintes radiale et circonférentielle
Déplacement radial
Conditions aux rives
Rrà =
Rrà =
or
ir
0
0
r
R
R
r
R
RR= i
oo
ior
222
22 18
3
r
R
R
r
R
RR= i
oo
io
222
22
3
311
8
3
R
r
r
R
R
RrR
E
))((=u
o
i
o
io
222
22
3
1
1
11
8
13
a
b
r
Disque plein en rotation
Contraintes radiale et circonférentielle
Déplacement radial
Conditions aux rives
0 0
0r o
u = à r
= à r R
R
rR=
oor
2
22 18
3
R
rR=
oo
2
22
3
311
8
3
R
r)1(
R
r)3(R
E8
)1(=u
3
oo
3o
2
b
r
Disque annulaire en rotation (suite)
o
i
Rb
Ra
Disque annulaire Disque plein
RE
)(= u omax
32
4
1
abar
pour un disque plein à r =Ro
Disque d’épaisseur variable en rotation
Équation différentielle du déplacement radial
0 = rt+ t )rt(dr
dr
22 Équilibre radial
221 (1 )2
2 2
u 1 du u du u dtd + = rd r dr t dr r dr Er r
État plan de contraintes
r
u +
r
u
1
E =
r
u +
r
u
1
E =
2
2r
t=h
Disque d’épaisseur variable en rotation
Équation différentielle du déplacement radial
Cas où la contrainte est constante
Solution connue sisr
C= t
r o = 0z =
max 2o =
r
u
r
u
r
E u o
1
État plan de contraintes
r o 2
o 2
E u u +
1 r r
E u u +
1 r r
2
o
dt rdr
t
rexptto
o
2
2
20ot t à r
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