chap. 6 gradually varied flow and surface profile chap. 6 gradually varied flow and surface profile...

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Chap. 6 Gradually Varied Flow and Surface ProfileChap. 6 Gradually Varied Flow and Surface Profile

1. Steady Gradually Varied Flow1. Steady Gradually Varied Flow ((定量緩變速流定量緩變速流定量緩變速流定量緩變速流定量緩變速流定量緩變速流定量緩變速流定量緩變速流))

���� Governing Equation ︰︰︰︰2

2

VH z y α

g= + += + += + += + +

0

2

1

fS Sdy

dx Fr

−−−−⇒⇒⇒⇒ ====

−−−−

/

VFr

gD α

= == == == =福福福福祿數祿數祿數祿數 。。。。

2 2

4 / 3f

dH n VS

dx R

= − == − == − == − =

2 2

0 4 / 3n

dz n VS

dx R

= − == − == − == − =

y

x

V

====

====

====

式式式式中中中中， ， ， ， 水水水水深深深深；；；；

　　　 　　　 　　　 　　　 沿渠沿渠沿渠沿渠道之道之道之道之距離距離距離距離；；；；

　　　　　　　　　　　　 流速流速流速流速；；；；

2

���� Assumptions

(1) 等速流公式等速流公式等速流公式等速流公式(如曼寧公式或如曼寧公式或如曼寧公式或如曼寧公式或Chezy公式公式公式公式)適用適用適用適用

(2) 渠底坡度緩渠底坡度緩渠底坡度緩渠底坡度緩

a. y ≅≅≅≅ d

b. 靜水壓力分布靜水壓力分布靜水壓力分布靜水壓力分布

c. 渠流無夾氣現象渠流無夾氣現象渠流無夾氣現象渠流無夾氣現象(水流密度無須修正水流密度無須修正水流密度無須修正水流密度無須修正)

(3) 定型渠道定型渠道定型渠道定型渠道

(4) 渠道糙度渠道糙度渠道糙度渠道糙度 n值為定值值為定值值為定值值為定值

(5) 流速分布係數流速分布係數流速分布係數流速分布係數(αααα及及及及 ββββ )為定值為定值為定值為定值 ( 1)≈≈≈≈

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2. Water Surface Profiles 2. Water Surface Profiles

����分析目的分析目的分析目的分析目的：：：：渠流受到下游阻礙渠流受到下游阻礙渠流受到下游阻礙渠流受到下游阻礙(如水工結構物或斷面如水工結構物或斷面如水工結構物或斷面如水工結構物或斷面、、、、坡度改變時坡度改變時坡度改變時坡度改變時)

而使水面抬升或因下游水面之突降而漸減其深度時而使水面抬升或因下游水面之突降而漸減其深度時而使水面抬升或因下游水面之突降而漸減其深度時而使水面抬升或因下游水面之突降而漸減其深度時，，，，渠渠渠渠

流上游與下游之水面剖線將受到影響流上游與下游之水面剖線將受到影響流上游與下游之水面剖線將受到影響流上游與下游之水面剖線將受到影響⇒⇒⇒⇒須合理描繪渠流須合理描繪渠流須合理描繪渠流須合理描繪渠流

水深逐漸變化之情況水深逐漸變化之情況水深逐漸變化之情況水深逐漸變化之情況。。。。水面剖線分析之主要目的可歸納水面剖線分析之主要目的可歸納水面剖線分析之主要目的可歸納水面剖線分析之主要目的可歸納

成下列三點成下列三點成下列三點成下列三點：：：：

(1) 便於渠道設計便於渠道設計便於渠道設計便於渠道設計。。。。

(2) 河流築堰或埧後河流築堰或埧後河流築堰或埧後河流築堰或埧後，，，，估算其上游水面壅高之情形估算其上游水面壅高之情形估算其上游水面壅高之情形估算其上游水面壅高之情形，，，，亦即推算迴亦即推算迴亦即推算迴亦即推算迴

水水水水(Backwater)之影響範圍之影響範圍之影響範圍之影響範圍。。。。

(3) 從河口上溯描繪洪水水位線做為改變河道及防洪之依據從河口上溯描繪洪水水位線做為改變河道及防洪之依據從河口上溯描繪洪水水位線做為改變河道及防洪之依據從河口上溯描繪洪水水位線做為改變河道及防洪之依據。。。。

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����水面剖線之分類水面剖線之分類水面剖線之分類水面剖線之分類：：：：

(1) 曲線種類曲線種類曲線種類曲線種類

a. yn > yc或或或或 S0 < Sc，，，，即渠坡為緩坡即渠坡為緩坡即渠坡為緩坡即渠坡為緩坡(Mild slope)時時時時，，，，其剖線為其剖線為其剖線為其剖線為M 曲線曲線曲線曲線。。。。

b. yn < yc或或或或 S0 > Sc，，，，即渠坡為陡坡即渠坡為陡坡即渠坡為陡坡即渠坡為陡坡(Steep slope)時時時時，，，，其剖線為其剖線為其剖線為其剖線為 S 曲線曲線曲線曲線。。。。

c. yn = yc或或或或 S0 = Sc，，，，即渠坡為臨界坡即渠坡為臨界坡即渠坡為臨界坡即渠坡為臨界坡(Critical slope)時時時時，，，，其剖線為其剖線為其剖線為其剖線為 C 曲線曲線曲線曲線。。。。

d. S0 = 0，，，，即渠坡為水平渠底即渠坡為水平渠底即渠坡為水平渠底即渠坡為水平渠底(Horizontal slope)時時時時，，，，其剖線為其剖線為其剖線為其剖線為 H 曲線曲線曲線曲線。。。。

e. S0 < 0，，，，即渠坡為逆渠坡即渠坡為逆渠坡即渠坡為逆渠坡即渠坡為逆渠坡(Adverse slope)時時時時，，，，其剖線為其剖線為其剖線為其剖線為 A 曲線曲線曲線曲線。。。。

(2) 水面剖線分區水面剖線分區水面剖線分區水面剖線分區

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十三種水面剖線之分類如圖所示十三種水面剖線之分類如圖所示十三種水面剖線之分類如圖所示十三種水面剖線之分類如圖所示：：：：

註註註註：：：：水平渠坡水平渠坡水平渠坡水平渠坡 yn = ∞∞∞∞；；；；

逆渠坡逆渠坡逆渠坡逆渠坡 yn不存在不存在不存在不存在

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���� M 曲線曲線曲線曲線：：：：

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(1) M 1曲線曲線曲線曲線 ( )n cy y y> >> >> >> >

����判斷判斷判斷判斷 Fr值值值值：：：： 1cy y Fr>>>> ⇒⇒⇒⇒ <<<<

����判斷判斷判斷判斷 S0與與與與 Sf

：：：： 0 n fy y S S>>>> ⇒⇒⇒⇒ <<<<

0

2

( ) 0 ( )

( )1

fS Sdy

dx Fr

−−−− ++++⇒⇒⇒⇒ = = >= = >= = >= = >

++++−−−−表表表表示示示示水水水水深漸深漸深漸深漸增增增增

����漸近線漸近線漸近線漸近線：：：：

水面漸近於水面漸近於水面漸近於水面漸近於 yn (與渠底平行與渠底平行與渠底平行與渠底平行)0a. n fy y S S→ →→ →→ →→ → 時 時 時 時，，，， 0 dy

dx⇒⇒⇒⇒ →→→→ ⇒⇒⇒⇒

0V

Frgy

= →= →= →= →

0 V →→→→ ， ， ， ， 即即即即 1 22 310 0f fV R S S

n= →= →= →= → ⇒⇒⇒⇒ →→→→

0 dy

Sdx

⇒⇒⇒⇒ →→→→ (表示水面線漸近於水平面表示水面線漸近於水平面表示水面線漸近於水平面表示水面線漸近於水平面)

b. y → ∞→ ∞→ ∞→ ∞ 時時時時，，，，

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(2) M 2曲線曲線曲線曲線 ( )n cy y y> >> >> >> >

����判斷判斷判斷判斷 Fr值值值值：：：： 1cy y Fr>>>> ⇒⇒⇒⇒ <<<<

����判斷判斷判斷判斷 S0與與與與 Sf

：：：： 0 n fy y S S>>>> ⇒⇒⇒⇒ >>>>

����漸近線漸近線漸近線漸近線：：：：

0

2

( ) 0 (

( )1

fS Sdy

dx Fr

−−−− −−−−⇒⇒⇒⇒ = = <= = <= = <= = <

++++−−−−表表表表示示示示水水水水深漸深漸深漸深漸減減減減))))

a. y→→→→ yn時時時時 水面漸近於水面漸近於水面漸近於水面漸近於 yn (與渠底平行與渠底平行與渠底平行與渠底平行) 0 dy

dx⇒⇒⇒⇒ →→→→ ⇒⇒⇒⇒

b. y→→→→ yc時時時時 dy

dx⇒⇒⇒⇒ → ∞→ ∞→ ∞→ ∞ ⇒⇒⇒⇒ 水面與臨界水深線成直角水面與臨界水深線成直角水面與臨界水深線成直角水面與臨界水深線成直角

(實際上不可能實際上不可能實際上不可能實際上不可能)

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(3) M 3曲線曲線曲線曲線 ( )n cy y y> >> >> >> >

����判斷判斷判斷判斷 Fr值值值值：：：：yc > y ⇒⇒⇒⇒ Fr > 1

����判斷判斷判斷判斷 S0與與與與 Sf

：：：： 0 n fy y S S>>>> ⇒⇒⇒⇒ >>>>

����漸近線漸近線漸近線漸近線：：：：

a. y →→→→ 0 時時時時⇒⇒⇒⇒ Sf及及及及 Fr →→→→ ∞∞∞∞ 某一正極限值某一正極限值某一正極限值某一正極限值

b. c c

dyy y y

dx→→→→ ⇒⇒⇒⇒ → ∞→ ∞→ ∞→ ∞ ⇒⇒⇒⇒時時時時 表表表表水水水水面面面面線垂線垂線垂線垂直直直直於於於於

0)(

)(

1

2

0>>>>

−−−−

−−−−====

−−−−

−−−−====⇒⇒⇒⇒

Fr

SS

dx

dy f(表示水深漸增表示水深漸增表示水深漸增表示水深漸增)

→→→→⇒⇒⇒⇒dx

dy

⇒⇒⇒⇒水面線與渠底成某正角度相交水面線與渠底成某正角度相交水面線與渠底成某正角度相交水面線與渠底成某正角度相交。。。。

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���� S 曲線曲線曲線曲線：：：：

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(1) S1曲線曲線曲線曲線 ( y > yc > yn )

����判斷判斷判斷判斷 Fr值值值值：：：： 1cy y Fr>>>> ⇒⇒⇒⇒ <<<<

����判斷判斷判斷判斷 S0與與與與 Sf

：：：： 0 n fy y S S>>>> ⇒⇒⇒⇒ <<<<

0

2

( ) 0 ( )

( )1

fS Sdy

dx Fr

−−−− ++++⇒⇒⇒⇒ = = >= = >= = >= = >

++++−−−−表表表表示示示示水水水水深漸深漸深漸深漸增增增增

����漸近線漸近線漸近線漸近線：：：：

a. y→→→→ yc時時時時 dy

dx⇒⇒⇒⇒ → ∞→ ∞→ ∞→ ∞ ⇒⇒⇒⇒ 水面線與水面線與水面線與水面線與 yc成直角成直角成直角成直角

b. y→→→→∞∞∞∞時時時時⇒⇒⇒⇒ Fr→→→→ 0 , Sf →→→→ 0 ⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒水面線漸近於水平面水面線漸近於水平面水面線漸近於水平面水面線漸近於水平面0Sdx

dy→→→→

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(2) S2曲線曲線曲線曲線 ( yc > y > yn )

����判斷判斷判斷判斷 Fr值值值值：：：：y < yc ⇒⇒⇒⇒ Fr > 1

����判斷判斷判斷判斷 S0與與與與 Sf

：：：： 0 n fy y S S>>>> ⇒⇒⇒⇒ <<<<

0)(

)(

1

2

0<<<<

−−−−

++++====

−−−−

−−−−====⇒⇒⇒⇒

Fr

SS

dx

dy f(表示水深漸減表示水深漸減表示水深漸減表示水深漸減)

����漸近線漸近線漸近線漸近線：：：：

a. y→→→→ yn時時時時 水面漸近於水面漸近於水面漸近於水面漸近於 yn 0 dy

dx⇒⇒⇒⇒ →→→→ ⇒⇒⇒⇒

b. y→→→→ yc時時時時 dy

dx⇒⇒⇒⇒ → ∞→ ∞→ ∞→ ∞ ⇒⇒⇒⇒ 水面線與水面線與水面線與水面線與 yc成直角相交成直角相交成直角相交成直角相交

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(3) S3曲線曲線曲線曲線 ( yc > yn > y )

����判斷判斷判斷判斷 Fr值值值值：：：：y < yc ⇒⇒⇒⇒ Fr > 1

����判斷判斷判斷判斷 S0與與與與 Sf

：：：：

����漸近線漸近線漸近線漸近線：：：：

0 SSyy fn >>>>⇒⇒⇒⇒<<<<

0)(

)(

1

2

0>>>>

−−−−

−−−−====

−−−−

−−−−====⇒⇒⇒⇒

Fr

SS

dx

dy f(表示水深漸增表示水深漸增表示水深漸增表示水深漸增)

a. y →→→→ 0 時時時時⇒⇒⇒⇒ Sf及及及及 Fr →→→→ ∞∞∞∞ 某一正極限值某一正極限值某一正極限值某一正極限值→→→→⇒⇒⇒⇒dx

dy

b. 0 n n

dyy y y

dx→→→→ ⇒⇒⇒⇒ →→→→ ⇒⇒⇒⇒時時時時 水水水水面面面面線趨線趨線趨線趨近近近近於於於於

⇒⇒⇒⇒水面線與渠底成某正角度相交水面線與渠底成某正角度相交水面線與渠底成某正角度相交水面線與渠底成某正角度相交

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◎◎◎◎其餘水面剖線依此類推其餘水面剖線依此類推其餘水面剖線依此類推其餘水面剖線依此類推

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3. Computation of Gradually Varied Flow 3. Computation of Gradually Varied Flow

(1) Direct step method (直接步推法直接步推法直接步推法直接步推法)

���� 適用條件適用條件適用條件適用條件：：：：僅適用於定型渠道僅適用於定型渠道僅適用於定型渠道僅適用於定型渠道。。。。

���� 計算方法計算方法計算方法計算方法：：：：

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fhg

Vyz

g

Vyz ++++++++++++====++++++++

22 E.E.

22

222

21

111 αααααααα

x

zzS

x

hS

ff

∆∆∆∆

−−−−====

∆∆∆∆==== 21

0 ,

(((( )))) xSg

V

g

VyyxS f ∆∆∆∆====

−−−−++++−−−−++++∆∆∆∆

22

22

2

21

1210 αααααααα

0

22

22

21

1122

SS

g

Vy

g

Vy

xf −−−−

++++−−−−

++++

====∆∆∆∆∴∴∴∴

αααααααα

⇒⇒⇒⇒0

21

SS

EEx

f −−−−

−−−−====∆∆∆∆ 或或或或 此為直接步推法之計算方程式此為直接步推法之計算方程式此為直接步推法之計算方程式此為直接步推法之計算方程式。。。。

fSS

EEx

−−−−

−−−−====∆∆∆∆

0

12

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����計算步驟計算步驟計算步驟計算步驟：：：：

a. 已知水面剖線之起算點水深已知水面剖線之起算點水深已知水面剖線之起算點水深已知水面剖線之起算點水深 y1 ⇒⇒⇒⇒可推算斷面積可推算斷面積可推算斷面積可推算斷面積 A1，，，，水力水力水力水力

半徑半徑半徑半徑 R1，，，，速度速度速度速度 V1 及比能及比能及比能及比能 E1 。。。。

b. 假設相距假設相距假設相距假設相距 ∆∆∆∆x 之斷面之斷面之斷面之斷面2水深為水深為水深為水深為 y2 ⇒⇒⇒⇒可推算斷面積可推算斷面積可推算斷面積可推算斷面積 A2，，，，水力水力水力水力

半徑半徑半徑半徑 R2，，，，速度速度速度速度 V2及比能及比能及比能及比能 E2。。。。

c. 由曼寧公式由曼寧公式由曼寧公式由曼寧公式 分別求分別求分別求分別求 及及及及34

22

R

VnS f ==== 1fS (((( ))))212

2

1ffff SSSS ++++====⇒⇒⇒⇒

d. 將將將將 及及及及 代入計算方程式代入計算方程式代入計算方程式代入計算方程式⇒⇒⇒⇒可求得水深可求得水深可求得水深可求得水深 y1 與與與與 y2

間之距離間之距離間之距離間之距離 ∆∆∆∆x。。。。

fSEE ,, 21 0S

e. 重複以上步驟重複以上步驟重複以上步驟重複以上步驟。。。。

f. 累加各斷面間之距離累加各斷面間之距離累加各斷面間之距離累加各斷面間之距離⇒⇒⇒⇒可求得首末兩斷面間之距離可求得首末兩斷面間之距離可求得首末兩斷面間之距離可求得首末兩斷面間之距離 L

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(2) Standard step method (標準步推法標準步推法標準步推法標準步推法)

���� 適用條件適用條件適用條件適用條件：：：：適用於非定型渠道及定型渠道適用於非定型渠道及定型渠道適用於非定型渠道及定型渠道適用於非定型渠道及定型渠道。。。。

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���� 計算方法計算方法計算方法計算方法：：：：

g

VyzH

2 E.E.

21

1111 αααα++++++++====

g

VyzH

2

22

2222 αααα++++++++====

ef hhHH ++++++++====⇒⇒⇒⇒ 21

上式為標準步推法之計算方程式上式為標準步推法之計算方程式上式為標準步推法之計算方程式上式為標準步推法之計算方程式。。。。

式中式中式中式中 (((( )))) xSSxSh ffff ∆∆∆∆++++====∆∆∆∆==== 212

1

====eh 渦流損失渦流損失渦流損失渦流損失(Eddy loss)

2

1

2

Vk

g

αααα====

k為損失係數為損失係數為損失係數為損失係數：：：：規則渠道規則渠道規則渠道規則渠道 k = 0 ；；；；漸縮斷面漸縮斷面漸縮斷面漸縮斷面 k = 0 ~ 0.1

漸擴斷面漸擴斷面漸擴斷面漸擴斷面 k = 0 ~ 0.2；；；；突擴或突縮突擴或突縮突擴或突縮突擴或突縮 k = 0.5

21

����計算步驟計算步驟計算步驟計算步驟：：：：

a. 已知起算斷面已知起算斷面已知起算斷面已知起算斷面1(通常為控制斷面或已知條件通常為控制斷面或已知條件通常為控制斷面或已知條件通常為控制斷面或已知條件)之水深之水深之水深之水深 y1及流速及流速及流速及流速 V1。。。。

b. 假設相距假設相距假設相距假設相距 ∆∆∆∆x 之斷面之斷面之斷面之斷面2水深為水深為水深為水深為 y2 ⇒⇒⇒⇒可推算可推算可推算可推算 A2，，，，R2 及及及及 V2。。。。

c. 計算斷面計算斷面計算斷面計算斷面1及斷面及斷面及斷面及斷面2之總水頭之總水頭之總水頭之總水頭

g

VzyH

2

21

1111 αααα++++++++====g

VzyH

2

22

2222 αααα++++++++==== ；

d. 由曼寧公式分別計算斷面由曼寧公式分別計算斷面由曼寧公式分別計算斷面由曼寧公式分別計算斷面1及及及及2之之之之 Sf1及及及及 Sf2 ⇒⇒⇒⇒求其平均值求其平均值求其平均值求其平均值 。。。。 fS

e. 計算計算計算計算 xSh ff ∆∆∆∆====

f. 比較比較比較比較 H1與與與與 H2 + hf

⇒⇒⇒⇒若兩者相等若兩者相等若兩者相等若兩者相等，，，，則步驟則步驟則步驟則步驟b之之之之 y2假設值合宜假設值合宜假設值合宜假設值合宜。。。。

⇒⇒⇒⇒否則重新假設否則重新假設否則重新假設否則重新假設 y2，，，，重覆重覆重覆重覆b至至至至f步驟至合宜為止步驟至合宜為止步驟至合宜為止步驟至合宜為止。。。。

g. 以合於以合於以合於以合於f步驟所得之步驟所得之步驟所得之步驟所得之 y2做為第二次計算之起算水深做為第二次計算之起算水深做為第二次計算之起算水深做為第二次計算之起算水深 y1

⇒⇒⇒⇒重覆重覆重覆重覆a至至至至f步驟步驟步驟步驟，，，，逐步推算即可求得全段水面剖線逐步推算即可求得全段水面剖線逐步推算即可求得全段水面剖線逐步推算即可求得全段水面剖線。。。。

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