chap 2 martin gariepy 2013
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Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.1
CHAPITRE 2
Introduction à la conduction
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.2
La loi de Fourier
La loi de Fourier
• Le flux de chaleur est perpendiculaire à l’aire de passage
• Le flux de chaleur est une quantité vectorielle
• La loi de Fourier peut donc s’énoncer ainsi:
[W/m2]
[W]
• k est la conductivité thermique en W/m·K
• A est l’aire de passage normale au flux de chaleur (isotherme)
''T T T
q k T k i j kx y z
T T Tq kA T kA i j k
x y z
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.3
La conductivité thermique• La conductivité thermique est une propriété des matériaux
La conductivité thermique
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.4
• La conductivité thermique dépend de la température
La conductivité thermique
La conductivité thermique
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.5
La conductivité thermique
La conductivité thermique
Soit une tige d’un diamètre de 0.1 mètre isolé sur sa surface latérale avec
une face à une température de 100⁰C et l’autre à 27⁰C. En supposant une
variation linéaire de la température dans la tige, calculez le TDC en Watts
pour un longueur de tuyau si la tige est:
a. En cuivre (k = 400 W/m·K)
b. En bois (k = 0.16 W/m·K)
Solution:
Le cuivre laisse passer 2500 fois plus la chaleur que le bois
22 1
2
2
4
100 23*0.025 *0.160.0605
4 0.1
100 23*0.025 *401151.6
4 0.1
bois
cuivre
T TdT d kq kA
dx L
q W
q W
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.6
L’équation de diffusion de la
chaleur
• La loi de Fourier nous permet de calculer le TDC
ou le flux de chaleur dans un solide ou un fluide au
repos.
• La loi de Fourier ne permet pas de connaître la
distribution de température dans le solide.
• La résolution de l’équation de diffusion de la
chaleur permet de trouver cette distribution:
L’équation de diffusion de la chaleur
2 2 2
2 2 2(2.19) p
T T T Tk q c
x y z t
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.7
• En coordonnées cylindriques
• En coordonnées sphériques
L’équation de diffusion de la chaleur
L’équation de diffusion de la chaleur
2
1 1(2.26) p
T T T Tkr k k q c
r r r r z z t
2
2 2
2
1 1sin
sin
1 sin
sin
(2.29)
p
T Tkr k
r r r r
T Tk q c
r t
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.8
Conditions frontières et initiales
Pour résoudre l’équation de diffusion de la chaleur et ainsi déterminer la
distribution de température T dans un milieu, il faut spécifier des conditions
aux frontières:
1. Deux conditions pour chaque direction x, y, et z
2. Une condition initiale sur le temps
Les conditions frontières et initiales
2 2 2
2 2 2(2.19) p
T T T Tk q c
x y z t
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.9
• Condition frontière de type Dirichlet (température imposée)
• Condition de Neumann (flux de chaleur imposé)
• Condition mixtes
sTtT ),0(
Les conditions frontières
Type de conditions à la frontière
''
x
x o
dTq k
dx
'' ( )xq h T T
'' 4 4( )x sq T T
'' 4 4( ) ( )x sq h T T T T
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.10
Exemple
La distribution de température dans un mur de 1 m à un certain
temps t0 est donnée par:
avec a = 900 ºC, b = -300 ºC/m et C = -50 ºC/m2. De plus, une
source de 1000 W/m3 est présente à l’intérieur du mur de 10 m2
d’aire. Ce mur possède les propriétés suivantes:
ρ = 1600 kg/m3, k = 40 W/m·K, Cp = 4000 J/kg·K
1)Déterminez le taux de transfert de chaleur entrant ( x = 0) et
sortant (x = 1)
2)Déterminez le taux d’accumulation d’énergie dans le mur
en Watts
3)Déterminez le taux de refroidissement du mur en ⁰C/s
2
0( , )T x t a bx cx
Exemple 2.3
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.11
Exemple
Une conduction 1D en régime permanent avec génération de
chaleur se produit dans un mur plan d’une épaisseur de 50 mm et
d’une conductivité thermique de 5 W/m·K. Pour ces conditions, la
distribution de température est de la forme suivante:
À x = 0, la surface à une température de 120 ºC et expérimente une
convection avec le fluide à une température de 20 ºC et ayant un
coefficient de convection de 500 W/m2·K. La surface à x = L est
bien isolée.
1. En appliquant un bilan d’énergie sur le mur, calculer la
génération d’énergie interne;
2. Déterminez les coefficients a, b, et c en appliquant les
conditions aux frontières à la distribution de température.
2( )T x a bx cx
Exercice 2.34
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.12
TD – Problème 2.16
Une conduction 1D en régime permanent prend place à l’intérieur d’une tige
de conductivité thermique k constante mais d’une aire variable
ou A0 et a sont des constantes. La surface latérale de la tige est
adiabatique.
1. Écrire une expression pour le transfert de chaleur. Utilisez cette
expression pour déterminer la distribution de température T(x) . Vous
pouvez supposer que T1 est connue.
2. Considérez maintenant les conditions pour lesquelles de l’énergie
thermique est générée dans la tige à une fréquence de (en
W/m3 et avec constant).Obtenez une expression pour le transfert de
chaleur lorsque la face de gauche (x=0) est bien isolée.
0( ) ax
xA x A e
0
axq q e
0q
TD 2.16
Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.13
TD – Problème 2.42
Une mince couche de charbon d’une épaisseur de 1 m expérimente une
génération volumétrique de chaleur de 20 W/m3 due à l’oxydation lente des
particules de charbon. Une moyenne journalière a permis de déterminer que la
couche de charbon perd de la chaleur au profit de l’environnement pendant qu’elle
reçoit un flux solaire de 400 W/m2. L’absorptivité solaire αs ainsi que l’émissivité de
la surface sont évaluées à 0.95. En considérant que l’environnement est à 25 ºC et
avec un coefficient de convection estimé à 5 W/m2K,
1. Écrivez l’équation de la diffusion de la chaleur en régime permanent. Vérifiez
que est bien une solution de cette équation.2 2
2( ) (1 )
2s
qL xT x T
k L
TD 2.42
2. Obtenir une expression pour le flux
de chaleur par conduction à x = L. En
appliquant un bilan énergétique
autour de l’interface de la couche
de charbon avec l’environnement,
obtenir une expression pour Ts.
Finalement, calculez numériquement
la valeur de Ts et de T(0).
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