cdi i - aula 08 - integrais indefinidas imediatas

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA 08INTEGRAIS

INDEFINIDASIMEDIATAS

AULA 08INTEGRAIS

INDEFINIDASIMEDIATAS

DERIVADAS E INTEGRAISDERIVADAS E INTEGRAIS

DERIVADAS E INTEGRAISDERIVADAS E INTEGRAIS

DO PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO: DERIVADA ligada ao problema de traçar a reta tangente a

uma curva em ponto (x,y). INTEGRAL relacionada com o problema de determinar a

área ( e volume) de certas figuras.

DERIVADAS E INTEGRAISDERIVADAS E INTEGRAIS

INTEGRAL Operação inversa da DERIVADA

)x(f )x(f Derivação

integração

DERIVADAS E INTEGRAISDERIVADAS E INTEGRAIS

EXEMPLOS:

)t(s )t(vDerivação

integração

)t(v )t(aDerivação

integração

)t(q )t(iDerivação

integração

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

A IDÉIA BÁSICA embutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.)• Consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de

áreas e volumes conhecidos. • EXEMPLO: Obter a área de uma figura plana irregular ou

obter o volume de um sólido com o formato de um barril.

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

nn

nciacircunferê AlimA

... ...

EXEMPLO: Calcular a área de uma circunferência:

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que para cada novo problema havia a necessidade de um tipo particular de aproximação.

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral. A área da região pode ser calculada sempre com o mesmo

tipo de aproximação por retângulos.

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

1

0

dx)x(fA 2

1

x

x

dx)x(fA

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

EM TERMOS PRÁTICOS a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada.

Teorema Fundamental do Cálculo

PRIMITIVASPRIMITIVAS

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

Em muitos problemas conhecemos a derivada de uma função e o objetivo é encontrar a própria função PRIMITIVA!

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

EXEMPLOS: Se a taxa de crescimento de uma determinada população é

conhecida pode-se saber qual o tamanho da população em algum instante futuro.

Conhecendo-se a velocidade de um corpo em movimento pode-se calcular a sua posição em um momento qualquer.

Conhecendo-se o índice de inflação pode-se estimar os preços.

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida.

Uma função F é chamada uma antiderivada ou primitiva de sobre um intervalo I se, para todo x em I,

)x(f)x(F

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

EXEMPLOS:

253

3

xx

F(x)

52 xf(x)

é uma primitiva de

7)cos()2ln( xxF(x)

)(1

xsenx

f(x)

é uma primitiva de

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

)(2 xseneF(x) x

)cos(2 2 xef(x) x

)3cos()2( 2 xxF(x)

)x(senxf(x) 3342

é uma primitiva de é uma primitiva de

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

OBSERVAÇÃO: A primitiva não é única.

onde c é uma constante qualquer.

532 xxF(x) 232 xxF(x)

cxxF(x) 32

32 xf(x)

Na verdade, ela possui uma família de primitivas:

Analisemos a função:

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

PROPRIEDADE: • Se F é uma primitiva de uma função contínua , então a

primitiva mais geral de em um intervalo I é dada por:

cxFG(x) )(

onde c é uma constante qualquer.

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

Se é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por:

cxFdxxf )()(

F(x) primitiva de (x); c uma constante constante de integração; Símbolo ∫ sinal de integração; (x) o integrando; dx diferencial de x símbolo indicando que a primitiva deve ser

calculada em relação à variável x.

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS

DICA Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente

determine a derivada da solução. Se essa derivada for igual a (x) a primitiva está

correta; Se for diferente existe algum erro nos cálculos.

PRIMEIRAS REGRAS DE INTEGRAÇÃOPRIMEIRAS REGRAS DE INTEGRAÇÃO

INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS

FUNÇÃO INTEGRANDO FAMÍLIA DE PRIMITIVAS

INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS

ckxdxk kkxf )(

cn

xdxx

nn

1

1

1)( nxxf n

cxcgxf )()( dxxgcdxxcg )()(

)()()( xhxgxf

dxxhdxxg

dxxhxg

)()(

)()(

INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS

FUNÇÃO INTEGRANDO FAMÍLIA DE PRIMITIVAS

)()( xsenxf cxdxxsen )cos()(

)cos()( xxf cxsendxx )()cos(

xexf )( cedxe xx 0

1)( xx

xf cxdxx )ln()ln(

INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS

OBSERVAÇÃO: Não existe regra do produto e do quociente de duas

funções para a integral. Integrais de produtos e quocientes de funções geralmente

são resolvidos por “Integrais por Substituição” ou por “Integrais por Partes”.

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS

EXERCÍCIO (1): Calcule as integrais abaixo:

dx)x(x)h(dxtgx

senx)g(

dxx

x)f(dt

ttt)e(

dxxcosx)d(dxx)c(

dxx

)b(dxx)a(

2

1168

25

1

3

2

2

33

33 2

38

INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS

EXERCÍCIO (2): Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos?

REFERÊNCIA (1)REFERÊNCIA (1)

CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA

CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA

SWOKOWSKI, E. W. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1.

SWOKOWSKI, E. W. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1.

REFERÊNCIA (2)REFERÊNCIA (2)

CÁLCULOCÁLCULO

STEWART, J. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2005. v1

STEWART, J. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2005. v1

JENAI OLIVEIRA CAZETTAJENAI OLIVEIRA CAZETTA