bab 1 limit
Post on 06-Jul-2018
229 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
1/17
Fungsi dan Operasi pada Fungsi
Dalam matematika yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan yang
memetakan setiap objek x di suatu himpunan D (daerah asal ) ke sebuah objek
tunggal y di himpunan E (daerah hasil ). Funsi biasanya dilambangkan dengan
huruf keci seperti f atau g. Lambangf : D → E
Berarti f adalah fungsi dari D ke E. Fungsi yang akan dibahas disini adalah
fungsi dengan daerah asal D ∈ R dan daerah hasil E ∈ R yang sering
dinyatakan dalan bentuk persamaan seperti y= x2 atau f ( x )= x2 , x ∈ RContoh 1. Fungsi f ( x )= x2 memetakan setiap bilangan real ! ke
kuadratnya yakni x2 . Daerah asalnya adalah R dan daerah hasilnya adalah
[0,∞ ).
Contoh 2. Fungsi g ( x )=1
x memetakan setiap bilangan real x≠0 ke
kebalikannya yakni
1
x . Daerah asalnya sama dengan daerah hasilnya yaitu
{ x∈ R| x ≠0}. "rafik fungsi f adalah grafik persamaan y=f ( x) pada sistem koordinat
#artesius atau bidan $!y. %ebagai contoh grafik fungsi f ( x )= x2 adalah
parabola. %ementara itu grafik fungsi g ( x )=1
x berbentuk hiperbola dengan
sumbu simetris garis y= x dan y=− x .
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
2/17
%eperti halnya pada bilangan kita definisikan operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian pada fungsi. %ebagai berikut &
( f +g ) ( x )=f ( x )+g ( x )
( f −g )= f ( x )−g ( x )
( f . g)=f ( x ) . g ( x )
( f g )= f ( x )g ( x )
'salkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. %ebagai contoh jika f ( x )= x2
dan g ( x )=1
x maka f +g adalah fungsi yang memetakan x ke x
2+1
x
yakni &
( f +g ) ( x )= x2+ 1 x
Daerah asal f +g adalah irisan dari daerah asal f dan daerah asal g yakni
{ x∈ R| x ≠0¿
%elain keempat operasi tadi kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari fungsi f yakni
f ( x )¿ p
f p ( x )=¿
'salkab bentuk di ruas kanan terdefinisi. Diberikan dua fungsi f dan g, kita dapat pula
melakukan operasi komposisi yang dilambangkan dengan g∘ f . Disisni &
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
3/17
( g∘ f ) ( x )=g( f ( x ))
ntuk memahami fungsi komposisi g∘ f bayangkan x pertama kali ke f ( x) oleh f
kemudian petakan lahi ke g( x) oleh g . x→f ( x )→g( f ( x ))
Daerah asal g∘ f adalah { x∈ D ( f )|f ( x )∈ D(g)} dengan D( f ) dan D(g)
menyatakan daerah asal f dan g berturut turut.
Contoh 1
Diketahui& f ( x )=√ x dan g ( x )= x2 maka
√ x ¿2= x
( g∘ f ) ( x )=g ( f ( x ) )=g (√ x )=¿
Daerah asalnya sama dengan daerah asal f yakni ¿ .
Contoh 2
Diketahui f ( x )=√ x dan g ( x )=1
x maka
( g∘ f ) ( x )=g ( f ( x ) )=g (√ x )= 1
√ x
Daerah asalnya adalah
{ x∈ D ( f )|f ( x )≠0 }=(0,∞ )
Catatan. Operasi komposisi tidak bersifat komutatif, yakni secara umum g∘ f ≠ f ∘ g
Latihan untuk kedua contoh diatas tentukan f ∘g (dengan cermat) dan simpulkan apakah
f ∘g=g∘ f
Catatan. Dua fungsi sama jika dan hanya jika keduanya mempunyai aturan atau rumus sama
D' daerah asalnya sama.
Beberapa Fungsi Khusus
Fungsi konstan & f ( x)=k , k konstanta
Fungsi Identitas & f ( x )= x
Fungsi Linear & f ( x )=ax+b ,a danb konstanta
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
4/17
Fungsi Kuadrat & f ( x )=a x2+bx+c,a,b,ckonstan
Fungsi Polinom & f ( x )=anxn+…+a1 x+a0 , dengan n bilangan bulat positif.
Fungsi Rasional & f ( x )= p ( x )q ( x ) dengan p dan * fungsi polinom
Fungsi Nilai mutlak & f ( x )=¿ x∨¿
Fungsi aljabar seperti& g ( x )=√ x
g ( x )= x1
3+1
"rafik fungsi f(!) + !
"rafik fungsi f(!) + ,!,
FUNGSI TRIGONOMTRI
Ru!us "u!#ah $an se#isih $ua su$ut
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
5/17
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
6/17
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
7/17
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
8/17
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
9/17
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
10/17
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
11/17
L--/ dan 0E0O/-' F"%-
Limit fungsi disuatu titik dan tak hingga merupakan konsep dasar materi kalkulus. /urunan
dan integralyang merupakan materi inti kalkulus dibangun dengan konsep limit. ntuk
memahami konsep limit dibutuhkan pengertian tentang harga mutlak sebagai jarak antara
titik dan pertidaksaan sebagai ukuran kedekatan
a. 0onsep limit fungsi
Bila kita mempunyai suatu fungsi yang peubah bebasnya menuju titik tertentu di sumbu
!(artinya jarak antara peubah bebas dan titik tertentu tersebut semakin lama semakin
mengecil tapi tidak harus sama dengan nol ) apakah peubah tak bebasnya juga menuju suatu
nilai tertentu disumbu y. 'tau bagaimana perilaku peubah tak bebas jika peubah bebasnya
membesar sampai tak hingga1
ntuk memahami konsep limit perhatikan contoh berikut
Masa#ah garis singgung
isalnya diketahui grafik y=f ( x) dan akan ditentukan gradien garis singgung dititik
p(c , f ( c ))
2ermasalahannya adalah untuk menentukan kemiringan suatu garus diperlukan palinga
sedikit dua titik. 0arena yang diketahui hanya titik p ( c , f ( c ) ) maka untuk pertolongan
ditetapkan satu titik misalnya Q ( x , f ( x ) ) , x ≠0 . 0emiringan garis 23 ( m pq¿ ditentukan
dengan rumus m pq=f ( x )− f (c )
x−c
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
12/17
2erhatikanlah grafik y+f(!) bah4a jika ! semakin dekat ke c maka tali busur 23 berubah
menjadi garis yang menyinggung kur5a y+f(!) dititik 2 yang disebut garis singgung dititik 2
Bila m pq adalah gradien garis 23 maka gradien garis singgung dititik 2 denotasikan
dengan m p
I$e Li!it
lim x→ c
f ( x )= L
Berarti jika x mendekati c, maka f ( x ) mendekati L tapi x≠c
Perhatikan grafk berikut
dari gambar 6.7a. f terdefinisi di c. ntuk nilai ! yang semakin dekat dengan c. ilai f(!)
juga semakin dekat dengan L. Bagaimana jika f tidaj terdefinisi di c nilai f(!) tetap saja
semakin dekat dengan L
a. 2endekakatan Limit %ecara umerik
Contoh
isalkan f ( x )= x2 dan c+7 perhitungan secara numerik untuk lim x→ 3
x2 menghasilkan
tabel seperti berikut
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
13/17
Dari tabel nampak bah4a bila ! dibuat sedekat mungkin dengan 7 baik sebelum maupun
sesudah 7 nilai f(!) semakin dekat dengan 8 berarti lim x→ 3
x2=9
#ontoh
2erhitungan numerik untuk
x2−4¿/( x−2)lim x →2
¿
Terlihat dari tabel untuk x mendekati 2 tapi x tidak sama dengan 2 sehingga
mudah untuk dipahami bahwa untuk x yang semakin dekat dengan 2, (x) akan
dekat 22!"
b# Pendekatan $imit %ecara &rafk
'nth
&ambarkan grafk ungsi f ( x )={3 x+1, x ≠23, x=2 dan gunakan grafk itu untuk
mencari lim x→ 2
f ( x )
Penyelesaian
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
14/17
ari grafk untuk x mendekati 2 nilai (x) mendekati *# Pada kenyataannya
secara numerik dengan memilih x sedekat mungkin dengan 2 nilai (x) juga akan
mungkin dengan *# Terlihat bahwa (2)!+ tetapi lim x→ 2
f ( x )=7
ari cnth dan pemahaman tentang limit diatas maka dapat disimpulkan
prinsip penting tentang limit yaitu
Limit L dari suatu fungsi y=f(x) ketika x mendekati suatu titik c tidak
bergantung pada nilai f di c
Tiga buah cnth grafk ungsi berikut, mungkin dapat lebih membantu dalam
pemahaman tentang limit#
Sifat Sifat Limit Fungsi
ndaikan k suatu knstanta serta limit lim x→ a
f ( x) dan lim x→ a
g ( x ) , maka
-# $imit .umlah
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
15/17
f ( x )+g ( x )=lim x → a
f ( x )+ lim x →a
g ( x )
¿lim x →2
¿
2# $imit selisih
f ( x )−g ( x )=lim x→ a f ( x )−lim x→ a g ( x )¿
lim x→2
¿
+# /ntuk setiap bilangan real k
lim x→ 2
(fk ( x ))=k lim x →a
f ( x )
"# $imit pembagian
n
lim x→ a
f ( x )lim x→ a
g ( x )
f ( x )g ( x )=¿lim x→2
¿
0# $imit ari [ f ( x )]n
.ika n adalah bilangan bulat psiti, maka lim x→ a
[ f ( x )]n
1# $imit darin√ f ( x )
.ika n≥2 dan n bialngan bulat lim x→ a
n√ f ( x )= n√ lim
x →af ( x )
*# /ntuk setiap ungsi plinmial P ( x )=anxn+an−1 xn−1+…+a1 x+a0
lim x→ a
p ( x )= p(a)
# Teri pit
f ( x)≤g( x )≤( x )/ntuk setiap x dalam internal buka yang memuat c (kecuali mungkin di c
sendiri) dan
f ( x )=¿ lim x→a
( x )= L
lim x→a
¿
maka lim x→ a
g ( x )= L
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
16/17
Li!it Sepiha%
9ika ! mendekati c dari kiri mengakibatkan f(!) mendekati L maka kita tuliskan
-
8/17/2019 BAB 1 LIMIT
17/17
top related