capitulo.5.3 (1).pptx
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Torque o momento de una fuerzaSea una barra de longitud L apoyada sobre un piso horizontalliso, puede girar por el eje que pasa por O (pivoteada en O), sele aplica una fuerza de mdulo !"
#o $otaO
L
F
F$otaO
L
S%ST&' & *$T+-LS
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O
L
F
$ota m.s lento
Fcosφ La componente queproduce el giro es !senφ O L
φ
F Fsenφ
&stos resultados se pueden resumir con la siguiente e/presin"
Torque o momento de una fuerza
LFsen0 =
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&n general"
φ
φ
F rad = F cosφ
F Tan = F senφ
P
O
L0nea deaccin de !b = r senφ
1razo de palancaτ = r F senφ
&n forma vectorial"
Torque o momento de una fuerza
F
r
F r ×≡ 00
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$&2L & L '#O &$&3
Torque o momento de una fuerza
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'O'&#TO #2-L$ o #T% & 'O'&#TO #2-L$
y se encuentran en el plano /4y , est. en el eje z 5
z
x
y
m
O
φ
m v sen
r sen
r p L pr L 00 ×≡
vm p
0
r 0 L
φ rmvsen L =0
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&l cambio del momentoangular en el tiempo es igualal torque resultante queact6a sobre un cuerpo5
Constante
$elacin entre el torque y el momento angular
TO$7-& 8 'O'&#TO #2-L
dt
pdr p
dt
r d) pr (
dt
d
dt
Ld 0 ×+×=×=
Fr dt
Ld
0
0 ×=
dt
Ldτ 00
=
v vm
0=
0 =0 L
torqueshayno si ⋅⋅⋅
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p = cte
d
x
y
θ
-na masa m con velocidad constante v, 9cu.l es el torque sobre ella:
m
d
θ
= cte
TO$7-& 8 'O'&#TO #2-L
Nota" para ser matem.ticamente correctos el .ngulo para el senoes (;<=4θ), pero siempre el seno(;<=4θ es igual al seno(θ , quees el que nos sirve para la e/plicacin de d constante5
O
&jemplos
&jemplo ;"
vm
0r
k mvrsenθ L ˆ)(0 =
vm
0r
vm
cteL 0 = 00 =
pr L 00 ×≡ k rmvsen L ˆ0 =
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-na masa m con velocidad
angular constante girando enel plano >85
x
y
z
Si ω es la velocidad angular de la part0cula, podemos escribir el
momento angular como"I 0 : 'omento de %nercia ≡ mr
0 2
'omento de inercia
0
TO$7-& 8 'O'&#TO #2-L
Siempre que la part0cula gira alrededor de un punto puedo decirque"
0r
v
ω
0 L
k ˆrmvk ˆrpsen90 pr L 0
OO ==×≡
k ωmr L 200 = ωI0= cte=
ωIL00 =
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-n peque?o bloque de =,; @g se conecta a una cuerda que pasa porun agujero en una superficie horizontal sin friccin5 &l bloque est.girando con rapidez de ; mAs a una distancia de =,B m del agujero5Luego, una persona jala de la cuerda acortando el radio de latrayectoria del bloque a =,; m5
a) 97uC tensin hay en la cuerda en el instante inicial:b) 97uC tensin hay en la cuerda en el instante final:c) 9u.l fue el trabajo efectuado por la persona (o sea por la tensin):
TO$7-& 8 'O'&#TO #2-L&jemplos
&jemplo D"
+
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'omento angularSea un sistema de # part0culas de masa m i con vectores posicin yvelocidad "
mi
O
x y
z
S%ST&' & *$T+-LS
ivi r
i r
i v
∑=
×≡n
1i
ii pr
SO L
CM iCM i CM iCM i V vv Rr r +=+=
+
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= +
Momento angularinterno o momentoangular respecto al
CM
Momento angular de unapartícula de masa M,
localizada en el CM y que semueve con velocidad V
CM
M
Momento angularexterno o momentoangular respecto al
punto
Si quiero tomar la conservacin del momento angular inicial igualal final, debo tomarlo respecto al mismo sistema de referencia5#o necesariamente el momento angular de sistema respecto a Oes igual que al '5
S%ST&' & *$T+-LS'omento angular
SO L CM CM P R ×
SCM L
∑ ∑∑==
×+×=×n
1i
CMiCMiCMiCM
n
1i
ii VmR pr pr
+
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f 21
f 31
f 12
f 32
f 13
f 23
F1
F2
F3m1
m2
m3
Torque o momento de una fuerza
F1Int F1Ext
&n general para cualquier part0cula i"
S%ST&' & *$T+-LS
1F
dt
dp3121
1
Et
i
Int
ii FF
dt
pd +=
+
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0
Si la suma los momentos externos (el momento de las fuerzase/ternas, los torques e/ternos) sobre un sistema es cero, entoncesla cantidad de movimiento angular (momento angular) del sistemaes constante5
Cte
La suma los momentos externos (el momentode las fuerzas e/ternas, los torques e/ternos)sobre un sistema es igual a la variaci!n de lacantidad de movimiento angular (momentoangular) del sistema en el tiempo"
'ultiplicando por
La variacin de momento angular total ser."
, se obtiene la variacin de su momento angular5
S%ST&' & *$T+-LSTorque o momento de una fuerza
∑∑ ×+×=i
Int
ii
i
Et
ii!O Fr Fr
dt
Ld
Et
O
!OM
dt
Ld
∑=
dtLdM !O
O
=∑ 0 =
SO L
Int
ii
Et
ii
i
i Fr Fr dt
pd
r
×+×=×=dt
Ld i
ir
+
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F21
= - F12
F21
F12
r 1
r 2
r 21 = r 2-r 1
y x
z
m1
m2
= 0
S%ST&' & *$T+-LS
Torque de las fuerzas internas es cero
∑
×
2
1i
122211ii FrFrFr
122121 Fr Fr ×+×−=
∑=
×−=×2
1i
1212ii F)r r (Fr
+
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os patinadores de E= @g cada uno se apro/iman siguiendo caminos
paralelos separados F m5 Los patinadores llevan velocidades derapidez de ;= mAs cada uno, con sentidos opuestos5 &l primerpatinador lleva una varilla ligera de F m de longitud, y el otropatinador la coge del otro e/tremo al pasar5 &n la figura se muestrael momento inicial5 #o hay rozamiento con el hielo5
a) 3alle la posicin y velocidad del centro demasa antes, y la velocidad angular delsistema despuCs, de estar unidos5
b) &l patinador ; jala la varilla hastareducir a ; m la distancia al otro
patinador5 9u.l es la velocidad angularde los patinadores:c) ompare las energ0as cinCticas del
sistema en a) y b)5d) 9u.l fue el trabajo realizado por el
patinador ;:5
S%ST&' & *$T+-LSTorque y 'omento angular" ejemplos
&jemplo ;"
+
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CM
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10ms
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Gista desde arriba
S%ST&' & *$T+-LSTorque y 'omento angular" ejemplos
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