cap 2 - campo elÉctrico y ley de gauss 19-38-2011ii
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7/29/2019 Cap 2 - CAMPO ELCTRICO Y LEY DE GAUSS 19-38-2011II
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
2) CAMPO ELCTRICO2) CAMPO ELCTRICOY LEY DE GAUSSY LEY DE GAUSS
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo 19
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
2.1) Definicin de campo elctrico,2.1) Definicin de campo elctrico,E
El vectorE describe las propiedades elctricas del espacio {medio}.
Donde:
Campo elctricoCampo elctrico:: DiscusinDiscusin
Las interacciones del campo no son instantneas
La carga q modifica el medio que la rodea (campo)
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
0
eFEq
=r
eF
r
q
0q
P
E
P
q
0 0
0
: ,
0
q Carga de prueba q
q
+
20
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
Ecuaciones de EEcuaciones de E
i)i) qq
( )
( )
0
3
3
3
( )
0
,
:
( )
0r
q
q
kqq r r
r r kqrE s
kq r r E r
r
i rq r
En gener
r
al
= =
=
r
r r rrr r
r rr r
r r
r
ii)ii) Distribuciones Discretas, DDDistribuciones Discretas, DD
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
E
( )
q
rE r
r
r
q P
21
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( ) ( )( )
31 1
i
i n i ni iqDD
i i i
kq r r E r E r
r r
= =
= =
=
r rr rr r
iii)iii) Distribuciones continuasDistribuciones continuas::
j)j) VolumtricaVolumtrica
( )
( )3
,r
vk dv r r
Er r
: representa el volumen
=
r
rr r
jj)jj) SuperficialSuperficial
( )
( )3
,r
ak da r r
Er r
o s : representa el rea
=
r
rr r
jjj)jjj) LinealLineal
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
( )iq
rE r
r'ir r=
iq P
iq
22
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( )
( )3
,r
l :k
rd
el
pr
resenta la longir
E dr
ur
t
=
r
rr r
Las distribuciones de carga crean el campo
ObservacionesObservaciones
j) Nu EC
jj)0
eF
Eq
=r
: definicin operacional
jjj)
0 0
0
, : " "
:
.
e eF q E F Fuerza sentida por q .
E creado porcierta distribucin de
cargas en la posicin de q
=r
jv) El E es usado intensivamente en las ecuaciones.
2.2)2.2) Lineas de fuerza, LFLineas de fuerza, LF
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo 23
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( )
( ) ( )3r
k r dv r r E
r r
, E se obtiene por definicion
=
rr
r r
r
LEY DE GAUSS: de alta simetra .
til slo para de alta simetra: E fcil de calcular. LF / LF=simetra .
Definicin de lineas de fuerzaDefinicin de lineas de fuerza
Son lasSon las trayectoriastrayectorias descritas por lasdescritas por las 0q debido a ladebido a la ( )eF qE generada porgenerada porciertacierta ..
La forma de las LF esta ligada a cmo se distribuye la q
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
r
r
P( )r
r
LF
( )'rr
0q
eF
r
24
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
LF para diversas distribuciones de cargaLF para diversas distribuciones de carga
i)i) q
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
q
0q
q
eFr
25
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
ii) 1 2: q q
|q|
+-
d
g
g
g
Caso especial:
1 2
1
2
" "
q q q
q
q
d pequea
+
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
q -q
d
26
Dipolo elctrico:Modelo ms simple para describirModelo ms simple para describirsistemas cargados (cuando d sesistemas cargados (cuando d se
aprox. a 0)aprox. a 0)
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
iii)iii)
iv)iv)
v)v) ( )0 r
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
O
O
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
CaractersticasCaractersticas
j)j)E tg LF
jj)jj)
jjj)jjj) No se cruzanNo se cruzan
jv)jv) Distribucin de LF:Distribucin de LF:
k)k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad.Densidad LF: Relacionada a la intensidad.
kk)kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.
? Prepare maquetas de LFs? Prepare maquetas de LFs
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
Q dv= Q
0q E
+
28
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
2.3) Ley de Gauss2.3) Ley de Gauss
Establece laEstablece la proporcionalidad entre elentre el flujo elctricoflujo elctrico a travs de ciertaa travs de cierta superficiesuperficiecerrada, llamada gausianacerrada, llamada gausiana yy la carga elctrica encerrada por dicha superficie.la carga elctrica encerrada por dicha superficie.
(30 de abril de 1777, Brunswick 23 de febrero
de 1855, Gttingen)
Definicin del flujo elctricoDefinicin del flujo elctrico,, Er
Es la cantidad fsica escalar que informa acerca de cuanto E atraviesa lasuperficie.
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo 29
Johann Carl FriedrichGauss,El prncipe de lasmatemticas.
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
. ,.
:
ES E
S S
ds da vector de area elementa
E ds E da
l
=
rr
r
r
r
Ley de GaussLey de Gauss
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
da
da
E
S A=
da da
da da
ad
r
r
r
30
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
, . NEE SGSG
E da q = r
0
. NE
SG
qE da
r r
Para simplificar los clculos ver que:Para simplificar los clculos ver que:
cosE da E da r
{ }
1
2
0
E da E da
E cte E da E da E saledela
r r
r r r rr
*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
SG
31
NE
SG
q dV
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
? Investigue por lo menos una biografa del Prncipe de las Matemticas.
? Que otros flujos se usan en la Fsica.
? Ser posible matematizar las LF
EjemploEjemplo
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
Z
YE
r
r
dl dz
dq dz
==
X
32
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
1 Por la definicin deE
( )
( )
3r
k dl r r E
r r
=
r
rr r
( ) ( ) 2 2
r rj r r rj zk r r r z
r zk
= +
=
r r r r r
r
( )( )
{ }
{ }
{ }
3 22 2
3 22 2
3 22 2
0,
?
y z
y
z po
k dz rj zk E r E j E k
r z
dz
r
E k r
simetria
r z
zdzE k
r z
= = +
+
= =+
= +
r r
22 alta simetraalta simetra GaussGauss
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
E
SG=SCL+STS+STI
E
H
O
da
r
r r
H
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
{ }
0
0
0
0
0 0 ,
2
2
NE
SG SCL STS STI
NE
SCL
SCL
qE da
da || E da E
q SG : E cteE da
HE d
E
a E r
r
H
+ + =
= + + =
= = =
=
=
r r
6 7 8 6 7 8r rr r
r
r r
r
r
S1P22)a) Localice en la figura los puntos donde el campo elctrico es cero.b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las lneas de fuerza del campo
resultante.c) Haga un grfico cualitativo de E vs. x, dnde E se evale en puntos del eje
X.
Solucin:
a) Para el punto S:
kE E+ 2
q k
d
+
{ }2
0
2 qq
d d
+ 25 q
d
21
2d
+
2 212 54
d d d + +
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
Q q- q+ E- P E+ Sx
d1 0 d0 d x
34
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
2
1,2 1
12 4 4 3
21 2 103 2 0 0,9
2 2 3 6d d d d
+
Igual en Q:
kE+
2 q( )2
1
1
2
kE
d
+
5 q( )2 2
1 1 12
1
52 5 5
4d d d
d + +
2
1 1 11,2
5 25 453 5 0
4d d d
+ +
5
3 4 5 100,3; 1,4
2 3 6
b)
c) Para el punto S:
{ } { }2 2 2 2
2 5 2 5
1 1
2 2
T Tk q k qE i i kq i E i
x xx x
+ +
r
2 2
2 5 1,
21
2
TE kq xx
x
>
L hay que especificar para cada regin
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
- + x
35
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
E-y ET
E+
0,90 0,5 x
E+ E+
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
S1P7) En la distribucin mostrada 0 es constante y q0 es una carga puntual.Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.
Solucin:
Por superposicin:
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
R0 0 centro de la circunferenciaq0
R0/2
d
0 0 q
rR0/2 dR0
0
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( )0 0 0' 2
0
' ;/ 2
q Qq Q q
kQ kQE E E i
d Rd
+ +
r r r
3
3 00 0 0
4 4, '
3 3 2 8
R QQ R Q
0 0
3
0 0 2 2
0
4 1 1 3
8 2
q qE k R i
d RE
d
i
r
00 1
RSi d R
d>>
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
0 0
4qE k =
3
( )3 002
1 /1
8
R dR
d
+
1 4 4 2 4 4 3
0
3
0 00 2
4 11 1
3 8q
R RE k
dd
= +
0
3
0 00 2
17
6q
R RE k
dd
=
? Encuentre este resultado usando la definicin. Analice la expresinintegral.
Ahora, usando
0F q E 03
0 00 0 2
1 76
q
R RF q k i
dd
=
r
S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal
()= 0 cos, donde 0 es una constante positiva y el nguloazimutal, Cul es el modulo del vector campo elctrico?a) En el centro del anillob) En su eje a una distancia d de su centro. Analice la expresin
obtenida para d >> R.
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
a) ( )( )
3
( ) '0
'
k dl r r E
r r
r
r r
0, ' cosr r R i Rsen j +
( ) ' cosr r R i Rsen j 3
1 3r r R r r
; dl Rd
( ) { {2
20
0
1 0 cos 22
kE d i sen d j
R
+
r
( )1
1 cos22
+
( ) ( )0 00 0kE i ERR
k r r
b) , ' cosr zk r R i Rsen j +
( ) ' cosr r R i Rsen j zk +r r
{ }3/ 2
3 2 2' ; Rr r R z dq d + r r
( ){ }
{ { {
22
20
3/ 2 02 2
1 cos 2 cos2
k R zE z d i sen d j d k
RR z
+ +
r
( ){ }
( ){ }
2
0
2
0
3/ 22 2
3/ 22 2
,k R
E z ik R
R zE z
R z
+
+
rr
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
ZP
z d
0 y R
x dq
40
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( )2
0
3limz R
k RE z
z
>>
r
S1P47) Determine el campo elctrico de un disco de radio R con densidadsuperficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.
Solucin:
A)Usando coordenadas polares ( coordenadas cilndricas en el plano)
y
da=(rd)drdr
d rx
( )( )
3
'
'
kdq r r E r k I
r r
r rr
r r
( )dq da rd dr = =
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
z
r
r y
'r
x
41
-
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( )0,0,r z
( )' cos , ,0r r rsen
( ) ( )
( )3/ 2
2 2
cos , ,
s
k rd dr r rsen z I
r z
+
r
( )
( )
2
3/ 20 0 2 2
cos , ,R r rsen z rd dr
r z
+
2
0cos d
= 02
0sen d
= 0 (por evaluarse en sus periodos)
( )
2
3/ 20 0 2 2
R rzdrdI kr z
+
r
{ }( )
2
3/ 20 0 2 2
R zrdr
d kr z
+
( )( )
3/ 20 2 2
2R rdr
z kr z
+
( ) ( )2 2
2z z
E z k kz R z
+
r
? Encuentre este resultado usando la definicin con un elemento de reacartesiano. Analice la expresin integral.
? Qu ocurre si R
R
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo 42
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( ) ( )( )
( )
22
2
k kzE z k k
z k k
r
( ) ( ) ( )0 0
12 2
4 2E z k
r: El E de un plano!
(verifquelo usando LG)
B) Usando anillos de =dr
b) , ' cosr zk r r i rsen j +
( ) ' cosr r r i rsen j zk +r r
{ }3/ 23 2 2' ;r r r z dq rd +
r r
Mg. Percy Vctor Caote Fajardo
z
r
r y
'r
x
43
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( ){ }
{
2
3/ 2 02 2
cosk rdr
dE z r d i rsen d j zd k r z
+ +
r
14 2 43
( ){ }
( ){ }
3/ 2 3/ 22 2 2 2
0
(2 ) (2 ) R
k zrdr k zrdr dE z k E z k
r z r z
+ +
r r
( ) ( )2 2
2z z
E z k kz R z
+
r
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